[高考数学理科]2021年人大附中二轮专题复习 (10)(精选编写)

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人大附中2021届高三数学试卷及答案

人大附中2021届高三数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（）A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）A. (2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（） A. 每场比赛的第一名得分a 为4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为．13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+=14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是．15.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论：① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有．三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）已知2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．人大附中2021届高三数学试卷答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ D ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ A ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ D ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ C ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ C ） A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ D ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ B ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（C ）A. 每场比赛的第一名得分a 为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为．-112．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为．（答案：21-5）13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+= 63 1.n-；14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形；②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P .则椭圆的离心率的取值范围是___________.1(,2-1)315.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．②④三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=- x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x . …………………………………………2分由 ππππk x k 223222+≤≤+, 得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈), 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）. ……………………4分（II ）11()sin 0,sin 222A fA A =-=∴= 由题意A 是锐角，所以 cos 2A =, …………………………………………6分由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= 2212b c bc=+≥可得32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立. (9)分2sin 4bc A +∴≤,ABC ∆∴面积最大值为432+.………………………11分 17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 1分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 2分当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以(h 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增.………… 4分所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 5分（Ⅰ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 6分对函数()g x 求导，得223()exx x g x -++'=. ……………… 7分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 8分当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以g 在(2,1)--，上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 10分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-，所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点.…… 12分 18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.18.解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,2P ，(Q ，所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………4分（Ⅰ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221,22t y y y y t t --+==++.……5分又12AB y =-===………………………7分以FP为直径的圆的圆心坐标为(1,4，半径为4r =，故圆心到直线l的距离为d ==所以EF ===分所以AB EF ⋅=== 因为211≥t +，所以221(1)21≥t t +++，即221114(1)21≤t t ++++．所以1≤AB FE ⋅=．…………………………………11分当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=，所以AB FE ⋅的最大值为1．………………………………12分四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．（Ⅰ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………….2分因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．…….……………………….4分（Ⅱ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），所以0n y y ≥． (6)分由（I ）知当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（I ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥⎪⎝⎭， ………………………………….8分故()()()()()022********s e e e e e in cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤-=--≤<．所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．…………………………………………….10分。

[高考数学理科]2021年人大附中二轮专题复习 (1)(精选编写)

第一类　三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名三角函数类解答题是高考的热点，其起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.【例1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sinB ＝.35(1)求b 和sin A 的值；(2)求sin 的值.(2A ＋π4)解　(1)在△ABC 中，因为a >b ，所以A >B ，因此0<B <，π2故由sin B ＝，可得cos B ＝.3545由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝.13由正弦定理＝，得sin A ＝＝.(变式)a sin A b sin B a sin B b 31313所以，b 的值为，sin A 的值为.1331313(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝，21313所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝，1213cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－.(变名)513故sin ＝sin 2A cos ＋cos 2A sin ＝.(变角)(2A ＋π4)π4π47226探究提高1.(1)变式：利用正弦定理变为sin A ＝.a sin B b (2)变名：利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.(3)变角：把2A ＋的三角函数表示为2A 和的三角函数.π4π42.此类问题的求解策略：要注重三角知识的应用性，突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀.在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算.【训练1】 (2018·郑州质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝2C ，2b ＝3c .(1)求cos C ；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积.解　(1)由已知及正弦定理得，2sin B ＝3sin C .∵B ＝2C ，∴2sin 2C ＝3sin C ，∴4sin C cos C ＝3sin C ，∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0，∴cos C ＝.34(2)∵c ＝4，2b ＝3c ，∴b ＝6.∵C ∈(0，π)，∴sin C ＝＝，1－cos 2C 74sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝，378cos B ＝cos 2C ＝cos 2C －sin 2C ＝，18sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝×＋×＝.3783418745716∴S △ABC ＝bc sin A ＝×6×4×＝.121257161574。

2021新高考数学二轮总复习学案：2.4.1 函数的单调性、极值点、极值、最值含解析

2.4压轴题大题1导数在函数中的应用2.4.1函数的单调性、极值点、极值、最值必备知识精要梳理1.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在(a,b)内可导,(1)若f'(x)>0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增;(2)若f'(x)<0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减.2.函数的导数与单调性的等价关系函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.3.函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.(3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.4.两个常用结论(1)ln x≤x-1;(2)e x≥x+1.5.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))⇔f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.关键能力学案突破热点一求单调区间或讨论单调性(多维探究)类型一求不含参数的函数的单调区间【例1】已知函数h(x)=ln x-ax(a∈R).设f(x)=h(x)++(a+1)x,求函数f(x)的单调区间.解题心得求f(x)的单调区间,需知f'(x)的正负,若f'(x)不含参数,但又不好判断正负,将f'(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g'(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f'(x)的正负.【对点训练1】设f(x)=ln x,g(x)=x|x|.令F(x)=xf(x)-g(x),求F(x)的单调区间.类型二讨论含参数的函数的单调性【例2】设a>0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:分类讨论点1:求导后,考虑f'(x)=0是否有实根,从而引起分类讨论;分类讨论点2:求导后,f'(x)=0=有实根,但不清楚f'(x)=0的实根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;分类讨论点3:求导后,f'(x)=0=有实根,f'(x)=0的实根也落在定义域内,但不清楚这些实根的大小关系,从而引起分类讨论.【对点训练2】(2020全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=的单调性.热点讨论函数极值二点的个数【例3】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间→极值→最值→恒成立问题的步骤:1.求函数定义域;2.求导→通分或因式分解或二次求导(目的:把导函数“弄熟悉”);3.对参数分类,分类的层次:(1)按导函数的类型分大类;(2)按导函数是否有零点分小类;(3)在小类中再按导函数零点的大小分小类;(4)在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.【对点训练3】设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.(1)当b>时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)当b≠0时,求函数f(x)的极值点.热点三求函数的极值、最值【例4】已知函数f(x)=ln x-kx+k(k∈R),求f(x)在[1,2]上的最小值.解题心得求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值.若有唯一的极值点,则其为最值点.【对点训练4】(2020北京,19)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.热点四在恒成立中求参数的极值、最值【例5】设a>0,若ln≥a|x|对x∈(-1,1)恒成立,求a的最大值.解题心得洛比达法则:如果当x→x0(x0也可以是±∞)时,两个函数f(x)和g(x)都趋向于零或都趋向于无穷大,那么极限可能存在,也可能不存在.我们称这类极限为型或型不定式极限.对于这类极限,一般要用洛比达法则来求.定理1:若函数f(x)和g(x)满足条件:(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g'(x)≠0.(2)f(x)=g(x)=0.(3)=a,则有=a.定理2:若函数f(x)和g(x)满足条件:(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g'(x)≠0.(2)f(x)=g(x)=∞.(3)=a,则有=a.在定理1和定理2中,将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛比达法则.【对点训练5】(2020广东茂名一模,理20)设函数f(x)=e x-mx+n,曲线y=f(x)在点(ln 2,f(ln 2))处的切线方程为x-y-2ln 2=0.(1)求m,n的值;(2)当x>0时,若k为整数,且x+1>(k-x)[f(x)+x+1],求k的最大值.2.4压轴题大题1导数在函数中的应用2.4.1函数的单调性、极值点、极值、最值关键能力·学案突破【例1】解f(x)=h(x)++(a+1)x=ln x++x,定义域为(0,+∞),f'(x)=(x>0).令F(x)=1-ln x+x+x2(x>0),则F'(x)=(x>0).令F'(x)<0(x>0),得0<x<;令F'(x)>0(x>0),得x>所以函数F(x)=1-ln x+x+x2(x>0)在区间0,上单调递减,在区间,+∞上单调递增.所以F(x)min=F=1-ln+2=+ln2>0.所以F(x)=1-ln x+x+x2>0对任意(0,+∞)恒成立,所以f(x)=ln x++x的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.对点训练1解F(x)的定义域为(0,+∞),∴F(x)=x ln x-x2,则F'(x)=ln x+1-x,令G(x)=F'(x)=ln x+1-x,则G'(x)=-1,由G'(x)=-1>0得0<x<1,由G'(x)=-1<0得x>1,则G(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,即F'(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴F'(x)≤F'(1)=0,∴F(x)在定义域(0,+∞)上单调递减.【例2】解f(x)的定义域是(0,+∞).f'(x)=+2a(1-a)x-2(1-a)=令g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,为确定函数g(x)的函数类型对a进行分类讨论.(1)当a=1时,g(x)是常数函数,此时g(x)=1>0,f'(x)=>0,于是f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)当a≠1时,g(x)是二次函数,首先讨论f'(x)=0是否有实根,方程g(x)=0对应的Δ=4(a-1)(3a-1).①当Δ<0,即<a<1时,g(x)=0无实根,g(x)的图象在x轴上方,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当Δ=0,即a=时,g(x)=0有两个相等的实根x1=x2=,于是f'(x)≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.③当Δ>0,即0<a<或a>1时,g(x)=0有两个不相等的实根分别为x1=,x2=因为x1+x2=,x1x2=,所以当0<a<时,有x1+x2>0且x1x2>0,所以x1>0,x2>0.由x1与x2的表达式知x1<x2,由f'(x)>0,可得0<x<x1或x>x2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增;由f'(x)<0,可得x1<x<x2,所以f(x)在(x1,x2)上单调递减.当a>1时,有x1+x2>0且x1x2<0,此时x2<0<x1,由f'(x)>0,可得0<x<x1,所以f(x)在(0,x1)上单调递增;由f'(x)<0可得x>x1,所以f(x)在(x1,+∞)上单调递减.综上所述,当0<a<时,f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减;当a≤1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>1时,f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,+∞)上单调递减.其中x1=,x2=对点训练2解设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2ln x-2x+1-c,其定义域为(0,+∞),h'(x)=-2.(1)当0<x<1时,h'(x)>0;当x>1时,h'(x)<0.所以h(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,+∞)单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1-c.故当且仅当-1-c≤0,即c≥-1时,f(x)≤2x+c.所以c的取值范围为[-1,+∞).(2)g(x)=,x∈(0,a)∪(a,+∞).g'(x)=取c=-1得h(x)=2ln x-2x+2,h(1)=0,则由(1)知,当x≠1时,h(x)<0,即1-x+ln x<0.故当x∈(0,a)∪(a,+∞)时,1-+ln<0,从而g'(x)<0.所以g(x)在区间(0,a),(a,+∞)单调递减.【例3】解定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+a(2x-1)=(2ax2+ax+1-a),>0,令g(x)=2ax2+ax+1-a(x>-1),当a=0时,g(x)=1,则f'(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上单调递增,即当a=0时,函数无极值点;当a>0时,由Δ=a(9a-8)≤0,得0<a,此时g(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)在(-1,+∞)上单调递增,即0<a,函数无极值点;当Δ>0时,得a>或a<0两个不同的范围,当a>时,设方程2ax2+ax+1-a=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),∵x1+x2=-,函数g(x)的图象如右:x1,x2的中点为-,∴x1<-,x2>-,由g(-1)=1>0,可得-1<x1<-,则当x∈(-1,x1)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,因此,当a>,函数有两个极值点;当a<0时,Δ>0,函数g(x)的图象如下:由g(-1)=1>0,可得x1<-1,则当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,因此,当a<0时,函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数有一个极值点;当0<a,函数无极值点;当a>,函数有两个极值点.对点训练3解(1)函数f(x)=x2+b ln(x+1)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=2x+令g(x)=2x2+2x+b,则Δ=4-8b.当b>时,Δ<0,所以g(x)在(-1,+∞)上恒大于0,所以f'(x)>0,于是当b>时,函数f(x)在定义域(-1,+∞)上单调递增.(2)首先考虑g(x)=0是否有实根.①当Δ<0,即b>时,由(1)知函数f(x)无极值点.②当Δ=0,即b=时,g(x)=0有两个相等的实根,g(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立,于是f'(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在(-1,+∞)上无极值点.③当Δ>0,即b<时,g(x)=0有两个不相等的根x1=,x2=,其中x1<x2.为确定两个根是否都在定义域(-1,+∞)内需要对参数b分类讨论.当b<0时,x1=<-1,x2=>-1,由f'(x)>0,可得x>x2,由f'(x)<0,可得-1<x<x2,所以f(x)在(-1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,所以当b<0时,f(x)在(-1,+∞)上有唯一极小值点x2=当0<b<时,x1=>-1,x2=>-1,由f'(x)>0,可得-1<x<x1或x>x2,由f'(x)<0,可得x1<x<x2,所以f(x)在(-1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,所以当0<b<时,f(x)在(-1,+∞)上有一个极大值点x1=和一个极小值点x2=综上所述,当b<0时,f(x)在(-1,+∞)上有唯一的极小值点x2=;当0<b<时,f(x)有一个极大值点x1=和一个极小值点x2=;当b时,f(x)无极值点.【例4】解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-k=①当k≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在[1,2]为增函数,所以[f(x)]min=f(1)=0.②当k>0时,由f'(x)>0,可得0<x<,由f'(x)<0,可得x>,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.于是f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=0或f(2)=ln2-k.(ⅰ)当0<ln2-k,即0<k<ln2时,[f(x)]min=f(1)=0.(ⅱ)当0≥ln2-k,即k≥ln2时,[f(x)]min=f(2)=ln2-k.综上所述,当k<ln2时,[f(x)]min=f(1)=0;当k≥ln2时,[f(x)]min=f(2)=ln2-k.对点训练4解(1)因为f(x)=12-x2,所以f'(x)=-2x,设切点为(x0,12-x0),则-2x0=-2,即x0=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)显然t≠0,因为y=f(x)在点(t,12-t2)处的切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),令x=0,得y=t2+12,令y=0,得x=,所以S(t)=(t2+12),不妨设t>0(t<0时,结果一样),则S(t)=,所以S'(t)=3t2+24-=,由S'(t)>0,得t>2,由S'(t)<0,得0<t<2,所以S(t)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以t=2时,S(t)取得极小值,也是最小值为S(2)==32.【例5】解令t=|x|∈[0,1),则ln a|x|对x∈(-1,1)恒成立等价于ln at对t∈[0,1)恒成立.方法一(分离参数法)当t=0时,不等式恒成立,当t>0时,有a对t∈(0,1)恒成立.令G(t)=,则G'(t)=,令H(t)=-ln,则H'(t)=>0,所以H(t)在(0,1)上单调递增,于是H(t)>H(0)=0,即G'(t)>0,所以G(t)在(0,1)上单调递增.由洛比达法则,可得G(t)==2,于是0<a≤2,所以a的最大值为2.方法二(最值法)构造函数F(t)=ln-at,则F'(t)=-a=①当2-a≥0,即a≤2时,F'(t)>0,所以函数F(t)在[0,1)上递增,所以F(t)≥F(0)=0.②当2-a<0,即a>2时,由F'(t)<0可得0≤t<,所以函数F(t)在上递减,所以F(t)≤F(0)=0,不合题意.综上所述,a的最大值为2.对点训练5解(1)由f'(x)=e x-m,由于x-y-2ln2=0的斜率为1,且过点(ln2,-ln2),得解得m=1,n=-2.(2)由(1)知f(x)=e x-x-2,由x+1>(k-x)[f(x)+x+1],得x+1>(k-x)(e x-1),故当x>0时,等价于k<+x(x>0),①令g(x)=+x,则g'(x)=+1=,令h(x)=e x-x-2,∵x>0,∴h'(x)=e x-1>0.∴函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)存在唯一的零点,故g'(x)在(0,+∞)存在唯一的零点,设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;所以g(x)在(0,+∞)的最小值为g(α),又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3),故①等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.。

