平面任意二次曲线插补算法研究
一、插补及其算法 插补：是指在一条已知起点和终点的曲线上进行数
插补： 插补：是指在一条已知起点和终点的曲线上进行 数据点的密化。 数据点的密化。 CNC系统插补功能：直线插补功能 系统插补功能： 系统插补功能 圆弧插补功能 抛物线插补功能 螺旋线插补功能
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8.1
插补原理
直线和圆弧插补功能插补算法： 直线和圆弧插补功能插补算法：
⑴逐点比较法直线插补的象限与坐标变换 线 G01 型 偏 差 判 别 F≥0 F＜0 象 2 限 3
1
4
+X +Y
+Y - X
-X -Y
-Y +X
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8.1
插补原理
（2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换 ）
象 线 型 偏差判别 F≥0 G02 G03 F<0 F≥0 F<0 1 -Y +X -X +Y 2 +X +Y -Y -X 3 +Y -X +X -Y 限 4 -X -Y +Y +X
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或半闭环)CNC系统的加减速控制 二、闭环(或半闭环 闭环 或半闭环 系统的加减速控制
前加减速控制： 前加减速控制 （1）稳定速度和瞬时速度 ） （2）线性加减速处理 ①加速处理 ）
②减速处理 ③终点判别处理
8.1
插补原理
图8－2 逐点比较法直线插补轨迹
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8.1
插补原理
2.逐点比较法圆弧插补 逐点比较法圆弧插补
（1）判别函数及判别条件 ） （2）进给方向判别 ） （3）迭代法偏差函数F的推导 ）迭代法偏差函数 的推导 （4）逐点比较法圆弧插补终点判别 ）
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8.1
插补原理
⒊ 坐标变换及自动过象限处理
CNC系统中NURBS曲线插补及相关算法研究
2009，45（34）目前，计算机数字控制机床在我国机械制造业的应用越来越广泛，推动了我国机械制造水平及自动化加工程度的极大提高[1]。
CNC机床的核心———CNC系统，是一种基于计算机平台的软硬件系统并由该系统执行对机床的自动控制任务[2]。
CNC 系统是计算机控制技术在机械制造工程（包括航空、航天制造工程）领域内的一种典型应用。
CNC系统的控制软件是一种位置、速度控制软件，其最重要、最核心的功能模块为插补控制模块。
传统的CNC系统上的插补算法通常为直线、圆弧插补[3]，要用这种系统控制机床走出样条曲线则必须将样条曲线以直线段或圆弧段逼近的方式进行，从而损失掉部分加工精度[4]。
非均匀有理B样条（NURBS）能为自由曲线和标准解析曲线提供统一的表达形式[5]，已成为众多计算机辅助设计与制造（CAD/ CAM）系统进行产品设计交换的唯一标准。
如果在CNC系统中添加NURBS曲线直接输出的功能，则可以在一定程度上大大提高机床的位置控制精度和零部件的加工精度。
基于时间分割的思想研究在CNC系统上如何实现NURBS曲线的直接插补，使系统具备样条输出的能力，并同时研究插补运算过程中涉及的相关算法，为NURBS插补算法在CNC系统上的实现和应用奠定理论基础。
1NURBS曲线表示三维空间一条NURBS曲线可由参数形式描述如下[6]r（u）=[x（u）y（u）z（u）]T=ni=0Σw i B i，p（u）C ini=0Σw i B i，p（u）0≤u≤1（1）式中p为NURBS曲线的次数，p+1为其阶数；Ci为第i个三维控制顶点（xi，yi，zi），形成控制多边形，共n+1个；wi为第i个控CNC系统中NURBS曲线插补及相关算法研究陈良骥1，刘元朋1，王永章2CHEN Liang-ji1，LIU Yuan-peng1，WANG Yong-zhang21.郑州航空工业管理学院机电工程学院，郑州4500152.