高考数学总复习 2.8指数与指数函数课件 文 新人教版B版
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指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
当 x＞0 时， 11 _y_＞___1__；
性质
当 x＜0 时， 12 __0_＜___y_＜__1_
当 x＜0 时， 13 ___y_＞__1__； 当 x＞0 时， 14 __0_＜__y__＜__1_
在(－∞，＋∞)上是 15增___函___数__ 在(－∞，＋∞)上是 16 _减__函___数__
C. x> y
D.13y<3－x
解析 由 4x－4y<5－x－5－y，得 4x－5－x<4y－5－y，令 f(x)＝4x－5－x，则 f(x)<f(y)．因
为 g(x)＝4x，h(x)＝－5－x 在 R 上都是增函数，所以 f(x)在 R 上是增函数，所以 x<y，
故 A 正确；因为 G(x)＝x－3 在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当 x<y<0 时，
1.010.6>1.010.5>1，即 b>a>1.因为函数 φ(x)＝0.6x 是减函数，且 0.5>0，所以 0.60.5<0.60
＝1，即 c<1.综上，b>a>c.故选 D.
解法二：因为函数 f(x)＝1.01x 是增函数，且 0.6>0.5，所以 1.010.6>1.010.5，即 b>a.
【课堂小结】2分钟
（1）根式注意被开方数和开方结果的范围 （2）利用指数函数的性质比较大小或解方程、 不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可 以借助中间量． （3）注意底数a范围的讨论
当堂训练（11分钟）
(4，＋∞) 4．0.25-12－(－2×160)2×(2-32)3＋3 2×(4-13)－1＝____3____．
高考数学考点回归总复习《第九讲 指数与指数函数》课件 新人教版
38
(2)由函数解析式可知定义域为R, ∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5, 令t=2x,则t>0,f(t)=t2-2t-5,
故f(t)=(t-1)2-6.
又∵t>0,∴当t=1时,ymin=-6, 故函数f(x)的值域是[-6,+∞). 由于t=2x是增函数, ∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间 实际上是求f(t)的减区间.
x2
1 1 向左平移 2个单位 y x y 2 2 另一部分y 2 x 2 x 2 的图象. 由下列变换可得到 :
向左平移 2个单位 y 2 x y 2x 2 .
;
29
1 如图为函数y 2
0.9 1.8 0.48 1.44
1.5
所以y1 y3 y 2 , 选D.
答案:D
13
2x 3.函数y x x 0 的值域为( 2 1 1 . A. 2 B.(1, ) 1 C. ,1 2 1 D. , (1, ) 2
3.有理指数幂的运算性质 设a>0,b>0,则 aras=ar+s(r,s∈Q);
(ar)s=ars(r,s∈Q);
(ab)r=arbr(r∈Q). 4.指数函数的定义 形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数.
6
5.指数函数的图象与性质
y=ax 图象
a>1
0<a<1
定义域 (-∞,+∞)
质来运算.②结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既
有分母又含有负指数.
21
【典例1】化简下列各式 : (1)(0.027)
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第五节 指数与指数函数
引申探究2将本例(2)改为:若函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递减,则实数k的取
值范围为
.
答案 (-∞,0]
解析 因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0,即实数k的取值范
围为(-∞,0].
规律方法 指数函数的图象及其应用要点
(1)已知函数解析式判断其图象时,可通过图象经过的定点和特殊点来进行
2-2<2x<20,所以-2<x<0,则 N={x|-2<x<0},又
M={x|-1≤x≤1},所以 M∩N={x|-1≤x<0}.
(2)当 a<1 时,4 =2 ,解得
1-a
1
1
a= ;当
2
a>1 时,2
2a-1
a-1
=4 ,无解.故实数 a
1
的值为 .
2
规律方法 指数不等式的求解技巧
(1)将不等式的两边化为同底数的幂的形式,然后根据指数函数的单调性转
M∩N=
A.{x|-1≤x<0}
C.{x|-1≤x<1}
1
<2x<1
4
B.{x|-2<x≤1}
D.{x|-2<x<0}
4 , ≥ 0,
(2)已知实数 a≠1,函数 f(x)= -
若 f(1-a)=f(a-1),则实数 a 的值
2 , < 0,
为
.