[高考数学理科]2021年人大附中二轮专题复习 (3)(精选编写)

22
2
1 ”是“x3<1”的充分而不必要条件. 2
答案 A
[高考数学理科]2020 年人大附中二轮专题复习
6.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，
存在量词变为全称量词.
[回扣问题 6] 命题 p：x∈R，ex－x－1>0，则綈 p 是________.
解析 “”变为“”，并将结论否定，∴綈 p：x0∈R，ex0－x0－1≤0. 答案 x0∈R，ex0－x0－1≤0
7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.
[回扣问题 7] 若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1，1]内至少存在一个值
c，使得 f(c)>0，则实数 p 的取值范围为________.
{ ) 解析如果在[－1，1]内没有值满足
①当 B＝时，即方程 mx－1＝0 无解，此时 m＝0 符合已知条件；
11 ②当 B≠时，即方程 mx－1＝0 的解为 2 或 3，代入得 m＝或 .
23
{ }1 1
综上，满足条件的 m 组成的集合为 0，， . 23
{ }1 1
答案 0，， 23
3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助 Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，
溯源回扣一集合与常用逻辑用语
1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}—
—函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.
{ | )} { | )} x2 y2
xy
[回扣问题 1] (2018·日照模拟)已知集合 M＝ x ＋＝1 ，N＝ y ＋＝1 ，则 M∩N＝

[高考数学理科]2020年人大附中二轮专题复习 (1)

第一类三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名三角函数类解答题是高考的热点，其起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.【例1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ，所以A >B ，因此0<B <π2，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.(变式)所以，b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.(变名)故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.(变角) 探究提高1.(1)变式：利用正弦定理变为sin A ＝a sin B b .(2)变名：利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.(3)变角：把2A ＋π4的三角函数表示为2A 和π4的三角函数.2.此类问题的求解策略：要注重三角知识的应用性，突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀.在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算.【训练1】 (2018·郑州质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝2C ，2b ＝3c .(1)求cos C ；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积.解 (1)由已知及正弦定理得，2sin B ＝3sin C .∵B ＝2C ，∴2sin 2C ＝3sin C ，∴4sin C cos C ＝3sin C ，∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0，∴cos C ＝34.(2)∵c ＝4，2b ＝3c ，∴b ＝6.∵C ∈(0，π)，∴sin C ＝1－cos 2C ＝74，sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝378，cos B ＝cos 2C ＝cos 2C －sin 2C ＝18，sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝378×34＋18×74＝5716.∴S△ABC ＝12bc sin A＝12×6×4×5716＝1574.。

中国人民大学附中高考数学冲刺试卷10(理科)

A．{1}
B．{0，1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
详细信息
3.难度：中等
函数的零点所在区间（）
A．
B．
C．（1，2）
D．（2，3）
详细信息
4.难度：中等
若直线l的参数方程为，则直线l倾斜角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
详细信息
5.难度：中等
某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
详细信息
6.难度：中等
一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）
A．
B．
C．
D．
详细信息
8.难度：中等
在一个正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数λ的值有（）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题
详细信息
9.难度：中等
点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为．
详细信息
10.难度：中等
运行如图所示的程序框图，若输入n=4，则输出S的值为．
详细信息
11.难度：中等
若x（1-mx）4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，其中a2=-6，则实数m的值为； a1+a2+a3+a4+a5的值为．

2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二年级上册学期期末复习(二)数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期末复习（二）数学试题一、单选题1．设复数，是z 的共轭复数，则（）3i1i z +=-z z z ⋅=A ．-3B ．-1C ．3D ．5【答案】D【分析】先利用复数的除法化简，进而得到共轭复数，再利用复数的乘法运算求解.【详解】解：∵，()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z +++===++-+∴，．12i z =-()()2212i 12i 125z z ⋅=+-=+=故选：D ．2．已知向量，，且，则实数的值为（）．(),2,1a m =()1,0,4b =-a b ⊥m A ．4B ．C ．2D ．4-2-【答案】A【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.0a b ⋅=【详解】解：因为，，且，(),2,1a m =()1,0,4b =-a b ⊥ 所以，解得.40a b m ⋅=-+=4m =故选：A3．抛物线的准线方程是（）22y x =A ．B ．C ．D ．12x =12x =-18y =18y =-【答案】D【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.【详解】抛物线的方程可化为x 2y12=故128p =其准线方程为y 18=-故选：D4．已知双曲线C ：有相等的焦距，则22221x y a b -=2215x y +=C 的方程为（）A ．B ．2213x y -=2213y x -=C ．D ．22193x y -=22139x y -=【答案】B【分析】根据椭圆的焦距可得双曲线C ：的焦距，根据双曲线C ：2215x y +=22221x y a b -=2c求得，即可得出答案.22221x y a b -=ba =222c ab =+22,a b【详解】解：因为双曲线C ：22221x y a b -=所以，ba =b =椭圆的焦距为，2215x y +=4所以双曲线C ：的焦距，即，22221x y a b -=24c =2c =又因，解得，所以，2222234c a b a a =+=+=21a =23b =所以C 的方程为.2213y x -=故选：B.5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（）米．A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把B （x 0，﹣3）代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ，将A （2，﹣2）代入x 2＝my ，得m ＝﹣2∴x 2＝﹣2y ，B （x 0，﹣3）代入方程得x 0，=故水面宽为．故选：B ．6．如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线ABCD ABEF 60︒与所成角的余弦值为（）．AC BFA ．B ．CD 1412【答案】A【分析】根据题目条件可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，将异面直EBC ∠ABCD ABEF 线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值即可.AC BF 【详解】根据题意可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，所以EBC ∠ABCD ABEF ，60EBC ∠= 设正方形边长为1，异面直线与所成的角为，AC BF θ，，AC AB BC =+ BF BE EF =+EF BA ==- 所以()))(()(BF BE E AC AB BC AB BC F BE AB +==++- 即210(1)11cos 6002BF BE B AC AB AB BC BC E AB =-+-=+-+⨯⨯-=-所以；4c os 1,A A BF BF B C AC C F==-= 即，1cos cos ,4F AC B θ==所以，异面直线与所成角的余弦值为.AC BF 14故选：A.7．对于直线：（），现有下列说法：l 10ax ay a +-=0a ≠①无论如何变化，直线l 的倾斜角大小不变；a ②无论如何变化，直线l 一定不经过第三象限；a ③无论如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限；a ④当取不同数值时，可得到一组平行直线．a 其中正确的个数是（）A ．B ．C ．D ．1234【答案】C【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．【详解】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率l 10ax ay a +-=0a ≠210x y a +-=21y x a =-+为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故1-135︒y 210a >②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确；a 1-故选：C8．已知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的12F F ，22:18x y C m +=C P 1290F PF ∠=︒m 取值范围是（）A ．B ．(][)0,216,+∞ (][)0,416,+∞ C ．D ．(][)0,28,+∞ (][)0,48,+∞ 【答案】B【分析】利用圆的直径所对圆周角为，将椭圆上存在点满足，转化为以90︒C P 1290F PF ∠=︒为直径的圆与椭圆有交点，即可求解.12F F 【详解】解：若椭圆上存在点满足，只需满足以为直径的圆与椭圆有交点，C P 1290F PF ∠=︒12F F即,即，122F F b c ≤=22b c ≤当时,椭圆的焦点在轴上,此时，则，解得：，8m <x 2228,,8a b m c m ===-8m m ≤-4m ≤当时，椭圆的焦点在轴上，此时，则，解得：.8m >y 222,8,8a m b c m ===-88m ≤-16m ≥综上，.(][)0,416,m ∈+∞ 故选：B【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于较易题。

北京中国人民大学附属中学2021年高考新题型——数学多选题专项练习附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点C ．当10k >>，有4个零点D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-，函数21y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx=对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确；对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误；对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由()12f x =可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确；故选：ABD ．【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．2．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a <<C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+，所以23()()22f x f x x ax a =--=-+-，综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根，则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =，而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+，所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+，当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+，所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.3．下列函数求值域正确的是（）A ．2()1(2)f x x x =+-的值域为[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C ．()11h x x x =+-(02]，D ．()13w x x x =-+的值域为[222]，【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B ；()1111h xx x x x =+--=++-利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()13w x x x =-++两边平方可得()222(1)44w x x =-+++，由于()0w x >，可得()22(1)44w x x =-+++，求出2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，，其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A 不正确，对于选项B ：2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，定义域为{}|1x x ≠-，当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1(1)21x x ++≤-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+即2x =-时等号成立，当1x >-时，10x +>，此时11(1)(1)211x x x x ++≥+⨯=++，当且仅当111x x +=+即0x =时等号成立，所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B 不正确；对于选项C ：()h x 的定义域为[1)+∞，， (11)(11)()111111x x x x h x x x x x x x ++-+--=+-==++-++-，因为1y x =+1y x =-[1)+∞，上是增函数，所以11y x x =+-[1)+∞，上是增函数，又y =[1)+∞，上恒不等于0，则y =在[1)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()1h =又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(0，故选项C 正确；对于选项D ：()w x 的定义域为[31]-，，()w x ======设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]0,4，[]44,8∈，则()2,w x ⎡=⎣，()w x 的值域为[2，故选项D 正确，故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域；（4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如y Ax =+22ax bx c y dx ex f++=++的函数适用；（8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域；（9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.4．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x Q D x x Q ∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）A ．()D x 是偶函数B ．,(())1x R D D x ∀∈=C ．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形【答案】ABCD 【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则Rx Q -∈，即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()D x t D x +=，当R x Q ∈时，R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1，边长为3，所以当((0,1),A B C 时成立，正确；故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.5．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>，所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.6．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（） A ．()1.10.9f -= B ．函数()f x 为奇函数C ．()()11f x f x +=+D ．函数()f x 的值域为[)0,1 【答案】AD 【分析】根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，()[]1.11 1.120..9.111f --=-+=-=-，故A 正确. 对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.9f -=，而()[]1.1-1.1 1.110.11.1f =-==，故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误.对于C ，则()[][]()11111f x x x x x f x +=+-+=+--=，故C 错误.对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为1，当01x ≤≤时，则当0x =时，则()[]0000f =-=，当01x <<时，()[]0f x x x x x =-=-=，当1x =时，()[]11110f x =-=-=，故当01x ≤≤时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 正确.故选：AD ．【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性．7．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（） A ．x R ∀∈，[][]22x x =B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦D ．不等式[][]2230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]22x x ≠，故A 不成立.对于B ，[][]x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+，故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[),0,1m Z r ∈∈，则[]11222x x m r ⎡⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222x m r =+，若102r ≤<，则102r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；若112r <<，则112r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故C 成立.对于D ，由不等式[][]2230x x --≥可得[]1x ≤-或[]32x ≥，故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.8．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线；对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xx x f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD ．故选：BD ．【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.9．已知函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-，当n 为偶数时，()()44()()nn nn f x x x f x xx -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数；当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时，即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+，而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减，所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足，所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，故选：BC ．【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.10．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C，()()+12121+1+1+1xxx x xeef xe e e--===-，.()()11111+11++1x xxx xxe eef x f xe ee------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称.所以存在圆O：221x y+=使得()11xxef xe-=+是圆O的一个太极函数，如下图所示，故C正确；对于D，对于直线()()12110m x m y+-+-=的方程，变形为()()210m x y x y-+--=，令2010x yx y-=⎧⎨--=⎩，得21xy=⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y+-+-=经过圆O的圆心，可以平分圆O周长和面积，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.二、导数及其应用多选题11．关于函数()e cosxf x a x=-，()π,πx∈-下列说法正确的是（）A．当1a=时，()f x在0x=处的切线方程为y x=B．若函数()f x在()π,π-上恰有一个极值，则0a=C．对任意0a>，()0f x≥恒成立D．当1a=时，()f x在()π,π-上恰有2个零点【答案】ABD【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解，令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解，则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为343204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为4204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而()()()0,0,00g g g ππ-===，作出()sinx g x e-=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点，即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-，令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为42204h eππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.12．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论．【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||2PQ =，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-，函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<，则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<，由零点存定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点，即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ．【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．13．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+，则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.14．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论．【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②；因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立，又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立，因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >，则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=，则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③；综上，ACD 选项是“偏对称函数”，故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）15．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x'-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.16．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．17．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断；对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断；对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <，所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<，所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确；当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得：所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1，所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=，从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.18．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1- D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>，所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.。

[高考数学理科]2021年人大附中二轮专题复习 (5)(精选编写)

压轴热点 1 函数的图象、性质及其应用
( )π
π
【例 1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω > 0，|φ| ≤ ，x＝－为 f(x)的零点，x
2
4
( ) π
π 5π
＝为 y＝f(x)图象的对称轴，且 f(x)在，上单调，则 ω 的最大值为( )
4
18 36
探究提高 1.长方体的对角线是外接球的直径，由条件得 x2＋y2＝12，进而求 xy 的最大值得
棱锥的最大体积.另外不规则的几何体的体积常用割补法求解.
2.(1)△ADE 折叠过程中，长度不变，AG⊥DE 的关系不变.(2)当平面 ADE 折叠到平面 A′DE⊥
平面 BCED 时，棱锥 A′－EFD 的体积最大，且 A′F⊥DE.
a
a
[高考数学理科]2020 年人大附中二轮专题复习
令 t＝a2－ln a(t>0)，
则 ln t＝ln a2－ln a＝－(ln a)2＋2ln a＝－(ln a－1)2＋1≤1.
当 ln a－1＝0 时，等号成立，
由 ln t≤1，得 t≤e，即 aln b≤e，故 aln b 的最大值为 e.
D.(1，2)
e2 (2)(2018·郑州质量预测)已知点 P(a，b)在函数 y＝上，且 a>1，b>1，则 aln b 的最大值为________.
x
解析 (1)因为 g(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x<0 时，g(x)＝－ln(1－x)，所以当 x>0 时，－
x<0，g(－x)＝－ln(1＋x)，即当 x>0 时，g(x)＝ln(1＋x).则函数

