第2讲三角变换与解三角形
专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2021·全国甲卷)在△ABC 中，已知B ＝120°，AC ＝19，AB ＝2，则BC 等于( )A ．1 B. 2 C. 5 D ．32．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12 B.33 C.22 D.323．(2022·榆林模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为3154，b －c ＝1，cos A ＝14，则a 等于( ) A ．10 B ．3 C.10 D. 34．已知cos α＝55，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π35．设角α，β的终边均不在坐标轴上，且tan(α－β)＋tan β＝tan α，则下列结论正确的是( )A ．sin(α＋β)＝0B ．cos(α－β)＝1C ．sin 2α＋sin 2β＝1D ．sin 2α＋cos 2β＝16．(2022·张家口质检)下列命题中，不正确的是( )A ．在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝π3，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形 7．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度(单位：米)约为( )A ．3米B ．4米C ．6(3－1)米D ．3(3＋1)米8．(2022·济宁模拟)已知sin α－cos β＝3cos α－3sin β，且sin(α＋β)≠1，则sin(α－β)的值为( )A ．－35 B.35 C ．－45 D.45二、填空题9．(2022·烟台模拟)若sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan 2α的值为________． 10．(2022·泰安模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝________. 11.(2022·开封模拟)如图，某直径为5 5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B 与小岛C 相距5海里，cos ∠BAD ＝－45.则小岛B 与小岛D 之间的距离为________海里；小岛B ，C ，D 所形成的三角形海域BCD 的面积为________平方海里．12．(2022·汝州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，cos 2C ＝ cos 2A ＋4sin 2B ，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题13．(2022·新高考全国Ⅱ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3.已知S 1－S 2＋S 3＝32，sin B ＝13. (1)求△ABC 的面积；(2)若sin A sin C ＝23，求b .14．(2022·抚顺模拟)在①(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)sin Bb；②cos2A－C2－cos A cos C＝34；③3cb cos A＝tan A＋tan B这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b＝23，________.(1)求角B；(2)求2a－c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．。
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件
π 4 π 4
＝
－3－1 1－3
＝
2
，
则
tan
β ＝ tan(α ＋ β － α) ＝
1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋3－3×2 2＝17.故选 D．
3. (2023·怀仁市校级四模)已知 α 为锐角，且 sin α＋sinα＋π3＋
sinα＋23π＝ 3，则 tan α＝_____3___.
2cos 40°＋cos 80°＋sin 80°tan θ＝0，
所以
tan
θ＝－2cos
40°＋cos sin 80°
80°＝－2cos120°s－in8800°°＋cos
80°
＝－2cos
120°cos
80°＋sin 120°sin sin 80°
80°＋cos
80°＝－
3sin 80° sin 80°
2 α＋3tan
≤ α2
2
1 tan
α·3tan
α
＝ 33，当且仅当tan1 α＝3tan α，即 tan α＝ 33时，等号成立，tan β 取得最
大值 33.故选 B．
核心考点2 正弦定理、余弦定理的应用
核 心 知 识·精 归 纳
1.正弦定理：在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(R 为△ABC 的外 接圆半径)．
第一篇
核心专题提升•多维突破
专题一 三角函数与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形
分析考情·明方向 真题研究·悟高考 考点突破·提能力
分析考情·明方向
高频考点
高考预测
三角函数的化简与求值(倍角公式、
两角和与差公式进行恒等变换，角 继续以选择、填空题形式考查三角
第2讲 三角恒等变换与解三角形
π 因为 0＜C＜π，所以 C＝ 3 .
返回
(2)由 S△ABC＝12absin C＝ 3，可得 ab＝4. 因为 2a＋b＝6，所以 2a＋4a＝6，解得 a＝1 或 2. 当 a＝1 时，b＝4，由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 c＝ 13，所以△ABC 的周长为 5＋ 13. 当 a＝2 时，b＝2，由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 c＝2，所以△ABC 的周长为 6. 综上，△ABC 的周长为 6 或 5＋ 13.
又 sin(β－α)＝ 1100＞0，所以 β－α∈π2 ，π，
所以 cos(β－α)＝－
1－sin2（β－α）＝－3
10 10 .
