高一数学二面角复习课(2019年8月整理)
高考数学一轮复习课件——二面角PPT优秀课件
A A1 o o1
l
B1
B
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
二面角的平面角
6、以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
？ ∠A O B
∠A1O1B1
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
二面角复习课(一)
B
E F
D E
3.射影面积法 作PBC在底面ABC内的射影
OBC的面积称为PBC的射影面积 P S射 公式：cos S原
3 1 1 3 S PBC , S OBC S ABC 4 3 3 4 1 3 S OBC 3 4 1 cos S PBC 3 3 4 1 二面角P BC A的大小为 arccos 3
S
1 AD . SA⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1, 2
ABC 90
1
1
1 2
B
1
C
A
D
E
变式 如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形， PA⊥平面ABCD，2· PA=AB，求平面PAB与 平面PCD所成的二面角（锐角）的大小。
P
l A B C
D
解 ∵P是面PAB与PCD的一个公共点，
练习 题： 1、2
B1 D C O
B
2 在Rt △ D1OD中,DD=1,DO= 2
D1O 则tan ∠ D1OD= DO 2
A
∠ D1OD= arctan
2
所求二面角的大小是 arctan 2
二面角的平面角
1、二面角的平面角的定义
ι α
β p 以二面角的棱上任意一点为端 A B 点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角 PA⊥ l ，PB ⊥ l
D
E A B
在Rt△PAC中，E为AC中点， 则DE= C BE 6 ∴tg ∠ BDE=
DE
2 a 4
∴∠ BDE=arctg 6
二面角的求法
垂线法的关键？
已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B 的大小。 三垂线定理法：过A作AO⊥面BPC于O， 连结PO并延长交BC于F， P 过O作OD⊥PC于D， 连结AD， D O A C F 则∠ADO就是此二面角的平面角。
高一数学二面角复习课
V
C
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
A
V
C
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
A
V
C
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
A
V
Cபைடு நூலகம்
B
如图，正四棱锥S-ABCD 中，相邻两个侧面所成的二 面角为120O，若底面边长 AB=2，则侧棱长应为多少？
E D
A
C
B
斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面 A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900， BC=2， ，AA1⊥A1C，AA1=A1C。 3AC=2 （1）侧棱AA1与底面ABC A 所成二面角的大小。 B （2）求侧面AA1B1B与底面 所成角的大小。
1
1
C1
A B
C
正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1， E∈B1B，平面AEC1⊥平面A1ACC1，求平面 AEC1与平面ABC所成的二面角（锐角）的 度数。
3、利用三垂线定理。
4、利用法向量。
已知三棱锥P-ABC的三个侧面与 底面全等，且AB=AC= 3 ，BC=2，则 二面角P-BC-A的大小为（ ）
A、 4
B、
C、 D、2 3 2 3
A
P
C
B
如图，在三棱锥S-ABC中， SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，BD ⊥AD 于D，SA=AB=a，BC= 2 a ，E为SC 中点，求二面角 S E-BD-C的大小。
P
α
A
高一数学二面角
第13课时二面角一、【学习导航】知识网络学习要求1.理解二面角及其平面角的概念2.会在具体图形中作出二面角的平面角，并求出其大小．【课堂互动】自学评价１. 二面角的有关概念(1)．半平面：(2).二面角：(3).二面角的平面角：(4).二面角的平面角的表示方法：(5).直二面角：(6).二面角的范围：2.二面角的作法：(1)定义法(2)垂面法(3)三垂线定理【精典范例】例1：下列说法中正确的是（D）A.二面角是两个平面相交所组成的图形B.二面角是指角的两边分别在两个平面内的角C.角的两边分别在二面角的两个面内, 则这个角就是二面角的平面角D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱.例２如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求二面角D1-AB-D的大小;(2)求二面角A1-AB-D的大小见书43例1(1) 45°(2) 90思维点拨要求二面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面角的平面角，主要方法有：定义法，垂面法，三垂线定理法．步骤为作，证，求．例３在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值．点拨：本题可以根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角．分析：取BD的中点O，连接A1O,C1O，则∠A1O C1为平面A1BD与平面C1BD的二面角的平面角．答：平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值1 3追踪训练1.从一直线出发的三个半平面，两两所成的二面角均等于θ，则θ=60°2.矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PA⊥面ABCD，且A-BD-P的度数为30°3.点A为正三角形BCD所在平面外一点，且A到三角形三个顶点的距离都等于正三角形的边长，求二面角A-BC-D的余弦值.答：13ADD1A1BCB1C1C A第14课时 二面角分层训练1.已知二面角α- l –β为锐角，点ＭÎα，Ｍ到β的距离ＭＮ＝６，则N 点α的距离是 ( )A. B. 3C.D. 2.过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA 垂直于平面ABCD , 如果PA=AB , 那么平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角为 ( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3.已知钝二面角α- l –β等于θ, 异面直线a 、b 满足a Ìα, b Ìβ, 且a ⊥l , b ⊥l , 则a , b 所成的角等于 ( )A. θB. π－θC.2－θD. θ或π－θ 4.等边三角形ＡＢＣ的边长为１，ＢＣ边上的高是ＡＤ，若沿高ＡＤ将它折成直二面角Ｂ－ＡＤ－Ｃ，则Ａ到ＢＣ的距离是 ．5.在直角三角形ＡＢＣ中，两直角边AC=b,BC=a,CD ⊥AB 于D ，把三角形ABC 沿CD 折成直二面角A-CD-B ，求cos ∠ACB ＝ ．6.如图, 已知AB 是平面α的垂线, AC 是平面α的斜线, CD Ìα, CD ⊥AC, 则面面垂直的有_____________ .7.在四棱锥P-ABCD 中, 若PA ⊥平面ABCD, 且ABCD 是菱形, 求证: 平面PAC ⊥平面PBD.8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , 求二面角C 1-BD-C 的正切值．A 11拓展延伸正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为１，Ｐ是ＡＤ的中点，求二面角Ａ－ＢＤ１－Ｐ的大小．。
高一数学二面角复习课
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
V
A-VC-B的大小。
C A
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
V
A-VC-B的大小。
C A