北京市人民大学附属中学2021届高三数学上学期8月练习试题(含解析).doc

北京市人民大学附属中学2021届高三数学上学期8月练习试题（含解析）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A. {0}B. {1}C. {1，2}D. {0，1，2}【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再利用交集的运算求解.【详解】由题意得A={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2. 已知i为虚数单位，若iz=−1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算求出z以及对应复平面内的点，即可得出答案.【详解】2211i i iz ii i-+-===+-，则复数z在复平面内对应的点为(1,1)即复数z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A【点睛】本题主要考查了根据复数的几何意义求复数所在象限，属于基础题.3. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（）A. 1B. 2C. 2D. 22【答案】C 【解析】【分析】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式进行计算可得答案. 【详解】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱如图，等腰直角三角形斜边上的高为1，斜边长为2，棱柱的高为2，则棱柱的体积121222V =⨯⨯⨯=, 故选：C【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积问题，考查空间想象能力，属于基础题.4. 632x x ⎛- ⎝展开式中2x 项的系数为（） A. 160- B. 20- C. 20 D. 160【答案】A 【解析】【分析】利用二项展开式的通项求解即可.【详解】632x x ⎛ ⎝的展开式通项为()()66631663212rrr r r r r r r T C x C x x ----+⎛==-⋅⋅ ⎝，当出现2x 项时，623rr --=，得3r =，故含2x 项的系数为()333612160C ⋅-⋅=-.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理，较容易，解答时要灵活运用展开项的通项公式.5. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（）注：“相差”是指差的绝对值A. 立春和立冬的晷长相同B. 立夏和立秋的晷长相同C. 与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长D. 与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长【答案】D 【解析】【分析】根据对称性判断出说法不正确的选项.【详解】根据对称性可知：立春和立冬的晷长相同、立夏和立秋的晷长相同、春分和秋分的晷长相同；与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长（冬至晷长最大，夏至晷长最小）. 所以说法错误的是D. 故选：D【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，属于基础题. 6. 点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =-及3yx 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH+的最小值为（） A.322B. 22C.3212+ D. 22+【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的性质，PG PH +的最小值等价于PF PH +的最小值，即焦点F 到直线的距离. 【详解】由题可知1x =-是抛物线的准线，交点()1,0F ，由抛物线的性质可知PGPF ,PG PH PF PH ∴+=+，如图，当,,F P H 在一条直线上时，PF PH +取得最小值为FH ，利用点到直线距离公式可以求出103222FH ，所以PG PH +的最小值为2故选：B.【点睛】本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题. 7. “sin 0x x +>”是“sin 0x x ->”的（） A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用函数的单调性求出两个条件的不等式解集，利用集合间的基本关系判断充分性和必要性. 【详解】令()sin f x x x =+，'()1cos 0f x x ，()f x ∴在R 上单调递增，且(0)0f =， ∴sin 0x x +>等价于()(0)f x f >，即0x >，令()sin g x x x =-，'()1cos 0g x x ，()g x ∴在R 上单调递增，且(0)0g =，∴sin 0x x ->等价于()(0)g x f ，即0x >，“0x >”是“0x >”的充分必要条件，∴“sin 0x x +>”是“sin 0x x ->”的充分必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，将条件转化为利用集合间关系判断是解决此类问题的常用方法. 8. 以Ox 为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将角α的终边顺时针旋转3π得到角β．角β的终边与单位圆相交于点22(,)Q x y ，则21x x -的取值范围为（）A. 12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， B. 12⎛ ⎝⎭C. 112⎛⎫⎪⎝⎭，D. 1(1]2，【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的定义得1cos ,,2x πααπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，2cos 3x πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而得21cos cos 3x x παα⎛⎫- ⎪⎭=⎝--，再结合三角恒等变换和三角函数的性质得211,12x x ⎛-∈⎤⎥⎝⎦. 【详解】解：根据三角函数的定义得1cos ,,2x πααπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭,由于角α的终边顺时针旋转3π得到角β，故3πβα=-, 所以2cos cos 3x πβα⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以211cos cos cos sin 3226x x ππααααα⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪⎭-= ⎪⎝⎝⎭ 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,636πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1sin ,162πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即211,12x x ⎛-∈⎤⎥⎝⎦. 故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的定义，是中档题.9. 若圆P 的半径为1，且圆心为坐标原点，过圆心P 作圆22(4)(3)4x y -+-=的切线，切点为Q ，则PQ的最小值为（）B. C. 2 D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分析圆22(4)(3)4x y -+-=的圆心以及半径，由勾股定理分析可得||PQ =，当||PC 最小时，||PQ 最小，由点与圆的位置关系分析||PC 的最小值，计算可得答案．【详解】由题意可知，点P 在圆221x y +=上，圆22(4)(3)4x y -+-=的圆心(4,3)C ，半径2r过点P 作圆22(4)(3)4x y -+-=的切线，切点为Q ，则||PQ =当||PC 最小时，||PQ 最小又由点P 在圆221x y +=上，则||PC 的最小值为||114OC -==则||PQ ；故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题．10. 气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃．现有甲乙丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下： ①甲地5个数据的中位数为26，众数为22； ②乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；③丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8. 则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D 【解析】【分析】①根据众数的定义至少出现2次，假设有一天低于22，再由中位数判断； ②设温度由低到高为：12345,,,,x x x x x ，根据方差的定义得到()()()()()2222212345262626262626x x x x x -+-+-+-+-=，假设有一天低于22，再由平均数判断；③设温度由低到高为：12345,,,,x x x x x ，由平均数的定义得到124982x x x =++，假设假设有一天低于22，再由中位数判断；【详解】①因为众数为22，所以至少出现2次，若有一天低于22，则中位数不可能是26，所以甲地肯定进入夏季；②设温度由低到高为：12345,,,,x x x x x ，根据方差的定义()()()()()222221234512626262626 5.25x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，所以()()()()()2222212345262626262626x x x x x -+-+-+-+-=，若有一天低于22，不妨设121x =，则只有21，25，26，26，26，而不满足平均数26，故没有低于22的，所以乙地进入夏季；③设温度由低到高为：12345,,,,x x x x x ，由题意得：35126,8x x x ==+，由平均数定义得：()12345126.45x x x x x ++++=，即124982x x x =++，若122x <，取121x =，则2456x x +=，不满足中位数26，故没有低于22的，所以丙地肯定进入夏季；故选：D【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，还考查了逻辑推理运算求解的能力，属于中档题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 双曲线221916y x C -=：的焦距是__________．【答案】10 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求解即可.【详解】解：根据双曲线的标准方程得229,16a b ==，所以22225c a b =+=，即5c =，所以双曲线的焦距为10. 故答案为：10【点睛】本题考查由双曲线的标准方程求焦距，是基础题.12. 已知{}n a 是等差数列，{}n n a b +是公比为c 的等比数列，113105a b a ===，，，则数列{}n a 的前10项和为__________，数列{}n b 的前10项和为__________（用c 表示）．【答案】 (1). 100 (2). 1090,11100,0,11c c c c -=⎧⎪⎨--+≠⎪-⎩当时，当时【解析】【分析】先根据131,5a a ==求出等差数列{}n a 的通项公式，计算前10项和即可，由等差数列的通项公式及{}n n a b +是公比为c 的等比数列求出{}n b ，即可求前10项和.【详解】因为{}n a 是等差数列，131,5a a ==，所以3124a a d -==，解得2d =，所以12(1)21n a n n =+-=-，所以1010910121002S ⨯=⨯+⨯=因为{}n n a b +是公比为c 的等比数列，且111a b ，所以1n n n a b c -+=，故121n n b cn -=-+，当1c =时，10(220)10902T -⨯==-，当1c ≠时，1029101(1)(13519)1001c T c c c c-=++++-++++=-+-，综上101090,11100,0,11c T c c c -=⎧⎪=⎨--+≠⎪-⎩当时，当时, 故答案为：100；1090,11100,0,11c c c c -=⎧⎪⎨--+≠⎪-⎩当时，当时【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查了分组求和，属于中档题.13. 已知ABC ∆为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．【答案】 (1). 14(2). []0,1 【解析】【分析】(1) 由条件可知2AC BC ==1AO BO CO ===,又1()2AP AC AO =+，代入AP OP ⋅中，利用向量的数量积的定义可求解答案.(2) 当P 为线段OC 上的动点时，设OP OC λ= ,01λ≤≤,()AC CP AP OP OP ⋅=+⋅利用向量的数量积的运算性质和定义可求解.【详解】ABC ∆为等腰直角三角形，CO 为斜边的高,则CO 为边AB 的中线，所以AC BC ==1AO BO CO ===.(1) 当P 为线段OC 的中点时，在ACO △中,AP 为边CO 上的中线, 则1()2AP AC AO =+ 所以11()()22AC AO OP AC OP AO OP AP OP +⋅+⋅==⋅⋅1111||||cos 450==22224AC OP =⋅+⨯ (2)当P 为线段OC 上的动点时，设OP OC λ= ,01λ≤≤.()AC CP OP AP O AC OP CP O P P +⋅=⋅⋅=⋅+=(1)()OC AC OC OC λλλ⋅--⋅1cos ,(1)OC AC λλλ=⨯<>--⋅1(1)2λλλ=⨯--⋅ 22[0,1]λλλλ=-+=∈所以AP OP ⋅的取值范围为[]0,1 故答案为：(1).14(2). []0,1 【点睛】本题考查向量的加法运算，数量积的运算，本题还可以建立坐标系利用向量的坐标运算解决本题,属于中档题.14. 不等式20t at -≥对所有的[11]a ∈-，都成立，则t 的取值范围是__________．【答案】(,1]{0}[1,)-∞-+∞ 【解析】【分析】看作关于a 的一次函数，根据一次函数恒成立问题列出不等式组，求得t 的范围.【详解】设()f a =2t at - ，[11]a ∈-，，由()0f a ≥∴()()1010f f ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即2200t t t t ⎧+≥⎨-≥⎩解得1t ≤-或0t =或1t ≥，故答案为：(,1]{0}[1,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查一次不等式恒成立问题，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题. 15. 在实数集R 中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意,0a a a ∈*=R ；（2）对任意,a b a b b a ∈*=*R ，；（3）对任意()()()(),,,2a b c a b c c ab a c b c c ∈**=*+*+*-R ．给出下列四个结论： ①()2020**=； ②()()20208***=；③对任意()(),,,a b c a b c b c a ∈**=**R ； ④存在()()(),,,a b c a b c a c b c ∈+*≠*+*R ．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】②③④ 【解析】【分析】根据给定的新运算得到a b *的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的序号. 【详解】由题设有()()000020a b a b ab a b ab a b *=**=*+*+*-⨯=++，对于①，2222228*=⨯++=，故①错误.对于②， ()()200222***=*，由①中结果可知()()20208***=，故②正确.对于③，对任意()()(),,,a b c a b c a bc b c a bc b c a bc b c ∈**=*++=++++++Rabc ab ac bc a b c =++++++，而()()()ac a c b ac a c b ac a c b c a b =++=++++*+*+*abc ab ac bc a b c =++++++，故()()a b c b c a **=**，故③正确. 对于④，取1,1a b c ===，则1212152*=⨯++=，而()()()1111211116*+*=⨯++=，故()()()1111111+*≠*+*，故④正确. 故答案为：②③④.【点睛】本题考查新定义背景下命题真假的判断，此题的关键是根据给出的运算规则得到a b *的运算方法，本题属于较难题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，点E 是棱1C C 的中点，已知11111125A B BC C C B E ====，．（Ⅰ）求证：1B B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角11A EB A --的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）53. 【解析】【分析】（Ⅰ）首先证明四边形11BB C C矩形，可得1B B BC ，结合1B B AB ⊥，可证1B B ⊥平面ABC（Ⅱ）分别以BC ，1BB BA 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）依题意，在11B C E ∆中，1111112512B C B E C E C C ====，，，所以2221111B C C E B E +=，所以1190B C E ∠=．又因为三棱锥111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，所以四边形11BB C C 为矩形，所以1B BBC ．因为AB ⊥平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，所以1B B AB ⊥．又因为AB BC ⊂，平面ABC ，AB BC B ⋂=，所以1B B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）因为AB ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，所以AB BC ⊥．如图建立空间直角坐标系B −xyz ，则111()()()())00221002002221(0A E B A B E =-,,,,,,,,,,,,,,，111)022((002)B A B A =-=,,,,,，设平面1AEB 的法向量为(,,)n x y z =，则1120,0,220.0x y n B E y z n B A ⎧-=⋅=⎧⎪⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩即，令1x =，则2y =，2z = ，于是,,(1)22n =，设平面11A EB 的法向量为111(,,)m x y z =，则11100m B E m B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1112020x y z -=⎧⎨=⎩ 令1x =，则2y =，0z =．于是(1,2,0)m =，所以cos ,35n m n m n m⋅<>===由题知二面角11A EB A --为锐角，所以其余弦值为3【点睛】本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解，属于中档题. 17. 在△ABC 中，sin 3sin AB ，6C π=，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在，求c 的值及△ABC 的面积．条件①：=c ；条件②：ac c sin A =3．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析. 【解析】【分析】选择条件②，sin 3sin AB 由正弦定理可得3ab ，又6C π=，由余弦定理可得b c =，结合条件②即可求得a ，b c ，，从而得到三角形的面积. 【详解】选择条件②，因为在△ABC 中，sin sin sin a bA B A B==，，所以3ab ．又因为6C π=所以由余弦定理得0,cb ===> 又因为2ac ab ==1b =或−1(舍)．所以1a c ==．则△ABC 的面积为1sin 26S ab C π===【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，属于基础题.18. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人执行任务，且每个人只派一次．每人工作时间均不超过10分钟，如果10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人；如果10分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为123p =，212p =，334p =．假定各人能否完成任务相互独立．（Ⅰ）计划依次派甲乙丙执行任务， ①求能完成任务的概率；②求派出人员数X 的分布列和数学期望E (X )．（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数X 的数学期望尽可能小，你认为应该按什么次序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）【答案】（Ⅰ）①2324；②分布列见解析，32；（Ⅱ）依次派出丙甲乙．【解析】【分析】（1）①根据相互独立事件概率的求法求得完成任务的概率；②写出X 的可能值，求出各自的概率，列表写出分布列，根据数学期望公式求得结果；（2）根据所求概率结合X 的数学期望直接写出结论.【详解】解：（Ⅰ）设“计划依次派出甲乙丙，能完成任务”为事件A ．因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为123213,,,324P P P === 各人能否完成任务相互独立．所以11212323()(1)(1)(1)24P A P P P P P P =+-+--= 或12323()1(1)(1)(1)24P A P P P =----=依题意，X 的所有可能取值为1，2，3．11212211(1),(2)(1),(3)(1)(1).366P X P P X P P P X P P =====-===--= 所以X 的分布列为故X 的期望2113()123.3662E X =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）依次派出丙甲乙．【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率及离散型随机变量分布列，意在考查学生的数据处理的能力及数学运算的学科素养，属中档题. 19. 已知函数()32232=-+f x x ax .（1）若0a =，求过曲线()y f x =上一点()1,0-的切线方程；（2）若0<<3a ，()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的最小值．【答案】（1）66y x =+或3322y x =+；（2）827.【解析】【分析】（1）首先求导()26f x x '=，切点为()3,22+t t ，得到切线方程()23622=-++y tx t t ，再将()1,0-代入得到1t =-或12，即可得到切线方程. （2）首先对()f x 求导，求出函数()f x 的单调区间，再分类讨论a ，得到最大值为M ，最小值为m ，即可得到M m -的最小值.【详解】（1）当0a =时，()322=+f x x ，所以()26f x x '=．设切点为()3,22+t t ，()26'==k f t t所以切线方程为()23622=-++y tx t t .因为切线过()1,0-时，所以()2361220--++=t t t ，所以()()()()()()()222231111211210--++-+=-++-=-+-=tt t t t t t t t t ，所以1t =-或12. 所求切线方程为66y x =+或3322y x =+. （2）因为()32232=-+f x x ax ，0<<3a ，[]0,1x ∈. 所以()()2666f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0x =或a ．所以(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.①当13a ≤<时，()f x 在[]0,1上单调递减．所以依题意，()02==M f ．()143==-m f a ，所以[)21,73-=-∈M m a .②当01a <<时，()f x 在[]0,a 上单调递减，在[],1a 上单调递增. 又因为()02f =，()143=-f a ，()32==-+m f a a .当213a ≤<时，432a -≤，所以()02==M f ，38,127⎡⎫-=∈⎪⎢⎣⎭M m a .当023a <<时，432a -> 所以()143==-M f a ，332-=-+M m a a . 设()332g x x x =-+，()233g x x '=-，当203x <<时，()0g x '<，所以()g x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又因为()02g =，28327=⎛⎫ ⎪⎝⎭g ，所以()8,227⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭M m g a 所以，当且仅当23a =时，M m -取得最小值827.【点睛】本题第一问考查导数的几何意义，第二问考查利用导数研究函数的最值，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.20. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左右顶点分别为,A B ，上顶点为T ，离心率为3，8AT TB ⋅=点,M N 为椭圆C 上异于,A B 的两点，直线,AM BN 相交于点P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 在直线92x =上，求证：直线MN 过定点．【答案】（Ⅰ）22 1.9x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】（1）先根据题意得(,0),(,0),(0,),(,),(,)A a B a T b AT a b TB a b -==-，进而得22222380c a a b a b c a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪>>⎪⎩，求解即可得出结论；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，先讨论直线MN 垂直于y 轴时不满足题意，再讨论MN 不垂直于y 轴时，设其方程为x ty m =+，与椭圆方程联立得2220()929t y tmy m +++-=，212122229,099tm m y y y y t t --+==≠++，再根据P 为直线,AM BN 的交点得122222222122225(3)(3)(3)33999y y y x y x x x x x y y +++====+----，化简得即可求出结论. 【详解】解：（Ⅰ）依题意，(,0),(,0),(0,),(,),(,),A a B a T b AT a b TB a b -==-22222380c a a b a b c a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪>>⎪⎩解得31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆C 方程为22 1.9x y +=（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，则()2299,3,01,2i i i i x y x y i +=≠±≠=①当直线MN 垂直于y 轴时，由对称性，直线,AM BN 交于y 轴，不合题意，舍去． ②当直线MN 不垂直于y 轴时，设其方程为x ty m =+．联立2299x ty m x y =+⎧⎨+=⎩得2220()929t y tmy m +++-=．依题意，2212122229900,,0.99tm m t y y y y t t --+≠∆>+==≠++，所以3m ≠±．因为(3,0),(3,0)A B -，所以直线AM 方程为11(3)3y y x x =++，直线BN 方程为22(3)3y y x x =-- 依题意，设9(,)2P P ，因为P 为直线,AM BN 的交点，所以121299(3)(3).3232y y P x x +==-+- 所以122222222122225(3)(3)(3).33999y y y x y x x x x x y y +++====+---- 所以1212124530(9)y y x x x x ++++=．所以121212()()04(539)y y ty m ty m ty m ty m ++++++++=．所以2212120(4)()(53)3()t y y t m y y m ++++++=．所以2232292(45)(3)(3)0.99m tmt t m m t t --+++++=++因为3m ≠±，所以2224532390()()()()t m t m m t +--+++=．所以541080m -=，2m =，直线MN 方程为2x ty =+．所以直线MN 过定点()2,0.【点睛】本题考查根据,,a b c 求椭圆的方程，椭圆中的定点问题，考查运算能力，是中档题.21. 已知m ，n ，k 为正整数，4n ≥，3k ≥，A 是由m n ⋅个不超过k 的正整数组成的m 行n 列的数表，其第i 行第j 列为,i j x ，1i m ≤≤，1j n ≤≤，满足：①对任意1i m ≤≤，21j n ≤≤-，均有,1i j x -，,i j x ，,1i j x +互不相等； ②对任意1i m ≤≤，不存在1a b c d n ≤<<<≤，使得,,i a i c x x =且,,i b i d x x =； ③当2m ≥时，对任意1i j m ≤<≤，存在1k n ≤≤，使得,,i k j k x x ≠．记,()k S m n 为所有这样的数表构成的集合．（Ⅰ）写出34(2)S ，中的一个元素；（Ⅱ）若4,()S m n ≠∅，则当n 最大时，求m 的最大值；（Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．问题（一）：求集合{}**4()4S m n m n n ∈∈≥N N ，，，的元素个数．问题（二）：求集合113(1)2S ,的元素个数．【答案】（Ⅰ）答案不唯一，见解析；（Ⅱ）m 的最大值为24；（Ⅲ）答案见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）由题意2,3,3m n k ===，根据题意，列出数表，写出满足要求的一个元素即可；（Ⅱ）依题意，设B 某行为12()123412{}()n i X x x x x i n =⋯∈=⋯，,,,,,,，讨论当B = (a b c d b a )时和当n ≥6时，是否满足题意，即可解出n 的最大值，由③即可解出m 的最大值；（Ⅲ）若选择问题（一），则分别求解当n = 4时，n = 5时，n = 6时和n ≥7时，X 的个数，综合即可得结果；若选择问题（二），分别讨论当k =3时、当n ≥2k -1时，是否满足题意，综合分析，即可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题意得：2,3,3m n k ===，则abc a defd ⎛⎫⎪⎝⎭中(a b c )，(d e f )为(123)的不同排列即可，例如12311321⎛⎫⎪⎝⎭.（答案不唯一，满足题意即可）. （Ⅱ）依题意，设表4()B S m n ∈，，设(a b c d )为(1 2 3 4)的某个排列，设B 某行为12()123412{}()n i X x x x x i n =⋯∈=⋯，,,,,,,．一．当B = (a b c d b a )时，4()16B S ∈,，所以n = 6符合题意；二．当n ≥6时，由①设44(),n X ab cx x x a =⋯=或d ．1．当()n X ab ca x =⋯时，由①56,x x a ≠，故由②56x x d ==，与①矛盾． 2．当()n X ab c d x =⋯时，由①5x a =或b ．（1）当()n X abcda x =⋯时，由②6x a =，与①矛盾．21 / 2221（2）当()n X a b c d b x =⋯时，由①6x b ≠，故由②6x a =．假若n ≥7，则由②7x a =，与①矛盾．综上，n 的最大值为6，且当n = 6时，X = (a b c d b a )，这样的X 共4424A =个．由③，当n 最大时，m 的最大值为24．（Ⅲ）若选择问题（一）．若表4(,)B S m n ∈，设(a b c d )为(1 2 3 4)的某个排列，一．当n = 4时，由（Ⅱ）X = (a b c d )或(a b c a )．这样的X 共434448A +A =个．所以m =1，2，…，48时，4()4S m ≠∅,；m >48时，44( )S m =∅，．二．当n = 5时，由（Ⅱ）X = (a b c a d )或(a b c d a )或(a b c d b )．这样的X 共44372A ⨯=个．所以m =1，2，…，72时，4()5S m ≠∅,；m >72时，4()5S m =∅，．三．当n = 6时，由（Ⅱ）X = (a b c d b a )，这样的X 共4424A =个．所以m =1，2，…，24时，4()6S m ≠∅，；m >24时，4()6S m =∅，．四．当n ≥7时，由（Ⅱ）4() S m n =∅,．综上，集合{}**4()4S m n m n n ∈∈≥N N ，，，的元素个数为48+ 72+ 24+1=145．（Ⅲ）若选择问题（二）．若12()n Y y y y =⋯满足②，则将Y 删除若干项仍满足②．设12()(){}1121()2n k i Y y y y S n y k i n =⋯∈∈⋯=⋯，,，，，，，，．一．当k = 3时，假若n ≥5，设(a b c )为(1 2 3)的某个排列，设4()n Y abcy y =⋯，则由①4y a =，由①②，5y 无解，矛盾．所以n ≤ 4= 2k - 2．二．假设存在n ，使得n ≥2k -1，设满足此条件的最小的k 为u ．22 / 2222所以12)1()2(1n u Y y y y S n n u =⋯∈≥-，，．由一，u ≥4．若1()1u Z S v -∈，，则212243()v u u n ≤--=-≤-．不妨设)1(2i y i n =⋯，，，中，u 出现的次数m 最小． 1．当m = 0时，121()()1n u Y y y y S n -=⋯∈，，矛盾．2．当m =1时，设t y u =，（1）当t =1或n 时，将Y 去掉t y 这一项得Z ，则1(1)1u Z S n -∈-,，矛盾．（2）当t =2时，将Y 去掉前两项得Z ，则1(1)2u Z S n -∈-,，矛盾.当1t n =-时，同理将Y 去掉后两项得1(1)2u Z S n -∈-，，矛盾. （3）当1,2,1,t n n ≠-时，记()e f u g h Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，若e g ≠且f h ≠，将Y 去掉u 这一项得Z ，则1(1)1u Z S n -∈-,，矛盾. 若e g =且f h ≠，将Y 去掉,u g 这两项得Z ，则1(1)2u Z S n -∈-,，矛盾. 若e g =且f h =，由②，矛盾.3.当2m ≥时，(1,2,,)i y i n =⋅⋅⋅中，1,2,,u ⋅⋅⋅均至少出现2次，因为12(1,))(n u Y y y y S n =⋅⋅⋅∈，由①，前两个1之间必有其他数，不妨设为2.由②，所有的2均在这两个1之间.同理，不妨设所有的3全在前两个2之间，所有的4全在前两个3之间，⋅⋅⋅这与(1,2,,)i y u i n ≤=⋅⋅⋅矛盾.三.从113(1)2S ,中任取一行W ，则11(21)1W S ∈,. 因为21122021⨯-=<，所以W 不存在，111(3)2S =∅,. 所以113(1)2S ,的元素个数为0. 【点睛】本题以集合作为载体，考查新概念的应用，考查分析理解，求值化简的能力，属难题.。

