非连续函数的介值定理
高数介值定理
高数介值定理高数介值定理是高等数学中的一个重要定理，用于描述函数在一个闭区间上的连续变化。
它是微积分学中的基本理论之一，对于理解和应用微积分具有重要意义。
高数介值定理可以简单地表述为：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，则对于任意一个介于f(a)和f(b)之间的实数c，存在一个介于a和b之间的实数x，使得f(x)=c。
这个定理的意义在于，它保证了函数在一个区间上的连续性和可导性之间的关系。
换句话说，如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在该区间内可导，那么函数在该区间上的取值可以填满它在该区间上的任意两个端点之间的所有可能值。
以一个简单的例子来说明高数介值定理的应用。
假设有一个函数f(x)=x^2，我们要证明在区间[0,1]上存在一个实数x，使得f(x)=0.5。
根据高数介值定理，我们知道f(x)=x^2在闭区间[0,1]上连续，并且在开区间(0,1)内可导。
因此，根据高数介值定理，我们可以得出结论，对于介于f(0)=0和f(1)=1之间的任意实数c，存在一个介于0和1之间的实数x，使得f(x)=c。
通过这个例子，我们可以看到高数介值定理的实际应用。
它可以帮助我们证明一个函数在一个区间上存在某个特定的取值，或者帮助我们找到一个函数在一个区间上与给定的取值最接近的点。
除了上述例子中的实数，高数介值定理还可以应用于其他类型的数据，如复数、矩阵等。
它的应用范围非常广泛，涉及到数学、物理、工程等多个领域。
总结一下，高数介值定理是一个非常重要的数学定理，它描述了函数在一个闭区间上的连续变化。
它的应用范围广泛，可以帮助我们证明函数在某个区间上存在特定的取值，或者帮助我们找到函数在某个区间上与给定取值最接近的点。
通过理解和应用高数介值定理，我们可以更好地理解和应用微积分学中的相关概念和方法。
【精编范文】介值定理的证明-实用word文档 (9页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==介值定理的证明篇一：用介值定理证明原函数的存在性用介值定理直接证明[?f(t)dt]'?f(x) a?证明F(x??x)?F(x)??x??xxf(t)dt,因为f(t)在[a,b]上连续，从而m?f(x)?M，F(x??x)?F(x)F(x??x)?F(x)?M，从而存在x???x??x，使得=f(?)（介?x?xF(x??x)?F(x)值定理）。
lim=f(x) 所以F’(x)=f(x) ?x?0?xm?篇二：介值定理的一些应用介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。
本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。
介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。
文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。
最后举例说明介值定理在生活中的应用。
关键词：介值定理方程不等式应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。
此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。
介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。
介值性定理：设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续。
并且函数f?a?与函数f?b?不相等。
如果?是介于f?a?和f?b?之间的任何实数f?a??f?b?，则至少存在一点x0??a,b?使得f???f?b?或f?a????x.0???.推论：根的存在定理如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，并且f?a?和f?b?满足f?a?f?b??0，那么至少存在一点x0，使得f?x.0??0.即是方程f?x?=0在?a,b?内至少有一个根。
1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
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lim=f(x) 所以F’(x)=f(x) ?x?0?xm?篇二：介值定理的一些应用介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。
本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。
介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。
文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。
最后举例说明介值定理在生活中的应用。
关键词：介值定理方程不等式应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。
此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。
介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。
介值性定理：设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续。
并且函数f?a?与函数f?b?不相等。