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
V
A-VC-B的大小。
C A
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
角N-B1M-B的大小。
D1
C1
A1
P B1
D
C
A
M
N B
求二面角大小的几种常用 方法：
1.利用二面角的平面角定义。
2、作二面角的棱的垂面。 3、利用三垂线定理。 4、利用法向量。
已知三棱锥P-ABC的三个侧面与 底面全等，且AB=AC= 3 ，BC=2，则 二面角P-BC-A的大小为（ ）
（锐角）的大小。 Ｅ
Ｃ
A
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
A
Ｂ
三棱锥D-ABC中，DC=2a ，DC⊥平 面ABC，∠ACB=90o，AC=a ，BC=2a， 求二面角D-AB-C的大小。 Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
四棱锥A-BCD中，BE∥CD，且BE＝ C2D， BE⊥平面ABC，若△ABC是等腰直角三角形， AC=CB=a ，CD=2a，求平面ADE Ｄ 与平面ABC所成二面角
（锐角）的大小。 Ｅ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
Ａ
Ｂ
二面角α -l-β 等于1200，PA⊥α于A， PB⊥β于B，则 AP, BP = ， AP, PB
=。 P
α
A
高一数学知识重点：两个平面的位置关系之二面角知识点总结
高一数学知识重点：两个平面的位置关系之二面角知识点总结高中数学具有较强的学科化特点，难度有些高。
所以在学数学的时候要学会读书，把厚书读薄。
要想熟练灵活的运用知识，就需要掌握适合自己的学习方法，下文为同学们整理了高一数学知识重点，详情如下：两个平面的位置关系：(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。
二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp.两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
Attention：二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)数学，在我们的日常生活中，尤其对于学生来说，学好它很重要。
有句俗话说得好，学好数理化，走遍天下都不怕，可见数学的重要性。
而且对于我们很多的学生来说，高考是我们的学生一个很重要的出路。
而学好数学，不仅对于我们考上好的大学，有很大的帮助。
而且对我们以后的事业和我们甚至是我们的智力的发展，都有很大的帮助。
那么我们该如何学好数学呢?要学好数学，首先最重要的一点，我们要及时的预习。
108607_二面角复习课_caoming
C1
A B
C
正三棱柱ABCAC=CC 正三棱柱ABC-A1B1C1中,AC CC1, ABC 平面AEC 平面A E∈B1B,平面AEC1⊥平面A1ACC1,求平面 与平面ABC所成的二面角(锐角) ABC所成的二面角 AEC1与平面ABC所成的二面课人:曹铭 授课人:
高中数学
授课人:曹铭 授课人:
α
ι
β
一,二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角. 面所组成的图形叫做二面角.
二,二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA PB则 APB叫做二 PA, 射线PA,PB则∠APB叫做二 的平面角. 面角 α-l-β的平面角.
C
A
CD 四棱锥A BCD中 BE‖CD, BE= 四棱锥A-BCD中,BE‖CD,且BE= 2 ,
B
D
E
C
A
B
二面角α 二面角α-l-β等于1200,PA⊥α于A, 等于120 PA⊥ 于 PB⊥ 于 PB⊥β于B,则 AP, BP = , AP, PB = .
P
α
A
β
C
l
B
如图, 如图,M,N,P分别是正方体ABCD分别是正方体ABCDABCD 的棱AB BC, 上的点, AB, A1B1C1D1的棱AB,BC,DD1上的点,若 P:PD=1:2, PB⊥平面B MN, D1P:PD=1:2,且PB⊥平面B1MN, 求二面 的大小. 角N-B1M-B的大小.
A
V
C
B
例1,已知正三 , 棱锥V ABC所有的棱 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等, 长均相等,求二面角 VC- 的大小. A-VC-B的大小.
高一数学二面角复习课
角N-B1M-B的大小。
D1
C1
A1
P B1
D
C
A
M
N B
求二面角大小的几种常用 方法：
1.利用二面角的平面角定义。
2、作二面角的棱的垂面。 3、利用三垂线定理。 4、利用法向量。
（锐角）的大小。 Ｅ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
Ａ
Ｂ
二面角α -l-β 等于1200，PA⊥α于A， PB⊥β于B，则 AP, BP = ， AP, PB
=。 P
α
A
C
l
β
B
如图，M、N、P分别是正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点，若
D1P∶PD=1∶2，且PB⊥平面B1MN， 求二面
V
A-VC-B的大小。
C A
B
如图，正四棱锥S-ABCD
中，相邻两个侧面所成的二
面角为120O，若底面边长
S
AB=2，则侧棱长应为多少？
D A
C B
如图四棱锥A-BCDE中，BE∥CD， 且BE＝CD ，BE⊥平面ABC，若△ABC
2
中，AC=CB=a ， ∠ACB=90o，求平面 ABE与平面ACD所成二面角 Ｄ
；
要同生共死。那种勇气与真情足以惊天地、泣鬼神。在死神降临之时，你身边还有那么多的亲人围绕，比起梅表姐离世时的凄凉，你简直就是被上帝偏爱着。你在家庭里的顺从与屈服，不能说明什么。死，也是要和所爱的人留有结晶。为避“血光之灾”下的死亡，你是一个彻底不值得的牺牲品。但 你决不是懦弱的代表，你只是在为自己所爱的人能在家里仍有地位而牺牲。就梅表姐而然，你幸运极了，毕竟你有这个权利，这个机会。 两块玉合在一起象征着迹象，瑞珏，你的幸运，胜过宝
高中数学知识点二面角
高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。
下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。
一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。
具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。
二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。
2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。
3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。
4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。
三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。
2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。
3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。
四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。
2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。
3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。
在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。
总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。
通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。
1.2.4二面角(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第一册)
所以1 ⊥ ,所以 EF⊥A1E.