[高考数学理科]2021年人大附中二轮专题复习 (8)(精选编写)

直，
∴点 A(1，1)到原点 O 的距离最小，
因此 z＝x2＋y2 的最小值为|OA|2＝2.
答案 C 8.定义在 R 上的奇函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则使得 f(x)>f(x2－2x＋2)成立的 x 的取值
范围是( )
A.(1，2)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)
D.(2，＋∞)
经过两次循环后，n＝8，S＝48.
经过三次循环后，n＝0，S＝48，退出循环.
输出 S＝48－1＝47.
答案 B
11.已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b＝1，c＝ 3，且 asin Bcos
1 C＋csin Bcos A＝，则 a＝( )
2
A.1 或 2
B.1 或 3
C.1 或 2
D. 2或 3
1 解析由 asin Bcos C＋csin Bcos A＝且 b＝1，
2
b 得 asin Bcos C＋csin Bcos A＝，由正弦定理，
2
1 得 sin Acos C＋sin Ccos A＝，
2
1
1
π
π
∴sin(A＋C)＝ sin B＝，又 b＝1<c＝ 3，知 B 为锐角，则 B＝ .所以 b2＝a2＋c2－2accos ，
B.f > 2 f
4
6
( ) ( ) π
π
C.f > 2f
6
4
( ) ( ) π
π
D.f < 2f
6
4
( ) f（x）
f′（x）sin x－f（x）cos x
π
解析设 g(x)＝，则 g′(x)＝