如果?是介于f?a?和f?b?之间的任何实数f?a??f?b?，则至少存在一点x0??a,b?使得f???f?b?或f?a????x.0???.推论：根的存在定理如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，并且f?a?和f?b?满足f?a?f?b??0，那么至少存在一点x0，使得f?x.0??0.即是方程f?x?=0在?a,b?内至少有一个根。
1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。
高数介值定理的三个公式
高数介值定理的三个公式摘要：1.介值定理的定义与意义2.介值定理的三个公式2.1 第一个公式：f(a) 与f(b) 之间存在一个值c2.2 第二个公式：f(x) 在开区间(a, b) 内至少存在一个值c2.3 第三个公式：f(x) 在闭区间[a, b] 上存在最大值和最小值3.介值定理的应用举例4.介值定理的理解和注意点正文：一、介值定理的定义与意义介值定理是微积分中的一个重要定理，主要用于研究函数在区间内的性质。
它的定义是：如果一个函数f(x) 在某一区间[a, b] 上连续，那么在这个区间内必然存在一个值c，使得f(a) 与f(b) 之间的任何值都与f(c) 相等。
换句话说，就是f(a)、f(b) 和f(c) 这三个值构成了一个等差数列。
这个定理反映了连续函数在区间内的某种“居中”性质。
二、介值定理的三个公式介值定理包含三个公式，分别描述了函数在区间端点、开区间和闭区间上的性质。
2.1 第一个公式：f(a) 与f(b) 之间存在一个值c如果一个函数f(x) 在区间[a, b] 上连续，那么必然存在一个值c，使得f(a) 与f(b) 之间的任何值都与f(c) 相等。
这个公式实际上就是介值定理的定义。
2.2 第二个公式：f(x) 在开区间(a, b) 内至少存在一个值c对于开区间(a, b)，介值定理表明，如果在这个区间内任取一个值c，那么f(x) 在(a, b) 内至少存在一个值使得f(x) 等于c。
这个公式说明，在开区间内，函数的取值范围是连续的。
2.3 第三个公式：f(x) 在闭区间[a, b] 上存在最大值和最小值如果一个函数f(x) 在闭区间[a, b] 上连续，那么必然存在最大值和最小值。
这个公式说明，在闭区间内，函数的取值范围是有界的。
三、介值定理的应用举例介值定理在求解实际问题中有广泛的应用。
例如，求解不等式|x-1| < 1，可以利用介值定理，找到一个值c，使得函数f(x) = |x-1|在区间(0, 2) 内取到所有小于1 的值。
函数用介值定理证明
函数用介值定理证明介值定理（Intermediate Value Theorem）是实变函数的基本定理之一，也是微积分的重要定理之一、它的表述如下：如果$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且$f(a)$与$f(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$上至少存在一个$x_0$，使得$f(x_0)=0$。
介值定理是实数连续函数性质的一种推广，它表明了连续函数的值域具有一种“连续性”。
下面我们用介值定理来证明一个例题。
假设有一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且$f(a)<0$，$f(b)>0$。
我们需要找到一个$x_0$，使得$f(x_0)=0$。
我们可以通过二分法逐渐缩小$x$的范围，直到找到一个满足条件的$x_0$。
具体的步骤如下：1.假设$x$的范围为$[a_1,b_1]$，其中$a_1=a$，$b_1=b$。
2. 计算中点$m$，$m=\frac{a_1+b_1}{2}$。
3.比较$f(m)$和$0$的大小。
a.如果$f(m)>0$，则说明$f(m)$的符号与$f(b_1)$相同，所以可以将范围缩小为$[a_1,m]$，即令$b_1=m$。
b.如果$f(m)<0$，则说明$f(m)$的符号与$f(a_1)$相同，所以可以将范围缩小为$[m,b_1]$，即令$a_1=m$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到范围足够小（比如$a_1$和$b_1$的差值小于一些预设的误差范围$\epsilon$）。
最终，我们得到的范围$[a_1,b_1]$将包含一个唯一的$x_0$，使得$f(x_0)=0$。
这是因为，通过二分法的过程中，我们不断将范围缩小，并且保证$f(x)$的符号一直在变化。
根据介值定理，这个唯一的$x_0$必然存在。
以上是介值定理的一个具体应用。
通过逐步缩小范围的方法，我们可以利用介值定理找到一个函数在一些区间上的零点。
这个方法在数学和工程领域中有广泛的应用，例如在数值计算中求解非线性方程、优化问题等方面。
高考数学冲刺介值定理考点精讲
高考数学冲刺介值定理考点精讲在高考数学的备考过程中，介值定理是一个较为重要的考点，对于同学们解决一些函数相关的问题具有关键作用。
今天，咱们就来深入地了解一下介值定理。
介值定理是数学分析中的一个基本定理，它有着广泛的应用。
首先，咱们来看看介值定理的具体内容。
介值定理表述为：设函数 f(x) 在闭区间 a, b 上连续，且f(a) ≠ f(b)，那么对于 f(a) 与 f(b) 之间的任意一个实数μ，在开区间（a, b) 内至少存在一个ξ，使得f(ξ) ＝μ 。
为了更好地理解介值定理，咱们来看几个具体的例子。
假设函数 f(x) ＝ x² 2x 在闭区间 0, 3 上连续，f(0) ＝ 0，f(3) ＝ 3。
那么对于 0 到 3 之间的任意一个实数，比如 15，必然存在一个ξ 属于（0, 3)，使得f(ξ) ＝ 15 。
通过求解方程 x² 2x ＝ 15 ，可以得到 x 的值，从而验证介值定理。
再比如，函数 f(x) ＝ sin x 在闭区间0, π 上连续，f(0) ＝ 0，f(π) ＝0 。
对于 0 到 0 之间的任意一个实数（包括 0 ），都能在（0, π) 内找到一个ξ ，使得f(ξ) 等于这个实数。