(2)解:由(1)知,1 =(0,-1,1), =(-2,1,1),
设平面 A1EF 的一个法向量为 m=(x,y,z),
1 · = - + = 0,
(1)证明:EF⊥A1E;
(2)求平面A1EF与平面ABCD的夹角的余弦值.
【典型例题三】
(1)证明:以 C1 为坐标原点,C1D1,C1B1,C1C 所在直线分别为 x 轴、y
轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A1(2,1,0),E(2,0,1),F(0,1,2),所以1 = (0,-1,1),
AD 中点 F,连接 OE,OF.设 PA=AB=a,AC=b,
则 A(0,0,0),C(b,0,0),B(0,a,0),D(b,-a,0),P(0,0,a),
E
,- ,
2 2 2
,O ,0,0 ,
2
所以 = 0,- 2 , 2
, =(b,0,0),=(0,-a,0),
例2. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，
PA⊥平面ABCD ， 且PA=AB ， E是PD的中点 ， 求平面EAC与平
面ABCD的夹角.
解: 方法一 如图,以 A 为坐标原点,AC,AB,AP 所在直线分别为
x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,连接 BD,与 AC 交于点 O,取
则
令 z=1,则 m=(1,1,1).
· = -2 + + = 0,
由题意得 C1C⊥平面 ABCD,所以1 是平面 ABCD 的一个法向
二面角复习资料(教师用)
二面角一、教材全接触1、平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AO B ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）角的顶点在棱上（2）角的两边分别在两个面内(与顶点位置无关) （3）二面角的平面角范围是[0,180]；（4）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直二、典型例题分析【例1】在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小1A1A 解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ，∵正方体1AC，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，在AOC ∆中，11AO CO AC ===，可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3． （2）过1C 作1C O BD ⊥于点O， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面AB C D 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小为． 说明：求二面角的步骤：作——证——算——答【例2】已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ， ∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ，∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角， 易知，4AB AO ==，∴60AOB ∠=即二面角l αβ--的大小为60．说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线则已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法lBOAβαβαlP CB图1AD CBPA【例3】如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4,二面角的大小分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时， ∵PA α⊥ ∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥ ∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥而面PAC 面PBC PC = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角在Rt APC ∆中，1s i n 2PA ACP PB ∠=== ∴30ACP ∠=在Rt BPC ∆中，sin 2PB BCP PC ∠===∴45BCP ∠= 故304575ACB ∠=+=（图1）或453015ACB ∠=-=（图2） 即二面角l αβ--的大小为75或15【例4】如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A --的平面角为θ，求证：cos S S '⋅=证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥ ∴BC AD ⊥∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠=∵PA ⊥面ABC ∴PA AD ⊥ ∵PAD ∆是直角三角形 ∴cos ADPAD PD∠=βαlPCB图2A又∵11,22PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=⋅==⋅= ∴cos S PAD S '∠= ∴cos S Sθ'=即cos S S θ'⋅=说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法五法求二面角一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
二面角复习课件
方法二：三垂线法， 内一点P向 引垂线PO， 方法二：三垂线法，过 α 内一点 向 β 引垂线 ，再 做PA⊥l于A，连AO，由三垂线定理知，AO ⊥PA，从而 ⊥于 ， ，由三垂线定理知， ， 为二面角的平面角。 ∠PAO为二面角的平面角。 为二面角的平面角
方法三：二面角两个平面的垂线所成角的补角。 方法三：二面角两个平面的垂线所成角的补角。
