天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2020届高三数学上学期期末考试试题理
天津市静海一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
天津市静海一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合A={x|1≤x≤5}，B={x|3≤x≤6}，则A∩B=()A. [1,3]B. [3,5]C. [5,6]D. [1,6]2.若关于x的不等式x2−ax−a⩽−3的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A. B.C. [−6,2]D.3.设a，b∈R，函数f(x)=ax+b(0≤x≤1)，则f(x)>0恒成立是a+2b>0成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设a=log2π,b=log12π,c=π−2则()A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a5.将函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)的图像向左平移π4个单位后与原函数的图像重合，则实数ω的值可能是()A. 6B. 10C. 12D. 166.设函数f(x)为奇函数且在(−∞,0)内是减函数，f(−5)=0，则x·f(x)>0的解集为()A. (−5,0)∪(0,5)B.C. D.7.若正数a,b满足2a+1b =1，则2a+b的最小值为()A. 8B. 9C. 4√2D. 8√28.方程|x2−2|−ln|x|=0的根的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）9.求值：tan300°+sin420°=______ ．10.已知是奇函数，f(g(−2))=__________．11.若方程xe−x−a+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______ ．12.已知sinα−cosα=12，则的值为________．13.已知sinθ+cosθ=713，θ∈(0,π)，则tanθ=________．三、解答题（本大题共5小题，共68.0分）14.已知函数f(x)=x2−5x+a．(1)当a=−4时，求不等式f(x)≥2的解集；(2)对任意x∈R，若f(x)≥−2恒成立，求实数a的取值范围．15.已知f(α)=sin(π−α)cos(2π−α)sin(−α+3π2 )sin(π2+α)sin(−π−α)．(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α+π3)=35，求f(α)的值．16.已知函数．(1)求f(x)的最小正周期和单调减区间；(2)当x∈[−π4,π4]时，求f(x)的最大值与最小值．17.已知α∈(π2,π)，sinα=√55，求cos(5π6−2α)的值．18.已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x(x∈R)，且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−2tx在区间[−1,5]上是单调函数，求实数t的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)=x+m在区间(−1,2)上有唯一实数根，求实数m的取值范围．(注：相等的实数根算一个)．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A ={x|1≤x ≤5}，B ={x|3≤x ≤6}； ∴A ∩B =[3,5]． 故选：B ．进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：此题考查了一元二次不等式与对应方程根的关系应用，是基础题目，由已知得方程x 2−ax −a =−3有实数根，利用判别式大于等于0，由此求出a 的取值范围. 解：关于x 的不等式x 2−ax −a ⩽−3的解集不是空集， 对应方程x 2−ax −a +3=0有实数根， 即Δ=a 2+4(a −3)≥0， 解得a ≥2或a ≤−6；所以a 的取值范围是(−∞,−6]∪[2,+∞)． 故选D ．3.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题． 分别验证充分性以及必要性即可求解． 解：充分性：因为f(x)>0恒成立， 所以{f(0)=b >0f(1)=a +b >0，则a +2b >0，即充分性成立；必要性：令a =−3，b =2，则a +2b >0成立，但是，f(1)=a +b >0不成立，即f(x)>0不恒成立，则必要性不成立． 故选A ．4.答案：C解析：∵a =log 2π>1，b =log 12π<0，c =1π2<1，∴b <c <a ． 5.答案：D解析：本题主要考察了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，考查函数图象的变换，属于中档题． 函数图象向左平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． 解：函数，将函数的图象向左平移π4个单位后因为函数的图象向左平移π4个单位后与原函数的图象重合， 所以，即ω=8k, k ∈Z ，故选D ．6.答案：A解析：本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题． 由函数的单调性和奇偶性可得{x >0f(x)>0=f(5)或{x <0f(x)<0=f(−5)，解不等式组可得答案．解：∵f(x)为奇函数，且在(−∞,0)内是减函数，f(−5)=0， ∴f(−5)=−f(5)=0，在(0,+∞)内是减函数 ∴x f(x)>0则{x >0f(x)>0=f(5)或{x <0f(x)<0=f(−5) 根据在(−∞,0)内是减函数，在(0,+∞)内是减函数 解得：x ∈(−5,0)∪(0,5)． 故选A ．7.答案：B 解析：本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.∵2a+1b =1，∴a=b−12b，代入2a+b然后求解即可．解：∵2a+1b =1，∴a=b−12b，∴1a=2bb−1，∴2a +b=4bb−1+b=4(b−1)+4b−1+b=4+4b−1+b=5+4b−1+b−1≥5+2√4b−1×(b−1)=9.(当且仅当4b−1=b−1时即b=3，a=13时取等号)．则2a+b的最小值为9．故选B．8.答案：D解析：【分析】本题考查根的存在性及根的个数判断，利用数形结合，作出两个函数的图象，判断交点个数即可．解：由|x2−2|−ln|x|=0得|x2−2|=ln|x|分别作出函数y=|x2−2|与y=ln|x|的图象，由于图象有四个交点，所以原方程有四个根．故选D．9.答案：−√32解析：解：tan300°+sin420°=tan(360°−60°)+sin(360°+60°) =−tan60°+sin60°=−√3+√32=−√32． 故答案为：−√32直接利用诱导公式化简求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．10.答案：1解析：本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题．根据函数是奇函数的特性可求出g(x)，进一步可得出答案． 解：∵函数是奇函数，∴当x <0时，−x >0，g(x)=−f(−x)=3−(12)x，∴f(g(−2))=f(3−22)=f(−1)=3−21=1， 故答案为1．11.答案：(1,1+1e )解析：方程xe −x −a +1=0有两个不相等的实数根可化为e x =xa−1有两个不相等的实数根，再化为函数y =e x 与y =xa−1的交点个数问题，从而作函数的图象，结合导数求解．本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了切线的斜率与导数的几何意义的应用，属于中档题．解：∵方程xe −x −a +1=0有两个不相等的实数根， ∴方程xe −x =a −1有两个不相等的实数根，而当a −1=0时，方程xe −x =a −1只有一个根0，故不成立； 故a −1≠0；故e x =xa−1有两个不相等的实数根， 作函数y =e x 与y =xa−1的图象如下，设切点为A(x,e x)；；则e x=e xx故x=1；即切线的斜率k=e；1>e；a−1解得1<a<1+1；e).故答案为(1,1+1e12.答案：−√22解析：本题考查三角函数的化简求值，考查学生的计算能力，比较基础．利用二倍角的余弦公式及两角差的余弦公式化简求解即可．解：则．故答案为−√2．213.答案：−43解析：本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．把已知等式两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，求出sinθ−cosθ的值，解得sinθ，cosθ，则tanθ可求．解：由sinθ+cosθ=15，两边平方得：sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=125， 则2sinθcosθ=−2425，∵θ∈(0,π)，∴sinθ>0，cosθ<0，则sinθ−cosθ=√(sinθ2=√1−2sinθcosθ=75， ∴sinθ=45，cosθ=−35， 则tanθ=sinθcosθ=−43．故答案为−43．14.答案：解：(1)当a =−4时，不等式f(x)≥2化为x 2−5x −6≥0，因式分解为(x −6)(x +1)≥0，解得x ≥6或x ≤−1． ∴不等式f(x)≥2的解集为{x|x ≥6或x ≤−1}； (2)对任意x ∈R ，f(x)≥−2恒成立，等价于：对任意x ∈R ，a ≥−x 2+5x −2恒成立， 设g(x)=−x 2+5x −2，x ∈R ， 所以：对任意x ∈R ，f(x)≥−2恒成立， 等价于：a ≥g(x)max ，x ∈R ， 所以g(x)=−x 2+5x −2=−(x −52)2+174≤174，当且仅当x =52时取等号， ∴g(x)max =174，∴a ≥174．∴实数a 的取值范围是[174,+∞)．解析：本题考查了一元二次不等式的解法，不等式的恒成立问题，二次函数，属于中档题． (1)利用一元二次不等式的解法即可得出；(2)对任意x ∈R ，f(x)≥−2恒成立，等价于：a ≥g(x)max ，x ∈R ，即可得出结果．15.答案：解：(1)f(α)=sin(π−α)cos(2π−α)sin(−α+3π2)sin(π2+α)sin(−π−α)=sinα⋅cosα⋅(−cosα)cosα⋅sinα=−cosα．(2)若α是第三象限角，且cos(α+π3)=35>0， ∴α+π3为第四象限角，∴sin(α+π3)=−√1−cos 2(α+π3)=−45，∴f(α)=−cosα=−cos[(α+π3)−π3]=−cos(α+π3)cos π3−sin(α+π3)sin π3=4√3−310．解析：(1)利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．(2)利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得f(α)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，两角和与差的三角函数公式，属于基础题．16.答案：解：(1)函数f(x)=√3cos(2x −π3)−2sinxcosx=√3(12cos2x +√32sin2x)−sin2x=√32cos2x +12sin2x =sin(2x +π3)，∴最小正周期，由2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，，得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，，所以函数f(x)的单调递减区间是[kπ+π12,kπ+7π12]，；(2)由(1)可知f(x)=sin(2x +π3)， 由x ∈[−π4,π4]时，得2x +π3∈[−π6,5π6]，∴当2x +π3=π2，即x =π12时，f(x)取得最大值，即f(π12)=1；∴当2x +π3=−π6，即x =−π4时，f(x)取得最小值，即f(−π4)=−12，故f(x)的最大值为1，最小值为−12．解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．(1)利用两角和与差，二倍角辅助角公式化简，可得函数f(x)的最小正周期，结合三角函数的性质即可求函数f(x)的单调递减区间；(2)当x ∈[−π4,π4]时，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质即可求函数f(x)的最大值和最小值．17.答案：解：∵α∈(π2,π)，sinα=√55，∴cosα=−(√55)=−2√55， 由二倍角是可得sin2α=2sinαcosα=−45，cos2α=2cos 2α−1=35， ∴cos(5π6−2α)=cos 5π6cos2α+sin 5π6sin2α=−√32×35+12×(−45)=−3√3+410解析：由同角三角函数的基本关系和二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入两角差的余弦公式可得． 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属基础题． 18.答案：解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，代入f(x +1)−f(x)=2x 得2ax +a +b =2x 对于x ∈R 恒成立，所以{2a =2a +b =0， 又由f(0)=1得c =1，解得a =1，b =−1，c =1，所以f(x)=x 2−x +1；(2)因为g(x)=f(x)−2tx =x 2−(2t +1)x +1的图象关于直线x =t +12 对称，又函数g(x)在[−1,5]上是单调函数，所以t +12≤−1或t +12≥5，解得t ≤−32或t ≥92，故实数t 的取值范围是(−∞,−32]∪[92,+∞);(3)由方程f(x)+m =0得x 2−2x +1−m =0，令ℎ(x)=x 2+2x −1+m,x ∈(−1,2)，即要求函数ℎ(x)在(−1,2)上有唯一的零点， ①ℎ(−1)=0，则m =4，代入原方程得x =−1或3，不合题意；②若ℎ(2)=0，则m =1，代入原方程得x =0或2，满足题意，故m =1成立； ③若△=0，则m =0，代入原方程得x =1，满足题意，故m =0成立；④若m ≠4且m ≠1且m ≠0时，由{ℎ(−1)=4−m >0ℎ(2)=1−m <0得1<m <4， 综上，实数m 的取值范围是{0}∪[1,4)．解析：本是考查二次函数的解析式的求解及单调性，同时考查二次方程根的分布．(1)设f(x)的解析式，由已知求出待定系数即可求解;(2)由二次函数对称轴与单调性的关系即可求解;(3)讨论区间端点和对称轴处为方程的根，然后由二次方程根的分布求解即可．。
2020-2021学年天津市七校高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年天津市七校高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合M={1,2}，N={x∈Z|x2−2x−3<0}，则M∩N=()A. [1,2]B. {−1,3}C. {1}D. {1,2}2.对于实数a、b，“b<a<0”是“1b >1a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)=(x2−2x)e x的图象大致是()A. B.C. D.4.某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是()A. 45B. 48C. 50D. 605.已知三棱锥A−BCD的四个顶点A、B、C、D都在半径为√3的球O的表面上，AC⊥平面BCD，BD=3，BC=2，CD=√5，则该三棱锥的体积为()A. √153B. 2√153C. √156D. √156.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，y=f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减.则下面结论正确的是()A. f(10)<f(e12)<f(ln2)B. f(e12)<f(ln2)<f(10)C. f(ln2)<f(10)<f(e12)D. f(ln2)<f(e12)<f(10)7. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A ，B 两点，若边边形AOBF 的面积为12(a 2+b 2)，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±√22x B. y =±√2x C. y =±x D. y =±2x8. 已知函数f(x)=2(|cosx|+cosx)⋅sinx 给出下列四个命题： ①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图象关于直线x =π4对称； ③f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增； ④f(x)的值域为[−2,2]． 其中所有正确的编号是( )A. ②④B. ③④C. ①③④D. ②③9. 已知函数f(x)={x 2+(4a −3)x +3a, x <0log a (x +1)+1, x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|=2−x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A. (0,23]B. [23,34]C. [13,23]∪{34}D. [13,23)∪{34}二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 10. 