北京市中国人民大学附属中学2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题含解析

市中国人民大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．下列函数中，最小正周期为π的是（）A．B．C．D．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝39，则a3+a4＝（）A．31B．12C．13D．523．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A．B．C．D．4．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种5．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1＝Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关6．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝2，则tan（β﹣2α）＝（）A．B．C．D．7．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣f（x）ln2＞0，f（1）＝4，则不等式的解集为（）A．[1，2]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（0，1]8．已知函数f（x）＝cos2x，x∈[a，b]，则“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n＝，b n＝n+5，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A．421B．451C．439D．93510．若函数y＝x3﹣x2﹣1﹣a，（，e为自然对数的底数）与y＝x2﹣3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值X围是（）A．B．[0，e3﹣4]C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是（用数字作答）．12．数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若，则a n＝；S5＝．13．已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%，甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%．从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为 .（精确到0.1%）14．若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则常数φ的一个取值为．15．已知数列{a n}满足不等式2a n≤a n﹣1+a n+1（其中n∈N*，n≥2），对于数列{a n}给出下列五个结论：①a2﹣a1≤a3﹣a2；②a2+a7≤a3+a6；③a2+a3≥a6+a7；④a5≥4a2﹣3a1；⑤数列{a n}的通项公式可以是a n＝nlnn．以上结论正确的有．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①f（0）＝﹣2；②最大值为2；③；④最小正周期为π．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的单调递增区间与最小值．17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，2sin A＝sin C．（Ⅰ）求c的长；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．18．一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得﹣12分）．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＜a对恒成立，a的最小值．20．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜成立．21．设等差数列{a n}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6．（Ⅰ）若a2•a10＞0，求d的值；（Ⅱ）若a3＝2，且（5＜n1＜n2＜…＜n t＜…）成等比数列，求n t；（Ⅲ）若（5＜n1＜n2＜…＜n t＜…）成等比数列，求n1的取值集合．参考答案一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．下列函数中，最小正周期为π的是（）A．B．C．D．解：∵函数y＝sin x的最小正周期为2π，故排除A；∵函数y＝sin x的最小正周期为＝4π，故排除B；∵函数y＝cos（x+）的最小正周期为2π，故排除C；∵函数y＝tan x的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝39，则a3+a4＝（）A．31B．12C．13D．52解：由等差数列的性质及其S6＝39，可得＝3（a3+a4）＝39，则＝13．故选：C．3．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）解：根据题意，甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，则甲乙两户都没有获得扶持资金的概率P1＝（1﹣）×（1﹣）＝，而“甲乙两户都没有获得扶持资金”和“至少有一户获得扶持资金”互为对立事件，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率P＝1﹣P1＝，故选：C．4．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种解：根据题意，分2种情况讨论：①若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2×2＝4种种法，②若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2×1＝2种选择，三号坑有1种选择，此时有2×1＝2种种法，则有4+2＝6种不同的种法，故选：C．5．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1＝Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：＝（x1+x2+x3+x4+x5），＝（++++）＝且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选：A．6．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝2，则tan（β﹣2α）＝（）解：因为tan（α﹣β）＝2，所以tan（β﹣α）＝﹣2．所以tan（β﹣2α）＝tan（（β﹣α）﹣α）＝．故选：C．7．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣f（x）ln2＞0，f（1）＝4，则不等式的解集为（）A．[1，2]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（0，1]解：令g（x）＝，则g′（x）＝＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（1）＝，∴⇔g（x）≥g（1），故x≥1，故选：B．8．已知函数f（x）＝cos2x，x∈[a，b]，则“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：首先考虑充分性，函数f（x）＝cos2x，x∈[a，b]，b−a≥，举反例如下：取a＝﹣，b＝，满足，b−a≥，但是，f（x）的值域为[0，1]，不是[﹣1，1]，所以，“b−a≥”不是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的充分条件，故AC不对；再考虑必要性，由“f（x）的值域为[﹣1，1]”，可得f（x）＝cos2x的一个相邻的最大值与最小值间的距离，即半个周期≤b﹣a，即，故“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的必要不充分条件．故选：B．9．根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n＝，b n＝n+5，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A．421B．451C．439D．935解：（1）∵a n＝，，b n＝n+5∴a1＝5×14+15＝20，a2＝5×24+15＝95，a3＝5×34+15＝420，a4＝﹣10×4+470＝430，b1＝1+5＝6，b2＝2+5＝7，b3＝3+5＝8，b4＝4+5＝9，∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4＝20+95+420+430＝965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4＝6+7+8+9＝30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30＝935．故选：D．10．若函数y＝x3﹣x2﹣1﹣a，（，e为自然对数的底数）与y＝x2﹣3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值X围是（）A．B．[0，e3﹣4]C．D．解：根据题意，若函数y＝x3﹣x2﹣1﹣a（x，e为自然对数的底数）与y＝x3﹣3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程x3﹣x2﹣1﹣a＝﹣x2+3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[]上有两组解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数，又由，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点．分析可得：当时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3，比较可得g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3．故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[]上有两组解，必有1≤a+1≤+3，则有0≤a≤+2，则a的取值X围是[0，+2]．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是﹣40 （用数字作答）．解：在（2﹣x）5的展开式中，通项公式为T r+1＝•25﹣r•（﹣x）r，令r＝3，得展开式中x3项的系数是（﹣1）3••25﹣3＝﹣40．故答案为：﹣40．12．数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若，则a n＝2n﹣3；S5＝．解：根据题意，数列{a n}是公比为2的等比数列，若，则a1＝＝，则a n＝a1×q n﹣1＝2n﹣3，S5＝＝＝故答案为：2n﹣3，13．已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%，甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%．从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为0.83 ，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为67.5% .（精确到0.1%）（1）从该电脑卖家中随机购买一台电脑，为甲品牌优质电脑的概率为70%×80%＝0.56，解：为乙品牌优质电脑的概率为（1﹣70%）×90%＝0.27，所以买到优质电脑的概率为0.56+0.27＝0.83；（2）买到的是甲品牌电脑的概率为＝67.5%．故答案为：0.83；67.5%．14．若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则常数φ的一个取值为．解：因为函数f（x）＝sin2x+cos2x＝，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数为，所以函数g（x）的图象关于y轴对称，则有，解得，因为φ＞0，所以当k＝0时，φ＝，则常数φ的一个取值为．故答案为：．15．已知数列{a n}满足不等式2a n≤a n﹣1+a n+1（其中n∈N*，n≥2），对于数列{a n}给出下列五个结论：①a2﹣a1≤a3﹣a2；②a2+a7≤a3+a6；③a2+a3≥a6+a7；④a5≥4a2﹣3a1；⑤数列{a n}的通项公式可以是a n＝nlnn．以上结论正确的有①④⑤．解：①由条件可知：2a2≤a1+a3，即a2﹣a1≤a3﹣a2，故①正确；②由条件可知：a n﹣a n﹣1≤a n+1﹣a n，即a3﹣a2≤a4﹣a3≤a5﹣a4≤a6﹣a5≤a7﹣a6，于是，a3﹣a2≤a7﹣a6，即a3+a6≤a2+a7，故②错误；③设数列a n＝n，满足2a n≤a n﹣1+a n+1，此时a2+a3＝5，a6+a7＝13，此时a2+a3＜a6+a7，不满足a2+a3≥a6+a7，故③错误；④a2﹣a1≤a3﹣a2≤a4﹣a3≤a5﹣a4，即a2﹣a1≤a3﹣a2，a2﹣a1≤a4﹣a3，a2﹣a1≤a5﹣a4，将这三个式子相加可得：3（a2﹣a1）≤a3﹣a2+a4﹣a3+a5﹣a4＝a5﹣a2，即a5≥4a2﹣3a1，故④正确；⑤由2a n≤a n﹣1+a n+1（其中n∈N*，n≥2），联想到当a+b＝2c时，由，可得出函数f（x）是凹函数，如图所示：由于数列也是特殊的函数，故可判断函数y＝xlnx（x＞1）是否是凹函数，由图象可知，曲线上每点的切线斜率即导数是单调递增的，且y'＝lnx+1，设g（x）＝lnx+1，则＞0满足已知条件，故⑤正确．故答案为：①④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①f（0）＝﹣2；②最大值为2；③；④最小正周期为π．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的单调递增区间与最小值．解：（Ⅰ）确定f（x）的三个条件是②，③，④．当A＞0且时，A sinφ＞0．若函数f（x）满足条件①，则f（0）＝A sinφ＝﹣2，与A sinφ＞0矛盾，所以f（x）不能满足条件①．所以能确定f（x）的三个条件是②，③，④．由条件④，得，又ω＞0，所以ω＝2．由条件②，得|A|＝2，又A＞0，所以A＝2．由条件③，得，又，所以．所以．经验证，符合题意．（Ⅱ）函数y＝sin x的单调递增区间为．由，得．又因为，所以f（x）在区间上的单调递增区间为．因为，所以，所以f（x）在区间上的最小值为．17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，2sin A＝sin C．（Ⅰ）求c的长；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）锐角△ABC中，a＝2，2sin A＝sin C，由正弦定理得，＝，∴c＝＝＝4；（Ⅱ）若，则2cos2C﹣1＝﹣，∴cos2C＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＜，解得cos C＝，解法一：∴sin C＝＝；又2sin A＝sin C，∴sin A＝，cos A＝，∴sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴△ABC的面积为S△ABC＝ac sin B＝．解法二：由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即b2﹣b﹣12＝0，解得b＝2或b＝﹣（不合题意，舍去），∴△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝．18．一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得﹣12分）．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．解：（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3．每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为P＝．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝••＝，P（X＝3）＝＝，所以X的分布列为：X0 1 2 3P（Ⅱ）设“第i盘游戏获得”为事件A i（i＝1，2），则．所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为．因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为．（Ⅲ）设每盘游戏得分为Y．由（Ⅰ）知，Y的分布列为：Y﹣12 15 120PY的数学期望为．这表明，获得分数Y的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＜a对恒成立，a的最小值．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝x2﹣lnx﹣，且f（1）＝，∴f′（1）＝0，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣；（Ⅱ）由f′（x）＝x2﹣lnx﹣，设g（x）＝x2﹣lnx﹣，＜x＜e，∴g′（x）＝x﹣＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，∴当＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴当1＜x＜e时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）≥g（1）＝0，∴f′（x）≥0，在（，e）上恒成立，∴f（x）在（，e）上单调递增，∴f（x）＜f（e）＝e3﹣e，∴a≥e3﹣e，∴a的最小值e3﹣e．20．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜成立．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＞0，解得0＜x＜e，令f′（x）＜0，解x＞e，∴函数f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；（2）证明：等价于，即证，由（1）知，，当x＝e时取等号，令，则，易知函数m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴，当x＝1时取等号，∴f（x）＜m（x）对一切x∈（0，+∞）都成立，则对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜成立．21．设等差数列{a n}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6．（Ⅰ）若a2•a10＞0，求d的值；（Ⅱ）若a3＝2，且（5＜n1＜n2＜…＜n t＜…）成等比数列，求n t；（Ⅲ）若（5＜n1＜n2＜…＜n t＜…）成等比数列，求n1的取值集合．【解答】（Ⅰ）解：因为等差数列{a n}的各项均为整数，所以d∈Z．（1分）由a2•a10＞0，得（a5﹣3d）（a5+5d）＞0，即（3d﹣6）（5d+6）＜0，解得．注意到d∈Z，且d≠0，所以d＝﹣1，或d＝1．（Ⅱ）解：由a3＝2，a5＝6，得，从而a n＝a3+（n﹣3）d＝2+（n﹣3）×2＝2n﹣4，故．由，成等比数列，得此等比数列的公比为，从而．由2n t﹣4＝2•3t+1，解得n t＝3t+1+2，t＝1，2，3，…（Ⅲ）解：由，得．由，成等比数列，得．由，化简整理得．因为n1＞5，从而a3＞0，又n1∈Z且d≠0，从而a3是12的非6的正约数，故a3＝1，2，3，4，12．①当a3＝1或a3＝3时，，这与{a n}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠1且a3≠3．②当a3＝4时，由，但此时，这与{a n}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠4．③当a3＝12时，同理可检验a n2∉Z，所以，a3≠12．当a3＝2时，由（Ⅱ）知符合题意．综上，n1的取值只能是n1＝11，即n1的取值集合是{11}．。

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北京市中国人民大学附属中学2021届高三数学开学复习质量检测试题（含解析）一、选择题1.设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（）．A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.已知全集U =R ，若集合{}2|0=-<A x x x ，则UA（）．A. {|0x x ≤或}1x ≥B. {|0x x <或}1x >C. {}1|0x x <<D. {}|1x x ≥【答案】A 【解析】分析：先解一元二次不等式得集合A ，再根据补集定义得结果. 详解：∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<，∴{|0Ux A x =≤或1}x ≥，故选A ．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3.命题p ：∀x>0，1x e >，则p ⌝是 A. ∃00x ≤，01x e ≤ B. ∃00x >，01x e ≤ C. ∀0x >，1x e ≤ D. ∀0x ≤，1x e ≤【答案】A【解析】试题分析：p ⌝是00,1xx e ∃>≤考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论4.若a ， b 是两个非零的平面向量，则“||a b =”是“()()0a b a b +⋅-=”的（）． A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()220a b a b ab +⋅-=-=，得a b =，所以是充要条件，故选C.5.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】【分析】结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】1ln 02a =<，11sin sin ,262b π=<=10,2b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，121222c -==>=，1,12c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故a b c <<，故选：A【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象特点是关键，属于基础题6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A. 最长棱的棱长为6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形【答案】C 【解析】【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图S ABCD -（如图所示）：由图可知，2SA AD ==，1AB BC ==，SA ⊥面ABCD ，AD ⊥面SAB ，AD BC ∥，所以Rt SAB ，Rt SAD ，Rt SBC △中，5SB =6SC =，22SD =2CD =，所以222SC CD SD +=，所以SCD 是直角三角形，所以最长的棱长是2，侧面都是直角三角形．本题选择C 选项.点睛：1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．7.已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.8.已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ∠=，则实数m 的取值范围是（）A. (4,8)B. (4,)+∞C. (0,4)D. (8,)+∞【答案】B 【解析】试题分析：设200(,)4y Q y ，由90OQP ∠=得0OQ PQ ⋅=，即222000()044y y m y -⋅+=，显然00y ≠，因此2044y m =-，所以40m ->，即4m >．选B ．考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题．二、填空题9.双曲线22:14x C y -=的离心率是；渐近线方程是．512y x =± 【解析】试题分析：222224,15a b c a b ==∴=+=，所以离心率e=5c a =，渐近线方程为12b y x x a =±=±, 考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c 求出离心率，渐近线方程 10.若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q ，则35a a +=_____.【答案】20. 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【详解】223513()2520a a q a a +=+=⨯=，故答案为：20．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．11.在△ABC 中，3a =，13b =，60B =，则c = ；△ABC 的面积为_______．【答案】，【解析】由余弦定理，得，解得；由三角形的面积公式，得.考点：余弦定理、三角形的面积公式.12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.【答案】22111()()339x y ++-= 【解析】试题分析：设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(2a+1),13a ∴=-，所以圆心为11(,)33-，半径13，所以圆的标准方程为22111()()339x y ++-=,考点：本题考查圆的标准方程点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为相反数，半径为圆心坐标的绝对值13.已知函数()sin a x x f x =-的一条对称轴为6x π=-，()()120f x fx +=，且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，则12x x +的最小值为______. 【答案】23π 【解析】【分析】分析式子特点可知，当6x π=-时，函数应该取到最值，将6x π=-代入()sin a x x f x =-再结合辅助角公式可先求得a ，结合()()120f x f x +=分析可知，()()2112,,,x y y x 两点关于对称中心对称，求出12x x +的通式，即可求解【详解】()()sin ,tan f aa x x x x ϕϕ=-=+=-，由题可知 sin 666f a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪⎝=⎝-⎭⎭⎝⎭，化简可得2a =，则 ()4sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()120,f x f x +=且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，()()1122,,,x y x y ∴关于对称中心对称，故有1233,2x x k k Z πππ-+-=∈，解得1222,3x x k k Z ππ+=+∈，当0k =时，12x x +的最小值为23π，故答案：23π【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中档题14.函数()x xf ae e x b -=+（,a R b R ++∈∈），已知()f x 的最小值为4，则点(),a b 到直线20x y +-=距离的最小值为______.【解析】分析】可采用基本不等式求得ab，再结合点到直线距离公式即可求解【详解】由题知,a Rb R++∈∈，则()4x xae bef x-=≥=+，当且仅当x xae be-=时取到，则4ab=，点(),a b到直线20x y+=距离d=≥===，mind∴=【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用，数学中的转化思想，属于中档题三、解答题15.设函数()()()()22sin cosf x x x xωωω=⋅-+0>ω）的图象上相邻最高（1）求函数()f x的周期及ω的值；（2）求函数()f x的单调递增区间. 【答案】（1）12,2Tπω==；（2）52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先将表达式结合降幂公式化简，即可求得周期和最值，结合相邻最高点与最低点的距离ω及周期；（2）结合整体法和三角函数图像的性质即可求得；【详解】（1）()()()()22sin cosf x x xxωωω=⋅-=sin222sin23x x xπωωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则2A=，22Tππωω==，图象上相邻最高点与最=12,2Tπω==；（2）()2sin22sin33f xx xππω⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭，令2,2,322x k k k Zπππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，由三角函数的性质求参数，求复合型三角函数的单调区间，属于中档题16.某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）3；2；1（2）分布列见详解；EX=2【解析】【分析】（1）按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可；（2）可明确X的取值有1，2，3，再结合超几何分布求出对应的概率，列出分布列，再求解数学期望即可；【详解】（1）由题知，选择史地政的人数为：4824168--=人，故选择理化生、理化历、史地政的人数比为：3:2:1，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为：3636⨯=人；抽取理化历的人数为：2626⨯=人；抽取理化历的人数为：1616⨯=人；（2）由题可知X的取值有1，2，3，()124236115C CP XC===；()214236325CC P X C ===；()304236135C C P X C ===；故随机变量X 的分布列为：X 1 2 3P15 35 151311232555EX =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查分层抽样的求法，超几何公式的运用，离散型随机变量的分布列与期望的求法，属于中档题17.在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥，M 为PD 的中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N.23DC =，2DA PD ==，1AB =，120PDC ∠=.（1）求证：N 为PC 中点；（2）求证：AD ⊥平面PCD ；（3）T 为PB 中点，求二面角T AC B --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45° 【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质可得AB MN ∥，又由M 为PD 的中点，即可求证N 为PC 中点；（2）利用面面垂直的性质，可过点D 作DH DC ⊥,可证DH AD ⊥，再结合线面垂直的判定定理即可求证；（3）采用建系法以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角T AC B --的大小【详解】（1）//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，由线面平行的性质可得，//AB MN ，又//AB CD ，//MN CD ∴，M 为PD 的中点，N ∴为PC 的中点；（2）过点D 作DH DC ⊥交PC 与点H ，又平面ABCD ⊥平面PCD ，交线为CD ，故DH ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，DH AD ∴⊥，又AD PC ⊥，PCDH H =，∴AD ⊥平面PCD ；（3）由（2）可知AD ⊥平面PCD ，AD CD ∴⊥，故以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：求得(()()()0,3,2,0,0,0,23,0,2,1,0P A C B -，T 为PB 的中点，故3T ⎛ ⎝⎭，3AT ⎛=- ⎝⎭，()223,0AC =-，，可设平面ABC 的法向量为()10,0,1n =，平面TAC 的法向量为()2,,n x y z =，故有222230302n AC x y n AT x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =得1,2y z ==，则()23,1,2n =，故1212122cos ,2122n n n n n n ⋅===⨯⋅，故二面角T AC B --的大小为45° 【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题 18.已知函数()3215132f x x x a x =-+-．（Ⅰ）当6a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的单调区间；（Ⅱ）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出导函数()2'56f x x x =-+，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当0a <时，对x 分类讨论，结合极值概念，即可得到结果. 【详解】（1）当6,0a x =>时，()32156132f x x x x =-+- 所以()()()2'5623f x x x x x =-+=--，令()'0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,+∞上的单调递增区间是()0,2，()3,+∞，单调递减区间是()2,3. (2)当0a <时，若0x <，则()3215132f x x x ax =---，所以()()2'55f x x x a x x a =--=--因为0,0x a <<，所以()'0f x > 若0x >，则()3215132f x x x ax =-+-，所以()2'5f x x x a =-+ 令()'0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．19.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为34-，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴于M ，N 两点，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切.切点为T ，问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为3 【解析】【分析】（1）由斜率之积可求得a ，b 的关系，将31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入可再得a ，b 的关系，解出a ，b 的值，即可求出椭圆的方程；（2）由（1）得A ，B 的坐标，设(,)P m n ，满足椭圆的方程，得直线AP ，BP ，求出M ，N 的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．【详解】（1）设(,)P x y ，由题意得(,0)A a -，(,0)B a ，222AP BPy y y k k x a x a x a ∴⋅=⋅=+--， ∴22234y x a =--而22221x y a b+=得：2234b a =①，又过22319(1,)124a b∴+=②，所以由①②得：24a =，23b =；所以椭圆C 的方程：22143x y +=；（2）由（1）得：(2,0)A -，(2,0)B 设(,)P m n ，22143m n +=，则直线的方程:(2)2n PA y x m =++，令0x =，则22n y m =+，所以M 的坐标2(0,)2nm +，直线PB 的方程：(2)2n y x m =--，令0x =，2n y m -=-，所以坐标2(0,)2nN m --，OT ON OTN OMT OM OT ∆∆∴=∽（圆的切割线定理），再联立22143m n +=，2224||||||34n OT ON OM m ∴===-【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论作为记忆：两对称点为()()1111,,,,A x y B x y --椭圆上一点为(),P x y ，则有22PA PBb k k a⋅=-；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，利用几何关系转化至关重要，属于难题20.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈ 【解析】【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，对x ，y 分类讨论即可得出．（3）存在“减1集” A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集” 同理，*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈，以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯ 【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。