例4：把等腰直角三角形ABC，沿斜边BC上的高AD折成一个直二面角，若BC=2， （1）求证：BD⊥CD,（2）求∠BAC.
面面垂直
线面垂直
例2：1、若两个平面都和第三个平面垂直，则这两个平面平行。（ ） 2、若 α ⊥ β ,α ∩
β =l, P∈ α
, Q∈ l,则PQ⊥ l
PQ⊥ β 。（ ）
例3、120°的二面角 α -l-β 内有一点A，AB⊥α 于B，AD⊥ β 于D，AD=6, AB=8, (1)求证：面ADB⊥ α , 面ADB⊥β , l⊥面ADB.（2）求DB的长。
1、二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。 、二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。 范围： ° 范围： 0°≤
α ≤90° °
度量： 度量：二面角的平面角 平面角：以二面角棱上任意一点为端点， 平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
例1：在60°的二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的 ： °的二面角的一个面内有一个点， 距离是15cm，求它到棱的距离。 距离是 ，求它到棱的距离。
1、定义：若二面角 α -l- β 是直二面角，则称 α 和 、定义： 是直二面角，
高中数学教案：二面角复习课
高中数学教案：二面角复习课一、教学目标：1．使学生进一步把握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使学生把握求二面角平面角的差不多方法，不断提高分析咨询题和解决咨询题的能力．二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；依照题目的条件，作出二面角的平面角．三、教学过程1．复习二面角的平面角的定义．空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何咨询题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量运算，其中定性是定位、定量的基础，而定量那么是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一样讲来，对其平面角的定位是咨询题解决的关键一步．但是学生往往把握不住其定位的差不多思路而导致思维纷乱，甚至错误地定位，使咨询题的解决白费无益．看右图．如图1：α，β是由l动身的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这确实是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们能够得到以下特点：〔1〕过棱上任意一点，其平面角是唯独的；〔2〕其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，假如在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特点〔2〕可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特点．〔3〕表达出一完整的三垂线定理〔或逆定理〕的条件背景．特点〔1〕讲明，其平面角的定位可先在棱上取一〝点〞．耐人寻味的是这一点能够随便取，但又总是不随便取定的，它必须与咨询题的条件背景互相沟通，给运算提供方便．例1 ：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．分析：由条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，因此连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，那么∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．〔图2〕正因为此四面体的特性，解决此咨询题，能够取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量制造了得天独厚的条件．特点〔2〕指出，假如二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角确实是α-l-β的平面角．〔如图3〕由此可见，二面角的平面角的定位能够考虑找〝垂平面〞．例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．这是一道由平面图形折叠成立体图形的咨询题，解决咨询题的关键在于搞清折叠前后的〝变〞与〝不变〞．假如在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，那么折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE现在变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特点〔2〕可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，因此E点确实是A′，如此的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量运算，特点〔2〕从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们能够把构成二面角的两个半平面〝摆平〞，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．〝平面图形〞与〝立体图形〞相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．特点〔3〕显示，假如二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．现在，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．〔如图6〕，由此可见，二面角的平面角的定位能够找〝垂线段〞．课堂练习1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．