那介值定理在高考中通常会怎么考呢？一种常见的题型是判断函数在某个区间内是否存在零点。
比如给定一个函数 f(x) ，并且知道 f(a) 和 f(b) 的正负情况，根据介值定理就可以判断在区间（a, b) 内是否存在零点。
另一种题型是利用介值定理证明不等式。
通过构造合适的函数，利用函数的连续性和介值定理来得出不等式的结论。
还有一种题型是求解方程根的存在性和个数。
通过分析函数的性质，结合介值定理来确定方程根的情况。
在解决这些问题时，关键是要正确地构造函数，并准确运用介值定理。
那么，在高考冲刺阶段，咱们该如何有效地掌握介值定理这个考点呢？第一步，要透彻理解介值定理的概念和条件。
不仅要记住定理的表述，更要明白其内涵和适用范围。
介值定理证明题专升本
介值定理证明题专升本介值定理是微积分中的重要定理，它在分析函数的连续性和函数值之间的关系中起着关键作用。
介值定理也被称为连续函数介值定理，它描述了在一个闭区间上连续的函数必然会取到介于函数值之间的某个值。
介值定理的表述如下：若函数\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续，且\(f(a) < k <f(b)\)，那么在开区间\((a, b)\)内至少存在一个\(c\)，使得\(f(c) = k\)。
下面我将对介值定理的证明进行详细的阐述。
首先我们设定一个新函数\(g(x) = f(x) - k\)，即将函数\(f(x)\)中的值\(k\)减去后得到函数\(g(x)\)。
因为\(f(x)\)是在闭区间\([a, b]\)上连续的，所以\(g(x)\)也是连续的。
根据介值定理的条件，我们知道\(f(a) < k < f(b)\)，即\(g(a) < 0\)且\(g(b) > 0\)。
接下来我们来证明，存在一个\(c\)，使得\(g(c) = 0\)。
如果\(g(a) = 0\)或\(g(b) = 0\)，那么\(f(a) = k\)或\(f(b) = k\)，与给定条件矛盾，因此\(g(a) < 0\)且\(g(b) > 0\)。
由于函数\(g(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续，根据零值定理，\(g(x)\)至少在区间\([a, b]\)的某一点\(c\)处取到零值，即\(g(c) = 0\)，即\(f(c) = k\)。
因此，介值定理得证。
介值定理的证明过程较为简单，但是它在微积分的学习中具有重要的意义。
通过介值定理，我们可以更好地理解连续函数在闭区间上的性质，为进一步学习微积分和实际问题的求解打下基础。
希望以上的介值定理证明对您有所帮助。
用介值定理证明闭区间的积分中值定理
标题：介值定理证明闭区间的积分中值定理导语：在数学中，积分中值定理和介值定理是非常重要的概念。
本文将探讨介值定理如何用来证明闭区间的积分中值定理，帮助读者更深入地理解这一数学原理。
一、介值定理的基本概念介值定理是微积分中的一个基本定理，它是基于连续函数的性质而形成的。
介值定理表明，如果一个函数在闭区间上连续，那么它在该闭区间上取遍它在该区间上的最大值和最小值之间的任何一个值。
具体来说，介值定理可以理解为：如果一个函数在闭区间上连续，那么它可以取到介于最大值和最小值之间的任何值。
二、积分中值定理的基本概念积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是描述函数在闭区间上平均值的定理。
积分中值定理可以表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么一定存在一点c，使得函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均值等于函数f(x)在闭区间[a, b]上的积分值。
积分中值定理告诉我们，对于连续函数来说，它在一个闭区间上的平均值一定等于在该区间上的某一点的函数值。
三、介值定理证明闭区间的积分中值定理现在我们将介值定理和积分中值定理联系起来，来证明闭区间的积分中值定理。
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，根据介值定理，我们知道f(x)可以取到介于最大值和最小值之间的任何值。
现在我们来构造一个新的函数F(x)，使得F(x)在闭区间[a, b]上连续，并且满足F(a) = F(b)。
具体地，我们可以构造F(x) = ∫[a, x] f(t) dt - (x-a)f(a)，其中t在[a, x]上变化。
根据介值定理，F(x)在闭区间[a, b]上连续，并且F(a) = F(b)，因此F(x)在闭区间[a, b]上可以取到介于最大值和最小值之间的任何值。
根据积分中值定理，对于函数F(x)，存在一点c，使得F(c) = (c-a)f(c)。
将F(x)展开，可以得到∫[a, b] f(x) dx - (b-a)f(c) = 0，即∫[a, b] f(x)dx = (b-a)f(c)。
介值定理辨析
㊀㊀㊀㊀㊀１５４㊀介值定理辨析介值定理辨析Һ李漂星㊀刁静琰㊀朱德刚㊀李文辉㊀（南京林业大学理学院，江苏㊀南京㊀２１００３７）㊀㊀ʌ摘要ɔ介值定理是微积分中一个重要的定理，它描述了闭区间上连续函数的一个重要性质．不同教材上的表述和一道习题引发了我们的思考．本文以该习题为例，详细探讨了介值定理的表述和推论，厘清了其条件与结论之间的关系，并结合几个实例给出了介值定理的若干注记．ʌ关键词ɔ介值定理；闭区间；连续函数ʌ基金项目ɔ南京林业大学 水杉名师 培养计划；南京林业大学大学生创新训练计划项目（２０１９ＮＦＵＳＰＩＴＰ１０４８）介值定理是高等数学中的一个重要定理，它刻画了闭区间上连续函数的一个重要性质．但一些教材在定理内容的表述上并不完全一致，这给初学者造成了极大的困扰．更重要的是，这些表述上的差异，还造成了应用该定理去证明一些结论时出现偏差．因此，有必要对介值定理的内容和结论做更深层次的分析．