复数−1+3i1+2i = ______ ．11. (x 3+1x )7的展开式中的x 5的系数是______(用数字填写答案)．12. 已知圆C ：x 2+y 2−2x −2y −6=0.直线l 过点(0,3)，且与圆C 交于A 、B 两点，|AB|=4，则直线l 的方程______． 13. 已知实数a >0，b >0，1a +2b =1，则4aa−1+3bb−2的最小值是______ ．三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）14. 一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同.现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是 _;若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望E(X)= ．15. 已知扇形AOB 半径为1，∠AOB =60°，弧AB ⏜上的点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λ+μ的最大值是 (1) ；PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B =45°，b =√10，tanC =12．(Ⅰ)求边a ；(Ⅱ)求sin(2A −B)．17.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求二面角E−AF−B的余弦值；(3)若M为线段DE上的一点，满足直线AM与平面ABF所成角的正弦值为2√3015，求线段DM的长．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1和F2，离心率为12，以P在椭圆E上，且△PF1F2的面积的最大值为√3．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过椭圆C右焦点F2，交该椭圆于A、B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于P，记△AOQ的面积为S1，△BPQ的面积为S2，若S2=3S1，求直线l的方程．19.已知等比数列{a n}的公比q>0，且满足a1+a2=6a3，a4=4a32，数列{b n}的前n项和S n=n(n+1)2，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n={3b n+8b n b n+2⋅a n+2,n为奇数a nb n,n为偶数，求数列{c n}的前2n项和T2n．20.已知函数f(x)=e xx−lnx+x−2a，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，(ⅰ)求a的取值范围；4a2−2a−1答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵M={1,2}，N={x∈Z|−1<x<3}={0,1，2}，∴M∩N={1,2}．故选：D．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由不等式取倒数法则知：“b<a<0”⇒“1b >1a”，反之，由“1b >1a”推不出“b<a<0”，例如b>0，a<0时，1b >1a，但b<a<0不成立．∴对于实数a、b，“b<a<0”是“1b >1a”的充分不必要条件．故选A．由不等式取倒数法则知“b<a<0”⇒“1b >1a”，举反例知“1b>1a”推不出“b<a<0”，由此能求出结果．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意取倒数法则的合理运用．3.【答案】A【解析】解：因为f(0)=(02−2×0)e0=0，排除C；因为f′(x)=(x2−2)e x，解f′(x)>0，所以x∈(−∞,−√2)或x∈(√2,+∞)时f(x)单调递增，排除B，D．故选：A．本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f(0)=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：低于60分的人数是18人，由频率分布直方图得低于60分的频率为：(0.005+0.010)×20=0.3．∴参加体能测试的学生人数n=180.3=60．故选：D．低于60分的人数是18人，由频率分布直方图得低于60分的频率，由此能求出参加体能测试的学生人数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意，AC⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AC⊥BC，∵AC∩CD=C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，∴三棱锥S−ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，∴4R2=AC2+BC2+CD2=AC2+4+5=12，∴AC=√3，∴该三棱锥的体积为：V A−BCD=13×AC×S△BCD=13×√3×12×2×√5=√153．故选：A．推导出AC⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面ACD，进而三棱锥S−ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，推导出AC=√3，由此能求出该三棱锥的体积．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：∵f(x+6)=f(x)，∴f(x)的周期为6，又y=f(x+3)为偶函数，∴f(x+3)=f(−x+3)，∴f(10)=f(4+6)=f(4)=f(1+3)=f(−1+3)=f(2)，又1<e12<2，0<ln2<1，∴0<ln2<1<e12<2，且f(x)在(0,3)内单调递减，∴f(2)<f(e12)<f(ln2)，即f(10)<f(e12)<f(ln2)，故选：A．利用f(x+6)=f(x)得到函数的周期，结合y=f(x+3)为偶函数得到f(10)=f(2)，从而将所求函数的自变量放在了(0,3)范围内，利用单调性求得函数值的大小．本题属于基础题，考查函数的性质，能够将函数的性质综合运用正确解题是我们高中数学的基本功．7.【答案】C【解析】解：根据题意，OA⊥AF，双曲线C的焦点F到C的一条渐近线y=±ba x的距离为√a2+b2=b，则|AF|=b，所以|OA|=a，所以ab=12(a2+b2)，所以ba=1，所以双曲线C的渐近线方程为y=±x．故选：C．切线双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离以及三角形的面积公式结合已知条件求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.【答案】Bf(π2−x)=2(|cos(π2−x)|+cos(π2−x))⋅sin(π2−x)=2(|sinx|+sinx)⋅cosx≠f(x)，f(x)的图象不关于直线x=π4对称，②错，排除AD选项f(x)在区间[−π4,π4]时，f(x)=2(|cosx|+cosx)⋅sinx=4cosxsinx=2sin2x，在[−π4,π4]上单调递增，③对，排除A选项；故选：B．根据周期，对称轴，单调性的性质进行判断．本题考查三角函数的周期，对称，单调性，可通过排除法排除选项，属于中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．根据分段函数的单调性判断出a的大致范围，再利用函数的图象，推出a的范围．【解答】解：y=log a(x+1)+1在[0,+∞)递减，则0<a<1，函数f(x)在R上单调递减，则：{3−4a2≥0 0<a<102+(4a−3)⋅0+3a≥log a(0+1)+1,解得13≤a≤34；y=|f(x)|和函数y=2−x的图象如下图：由图象可知，在[0,+∞)上，|f(x)|=2−x有且仅有一个解，故在(−∞,0)上，|f(x)|=2−x同样有且仅有一个解，当3a>2即a>23时，联立x2+(4a−3)x+3a=2−x，x<0，则Δ=(4a−2)2−4(3a−2)=0，解得a=34或1(舍去)，当a=34时，方程可化为(x+12)2=0，x=−12符合题意；当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[13,23]∪{34}，10.【答案】1+i【解析】解：−1+3i1+2i =(−1+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5+5i5=1+i．故答案为1+i．直接利用复数的除法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．11.【答案】35【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题．根据所给的二项式，利用二项展开式的通项写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为5求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1=C7r(x3)7−r(1x)r=C7r x21−4r；要求展开式中含x5的项的系数，∴令21−4r=5，解得r=4，可得：C74=35．故答案为：35．12.【答案】y=0或y=43x+3【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2−2x−2y−6=0即(x−1)2+(y−1)2=8，圆心C(1,1)，半径r=2√2，又由直线l与圆C交于A、B两点，|AB|=4，则点C到直线l的距离d=√r2−(|AB|2)2=2，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=0，点C到直线l的距离d=1，不符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，即kx−y+3=0，则有d=√1+k2=2，解可得k=0或43；故直线l的方程为y=0或y=43x+3；故答案为：y=0或y=43x+3．根据题意，分析圆C的圆心以及半径，由直线与圆的位置关系可得点C到直线l的距离d=2，分直线l的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案．本题考查直线与圆相交的关系，涉及弦长的计算，属于基础题．13.【答案】7+4√3【解析】解：∵1a +2b=1，∴a−1=2ab ,b−2=ba，且a>0，b>0，∴4aa−1+3bb−2=4+4a−1+3+6b−2=7+2ba+6ab≥7+2√12=7+4√3，当且仅当2ba=6ab，即a=1+2√33,b=√3+2∴4aa−1+3bb−2的最小值是7+4√3．故答案为：7+4√3．可根据1a +2b=1得出a−1=2ab,b−2=ba，然后即可得出4aa−1+3bb−2=7+2ba+6ab，然后根据基本不等式即可求出4a a−1+3bb−2的最小值．本题考查了分离常数法的运用，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．14.【答案】310;65【解析】【分析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n=C53=10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m=C22C31= 3，由此能求出其中恰有2个小球颜色相同的概率；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望E(X)．【解答】解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n=C53=10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m=C22C31=3，∴其中恰有2个小球颜色相同的概率是p=mn =310；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C33C103=110，P(X=1)=C21C32C103=610，P(X=2)=C22C31C103=310，∴数学期望E(X)=0×110+1×610+2×310=65．故答案为：310;6 5．15.【答案】2√3332−√3【解析】解：以O为原点，以OB为x轴建立平面直角坐标系，1√3∴{cosθ=12λ+μsinθ=√32λ，即{λ=2√3sinθ3μ=cosθ−√33sinθ．∴λ+μ=cosθ+√33sinθ=2√33sin(θ+π3)，∵P 在AB ⏜上，∴0≤θ≤π3， ∴当θ=π6时，λ+μ取得最大值2√33．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−cosθ,√32−sinθ)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−cosθ,−sinθ)， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−cosθ)(1−cosθ)+(√32−sinθ)(−sinθ)=32−32cosθ−√32sinθ=32−√3sin(θ+π3).∵0≤θ≤π3，∴π3≤θ+π3≤2π3．∴当θ+π3=π2时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值32−√3． 故答案为：2√33，32−√3．建立坐标系，设∠BOP =θ，用θ表示出P 点坐标，得出λ+μ及PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于θ的表达式，根据θ的范围和三角函数的性质得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由tanC =12，且C ∈(0,π)，sin 2C +cos 2C =1，解得sinC =√55，cosC =2√55，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =3√1010． ∵a sinA=b sinB，B =45°，b =√10，∴a =bsinA sinB=√10×3√1010√22=3√2；(II)由正弦定理csinC =bsinB ，得：c =bsinC sinB=√10×√55√22=2．∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =10+4−184√10=−√1010， 又sinA =3√1010， ∴cos2A =cos 2A −sin 2A =−45，sin2A =2sinAcosA =−35， ∴sin(2A −B)=sin2AcosB −cos2AsinB =−35×√22+45×√22=√210．【解析】(Ⅰ)利用同角三角函数关系求出sin C ，cos C ，再利用两角和差公式求得sin A ，由正弦定理求得结果； (Ⅱ)由正弦定理求得c ，再利用余弦定理求得cos A ；利用二倍角公式求得sin2A ，cos2A ，根据两角和差正弦公式得到结果．本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，涉及到同角三角函数关系、两角和差∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，且O 为AC 的中点，∵FA =FC ，∴AC ⊥FO ，又FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ，FO ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥平面BDEF ．解：(2)连结DF ，∵四边形BDEF 是菱形，且∠DBF =60°，∴△DBF 是等边三角形，∵O 为BD 的中点，∴FO ⊥BD ，又AC ⊥FO ，BD ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴FO ⊥平面ABCD ，∵OA 、OB 、OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O −xyz ，如图，设AB =2，∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°，∴BD =2，AC =2√3，∵△DBF 为等边三角形，∴OF =√3，∴A(√3,0，0)，B(0,1，0)，D(0,−1,0)，F(0,0，√3)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0，√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面AEF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +√3z =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅||n ⃗⃗ =√105， ∵二面角E −AF −B 的余弦值为−√105． (3)设DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−λ,√3λ)，(0≤λ≤1) 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)+(0,−λ,√3λ)=(0,−1−λ,√3λ)， ∴|cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√35⋅√4λ2+2λ+4=2√3015，化简，得8λ2+4λ−1=0，解得λ=√3−14或λ=−1−√34(舍)， ∴线段DM 的长为√3−12．【解析】(1)设AC 与BD 交于点O ，连结FO 推导出AC ⊥BD ，且O 为AC 的中点，AC ⊥FO ，由此能证明AC ⊥平面BDEF ．