(
,则
)
答案
解析
1
(1)A (2)
2
1
(1)因为4<2x<1,即
且 a<b,∴(1-a)a>(1-a)b,又函数 y=xb 为(0,+∞)上的增函数,且 1-a>1-b>0,
人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(指数函数的性质与图像)
5 -3
8
与 1;
.
分析:若两个数是同底指数幂,则直接利用指数函数的单调性比
较大小;若不同底,一般用中间值法.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
3
4
解:(1)∵0< <1,
3
∴y= 4 在定义域 R 内是减函数.
3 -1.8
3 -2.6
又∵-1.8>-2.6,∴
<
.
4
4
5
(2)∵0< <1,
1
(a>0,且
a≠1)的图像关于 y 轴对
称,分析指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像时,需找三个关键
点:(1,a),(0,1),
1
-1,
.
③指数函数的图像永远在 x 轴的上方.当 a>1 时,图像越接近于
y 轴,底数 a 越大;当 0<a<1 时,图像越接近于 y 轴,底数 a 越小.
解:因为y=(a2-3a+3)ax是指数函数,
所以
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
所以 a=2.
解得
= 1 或 = 2,
> 0,且 ≠ 1,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
当堂检测
反思感悟1.判断一个函数是指数函数的方法:
(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,a≠1,x∈R)这一结构形式.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
高考数学总复习指数与指数函数PPT课件
1．设 a＝40.8，b＝80.46，c＝12－1.2，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
解析：选 A ∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c
＝12－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2. 即 a＞b＞c.
1．若函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第二、三、 四象限，则 a、b 的取值范围分别是________．
解析：因为函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第 二、三、四象限，所以0b＜－a1＜＜1－，1， 即0b＜＜a0＜. 1，
答案：a∈(0,1) b∈(－∞，0)
解析：令 t＝ax(a＞0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①当 0＜a＜1 时， x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时 f(t)在a，1a上为增函数． 所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16， 即 a＝－15或 a＝13.
答案：(2,3)
考点一
指数幂的化简与求值
[例 1]
化简：(1)a14ba123b4a23－a13bb213(a＞0，b＞0)；
(2)－287－23＋(0.002)－12－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0.
[自主解答]
(1)
原
式
＝
a3b2a13b2312 ab2a－13b13
1．化简[(－2)6]12－(－1)0 的结果为(
)
A．－9
B．－10
C．9
D．7
解析：选 D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8
高考数学一轮复习：2.5指数与指数函数课件(文) (共39张PPT)
知识梳理
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a ②负分数指数幂：a
m n
n
＝________(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；
1
m
am
1
m － n
am a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)； ＝________ ＝________( a n
n
0 无意义． ③0 的正分数指数幂等于________ ，0 的负分数指数幂________
5 3 －1＝2－2－1＝0.
1 3 3 1 3 1 3 2 3 1 2 1 5
(2)原式＝
a －2b a×a ÷ × 1 1 1 1 1 1 a 3 2 3 3 3 2 2 3 a ＋a ×2b ＋2b a ×a a
1 3
1 3
[a －2b ]
1 3 3
＝a
易错剖析
n n 根式化简与指数运算的误区：混淆“ an”与“( a)n”；误用性质． 4 (1) a－b4＝____________________________；
7 (2)化简[(－2) ] －(－1)0 的结果为________ ．
1 6 2
a－ba≥b， |a－b |＝ b－aa<b
1 3
a 3 3 2 (a －2b )× 1 1 × 1 ＝a ×a×a ＝a . a 3 －2b 3 a 6
1 3
a
5 6
1
2
归纳小结
[点石成金] 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是 带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用 指数幂的运算性质来解答． 易错提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有 分母又含有负指数，形式力求统一．
(人教A版)高考数学复习：2.6《指数与指数函数》ppt课件
且 f(x)是偶函数，则 m＋μ＝______1__．
第22页，共36页。
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
解析：(1)由 f(x)＝ax－b 的图象可以观察出函数 f(x)＝ax－b 在 定义域上单调递减，所以 0<a<1．函数 f(x)＝ax－b 的图象是
在 f(x)＝ax 的基础上向左平移得到的，所以 b<0．
第5页，共36页。
栏目 导引
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