返回
所以 cos(α＋β)＝cos2α＋（β－α） ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－2 5 5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
返回
解：(1)∵a＋b－ccos A－ 3asin C＝0，
∴由正弦定理得，sin A＋sin B－sin Ccos A－ 3sin Asin C
＝0.
∵B＝π－(A＋C)，∴sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C，
∴sin A＋sin Acos C＋cos Asin C－sin Ccos A－ 3sin Asin
坡度为 15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地
面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端
第二讲三角换与解三角形
第二讲 三角变换与解三角形1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4． 正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π. (2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B .1．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34C ．－34D ．－432．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 的大小为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.325．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.题型一 三角恒等变换例1 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( ) A.22 B.33C. 2D. 3 (2)已知α，β ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.反思归纳 (1)公式应用技巧：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②常用切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．变式训练1 (1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69(2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 题型二 解三角形例2 △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .反思归纳 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．变式训练2 (2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值． 题型三 解三角形的实际应用例3 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝14，BC ＝10，AC ＝16，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由．反思归纳 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．变式训练3 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？典例 (12分)已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6.(1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC ＝3，求a 的值．1． 已知cos (π－2α)sin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α等于( )A ．－72 B.72 C.12D ．－122．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则 ( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝13．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于 ( )A.1010B.105C.31010D.55 4． 设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.335． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为( )A.π6 B.π3C.π6或5π6D.π3或2π36． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C ．当3sin A－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4取最大值时，A 的大小为( )A.π3B.π4C.π6D.2π3专题限时规范训练一、选择题1． 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.452． 设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是( )A. 3 B ．2 3 C.32D.123． 已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4． 在△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定5． 已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．2556． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为( )A.1574B.1572C.574D.5727． 函数f (x )＝sin 2x －4sin 3x cos x (x ∈R )的最小正周期为( )A.π8B.π4C.π2D ．π8． 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394二、填空题9． 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3且sin 2A ＋sin(A－C )＝sin B ，则△ABC 的面积为________．10．设π3<α<3π4，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，则sin α－cos 2α＋1tan α的值为________． 11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C＝________.12．给出下列四个命题： ①f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ； ②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π；④函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数． 其中正确命题的个数是________． 三、解答题13．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝4ab cos C ，且c 2＝3ab .(1)求角C 的大小；(2)设函数f (x )＝sin(ωx －C )－cos ωx (ω>0)，且直线y ＝3与函数y ＝f (x )图象相邻两交点间的距离为π，求f (A )的取值范围．。
高中数学2轮15 第2部分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形 考点1 三角恒等变换1．(2021·新高考卷Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝( )A ．－65B ．－25C ．25D ．65C [法一：(求值代入法)因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝25cos θ＝－15或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－25cos θ＝15，所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θ＝45－25＝25.故选C ．法二：(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.故选C ． 法三：(正弦化余弦法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ＝－2cos θ. 则sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝4cos 2θ－2cos 2θ4cos 2θ＋cos 2θ＝4－21＋4＝25.故选C ．] 2．(2021·全国卷甲)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α＝( )A ．1515B ．55C ．53D ．153A [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan 2α＝2sin αcos α2cos 2α－1＝cos α2－sin α⇒2sin α2cos 2α－1＝12－sin α⇒2cos 2α－1＝4sin α－2sin 2α⇒2sin 2α＋2cos 2α－1＝4sin α⇒sin α＝14⇒tanα＝1515.]3．