(2)连结DF ，由OA 、OB 、OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角E −AF −B 的余弦值．(3)设DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−λ,√3λ)，(0≤λ≤1)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)+(0,−λ,√3λ)=(0,−1−λ,√3λ)，利用向量法能求出线段DM 的长．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：(1)依题意，显然当P 在短轴端点时，△PF 1F 2的面积最大为12×2c ×b =√3，即bc =√3，又由离心率为e =c a =12，a 2−b 2=c 2，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)因为S 2=3S 1，所以12|QP||QB|sin∠BQP =3×12|QA||QO|sin∠AQO ，所以|QP|=3|QO|，所以|OP|=4|OQ|，当AB 斜率不存在时，S 2=S 1，不合题意，当AB 斜率存在时，设直线方程为y =k(x −1)，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 124+y 123=1x 224+y 223=1，两式作差得：y 1−y 2x1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=−34， 即k AB ⋅k OP =−34，故直线OP 的方程为：y =−34k x ，联立{y =−34k x x 24+y 23=1，解得x P 2=16k 23+4k 2， 联立{y =−34k x y =k(x −1)，解得x Q =4k 23+4k 2， 因为x P =4x Q ，所以√3+4k 2=4×4k 23+4k 2， 即k 2=14，解得：k =±12，所以直线AB 的方程为y =±12(x −1)．【解析】(1)显然当P 在短轴端点时△PF 1F 2的面积最大，得到bc =√3，再结合离心率和a 2−b 2=c 2，即可求出a ，b ，c 的值，从而得到椭圆C 的方程．(2)由题意可得|OP|=4|OQ|，当AB 斜率不存在时，S 2=S 1，不合题意；当AB 斜率存在时，设直线方程为y =k(x −1)，利用点差法得到k AB ⋅k OP =−34，求出直线OP 的方程，联立方程求出点P ，Q 的横坐标，代入x P =4x Q 求出k 的值，从而得到直线l 的方程．本题主要考查了椭圆的坐标方程，考查了直线与椭圆的位置关系，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)依题意，由a 1+a 2=6a 3，a 4=4a 32，可得 {a 1+a 1q =6a 1q 2a 1q 3=4(a 1⋅q 2)2， 解得q =12，a 1=12，∴a n =12⋅(12)n−1=(12)n ，n ∈N ∗，对于数列{b n }：当n =1时，b 1=S 1=1，当n ≥2时，b n =S n −S n−1=n(n+1)2−n(n−1)2=n ，∵当n =1时，b 1=1也满足上式，∴b n =n ，n ∈N ∗．(Ⅱ)由题意及(Ⅰ)，可知当n 为奇数时，c n =3b n +8b n b n+2⋅a n+2=3n+8n(n+2)×(12)n+2=1n⋅2n −1(n+2)⋅2n+2，当n 为偶数时，c n =a n ⋅b n =n ⋅(12)n ，令A =c 1+c 3+⋯+c 2n−1，B =c 2+c 4+⋯+c 2n ，则A =c 1+c 3+⋯+c 2n−1=11⋅21−13⋅23+13⋅23−15⋅25+⋯+1(2n −1)⋅22n−1−1(2n +1)⋅22n+1=11⋅21−1(2n +1)⋅22n+1 =12−1(2n+1)⋅22n+1，B =c 2+c 4+c 6+⋯+c 2n =2⋅(12)2+4⋅(12)4+6⋅(12)6+⋯+2n ⋅(12)2n ，∴(12)2B =2⋅(12)4+4⋅(12)6+⋯+(2n −2)⋅(12)2n +2n ⋅(12)2n+2，两式相减，可得34B =2⋅(12)2+2⋅(12)4+2⋅(12)6+⋯+2⋅(12)2n −2n ⋅(12)2n+2， =(12)1+(12)3+(12)5+⋯+(12)2n−1−2n ⋅(12)2n+2， =12−(12)2n+11−(12)2−2n ⋅(12)2n+2，=−(n +43)⋅(12)2n+1+23， ∴B =−3n+49⋅(12)2n−1+89，∴T 2n =c 1+c 2+⋯+c 2n=(c 1+c 3+⋯+c 2n−1)+(c 2+c 4+c 6+⋯+c 2n )=A +B=12−1(2n +1)⋅22n+1−3n +49⋅(12)2n−1+89 =2518−(14(2n+1)+3n+49)⋅(12)2n−1．【解析】本题第(Ⅰ)题根据题干已知条件可列出关于首项a 1与公比q 的方程组，解出a 1与q 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式，再根据公式b n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2进行计算可得数列{b n }的通项公式； 第(Ⅱ)题先分n 为奇数和n 为偶数分别计算出数列{c n }的通项公式，在求前2n 项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前2n 项和T 2n ．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档偏难题． 20.【答案】解：(1)f′(x)=e x (x−1)x 2−1x +1=(x−1)(e x +x)x 2，x >0.----------(3分)当x >1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1).------------(5分)(2)(i)由(1)f(x)min =f(1)=e +1−2a ，若函数f(x)有两个不同的零点x 1，x 2，则f(1)=e +1−2a <0，解得：a >e+12，------------(8分) (ii)不妨设x 1<x 2，因为f(2a)=e 2a 2a −ln2a +2a −2a =e 2a 2a −ln2a ．令t =2a >e +1,g(t)=e t t −lnt ，g′(t)=e t (t−1)−tt 2．令ℎ(t)=e t (t −1)−t ，则ℎ′(t)=e t ⋅t −1，ℎ′′(t)=e t ⋅(t +1)>0，所以ℎ′(t)单调递增，又因为ℎ′(e +1)>0，所以ℎ(t)单调递增．因为ℎ(e +1)=e e+2−1>0，所以g′(t)>0，故g(t)单调递增．又因为g(e +1)>g(e)=e e−1−1>0，所以f(2a)>0，x 2<2a.------------(12分)由lnx ≤x −1可知f(12a−1)=e 12a−112a−1−ln(12a−1)+(12a−1)−2a ≥e 12a−112a−1+1−2a 令m =12a−1∈(0,1e ),f(m)>e m m −1m >0， 所以x 1>12a−1,|x 2−x 1|<4a 2−2a−12a−1.------------(15分)【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)(i)求出函数的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可；(ii)令t =2a >e +1，令ℎ(t)=e t (t −1)−t ，结合函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的怎么，考查转化思想，是一道难题．。
【精准解析】天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2020届高三上学期期中考试联考数学试题+含解析
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5.有下面四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“直线 a 、b 不相交”是“直线 a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“直线 l 平面 内 所有直线”的充要条件是“ l 平面 ”；③“直线 a / / 直线 b ”的充要条件是“ a 平行于 b 所在的
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平面”；④“直线 a / / 平面 ”的必要而不充分条件是“直线 a 平行于 内的一条直线．”
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①“直线 a 、 b 为异面直线” “直线 a 、 b 不相交”，反之不成立，即可判断出关系；
②根据线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；
点，则 DC OC 的最小值为（ ）
1
A.
3
1
B.
2
C. 2
D. 2
【答案】B 【解析】
【分析】
由题意以 O 为坐标原点，建立面直角坐标系，用坐标表示出 DC ， OC 然后进行运算。 【详解】解：OAOB 0
OA OB
所以可建立以 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
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又 B {x Z |1 x 5} 2,3, 4 ，所以 A B 2,3 ，故本题选 C.
【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的 关键. 2.若 x＞0＞y，则下列各式中一定正确的是（ ）
A. sinx siny
B. lnx ln y
C. ex ey
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2019～2020 学年度第一学期期中七校联考高三数学
天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析) (3)
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共9小题）1.设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2S =，{}2,3T =，则()US T 等于（ ）A. {}2B. {}3C. {}4D. {}2,3,4【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合()US T .【详解】由题意可得{}3,4US =，因此，(){}3U S T =.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题3.下列函数中是偶函数，且在0∞+（，）上单调递增的是 （）A. 3y x = B. 2y lgx =-C. 2xy = D. y =【答案】D 【解析】 【分析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件．B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ，()()f x f x -===，该函数为偶函数，当0x >时，y =,满足条件,故选：D ．【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.4.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“3542S S S +>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据前n 项和n S 与通项之间的关系化简判断即可. 【详解】等差数列{}n a 的公差为d ,3542S S S +>,345344S S a S a S ∴++>++,540a a d ∴-=>则“0d >”是“3542S S S +>”的充要条件, 故选：C ．【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和n S 的关系与充分必要条件的判断,属于基础题型.5.设0.231012143a b og c lg =-==，，，则a ，b ，c 的大小关系是 （） A. a c b <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】判断每个数的大致范围再分析即可. 【详解】0.20221,0a >=∴<,331031,13log log b >=∴>, 1410,01lg lg lg c <<∴<<,a cb ∴<<,故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.6.过点A （-1，0），斜率为k 的直线，被圆（x-1）2+y 2=4截得的弦长为23，则k 的值为（ ）A. 3±B.3 C. 3± D. 3【答案】A 【解析】试题分析：设直线为,根据弦长公式,可得：,,解得：,故选A.考点：直线与圆的位置关系 7.函数ππ30966x xy sin cos x =≤≤（）的最大值与最小值之和为 （）A. 13--B. 1-C. 0D. 23-【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式合一变形,再分析 【详解】函数1332662626xxx xy sincossin cos ππππ==-（）263x sin ππ=-（）,由09x ≤≤,得73636x ππππ-≤-≤,所以163x sin ππ≤-≤（）, 所以y的最大值为2,最小值为所以y 的最大值与最小值之和为2-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了辅助角公式应用以及三角函数范围的问题,属于中等题型.8.已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A. 2 B. 1:2C. 1:D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0），∴直线FA 为：x +2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FP FN∴==， :FM MN =9.四边形ABCD 中，129090BC AC ABC ADC ∠∠====，，，，则AC BD ⋅的取值范围是（ ）A. []13-，B. 31--（，）C. ()31-， D.33⎡⎤-⎣⎦， 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分析数量积的取值范围即可.【详解】画出图象,因为90,90ABC ADC ∠∠=︒=︒,故,,,A B C D 四点共圆.又1,2BC AC ==,易得3,60,30AB ACB CAB =∠=︒∠=︒.AC BD ⋅()32332AC BA AD AC BA AC AD AC AD AC AD ⎛⎫=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.易得当D 在A 时3AC AD -+⋅取最小值3-,当D 在C 时3AC AD -+⋅取最大值2321-+=.故AC BD ⋅的取值范围是()31-，.故选：C【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析D 的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型. 二、填空题（本大题共6小题） 10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.曲线21xy x =-在点（1，1）处的切线方程为 . 【答案】20x y +-= 【解析】()()2221212121x x y x x --⋅-=--'=，故切线方程的斜率()211211k -==-⨯-又()111211f ==⨯- ，故曲线21x y x =-在点处的切线方程为()111y x -=--整理得20x y +-= 即答案为20x y +-=12.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，2AB =，则此球的表面积等于______． 【答案】17π 【解析】 【分析】根据该四棱锥内嵌于长方体中,计算长方体体对角线再算外接球表面积即可. 【详解】因为四边形ABCD 是正方形,且PA ⊥平面ABCD , 所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中,因为棱锥体积212433V h h =⨯⨯=⇒=. 则该长方体的长、宽、高分别为2、2、3, 它们的外接球是同一个,设外接球直径为D ,所以222222317D =++=,所以表面积为22417S R D πππ===． 故答案为：17π【点睛】本题主要考查了四棱锥外接球表面积的计算,其中外接球直径为内嵌长方体的体对角线,属于中等题型.13.设双曲线经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 . 【答案】；【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______． 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y y x y y y y -∴+=+=--,令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111133455241999t t t t x y t t t t t t++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+⋅=（）（）, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案为：1(1)2(2)1【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.