哈尔滨工业大学机电工程学院，哈尔滨1500011.School of Mechanical Engineering，Zhengzhou Institute of Aeronautics，Zhengzhou450015，China2.School of Mechanical Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin150001，ChinaE-mail：chenjiaxiclj@CHEN Liang-ji，LIU Yuan-peng，WANG Yong-zhang.Study on NURBS curve interpolation and relative algorithms in CNC puter Engineering and Applications，2009，45（34）：219-221.Abstract：In order to improve contour controlling accuracy of Computer Numerical Control（CNC）system，the problem that control software of the system can directly output spline must be solved.Iterative relationship between parameters of two adjacent interpolation points on a Non-Uniform Rational B Spline（NURBS）curve is obtained based on Taylor formula.To B spline basis functions and their arbitrary order derivatives which need to be frequently calculated during interpolating a NURBS curve，a uniform calculating method of block matrix multiplying continuously is presented.Numerical calculation method is used to solve some relative problems such as curve’s length and so on during interpolating.The example demonstrated here indicates that the proposed method can be applied to actual CNC system.Key words：Computer Numerical Control（CNC）；Non-Uniform Rational B Spline（NURBS）；interpolation；basis function摘要：为提高计算机数字控制（CNC）系统的轮廓控制精度，需解决系统控制软件样条直接输出的问题。
数控技术第3章插补原理
5. 运算举例（第Ⅰ 象限逆圆弧） 运算举例（ 象限逆圆弧） 加工圆弧AE 起点(4,3) AE， (4,3)， 终点(0,5) E=(4-0)+(5加工圆弧AE，起点(4,3)， 终点(0,5) ，E=(4-0)+(53)=6 插补过程演示
三.逐点比较法的进给速度 逐点比较法的进给速度
逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 对于某一坐标而言， 对于某一坐标而言，进给脉冲的频率就决定了进给速 度 ：
插补是数控系统最重要的功能； 插补是数控系统最重要的功能； 插补实际是数据密集化的过程； 插补实际是数据密集化的过程； 插补必须是实时的； 插补必须是实时的； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高 次曲线插补器； 次曲线插补器； 根据插补所采用的原理和计算方法不同， 根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