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝( )A ．12 B ．33 C ．23D ．22B [∵sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32sin θ＋32cos θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33，故选B ．]4．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.－12 [∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1①，cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.]命题规律：高考常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等. 命题突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”．从“角”入手，活用三角恒等变换公式是破解此类问题的关键．通性通法：三角恒等变换的技巧(1) “化异为同”：即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin 2α2，cos 2α2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂．(2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧．1．[与三角函数的定义交汇](2021·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与以O 为圆心的单位圆相交于A 点．若A 的横坐标为66，则( )A ．sin α＝66 B ．cos 2α＝－23 C ．sin 2α＝－53D ．tan 2α＝－52B [由三角函数的定义，可知cos α＝66，sin α＝±306，则cos 2α＝2cos 2α－1＝－23，sin 2α，tan 2α均有两解，故选B ．]2．[给值求值]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2x 的值为( )A ．2425 B ．－2425 C ．725D ．－725D [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝45得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2×1625＝－725，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－725，故选D ．]3．[给值求角]已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( )A ．α＋β＝π2 B ．α－β＝π4 C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2B [tan α＝cos 2β1－sin 2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β ＝(cos β＋sin β)(cos β－sin β)(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π4＋β，即α－β＝π4.]4．[给角求值](tan 10°－3)·cos 10°sin 50°＝________.－2[(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°＝(tan 10°－tan 60°)·cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2.]考点2 利用正、余弦定理解三角形1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc ＝6.故选A ．]2．(2021·全国卷甲)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′，B ′，C ′满足∠A ′C ′B ′＝45°，∠A ′B ′C ′＝60°.由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′－CC ′约为(3≈1.732)( )A ．346B ．373C ．446D ．473B [如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝75°，则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′×sin 45°sin 75°.又在B 点处测得A 点的仰角为45°，所以AD ＝BD ＝C ′B ′×sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE ＝C ′B ′×sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°×sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.]3．(2021·北京高考)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3.(1)求B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC ＝334.[解](1)∵c＝2b cos B，则由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B，∴sin 2B＝sin 2π3＝32，∵C＝2π3，∴B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，2B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴2B＝π3，解得B＝π6.(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得cb ＝sin Csin B＝3212＝3，与c＝2b矛盾，故这样的△ABC不存在．若选择②：由(1)可得A＝π6，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a＝b＝2R sinπ6＝R，c＝2R sin 2π3＝3R，则周长a＋b＋c＝2R＋3R＝4＋23，解得R＝2，则a＝2，c＝23，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：(23)2＋12－2×23×1×cos π6＝7.若选择③：由(1)可得A＝π6，即a＝b，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334，解得a ＝3， 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为： b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos 2π3＝3＋34＋3×32＝212.4．(2021·新高考卷Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝a ＋1，c ＝a ＋2.(1)若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵2sin C ＝3sin A ⇒2c ＝3a ， 又∵c ＝a ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝6，∴b ＝5，∴cos C ＝16＋25－362×4×5＝18，sin C ＝378，∴S △ABC ＝12×4×5×378＝1574.(2)显然c ＞b ＞a ，要使△ABC 为钝角三角形，则只需C 为钝角， ∴cos C ＝a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＜0⇒a 2－2a －3＜0，∴0＜a ＜3且a ＋a ＋1＞a ＋2⇒a ＞1，∴1＜a ＜3，∵a ∈Z ，∴a ＝2，∴存在正整数a ＝2满足题意．命题规律：高考常以1个选择题和1个解答题的形式考查，占17分，基础题为主；命题重在考查几何图形的边、角、面积的计算，解题的关键是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的灵活运用．通性通法：等价转化思想在解三角形中的应用(1)利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化．①当出现边角混合时，常利用正弦定理；②当出现三边的平方时，常利用余弦定理．(2)若想“边”往“角”化，常利用“a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C”；若想“角”往“边”化，常利用sin A＝a2R ，sin B＝b2R，sin C＝c2R，cos C＝a2＋b2－c22ab(R为三角形外接圆的半径)等．1．[以平面图形为载体]在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝()A． 5 B． 6C．7 D．2 2C[如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝7，所以BC＝7.故选C．]2．[与恒等变换交汇]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA＝55，a＝2b，c＞a，则角C的大小为() A．π3B．π2 C．2π3D．