第二章 基本初等函数、导数及其应用
0<a<1
图象
定义域 值域
_____R_____ __(0_，__＋__∞__)_ 过定点___(0_，__1_) ___
性质
当x>0时，_y_>_1___;当 x<0时，0_<__y<_1__
当x>0时，____0_<_y<_1___; 当x<0时，_____y>__1___
(2)由于 f(x)是偶函数， 所以 f(－x)＝f(x)， 即 e－(－x－μ)2 ＝e－(－x－μ)2 ，
∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0，
∴f(x)＝e－x2．又 y＝ex 是 R 上的增函数，而－x2≤0， ∴f(x)的最大值为 e0＝1＝m，
∴m＋μ＝1．
第23页，共36页。
栏目 导引
③ 0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 ___0___ ， 0 的 负 分 数 指 数 幂 ___无__意__义___．
第4页，共36页。
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
(2)有理数指数幂的运算性质： ①aras＝___a_r＋_s_____ (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝___a_rs______ (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝__a_r_b_r _____ (a>0，b>0，r∈Q)．
第22页，共36页。
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
解析：(1)由 f(x)＝ax－b 的图象可以观察出函数 f(x)＝ax－b 在 定义域上单调递减，所以 0<a<1．函数 f(x)＝ax－b 的图象是
在 f(x)＝ax 的基础上向左平移得到的，所以 b<0．
第5页，共36页。
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3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
第二章 基本初等函数、导数及其应用
0<a<1
图象
定义域 值域
_____R_____ __(0_，__＋__∞__)_ 过定点___(0_，__1_) ___
性质
当x>0时，_y_>_1___;当 x<0时，0_<__y<_1__
当x>0时，____0_<_y<_1___; 当x<0时，_____y>__1___
(2)由于 f(x)是偶函数， 所以 f(－x)＝f(x)， 即 e－(－x－μ)2 ＝e－(－x－μ)2 ，
∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0，
∴f(x)＝e－x2．又 y＝ex 是 R 上的增函数，而－x2≤0， ∴f(x)的最大值为 e0＝1＝m，
∴m＋μ＝1．
第23页，共36页。
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③ 0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 ___0___ ， 0 的 负 分 数 指 数 幂 ___无__意__义___．
第4页，共36页。
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
(2)有理数指数幂的运算性质： ①aras＝___a_r＋_s_____ (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝___a_rs______ (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝__a_r_b_r _____ (a>0，b>0，r∈Q)．
新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件：第四章 指数函数、对数函数与幂函数(6课时)
（4）图象的应用——数形结合
例6
四 指数函数的单调性及其应用
（1）利用指数函数的单调性研究最值问题
例7
1. 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）＝min{2x，x+2，10-x}（x≥0）
，则f（x）的最大值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
2.
（2）利用指数函数的单调性比较大小
知识梳理 一、指数函数的概念
二、指数函数的性质与图像
指数函数y＝ax（a>0且a≠1）具有下列性质： （1）定义域是 实数集R . （2）值域是（0，+∞），因此，对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图 像一定在x轴的上方. （3）函数图像一定过点（0，1） . （4）当a>1时，y＝ax是 增 函数； 当0<a<1时，y＝ax是 减 函数.
1.
2.
五 指数幂等式及幂的方程问题
例5
1.
2.
解决有关幂的综合问题的方法与技巧 要观察、分析，并对所给条件进行适当的加工、处理、变形，以便运用公式 和幂的有关性质进行化简、求值，同时还要注意方程思想、整体代入思想、 化归与转化思想、换元法等数学思想方法的运用.
小结
1.根式.
记忆口诀 正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生. 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同. 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
学习目标
重点：分数指数幂的概念及指数幂的运算性质. 难点：1.根式的概念及根式的有关性质.
第3章+第5讲+指数与指数函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
5.函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠)的图象可能是( )
解析 函数 y＝ax－1a是由函数 y＝ax 的图象向下平移1a个单位长度得到 的，A 显然错误；当 a＞1 时，0＜1a＜1，平移距离小于 1，所以 B 错误；当 0＜a＜1 时，1a＞1，平移距离大于 1，所以 C 错误．故选 D.
1. 3
6
4 6 a9
3 a94＝________.
答案 a4
解析 原式＝[(a96)13]4[(a93)16]4＝a2·a2＝a4.
解析 答案
2．已知 3a＋2b＝1，则9a·33ab＝________.