高考数学二轮复习习题精选(附答案)

第1章集合与简易逻辑§1–1集合一、集合的概念1.1.1在“①难解的题目；②方程x2＋1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是()．(A) ②③(B) ①③(C) ②④(D) ①②④解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A．1.1.2下列集合中，有限集是()．(A) {x|x<10，x∈N} (B) {x|x<10，x∈Z}(C) {x|x2<10，x∈Q} (D) {x|x＝y＋10，y∈R}解析由N表示自然数集得{x|x<10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}是有限集，答案为A．1.1.3若集合M＝{x|x≤6}，a＝，则下列结论中正确的是()．(A) {a}M(B) a M(C) {a}∈M(D) a∉M解析因为 <6，则∈M，{a}M，所以，答案为A．1.1.4已知集合A＝{0，1}，B＝{y|y2＝1－x2，x∈A}，则A与B的关系是()．(A) A＝B(B) A B(C) A∈B(D) A B解析由已知得集合B＝{－1，0，1}，所以，A B，答案为B．1.1.5下列四个关系中，正确的是()．(A) ∅∈{0} (B) 0∉{0} (C) {0}∈{0，1} (D) 0∈{0，1}解析∅与{0}，{0}与{0，1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合间关系的“∈”来表达；而0∈{0}，又0是集合{0，1}中的元素，所以，0∈{0，1}是正确的，答案为D．1.1.6设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝()．(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －2解析由已知得0∈{1，a＋b，a}，而a≠0，于是，只能a＋b＝0，则＝－1，又－1∈{1，a＋b，a}，所以，a＝－1，b＝1，b－a＝2，答案为C．1.1.7用适当的方式写出下列集合：(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合；(2) 不大于6的非负整数所组成的集合；(3) 所有正奇数组成的集合；(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合；(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集；(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合；(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合．解析(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}．(2) 不大于6的非负整数所组成的集合是{0，1，2，3，4，5，6}．(3) 所有正奇数组成的集合是{x|x＝2k＋1，k∈N}．(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合是{x|x3＋6＝0，x∈R}．(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集{x|x2－5x＋4<0}或写成{x|1<x<4}．(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x，y)|x>0且y>0}．(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合是{(x，y)|y＝2x －1}．1.1.8已知集合A＝{1，3，x}，集合B＝{1，x2}，若有B A且x∉B，则A＝．解析由x2∈A及x∉B得x2＝3，解得x＝±，经检验此x的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A＝{1，3，}或{1，3，－}．1.1.9集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围是．解析由已知可得解得－1≤m≤．1.1.10若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为()．(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2解析将点(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)的坐标代入不等式组可知只有点(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四个点在集合N内，所以，答案为C．1.1.11定义集合运算：A☉B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为()．(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18解析由已知可得A☉B＝{0，6，12}，所以，A☉B中所有元素之和为18，答案为D．1.1.12设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()．(A) 自然数集(B) 整数集(C) 有理数集 (D) 无理数集解析任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C．1.1.13集合M＝{x|a1x>b1}，N＝{x|a2x>b2}，其中常数a1b1a2b2≠0，则“”是“M＝N”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若a1＝b1＝1，a2＝b2＝－1，则有，此时，M＝{x|x>1}，N＝{x|x<1}，M≠N；若M＝N，则必有a1a2>0，于是，M＝，N＝，或者，M＝，N＝，于是，，即，所以，“”是“M＝N”的必要不充分条件，答案为B．1.1.14已知集合M＝{x|x≤a2＋b2}，其中a，b是常数．给出下列四个命题：① 2ab一定属于M② 2ab一定不属于M③－2ab一定属于M④－2ab一定不属于M其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．解析由(a－b)2≥0和(a＋b)2≥0对任意a，b∈R恒成立可得2ab≤a2＋b2，－2ab≤a2＋b2，所以，2ab∈M，－2ab∈M，在上述四个命题中，①和③是正确的．1.1.15已知集合A是非零实数集的子集，并且有如下性质：对任意x∈A，必有3－∈A．问：(1) 集合A可否有且仅有一个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由；(2) 集合A可否有且仅有两个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由．解析(1) 若集合A中有且仅有一个元素x，则3－＝x，即x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以，集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集．(2) 集合{1，2}是满足要求的二元集．若集合A＝{a，b}是满足要求的二元集，并且即则a＝b，矛盾，所以，满足要求的二元集只能是{1，2}．1.1.16同时满足{1}A⊆{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是()．(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8解析若A为二元集，则A可为{1，2}、{1，4}；若A为三元集，则A可为{1，2，4}、{1，3，5}；若A为四元集，则A可为{1，2，3，5}、{1，3，4，5}；若A为五元集，则A可为{1，2，3，4，5}，所以，共有7个符合条件的集合，答案为C．1.1.17对于集合A和B，当A B时，下列集合之间的关系一定不能成立的是()．(A) ∅⊆A(B) ∅B(C) B＝∅(D) A＝∅解析由于不存在集合是空集的真子集，所以，由A B可得B≠∅，所以，答案为C．1.1.18下列各组集合中，M与P表示同一个集合的是()．(A) M＝{(1，－3)}，P＝{(－3，1)}(B) M＝∅，P＝{0}(C) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}(D) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}解析(1，－3)与(－3，1)是平面直角坐标系中两个不相同的点；集合{0}中有一个元素，它不是空集．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}是二次函数y＝x2＋1的因变量的集合，它是一个数集，而集合P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛物线，它是点的集合．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{y|y≥1}，所以，答案为D．1.1.19写出集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2且x＋y＝0}的所有子集：．解析集合A＝{(1，－1)，(－1，1)}，所以，A的所有子集是∅，{(1，－1)}，{(－1，1)}，{(1，－1)，(－1，1)}．1.1.20用适当的方式写出下列集合并化简：(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合：；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合：；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合：．解析(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合是{x|x2＋2＝0，x∈R}＝∅；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合是{y|y＝3x＋2，1≤x≤3}＝{y|5≤y≤11}；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合是{y|y＝－x2＋4x ＋3，x∈R}＝{y|y≤7}．1.1.21已知集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a的值是．解析要使得集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a＝0或Δ＝22－4a＝0，所以，a＝0或a＝1．1.1.22关于x的不等式≤的解集是A，关于x的不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a ＋1)≤0 (其中a∈R)的解集是B，求使A⊆B的a的取值范围．解析不等式≤的解集A＝[2a，a2＋1]．不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0即为(x－2)(x－3a－1)≤0．若a≥，则B＝[2，3a＋1]；若a<，则B＝[3a＋1，2]．由A⊆B得或解得1≤a≤3或a＝－1．所以，a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3．1.1.23已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0，x∈R}，若B⊆A，C⊆A，求实数a，b应满足的条件．解析集合A＝{1，2}，而x2－ax＋(a－1)＝0即为(x－1)(x－a＋1)＝0，若a－1＝1，即a＝2，则B＝{1}满足；若a－1≠1，即a≠2，则B＝{1，a－1}，由B⊆A知a－1＝2，即a＝3．对于集合C，由C⊆A知，若C＝∅，则Δ＝(－b)2－8<0，解得－2<b<2；若C为单元集，则Δ＝(－b)2－8＝0，此时C＝{}或C＝{－}，与C⊆A矛盾；若C＝{1，2}，即C中方程两根为1和2，则b＝3．所以，a，b应满足的条件是a＝2或a＝3而－2<b<2或b＝3．1.1.24已知集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|x＋y＝3，0≤x≤3}，若有且仅有一个点同时属于集合A和B，求实数m的取值范围．解析由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点．由得x2－(1＋m)x＋4＝0，该方程在区间[0，3]上只有一个解．若Δ＝(m＋1)2－16＝0，则m＝3或m＝－5，如果m＝3，解得x＝2；如果m＝－5，解得x＝－2∉[0，3]，于是m＝－5舍去．若Δ>0，则记f(x)＝x2－(1＋m)x＋4，此时，只需f(3)<0，即9－3(m＋1)＋4<0，解得m>．所以，m的取值范围是m>或m＝3．1.1.25设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i＝{a i，b i}，S j＝{a j，b j}(i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k})，都有min≠min(min{x，y}表示两个数x，y中的较小者)，则k的最大值是()．(A) 10 (B) 11(C) 12 (D) 13解析集合M的所有两元子集是{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共计15个，其中，不同min (i＝1，2，…，15)有共11个，所以，答案为B．1.1.26设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a ＋b，a－b，ab，∈P (除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是(把你认为正确的命题的序号填上)．解析因为任意两个整数的商不一定是整数，故命题①不正确；当集合M ＝Q∪{}时，由于1∈Q，而∉M，故命题②不正确；由数域P的定义知，必有＝1∈P，从而2∈P，则3∈P，…，所以，整数集Z⊆P，故数域P中必有无穷多个元素，命题③正确；由于数集F＝{a＋b|a，b∈Q}是数域，则将其中的换成，…等仍为数域，所以数域有无穷多个，命题④正确．所以，在上述四个命题中，正确命题的序号是③，④．1.1.27非空集合G关于运算⊕满足：(1) 对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2) 存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G＝{二次三项式}，⊕多项式的乘法；⑤G＝{虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是(写出所有“融洽集”的序号)．解析对于非负整数集以及加法运算，两个非负整数之和一定是非负整数，其中e＝0；对于偶数集和乘法运算，其中不存在满足要求的元素e；对于平面向量集合以及向量的加法运算，任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量，e＝；对于二次三项式集合以及多项式的乘法，其中不存在满足要求的元素e；对于虚数集和复数的乘法运算，其中不存在满足要求的元素e，所以，集合G关于运算⊕为“融洽集”的是①和③．1.1.28已知集合S＝{x|x＝m2＋n2，m，n∈Z}．求证：若a，b∈S，则ab ∈S．解析由a，b∈S得存在整数p，q，r，s，使得a＝p2＋q2，b＝r2＋s2，则ab＝(p2＋q2)(r2＋s2)＝p2r2＋q2s2＋p2s2＋q2r2＝(pr＋qs)2＋(ps－qr)2，其中pr＋qs 和ps－qr都是整数，所以，ab∈S．1.1.29已知集合A＝{x|x＝12a＋8b，a，b∈Z}，B＝{y|y＝20c＋16d，c，d ∈Z}．判断集合A与集合B之间存在什么关系，并说明理由．解析若y∈B，即y＝20c＋16d＝12c＋8(c＋2d)，因为c，d∈Z，则有c＋2d∈Z，得y∈A，于是B⊆A；若x∈A，则x＝12a＋8b＝60a－48a＋40b－32b ＝20(3a＋2b)＋16(－3a－2b)，因为a，b∈Z，则有3a＋2b，－3a－2b∈Z，于是A⊆B．所以，A＝B．1.1.30若f(x)＝x2＋ax＋b，a，b∈R，A＝{x|x＝f(x)，x∈R}，B＝{x|x＝f[f(x)]，x∈C}．(1) 写出集合A与B之间的关系，并证明；(2) 当A＝{－1，3}时，用列举法表示集合B．解析(1) 任取x∈A，则f(x)＝x，于是，f [ f(x)]＝f(x)＝x，即有x∈B，所以有A⊆B，但由于x＝f[f(x)]必为四次方程，在复数集C上有4个根，所以A B．(2) 当A＝{－1，3}时，即方程x2＋ax＋b＝x的两根为－1、3，于是－1＋3＝－(a－1)，(－1)×3＝b，所以a＝－1，b＝－3，即f(x)＝x2－x－3，此时，集合B中的方程为(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，即(x2－x－3)2－x2＝0，(x2－3)(x2－2x－3)＝0，所以，B＝{－1，3，，－}．1.1.31已知A＝{(x，y)|x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|xy ＝－10，x，y∈R}．(1) 对于直线m和直线外的一点P，用“m上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线m的距离与原有的点线距离概念是等价的．试以类似的方式给出一个点集A与B的“距离”的定义；(2) 依照(1)中的定义求出A与B 的“距离”．解析(1) 定义：在点集A，B中分别任取一点，所取两点间的距离若有最小值，则此最小值称为点集A与B的“距离”．(2) 集合A中的点构成一个圆，其方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－2，－2)，半径为1，设P(x，y)为曲线xy＝－10上任意一点，则|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＝x2＋y2＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2－2xy＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2＋4(x＋y)＋28＝(x＋y＋2)2＋24．＝2，所以，A与B的“距离”为2－当且仅当即或时，|PC＝24，|PC|最小值1．二、集合的运算1.1.32已知全集I＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6}，集合A＝{a1，a3，a4，a5}，B＝{a1，a4}，则A∩∁I B＝()．(A) {a1，a4} (B) {a2，a6}(C) {a3，a5} (D) {a2，a3，a5，a6}解析∁I B＝{a2，a3，a5，a6}，所以，A∩∁I B＝{a3，a5}，答案为C．1.1.33若集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝()．(A) {3} (B) {0} (C) {0，2} (D) {0，3}解析M＝[－2，2]，N＝{0，3}，所以M∩N＝{0}，答案为B．1.1.34设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是()．(A) (∁I A)∪B＝I(B) (∁I A)∪(∁I B)＝I题1.1.34(C) A∩(∁I B)＝∅(D) (∁I A)∩(∁I B)＝(∁I B)解析集合A，B，I的关系如图所示，可知(∁I A)∪(∁I B)＝∁I A≠I，所以，答案为B．1.1.35设全集I＝{2，3，5}，A＝{|a－5|，2}，∁I A＝{5}，则a的值为()．(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D) －2或8解析由A∪∁I A＝I得|a－5|＝3，所以a＝2或8，答案为C．1.1.36设集合M＝{x|a1x2＋b1x＋c1＝0}，N＝{x|a2x2＋b2x＋c2＝0}，则方程(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0的解集是()．(A) M∩N(B) M∪N(C) N(D) M解析由(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0可得(a1x2＋b1x＋c1)＝0或(a2x2＋b2x＋c2)＝0，所以，该方程的解集是M∪N，答案为B．1.1.37若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩P＝()．(A) (1，－1) (B) {x＝1}∪{y＝－1}(C) {1，－1} (D) {(1，－1)}解析由得所以，M∩P＝{(1，－1)}，答案为D．1.1.38满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M 的个数是()．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解析由M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}知a1、a2∈M，a3∉M，a4可以在集合M也可以不在集合M中，所以，满足要求的集合M的个数是2个．答案为B．1.1.39若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()．(A) A⊆C(B) C⊆A(C) A≠C(D) A＝∅解析任取x∈A，则x∈A∪B＝B∩C，于是，x∈B∩C，则x∈C，所以，A⊆C，答案为A．1.1.40已知A＝{x|x≤7}，B＝{x|x<2}，C＝{x|x>5}，则A∩B＝；A ∪C＝；A∩B∩C＝．解析由已知得A∩B＝{x|x<2}，A∪C＝R，A∩B∩C＝∅．1.1.41若集合A＝{x|－2<x<1或x>1}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|1<x≤3}，则a＝；b＝．解析在数轴上画出集合A∪B和A∩B可得a＝1，b＝3．1.1.42全集U的子集A、B、C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A、B、C，试用集合A、B、C的运算结果表述图中的阴影所代表的集合：．解析图中的阴影部分表示集合∁U A∩B∩C．题1.1.41题1.1.421.1.43已知a>b>0，全集I＝R，集合M＝，N＝，P＝{x|b<x<}，则下列关系式中正确的是()．(A) P＝M∩∁I N(B) P＝∁I M∩N(C) P＝M∪N(D) P＝M∩N题1.1.43 解析由a>b>0得b<<<a，将集合M，N表示在数轴上可知P＝M∩∁I N，答案为A．1.1.44对于集合A，B，C，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若A＝B，则显然有A∩C＝B∩C；反之，若C＝{1}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，此时A∩C＝B∩C＝{1}，但A≠B，所以，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的必要不充分条件，答案为B．1.1.45设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么∁I(M∪N)＝()．(A) ∅(B) {(2，3)}(C) (2，3) (D) {(x，y)|y＝x＋1}解析集合I表示平面上所有的点，集合M表示直线y＝x＋1上除(2，3)外的所有点，集合N表示不在直线y＝x＋1上的所有点，所以M∪N表示平面上除(2，3)外的所有点，所以，∁I(M∪N)是集合{(2，3)}，答案为B．1.1.46若全集I＝R，f(x)，g(x)都是定义域为R的函数，P＝{x|f(x)<0}，Q ＝{x|g(x)≥0}，则不等式组的解集用P，Q表示为．解析由已知可得不等式g(x)<0的解集是∁I Q，所以，不等式组的解集是P∩∁I Q．1.1.47设P表示△ABC所在平面上的点，则集合{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝．解析由已知得点P到△ABC三顶点等距，所以，{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝{△ABC的外心}．1.1.48集合A＝{(x，y)|ax＋y＝1}，B＝{(x，y)|x＋ay＝1}，C＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，分别求使得集合(A∪B)∩C为含有两个元素和三个元素的集合的a的值．解析集合A、B分别表示过定点(0，1)和(1，0)的两条直线，集合C表示单位圆，且(0，1)，(1，0)∈C，若(A∪B)∩C含有两个元素，则两直线重合或同时与圆相切，可得a＝1或a＝0．若(A∪B)∩C含有三个元素，即表明两条直线与圆有且仅有三个公共点，由于两直线或同时与圆相切，或同时与圆不相切，则必须有上述两条直线的交点在圆上，两直线的交点是，则＝1，所以，a＝－1±．1.1.49若集合A是一个有限集，我们以f(A)表示该集合中元素的个数．例如：f (∅)＝0，f ({a })＝1等等．(1) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R}，若集合N ＝{(x ，y )|y ＝b }，其中b 是实常数，求f (M ∩N )的值；(2) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈Z}，若集合P ＝{(x ，y )|y ＝x ＋p }，其中p 是实常数，如果存在整数k 使得(k ，k 2)∈M ∩P ，求证：f (M ∩P )＝2．解析 (1) 若b <0，则f (M ∩N )＝0；若b ＝0，则f (M ∩N )＝1；若b >0，则f (M ∩N )＝2．(2) 由已知可得关于x 的方程x 2＝x ＋p 有一个根是k ，则k 2＝k ＋p ，即p ＝k 2－k ，于是，方程x 2＝x ＋p 即为x 2－x －(k －1)k ＝0，即(x －k )(x ＋k －1)＝0，解得x ＝k 或x ＝1－k ，所以，M ∩P ＝{(k ，k 2)，(1－k ，(1－k )2)}，由k 是整数得k ≠1－k ，则f (M ∩N )＝2．