脉冲当量： 脉冲当量：每一个脉冲使执行件按指令要求方向移动的直线 距离，称为脉冲当量， 表示。一般0.01mm 0.001mm。 0.01mm～ 距离，称为脉冲当量，用δ表示。一般0.01mm～0.001mm。 脉冲当量越小， 脉冲当量越小，则机床精度越高
实验二 二维插补原理及实现实验
实验二 二维插补原理及实现实验2.1 实验目的掌握逐点比较法、数字积分法等常见直线插补、圆弧插补原理和实现方法；通过利用运动控制器的基本控制指令实现直线插补和圆弧插补，掌握基本数控插补算法的软件实现。
2.2 实验原理直线插补和圆弧插补的计算原理。
数控系统加工的零件轮廓或运动轨迹一般由直线、圆弧组成，对于一些非圆曲线轮廓则用直线或圆弧去逼近。
插补计算就是数控系统根据输入的基本数据，通过计算，将工件的轮廓或运动轨迹描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给指令。
数控系统常用的插补计算方法有：逐点比较法，数字积分法，时间分割法，样条插补法等。
2.2.1 逐点比较法直线插补逐点比较法是使用阶梯折线来逼近被插补直线或圆弧轮廓的方法，一般是按偏差判别、进给控制、偏差计算和终点判别四个节拍来实现一次插补过程。
以第一象限为例，取直线起点为坐标原点，如右图所示，m为动点，有下面关系：取F m = Y m X e − X m Y e 作为偏差判别式：若 F m=0，表明m 点在OA 直线上；若 F m>0，表明m 点在OA 直线上方的m′处；若 F m<0，表明m 点在OA 直线下方的m″处。
从坐标原点出发，当F m≧0 时，沿＋X 方向走一步，当F m<0，沿＋Y 方向走一步，当两方向所走的步数与终点坐标（X e,Y e）相等时，停止插补。
当F m≧0 时，沿＋X 方向走一步，则X m+1=X m＋1, Y m+1=Y m新的偏差为：F m+1=Y m+1X e- X m+1Y e=Y m X e-(X m＋1)Y e=F m-Y e当F m<0 时，沿＋Y 方向走一步，则X m+1=X m, Y m+1=Y m＋1新的偏差为：F m+1 =Y m+1X e- X m+1Y e=(Y m＋1)X e-X m Y e=F m＋X e其它三个象限的计算方法，可以用相同的原理获得，下表为四个象限插补时，其偏差计算公式和进给脉冲方向，计算时，X e,Y e 均为绝对值。
插补算法的研究
数控系统插补算法和优化设计1、引言数控系统所加工的零件要求的加工轨迹各种各样：有圆弧、直线、椭圆、抛物线等等。
然而设备的加工点的移动方向是有限的，一般设备工作台只有X、Y两个方向。
也就是要在加工曲线精度的范围内用折线来拟合出误允许的曲线。
这一过程称为插补（Interpolation）。
在数控加工中首先要给出加工的误差范围。
为满足这一要求，在加工中二维或三维的特征点应该由插补算法算出。
插补算法一般由插入器和升降速算法组成。
插补算法的最终结果是以良好的内插值替换的，然后译成指令对位置进行循环控制，控制机床轴心的运动，对未加工材料进行加工。
在常规的插补算法中，每个单位时间内的移动距离是沿着X,Y,Z轴计算，通过升降速实现进给运动的。
在这种情况下，路径误差由插补生成的理想曲线轮廓和实际沿X,Y,Z轴升降速的步进间距。
最终这种路径误差会在实际的数控加工中体现出来。
另外，路径误差呈现出的不同误差情况取决于不同的升降速方法。
数控系统通常有直线和圆弧的插补，其他的曲线可以用这两种来逼近。
多年来，人们研究了很多软件和硬件的插补方法，去解决插补过程中的高精度、高速度以及适用范围等计算问题，对于硬件插补器，它的电路比较复杂，需要的元件较多，造价高，可靠性差，因而企业一般不采用硬件插补。
对于软件插补器，它完全借助于计算机的通用硬件，通过编程指令来完成插补运算，它与硬件插补器相比，特点如下：A、不必改动硬件，只要根据插补公式采用不同的插补程序就能获得不同的轨迹曲线；B、每次插补计算坐标增量可以大于一个进给单位，因此获得不受限制的进给速度；C、可以插补比较复杂的曲线。
2、逐点比较法（一）基本原理逐点比较法的基本原理是：每给X或Y坐标方向一个脉冲后，使加工点沿着相应方向产生一个脉冲当量的唯一，然后对新的加工点所在的位置与要求加工的曲线进行比较，根据其偏离的情况决定下一步该移动的方向，以缩小偏离距离，使实际加工的曲线与要求的加工曲线的误差最小。
第四部分插补原理与速度控制