3π4D[∵sin A＝55，a＝2b，c＞a，∴由正弦定理可得sin A＝2sin B，可得sin B＝sin A2＝552＝1010，∵c ＞a ＞b ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝255，cos B ＝1－sin 2B ＝31010，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝55×1010－255×31010＝－22，∵0＜C ＜π，∴C ＝3π4.]3．[以空间图形为载体]如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.1039 [设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h . 在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°， 则由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°， 可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m ．]4．[综合应用]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin C1－cos A ＝3c .(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝10，△ABC 的面积S △ABC ＝43，求a 的值． [解] (1)由正弦定理及a sin C1－cos A ＝3c ，得sin A sin C1－cos A＝3sin C ，∵sin C ≠0，∴sin A ＝3(1－cos A )， ∴sin A ＋3cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32， 又0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3， ∴A ＋π3＝2π3，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝43，∴bc ＝16.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－2bc －bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 又b ＋c ＝10，∴a 2＝102－3×16＝52，∴a ＝213.考点3 与解三角形有关的最值、范围问题1．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ． (1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值.[解] (1)∵sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ， 由正弦定理，得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ， ∴AC 2＋AB 2－BC 2＝－AC ·AB ， ∴cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)法一：(基本不等式)由余弦定理的推论，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A＝AC 2＋AB 2＋AC ·AB ＝9，即(AC ＋AB )2－AC ·AB ＝9.∵AC ·AB ≤⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22(当且仅当AC ＝AB 时取等号)， ∴9＝(AC ＋AB )2－AC ·AB≥(AC ＋AB )2－⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22＝34(AC ＋AB )2， ∴AC ＋AB ≤23(当且仅当AC ＝AB 时取等号)， ∴△ABC 的周长L ＝AC ＋AB ＋BC ≤3＋23， ∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.法二：(三角函数有界性)由正弦定理，得AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ＝3sin 2π3＝23，∴AB ＝23sin C ，AC ＝23sin B ． ∵A ＝2π3，∴C ＝π3－B ．∴AB ＋AC ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋23sin B＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B －12sin B ＋23sin B＝3cos B ＋3sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3.当B ＝π6时，AB ＋AC 取得最大值23， ∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.2．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．[解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A ． 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B ． 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.命题规律：与三角形有关的最值(范围)问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，常以解答题的形式出现，分值12分，难度中等；借助三角函数的有界性及基本不等式，建立不等关系是解答此类问题的关键所在.通性通法：三角形面积的最值问题的两种解决方法一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值； 二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值．提醒：(1)要重视在余弦定理中用基本不等式，实现a 2＋b 2，ab ，a ＋b 三者的互化．(2)注意在锐角三角形中隐含着：①A ＋B ＞π2；②若A ＝π3，则π6＜B ，C ＜π2.1．[求角的范围]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，则角B 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC [∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，故选C ．] 2．[求边的范围]设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)A [∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ． ∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A ．又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜2A ＜π2，0＜A ＜π2，0＜C ＜π2，∴π6＜A ＜π4， ∴22＜cos A ＜32.即2＜b ＝2cos A ＜3，故选A ．]3．[三角函数与解三角形的综合问题]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC 面积的最大值并说明此时△ABC 的形状．[解] (1)由已知得a ＝(－sin x ，cos x )，又b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时， f (x )取得最大值32.(2)锐角△ABC 中，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以12＝b 2＋c 2－bc ， 所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)，此时△ABC 为等边三角形． S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3 3.。
三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。
通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。
本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。
1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。
根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。
2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。
根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。
3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。
举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。
根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。
高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理
②由 f(x)＝12sin2x－π6＝ 63，
得 sin2x－π6＝ 33，
∵x∈0，π4，∴－π6≤2x－π6≤π3，
∴cos2x－π6＝
6 3.
∴cos 2x＝cos2x－π6＋π6 ＝cos2x－π6× 23－sin2x－π6×21 ＝ 36× 23－ 33×12＝ 22－ 63.