目前，有文献对介值定理的证明和应用做过讨论和分析［１－３］，但是关于介值定理内容本身的辨析，尚未见报道．这更突显出对该定理做深入分析的必要性．本文以教材上的一道习题入手，探讨介值定理的深刻内涵，并结合几个实例，给出了介值定理的若干注记．一㊁不同版本教材对介值定理的叙述１．教材［４］对介值定理的叙述定理１㊀设函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，且在这个区间的端点处取不同的函数值ｆ（ａ）＝Ａ及ｆ（ｂ）＝Ｂ，则对于Ａ与Ｂ之间的任意一个数Ｃ，在开区间（ａ，ｂ）内至少有一点ξ，使得ｆ（ξ）＝Ｃ（ａ＜ξ＜ｂ）．注意，这里的任意常数Ｃ是介于区间端点函数值之间的一个数，即Ａ，Ｂ，Ｃ三个数不相等．同时，给出了一个定理１的推论及简要证明．推论㊀在闭区间上连续的函数必取得介于最大值Ｍ与最小值ｍ之间的任何值．注意，这里的最大值和最小值是函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最值，且推论中并没有如定理１一样详细说明取得任意常数Ｃ的自变量在区间中的具体位置．２．教材［５］对介值定理的叙述定理２㊀若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｍ和Ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最小值和最大值，则∀ｃ（ｍ＜ｃ＜Ｍ），至少存在一点ξɪ［ａ，ｂ］，使得ｆξ()＝ｃ．可以看出，定理２似乎是把推论直接当作介值定理了．但是，定理２结论中的ξ是闭区间中的点，与定理１又有所不同．虽然推论很容易由定理１推出，但这些微小的差异，给初学者造成了一定的困扰，也可能是造成一些模糊认识甚至误解的根源．下面用一道经典的证明题来详细说明这一点．二㊁一道经典证明题的多个版本参考书［６］有这样一道题：若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ａ＜ｘ１＜ｘ２＜ ＜ｘｎ＜ｂ，则在［ｘ１，ｘｎ］中必有ξ，使ｆ（ξ）＝１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）．证明如下：设ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘｎ］中的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则ｍɤ１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）ɤＭ，由介值定理知，必有ξɪ［ｘ１，ｘｎ］使ｆ（ξ）＝１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）．首先，这里在［ｘ１，ｘｎ］上直接用定理１似乎不妥，因为１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）并不满足定理１的要求(１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）要与区间端点函数值不同)；其次，这里结论中的点在闭区间中，与定理１中的结论也不一致．若直接用定理２，也似乎不妥，因为１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）有可能取到最大（小）值，不满足定理２的条件．若把证明的结论改为 必有ξɪ（ｘ１，ｘｎ）使ｆ（ξ）＝１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ） 是否可行呢？答案也是否定的，这可以从下图对应的例子中看出．ｎ＝２时反例示意图㊀㊀㊀１５５㊀㊀当ｎ＝２时，若ｆ（ｘ）的图像如图所示，有两个最大值点ｘ１与ｘ２，此时ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）２也为函数的最大值，但显然，在（ｘ１，ｘ２）内不存在一点ξ能取得最大值．因此，ｎ＝２时，结论依然不成立．鉴于此，教材［７］把题目修改成 若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ａ＜ｘ１＜ｘ２＜ ＜ｘｎ＜ｂ（ｎȡ３），则在（ｘ１，ｘｎ）内至少有一点ξ，使ｆ（ξ）＝１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ） ，并在证明过程中，对是否取到最值进行了分别讨论，详见参考书［８］．注意，该命题的结论又改为了开区间（ｘ１，ｘｎ）．下面我们给出一个详细的分析过程，既可以直接采用定理１进行证明，无须如参考书［８］那样分情况讨论，又统一了开区间和闭区间两种情形．ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘｎ］上连续，由最值定理知ｆ（ｘ）在区间［ｘ１，ｘｎ］上存在最大值和最小值，不妨设最大值和最小值分别为Ｍ和ｍ，从而ｍɤｆ（ｘｉ）ɤＭ，ｉ＝１，２， ，ｎ，因此，ｍɤ１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）ɤＭ．显然，这里不能直接用定理１，因为ｍ和Ｍ未必是在区间的端点ｘ１和ｘｎ处取得；又不能用定理２，因为无法说明点ξ一定是在区间（ｘ１，ｘｎ）内．因此，不妨设ｆ（ｘ∗）＝ｍ，ｆ（ｘ∗∗）＝Ｍ，且ｘ∗＜ｘ∗∗．此时，ｍ和Ｍ是在区间ｘ∗，ｘ∗∗[]的端点处取得，由定理１，（ｘ∗，ｘ∗∗）⊆（ｘ１，ｘｎ）()内至少存在一点ξ使得ｆ（ξ）＝１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ），结论得证．需要注意的是，若有ｎȡ３这个条件，则结论在 （ｘ１，ｘｎ）内至少有一点ξ，使ｆ（ξ）＝１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ） 没有问题；若没有ｎȡ３这个条件，则为了防止最值出现在区间端点上，结论修改为 在［ｘ１，ｘｎ］上至少有一点ξ，使ｆ（ξ）＝１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ） 更为妥当．