（3）迭代法偏差函数F的推导
①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0， 刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点
P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步 偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一 步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终 点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及 Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二 是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
线 型 偏差判别
象
1
2
限
3
4
F≥0
-Y
+X
+Y
-X
G02
F<0
+X
+Y
-X
-Y
F≥0
-X
-Y
+X
+Y
G03
F<0
+Y
-X
-Y
+X
（3）圆弧插补自动过象限处理
为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插 补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包 括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。
关于NURBS曲线插补算法的研究与改进
（） ２
在 每个插 补周 期 内 ， 根据 上一点 的参 数值 ｉ ，
ｄ
＝
ｄ／ ｓｄ
（） ３
注 意式 （ ） ２ 与式 （ ） 的 曲线 速 度 为 （） 是 ３中 Ｚ不 指 令进 给速度 （） 因为 指令 进 给 速 度是 走 过 的微 ｔ， 小 直线段 与 时 间的 比值 ， 曲线 速 度 是 微 小 曲线 弧 而
程序 量庞 大 ， 而且 不可 避免地 带来 了逼 近误 差 ， 响 影
将得 到 的参 数 空 间 坐标 逆 映 射 到 轨 迹 空 间 ， 得 到相应 的映射点 Ｐ（ … ） 即 为所 求 插 补 轨迹 的新 ｕ ，
坐标 点 。
到零 件 的 加 工 质 量 ， 低 了 生 产 效 率 。 因此 研 究 降
ＱＵ
研
；
加 工系统 加工 过程 和 零件 加 工 质 量造 成 负 面 影 响 ， 因此 必 须 调 节 进 给 速 度 将 加 速 度 限 制 在 允 许 范
围 内。
＝Ｐ （ ）、 ＝Ｐ （ ）、 “ Ｙ ｕ Ｚ＝Ｐ （ ）； ：Ｍ
，
＝
、 ： Ｙ
、 ＝
⑥ ２ ０ Ｓ ｉ Ｔ ｃ ．Ｅ ｇ ｇ ０１ ｃ． ｅ ｈ ｎ ｎ ．
一
般工程技 术
关于 Ｎ Ｒ Ｓ曲线插 补 算 法 的研 究 与 改进 Ｕ Ｂ
浦艳 敏
（ 宁 石 油 化 工 大 学 职 业 技 术 学 院 ，抚 顺 １ ３０ ） 辽 ０ １ １
摘
要
在分析 Ｎ Ｒ Ｓ 曲线现有插补算法 的基础上 ， 重研 究了三次 Ｎ Ｒ Ｓ 曲线实 时插补技 术。针 对部分算法 的不 完整 Ｕ Ｂ 着 Ｕ Ｂ
数控加工中的二次曲线拟合与最优插补控制算法
在得到描述样件加工路径的拟合曲线后, 针对这些样条曲线进行速度规划和实时插补, 从而得到 时间最优的插补过程. 算法主要分为 3 个步骤:
1) 根据机床的机械特性 (主要是加工能力) 及描述加工路径的拟合曲线的性质计算最大允许加工
速度曲线 (VLC 曲线) 和 VLC (velocity limit curve) 曲线上的各速度关键点 — 切换点;
摘要 本文提出一种基于二次 B 样条曲线对 G01 代码的拟合及插补方法, 先通过自适应方法选取 G01 代码所描述的加工轨迹形状特征的各个特征点, 再用通过所有特征点的二次 B 样条曲线拟合待 加工路径. 由于 Timar 等人提出的最优速度规划算法对于三次及三次以上的高阶次样条曲线的计算 极为复杂, 本文提出了一种改进的基于二次 B 样条曲线的时间最优插补计算方法. 最后, 将所提出 的算法应用到实际的图案加工仿真与实际数控加工中. 关键词 二次 B 样条 速度规划
