信号与系统
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e jωt=cos ωt+jsin ωt; sin ωt=(e jωt-e-jωt)/2j;
e-jωt=cos ωt-jsin ωt; cos ωt=(e jωt+e-jωt)/j
e(Ϭ+jωt)=eϬt cos ωt+jeϬt sin ωt; 指数信号f(t)=Ae st;
衰减正弦信号f(t)=Ke-at sin ωt;
单边衰减指数信号f(t)=e-t/τ (t>=0) t=0,f(t)=1;t=τ,f(t)=0.368
矩形脉冲Gτ(t)=1,|t|<τ/2;0,|t|>τ/2; 三角脉冲f(t)=1-2|t|/τ, |t|=<τ/2;0,|t|>τ/2
抽样Sa(t)=sin t/t; Sinc(t)=sin(πt)/πt; 钟形f(t)=Ee-(τ/2)2;f(τ/2)=0.78E;f(τ)=0.368E
性质 1. Sa(t)= Sa(-t); 2. t=0, Sa(t)=1→错误！未找到引用源。;
3.t=±nπ,Sa(t)=0,n=1,2,3...;
4.错误！未找到引用源。
5.错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。; 单位斜变信号f(t)=0,t<0;t,t>0; 截平信号f(t)=kt/τ,t<τ;k,t>=τ
单位阶跃信号u(t)=0,t<0;1,t>1,t>0; 矩形脉冲信号R T(t)=u(t)-u(t-T)
单位冲激信号错误！未找到引用源。 1.δ(t)= δ(-t); 2. δ(at)= δ(t)/|a|;
3.错误！未找到引用源。;
4.f(t)δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0);
5.错误！未找到引用源。=u(t)↔错误！未找到引用源。u(t)=δ(t)
偶分量fe(t)=1/2[f(t)+f(-t)]; 奇分量fo(t)=1/2[f(t)-f(-t)]
激励函数对应的特解E(常数)----B; t p----b1t p+b2t p-1+...+b p t+b p+1;
e at----be at; cos ωt, sin ωt----b1cos ωt+b2sin ωt
微分方程完全解y(t)=y h(t)齐次解+y p(t)特解=错误！未找到引用源。+y p(t)
零输入响应yzi(t)=错误！未找到引用源。; 零状态响应y zs(t)=y zsh(t)齐次解+y zsp(t)特解
冲激响应h(t)=错误！未找到引用源。; 阶跃响应g(t)=(错误！未找到引用源。+B)u(t)
卷积积分f(t)=f1(t)*f2(t)=f1(τ)f2(t-τ)dτ; 性质1.交换律;结合律;分配率;
2. f(t)*δ(t-t0)=f(t-t0);
3.f(t)*δ'(t)=f'(t);
4.δ(t-t0)*δ(t-t1)=δ(t-t0-t1);
5.若f(t)=f1(t)*f2(t),则f'(t)=f1(t)*f2'(t)=f1'(t)*f2(t); 7.f(t)*u(t)=错误！未找到引用源。(τ)dτ;
6.若f(t)=f1(t)*f2(t),则错误！未找到引用源。(λ)dλ=f1(t)*错误！未找到引用源。2(λ)dλ=f2(t)*错误！未找到引用源。1
(λ)dλ
卷积积分求零状态响应yzs(t)=错误！未找到引用源。(τ)h(t-τ)dτ=x(t)*h(t)
作业：判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果性
(1)y(t)=cos[x(t)]u(t);(2)y(t)=1/3x(t)+x(t+2)
解:(1)因为y(t)=T[x(t)]=cos[x(t)]u(t), 所以y1(t)=T[x1(t)]=cos[x1(t)]u(t),
y2(t)=T[x2(t)]=cos[x2(t)]u(t), T[ax1(t)+bx2(t)]=cos[ax1(t)+bx2(t)]u(t)
ay1(t)+b2(t)={cos[ax1(t)]+cos[bx2(t)]}u(t), ay1(t)+b2(t)≠T[ax1(t)]+ bx2(t)]
即系统非线性。T[x(t-τ)]=cos[x(t-τ)]u(t), y(t-τ]= cos[x(t-τ)]u(t-τ)
所以y(t-τ) ≠T[x(t-τ)]，即系统为时变系统。
由于任意τ时刻的输出只与τ时刻的输入有关，而与τ时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。所以，该系统是非线性、时变、因果系统。
(6)因为y(t)=T[x(t)]=1/3x(t)+x(t+2), 所以y1(t)=T[x1(t)]=1/3x1(t)+x1(t+2),
y2(t)=T[x2(t)]=1/3x2(t)+x2(t+2)
T[ax1(t)+bx2(t)]=1/3ax1(t)+ ax1(t+2)+1/3bx2(t)+ bx2(t+2)
ay1(t)+by2(t)=a[1/3x1(t)+ x1(t+2)]+b [1/3x2(t)+ x2(t+2)]
所以ay1(t)+by2(t)= T[ax1(t)+bx2(t)]，即系统线性