对于实数a和b，定义运算“*”：33*a ab a ba bb b a a b⎧-≤=⎨->⎩（），（），，设21*1f x x x=--（）（）（），若函数2g x f x mx m R=-∈（）（）（）恰有三个零点123x x x，，，则m的取值范围是______；123x x x的取值范围是______．【答案】 (1).14（，） (2).13-（，）【解析】【分析】分析21x-与1x-的大小关系,再化简2f x mx-（）画图分析求解即可.【详解】当211x x-≤-时,即30,21x f x x x≤=-（）（）,当211x x->-时,即30,1x f x x x>=--（）（）,所以3321,01,0x x xf xx x x⎧-≤=⎨-->⎩（）（）（）,因为g x（）有三个零点,所以f x（）与2y mx=的图象有三个交点,即21,010x x xk xx x x-≤⎧=⎨-->⎩（）（）（）与函数y m=有三个交点,作出k x（）的图象,如图,其中0x>时，函数()k x最大值为111(1)224--⨯=.所以14m<<,不妨设123x x x<<,易知2x>,且231x x+=,所以22323124x xx x+<<=（）由12140x x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩（）解得x =,所以1104x <<1230x x x <<． 且当m 无限接近14时123x x x当m 无限接近0时123x x x 趋近于0. 故答案为：10,4（）；.） 【点睛】本题主要考查了函数新定义的理解以及数形结合求解零点取值范围的问题等.需要根据题意分析123x x x 随m 的变化情况,属于中等题型. 三、解答题（本大题共5小题）16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为（Ⅰ）求a 及sinC 的值； （Ⅱ）求π26cos A -（）的值． 【答案】（Ⅰ）3a =， 9sinC =（Ⅱ 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且11,,33b c cosA sinA -==∴==ABC的面积为16,3,22233bc bc sinA bc b c ⋅=⋅===∴==, 3a ∴===．再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,9223sinCsinC=∴=．（Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA∴==⨯⨯=）272219cos A cos A=-=-,故734214273 222666992cos A cos Acos sin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，已知直三棱柱111ABC A B C-的底面是直角三角形，1190223ACB AA AB BC DC CD∠=︒====，，．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1A BD；（Ⅱ）求二面角1A BD A--的余弦值；（Ⅲ）求点1B到平面1A BD的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ6）（Ⅲ2）【解析】【分析】(Ⅰ)根据直三棱柱中90ACB∠=︒可以C为坐标原点建立空间直角坐标系,求解平面1A BD 的法向量m并证明1//AB m即可.(Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面1A BD的一个法向量,利用二面角的向量公式求解即可.(Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点1B 到平面1A BD 的距离为112AB ,再求解即可. 【详解】依题意,以C 为原点,CB 为x 轴,1CC 为y 轴,CA 为z 轴,建立空间直角坐标系,则1110,0,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,3,3C B C B A A （）（）（）（）（）（）, 13DC CD =，10,,02D∴（）, （Ⅰ）证明：1111,2,3,1,2,3,1,,02AB A B BD =-=--=-（）（）（）, 设平面1A BD 的一个法向量为,,m x y z =（）,则123012m A B x y z m BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3z =则1,3m =--（）, 1AB m ∴=-,即1//AB m ,1AB ∴⊥平面1A BD ；（Ⅱ11,0,3,1,,02AB BD =-=-）（）（）, 设平面ABD 的一个法向量为,,n a b c =（）,则3012n AB a c n BD a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3c =,则3,6,3n =（）, 又平面1A BD 的一个法向量为1,3m =--（）,,14m n cos m n m n ⋅∴<>==+⋅,即二面角1A BD A --的余弦值为4（Ⅲ）设点1B 到平面1A BD 的距离为d ,则易知112B d A =,而11AB =+=∴点1B 到平面1A BD ．【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明空间中的垂直问题以及二面角的计算方法等.需要根据题意找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再利用对应的公式求解即可.属于中等题型.18.已知椭圆C 的一个顶点为01A -（，），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ．i （）当00k m >≠，时，射线OE 交直线3x =-于点3D n O -（，）（为坐标原点），求22k n +的最小值；ii （）当0k ≠，且AM AN =时，求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）（i ）2；（ii ）()0,2.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用点到线的距离公式与222a b c =+求解即可.（Ⅱ）i （）联立直线与椭圆的方程,求出关于两点M ,N 的二次方程与韦达定理,继而得出点E 的坐标,再化简求得22n k +的解析式,利用,n k 的关系换元求最值即可.ii （）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,再表达出斜率的关系式化简利用,n k 的关系求m 的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）,设椭圆的右焦点,0,0c c >（）,由题意得：2221,3b a b c ===+,解得：223,1a b ==,所以椭圆的方程：2213x y +=；（Ⅱ）（i ）设()11,M x y ,()22,N x y ,将直线与椭圆联立整理得：2222222136330,36413330k x kmx m k m k m +++-==-+->（）（）（）,即2213m k <+,且122631km x x k +=-+，()121222231my y k x x m k ∴+=++=+, 所以MN 的中点223,1313km m E k k -++（）, 所以射线OE ：13y x k =-,与直线3x =-的交点13,k -（）,所以1n k =, 所以222212n k k k+=+≥,当且仅当21,0k k =>,所以1k =时22n k +有最小值2．（ii ）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,所以1AE MNk k =-,即22221113,213,2313mk m k m m km kk++=-∴=+∴>-+,解得02m <<, 所以m 取值范围,2（0）．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,需要联立方程求韦达定理,进而表达出对应的关系式化简求解即可.属于难题.19.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且122538433a b a b a b a ===+=，，，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令23nn a c log =，证明：233411111*2n n n N n c c c c c c +++⋯+<∈≥（，）；（Ⅲ）求1*ni n N =∈）． 【答案】（Ⅰ132n n a -=⋅）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ323223nn +-⋅） 【解析】 【分析】(Ⅰ) 设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,再利用基本量法根据题意求解对应的公比公差即可.(Ⅱ)先求得n c ,再利用裂项相消求和证明即可. (Ⅲ)代入n b ,再利用错位相减求解即可.【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,由12253843,,3,a b a b a b a ===+=,可得231113,433,73b d q b d q b d q +=+=++=,解得12,3,3q d b ===,则132,3313n n n a b n n -=⋅=+-=（）； （Ⅱ）证明：122213n nn a c log log n -===-, 23341111111111111111122312231n n c c c c c c n n n n n+++⋯+=++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯⨯--； （Ⅲ）23n n==,可设1246239273nn n i nT ===+++⋯+, 1124623927813n n nT +=+++⋯+, 相减可得12222223392733n n n n T +=+++⋯+-11111223332113313n n n n n ++-+=⋅-=--（）,化简可得1323223nn i n =+=-⋅．【点睛】本题主要考查了等比、等差数列的综合运用,需要根据题意列式求解对应的基本量,同时也考查了裂项相消以及错位相减等求和方法.属于中等题型.20.已知函数f x lnx ax a R =-∈（）（）． （Ⅰ）讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）若2f x x ≤（）对0x ∞∈+（，）恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1a =时，设1f x g x xe x e -=--（）（）（为自然对数的底.）若正实数12λλ，满足12121210x x x x λλ∞+=∈+≠，，（，）（），证明：11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ[1∞-+），）（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后讨论a 的取值范围进行分析即可 （Ⅱ）参变量分离后有lnxa x x≥-恒成立,再设函数求导分析最大值即可. （Ⅲ）先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可. 【详解】（Ⅰ）函数的定义域为{}10,'x x f x a x=-（）, ①当0a ≤时,'0f x >（）,函数f x （）在0,∞（+）上单调递增； ②当0a >时,令'0f x >（）解得10x a <<,令'0f x <（）解得1x a>,故此时函数f x （）在10,a （）上单调递增,在1,a∞+（）上单调递减；（Ⅱ2f x x ≤）（）对0,x ∈+∞（）恒成立,即为对任意的0,x ∈+∞（）,都有lnxa x x≥-, 设0lnx F x x x x =->（）（）,则22211'1lnx lnx x F x x x ---=-=（）,令210G x lnx x x =-->（）（）,则1'20G x x x =--<（）, G x ∴（）在0,∞（+）上单调递减,且10G =（）,∴当0,1x ∈（）时,0,'0,G x F x F x >>（）（）（）单调递增；当1,,0,'0,x G x F x F x ∞∈+<<（）（）（）（）单调递减,11max F x F∴==-（）（）, ∴实数a 的取值范围为[1,-+∞）．（Ⅲ）证明：当1a =时,111,'100lnx x x lnx x x g x xe x xe x e x g x e x ---=--=--=--=->>（）（）（）（）,不妨设120x x <<,下先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 构造函数211121g x g x Hx g x g x x x x x -=----（）（）（）（）（）（）,显然12H x H x =（）（）,且2121''g x g x H x g x x x -=--（）（）（）（）,则由导数的几何意义可知,存在12,x x ξ∈（）,使得2121''0g x g x H g x x ξξ-=-=-（）（）（）（）,即存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 又'1xg x e =-（）为增函数, 2121121''g x g x g x x g x x x ξ∴-=->-（）（）（）（）（）（）,即21121'g x g x g x x x >+-（）（）（）（）,设31122121x x x λλλλ=++=（）,则1311222322111,1x x x x x x x x λλλλ-=---=--（）（）, []133********''1g x g x g x x x g x g x x x λλ∴>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）①, []23323332211''1g x g x g x x x g x g x x x λλ>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）②,由12λλ⨯+⨯①②得,112231122g x g x g x g x x λλλλ+>=+（）（）（）（）, 即11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【点睛】本题主要考查了导数单调性的分情况讨论以及利用导数分析最值与恒成立的问题等,需要构造函数,代入所给的自变量进行分析证明,属于难题.。
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题(解析版)(20200612185555)
础题•3 .设 x R ，则 “x 2 2x 0 ”是“ x 2 ”的（）A .充分不必要条件B .充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题、单选题8}，则 A (C u B)(【答案】B【解析】先求出C u B 再与A 取交集，即可得到答案 【详解】因为 C u B {235,6} , A {2, 3, 4, 6}, 所以 A (C u B) {2,3,6 }. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题【答案】【详解】抛物线y 2 4X 的准线方程为X 即X 1，故选A . 【点睛】【答案】A1 .设全集 U { 1,2 , 3,4, 5, 6, 7, 8}，集合 A {2, 3,4, 6}， B { 1，4, 7,A . {4}B. {2, 3, 6}C. { 2, 3, 7}D. { 2, 3, 4, 7}2 .抛物线y 2 4x 的准线方程为（A . XB . y 1C. X 1D.【解析】利用 2 px 的准线方程为2，能求出抛物线4x 的准线方程•2Q y 4x, 2p4, p 2 ,本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质, 意在考查对基础知识的掌握与应用， 是基【解析】分别解两个不等式得到集合A, B，再利用集合间的关系，即可得到答案【详解】解不等式x22x 0得；A {x| 0x2},解不等式x 1 2 得：B {x| 1x3},因为A是B的真子集，所以“ x22x 0 ”是“|x 1 2 ”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了•4•直线x y 1 0与圆x2(y 1)24相交于A、B，则弦AB的长度为( ) A. . 2 B. 2\ 2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】先求圆心到直线的距离d，再利用弦长公式，即可求得答案.【详解】圆心到直线的距离d |0 1 11、、2 ,V2所以|AB| 2.r2 d22、、厂2 2 2.故选：B.【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.5.已知数列｛a n｝中，a1 1 , 2a n 1 a.(n N*)，记｛a.｝的前n项和为S n ,则( )A. S n 2a n 1B. S n 1 2a nC. S n a n 2D. S n 2务【答案】D【解析】根据递推关系求得等比数列｛a n｝的通项公式，再求出前n项和为S n，化简可得S n 2 a n .【详解】故选：D. 【点睛】简找到S n 与a n 的关系.根据题意得f(x)在区间(1,)上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得C ,从而利用函数的单调性可得答案【详解】 因为偶函数f(x)在区间(，1)上单调递增,1 c log 1 -25故选：A.