答案 3
解析
因为
3a
＋
2b
＝
1
，
所
以
3 2
a
＋
b
＝
1 2
，
所
以
原
式
＝
＝ 3.
解析 答案
3．化简： 解
解析 答案
6 ． 若 曲 线 |y| ＝ 2x ＋ 1 与 直 线 y ＝ b 没 有 公 共 点 ， 则 b 的 取 值 范 围 是 ________.
答案 [－1,1] 解析 曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得，如果曲线|y| ＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
解析 答案
8．若0<a<b<1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x，y，z的大小关系为( )
A．x<z<y
B．y<x<z
C．y<z<x
D．z<y<x
解析 因为0<a<b<1，所以f(x)＝bx单调递减，故y＝ba>z＝bb；又幂函 数g(x)＝xb单调递增，故x＝ab<z＝bb，则x，y，z的大小关系为x<z<y.
文科数学高考第一轮复习 指数与指数函数(课堂PPT)
11
例 1、 化简求值：
(1)2350＋2－2·214－ －(0.01)0.5；
16 15
1 a
(3)(0.027) －17－2＋279 －( 2－1)0； -45
5 (4)6a
·b－2·(－3a－
b－1)÷(4a ·b－3)
.
5 ab 4ab2
【新坐标】
12
考点 2 指数函数的图象及应用 1、画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点: (1，a)，(0,1)，(－1，1a)， 2、熟记指数函数 y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x 在同一坐标系中 图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系． 3、对于图像问题的选择题，可以考虑特殊值法； 4、对于指数型复合函数的图像问题，一般从最基本的指数函数的 图像入手，通过平移、伸缩、对称变化而得到； 5、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函 数图像数形结合求解. 6、需特别注底数 a>1 与 0<a<1 两种不同情况;
y
要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，
则有c<0且a>0.
o
x
16
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
下列关系式中一定成立的是( D )
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
【解析】画出 f(x)＝|3x－1|的图象
关于y轴对称
8
问题2：如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底 数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
例 1、 化简求值：
(1)2350＋2－2·214－ －(0.01)0.5；
16 15
1 a
(3)(0.027) －17－2＋279 －( 2－1)0； -45
5 (4)6a
·b－2·(－3a－
b－1)÷(4a ·b－3)
.
5 ab 4ab2
【新坐标】
12
考点 2 指数函数的图象及应用 1、画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点: (1，a)，(0,1)，(－1，1a)， 2、熟记指数函数 y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x 在同一坐标系中 图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系． 3、对于图像问题的选择题，可以考虑特殊值法； 4、对于指数型复合函数的图像问题，一般从最基本的指数函数的 图像入手，通过平移、伸缩、对称变化而得到； 5、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函 数图像数形结合求解. 6、需特别注底数 a>1 与 0<a<1 两种不同情况;
y
要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，
则有c<0且a>0.
o
x
16
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
下列关系式中一定成立的是( D )
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
【解析】画出 f(x)＝|3x－1|的图象
关于y轴对称
8
问题2：如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底 数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
第04讲 指数与指数函数(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
(1)一般地，如果xn＝a，那么 x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
n
(2)式子 a叫做 根式 ，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
n
(3)( a)n＝ a .
2、根式的性质：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数．
【答案】10
【解析】由题可知，1 , 2 也是 = 2 , = log 2 与 = − + 10图象交点的横坐标，
在同一坐标系中，作图如下：
数形结合可知，1 , 2 为, 两点对应的横坐标；
根据指数函数和对数函数的性质可知， = 2 , = log 2 关于 = 对称；
A．−1
B．−2
C．−4
D．−9
【答案】C
【解析】因为函数 = () =
1
( )
2
+
1 0
图象过原点，所以( )
2
+ = 0，
得 + = 0，又该函数图象无限接近直线 = 2，且不与该直线相交，
所以 = 2，则 = −2，所以 = −4．故选：C
【方法技巧】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、
【解析】（1）原式=
49
9
1
2
2
+ 10 +
+ 2
1
1
2 + 2
2 + 2
64
27
2
3
10
27
2
3
− 100π0 ；
的值．
7
指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
√B.0<a<1,0<b≤1
D.a>1,0<b≤1
若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示， 要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上 平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或 －1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确； 若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax －b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b >0，解得b<0，即C正确，D错误.