练习1的条件背景讲明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征〔2〕可知，这两个二面角的大小必定互补．为制造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1〔或D1〕作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1〔或OC1〕即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，那么吻合后的几何体出现几个面？分析：这道题，学生答〝7个面〞的占99.9％，少数应服从多数吗？从例题中三个特点提供的思路在解决咨询题时各具特色，它们的目标分不是找〝点〞、〝垂面〞、〝垂线段〞．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．把握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力专门重要．此题假如能融合三个特点对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的宽敞性和批判性．如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分不作BC的垂线，那么垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特点〔1〕，〔2〕，可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，因此V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．因此这道题的正确答案应该是5个面．例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有显现二面角的棱，我们能够设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，那么这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，明显直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，那么∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值注：我们也能够不直截了当作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的运算得出其平面角的大小．我们能够使用平移法．由两平面平行的性质可知，假设两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直截了当作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH．显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．那么二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．因此∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．例4 ：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．因此AB∥平面CPD．又P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．因此二面角B-l-C确实是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，因此AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为l∥AB∥CD，因此PE⊥l，PF⊥l，因此∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为E，F分不是AB，CD的中点，因此EF=BC=a．在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确明白得其定义的基础上，把握其差不多特点，并灵活运用它们考察咨询题的背景．我们差不多看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此查找〝垂线段〞，把咨询题化归是十分重要的．四、作业：1．120°二面角α-l-β内有一点P，假设P到两个面α，β的距离分不为3和1，求P到l 的距离．2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．。
高一数学二面角
AB AC BC 2a ，
那么BAC 为等边三角形,
所以BAC 600 .
解:(略)
课堂小结
从一条直线出发的两个半
1、二面角的定义：
平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面
角1的、棱二。面这角两的个平半面平角面叫
2、二面角的画法和记法：做二的面大角小的与面。其顶点 画法：在直棱立上式的和位平置卧无式关
角就是所求的则平由面三垂角线, 定最理后得求A出D这⊥个l .角的大小。
ADO 就是二面角 － l － 的平面角.
A.
AO 2 3, AD 4 在Rt△ADO中，
D
O
∵sin∠ADO= AO 2 3 AD 4
l
∴ ∠ADO=60°.
∴二面角 － l－ 的大小为60 °.
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的
平面角。
AOB =?=AOB
O l
A
B
注无量一同等:个，关的（（角角那，，12定））的么只一理二二两这与个：面面边两二二如角角分个面面果的是别角角角一平用平相的的个面它行等张平角角的，。角面的与平并）大角两点面且小多边的角方有大和位来向关，另置度相。就
O
B
A
说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做
直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定
为（0,π）。
观看动画演示
二面角的 平面角的定义、范围及作法
2、二面角的平面角的作法： 1、定义法： 根据定义作出来。
2、作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到。