【点睛】本题考查对数函数的图象与性质、 函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和f (a), f(b), f (c)的大小关系为( )f(a) f(b) f (c) B . f(b)f (c) f(a) f(c)f (b)f (a)D. f (a)f (c)f(b)则 A .C.A Q 2a n 1 a n (n N ),an 11云2，数列｛a n ｝是以1为首项, a n G )n 12S n1 —为公比的等比数列,21更1丄22“ 12 an .本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查基本量运算,求解时要注意通过化已知偶函数f(x)在区间(，1)上单调递增,In3，b log ?1 ,c 砸订，325【答案】所以 f (x)在区间(1, )上单调递减.因为 Iog 3e log 3 2 log 3 elog 3 2ln3 log 2 3，即 1 a b 2 ,【解析】因为 所以所以 f (a) f(b)f (c).逻辑推理能力7•将函数f（x） sin2x的图象向右平移—个单位长度后得到函数g（x）的图象，则下6列说法正确的是（）1A. g（—） 2 B・g（x）的最小正周期是45c. g（x）在区间［0 ,］上单调递增 D. g（x）在区间［—,—］上单调递减3 3 6【答案】C【解析】根据函数的平移变换求出g（x）的解析式，再一一对照选项验证是否成立【详解】函数f （x） sin2x的图象向右平移个单位长度得:6g(x) S^x 3).对A，g(—) sin(2 -）3，故A错误;3 2对B,最小正周期为，故B错误;对C,当0 x -3正确；3 2x 3 3，因为（甌）是（?，2）的子区间，故C对D,当x —3 6 误；4 4 33 2x 3 IT，（SE）不是口三）的子区间，故D错故选：C.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质,能力•考查数形结合思想和运算求解2 28.已知双曲线C : - J2 ,2a b1（a 0 , b 0）的右焦点为F（、6 , 0），点P在C的一条渐近线上，若PO PF（O是原点），且POF的面积为铉，则C的方程是4( )2 222O 22A. X y1B.x' 1C. x_ y_ 1D. — y214 224 3 35【解析】根据三角形的面积及PO PF，求出点p的坐标，再利用点P的坐标求渐【答案】A近线的斜率，从而得到 b的值，再观察选项，即可得到答案a【详解】因为 POF 的面积为 L2，设点P 在第一象限,4所以 1；6y p 342 y 今， 2 42所以b -I -1 -1，只有选项A 符合.a 222故选：A.【点睛】 本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求K解能力，求解时只要得到 一的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量aln(x 2) 2x3 9.已知函数f(x)2,若关于x 的方程f(x) kx 恰有三个x 2 15x 36 x 3互不相同的实数解，则实数 k 的取值范围是() A . [3 , 12] B. (3, 12)C. (0,12)D. (0 , 3)【答案】D【解析】 画出函数f(x)的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题,【详解】因为|P0PF ，所以点P 的横坐标等于西，2求出直线与抛 物线相切时的临界值，再结合图象得到k 的取值范围.15x 236 得：x (k 15)x 36函数f(x)的图象如图所示:2当直线y kx与抛物线相切时，(k 15) 144 0 k 3或k 27,由于方程f(x) kx恰有三个互不相同的实数解，所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以0 k 3.故选：D.【点睛】本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解二、填空题10. i是虚数单位，若复数z满足(1 3i)z 4i，则z ______________ .【答案】6 2i5 56 2【解析】利用复数的除法运算，求得z i .5 5【详解】4i 4i(1 3i) 12 4i 6 2.z i.1 3i (1 3i)(1 3i) 10 5 5故答案为：6 2i .5 5【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题1 6 311 • (2x —)的展开式中含x3项的系数是____________ (用数字作答)•x【答案】192【解析】根据二项展开式得T r 1C6(2x)6 r( 2)r(r 0,1 L ,6)，进而得到r 1时x会出现x3项，再计算其系数•【详解】T r1 C6r (2x)6 r ( W)r C6 26 r ( 1)r x63r(r 0,1,L ,6),x当6 3r 3时，即r 1 ,所以T2 C；25( 1)x3192x3.故答案为：192.【点睛】 本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题 4 3a 0,b 0，且a 3b 1，则的最小值是a b【详解】等号成立当且仅当 故答案为：25. 【点睛】二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件13 .已知半径为2的球的球面上有 A 、B 、C 、D 不同的四点,等边三角形，且 DO 平面ABC （O 为球心，D 与0在平面ABC 的同一侧），则三棱 锥D ABC 的体积为 _________ . 9 3 4作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到如图所示，点E 为ABC 的中心，则BE — AC 2 乙,2 30B 2，所以 OE OB 2 BE 2/T~3 1，11 12 39.3所以 V S ABC DE（一3 ） 3 .33 22 4故答案为：1J.412 .已知【答案】 25【解析】利用1的代换，将求式子 3的最小值等价于求（上3）（a 3b ）的最小值,ba b再利用基本不等式, 即可求得最小值3b ）（a 3b ）12b 3a 13 2 12b 3a a b25 ,本题考查1的代换和基本不等式求最值,考查转化与化归思想的运用, 求解时注意一正、ABC 是边长为3的【答案】 【解析】 答案•本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力, 确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键14 •设｛a n ｝是等差数列，若a 5 9 , a 2 a ? 16，则a .【解析】利用等差数列通项公式求得 a 1,d ，进而求得a n ；求出b n【详解】运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写、.2o15 .设点M 、N 、P 、Q 为圆x y【点睛】 因为b n(2n 1)(2n 1) 12n 1 2n 11，所以b1 11, b 21 1 1 , L ,b n1 33 52n 112n 2 3n 所以Sn1n2n 12n 1故答案为:2n 1;2n 23n2n 1缶1,2b na n a n 11(n N )，则数列｛b n ｝的前n 项和S n 【答案】2n2n 2 3n 2n 1;若再利用分组求和法及裂项相消法求 S n . 12n 1由题意得:a 1 4d 9, 2a 7d 16,2, 1,a n2n 1.本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和, 考查方程思想的2r (r 0)上四个互不相同的点，若【答案】、、2 uuu得|PQ |的值.【详解】弦定理证得2b a c ，从而证明结论成立; （2）利用余弦定理 a 2 b 2+ab 49,再由（1） auuir uuuruu u rMP PN 0，且(PM LUU T PN )uu u uuurPQ 2，则 PQ … ,uuur 【解析】根据MP UUUT PN0得到 MN 过圆的圆心0 , 再利用向量的加法法则得uuuu uuur uuuPM PN 2P0 ，由向量数量积的几何意义得到等式 uuu | PO | cos1 uuu 2|PQ|，最后求 因为 uuur uuurMP PN 0，所以uuir MP uuur PN，所以 MN 过圆的圆心0,所以 uuuu uuur uuur 因为 uuur (PM PN) PQ 2P0 UU U PQuur 2| P0 | uuur | PQ | cos 2，uuu uuu ,PO 在PQ 向量方向上的投影为: unr | PO | cos1 unr 2|PQ|，代入上式得: uuu2 |PQ |2 1 2uuu PQ2.故答案为: 【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、 数量积的几何意义等知识，考 查方程思想的运用， 求解时注意向量几何意义的灵活运用， 考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题16.在 ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2（si n AcosC cos Asi nC ） si nA sinC .⑴求证：a 、b 、c 成等差数列；2⑵若c7, C ，求b 和sin 2B 的值.3【答案】（1）证明见解析（2） b 5 , sin2B55 3 98【解析】（1 ）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sinB sin A sinC ，再利用正2b 7，联立求得b 的值；由正弦定理求得sin B ，再利用倍角公式求得 sin 2B 的值. 【详解】（1）因为 2 sin AcosC cosAsinC sin A sinC , 所以 2si n A Csi nA sinC .所以 2sin B sin A sinC .由正弦定理芒 - —，得2b a c .sin A sin B sinC 所以a,b,c 成等差数列.(2)在 ABC 中，c 7,C即 a 2 b 2+ab 49.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形, 解能力，求cosB 的值时，注意角 B 0,— 这一条件的应用.217 •每年的12月4日为我国“法制宣传日’.天津市某高中团委在 2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果， 现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全由于在 ABC 中，A+C =B ，所以 sin A Csin B ，由余弦定理，得72a 2b 22abcos —3，由（1）知 a 2b 7，所以2b 227b 2+ 2b7 b 49，解得 b 5.由正弦定理，得sinBbsi n 2-3 c5、3 . 142在ABC 中，因为于C=—，所以B3,2，所以cosB,1 sin 2B15勺 1411 14所以sin2B2sin BcosB 55L 398考查方程思想的运用和运算求部答对的学生将在全校给予表彰 ⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对 10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望•【答案】（1）高一年级应选取 4人，高二年级应选取 3人，高三年级应选取 3人.（2）3—（3 ）详见解析10【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；3（2）利用计算原理求得基本事件的总数为 C w ，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式;（3）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算 P X k（k 1.2.3.4 ），最后求得期望值• 【详解】（1） 由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3 ，由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取 4人，高二年级应选取 3人，高三年级应选取 3 人. （2） 由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有 4人、3人、3人， 所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为c 4 Q c 33 3・C 1010（3） 由题意知，随机变量 X 的所有可能取值为1,2,3,4，X1 2 3 41311P ————3010 2 6所以，随机变量X 的数学期望为且X 服从超几何分布,k 4 k C 7C3Cw(k 1,2,3,4 )k 4 C7 C3k1 丄2 —3 14 1 30 10 26【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考 查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型 18 •如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，P 、O 分别为AC 、AG 的中点,PA PC 1 2y[2 , AB 1 B 1C 1 PB 1 2/3 , AG 4. 线段PH 的长度.【详解】（1）在三角形PA|G 中，P AI P C 1且O 为AG 的中点,145⑴求证： PO 平面⑵求二面角B 1 PA 1 C 1的正弦值；uuuu ⑶已知H 为棱BiG 上的点，若B 1H【答案】（1）证明见解析（2）二5 1 uuuuB 1C 1，求线段PH 的长度. 3（3） 2 2【解析】（1）证明PO AG , PO OB 1，再根据AG I OB 1 O ，从而得到线面垂直的证明;（2）以点O 为坐标原点，分别以 OA 1,OB 1, 0岁的方向为x, y,z 轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值;（3）结合（2）中G 2,0,0 ，求得点H 2 442 uuur -, ------- ,0 ，再求PH 的值，从而求得 3 35)0在 Rt PAO 中，AO 2 A 1C i 2, PA 2.2 , PO 、 —2.连接 OB !，在 ABQ 中，A 1B 1=BC 1 2 3 , OB A® 所以 OBA iB l 2 AO 2 2伍.又 PB 1 2、、3，所以 PB ； PO 2 OB i 2，所以 PO OB i .② 又因为AiC 1 I OB 1 O ,③由①②③，得PO 平面A 1B 1C 1._ 一 一 uuu uuu unu(2)以点O 为坐标原点，分别以 OA 1,OB 1, OP 的方向为x, y,z 轴的正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系 O xyz ，则 O 0,0,0，A 2,0,0,B 1 0,2&,0 ,P 0,0,2，UUULT UULT 所以 AB 1二 2,2 .2,0 ,AP 二 2,0,2 T 设n x, y,z 为平面PAE 的法向量, v uuuv nAB 0, 则有 v uuu/ 即 n AP 0.2x 2&y 0, 2x 2z 0. 令x=1,得y 冬所以n z 1. 101, 2 ,1UULT 「易得，OB^ 0,2、、2,0且为平面PAG 的法向量, T UULT 所以ngOB 1Hi UUUT2 , n OB 1 2=5 ,tT uuuq 所以 cos ：；.n,OB1]TUULT ngOB t r U UU 1n OB 1故所求二面角B1PA C i的正弦值为2*5 ~5(3)由(2)知G 2,0,0 .设点Huuuu凶』1忆，则B1H X1, V1 2、2, Z1uuuu r uuuur 1 uujurB1G ,3又B1C12, 2、一2,0 ,B1H所以X1—1,V1 2、2,Z1 3 2,2,2,0，从而23,2、20.2.2~T即点所以uuirPH2 4^2 22 .3 3所以unrPH4.2【点睛】2, 2 -本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度,考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性19 •设椭圆X2V22 21（a b 0）的左、右焦点分别为F1（a bc，0）、F2（C, O），点P在椭圆上,⑴若PO C，F2OP 3，求椭圆的离心率;⑵若椭圆的右顶点为A，短轴长为2,1 且满足率）.①求椭圆的方程;②设直线I : y kx 2与椭圆相交于【答案】（1）.3 1OF2P、Q两点，若.72OA 3|F料心为椭圆的离心POQ的面积为1，求实数k的【解析】（1）由题意得PF i PF ?，利用勾股定理得PF i J3c ,再利用椭圆的定义②设点P x i ,y i ,Q X 2,y 2，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求 得PQ 关于k 的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积S POQ 4胡丫 3，从4k 2 1而求得k 的值. 【详解】所以 POF 2是等边三角形，所以 PF 2 c, PF 2O又 OP OF 2 OF 1，所以 PF 1 PF 2,所以 PF 1整理，得c 2 3b 2.y kx 2,联立方程组x 22T y 1.消去y ，并整理得 4k 2 1 x 2 16kx 12 0. 则256k 2 48 4k 2 116 4k 2 30，（）得到a,c 的关系，从而求得离心率；1(2)①由OFkJr 21 e得 2OA 3|F 2A |，得c3b 2，求出a,b,c 后，即可得到椭圆的方程;(1)连接PF i .