2.2.3向量数乘运算及其几何意义(8)

D
二 【新课】
2.共线向量定理
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数λ，使得 b=λa
思考:1) a为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
二 【新课】
3.数乘运算律
思考:(1) 3 (2a) 6?a (3 2)a ?6a (2) (2 3)a 5?a 2a 3a 5?a
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
思考： 如图，设点M为△ABC的重心，
D为BC的中点，那么向量 BD与 BC， AD与DM 分别有什么关系？
A
BD 1 BC 2
Mபைடு நூலகம்
B
C
AD 3DM
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN=
1
…=
a
+
1
b
63
D
C
MC= … = 1a+ b 2
N
A
M
B
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向
量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
三 【应用】
例3 如图，已知任意两个非零向量a，
b，试作 =aO＋A b， =aO＋B 2b， OC =a＋3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
3b
B
b a
2b
A
b
Oa
AC 2AB A、B、C 共线
例4 如图，平行四边形ABCD的两条对
角线相交于点M，且 AB =a，AD =b， 试用a,b表示向量 MA、MB、MC 、MD
2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义
一 【复习回顾】
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，首尾连
C ab b
A
a
B
Ba
b
a
b
C
特点:共起点
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
B
a
b
O
BA a b
aA
b
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
实际背景
一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应 向量a, 那么在同方向上3秒的位移对应的向量 用3a表示，试画出该向量。
反之也成立。
四 【课堂小结】
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
D
C
bM
Aa B
三 【应用】
练习：
1.若λa=0，则_______.
三 【应用】
2：如图，若P为AB的中点，则 O与P 、OA 的OB关系如何？
O
OP
1 2
(OA
OB)
A PB
三 【应用】
3.已知非零向量a, 求与a共线的单位向量。
4.O是平面上一点，求证：若存在实数使得 OP OA (1 )OB,则点A、B、P三点共线。
a
3a
二 【新课】
思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
a
aaa
a a a
OA
B
C
N
M
QP
OC OA AB BC a a a 记: a a a 3a
即: OC 3a. 同理可得: PN (a) (a) (a) 3a
思考题2: 向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 3a 与向量 a 有什么关系?
(3)(2a 3b c) (3a 2b c) a 5b 2c
练习P100第5题
三 【应用】
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC， 试判断AC与AE是否共线。
C
A B
E D
思考 ：若存在实数λ，使 AB l BC ， 则A、B、C三点的位置关系如何？
AB lBC,则A、B、C三点共线
(1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a .
(2)向量3a的方向与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a .
二 【新课】
1.数乘运算
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa， 它的长度和方向规定如下：
并进行比较。 a
3(2a)
3(2a)
=
6a
b a
ab
2a 2b
2b
2(a b ) 2a 2b
2a
(3) 2(a+b)=? 2a+2b=?
3(2a) (3 2)a
(2 3)a 2a 3a
2(a+b) = 2a+2b
数乘向量的运算律:
设 , 为实数,那么
(1)(a) ()a (2)( )a a a
以上通过 作图可验证
(3)(a b) a b
例1.计算: (1)(3) 4a 12a(2)3(a b) 2(a b) a 5b