三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑： 如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
分值 10 12 10
年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
17 正余弦定理
12
二倍角公式、基本关系式、余弦定理、
15
5
三角形面积公式
18
正余弦定理、三角形面积公式
12
17
正余弦定理、解三角形
12
二倍角、辅助角公式、基本关系式、
10、15 和的正弦公式、余弦定理
10°＝
典例1
A．34
(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin
( A)
B．14
C．12＋
3 2
D．3
3 4
(2)(2020·宜宾模拟)已知 α∈0，π2，且 3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则
sin 2α＋cos 2α＝
( A)
A．1
B．－2137
3-2三角变换及解三角形
专题3 第2讲 三角变换及解三角形一、选择题1．(2011·辽宁理，4)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( )A ．23B ．2 2 C. 3 D. 2[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， sinB ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴ba＝ 2.2．(2011·福建理，3)若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] D[解析] 由sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D.3．(2011·浙江理，6)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2＝( )A.33 B. －33 C.539D. －69 [答案] C[解析] ∵(π4＋α)－(π4－β2)＝α＋β2，∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2. 又cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，∴sin(π4＋α)＝223，sin(π4－β2)＝63.∴cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539，选C.4．(2011·四川理，6)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)[答案] C[解析] ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ≥12，∴0<A ≤π3，故选C.5．(2011·新课标理，5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45[答案] B[解析] 依题意：tan θ＝2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B. 6．(2010·湖南理，6)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定[答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ， ∴在△ABC 中，由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab 将c ＝2a 代入上式得2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab ， ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a >b .7．(2011·天津理，6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( ) A.33 B.36 C.63D.66[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD ＝2在△ABC 中，由正弦定理： 3sin C ＝4sin A在△ABD 中，由余弦定理：cos A ＝3＋3－42×3×3＝13，∴sin A ＝223∴sin C ＝3sin A 4＝3sin A4＝3×2234＝2612＝66，故选D. 8．(2011·浙江五校二次联考)若△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．5B ．25 C.41 D ．5 2[答案] A[解析] 解法一：由S △ABC ＝12ac sin45°＝2⇒c ＝42，再由余弦定理可得b ＝5.解法二：作三角形ABC 中AB 边上的高CD ， 在Rt △BDC 中求得高CD ＝22，结合面积求得 AB ＝42，AD ＝722，从而b ＝AD 2＋CD 2＝5.二、填空题9．(2011·江苏启东中学模拟)在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.[答案] －2 3[解析] S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.10．(2010·山东理，15)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．[答案] π6[解析] sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，∵0<B <π，∴π4<B ＋π454π，∴B ＝π4，又∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A <B ，故A ＝π6. 11．(文)(2011·江西文，14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. [答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－255，解得y ＝±8， 又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点， 可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.(理)(2011·上海理，8)函数y ＝sin(π2＋x )cos(π6－x )的最大值为________．[答案]2＋34[解析] ∵y ＝sin(π2＋x )cos(π6－x )＝cos x (32cos x ＋12sin x )＝32cos 2x ＋12sin x cos x＝32·1＋cos2x 2＋14x ＝14(3cos2x ＋sin2x ＋3)＝12sin(2x ＋π3)＋34， 故最大值为2＋34.12．(2011·安徽理，14)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．[答案] 15 3[解析] 设三角形的三边依次为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ.由余弦定理得 (a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)cos120°， 则a ＝10，所以三边长为6,10,14， S △ABC ＝12×6×10×sin120°＝15 3.三、解答题13．(文)(2011·江苏，15)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若sin(A ＋π6)＝2cos A ，求A 的值；(2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．[解析] (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2，故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.(理)(2011·湖北理，16)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．[解析] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×144，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(14)2＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(158)2＝78， ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.14．(文)(2011·江西文，17)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ， 即cos A ＝13(2)由cos A ＝13得sin A ＝223则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得 sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2) 则C ＋φ＝π2sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32. (理)(2011·江西理，17)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2(1)求sin C 的值(2)若 a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值 [解析] (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ，即sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2，即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2， 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27， 所以c ＝7＋1.15．(2011年5月南通、扬州、泰州)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，12与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角．(1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． [解析] (1)因为m ∥n ， 所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0， 即32sin2A －12cos2A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6.故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2)设角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc . 而b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ＋4≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c . 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．。