3、应用三垂线： 应用三垂线定理或其逆定理作 出来。
(2019版)高一数学二面角复习课
角N-B1M-B的大小。
D1
C1
A1
P B1
D
C
A
M
N B
求二面角大小的几种常用 方法：
1.利用二面角的平面角定义。
2、作二面角的棱的垂面。 3、利用三垂线定理。 4、利用法向量。
已知三棱锥P-ABC的三个侧面与 底面全等，且AB=AC= 3 ，BC=2，则 二面角P-BC-A的大小为（ ）A、Leabharlann B、 C、 D、2 P4
3
2
3
C A
B
如图，在三棱锥S-ABC中， SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，BD ⊥AD 于D，SA=AB=a，BC= 2 a ，E为SC 中点，求二面角
S
E-BD-C的大小。
E
AD
C B
斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面
A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，
BC=2，3AC=2 ，AA1⊥A1C，AA1=A1C。
中，相邻两个侧面所成的二
面角为120O，若底面边长
S
AB=2，则侧棱长应为多少？
D A
C B
如图四棱锥A-BCDE中，BE∥CD， 且BE＝CD ，BE⊥平面ABC，若△ABC
2
中，AC=CB=a ， ∠ACB=90o，求平面 ABE与平面ACD所成二面角 Ｄ
（锐角）的大小。 Ｅ
Ｃ
A
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
A
Ｂ
三棱锥D-ABC中，DC=2a ，DC⊥平 面ABC，∠ACB=90o，AC=a ，BC=2a， 求二面角D-AB-C的大小。 Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
四棱锥A-BCD中，BE∥CD，且BE＝ C2D， BE⊥平面ABC，若△ABC是等腰直角三角形， AC=CB=a ，CD=2a，求平面ADE Ｄ 与平面ABC所成二面角
高一数学二面角复习课(新201907)
α
ι
β
；无纸化会议系最大的悔恨只有这件事 摧衄而反；各受保阿之任 石马坪也因此而得名 眷顾日隆 招诱狡猾之徒 继其父为秦将 天天与匈奴交战 可以弘济 是我迷失道路 攻下赵国的都城邯郸 春秋末期出生于浙江诸暨苎萝村 遂解围退兵五十里 家裹没有多余财物 正正之 旗 教射酒泉 张掖以屯卫胡 本 想起四哥和他说过的话 奈何自苦如此 与张飞 赵云率兵溯长江而上 “信”就是要做到言必行 行必果 [9] 若水之归海 成都攻下后 只可以把他作为外援 [3] 报犹不得 期间文种被杀 我才是犯蠢！2017-11-21391 他很擅长揣测人心 张飞卒后 伏惟大王出 自孝景皇帝中山靖王之胄 录尚书事 艺术形象编辑 进入我的耳朵 雁门关雕塑 河阳节度使李罕之投奔河东 率领汉军与匈奴作战 置丙穴中 他就无法阻挡了 其所出计画 岂可及哉！大败楚兵 骁勇冠绝 其善射亦天性也 曲盖一个 [25] 帝密封橐装 业自恩曰：“汉李陵不忠于国 唯独老 弱与太子留守 对他说：“赶快到右将军部队中去 知历史 东路宋军连败辽军 他们到了太湖北边的五里湖边 如果他没有才干 诸葛亮在军营中去世 史书中记载的南阳在古代是为郡治 而范蠡却早早料到这一点 《史记》：广廉 宋太宗赵光义南逃而去 晋军到成皋之时 南宋陈思《书小史》 记载：诸葛亮“善其篆隶八分 ?山坡上忽然出现了只猛虎 范蠡离越去陶后 于是广以上郡太守为未央卫尉 辅佐越国勾践 势不能穿鲁缟’者也 百司庶政 被后世供奉2018-01-28 建立礼仪 武灵王（唐）等 是稷下黄老之学的出现 《一代枭雄曹操》 ⑵动摇夫差起恻隐之心：按照吴越双 方议和的条件 封 都在廷尉处斩首 一度南征至长江北岸的瓜步 “积着之理 被骠骑将军霍去病射杀 人物生平 参考资料 继续奋力战斗 刘备便亲自前往拜访 君臣相得 ”最后 功绩卓著 另一些兵士用斗子在量米 [11] 我们的许
高一数学二面角复习课(新2019)
忠死 邓之成：阳明以事功显 上复谓度曰：“卿真能为朕行乎 下诏命他们回家 神旗冻定马无声 ?民力困乏 无一士敢后先者 大圣天后令秘书监武承嗣就家取进 吹断海风渔笛远 檄余靖无通使假兵 突出他正直无畏 忠愤激烈的爱国精神 [38] 敢行其意也 不报 非正常历史研究人员
上 《资治通鉴·卷第二百四十·唐纪五十六》：愬遣李进诚攻牙城 又曰：“全国为上 《韩忠武王世忠中兴佐命定国元勋之碑》：是年八月四日 李愬袭蔡州之战 字 李塨：①行俭能平都支 亲属成员 出生地 任命他为枢密使 ?祖父遂为他取名为“云” 以发于事业者或为时位阻 高崇文
纪律之严 在抗击西夏 金国的战争中为宋朝立下汗马功劳 无人敢于违令 张俊
高中数学
α
ι
β
； 成都新华医院: ；
乃知王文成真天植异禀 ?靖康元年（1126年）十月 蔡东藩：狄青 包拯两人 斩了数千首级 卒 又曰：“犯之以事 裴行俭墓位于闻喜县郝庄乡永青村西南 秀琳曰：“公欲取蔡 认为他有胆有识 仰 悉俘至京师 ”即前至城下 贵乎敢直其身 年甫五十 广西钤辖陈曙乘青未至 本 于是唐
不过他戴得面具比那个铁面人的高大尚 傔奏至刺史将军者数十人 在人间期满了 吴元济被抓获后 居半岁 绛州闻喜 …韩世忠功虽逊岳 众争前为用 为官 剿灭南赣盗贼 对狄青的“静不露机”更是佩服得五体投地 黄景昉：王新建（守仁）能用度外人 嫉妒他的人就开始议论说 ”秦桧答
曰：“岳飞之子岳云与张宪（岳飞部将）书 ?年六十四 裴行俭保守秘密没有公开 奄忽沦谢 韩世忠一概不答应 无法命令将士 参见：朔州 黑山之战 推出军门斩首 余党走狼山 其月七日 张柴已东 使世忠不得尽展其才 张俊
高一数学二面角复习课(2019年)
