高三教学质量检测(一)理科数学试题答案

佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数学试题（理科）参考答案和评分标准

9．< 10．8，70 11．

12 12．12- 13．4 14．(2,2)3k ππ- 15．9

2

三、解答题:本大题共6

小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）

4cos ,5B =且(0,180)B

∈，∴3

sin 5

B ==．-------------------------------2分

cos cos(180)cos(135)C A B B =-

-=-

------------------------------- 3分 243cos135cos sin135sin 2

525B B =+=-

+10

=-． -------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin

C === -------------------------------8分 由正弦定理得

sin sin BC AB

A C =

72

AB =，解得14AB =． -------------------------------10分 在BCD ∆中，7BD =， 2224

7102710375

CD =+-⨯⨯⨯=，

所以CD = -------------------------------12分

17．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.3

0.065

=．频率直方图如下：

-------------------------------2分

第一组的人数为

1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以200

10000.2

n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以195

0.65300

p =

=． 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．

-------------------------------5分

（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． -------------------------------6分 随机变量X 服从超几何分布．

031263185(0)204C C P X C ===，121263

1815

(1)68

C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，301263

1855

(3)204

C C P X C ===． -------------------------------10分

-------------------------------12分

∴数学期望5153355012322046868204

EX =⨯

+⨯+⨯

+⨯=．

-------------------------------14分 18．

（本题满分12分）

解：

（Ⅰ）∵11S a

=，212122S a a a =+=

+，3123

136S a

a a a =++=+，-------------------------------2分 =

=

解得11a =，故21n a n =-； ---------------------------------------4分

（Ⅱ）211(21)()222n

n n n n a n b n -=

==-， ---------------------------------------5分 法1：1231111

1()3()5()(21)()2222

n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ①

①12⨯得，2341111111

1()3()5()(23)()(21)()222222

n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯， ②

①-②得，231111111

2()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯

11111(1)

113121222(21)()12222212

n n n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ---------------------------------------10分 ∴42123

33222n n n n

n n T -+=--=-． ---------------------------------------12分 法2：12111

2222n n n n n n

a n

b n --===⋅-

， 设112n

n k k k F -==∑，记1

1

()()n k k f x kx -==∑，

则()1111(1)()1(1)n n n

n k

k n

k k x x n nx x f x x x x x +==''⎛⎫--+-⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

∑∑， ∴1

14(2)2n n F n -⎛⎫

=-+ ⎪

⎝⎭

， ---------------------------------------10分

故111(1)

1123224(2)13122212

n n n n n n n T F n --+=-=-+⋅-+=--． ---------------------------------------12分 19．（本题满分14分） 解：法1：（Ⅰ）连结BD ，

∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， 又∵BD AC ⊥，AC PA A =，

∴BD ⊥平面PAC ，

又∵E ，F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD ， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面NEF ，

∴平面PAC ⊥平面NEF ；---------------------------------------4分 （Ⅱ）连结OM ，

∵//PC 平面MEF ，平面PAC 平面MEF OM =，

∴//PC OM ， ∴

1

4

PM OC PA AC ==，故:1:3PM MA = -------------------------------8分 （Ⅲ）∵EF ⊥平面PAC ，OM ⊂平面PAC ，∴EF ⊥OM ，

在等腰三角形NEF 中，点O 为EF 的中点，∴NO EF ⊥，

∴MON ∠为所求二面角M EF N --的平面角， ---------------------------------------10分 ∵点M 是PA 的中点，∴2AM NC ==，

所以在矩形MNCA 中，可求得42MN AC ==，6NO =

，22MO =， --------------------12分

在MON ∆中，由余弦定理可求得22233

cos 233

MO ON MN MON MO ON +-∠==-⋅⋅，

∴二面角M EF N --的余弦值为33

33

-． ---------------------------------------14分 法2：（Ⅰ）同法1；

（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ， ∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，