我们的分析和证明过程统一了开区间和闭区间这两种情形，避免了分情况讨论．三㊁若干介值定理的注记１．若函数不连续，则结论不成立．例如，ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｓｇｎｘ，ｘɪ［－１，１］，显然，ｆ（ｘ）在ｘ＝０处不连续，ｆ（１）＝２，ｆ（－１）＝－２，但是在（－１，１）内找不到一点ｘ，使得ｆ（ｘ）＝１２．２．介值定理的逆命题不真．函数满足介值性（ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｐｒｏｐｅｒｔｙ），其未必连续［９］．例如，ｆ（ｘ）＝０，ｘ＝０，ｓｉｎ１ｘ，０＜ｘɤ１，{ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝１，∀ｃɪ（０，１），∃ξɪ（０，１），使得ｆ（ξ）＝ｃ，但ｆ（ｘ）在ｘ＝０处不连续．３．若不是在实数域中考虑，而是在有理数域中，则定理的结论不成立．例如，ｆ（ｘ）＝ｘ２，ｘɪ［１，２］，ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝４，但不存在有理数ｘ使得ｆ（ｘ）＝３，因为３不是有理数．四㊁介值定理的推广导函数的介值定理．［１０］定理３㊀令ｆ（ｘ）为（ａ，ｂ）上的可微函数．若ａ＜ｘ１＜ｘ２＜ｂ，并且ｃ位于ｆ（ｘ１）和ｆ（ｘ２）之间，则在区间（ｘ１，ｘ２）内，至少存在一点ｘ，使得ｆᶄ（ｘ）＝ｃ．证明㊀不妨假设ｆ（ｘ１）＜ｃ＜ｆ（ｘ２）．令ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｃｘ，ｘɪ（ａ，ｂ），我们有ｇᶄ（ｘ１）＜０＜ｇᶄ（ｘ２）．由教材定理１８．１知，ｇ（ｘ）在某个点ｘ０ɪ［ｘ１，ｘ２］上取得最小值．又因为ｇᶄ（ｘ１）＝ｌｉｍｙңｘ１ｇ（ｙ）－ｇ（ｘ１）ｙ－ｘ１＜０，故对于充分接近ｘ１且大于ｘ１的ｙ，我们有ｇ（ｙ）－ｇ（ｘ１）为负值，即ｇ（ｙ）＜ｇ（ｘ１）．特别地，可在（ｘ１，ｘ２）中取ｙ１，使得ｇ（ｙ１）＜ｇ（ｘ１），因此ｇ（ｘ）不在ｘ１处取得最小值，所以ｘ０ʂｘ１．同理，在（ｘ１，ｘ２）中存在ｙ２，使得ｇ（ｙ２）＜ｇ（ｘ２），因此ｘ０ʂｘ２．从而，我们证明了ｘ０位于（ｘ１，ｘ２）内部，又因为ｘ０是最小值点，故有ｇᶄ（ｘ０）＝０，即ｇᶄ（ｘ０）＝ｆᶄ（ｘ０）－ｃ＝０，从而ｆᶄ（ｘ０）＝ｃ．定理得证．ʌ参考文献ɔ［１］于美，徐子健，闫帅．微分中值定理在介值问题中的应用与推广［Ｊ］．高等数学研究，２０１６，１９（０５）：２１－２３．［２］王峰，张芳．单位单调函数的介值定理［Ｊ］．高等数学研究，２０１１，１４（０５）：１５－１７．［３］程碧辉．介值定理的证明及其应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（０７）：１０，１２．［４］同济大学应用数学系．高等数学本科少学时类型第二版上［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１：７４．［５］王凯捷，李勇智．高等数学：第２版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８：３８．［６］桂子鹏，骆承钦，邱伯骆等．高等数学习题集习题选解上册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８０：１８０－１８１．［７］同济大学数学系．高等数学同济第七版上册［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４：７０．［８］同济大学数学系．高等数学习题全解指南上册［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４：３９－４０．［９］ＧｒｅｇＯｍａｎ．Ｔｈｅｃｏｎｖｅｒｓｅｏｆｔｈｅｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ：Ｆｒｏｍｃｏｎｗａｙｔｏｃａｎｔｏｒｔｏｃｏｓｅｔｓａｎｄｂｅｙｏｎｄ［Ｊ］．ＭｉｓｓｏｕｒｉＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，２０１４，２６（２）：１３４－１５０．［１０］ＫｅｎｎｅｔｈＡ．Ｒｏｓｓ．ＥｌｅｍｅｎｔａｒｙＡｎａｌｙｓｉｓ．ＴｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＣａｌｃｕｌｕｓ［Ｍ］．ＳｐｒｉｎｇｅｒＶｅｒｌａｇＮｅｗＹｏｒｋ，２０１３：２３６．。
用介值定理证明闭区间的积分中值定理
用介值定理证明闭区间的积分中值定理标题：用介值定理证明闭区间的积分中值定理导语：在微积分学中，积分中值定理是一个关键的定理，它表明在闭区间上进行积分的函数在某个点上的取值等于其平均值。
为了更全面地理解这个定理的背后原理，我们可以通过介值定理来证明闭区间的积分中值定理。
本文将首先介绍介值定理的概念和表述，然后利用该定理以及连续函数的性质证明闭区间的积分中值定理。
正文：一、介值定理的概念与表述介值定理是微积分学中的一个基本定理，它描述了在一个闭区间上处处连续的函数所取得的值的范围。
具体来说，如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且满足f(a)≤c≤f(b)，则存在一个点x∈[a, b]，使得f(x) = c。
这就意味着函数f(x)可以在闭区间上取到介于f(a)和f(b)之间的任意值。
介值定理的证明基于连续函数的基本性质，如最大值定理和最小值定理。
二、用介值定理证明闭区间的积分中值定理闭区间的积分中值定理是一个重要的定理，在计算定积分时经常应用。