1.1.50 设全集为R ，A ＝{x |x 2－5x －6>0}，B ＝{x ‖x －5|<a }(a 是常数)，且11∈B ，则( )．(A) ∁R A ∪B ＝R (B) A ∪∁R B ＝R(C) ∁R A ∪∁R B ＝R (D) A ∪B ＝R解析集合A ＝{x |x >6或x <－1}，由11∈B 得|11－5|<a ，即a >6，集合B ＝(5－a ，5＋a )，此时5－a <－1，5＋a >6，所以，A ∪B ＝R ，答案为D ．1.1.51 已知P ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则P ∩Q ＝( )．(A) {(0，1)，(1，0)} (B) {0，1}(C) {1，2} (D) {y |y ≥1}解析集合P ，Q 分别是函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋1的值域，于是P ＝[1，＋∞)，Q ＝R ，所以P ∩Q ＝[1，＋∞)，答案为D ．1.1.52 设A 、B 是两个非空集合，定义A 与B 的“差集”为A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －(A －B )＝( )．(A) B (B) A ∩B (C) A ∪B (D) A解析由“差集”的定义可知集合A –B 如图中阴影部分所示，所以，A －(A －B )＝A ∩B ，答案为B ．1.1.53 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )．(A) mn (B) m ＋n (C) n －m (D) m －n解析由文氏图可得A ∩B 的元素个数为m －n ，答案为D ．1.1.54 设全集U ＝N *，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝3n ，n ∈N *}，则∁U (A ∪B )＝( )．(A) {x |x ＝6n ，n ∈N *} (B) {x |x ＝6n ±1，n ∈N *}(C) {x |x ＝6n ±2，n ∈N *} (D) {x |x ＝6n ±3，n ∈N *}解析对于x ＝2n ，n ∈N *，若n ＝3k (k ∈N *)，则x ＝6k ；若n ＝3k －1 (k ∈题1.1.52题1.1.53N *)，则x ＝6k －2；若n ＝3k －2 (k ∈N *)，则x ＝6k －4，对于x ＝3n ，若n ＝2k (k ∈N *)，则x ＝6k ；若n ＝2k －1 (k ∈N *)，则x ＝6k －3，所以，∁U (A ∪B )＝ {x |x ＝6n ±1，n ∈N *}，答案为B ．1.1.55 我们称(P ，Q )为“有序集合对”，其中P ，Q 是集合，当P ≠Q 时，认为(P ，Q )与(Q ，P )是两个不同的“有序集合对”．那么，使得A ∪B ＝{a ，b }成立的“有序集合对”(A ，B )共有( )个．(A) 9 (B) 4 (C) 7 (D) 16 解析若A ＝∅，则只能B ＝{a ，b }；若A ＝{a }，则B 可以为{b }或{a ，b }；若A ＝{b }，则B 可以为{a }或{a ，b }；若A ＝{a ，b }，则B 可以是∅，{a }，{b }，{a ，b }这四个集合中的某一个，所以，使得A ∪B ＝{a ，b }成立的“有序集合对”(A ，B )共有9个，答案为A ．1.1.56 有限集合S 中元素的个数记做card(S )．设A ，B都为有限集合，给出下列命题：① A ∩B ＝∅的充要条件是card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )；② A ⊆B 的必要条件是card(A )≤card(B )；③ A ⊈B 的充分条件是card(A )≤card(B )；④ A ＝B 的充要条件是card(A )＝card(B )，其中真命题的序号是( )．(A) ③，④ (B) ①，②(C) ①，④ (D)②，③ 解析用文氏图可知，当A ∩B ＝∅时，必有card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )．反之，若card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )，也必有A ∩B ＝∅．于是，card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )是A ∩B ＝∅的充要条件；若A ⊆B ，则card(A )≤card(B )；反之，当card(A )≤card(B )时，未必有A ⊆B ，于是，card(A )≤card(B )是A ⊆B 的必要条件；当card(A )≤card(B )时，有可能有A ⊆B ，于是，card(A )≤card(B )是A ⊈B 的既不充分，也不必要条件；card(A )＝card(B )是A ＝B 的必要不充分条件，所以，答案为B ．1.1.57 若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )．(A) x ∈C 是x ∈A 的充分条件但不是必要条件(B) x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件(C) x ∈C 是x ∈A 的充要条件(D) x ∈C 既不是x ∈A 的充分条件，也不是x ∈A 的必要条件解析若x ∈A ，则一定有x ∈A ∪B ＝C ，于是，x ∈C 是x ∈A 的必要条件；如果x ∈C ＝A ∪B 时必有x ∈A ，则C ⊆A ，即A ∪B ⊆A ，于是，任取y ∈B ⊆A ∪B ⊆A ，则y ∈A ，B ⊆A ，矛盾，所以，x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件，答案为B ．题1.1.561.1.58 已知集合M ＝{2，3，m 2＋4m ＋2}，P ＝{0，7，m 2＋4m －2，2－m }满足M ∩P ＝{3，7}，则实数m 的值是．解析由已知得7∈M ，则m 2＋4m ＋2＝7，解得m ＝1或m ＝－5．若m ＝1，则m 2＋4m －2＝3，2－m ＝1．若m ＝－5，2－m ＝7，与集合中元素的互异性矛盾，所以，m 的值是1．1.1.59 如果全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e ，f }，A ＝{a ，b ，c ，d }，A ∩B ＝{a }，∁U (A ∪B )＝{f }，则B＝．解析由表示集合U ，A ，B 的图形可得只有e ∈(∁U A )∩B ，所以，B ＝{a ，e }．1.1.60 如果全集U 含有12个元素，P ，Q 都是U 的子集，P ∩Q 中含有2个元素，∁U P ∩∁U Q 含有4个元素，∁U P ∩Q含有3个元素，则P 含有个元素；Q 含有个元素．解析由表示集合U ，P ，Q 的图形可得P ，Q 中各有5个元素．1.1.61 集合A ＝{x |x ＝5k ＋3，k ∈N}， B ＝{x |x ＝7k ＋2，k ∈N}，则A ∩B 中的最小元素是．解析由已知可得集合A ＝{3，8，13，18，23，28，33，…}， B ＝{2，9，16，23，30，…}，所以，A ∩B 中的最小元素是23．1.1.62 已知集合A ＝{x |－8≤x ≤6}，B ＝{x |x ≤m }，若A∪B ≠B 且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是．解析将集合A ，B 表示在数轴上可知m 的取值范围是－8≤m <6．1.1.63 已知常数a 是正整数，集合A ＝， B ＝{x ‖x |<2a ，x ∈Z}，则集合A ∪B 中所有元素之和为．解析由|x －a |<a ＋可得－<x <2a ＋，而x ∈Z ，于是，A ＝{0，1，2，3，…，2a －1，2a }，由|x |<2a 得－2a <x <2a ，又x ∈Z ，则B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，(2a －2)，(2a －1)}．于是，A ∪B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，－1，0，1，…，(2a －2)，(2a －1)，2a }，其中所有元素之和为2a ．1.1.64 我们将b －a 称为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”．若集合M ＝，N ＝，且M 和N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，则集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )．(A) (B) (C) (D)解析集合M 和N 的“长度”分别是和，又M 和N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，于是，当m ＝，n ＝0时，集合M ∩N 的“长度”取得最小值，答案为B ．题1.1.59 题1.1.60 题1.1.621.1.65已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A∩R＋＝∅，求实数m的取值范围．解析若A＝∅，则Δ＝(m＋2)2－4<0，解得－4<m<0；若A≠∅，则由x2＋(m＋2)x＋1＝0没有正数根得解得m≥0．所以，m的取值范围是m>－4．1.1.66若集合A＝{x|x2－2ax＋a＝0，x∈R}，B＝{x|x2－4x＋a＋5＝0，x ∈R}．(1) 若A＝B＝∅，求a的取值范围；(2) 若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；(3) 若A和B中有且仅有一个是∅，求a的取值范围．解析(1) 若A＝∅，则4a2－4a<0，解得0<a<1．若B＝∅，则16－4(a＋5)<0，解得a>－1，所以，使A＝B＝∅成立的a的取值范围是0<a<1．(2) 设A'＝(0，1)，B'＝(－1，＋∞)，则使A和B中至少有一个是∅的实数a ∈A'∪B'，即使A和B中至少有一个是∅的实数a的取值范围是a>－1．(3) 使A和B中有且仅有一个是∅的a∈[A'∩(∁R B')]∪[(∁R A')∩B']，所以，使A和B中有且仅有一个是∅的a的取值范围是－1<a≤0或a≥1．§1–2简易逻辑一、命题1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的()．(A) 否命题必是真命题(B) 否命题必是假命题(C) 原命题必是假命题(D) 逆否命题必是真命题解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．1.2.2命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()．(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C) 存在x∈R，x3－x2＋1>0(D) 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋1>0”，答案为C．1.2.3与命题“若a∉M，则b∉M”等价的命题是()．(A) 若b∈M，则a∉M(B) 若b∉M，则a∈M(C) 若b∈M，则a∈M(D) 若a∉M，则b∈M解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，所以，答案为C．1.2.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()．(A) 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立(B) 若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立(C) 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立(D) 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析由25>16得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，答案为D．1.2.5命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()．(A) 若x2≥1，则x≥1或x≤－1 (B) 若－1<x<1，则x2<1(C) 若x>1或x<－1，则x2>1 (D) 若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，答案为D．1.2.6在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是．解析原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．当A∩B＝A 时，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，则A⊆B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题．原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．1.2.7若a，b都是非零实数，证明：|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．解析若|a|＋|b|＝|a＋b|，则(|a|＋|b|)2＝|a＋b|2，a2＋b2＋2|a||b|＝a2＋b2＋2ab，于是，|ab|＝ab，可得ab>0；若ab>0，则或于是，|a|＋|b|＝|a＋b|．所以，当a，b都是非零实数时，|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．1.2.8已知A和B都是非空集合，证明：“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．解析若A∪B＝A∩B，则任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，则x∈B，所以，A⊆B，同理可得B⊆A，于是，A＝B；若A＝B，则显然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．1.2.9已知a，b，c是实数，则与“a，b，c互不相等”等价的是()．(A) a≠b且b≠c(B) (a－b)(b－c)(c－a)≠0(C) (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(D) a2，b2，c2互不相等解析由于不相等关系不具有传递性，当a≠b且b≠c，a与c可能相等；由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一个不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等价于“a，b，c不全相等”，而不能等价于“a，b，c互不相等”；a＝－1，b＝0，c＝1，此时a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”与“a2，b2，c2互不相等”不是等价的；a≠b等价于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等价于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同时成立，所以，“a，b，c互不相等”与“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等价，答案为B．1.2.10命题“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为．解析原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则ab≠0”．1.2.11给出下列四个命题：①若x2＝y2，则x＝y；②若x≠y，则x2≠y2；③若x2≠y2，则x≠y；④若x≠y且x≠－y，则x2≠y2，其中真命题的序号是．解析由x2＝y2可得x＝y或x＝－y，命题①不成立；若x＝－y≠0，此时x≠y，而x2＝y2，于是，命题②不成立；若x2≠y2时有x＝y，则可得x2＝y2，矛盾，于是，命题③成立；对于x≠y且x≠－y，如果x2＝y2，则有x＝y或x＝－y，即x＝y与x＝－y至少有一个成立，矛盾，于是，命题④成立．所以，上述四个命题中，真命题的序号是③和④．1.2.12已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根．命题q：方程4x2＋ 4(m－2)x＋1＝0没有实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m 的取值范围．解析当命题p为真时，应有解得m>2．当命题q为真时，应有Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m<3．于是，使“p或q”为真的m的取值范围是m>1，使“p且q”为假的m的取值范围是m≤2或m≥3，所以，使两者同时成立的m 的取值范围是m≥3或1<m≤2．1.2.13某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正有个数之和为负．求证：他一定不能写出满足要求的数表．解析若此人能写出满足要求的数表，则由a11＋a12＋a13>0，a21＋a22＋a23>0，a31＋a32＋a33>0可得数表中的九个数之和为正；同时，又有a11＋a21＋a31<0，a12＋a22＋a32<0，a13＋a23＋a33<0，则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此人一定不能写出满足要求的数表．1.2.14设a，b∈R，A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}都是平面xOy内的点的集合．求证：不存在a，b，使得A∩B≠∅，且点(a，b)∈C 同时成立．解析设满足要求的a，b存在，则P(a，b)∈C，即a2＋b2≤144．由得ax＋b－(3x2＋15)＝0，在aOb平面内，原点到直线ax＋b－(3x2＋15)＝0的距离是＝3≥12，其中等号当且仅当3，即x2＝3时成立，但它与x∈Z矛盾，所以，使A∩B≠∅成立的(a，b)必有 >12，与a2＋b2≤144矛盾，所以，满足要求的a，b不存在．1.2.15中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：(1) 自反性：对于任意a∈A，都有a~a；(2) 对称性：对于a，b∈A，若a~b，则有b~a；(3) 传递性：对于a，b，c∈A，若a~b，b~c，则有a~c，则称“~”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：．解析由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系．1.2.16已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．写出命题“若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”的逆命题，并判断其真假．若所写命题是真命题，给出证明；若所写命题是假命题，给出反例．解析所求逆命题为：已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．若f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，则a＋b>0．该命题是真命题．证明如下：若a＋b≤0，即a≤－b，由函数f(x)在R上是增函数得f(a)≤f(－b)，同理f(b)≤f(－a)，由此可得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛盾．所以，a＋b>0．二、充分条件和必要条件1.2.17两个圆“周长相等”是“面积相等”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析两个圆周长相等，则由2πr1＝2πr2得两圆半径r1＝r2，则两圆面积相等，反之亦然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件，答案为C．1.2.18P：四边形四条边长相等，Q：四边形是平行四边形，则P是Q的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当四边形的四条边长相同时，它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行四边形的四条边长不一定都相等，所以，P是Q的充分不必要条件，答案为A．1.2.19已知a，b，c，d都是实数，则“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的()．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析对于实数a ，b ，c ，d ，如果a ＝b 且c ＝d ，则有a －b ＝0，c －d ＝0，则a ＋c －(b ＋d )＝(a －b )＋(c －d )＝0，于是，a ＋c ＝b ＋d ；反之，如果a ＝1，b ＝2，c ＝4，d ＝3，有a ＋c ＝b ＋d ，但此时a ≠b ，c ≠d ，所以，“a ＝b 且c ＝d ”是“a ＋c ＝b ＋d ”的充分不必要条件，答案为A ．1.2.20 已知a ，b ，c 是实数，则“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析如果a ＝b ，则a －b ＝0，于是，ac －bc ＝(a －b )c ＝0，可得ac ＝bc ；反之，如果c ＝0，a ＝1，b ＝2，此时有ac ＝bc ，但a ≠b ，所以，“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，答案为A ．1.2.21 设m ，n 是整数，则“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析如果m ，n 均为偶数，则m ＋n 一定是偶数；反之，如果m ＝1，n ＝3，m ＋n ＝4为偶数，但此时m 和n 都不是偶数，所以，“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的充分而不必要条件，答案为A ．1.2.22 设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是∁U A ∪B ＝U 的( )．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析由表示集合U ，A ，B 关系的图形可知当A B 时必有∁U A ∪B ＝U 成立，反之，当A ＝B 时，也有∁U A ∪B ＝U 成立，即A 是B 的真子集不是∁U A ∪B ＝U 成立的必要条件，所以，答案为A ．1.2.23 对于集合M 和P ，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析由表示集合M ，P 的图形可知当x ∈M 或x ∈P 时不一定有x ∈M ∩P ，而当x ∈M ∩P 时必有x ∈M 或x ∈P ，所以，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件，答案为B ．题1.2.22题1.2.231.2.24如果x，y是实数，那么“cos x＝cos y”是“x＝y”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当cos x＝cos y时，不一定有x＝y，而当x＝y时，必有 cos x＝cos y，所以，“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，答案为B．1.2.25使不等式(1－|x|)(1＋x)>0成立的充要条件为()．(A) x<－1或x>1 (B) －1<x<1(C) x>－1且x≠1(D) x<1且x≠－1解析此不等式等价于或解得－1<x<1或x<－1，即为x<1且x≠－1，所以，答案为D．1.2.26一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是()．(A) ab>0 (B) ab<0 (C) ac>0 (D) ac<0解析若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根x1和一个负数根x2，则x1x2＝<0，则ac<0；反之，若ac<0，一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，此方程一定有两个实数根，且两根之积为<0，这两个实数根一定是一个正数和一个负数，所以，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是ac<0，答案为D．1.2.27“x>1”是“<1”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若x>1，则－1＝<0，即<1；反之，如果x<0，则有<1，此时，x>1不成立，所以，“x>1”是“<1”的充分不必要条件，答案为A．1.2.28已知x是实数，则“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果x＝3，则x≠1，此时x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0；反之，如果x2－4x＋3≠0，即(x－3)(x－1)≠0，则x≠3且x≠1，所以，“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分条件，答案为B．1.2.29“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果一个正整数的个位数是5，即此正整数一定可表示成10k＋5(k 是非负整数)，它一定是5的倍数；反之，可写成10n(n是正整数)的正整数一定是5的倍数，但它的个位数不是5，所以，“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的充分不必要条件，答案为A．1.2.30对于集合A，B，下列四个命题中正确的是()．。