1389
张梅等: 数控加工中的二次曲线拟合与最优插补控制算法
而产生的震动也会影响加工表面的光洁度, 使之很难达到高精加工的要求. 因此, 本文设计的算法将 首先在给定的精度要求下, 将 G01 代码拟合成二次 B 样条曲线, 而后, 针对该样条曲线进行速度规划 和插补. 对 G01 代码拟合的过程中, 本文令每段样条曲线在精度范围内逼近尽可能多的数据点, 以达到数 据压缩的目的, 主要包括以下 3 个步骤:
插补原理及控制方法
P点在圆弧外侧时，则OP大于圆弧半径R，即
X i Yj R2 0
2 2
P点在圆弧内侧时，则OP小于圆弧半径R，即
X i Yj R2 0
2 2
用F表示P点的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为
Fi , j X i Y j R 2
2 2
（3-5）
当动点落在圆弧上时，一般约定将其和F>0一并考虑。
1、 插补原理 一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步 骤进行。
开始 偏差判别 坐标进给 偏差计算
3 2 1 终点判别 O 1 2 3 N 4 x y
E(4,3)
Y 给结束
图5-3
偏差判别：根据刀具当前位置，确定进 给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹趋进， 即向减少误 差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定轨迹之 间的偏差，作为下一步判别依据。 终点判别：判断是否到达终点，若到达 ，结束插补；否则，继续以上四个步骤（ 如图3-3所示）。
二、基准脉冲插补
（一）、逐点比较法 加工图3-1所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假设 让刀具先从A点沿－Y方向走一步，刀具处在圆内1点 。为使刀具逼近圆弧，同时又向终点移动，需沿＋X 方向走一步，刀具到达2点，仍位于圆弧内，需再沿 ＋X方向走一步，到达圆弧外3点，然后再沿－Y方向 走一步，如此继续移动，走到终点。
第五章 插补原理及控制方法
一、概述
在数控加工中，一般已知运动轨迹的起点坐标 、终点坐标和曲线方程，如何使切削加工运动沿 着预定轨迹移动呢？数控系统根据这些信息实时 地计算出各个中间点的坐标，通常把这个过程称 为“插补”。
数控系统根据这些信息实时地计算出各个中间点 的坐标，通常把这个过程称为“插补”。 插补实质上是根据有限的信息完成“数据点的 密化”工作。
基于Cox-de Boor递推的任意次NURBS曲线插补算法的研究与仿真
Ｋ ｅ ｒ ｓ：Ｎ ＵＲＢＳ ｃ ｒ ｅ ｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ；ｒ ｎ ｏ ｅ ｒ ｅ；ｄｉｆ ｒ ｎ ｅ ｅ ｔｍ ａｅ ｙ ｗｏ ｄ ｕ ｖ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔｏ ａ ｄ ｍ ｄ ｇｅ ｆｅ ｅ ｃ ｓｉ ｔ
Ｏ 引 言
非 均匀 有理 Ｂ样 条 Ｎ Ｒ Ｓ Ｎ ｎＵ ｉ ｒ ａ ｏ — Ｕ Ｂ （ ｏ — ｎｆ ｍ Ｒ ｔ ｎ ｏ ｉ ａ Ｂ Ｓ ｉｅ ） 它 已成 为利用 计算 机 处理 几 何 信息 时 ， ｌ －ｐｎｓ ， 设 计 和 数 据 交 换 的 工 业 标 准 ， Ｉ Ｅ ， Ｔ Ｐ 和 如 Ｇ Ｓ ＳＥ Ｐ Ｉ Ｓ等一 些国 内和 国际标 准 。Ｎ Ｒ Ｓ为解 析 曲线 ＨＧ Ｕ Ｂ 曲面 （ 圆锥 截线 和二次 曲面 ） 自由型 曲线 与 曲面 如 和
文献 ［ ］ ２ 以三 次 Ｎ Ｒ Ｓ样 条 曲线 为例 ， 出 了一 种 Ｕ Ｂ 提
新 的加减速 控 制 方 法 ， 现 了进 给 速 度 的 自适 应 控 实 制 ， 高 了轮廓 加工 精度 ， 提 但是 缺少 在任 意 次 Ｎ Ｒ Ｓ Ｕ Ｂ
曲线 插补 算 法 的 论 述 ； 文献 ［ ３—５ ， 导 出 了 三 次 ］推