三角恒等变换和解三角形公式
三角恒等变换和解三角形公式三角恒等变换是指一类等式或恒等式，可以通过它们来简化或转换三角函数表达式。
这些变换可以帮助我们解决三角函数问题，并简化复杂的三角表达式。
解三角形公式是用来计算三角形各个角度和边长的公式。
下面将详细介绍三角恒等变换和解三角形公式。
一、三角恒等变换1.正弦、余弦和正切的基本恒等变换：(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，这个等式被称为三角恒等式的基本等式，它适用于所有角度。
(2) $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。
2.余弦、正切和余切的基本恒等变换：(1) $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。
3.正弦和余弦的互补恒等变换：(1) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$(2) $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正弦和余弦互为相反数。
4.正切和余切的互补恒等变换：(1) $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot \theta$(2) $\cot(\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正切和余切互为倒数。
5.其他常用的三角恒等变换：(1) $\sin(-\theta) = -\sin \theta$(2) $\cos(-\theta) = \cos \theta$(3) $\tan(-\theta) = -\tan \theta$这些变换表明，正弦、余弦和正切函数在角度取相反数时会发生改变。
1.解直角三角形：(1)已知两个直角三角形的边长求第三边：- 斜边长：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$- 一边长和斜边长：$b = \sqrt{c^2 - a^2}$或$a = \sqrt{c^2 -b^2}$(2)已知一个直角三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$2.解一般三角形：(1)已知三个角度的和为180度- 内角和公式：$A + B + C = 180^\circ$(2)已知一个三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$总结：三角恒等变换是一类等式或恒等式，可以用来简化或转换三角函数表达式，包括正弦、余弦和正切的基本恒等变换、余弦、正切和余切的基本恒等变换、正弦和余弦的互补恒等变换、正切和余切的互补恒等变换，以及其他常用的变换。
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题三第二讲三角恒等变换与解三角形
高考考点考点解读[解析] 由题意S △ABC ＝12ab sin C ＝a2＋b2－c24，即sin C ＝a2＋b2－c22ab ，由余弦定理可知sin C ＝cos C ，即tan C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π4.3．(20xx·全国Ⅰ卷，11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A ()1，a ，B()2，b ，且cos2α＝23，则||a －b ＝( B ) A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos2α＝2cos 2α－1＝23可得cos 2α＝56＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1，化简可得tan α＝±55；当tan α＝55时，可得a 1＝55，b 2＝55，即a ＝55，b ＝255，此时|a －b |＝55；当tan α＝－55时，仍有此结果，故|a －b |＝55. 4．(20xx·天津卷，6)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 [解析] 选A ．因为将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，得到函数y＝sin2x 的图象．用五点法作出草图，如图：从图中可以看出选项A 正确，其他都不正确．⎝ ⎛4－α＝5，则sin22 .＝4＋2c＝R，则△9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为2＋3.[解析] 由题意设BC ＝x (x >1)米， AC ＝t (t >0)米，依题设AB ＝AC －0.5 ＝(t －0.5)米，在△ABC 中，由余弦定理得： AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°， 即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，化简并整理得： t ＝x2－0.25x －1(x >1)，即t ＝x －1＋0.75x －1＋2，因为x >1，故t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3， 当且仅当x ＝1＋32时取等号，此时取最小值2＋3.10．(20xx·全国卷Ⅰ，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sinA ＝AB sin ∠ADB. 由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题意知，∠ADB ＜90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.∴a ·(－MB →－MC →)＋b MB →＋33c ·MC →＝0.即(b －a )·MB →＋(33c －a )·MC →＝0，∵MB →与MC →不共线， ∴b －a ＝0，32c －a ＝0. 得a b33c ＝111，令a ＝1，b ＝1，c ＝3， 则cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝1＋1－32×1×1＝－12，∴C ＝2π3，故选D ．2．(20xx·××市一模)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( A ) A ．－79B ．79C ．－29D ．29[解析] ∵cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－(1－29)＝－79.3．(20xx·威海二模)已知等腰△ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上的一点且AD ＝BD ，则sin ∠ADB 的值为( C )A ．36B ．23C ．223D ．63[解析] 如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB ，。
专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形
一、选择题1．(2018·合肥调研)已知x ∈()0，π，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.13B ．－13C ．3D ．－3解析：由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ， ∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13. 答案：A2．(2018·成都模拟)已知sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6的值为( ) A.43－310B.43＋310C.4－3310D.33－410解析：∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝31010， sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝1－15＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310.答案：A3．(2018·昆明三中、五溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A ．34B ．43C ．－43D ．－34解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．答案：C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：根据正弦定理得c b ＝sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形． 答案：A5.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cos A ＝64.答案：C6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A ．15B ．55C ．255D ．1解析：由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， ∴|a －b |＝55. 