T[x(t-t0)]=1/3x(t-t0)x(t+2-t0), y(t-t0)= 1/3x(t-t0)x(t+2-t0), 所以y(t-t0)= T[x(t-t0)] 即系统为时不变系统.系统在τ的输出与τ时刻和τ+2时刻的输入有关，所以系统为非因果系统。所以，该系统是线性、时不变、非因果系统。
作业：2.4已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下,
)(3
)(
)(4
)(
4
)(
2
t x
t x
dt
d
t y
t y
dt
d
t y
dt
d
+
=
+
+
，1
)
0(=
-
y，2
)
0(=
-
y，)(
)(t
u
e
t
x t-
=,
试求其完全响应。解：（1）求齐次解()t
y
h
特征方程为：0
4
4
2=
+
+α
α
特征根为：2
2
1
=
=α
α，所以，()()t
h
e
t
C
C
t
y2
2
1
-
+
=
（2）求特解()t
y
p
()()
()t
p
t
p
e
t
y
A
t
Ae
t
y
-
-
=
∴
=
>
=
2
2
：
特解为
：
代入原方程得
：
设特解为
（3）全响应()()()()t
t
p
h
e
e
t
C
C
t
y
t
y
t y-
-+
+
=
+
=2
2
2
1
将()()
t
f t e u t
-
=代入系统方程得()t
t
u
e
t
y
t
y
dt
d
t
y
dt
d
tδ
+
=
+
+-)
(
2
)
(
4
)
(
4
)
(
2
()()()()()()()
()()()
()(),1
3
,1
1
,)1(
,
:
=
=
∴
=
'
+
'
=
'
∴
=
∆
=
∆
=
'
∆
+
=
''
-
+
+
-
+
y
y
y
y
y
a
t
u
at
t y
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u
a
t
y
t
u
b
t
a
t
y
得
将其代入式
则
设δ
将初始条件代入()()()()t
t
p
h
e
e
t
C
C
t
y
t
y
t y-
-+
+
=
+
=2
2
2
1
得：3
,1
2
1
=
-
=C
C。所以全响应为：
()()()()0
,
2
3
12>
+
+
-
=
+
=-
-t
e
e
t
t
y
t
y
t y t
t
p
h
2.12求卷积)]
1
(
)(
)[
1(
)(
1
-
-
+
=t
u
t
u
t
t
f和)2
(
)1
(
)(
2
-
-
-
=t
u
t
u
t
f
()()()()()
[]()()
[]
()()()
[]}
{()()
[]
()()()()
[]
()()()()
[]
()()()()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
<
+
+
-
<
<
-
<
=
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
+
-
+
+
-
+
-
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
-
-
-
*⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
-
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
+
-
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=
-
-
-
*⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+
+
=
-
-
-
*
-
-
+
=
-
-
-
*
-
-
+
=
*
⎰
⎰
⎰∞-
3
3
2
2
3
2
2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
3
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
t
t
t
t
t
t
t
t
u
t
t
u
t
t
t
u
t
t
t
t
u
t
t
t
u
t
t
t
t
d
d
t
t
d
u
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
t
f
t
f
t
t
t
δ
δ
δ
δ
τ
τ
τ
τ
δ
δ
τ
τ
τ
τ
2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中)1
(
)(
1
-
=t
t
hδ，
)3
(
)(
)(
2
-
-
=t
u
t
u
t
h，)1
(
)(
)(-
-
=t
u
t
u
t
x,试求该系统的冲激响应)(t h。
解：利用系统串联与系统并联的冲激响应求解
()()()()
[]()()()()
[]()()
[]
()()
[]()()
[]()()
[]3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
-
-
-
+
-
-
-
+
-
-
=
-
-
*
-
*
-
+
-
+
=
+
*
+
+
=
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
t
t
t
h
t
h
t
h
t
h
t hδ
δ
δ