别约 束 的参数进 行 比较 ， 化 出最佳 参数 值 ， 优 实现 了速 度 自适 应控 制 。论述 了控 制 顶 点 、 点 矢量 、 节
权 因 子 对 Ｎ Ｒ Ｓ的 影 响 ， 用二 分 法 线 性 搜 索 节 点 区 间 ， 出 了 系统 生 成 的 Ｎ Ｒ Ｓ 曲 线 插 补 的 Ｎ Ｕ Ｂ 利 给 Ｕ Ｂ Ｃ
ＺＨＡＯ Ｙｕ． ａ ｇ ｇ ｎ ，ＬＩＷ ｅ ， ＧＵＯ ｅ ｇ ｉ Ｆ ｎ ， Ｌ —ｕ Ｉ Ｙｅ ｆ ， Ｌ Ｕ Ｃｈ ． ｉ ｎ Ｉ ｕｎ ｘ ａ
插补原理及控制方法
顺圆
结束
第三章 插补原理及控制方法 36
举例说明圆弧插补过程。
设第一象限有一逆 圆圆弧AB，起点A 的坐标为 =6， ＝0，终点B的坐标 为 =0， =6。
第三章 插补原理及控制方法 37
二、逐点比较法圆弧插补---其它象限
y
y
F>0
F<0
o
x
F<0
o
F>0
x
逆圆
各象限插补进给方向，远离原 点坐标值加一接近原点坐标值 减一。
3.1 逐点比较法插补---不同象限直线插补
第二象限
tg αi= yj / xi tg α=ye / xe
tg αi- tg α
= yj/ xi –ye / xe
=(xe yj-xi ye) / xe xi
令： Fi,j xeyj xiye
为偏差函数
A (xe,ye)
y
M (xi,yj)
αi
x
αo
逐点比较法插补
逐点比较法特 点是：计算机 每控制机床坐 标（刀架）走 一步时都要完 成四个工作节 拍。
位置判别 判 别实际加工点 相对规定几何 轨迹的偏离位 置，然后决定 刀具走向；
坐标进给 控 制某坐标轴工 作台进给一步， 向规定的几何 轨迹靠拢，缩 小偏差；
偏差计算 计 算新的加工点 对规定轨迹的 偏差，作为下 一步判别走向 的依据；
插补技术是数控系统的核心技术。数控加工过程中，数控系统 要解决控制刀具或工件运动轨迹的问题。刀具或工件一步步移 动，移动轨迹是一个个小线段构成的折线，不是光滑曲线。刀 具不能严格按照所加工零件的廓形运动，而用折线逼近轮廓线 型。
插补计算就是对数控系统输入的基本数据，(如直线起点、终 点坐标值，圆弧起点、圆心、圆弧终点坐标值、进给速度等)， 运用一定的算法计算，由数控系统实时地算出各个中间点的 坐标。即需要“插入补上”运动轨迹各个中间点的坐标，通 常将这个过程称为“插补”。
二维插补实验报告 总
二维插补原理及实现实验题目：二位插补（直线）原理及实现学院：自动化工程学院组员：于金波，尹冰指导教师：吴贺荣2013/9/20一．实验目的掌握逐点比较法、数字积分法、数据采样法等常见直线插补原理和实现方法；通过利用运动控制器的基本控制指令实现直线插补，掌握基本数控插补算法的软件实现原理。
二．实验设备1、XY 平台设备一套2、PCI-1220板卡一块3、PC 机一台4、配套笔架5、绘图纸张若干6、VB 软件开发平台三．实验原理直线插补的计算原理。
数控系统加工的零件轮廓或运动轨迹一般由直线、圆弧组成，对于一些非圆曲线轮廓则用直线或圆弧去逼近。
插补计算就是数控系统根据输入的基本数据，通过计算，将工件的轮廓或运动轨迹描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给指令。
数控系统常用的插补计算方法有：逐点比较法，数字积分法，时间分割法，样条插补法等。
1、 逐点比较法直线插补逐点比较法是使用阶梯折线来逼近被插补直线或圆弧轮廓的方法，一般是按偏差判别、进给控制、偏差计算和终点判别四个节拍来实现一次插补过程。
以第一象限为例，取直线起点为坐标原点，如右图所示，m 为动点，有下面关系：取 作为偏差判别式：若 F m =0，表明m 点在OA 直线上；若 F m >0，表明m 点在OA 直线上方的m ′处； 若 F m <0，表明m 点在OA 直线下方的m ″处。
从坐标原点出发，当F m ≧0时，沿＋X 方向走一步，当F m <0，沿＋Y 方向走一步，当两方向所走的步数与终点坐标（X e ,Y e ）相等时，停止插补。