因为OP OF ?c, F 2OP是，有2a PF PF 2.3 1 c ，所以e3 a 43 11，即所求椭圆的离心率为（2）①由e 3F 2A1，得—c又因为2b 2，所以b 1，c 2 3,a 2 b 2 c 2 4.2故所求椭圆的方程为 —4y 2 1.②依题意，设点 P 捲，％,Q X 2,y 2 .经验证k工满足2故所求实数【点睛】椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合 运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力1 220 •已知函数f(x) ln(ex) ax (a 1)x(e 为自然对数的底数).⑴当a 1时， 求曲线y f (X)在点(1 , f(1))处的切线方程；⑵讨论 f (X )的单调性；⑶当a 0时,证明f (X)3 1.2a【答案】 (1) 8X 2y 10 (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】(1) 当a 1时，f X1X 2，利用导数的几何意义求得切线方程;Xax 1X 1(2)对函数进行求导得 f '(x)，对a 分a 0和a 0两种情况进行分X类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间；数进行证明 【详解】且X X ?16k 12 所以 PQ 又点 所以 因为 .rvX 1 X 2O 到直线l 的距离为d S POQ S POQ4k 2 1，.1 k 2 ■ x 1X 22厂k 2，4%X 24 1 k 2 . 4k 2 324k 12PQ d 4、1 k 24k 2 34k 2 12 1 k 24 “4k 2 3 4k 2 11，解得k本题考查椭圆的离心率、 (3)证明不等式f X32a1成立等价于证明 3X max1成立，再构造函2aa 12 a 2In 1丄a 2a—1等价于f :x —1，即 In - 131， 2a max2a a2a2a1 1即 In1 0.(探)a a1令 t —,则 t 0.不妨设 g tInt t 1( t 0)，a(1)当 a 1 时，f x In ex -x 2 2x .2所以f x 1 x 2,x所以 k f 111 2 4 又 fl 71 ' 2'所以曲线在点hf 1处的切线方程为y 7 4 x 1 ,即 8x 2y 10.(2)易得1 ax a 1 x 1ax a 1 -xx ax 1 x 1 x①当 a 0时, f :x 0，此时f X 在 0,上单调递增；②当 a 0时， 令f x10，得 x —.a则当 0 x1 时，fx 0，此时fx 在 1 0,上单调递增;aa1当x 时,a1x 0，此时f x 在 ,a上单调递减综上所述，当a 0时，函数f x 在区间0,上单调递增;当a 0时，函数f x 在区间0, 1上单调递增，在区间a上单调递减(3)由(2)知，当a 0时,1处取得最大值,amaxIn所以g t 1 1 (t 0)t从而，当t 0,1时，g t 0 ；当t 1, 时，g t 0,所以函数g t在区间0,1上单调递增；在区间1, 上单调递减•故当t 1时g t max g 10.所以当t 0时，总有g t g t max 0.即当a 0时，不等式（探）总成立，3故当a 0时，f x 1成立.2a【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.。
2020年天津市七校静海一中宝坻一中杨村一中等高三数学上学期期末考试试题文 (2)
高三数学（文科） 第一学期期末七校联考注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上3．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题，共40分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集{}2,1,0,1,2--=U ，集合{}02|2=-+=x x x A ，{}0,2B =-，则()U B C A =I （ ）A ．{}1,0B ．{}0,2-C ．{}2,1--D ．{}02．设x R ∈，则“21x -<”是“201x x +>-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A ．16B ．0C ．-2D ．不存在4．阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ ）A ．21B ．58C ．141D ．3185．抛物线2(0)y ax a =>的准线与双曲线22:184x y C -=的两条渐近线所围成的三角形面积为22，则a 的值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．26．函数)32sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12(π-中心对称（ ）A ．向左平移12πB ．向右平移12π C ．向左平移6π D ．向右平移6π 7．已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若32a -=，2log 3b =，ln 4c e =，则下面结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．边长为2的菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F .若60BAD ∠=︒，则=⋅EF BE （ ）A ．1B ．14C ．33D ．2120第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填写在相应的横线上.） 9．设复数21iz i =+，则z z +=__________． 10．已知正方体内切球的体积为π36，则正方体的体对角线长为__________．11．已知直线:(0)l y kx k =>为圆1)3(:22=+-y x C 的切线，则k 为__________．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，当0x >时，()()0xf x f x '->，则不等式0)(>xx f 的解集是__________． 13．已知1,1a b >>，若log 2log 163a b +=，则2log ()ab 的最小值为__________．14．已知函数0()120，，xlnx x f x x x x >⎧=⎪⎨++<⎪⎩，若方程[]221()()04f x af x e ++=有八个不等的实数根，则实数的取值范围是__________．三、解答题（本大题6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边，若24cos sin cos202BB B +=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4,a =ABC ∆的面积为53，求b 的值．16．（本小题满分13分）党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一. 坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村中60户农民种植苹果、40户农民种植梨、20户农民种植草莓（每户仅扶持种植一种水果），为了更好地了解三种水果的种植与销售情况，现从该村随机选6户农民作为重点考察对象；（Ⅰ）用分层抽样的方法，应选取种植苹果多少户？（Ⅱ）在上述抽取的6户考察对象中随机选2户，求这2户种植水果恰好相同的概率.17．（本小题满分13分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，面（Ⅰ）若为的中点，求证面；（Ⅱ）求证：面；（Ⅲ）求与面所成角的大小.18．（本小题满分13分）DAB CMP已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令()2114411n n n n n n b a a -++-=-，求数列{}n b 的前n 项和2n T ；（Ⅲ）若对于*n N ∀∈，2222n T λλ<--恒成立，求λ范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，左右顶点分别为,A B ，过右焦点2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于,G H 两点，3GH =，1F GH ∆的周长为8.过A 点作直线l 交椭圆于第一象限的M 点，直线2MF 交椭圆于另一点N ，直线NB 与直线l 交于点P ；（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若AMN ∆的面积为7，求直线MN（Ⅲ）证明：点P 在定直线上.20．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x =-. （Ⅰ）求()f x 在点(2,(2))P f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()y f x =与y m =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个交点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）令()()g x f x nx =-，如果()g x 图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <，AB 中点为0(,0)C x ，求证:0()0g x '≠.天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考高三数学（文科）参考答案杨村一中 王蕊 天津外国语大学附属外国语学校 张磊一、选择题二、填空题9．2 10．．2 12．(,1)(1,)-∞-+∞U 13．3 14．15,4e e ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题 15．（Ⅰ）21cos 4cos 2cos 102B B B -⎛⎫⋅+-=⎪⎝⎭； 1cos 2B =；所以3B π=…(6分)（Ⅱ）1sin 222ABC S ac B c ∆==⋅==5c =； …………（10分）且1cos 2B =，即222122a c b b ac +-=⇒=13分）16．（Ⅰ）6160402020k ==++， …………………………………………（2分） 所以应选取种植苹果160320⨯=户. ………………………………………（4分）（Ⅱ）记苹果户为A ，B ，C ；梨户为a ，b ；草莓户为1；则从6户任选2户，基本事件总数为：AB ，AC ，Aa ，Ab ，A1，BC ，Ba ，Bb ，B1，Ca ，Cb ，C1，ab ，a1，b1共15种；……………………………………………………………………………………（8分） 设“6户中选2户，这两户种植水果恰好相同”为事件M ，则事件M 包含的基本事件数为：AB ，AC ，BC ，ab 共4种； …………………………………………………（12分） 所以，概率为：4()15P M = …………………………………………………………（13分）17．（Ⅰ）取PB 中点N ，连接MN 和NA ， MN BC P 且12MN BC =，AD BC P 且12AD BC =则MN AD P 且MN AD =所以四边形DMNA 为平行四边形， 所以…………………………………………………………………………（2分）DM ⊄面PAB ， ………………………………………………………………（3分） AN ⊂面PAB ，所以面； …………………………………………（4分）（Ⅱ），…………………（6分），所以； ……………………………………（8分）（Ⅲ），所以，所以即为所求.（11分） ，，所以AC 与面PBC 所成角的大小为.（13分）18．（Ⅰ）1121412,,2,46,d S a S a d S a d ===+=+124,,S S S Q 成等比2214S S S ∴=，解得11,21n a a n ==-. ………………（4分）（Ⅱ）1111(1)(1)()2121n n n b n n --=-+-+-+ …………………………（6 分）2111111011335414141n T n n n =++--+--=--++L ………………（9分） （3）211141n T n =-<+ ………………………………………………（10分）2221λλ--≥； 3λ∴≥或1λ≤- ……………………………………（13分）DA BCM PN19．（Ⅰ）223,48b GH a a ===，解得：2,a b ==； ……………（3分） 所以椭圆方程为：22143x y +=. …………………………………………（4分） （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，①当直线MN 斜率k 存在时：设MN 方程为(1)y k x =-，联立得：()22224384120k x k x k +-+-=，2144(1)0k ∆=+>，221212228412,4343k k x x x x k k -+==++； 2212(1)43k MN k +∴=+； ……………………………………………………（5分）()2,0A -到MN 直线0kx y k --=的距离为d =6分）42218||171801437k S k k k k ⋅∴==⇒+-=⇒=±+；……（7分） 当1k =-时，MN 直线方程过2(1,0)F 直线MN 与椭圆的交点不在第一象限（舍）； 所以MN 方程为10x y --=. ………………………………………………………（8分）②当直线MN 斜率k不存在时，2129()227b S ac a =⋅⋅+=≠（舍）.（9分）综上：直线MN 方程为：10x y --=（Ⅲ）设AM ：11(2)(0)y k x k =+>，与椭圆联立：()2222111431616120kx k x k +++-=，2122111221116126812,4343432A M M M Ak x x k k x y k k k x ⎧-=-⎪∴==+⎨++⎪=-⎩Q …………………………（10分） 同理设BN 22(2)(0)y k x k =->，可得22222228612,4343N N k k x y k k --==++…………（11分） 所以MN 的方程为：N MM M N My y y y x x x x --=--以及MN 方程过2(1,0)F ，将2,,F M N 坐标代入可得：1221(43)(3)0k k k k +⋅-=，120k k >Q 213k k ∴=. ……………………（13分）又因为AM 与NB 交于P 点，即12(2)(2)p p pp y k x y k x =+⎧⎨=-⎩，12212()p k k x k k +=-，将213k k ∴=代入得4P x =，所以点P 在定直线4x =上 MN 方程为10x y --=…………………（14分）20．（Ⅰ）2222()2x f x x x x-'=-=，…………………………………………（2分）则(2)3f '=-，且切点坐标为()2,2ln 24-；……………………………（4分） 所以所求切线方程为：322ln 20x y +--=………………………………（5分）（Ⅱ）222()01x f x x x -'==⇒=±，所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在()1,e 为减函数，………………………………………………………………………………（7分）2112f e e ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭， ()211,()2f f e e =-=-；…………………………（9分）所以{}2212,21m e e ⎡⎫∈----⎪⎢⎣⎭U…………………………………………（10分） （Ⅲ）2()2ln g x x x nx =--，2()2g x x n x'=--， 假设0()0g x '=，则有 21112222120002ln 02ln 02220①②③④x x nx x x nx x x x x n x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩…………………………………………………（11分） ①-②得：()()221121222ln 0x x x n x x x ⎛⎫----= ⎪⎝⎭ ∴12012ln 22x x n x x x ⎛⎫⎪⎝⎭=⋅--， 由④得0022n x x =-， ∴12120ln 1x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-；即121212ln 2x x x x x x ⎛⎫⎪⎝⎭=-+；……（12分）即11212222ln 1x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭+⑤； 令12x t x =，22()ln ,(01)1t u t t t t -=-<<+，则22(1)()0()(1)t u t u t t t -'=>∴+在0<t<1上增函数.()(1)0u t u <=.∴⑤式不成立，故与假设矛盾.∴0()0g x '≠.……………………………………………………（14分）。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末教学质量检测数学理科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末教学质量检测数学理科第I 卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=U R ，集合}1)21(|{≤=x x A ，}086|{2≤+-=x x x B ，则图中阴影部分所表示的集合为 A ．}0|{≤x x B ．}42|{≤≤x x C ．{}420|≥≤<x x x 或D ．}420|{><≤x x x 或 2．设βα,是两个不同的平面，m 是直线，且α⊂m ，则“β⊥m ”是“βα⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =A ．