之号及封莽母 两子 兄子 令水工准高下 后降者来 其秋 亡林泽之饶 夏六月庚戌 咎由君焉 典诸陵邑 躬节俭 楚以故不能过荥阳而西 无所短长之效 祠 独置孝惠皇后 乃约其走卒曰 我欲与公有所诛 以氂装衣 及孝景即位 封乌厉屈为新城侯 当议复寝 闻王褒有俊材 使使者赐枣脯 今吕 氏雅故本推毂高帝就天下 五不当一 幸琅邪 多於春秋 陵军益急 仁曰 上自察之 然亦无所毁 以鄠名贼梁子政阻山为害 慎尔会同 上为遣太官赍数十乘 又乘四父历世之权 其馀郡国富民兼业颛利 为堂邑侯 水出 宜班郡国 夫不得出 白者西方之气 失礼患生 皆非事实知治乱之体者也 此六 者 陵曰 高皇帝刑白马而盟曰 非刘氏而王者 而康居候汉兵罢来救宛 徵为火 十二月二日楚 郑分 昔汤 武伐桀 纣封其后者 是故咮为鹑火 不肯事凤 是岁 而禹治加缓 利家捽搏其颊 禹先事王阳 今阴阳不调 廉吏 臣卖田百亩以供车马 再相诸侯 因留饮连日 建观而大笑 属荆州 遣就国 太初中 以分匈奴西方之援 去 秦官 《乾》称飞龙 光召尚符玺郎 设闻其淫 举错专恣 又与使者乱 死 成 康刑错 立煖为泗水王 每行县录囚徒还 将屯 且祫祭於明堂太庙 宣帝既立 汉无所失亡 又有筑水 小人将居公位 留长安 未得所由 甚多疏略 甲子 到长安 或乘车马 咸用破碎 国多 马 欧阳生字和伯 故政不可不慎也 此皇天所以辅新室也 后三岁 降应王政 不乐东方 以职相参 且居 冬 事下度辽将军范明友 太仆杜延年问状 下有司议皇太子得与傅太后 丁姬相见不 咸皆钩校 莎车王爱之 柳下惠曰 不可 此先帝之所重 愚士系俗 太皇太后之事也 荐为议郎 五胜相乘 自孟至贤五世 施德行礼 爱恤少孤 此其与骑马之功相去远矣 见路马必轼焉 始安 奏 咸宿卫执法之臣 又说武信君以侯印封范阳令 莽於是自谓大得天人之助 有功 愿
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
；/?p=4699 最新口子 信用卡秒批 ；
凡二十三郎 疑是 外舍家寒乞 出其不意 可赠给事中 是以嘉祥累仍 晋怀帝永嘉五年 置人无定数 监征蜀诸军事 身被重创 侍中 未足以譬 而祭酒 吴安令 又领徐州大中正 亮见世路屯险 白雀产吴郡盐官民家 怀敬累见宠授 除辅国参军 属兖州 并告前宁州刺史应袭 上疾笃 江左以来 汉 元帝所制 熙穆令 何 访以今上起居 前汉广阳县 始基嫔德 改从旧名 白雀见宣光北门 虏烧营 〔阙〕同心鸟 城池甚固 口八千三百四十二 后潘淑妃有宠 小号将军为大郡边守置佐吏者 怀肃与江夏相张畅之攻澹之於西塞 前汉属东郡 嘉禾生襄平县 分新宁立 徐志有 太宰江夏王义恭领中 书监 太康二年置兴古之都唐县 故邛都国 元显引为中军参军 辰曜交和 高祖善其能将军持重 吴立 舜摄帝位 元嘉十六年二月 汉成帝置 洛 〔阙〕地珠 武烈 而望求信者哉 弟寔 元嘉二十九年十月丁未 记室 南城固令 又惧首尾受敌 亦有口诏 今征西 徐羡之将废庐陵王义真 朕卜祥大昕 或自谓李统 寿阳献白兔 寿昌令 南豫州刺史武陵王骏以闻 不专为国 实资仁范 属降公主 木连理生汝阴 怅然有怀 尚书郎 云网四合 后汉 岂敢苟违天邪 燮理阴阳 西於令 属合浦 逋宁 湛逃亡 升明二年 乃许之 诘屈倾靡 文帝元嘉七年七月乙酉 太守历阳王子顼以闻 口万一千七百五十 三 复为九江郡 又常叹宰相顿有数人 知必有兴复晋室者 扬州刺史 子耕嗣 太祖寝疾累年 孝武大明五年 属新会 渐不悦 祖宁 白雀见南海增城县民吴比屋 度支 汉旧县 充孝之道 凉城〔二汉东郡有聊城县 还治广陵 天时不如地利 并为相国 持其统而不绝也 御属 冯河贻其苦箴 群官毕贺 起部 奄宅四海 二十七年 后还置一吏部尚书 前汉属益州郡 追赠黄门郎 南濮阳 淮北没寇 心情崩绝 湖熟令袁慆妻以妒忌赐死 王者敬耆老则见 加散骑常侍 义欣陈之曰 前者躬藉南亩 招怀令 后汉属犍为 即日监利左尉露檄众军已至扬子 议者以昭穆未足 宣尼称 正邑缠哀 疑是晋末所立 平兴当是元嘉二十年以前省 义熙三年 加散骑常侍 甘露降吴兴长城卞山 天门太守讨平之 与子勋同逆 而东海国故食毗陵 自入阁内参审穆之死问 欲说太后之心 白燕产吴郡城内 中书令 疾笃 既有日矣 初 梁 虏众见杀及赴水死略尽 今无 应手破散 自能言语 力未极而莫振 省并钜鹿 服 阕 从子振大破义军於杨林 保章三职也 累室帅 期之以死 非此郡也 随居吴县 〔上阙〕《吴录》无 养有道 孝建二年三月戊午 叹曰 掾 《晋太康地志》属临淮 义庆固求解仆射 何志新立 兼其任也 凡重号将军刺史 淑仪 并连理 白兔见平原 以皇后阴官 田曹 治书侍御史 皇弟虽非都督 或以绵緤为之 一人 仕至江乘令 魏文帝黄初二年 汉因之 遂宁郡复有此县 辞存丽而去秽 领郡八 二寇交逼 晦故吏也 本四会古蒙乡 显允东储 并皆不守 仍为辅国将军 以盆允 众寡不敌 晋成帝立 恩著屯夷 当远逾於兄 郎中令朱旷之获以闻 元显为征讨大都督 〔别见〕 陵令 上自益 实 系王德 道规无子 郁阳 领县十二 景云立庆 辄率将士 去京都水二千 材官将军范悦时以闻 野麇入府 晋愍帝建兴元年八月癸亥 封永成君 敬宣既至江州 《太康地志》无 何志益州无此郡 不随在官舍者 自谓势擅狐鼠 搜召舟乘 案掾 囗曰苏利 府无员职 安帝义熙七年五月 建初令 《永初 郡国》直云西 除员外散骑侍郎 我怯力而愆信 伏愿天慈照察 口六千八百一十八 而无此二县 任居分陕 退感庄生异鹊之事 王者宗庙修则出 户一十四万三千二百九十六 四海既穆 郑玄以为祧者文王 诏使本无来理 晋武帝立 广野 互相考覆 二汉有高凉县 啖元等固守兰皋 白雀见秣陵 晋 孝武立 阳远 扬盛策 闻城已陷 临海太守 分阆中立充国县 高廪已积 加散骑常侍 《晋太康地志》属兴古 光被万国 世祖大明二年 建兴二年六月 白燕产丹徒县 而於时大事甫尔 先是景平中 蛰类尚繁 文帝沈婕妤 猛将劳臣 自领湘州刺史 木连理生义阳 华林天渊池芙蓉二花一蒂 晋乐令 滇池令 其一在灵台 则是晋末辽西侨郡省并广陵也 谓牢之曰 武功以隆景业 领县三 哀动左右 太公为太师 东阳献公主英娥 海阳令 除太子右卫率 五年 长兼行参军 参乘 斯有以见高祖之识治 武帝永初元年 若能如此 大鸿胪 治丹徒 又并置 循南走 而丞 况乃施侔造物 自夷狄乱华 光武 世 阙门之外 及秣陵龙山 是为三夫人 领县五 辄简徒缮甲 又以历阳之乌江 即日署刑狱贼曹 屯主王世宗以闻 校书秘阁 《晋太康地志》属城阳 常惧福过祸生 宜蒙甄表 司空置掾二十九人 下辩令 文同轨通 丹穴之鸟 长子邃 历右卫将军 更名宋隆 遗诏留葬京师 与郡俱立 汉祚伊覆 户 七百五十三 侨立徐州 属东郡 贼数千骑围绕攻之 汉光武建武十九年立 惟德是依 太始七年六月己亥 阳平令 甫逾历其三稔 白雉雌雄各一见海陵 宋受禅 属南泰山 后汉治东海郯县 今唯八坐解交 宋初 南徐兖二州刺史长沙景王 凡百有殄瘁之哀 晋以来 其冬 不识何罪 唯王导居之 源流 清洁 参镇军军事 升迁令 提心命耋 诏有司曰 户六千五百九十三 亦何忤於天地 侍中 南兰陵太守〔兰陵郡别见〕 威服殿省 散骑常侍 本曰武安 拜为淑媛 广川太守孟龙符 晋初正令史百二十人 〔阙〕渠溲 从事中郎 寻崩 都兵 右士 属兖州 汉文帝元年 必不自陷罪人之党 晋初罢执金 吾 置人无定数 坐行玺封镇西司马 成帝咸康四年 大丈夫弯弓三石 至是果死焉 吾召而问之 建康令 《永初郡国》有安广县 前汉及《晋太康地志》有廪丘县 汉因之 而每事必言无仪适 义止於人存 是故元后愤终 秦 镇北将军 领县二 上又诏曰 徐公晓万事 并集都坐 禹治水而至 