该定理表明，对于一个连续函数f(x)在闭区间[a, b]上，存在一个点c∈[a, b]，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b-a)。
也就是说，积分的结果等于函数在一定区间上的平均值乘以该区间的长度。
为了证明这个定理，我们可以借助介值定理的思想。
我们定义一个辅助函数g(x) = f(x) - k，其中k是任意实数使得g(a)≤0≤g(b)。
由于f(x)是连续函数，根据最小值定理和最大值定理，存在一个点c∈[a, b]，使得g(c) = 0。
由于g(c) = f(c) - k = 0，所以f(c) = k。
根据介值定理，我们得知在闭区间上，函数f(x)可以取到k这个值。
而k的选择是任意的，我们可以选择使得k = 1/(b-a)，这样可以满足函数f(x)在闭区间上的平均值等于1。
存在一个点c∈[a, b]，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b-a)。
介值定理的一些应用
介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。
本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。
介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。
文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。
最后举例说明介值定理在生活中的应用。
关键词：介值定理 方程 不等式 应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。
此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。
介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。
介值性定理：设函数()f x 在闭区间[]b a ,上连续。
并且函数()f a 与函数()f b 不相等。
如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数()f a <μ<()f b 或()f a >μ>()f b ，则至少存在一点0x (),a b ∈使得().0f x =μ.推论：根的存在定理 如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，并且()f a 和()f b 满足()f a ()f b <0，那么至少存在一点0x ，使得().0f x =0.即是方程()f x =0在(),a b 内至少有一个根。
1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。
可以利用此定理来解决方程根是否存在，根的个数和根的范围等的问题。
1.1介值定理证明方程根存在性证明类似方程()f x =()g x 在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数()F x =()f x -()g x 的零点问题，一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。
例1 证明：函数()f x 在区间[]a 2,0上连续并且函数()0f =()2f a 。
那么方程()f x =()f x a +在[]0,a 内至少有一个根。
介值定理
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使F ( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1;
定理1(有界性与最大值和最小值定理) 在闭区间上 连续的函数一定界性且有最大值和最小值.
y
若 f ( x) C[a,b],
则 f ( x)在a,b上有界; 且在a , b上存在
最大值与最小值.
oa
y f (x) 2
1 b x
即1,2 a,b, 对x [a,b], 有 f (1) f ( x),
f (2 ) f ( x).
注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立;yy f (x) Nhomakorabeao
x
2
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f (x)
1
o
12
x
二、介值定理
定义:若f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数 f ( x)的零点.
定理2（零点定理）设f (x) Ca,b,且f (a) f (b) 0,
(a) f (a) C
(b) f (b) C
且 (a) (b) 0,
由零点定理, (a, b),使 ( ) 0,
即 ( ) f ( ) C 0, f ( ) C.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 M 与最小值 m之间的任何值.
例3 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
minmax定理1有界性与最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定界性且有最大值和最小值
介值定理常考题型
(1)介值定理(与根的存在性定理等价，也称作为零点定理，证明了解即可，基本不会考。
)证明思想：通过构造，结合确界原理，推出在函数值等于0的点在区间的两端取不到。
其次，在利用反证法设函数在开区间中取不到0。
(2)最大、最小值定理(了解即可)证明思想：想要证明最大最小值定理，我们首先要知道有界性定理，即若一个函数在闭区间上连续，那么这个函数在闭区间上也有界。