故选B. 答案：B7. (2018·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置(图略)，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t ×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以Δt＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B.答案：B8．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则 tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， ∴tan B tan C ＝tan A tan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan Atan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号．答案：C 二、填空题9．(2018·广西三市一联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B ＝2sin C ，cos C ＝13，△ABC 的面积为4，则c ＝________.解析：由a sin B ＝2sin C ，得ab ＝2c ， 由cos C ＝13，得sin C ＝223，则S △ABC ＝12ab sin C ＝23c ＝4，解得c ＝6.答案：610．(2018·皖南八校联考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件； 由cos α－sin α＝14，两边平方得 1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：151611．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．解析：AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ， 且AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ， 即AC 2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADC ， 且(6－2AC )2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADB ， ∵∠ADB ＝π－∠ADC ，∴AC 2＋(6－2AC )2＝2AD 2＋8，∴AD 2＝3AC 2－122AC ＋282＝3(AC －22)2＋42，当AC ＝22时，AD 取最小值2， 此时cos ∠ACB ＝8＋4－282＝528，∴sin ∠ACB ＝148， ∴△ABC 的面积S ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ＝7.答案：712．(2018·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin ∠BCA ，即32＝12×2×6×sin ∠BCA ， 所以sin ∠BCA ＝12.因为∠BAC >∠BDC ＝π4，所以∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA ＝32.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠BCA ＝2＋6－2×2×6×32＝2， 所以AB ＝2，所以∠ABC ＝π6，在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠DBC ，即622＝CD12，解得CD ＝ 3. 答案： 3 三、解答题13．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足cos 2A －cos 2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎫π6－B cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0. (1)求角A 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a 的取值范围．解析：(1)由cos 2A －cos 2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎫π6－B cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0， 得2sin 2B －2sin 2A ＋2⎝⎛⎭⎫34cos 2B －14sin 2B ＝0， 化简得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. (2)∵b ＝3≤a ，∴c ≥a ，∴π3≤C <π2，π6<B ≤π3，∴12<sin B ≤32.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a 32＝3sin B，∴a ＝32sin B ，由sin B ∈⎝⎛⎦⎤12，32得a ∈[3，3)．14．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AD 是BC 边上的中线，记∠CAD ＝α，∠BAD ＝β.(1)求sin α∶sin β；(2)若tan α＝sin ∠BAC ，求BC . 解析：(1)∵AD 为BC 边上的中线， ∴S △ACD ＝S △ABD ，∴12AC ·AD sin α＝12AB ·AD sin β， ∴sin α∶sin β＝AB ∶AC ＝2∶1. (2)∵tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)， ∴sin α＝sin(α＋β)cos α， ∴2sin β＝sin(α＋β)cos α，∴2sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tan α， 又tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)≠0， ∴cos(α＋β)＝cos ∠BAC ＝12，在△ABC 中，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝3， ∴BC ＝ 3.15．(2018·广州模拟)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解析：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A ， 得3cos(B ＋C )＋2＝2cos 2A ， 即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝34bc ＝53，得bc ＝20，因为b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝25＋16－2×20×12＝21，故a ＝21.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得sin B sin C ＝b a sin A ×c a sin A ＝57.16．(2018·山西八校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋c )2＝b 2＋3ac .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，且sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解析：(1)由(a ＋c )2＝b 2＋3ac ，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，∵0<B <π， ∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＝sin(A ＋C )， 由已知sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A 可得sin(A ＋C )＋sin(C －A )＝2sin 2A ， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ， 整理得cos A sin C ＝2sin A cos A .若cos A ＝0，则A ＝π2，由b ＝2，可得c ＝2tan B ＝233，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝233.若cos A ≠0，则sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可知，c ＝2a ，代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，整理可得3a 2＝4，解得a ＝233，∴c ＝433，此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝233.综上所述，△ABC 的面积为233.17．(2018·常德市模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值． 解析：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)，∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin π4＝7210， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ) ＝2⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫72102＝－4825.。
专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形
c，已知 bsin 2A＝asin B，且 c＝2b，则ab等于
A.3
1 B.3
3 C. 3
√D. 3
因为bsin 2A＝asin B，
所以2bsin Acos A＝asin B，
利用正弦定理可得2abcos A＝ab， 所以 cos A＝12，又 c＝2b， 所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋44bb22－a2＝12， 解得ab＝ 3.