向左平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移21个单位长度D ．向右平移21个单位长度 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A．34πB ．35π C ．322π+D ．324π+ 5．设{}n a 是等比数列，下列结论中正确的是 A ．若021>+a a ，则032>+a a B ．若031<+a a ，则021<+a a C ．若210a a <<，则3122a a a +< D ．若01<a ，则0))((3212>--a a a a6．已知圆心在原点，半径为R 的圆与ABC ∆的边有公共点，其中)4,2(),8,6(),0,4(C B A ，则R 的取值范围是（第4题图）侧视图俯视图正视图（第1题图）A ．]10,558[B ．]10,4[C ．]10,52[D ．]10,556[ 7．设函数⎩⎨⎧≥<+=1,31,12)(x x x x f x ，则满足)(3))((m f m f f =的实数m 的取值范围是A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∞21]0,(B ．]1,0[C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞+21),0[ D ．),1[∞+8．设)4(,,,21≥n A A A n 为集合{}n S ,,2,1 =的n 个不同子集，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行第j 列的数为：⎪⎩⎪⎨⎧∈∉=j jij A i A i a ,1,0．则下列说法中，错误的是A ．数阵中第一列的数全是0当且仅当φ=1AB ．数阵中第n 列的数全是1当且仅当S A n =C ．数阵中第j 行的数字和表明集合j A 含有几个元素D ．数阵中所有的2n 个数字之和不超过12+-n n非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．双曲线C ：1422=-y x 的离心率是 ▲ ，焦距是 ▲ ．10．已知ABC ∆1,3,1===，则=⋅ ▲ ，又设D 是BC 边中线AM 上一动点，则=⋅ ▲ ．11．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-140x y x y x 表示的平面区域为M ，点),(y x P 是平面区域内的动点，则y x z -=2的最大值是 ▲ ，若直线l ：)2(+=x k y 上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是 ▲ ．12．已知函数)2sin(sin 3sin )(2x x x x f ωπωω+⋅+=，)0(>ω的最小正周期是π，则=ω____▲__ _，)(x f 在]2,4[ππ上的最小值是 ▲ ．13．长方体1111D C B A ABCD -中，1,21==AA AB ，若二面角A BD A --1的大小为6π，则1BD 与面BD A 1所成角的正弦值为 ▲ ．nnn n n na a a a a a a a a ,,,,,,,,,21222211121114．已知实数y x ,满足0>>y x 且1=+y x ，则yx y x -++132的最小值是 ▲ ． 15．在平面直角坐标系中，定义点),(11y x P 与),(22y x Q 之间的“直角距离”为2121),(y y x x Q P d -+-=．某市有3个特色小镇，在直角坐标系中的坐标分别为)8,3(),9,6(),3,2(---C B A ，现该市打算建造一个物流中心，如果该中心到3个特色小镇的直角距离相等，则物流中心对应的坐标为▲.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且B A C B A sin sin 3)sin sin (sin 2222=-+.（Ⅰ）求2sin 2BA +的值； （Ⅱ）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值. 17.（本题满分15分）边长为2的正方形ABCD 所在的平面与CDE ∆所在的平面交于CD ，且⊥AE 平面CDE ，1=AE ．（Ⅰ）求证：平面⊥ABCD 平面ADE ；（Ⅱ）设点F 是棱BC 上一点，若二面角F DE A --的余弦值为1010，试确定点F 在BC 上的位置． 18．（本题满分15分）已知等比数列{}n a 中31=a ，其前n 项和n S 满足231-⋅=+n n a p S （p 为非零实数）． （Ⅰ）求p 值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是公差为3的等差数列，11=b ．现将数列{}n a 中的 n b b b a a a ,,,21抽去，余下项按原有顺序组成一新数列{}n c ，试求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本题满分15分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的一个顶点为)1,0(B ，B 到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设Q P ,是椭圆上异于点B 的任意两点，且BQ BP ⊥，线段PQ 的中垂线l 与x 轴的交点为)0,(0x ，求0x 的取值范围．20．（本题满分15分）已知函数c bx x x f ++-=2)(2，设函数)(f x g =ABC DEF（Ⅰ）若2=b ，求M 的值；（Ⅱ）若k M ≥对任意的c b ,恒成立，试求k 的最大值．参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1~4DACB ；5~8 CACC ；8．解析：数阵中第一列的数全是0，当且仅当111,,2,1A n A A ∉∉∉ ，∴A 正确；数阵中第n 列的数全是1当且仅当n n n A n A A ∈∈∈,,2,1 ，∴B 正确；当n A A A ,,,21 中一个为S 本身，其余1-n 个子集为S 互不相同的1-n 元子集时，数阵中所有的2n 个数字之和最大，且为1)1(22+-=-+n n n n ，∴D 正确；数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于几个子集，∴C 错误．二．填空题（本大题有7小题，共36分，请将答案写在答题卷上）9．25， 52；10．23-， 23；11．2， ]1,31[；12．1， 1 ； 13．3451；14．2223+；15．)0,5(-．15．解析：设物流中心为),(y x D 由条件：⎪⎩⎪⎨⎧+++=-++-++=-+-)2(8396)1(9632 y x y x y x y x ，易知：98,2<<-<y x ，∴由（2）得：8396+++=-++y x y x ，∴41)3()6(1362=++-+≤++-+=x x x x y ，∴2≤y ， ∴由（1）得：y x y x -++=-+-9632， ∴546-=⇒--=+x x x ，∴0)136(21=++-+=x x y ∴)0,5(-D ．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．解：（Ⅰ）由正弦定理得：ab c b a 3)(2222=-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）∴由余弦定理得：432cos 222=-+=ab c b a C ，．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） ∴872cos 12cos 2sin 22=+==+C C B A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）若2=c ，则由（Ⅰ）知：ab ab ab ab b a =-≥-+=343)(2822，．．（9分） 又47sin =C ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分）∴747821sin 21=⨯⨯≤=∆C ab S ABC ， 即ABC ∆面积的最大值为7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（14分）17．解：（Ⅰ）∵⊥AE 平面CDE ，∴CD AE ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2 分） 又∵CD AD ⊥，A AD AE = ，∴⊥CD 面ADE ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） 又⊂CD 面ABCD ，∴平面⊥ABCD 平面ADE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） （Ⅱ）∵DE CD ⊥，∴如图，建立空间直角坐标系xyz D -， 则：)0,0,3(),0,2,0(),0,0,0(E C D ， ∴)0,2,0(==DC AB ，∴)1,2,3(B设)1,0,3(λλ==CB CF ，]1,0[∈λ则：),2,3(λλF 设平面FDE 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=++=⋅03023x DE n z y x DF n λλ，∴取)2,,0(-=λn ，．．．．．．．（12分） 又平面ADE 的法向量为)0,1,0(=m ，∴10104,cos 2=+=><λλn m ，∴32=λ，．．．．．．．．．（14分）故当点F 满足32=时，二面角F DE A --的余弦值为1010．．．（15分）18．解：（Ⅰ）∵231-⋅=+n n a p S ，323211=-==∴pa a S ，∴p a 292=，又∵231-⋅=+n n a p S ，∴)2(,231≥-⋅=-n a p S n n ，相减得：)2(11≥+=+n p p a a n n ，∵{}n a 是等比数列，．．．．．．．．．（3分）∴p p p 231=+，∴21=p ，312==∴a a q 又31=a ，∴n n a 3=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） 所以n n a p 3,21==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） （Ⅱ）23)1(1-=-+=n d n b b n ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）抽去的项为 ,,,,,23741-k a a a a 数列{}n c 为,,,,,,,,313986532k k a a a a a a a a - ，．．．．．．．．．．．．．（10分）(1) 当m n 2=时，)()()(3136532m m n a a a a a a T ++++++=-L133133133433---⋅=+=+k k k k k a a ，23332334+++⋅=+k k k a a （),3,2,1 =k{}k k a a 313+∴-是以36为首项，27为公比的等比数列，∴)127(1318271)271(3622-=--=nnn T ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）(2)当12-=m n 时，)()()(133386532--+++++++=m m n a a a a a a a T L ， 331333133331033-----⋅=+=+k k k k k a a ，k k k k k a a 323323331033⋅=+=+++，{}233++∴k k a a 是以270为首项，27为公比的等比数列，13182713135271)271(27092121-⋅=--+=∴--n n n T ．．．．．．．．．．．．．．．．．（15分）19．解：（Ⅰ）由条件：2,1==a b ，∴椭圆的标准方程为：1422=+y x ．．．（4分）（Ⅱ）①当直线PQ 斜率0=k 时，线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距为0； ②设PQ ：)0(,≠+=k m kx y ，则：0448)41(4422222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y ，．．．．．．．．．．．（6分） 设),(),,(2211y x Q y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22212214144418k m x x k km x x ，∵BQ BP ⊥， ∴0)1)(1(2121=--+=⋅y y x x BQ BP ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）∴0)1())(1()1(221212=-++-++m x x m k x x k ∴03252=--m m 53-=⇒m 或1=m （舍去），．．．．．．．．．．．．（10分）∴PQ 为：53-=kx y ， ∴)41(5122221k k x x x M +=+=，)41(532k y M+-=， ∴线段PQ 的中垂线l 为：))41(512(1)41(5322k kx k k y +--=++， ∴在x轴上截距)41(5920k k x +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分） ∴209459)41(5920=⨯≤+=kk k k x ， ∴2092090≤≤-x 且00≠x ， 综合①②得：线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围是]209,209[-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（15分）20．解：（Ⅰ）当2=b 时，c bx x x f ++-=2)(2在区间]1,1[-上是增函数， 则{})1(),1(max g g M -=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）又c g c g +=+-=-3)1(,5)1(，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=1,31,5c c c c M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（Ⅱ）c b b x x f x g ++--==22)()()(，（1）当1>b 时，)(x f 在区间]1,1[-上是单调函数，则{})1(),1(max g g M -=，而c b g c b g ++-=+--=-21)1(,21)1(，∴442121)1()1(2>≥++-++--=+-≥b c b c b g g M ， ∴2>M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）（2）当1≤b 时，)(x g 的对称轴b x =在区间]1,1[-内，则{})(),1(),1(max b g g g M -=，又c b b g +=2)(， ①当01≤≤-b 时，有)()1()1(b f f f ≤-≤，则{}21)1(21)1()(21))1()((21)(),1(max 2≥-=-≥+≥=b f b f g b g b g g M ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分）②当10≤<b 时，有)()1()1(b f f f ≤≤-，则综上可知，对任意的c b ,都有21≥M ．．．．．．．．．．．．．．．．．（14分）而当21,0==c b 时，21)(2+-=x x g 在区间]1,1[-上的最大值21=M ，故k M ≥对任意的c b ,恒成立的k 的最大值为21．．．．．．．．．．（15分）。
2019-2020学年天津市静海一中高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市静海一中高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =I （） A ．(]0,1 B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A【解析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可. 【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞，所以0,1]A B =I （， 故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞U【答案】C【解析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．Q 关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选：C ． 【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 3．已知：1:12p a -<<，[]:1,1q x ∀∈-，220,x ax --<则p 是q 成立的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充分必要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】构造函数()22f x x ax =--，先解出命题q 中a 的取值范围，由不等式()0f x <对[]1,1x ∀∈-恒成立，得出()()1010f f ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解出实数a 的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题p 和q 的充分必要性关系。
2020年天津市静海一中高一数学必修一上学期期末考试(含答案和解析)
所以
，
又 ，而 ，故 ，
所以 ，所以
.