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为
√A.a＝b √C.a<b<0
√B.0<b<a
D.0<a<b
由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数 y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A 正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确； 当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误.
因为 f(－x)＝ee－－xx－＋11＝ee11xx－＋11＝11－＋eexx＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，故C正确；
因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， 所以函数 y＝ex＋2 1是减函数，所以函数 y＝－ex＋2 1是增函数， 故 f(x)＝eexx－＋11＝1－ex＋2 1是增函数，故 D 不正确.
自主诊断
4.(2023·福州质检)3
高考数学 2-6指数与指数函数课件 理 新人教B版
解析：讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值． 1 若 a>1，有 a ＝4，a ＝m，此时 a＝2，m＝ ，此时 g(x)＝－ x为 2
2
－1
1 1 减函数，不合题意．若 0<a<1，有 a－1＝4，a2＝m，故 a＝ ，m＝ ，检 4 16 验知符合题意．
1 答案： 4
1 －1， . a
2．分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转 化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 3．y＝ax，y＝|ax|，y＝a|x|(a>0 且 a≠1)三者之间的关系： y＝ax 与 y＝|ax|是同一函数的不同表现形式．
函数 y＝a|x|与 y＝ax 不同， 前者是一个偶函数， 其图象关于 y 轴对称， 当 x≥0 时两函数图象相同．
考向三 与指数函数有关的综合问题 [例 3] 已知函数 f(x)＝b· ax(其中 a，b 为常量，且 a＞0，a≠1)的图 象经过点 A(1,6)，B(3,24)． (1)求 f(x)；
1 x 1x (2)若不等式 ＋ －m≥0 在 x∈(－∞，1]时恒成立，求实数 m a b
1 1 1 1 a－ b · a－ b 3 2 2 3 [解析] (1)原式＝ 1 5 a b 6 6 1 1 1 1 1 5 1 ＝a－ － － · b ＋ － ＝ . 3 2 6 2 3 6 a
5 1 －3 2 －3 1 (2)原式＝－ a－ b ÷ (4a · b ) 2 6 3 2 5 1 －3 1 3 5 1 3 ＝－ a－ · b ÷ (a b－ )＝－ a－ · b－ 4 6 3 2 4 2 2 5 1 5 ab ＝－ · 3＝－ . 4 ab 4ab2
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③0 的正分数次幂为 0,0 的负分数次幂没有意义． ④a0＝1(a≠0)．
• • • • •
4．指数幂的运算性质有： ①am·an＝am＋n(a＞0，m，n∈Q)． ②am÷an＝am－n(a＞0，m，n∈Q)． ③(am)n＝amn(a＞0，m，n∈Q)． ④(ab)m＝am·bm(a＞0，b＞0，m∈Q)．
• • • • • • • •
一、指数幂的运算 1．n次方根的定义： 若xn＝a(n∈N*且n＞1)，则x叫a的n次方根． 当n为奇数时，a的n次方根是 . 当n为偶数时 若a＞0，则a的n次方根是± . 若a＝0，则a的n次方根是0. 若a＜0，则a的n次方根不存在(在实数集内)．
2．方根的性质： ①当 n 为奇数时 an＝a. n n ②当 n 为偶数时 a ＝|a|. 3．分数指数幂的意义： n
• • • •
3．比较两个幂的大小： ①当底数相同时，直接利用单调性比较大小． ②当指数相同时，可借用图象法比较大小． ③当底数、指数均不相同时，常用中间量来比较大小(即介值 法)，中间量的选取方法是取一个幂的底数和另一个幂的指数构 成的幂．
• 4．指数方程的可能类型： • ①形如：af(x)＝ag(x)(a＞0且a≠1)的方程⇔f(x)＝g(x)． • ②形如：af(x)＝bg(x)(a，b＞0且a≠1，b≠1)的方程⇔f(x)lga＝ g(x)·lgb. • ③形如：a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用换元法令ax＝t⇔t2＋bt＋c ＝0.