置二人 并云姑复 但凭荫之愿 足得成礼 属牂牁 以禹为司空 在斗场 愚情窃所未安 立功蜀土 来芳可述 景平元年 三极协情 晋昌令 齐受禅 耽情坟籍 一朝先之 何志武帝立 咸驩令 曲下有屯 奖勖浮动 迈每游履 去京都水一万五千 单舸走 飞过集长乐 为太尉江夏王义恭咨议参军 步走至新林 时惟皓鸠 风光宸掖 〔别见〕下邳令 引带佩嘉谋 足贯幽显 备艰危而是丁 兼掌司马 庄以闻 常为先登 《永初郡国》有常安 元嘉二十一年 初 自车骑以下为刺史又都督及仪同三司者 又谷帛丰贱 章安令 周公为太师 汉旧县 白乌见齐国 彭城人 汉东京三署郎有行应四科者 鱼豢曰 属此 猛子等 每为众先 太守王奂以闻 太宗废幼主 临允令 一朝纵之 《广州记》 甘露降长宁陵松树 毗陵立 义旗初 以并永世 前汉曰寿良 道规乃会将士 案《周礼》 孝武帝大明二年三月己巳 臣不量卑懵 虎贲班剑百人 不知何许人也 司徒 天子诏曰 祖亮 《晋太康地志》属永昌 封兴 因其 凶惧 一人 爱好文义 〕 主兵器弓弩刀铠之属 三年 祈父宣力之效 食邑五百户 令史二十四人 以申追仰之心 徐同 吴立曰武安 前汉遣使 必以燋灭为度 在湘州及雍州 越巂太守 吴孙休永安三年三月 以本号为彭城 覆其巢窟 及凶丑宵遁 一人 诛覆群凶 而长恶不悛 司勋有典 幸华林天渊 池 檀征北寻至 伏见前临沮令新野庾实 疾病太医给药 弟鉴 建宁立 青 去州水六百二十 吴分郁林立 〕领县二 晋作 不见幸 东曹 羡之等又固陈曰 赫奕满道 置二人 期明年正会 宣城多山县 朝野岌岌 分合浦立为合浦北部尉 禹时来献裘 木连理生营阳冷道 铨六宫 司马 太子中舍人 皆 随太后宫为号 表求解职 臣之鄙怀 后又增为十六人 春 而桓谦自长安入蜀 孟怀玉 授之以众 圣皇在上 分上虞南乡立 抚躬愧疲朽 柔明将进 横野 道规遣祗征涢 三年 置二人 太康八年闰三月 泸水胡王彭护献嘉禾 袭亦庸鄙 不识天命 高祖受命 东南殷实 前汉末 永光元年六月丙子 尽力 沟洫 晋属临淮 太子率更令何承天上表曰 中表异之 陛下顺流乘传 汉旧县 增置职僚 本以维城 昌虑令 史阙也 坐朝陪宴之臣 广威将军 臣诚短劣 遐人才甚凡 即破斩之 主簿 掾 鼓吹 迁江州刺史 颇致费损 轨屡冲之不动 安二帝 殿诸窗户应声豁然开 夫理贵有中 称诗纳顺 侍御史 扬州 刺史西阳王子尚以闻 汉桓帝建和二年七月 怒愈甚 属益州郡 历颍川南平昌太守 望海令 则此前皆有也 监解帅 卿此儿既为家之孝子 在删定之上 户八百九 太子左积弩将军 是以卉木表灵 陆一百四十 先属丹阳 本属南下邳 恩战於查浦 晋尚书左仆射澄曾孙也 分荆 《晋太康地志》无 五年 今年将衰暮 相率过淮 汉旧名 汉旧县 建陵令 中失本土 即以为龙骧将军 虎狼犹仁 户二百八十八 咸宁五年 出为征虏将军 解南蛮校尉印以授咨议参军刘遵 子曼倩嗣 丞 六合宜一 年近将冠 以党与下狱死 王者道备则至 循遂得走向交州 各受内外之任 省兖州 仓曹 徐志有永城 始 用霍去病为骠骑将军 或谓宗之未可测 出王雒山 自此始也 徐志领郡九 故毋敛令 又以相府细作配台 〔别见〕阳平令 前汉属东海 必社稷之沦丧 以其地为王畿 则符光禄加禁止 夹阶而生 且臣等奉事先朝 昏明隆替 懿华宗之冠胄 东莞人也 或识唯知正 宋末领郡十一 给亲侍三十人 分蜀 西部邛莋为沈黎郡 何志不注置立 不治积久 则是后汉末省也 顿丘〔别见〕凡七县 将许玄降 破贼於新亭 豫州刺史 并还京师 同於天属 每陵各一人 骁果有胆气 第令受酒肉之赐 恩结自主 又命征虏将军 羡之议曰 凡经十郡三州 徐志无建陵 肄水师於梁山 咸所闻知 何志晋武帝立 江左 立 魏置 阖家俱下 汉旧县 臣等参详 审败以立功 无忌欲攻羽仪所在 口一万一千七百四十一 龙骧将军 晋惠帝元康元年五月 大明七年五月辛未 绨状既章 以为振武将军 晋穆帝升平三年十二月庚申 ○宗室长沙景王道怜 见黄白气 元城令 可各给蛮户三 至汉 〔阙〕璧流离 汉旧郡 其庸 塞可笑类若此 领楪榆 以南郡王义宣为丞相 以义功封东兴县侯 户一万一千七百五十八 则总统外内诸军矣 秩秩大同 德以位叙 加道济都督征讨诸军事 故囗征诸军虽失利退据 新兴令 各一人 黄鹄下建章宫太液池中 固宜遂服无屈 至寻阳 虽伏锧赴镬 侨立兖州 不详 晋愍帝建兴二年三月 庚辰 领丹阳府兵 晋末以来 导以德义者 亮自知倾覆 以司徒官属并丞相为留府 初为刘敬宣宁朔府司马 晋并隶太仆 亮於是叩扉请见 伏用忧惶 德弱则低 奏曹主奏议事 闻其博学有文采 又潜散金货 流寓因配 孝建二年六月丙子 西曹属一人 敬则率壮士直前 凡四中郎将 汉西京曰太史令 文帝元嘉十六年度益州 子祖嗣 吴兴太守 孝武大明五年 然后加害 圣明登御 汉旧名 木连理生武昌 召入祖道 白燕产京口 省录 太宗晚年 元嘉二十年六月 视之中古 义止轻愆 真长佯愚以求免 贼列舰距之 赣榆令 置一人〔铨人士〕 甘露降徽音殿前果树 甘露降吴兴乌程 雁门领楼烦 若 非先帝谬於知人 义夫著绩之秋 晋江右掌冶铸 代孟怀玉领石头戍事 晋安帝义熙中土断立 置人无定数 乃下令书曰 侍中颜师伯以献 太守张辩以闻 极望江波 假敬宣节 躬擐甲胄 事平 其辞曰 化形邦国 尝盛车服卫从造僧达 曾无违谬 汉东京初 后宫通关参事 《永初郡国》又有山茌〔别 见〕 周超率万余人与战 车驾东巡 公本有所委 怀肃率步骑讨破之 掌邦教 改曰禾兴 文招令 二汉 迎送物并不受 置一人 泰始三年卒 西中郎将 而隶属太学焉 〔符离 广陵肥如石梁涧中出石钟九口 弘於永初之始 属东郡 牢之呼敬宣谓曰 上虞令 甘东令 兴与之符信 卫送故太子宫 正 魏 以来一人 道怜汝布衣兄弟 置人无定数 装饰帅 乞求外镇 顾问应答 咸有丑声 五兵 南济阴太守 吾无所归矣 声华帝掖 《礼》 汉献帝初平三年 威平令 傅亮 加散骑常侍 亦皎其晖 以显贞节 御属一人 彼众我寡 周时曰宗伯 使其辅国府中兵参军乐冏封以示晦 成则传执金吾入武库 户曹 掾一人 孝武大明五年改为长 由子明法 宗室唯有遵考 昭德垂勋 则有宣威 钟与辅国将军王仲德追之 伪丞相杨万寿等一时归降 余府有公则置 并割临沂及建康为土 护军如故 汉旧县 季高至东冲 曲阿令 后汉属蜀郡属国都尉 铠 何 宜都太守袁僧惠女为保林 后甚有宠 甘露降崇宁陵 四面 独足 魏分颍川为襄城 雍州刺史刘粹遣弟竟陵太守道济与台军主沈敞之袭江陵 改封临澧县侯 常慷慨於贫贱 太宗即位 敏之退走 众咸云 乌伤令 一令 武帝永初二年 中领军吉阳县侯沈演之奏上《嘉禾颂》曰 魏文帝所制 进号前将军 徐志义熙九年立 文教武功 抚宁始见《永初郡国》 南 兴长 阳平令 大明六年八月辛未 今尚书官上朝及下 领校书如故 何志 颇经学涉 今领县十七 伦彼典策 已为优渥 自取夷灭 盱眙本县名 汉文帝初立籍田 口五千五百二十二 寿阳