其次，我们再通过结合确界原理使用反证法，证明函数在闭区间上存在上确界是错误的。
(3)Rolle(罗尔)定理(重点)证明思想：因为函数f在闭区间上连续，所以满足最大、最小值定理，一定存在最大值与最小值，分两种情况讨论。
①最大值等于最小值时，那么函数为常数函数。
②最小值小于最大值时，我们发现函数f满足费马定理的条件，可以使用费马定理，从而直接得到证明。
(4)lagrange(拉格朗日)定理(重点)证明思想：证明拉格朗日中值定理时，我们常常需要构造辅助函数，其中我们最常见的是构造助函数：F（x）=f(x)-f(a)-(x-a)(f(b)-f(a)/（b-a）然后使用罗尔中值定理即可。
同学其实想不太明白这个函数的构造是如何得到的，其实这个构造只是为了方便验算罗尔中值定理。
直接把拉格朗日中值定理两等式两边，进行积分构造也是可行的，只是验证罗尔定理条件的时候麻烦一点。
考研(5)cauchy(柯西)中值定理(重点)证明思想：要通过构造辅助函数，利用罗尔定理就可以证明。
(6)积分第一中值定理(重点)证明思想：同样我们利用最大、最小值定理，函数f在闭区间上存在最大值与最小值，使用积分不等式结合连续函数的介值定理就可以得到证明。
介值定理推论
介值定理推论
介值定理是一种基本的数学定理，它表明了一个连续函数在一个闭区间内必取到其端点值之间的所有值。
而介值定理推论则是由介值定理所推出的一系列结论，常常被用于解决实际问题和证明其他数学定理。
一些常见的介值定理推论包括：
1. 介值定理的反面定理：如果一个函数在一个闭区间内没有取到其端点值之间的所有值，那么它一定不是连续函数。
2. 极值定理：如果一个函数在一个闭区间上连续且存在极值，那么这个极值一定在端点处取到。
3. 一致连续定理：如果一个函数在一个闭区间上连续，那么它一定是一致连续的。
4. 奇偶性定理：如果一个函数在一个对称区间上连续，那么它的奇偶性与该区间的对称性相同。
5. 零点定理：如果一个函数在一个闭区间上连续且有零点，那么它在该区间上至少有两个零点。
通过掌握介值定理推论，我们可以更好地理解连续函数的性质，并在实际问题中应用它们来解决一些难题。
- 1 -。
介值定理的概念
介值定理的概念
介值定理是数学中的一个重要定理，它指出：若函数f连续且在闭区间[a,b]上取到两个不同的值y1和y2，则在[a,b]内必存在一个点c，使得f(c)介于y1和y2之间，即y1 < f(c) < y2。
简单来说，介值定理告诉我们：如果一根连续的曲线在某一段区间内取到了两个不同的值，那么这条曲线在这个区间内一定会经过某个介于这个两个值之间的点。
这个定理在实际应用中非常广泛，比如在物理学中，介值定理可以被用来解决运动学的问题。
在金融学中，介值定理可以被用来解决统计分析的问题。
在工程学中，介值定理可以被用来解决结构设计的问题。
介值定理的证明比较简单，可以用反证法来证明。
如果不存在介于y1和y2之间的点，说明在这个区间内的所有点的函数值都小于y1或者都大于y2，这表明函数在这个区间内不是连续的，与前提矛盾。
需要注意的是，介值定理只适用于连续函数，对于非连续函数则不一定成立。
除了介值定理，我们还可以利用拉格朗日中值定理来解决一些函数的问题。
拉格朗日中值定理是介值定理的一个特例，它对于满足一定条件的可导函数也成立。
总之，介值定理是数学中的一个重要定理，它在实际应用中具有重要的作用。
对
于理解和掌握这个定理，我们需要深入学习数学相关知识，并在实际问题中加以应用。
零点定理和介值定理
零点定理和介值定理
介值定理：又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。
在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
零点定理：如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根。
扩展资料
零点定理的证明：不妨设f(a)<0，f(b)>0.令E={x|f(x)<0，x∈[a，b]}
由f(a)<0知E≠Φ，且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，存在ξ=supE ∈[a，b].
下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0，f(b)≠0，故此时必有ξ∈(a，b)）.
事实上，
(i)若f(ξ)<0，则ξ∈[a，b).由函数连续的局部保号性知存在δ>0，对x1∈(ξ，ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E：x1>supE，这与supE为E的上界矛盾；
(ii)若f(ξ)>0，则ξ∈(a，b].仍由函数连续的局部保号性知存在δ>0，对x1∈(ξ-δ，ξ)：f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ这又与supE为E的最小上界矛盾.
综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0.
我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。
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下面 我们来 推 广连 续 函数 的介值 定理 ． 定理 ２ 设 ， ｚ （ ）在 ［ ，］上 有定 义 ， ， ｚ 为 上跳 函数 且满 足 ， 口 ＞ ０＞ 厂 ６ （ ， ｚ 口６ 当 （） （） （） 或 （ ）为下跳 函数 且满 足 ，（） ０＜ ， ６ ） 则至 少 存在 一个 ｚ 口＜ （） ， 。∈ （ ，）使得 ｆ ｘ ）一 ０ 口６ ， （。 ．
卜， ＋
ｆ
ｐ ，
０＞厂 ６ （ 对任何 Ｘ∈ ［ ，］ ｌ （）≥ 厂 （）或 口 ６ ，ｉ ｔ ｍｆ （ ）≥ ｌ （） 且 厂 口 ｉ ｔ， ｍｆ （）＜ ０＜ 厂 ６ ， 至 少存 在 一个 （）） 则