(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). ①证明：2a2＝b2＋c2；
方法一 由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
abcos C＝ 2 ，2bccos A＝b2＋c2－a2， 将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.
方法二 因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B ＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C， 故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
所以 cos α＝
415，tan
α＝csoins
αα＝
15 15 .
2sin α 方法二 因为 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－cocssoinαs22αα ＝c2ossi2nα－αcsoisnα2α＝21s－in 2αscions2αα，
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第2讲 三角变换与解三角形
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考点自测
1．[2013·江西卷改编] 若sin
α2＝3
3
，则cos α=________． 2．[2013·辽宁卷改编] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 1
sin cos sin cos 2
A C C A +=，且a >b ，则
B ＝________．
3．[2013·北京卷改编] 在△ABC 中，1
3,5,sin 3
a b A ===
，则sin B ＝________．
4．[2013·安徽卷改编] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所的对边分别为a ，b ，c ，若2,3s i n 5s i n b c a A B +==，则C ＝________．
5．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
223cos cos20A A +=，a ＝7，c ＝6，则b ＝________．
6．[2013·新课标全国卷Ⅱ改编] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π
4，
则ABC ∆的面积为________．
热点考向
考点一 三角变换
例1 已知函数f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x
4
.
(Ⅰ)若f (x )＝1，求2cos(
)3
x π
-的值； (Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋1
2
c ＝b ，求f (B )的取值范围．
(1)(2013·四川)设sin 2α＝－sin α，α∈(,)2
π
π，则tan 2α的值是________． (2)(2012·江苏)设α为锐角，若4cos()6
5π
α+=
，则sin(2)12
π
α+的值为________．
考点二 正、余弦定理
例2 (2013·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .
(Ⅰ)求B ；
(Ⅱ)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c )cos A ＝3a cos C .
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)若角B ＝π
6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．
考点三 正、余弦定理的实际应用
例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有
两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道
乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆
车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝3
5
.
(Ⅰ)求索道AB 的长；
(Ⅱ)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(Ⅲ)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
在南沙某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海
岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处， 12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如 果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？
巩固练习
一、选择题
1． 设α、β都是锐角，且cos α＝
55，sin(α＋β)＝3
5
，则cos β等于
( )
A.2525
B.255
C.2525或255
D.55或525
2． 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝4
53，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是 ( )
A ．－235 B.235 C ．－45 D.45
3． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2
b ，且
a ＞
b ，则∠B 等于 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
4． 锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则AB
AC
的范围是 ( )
A ．(0,2)
B ．(2，2)
C ．(2，3)
D ．(3，2)
5． 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c
2，BC →·BA →＝1
2，则tan B 等于 ( )
A.3
2
B.3－1 C ．2 D ．2－ 3 6．在△ABC 中，已知tan A ＋B
2
＝sin C ，给出以下四个结论：
①tan A tan B
＝1；②1<sin A ＋sin B ≤2；③sin 2A ＋cos 2B ＝1；④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中一定正确的是 ( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④
二、填空题 7．(2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.
8．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎫α－π4＝________.
9．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为4
3
，则AC ＋BC ＝________.
三、解答题
10．已知函数f (x )＝sin(2x －π
6
)＋2cos 2x －1(x ∈R )．
(Ⅰ)求f (x )的单调递增区间；
(Ⅱ)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝1
2
，2a ＝b ＋c ，bc ＝18，求a 的
值．
11．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35
.
(Ⅰ)求cos A 的值；
(Ⅱ)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →
方向上的投影．。