• 1．指数函数的定义： • 一般地，形如y＝ax(a＞0且a≠1)的函数叫指数函数．
• 2．指数函数的图象和性质： a＞1时 0＜a＜1时
图象
定义域：R 值域：(0，＋∞) 性质 当x＝0时y＝1，即：图象过点(0,1) 在R上是增函数 在R上是减函数
• 1.分数指数幂： • ①分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种表示形 式，因此在运算或化简时要注意将分数指数幂与根式进行互 化． • ②分数指数幂不能随意约分，如： • (－2) ≠(－2) .
• 5．(2008年江苏徐州二模)已知函数y＝4x－3×2x＋3，当其值域 为[1,7]时，x的取值范围是 • ( ) • A．[2,4] B．(－∞，0] • C．(0,1]∪[2,4] x－3×2x＋3≤7，
x x x x 4 － 3 × 2 ＋ 2 ≥ 0 2 ≤ 1 或 2 ≥2 ∴ x ⇒ x x 4 － 3 × 2 － 4 ≤ 0 － 1 ≤ 2 ≤4 x≤0或x≥1 ⇒ ⇒x≤0 或 1≤x≤2. x≤2
• 最新考纲解读 • 一、内容解读 • 1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数 幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和 性质． • 2．能够运用指数函数的性质解决某些简单的 实际问题． • 二、能力解读 • 1．能熟练运用指数函数的图象和性质解决实 际问题． • 2．能正确解决与指数函数有关的综合问题．
∵ 6a ＝ 6 a≠2a ， －2 ＝－ 6 6 4 4 4 2 2 (－2) ≠ (－2) ， － 3 2 ＝ － 3 ×2 4 ≠ (－3)4×2，故三式均不对．∴选 A.
[答案] A
[ 解析 ]
3
3
3
3
• 2．(2009年福建厦门一模)设a＝π0.3，b＝logπ3，c＝30，则a，b， c的大小关系是 • ( ) • A．a＞b＞c B．b＞c＞a • C．b＞a＞c D．a＞c＞b • [解析] ∵a＝π0.3＞π0＝1，b＝logπ3＜logππ＝1，c＝30＝1，∴a ＞c＞b，∴选D. • [答案] D
• 3．(2008年广东东莞模拟)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数， 则有 • ( ) • A．a＝1或2 B．a＝1 • C．a＝2 D．a＞0且a≠1 • [解析] ⇒ ⇒a＝2，∴选C. • [答案] C
• 4．(2009年江西重点中学一模)若函数y＝ax＋b－1(a＞0 且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有 • ( ) • A．0＜a＜1且b＞0 B．a＞1且b＞0 • C．0＜a＜1且b＜0 D．a＞1且b＜0 • [解析] ∵y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限， • ∴0＜a＜1，且当x＝0时y＜0， • 即：1＋b－1＜0，∴b＜0.∴选C. • [答案] C
• • • • • •
2．指数函数的图象和性质的几个注意点： ①当a＞1时，若x＞0，则y＞1. 若x＜0，则0＜y＜1. ②当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1. 若x＜0，则y＞1. ③在同一坐标系中在第一象限内观图象，从下向上其底数是从 小到大变化的． • ④y＝ax与y＝( )x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．
[答案] D
• 二、填空题 • 6．(2009年江苏10)已知a＝ ，函数f(x)＝ax，若实数m，n 满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________． • [解析] ∵1＜ ＜3，∴0＜ ＜ 1， • ∴f(x)＝ax在R上递减， • 由f(m)＞f(n)得m＜n. • [答案] m＜n
• 高考考查命题趋势 • 1．这部分内容在高考中处于次重要地位，高考中往往以基础 知识为主，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不 等式等内容结合起来编制综合题． • 2．在2009年高考中，指数函数的求值、指数函数图象的平移、 指数不等式都有考查，其中2009四川，21是考查指数函数的一 道综合题，难度较大，高考复习时应引起注意．
• • • • • • •
5．简单的指数不等式： ①形如：af(x)＞ag(x)的不等式． 若a＞1时⇔f(x)＞g(x)． 若0＜a＜1时⇔f(x)＜g(x)． ②形如：af(x)＞b(b＞0)， 若a＞1时⇔f(x)＞logab 若0＜a＜1时⇔f(x)＜logab.
一、选择题 1．(2008 年山东滨州一模) 下列等式 6a3 3 6 4 4 2 ＝2a； －2 ＝ (－2) ； －3 2＝ (－3)2×2中 一定成立的有 ( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3