当F m ≧0时，沿＋X 方向走一步，则X m+1=X m ＋1, Y m+1=Y m 新的偏差为：F m+1=Y m+1X e - X m+1Y e =Y m X e -(X m ＋1)Y eF m+1=F m -Y e当F m <0时，沿＋Y 方向走一步，则X m+1=X m , Y m+1=Y m ＋1 新的偏差为：F m+1 =Y m+1X e - X m+1Y e =(Y m ＋1)X e -X m Y eF m+1=F m ＋X e其它三个象限的计算方法，可以用相同的原理获得，下表为四个象限插补时，其偏差计算公式和进给脉冲方向，计算时，X e ,Y e 均为绝对值。
平面上散乱数据点的二次曲线拟合
11 期
刘海香等 : 平面上散乱数据点的二次曲线拟合
1595
得到一个 4 次方程1 从数学意义上四次方程的解是 存在的 ,但需要利用解非线性方程的方法 ,如对分区 间法 、 简单迭代法 、 牛顿法和弦截法等去求解1 其中 牛顿法由于收敛速度快 、 稳定性好 、 精度高等优点最 为常用 ,但计算过程中如果给定的初值不好 ,牛顿法 可能发散 ,并且牛顿法计算量较大 ,一定程度上制约 了该方法的推广1 在基于代数距离的拟合方法中 , Bookstein [ 2 ] 以矩阵形式给出了一般的二次约束条 件 ,将约束条件代入一个可变矩阵 C , 利用矩阵理 论得解 ; Sampson [ 3 ] 在 Bookstein [ 2 ] 的研究基础上 ,利 用迭代算法 ,选取的目标函数可在几何距离上得到 更好的逼近效果 ; Gander 等 [ 4 ] 和 Rosin [ 5 ] 增加线性 约束条件 , Fitzgibbon 等 [ 6 ] 在 Bookstein [ 2 ] 的研究基 础上 ,将椭圆约束条件带入矩阵 C , 利用特征值理 论求解 ,文献 [ 426 ] 提供了专门面向椭圆类的拟合方 法 ;Rosin [ 5 ] 增加线性约束条件 ; Taubin[ 7 ] 增加二次 约束条件 ,最终会将二次曲线拟合问题转变成条件 极值问题 ,并且得到的是非线性方程1 本文给出了一种新的二次曲线拟合方法1 方法 基于代数距离 ,对在 6 种不同约束条件下所求得的
1596
计算机辅助设计与图形学学报
2004 年
( 4) 给出一般的二次约束条件v1 , v2 , …, v n ] ,
2 vi = [ x 2 1 ]T , i x i y i y i x i y i T T
p = [ A B C D E F] , C 是表明约束条件的矩阵1 由二次曲线理论 I1 = A + C , I2 = A B/ 2 B/ 2 C
二次插补
二次插补二次插补算法及其目的和应用插补：数控车床的运动控制中，工作台（刀具）X、Y、Z轴的最小移动单位是一个脉冲当量。
因此，刀具的运动轨迹是具有极小台阶所组成的折线（数据点密化）。
例如，用数控车床加工直线OA、曲线OB，刀具是沿X轴移动一步或几步（一个或几个脉冲当量Dx），再沿Y轴方向移动一步或几步（一个或几个脉冲当量Dy），直至到达目标点。
从而合成所需的运动轨迹（直线或曲线）。
数控系统根据给定的直线、圆弧（曲线）函数，在理想的轨迹上的已知点之间，进行数据点密化，确定一些中间点的方法，称为插补。
二次插补法：二次插补算法是指插补分粗插补和精插补两部份，粗插补由软件实现，精插补由硬件完成。
该方法可应用于步进开环数控系统和脉冲式全数字交流伺服系统，大大提高了系统的性能指标，即实时性和可靠性。
这种算法主要应用于多轴联动、机械手、机器人等运动控制的设计。
插补运算的完成采用类似上、下位机的形式。
粗插补部分由上位计算机来完成，在每个插朴运算周期里输出的不是单个脉冲，而是一个直线段(位置增量坐标值)，粗插补采用完全离线进行；精插补部分由硬件智能运动控制器来实时完成，主要完成各控制轴的轨迹规划和精确定位运动。
这样，粗插补完全离线进行，而精插补采用实时控制，一方面系统的实时性较好，另一方面可把上位计算机解放出来去完成更重要的工作。
二次插补算法中的粗插补算法：我们知道，物体运行的轨迹不管是空间的还是平面的，最终都可以离散成两种最基本的单元：空间直线和空间圆弧，可用大量成熟的软件来完成这部分，从宏观轨迹离散成微观两种最基本单元的工作，如Unigraph、Pro／ENGINEER、Cimatron、Mastercam等等，在通常的控制系统中读入的轨迹代码就是这两种最基本的单元。
下面仅就这两种基本单元来设计它们的算法。
空间直线的粗插补算法:空间直线离散成微直线段，得到微直线段实际上是要得到在某个数值范围内的位置增量坐标值ΔX、ΔY、ΔZ。