北京市人大附中2021年高考复习数学模拟试卷(理科)(一)

푦 = 푠푖푛휃 + 2
极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线 l 截圆 C 所得的弦长是
．
1
{ 12．（5 分）已知函数f(x) = 푥，푥 ≥ 1 ，若关于 x 的方程 f（x）＝k 有两个不同零点，则 k 的取值范围 푥3 푥 1 ，＜
是
．
13．（5 分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此
0
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．
{ 푓(푥 ‒ 1) 푥 1
3
4．（5 分）（2021•海淀区校级模拟）f（x）是 R 上的奇函数，且 f（x） =
푙표푔2푥 0， 푥＞≤ 1，则 f（，＜
-
2
）＝（）
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
4
17．（13 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，△ABC 和△PAC 都是正三角形，AC＝2，E、F 分别是 AC、 BC 的中点，且 PD⊥AB 于 D，平面 PAC⊥平面 ABC．（Ⅰ）证明：EF⊥ED；（Ⅱ）求点 F 到平面 PAB 的距离．
高考
20．（14 分）数列 An：a1，a2，…，an（n≥2）满足：ak＜1（k＝1，2，…，n）．记 An 的前 k 项和为 Sk ，并规定 S0＝0．定义集合 En＝{k∈N*，k≤n|Sk＞S ，j＝0，1，…，k﹣1}．
j
（Ⅰ）对数列 A5：﹣0.3，0.7，﹣0.1，0.9，0.1，求集合 E5；
푥2 푦2 A． 3 ‒ 2 = 1
2
B．푥3 ‒ y2＝1

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[高考数学理科]2020 年人大附中二轮专题复习
∴4ab＝1，因此|a＋b|2＝a2＋b2＋2|ab|≥4|ab|＝1，
则|a＋b|≥1.
容易验证，A，B，D 均不正确.
答案 C
16.已知函数 f(x)＝aln(x＋1)－x2，在区间(0，1)内任取两个实数 p，q，且 p≠q，不等式
f（p＋1）－f（q＋1） >1 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )
{ ) 函数值相等，因此函数
f(x)＝
ln|x|，x ≠ 0，x＝0
0，
不可能为
R
上的增函数，因此符合条件的函数个
数为 2.
[高考数学理科]2020 年人大附中二轮专题复习
答案 B
x2 y2
1
y2 x2
11.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，抛物线 y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1 的渐近线
a
4ω
4
2
π
b
k∈Z⟹φ＝＋kπ，即＝tan φ＝1⟹a＝b，又 f′(x)＝aωcos ωx－bωsin ωx 的对称中心为
4
a
( ) ( ) ( ) π
π
ωπ ωπ
ωπ π
π
，0 ，则 f′ ＝0⟹aω cos －sin ＝0⟹ ＋＝kπ＋，k∈Z⟹ω＝2＋8k，k∈Z
8
8
8
8
84
2
2π 且 0<ω<5⟹ω＝2，即 T＝＝π.
→→ 2.已知圆心为 O，半径为 1 的圆上有不同的三个点 A，B，C，其中OA·OB＝0，存在实数 λ，μ
→→→ 满足OC＋λOA＋μOB＝0，则实数 λ，μ 的关系为( )
A.λ2＋μ2＝1
11 B.λ＋μ＝1
C.λμ＝1
D.λ＋μ＝1
2 解析法一取特殊点，取 C 点为优弧 AB 的中点，此时由平面向量基本定理易得 λ＝μ＝，
16π A.
3
64π B.
3
100π C.
3
D.12π
解析如图，作 PG⊥CB 于点 G，连接 AG，设点 P 在底面 ABC 内
的射影为 D，连接 PD，依题易得 AB＝2 3，PG＝ 13，PA＝4，AD＝2，PD＝2
3，PD⊥平面 ABC易. 知.正三棱锥 P－ABC 外接球的球心在 PD 上，不
2bc
2
因此 B＋C＝60°，B＝60°－C，
3
asin（30°－C） sin Asin（30°－C）
sin（30°－C） 2
则
＝
＝
.
b－c
sin B－sin C sin（60°－C）－sin C
3
1
又 sin(60°－C)－sin C＝ cos C－ sin C－sin C
2
2
( ) 1
3
＝ 3 cos C－ sin C ＝ 3sin(30°－C)，
的值为( )
7
3
A.3
B.
C.
D.1
3
2
解析作出不等式组对应的平面区域，由题设得 A(1，4)，B(λ－
1z
1
3，λ).由 z＝x＋4y，得 y＝－ x＋，平移直线 y＝－ x，由图象可
44
4
知当直线经过点 A 时，直线 y＝
1z
－ x＋的截距最大，此时 44
z
最大，且
zmax＝1＋4×4＝17.
2
2
3
asin（30°－C）
sin （30°－C）
2
1
所以
＝
＝.
b－c
3sin（30°－C） 2
答案 B
x2 15.已知直线 x＝3 与双曲线 C：－y2＝1 的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线上任一点，
9 →→→ 若OP＝aOA＋bOB(a，b∈R，O 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是( )
a2 b2
b3
3 代入 y2＝2px 中，得 x＝0(舍去)或 x＝ p.
2
3p p 由题意得＋＝8，解得 p＝4.
22
答案 C
12.在△ABC 中，AB＝AC，D，E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，AD＝ 3BD，将△ADE 沿 DE
折起，连接 AB，AC，当四棱锥 A－BCED 体积最大时，二面角 A－BC－D 的大小为( )
讲座不同排课顺序共有( )
A.120 种
B.156 种
C.188 种
D.240 种
解析 “数”排在第一节有 A4A2＝48 种排法；
“数”排在第二节有 C13A3A2＝36 种排法；
“数”排在第三节有 3A2A3＝36 种排法.
由分类加法计数原理，共有 48＋36＋36＝120 种不同排课方法.
[高考数学理科]2020 年人大附中二轮专题复习
对于①，f(x)＝ln 2x－5，显然 f(x)为 R 上的增函数；对于②，当 x＝0 和 x＝2 时函数值相等，
( )π
因此函数 f(x)＝－x3＋4x＋3 不可能是 R 上的增函数；对于③，f′(x)＝2 2－2 2sin x＋ ≥0 4
在 R 上恒成立，则 f(x)＝2 2x－2(sin x－cos x)是 R 上的增函数；对于④，当 x＝0 和 x＝1 时
p－q
A.[15，＋∞)
B.(－∞，15]
C.(12，30]
D.(－12，15]
f（p＋1）－f（q＋1）
解析由已知得，
>1，且 p＋1，q＋1∈(1，2)，等价于函数 f(x)＝aln(x＋1)－x2
AO AD ∴∠AHO 为二面角 A－BC－D 的平面角，在 Rt△AOH 中，由＝＝ 3，∴tan∠AHO＝
OH DB
AO
π
＝ 3，则二面角 A－BC－D 的大小为 .
OH
3
答案 C
{ ) y ≤ x－1，
13.已知实数 x，y 满足条件 x ≤ 3，令 z＝ln x－ln y，则 z 的最小值为( ) x＋5y ≥ 4，
x2 y2 A. ＋＝1
16 9 x2 y2 C. ＋＝1 95
x2 y2 B. ＋＝1
54 x2 y2 D. ＋＝1 25 20
解析把 y＝x＋3 代入椭圆的方程，得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由于只有一个公共点，
[高考数学理科]2020 年人大附中二轮专题复习
2
只有 A 符合.
→→→
→ → → →→
法二依题意得|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，－OC＝λOA＋μOB，又OA·OB＝0，两边平方得 1＝λ2＋μ2.
答案 A
x2 y2
5
3.已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)与直线 y＝x＋3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则
a2 b2
5
椭圆 C 的方程为( )
x2
1＋e3
e3－3e－1－2
＝－(1＋e－1Байду номын сангаас＝
≠0，∴y＝f(x)不关于(1，0)对称，C 错；数形结合，易知 f′(x)＝
3
3
0，方程只有一个实根，故 f(x)最多有一个极值点，D 错.
答案 B
{ ) y－x ≤ 3，
8.已知 x，y 满足线性约束条件 x＋y ≤ 5，若 z＝x＋4y 的最大值与最小值之差为 5，则实数 λ y ≥ λ，
π
π
π
π
A.
B.
C.
D.
6
4
3
2
解析因为 AB＝AC，所以△ABC 为等腰三角形，过 A 作 BC 的垂线
AH，垂足为 H，交 DE 于 O，∴当△ADE⊥平面 BCED 时，四棱锥 A－BCED
体积最大.由 DE⊥AOD，E⊥OH，AO∩OH＝O，可得 DE⊥平面 AOH，又
BC∥DE，则 BC⊥平面 AOH，
ω
答案 C
6.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主
要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.
某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有
如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程
[高考数学理科]2020 年人大附中二轮专题复习
选择题“瓶颈”突破练
1.已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn 为数列{an}的前 n 项和，
则 S2 018＝( )
A.3
B.2
C.1
D.0
解析 ∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝ 2，…，故数列{an}是周期为 6 的周期数列，且每连续 6 项的和为 0.故 S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3. 答案 A
c5
b2 4
所以 Δ＝0，得 a2＋b2＝9，又＝，所以＝，解得 a2＝5，b2＝4.
a5
a2 5
答案 B
4.已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f′(x)>1－f(x)，f(0)＝2，则不等式 f(x)>1＋e－x 的解集为( )
A.(－1，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.(e，＋∞)
答案 A 1＋ex
7.已知函数 f(x)＝，则( ) x
A.f(x)有 1 个零点
B.f(x)在(0，1)上为减函数
C.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称