渐进方法期末考试题

I ( ) e t
0

t 3/2
ln(1 t )dt
2

0
t4 t6 e t (t ...)dt 2 3
t 3/2 2
9 ~ e t t 3/2t 2 dt e t t 7/2 dt 9/2 e u u 7/2 du 9/2 ( ) 0 0 0 2
3. 1）Airy 函数 先导波前 Ai( z )
2 2 exp( z3 ) 1/4 3 2 z 1
z
1 2 3 sin( | z | 2 ) 先导波后 Ai( z ) 1/4 3 4 |z|
z
分别求导可得海啸先到波的波形 2） c gH 0.2km / s 所以 c cs c p
s s 100 ，解得 s 1200km 设地震站台离震源的距离为 s， 则 cs c p
此时水波已经走了 t0 所以避险时间为 t
s 300s ，走过的距离为 cs
s0 ct0 60km
1440 60 1380 6900s 115min c 0.2
中国科学院研究生院
试 题 专 用 纸 （期末考试）
课程编号：32173Z
课程名称：数学物理中的渐进方法 任课教师：李家春、周显初
1.（25 分）关于量阶和渐进级数的基本概念 1） （10 分）请按小量 ε 的降阶次序排列以下各表达式：
1 1 1 ε 2 ， ln ， ln ln ， e −1/ε ， ε ln ， ε 3/2 ，1， ε 100 ε ε ε
n
14n 23
相应的特征函数为 un ~ 所以 yn ~
1 14n 1 1 c sin ( x x4 x7 ) 3 n 1 x 23 2 7
1 14n 1 4 1 7 c sin ( x x x ) n x(1 x3 ) 23 2 7
e2 y 1 1 x e2 y 1
由于 x 0 ，所以
2 1 x 1 2 1 1 y ~ ln (ln ln2) 2 x 2 x e2 y
3） 参见课本第 15—17 页。 2、因为指数部分在 t=0 处达到最大值，对 I 的主要贡献来自 t=0 的 邻域。应用 Watson 引理得
3.（30 分）关于波动的理论和应用。 1） （10 分）海底下陷Βιβλιοθήκη Baidu成的海啸先导波的波形如同 Airy 函数的导数，给出先导波前、后远 处波形的渐进表达式。 2）比较浅水波，地震波的 P 波，S 波的波速， （注：c =
gH ，c p =
λ + 2G ~ 6km / s ， ρ
cs =
G
ρ
，H 水深 4km，岩石密度 2600kg/m3，G 剪切模量，λ 为拉梅系数。若 ~ 4km / s ）
3）人能听到的频率范围是 f 20 ~ 20000Hz 由
v f
，可得
0.017 ~ 17m
，
由 Lp 20 lg
p p0
p0 20 Pa ，及 Lp 97dB ，可计算得
p 1.42 106 Pa
对于圆柱表面源 p 即 p
c 10 5 ，得 c 7.1106 ， 由 r r 2
Lp = 20 log
p ， p0 = 20 µ Pa p0
4.（25 分）用 WKB 近似求解下述含大参数方程的渐进解，并得到特征值和特征函数：
xy′′ + 2 y′ + λ 2 x(1 + x 3 ) 4 y = 0 ， λ O(1) ，且 y(0)有界，y(1) = 0
1、1）量阶由高到底为
地震站台接收到 P 波，S 波的时差为 100s，探测到两个波后立即发出警报，试问离开海底地 震震源距离为 1440km 的沿海城市留有多少时间避险和救生。 3） （10 分）声波的波速为 340m/s，给出人能够听到的声音的波长范围。假定高速列车噪声 源为直径 10m 的圆柱表面源，声压级为 97dB，试求离列车 20m 处的噪声声压级。
3 4 其中 Q( x) (1 x )
x
x
则 u~
1 1 1 1 1 [c sin ( x x 4 x 7 ) d cos ( x x 4 x 7 )] 3 1 x 2 7 2 7
将边值条件代入可得
d 0
n (1 ) n
1 2 1 7
可得第 n 个特征值为
e

1

100 2 3/2 ln
1

1 ln ln
1

ln
1

2）令 y tanh 1 (1 x) ， 则 tanh y 1 x
e y e y 1 x y y e e
1 2 y ln( 1) 2 x
1 所以 y ~ O(ln ) x
2） （10 分）试求 tanh −1 (1 − x) ， x → 0 的量阶。 3） （5 分）给出渐进级数的定义，说明渐进和收敛级数的差别。
2.（20 分）计算下述积分的渐进级数表达式：
∞
= I ( x)
∫e
0
− λ t 3/2
t
ln(1 + t 2 )dt ， λ → ∞ （注：原题可能有误，可把 I(x)改为 I(λ)）
令 u 的一阶导数的系数为零，得
xp ' p 0
得 p
1 x
即作变换 y ， 原方程可化为 可得边值条件为 可以得到其 WKB 近似为
u x
2 4 u ' ' ( 1 x 3) u 0
u(0) u(1) 0
1 u~ [c sin Q( )d d cos Q( )d ] 1 x3 0 0
7.1106 r
10 25 2
在离列车 20m 处， r1 20
代入上式得， p1 2.84 105 Pa 代入公式 Lp 20 lg
p p0
，得
Lp 83dB
4、作变换 y p( x)u ，代入方程得
xpu '' 2( xp' p)u ' [ xp '' p 'u 2 x(1 x3 )4 p]u 0