Ｘ ０∈（ ，） 使 得 ｆ ｘ ）一 ０ 口６， （ｏ ．
上述定 理 要求 左 、 右极 限存 在。 由于 许 多 函数 在不 连续 点 的左 、 右极 限不 一 定 存 在 ， 因此 ， 必 要考 有 虑左 、 右极 限不 一定存 在 的情况 下 ， 上述定 理是 否仍然 成立 的 问题 ， 以我们 得 到 如下 的一 些结果 ． 所
例 如 ，连续 函数 的不 动点 定 理）设 函数 厂 ）在 区间 ［ ，］上连 续 ， 厂 ）的值域 包含 于 ［ ，］ 即 （ （ 口６ 且 （ 口６， Ｒ｛ ） Ｄ｛ ）＝ ［ ，３ 则方 程 ， ｆ ｆ 口５ ， （ ）＝ Ｘ在 ［ ， 上 至少 有一解 ． 口
＝
注： 将上述问题 的条件 厂 的值域包含于［ ，］ 改成 厂 （） 口６ ， （ ）的值域包含了［ ，］ 即 Ｒ｛ ） Ｄ｛ ） 口６ ， ｆ ｆ ［ ，］ 结论 同样 成立 ． 口６，
文 ［］考虑 了这 一 问题 ， ４ 并在 函数 左 、 右极 限存 在 的条 件下证 明 了 定 理 １ ］ 设 厂（ 在 ［ ，］ 定 义 ， 任 何 Ｘ∈ ［ ，］ ｌ （） 厂 ） ｌ （） “ ） 口 ６ 有 对 口６ ，ｉ ｔ ≤ （ ≤ ｉ ｔ 且满 足 厂 口 ＞ ｍｆ ｍｆ （）
＋０ ｆ —’０
时我们 称 函数在 ｚ点不 连 续或 函数 在 ｚ处有 间 断点． 了便 于 下面 的讨 论 ， 为 我们 引 进有 关 间断 函数的上 跳 函数和 下跳 函数 的概 念．
收 稿 日期 ：０ ７ ０ —２ ２０ － １ ４
作者简介 ： 邓朝 阳（ ９８ １６ 一
）女 ， ， 福建泉州人 ， 高级讲师 ， 从事函数 论研究．
泉州 师范 学 院学报 （ 自然 科学 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｚ ｏ ｒ ｌ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＱｕ ｎ ｈ ｕ Ｎｏ ｍａ Ｕｎｖ ｒ ｉ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ） ｙ
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ ４ １２ ．
Ｊ １２ ０ ｕ．０ ７
非连续 函数的介值定理
１ 问题 的提 出
介值 定理 是微 积分 理论 中重要 的基 本定 理 之一．
介值 定理［
设 函数 厂 ） 区 间［ ，］上连 续 ， 厂 口 （ 在 口６ 且 （）≠ 厂（）若 为 介 于 厂（） 厂 ６ 之 间 的 ６， 口 与 （）
任何 实数 ， 则至少 存 在一个 Ｘ 。∈ （ ６ ， 口，） 使得 ｆ ｚ ）＝ ． （。 这 一定 理虽 然 简单 ， 应 用却 异 常广 泛 ， 积 分理论 中不 少重 要定 理 的 证 明要用 到 该介值 定理． 但 微
邓朝 阳 吴 泽 民 ，
（． １ 泉州 医学 高 等 专 科 学 校 ，福 建 泉 州 ３ ２ ０ ￣． 州 师 范 学 院 理 工 学 院 ， 建 泉 州 ３ ２ ０ ） ６０ ０２ 泉 福 ６ ０ ０
摘ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要 ： 究 了非 连 续 函 数 的 介 值 定 理 ， 朱 乐 敏 等 考 虑 的具 有 左 、 极 限 存 在 的 跳 跃 问 断 点 的 非 连 续 函 研 受 右
由定理2可以直接导出定理3间断函数的介值定理l设工在k6上有定义若z为上跳函数或下跳函数且厂4厂6或厂口厂6则对任何介于口和厂6之间的实数弘则至少存在一点鳓口6使得厂锄肛证明口6则方程厂zz在口阳上至少有一解
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第 ２ 卷第 ４期 ５ ２ ０ 年 ７月 ０７
不 仅 如此 ， 它在 新近 发 展起来 的分形 和混 沌 理论 中也有 重要 的应 用［ ． ｑ］ 在 介值定 理 中 ， 要求 函数 厂 ） 须连 续． 是 ， （ 必 但 在实 际 问题 中经 常会 碰到 厂（ 不 连续 的情 况 ， 如 ） 例
电流或 信号 的脉 冲 问题 ．
ｐ
（） １
则 称 ， ｚ 为 ［ ，］上 的上 跳 函数 ． （） 口６ 定义 ２ 设 ，ｚ （ ）在 ［ ， 有 定义 ， 口 如果对 任 何 ／ （） ２ ｚ ∈ ［ ，３ ｌ （）≥ ， ｚ 口 ｂ ，一 ｉ ｔ ｍｆ （ ）≥ － ｆ ｔ， １ （） Ｔ ｍ － 则 称 ，（ ） ［ ，］上 的下 跳 函数 ． ｚ 为 口６
数的介值性定 理的启发 ， 用上 、 利 下极 限把介值定理推广到具有一般间断点 的非连续 函数 的情况． 关键词 ： 连续 ； 间断 ； 值定 理 ； 极限 ； 介 上 下极 限 －
中 图 分 类 号 ： ７ Ｏ１４ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ９ ２ ４ ２ ０ ） ４ ０ １— ０ １０ —８ ２ （ ０ ７ ０ － ｏ ２ ３
２ 主 要 定 理 和 证 明
按通常的微积分教科书 ， 函数在区间［ ，］ 口 ６ 连续的定义是指对于 区间 中任意一点 Ｘ∈ ［ ，］ 都有 口６，
ｌ ｆ（）一 厂（ ． 时会 碰到 ｌ ｆ（） ｉ ｔ ｍ ） 有 ｉ ｔ 的极 限不 存在 的情 况 ， ｍ 或者极 限存 在 但其 值 不等 于 厂 ） （ 的情 况 ， 这
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第 ４期
邓 朝 阳等 ： 连续 函数 的介 值定 理 非
１ ３
定 义 １ 设 ， ｚ 在 ［ ， 有定 义 ， （ ） 口 如果 对任 何 ｚ∈ ［ ，３ 一 （） ， ｚ） ｌ （） 口 ｂ ，ｌ ｉ ｔ ≤ （ ≤ ｉ ｔ， ｍｆ ｍｆ