（2）（i） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（ii）因为 ， ，故 ，
所以 ， .
而
.
【点睛】三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
16.已知函数 ．
（1）求 的最小正周期及增区间；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值．
【答案】(1)最小正周期为 ，增区间为 ；(2) 时， ； 时， .
【解析】
【分析】
（1）利用三角变换公式可将 化为 ，利用周期公式和复合函数的单调性的处理方法可求 的最小正周期及增区间.
2020年天津市静海一中高一数学必修一上学期期末考试（含答案和解析）第I卷基础题（共105分）
一、选择题：（每小题5分，共40分）
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2.已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.已知： ， ， 则 是 成立的（）
（3）若函数 有三个不同的零点，求实数 的取值范围（ 为自然对数的底数）．
2020年天津市静海一中高一数学必修一上学期期末考试（含答案和解析）第I卷基础题（共105分）
一、选择题：（每小题5分，共40分）
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{|13}A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，则集合()RA B =（ ）A. {}1,0-B. ()1,1(2,3]-⋃C. (0,1)(1,2)(2,3]⋃⋃D. {}0,3【答案】D 【解析】 【分析】根据集合{|13}A x Z x =∈-<≤，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可. 【详解】解：{}{|13}=0,1,2,3A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，{}|12R B=x x x ≠≠且，则()RAB ={}0,3.故选：D.【点睛】本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题. 2.设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果.【详解】解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3.奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，则()()63f f +-的值为（ ）A. -10B. 15C. 10D. 9【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分析，可知()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，进而可以求出()()63f f +-的值.【详解】解：()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，即()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，所以()()639f f +-=.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.4.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A. 22230x y x +--= B. 2240x y x ++= C. 22230x y x ++-= D. 2240x y x +-=【答案】D 【解析】 【分析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ．【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5.设0.22a =，3log 0.9b =，0.11log 4c =+，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a c b >>B. b c a >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算可以化简0.14og .l 0c =，所以可得01c <<.同理可知12a <<，10b -<<，由此可以比较,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.22a =，则12a <<，333log 0.9log 9log 10b ==-，10b -<<，0.10.11log 4.log 04c =+=，所以01c <<，所以a c b >>.故选：A.【点睛】本题考查指对函数大小的比较，考查中间值法的应用，涉及对数函数的运算性质，属于基础题. 6.将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A. 34π-B. 4π-C.4π D. 54π【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意化简sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到()1sin 22y x ϕ=+，再沿x 轴向左平移8π，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据得到的函数为偶函数，所以可知,42k k Z ππϕπ+=+∈，由此解出,4k k Z πϕπ=+∈，逐一判断选项即可得出结果.【详解】解：()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，沿x 轴向左平移8π个单位后，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，解得：,4k k Z πϕπ=+∈，所以ϕ的取值不可能是4π-. 故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式、考查三角函数平移以及三角函数的奇偶性，熟悉三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.7.抛物线28y x =的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，()(),0A m n n >为抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为（ ）C. 2【答案】C 【解析】 【分析】由直线AF 与双曲线有且只有一个交点可知，直线AF 与双曲线的渐近线平行.又抛物线与双曲线共焦点，||8AF =，所以利用抛物线的定义，可求出A 点坐标，从而求出直线AF 的斜率，从而求出双曲线渐近线的斜率ba=. 【详解】解：()(),0A m n n >，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，所以直线AF 与双曲线的渐近线平行. ||8AF =，F 为抛物线的焦点，所以6m =，代入28n m =，则n =即(6,A ，AF k ==，所以b a =，所以该双曲线的离心率为2e ==.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及到直线与双曲线的位置关系，以及抛物线定义的转化，属于中档题.8.某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（ ） A.136B.112C.16D.13【答案】C 【解析】 【分析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可. 【详解】解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A 种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636⋅⋅=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A ⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题.9.已知函数21)110()20x x f x x x x x ++-<≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩.若方程()1f x kx =+有两个实根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 2(1,]ln 2C. (1,2]D.12,2ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】 【分析】逐段分析函数()f x 的单调性和最值，)x ∈+∞时，22()x x f x x++=，以1y x =+为渐近线，所以1k >时，与22()x x f x x++=，)x ∈+∞有一个交点.当1y kx =+与()1)1f x x =++相切时，即2ln 2k <时，1y kx =+与()1)1f x x =++有一个交点，由此，可求出k 的取值范围.【详解】解：当10x -<≤时，()1)1f x x =++，在(]1,0-上单调递增，在0x =处有最大值1．当0x >时，22()x x f x x++=，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，在x处取得最小值1．以1y x =+为渐近线，直线1y kx =+与()1)1f x x =++必有一个交点，若方程()1f x kx =+有两个实根，则令一根在)+∞上，所以斜率1k >，且不能与()1)1f x x =++相交，'()f x =，'2(0)ln 2f ==.所以斜率k 的取值范围是2(1,]ln 2. 【点睛】本题考查直线与曲线的交点问题，分析函数的单调性以及切线是常用的方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 10.设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】 【分析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.【详解】由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a ＝3．故答案为3【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.已知a ＞0，62(?)a x x 的二项展开式中，常数项等于60，则(x –)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）． 【答案】1 【解析】试题分析：62(?)a x x 展开式通项为6631662()()r r r r r rr a T C x a C x x--+=-=-，由630,2r r -==得常数项2226()60,()1560,2(0)a C a a a -=-⨯==>，所以，令1x =得622(?)x x的展开式中各项系数和为1 考点：二项式定理.12.设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望EX =__________．X1 2 3 4P13m14 16【答案】94【解析】 【分析】利用分布列中概率和为1可求出14m =，然后通过求期望的公式即可求出期望值.【详解】解：1111346m +++=，所以14m =.所以11119123434464EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：94. 【点睛】本题考查求分布列的期望，解题的关键是熟记期望的公式，属于基础题.13.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于______． 【答案】8π 【解析】【详解】试题分析：由已知条件得：01121sin 6032AA ⨯⨯⨯⨯=，∴12AA =， ∵22202cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴3BC =， 设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R =， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于24(2)8ππ=. 考点：1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.14.如图，在ABC 中，3AB =,4AC =,45BAC ∠=︒,2CM MB =，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若AP mAB =，AQ nAC =，则当32m =时，n =___________,AP AQ ⋅=__________．【答案】 (1). 35 (2). 25【解析】 【分析】(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，根据平行线等分线段成比例，求出13BN AQ =，12NB CQ =，进而得出1123CQ QA =，从而推导出,AQ AC 之间的关系. (2).根据第(1)问求出的比例关系，计算出||AP ，||AQ 的长，又45BAC ∠=︒，由向量的数量积公式即可计算结果.【详解】解：(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，32AP AB =，则13BN AQ = .又2CM MB =，则12NB CQ =，∴ 1123CQ QA =，35AQ AC =. (2). 32AP AB =，所以39||322AP =⨯=，35AQ AC =，312||455AQ =⨯=，AP AQ ⋅=9122272||||cos 452525AP AQ ⋅=⨯⨯=. 故答案为：35，2725.【点睛】本题考查平行线等分线段成比例，考查平面向量数量积的应用，熟悉数量积公式是解题的关键，属于基础题.15.已知正实数,x y 满足22412x y xy +=+，则当x =__________时，121x y xy++的最小值是__________． 【答案】 (1). 12(2). 6 【解析】 【分析】利用基本不等式可知12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号.而121x y xy ++运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在122y x ==时取得最小值，由此得解.【详解】解：由题意可知：224124x y xy xy +=+≥=，即12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号，2121112x y xy xy xy ++≥=+=-∴226≥-=，当且仅当“122y x ==”时取等号. 故答案为：12，6. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共1421516275⨯++⨯=分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.已知2224cos c a b bc C =+-，且2A C π-=.（1）求cos C 的值； （2）求cos 3B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）cos C =（2【解析】 【分析】（1）2224cos c a b bc C =+-，由余弦定理可得2a c =，再由正弦定理可得sin 2sin A C =,将2A C π-=，代入化简可得2sin cos C C =，从而求出cos C 的值. （2）由条件2A C π-=，可知5cos cos 236B C ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又cos C =，进而可求出sin C ，sin 2C ，以及cos 2C 的值，利用两角差的余弦即可求出结果.【详解】解：（1）∵2224cos c a b bc C =+-,由余弦定理可得2a c =， ∴由正弦定理得sin 2sin A C =,又∵2A C π-=,∴sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, ∴2sin cos C C =，又∵22sin cos 1C C +=, 解得25cos C =. （2）由（1）知5sin C =, ∴4sin 22sin cos 5C C C ==,23cos 22cos 15C C =-=, ∴5cos cos cos 2336B A C C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭55coscos 2sin sin 266C C ππ=+ 3314433525-=-⋅+⋅=【点睛】本题考查利用正余弦定理转化解三角形，考查两角和与差的余弦以及二倍角公式，属于中档题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A 在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值． 试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，故1AA 与棱BC 所成的角是3π． （3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =．则12121225cos ,5n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅．由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25．考点：利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1M 作直线1l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O :2224a x y +=于另一点N .若ABN 的面积为3，求直线1l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12±【解析】 【分析】（1）由题意可知：当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △面积取最大值，又离心率为12，则可以列出方程22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解出,,a b c 的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0和斜率不存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线1l 的方程为1y kx =+，直线2l 的方程为11y x k=-+，分别与椭圆和圆联立，用K 表示出线段AB 的长和点N 到直线1l 的距离，表示出ABN 的面积，即可求出斜率的值. 【详解】解：（1）∵椭圆C离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时， 12PF F △.∴22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C的方程为：22143x y +=.（2）若1l 的斜率为0，则||3AB =，||2MN =， ∴ABN 的面积为3，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11,A x y ，()22,B xy ， 则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+， ∴||AB ==直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=， ∴||MN ==.∴ABN 的面积211||||32234S AB MN k =⋅=⋅=+， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±.【点睛】本题考查根据基本量求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的表示，同时考查了学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题.19.已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528++=a a a ，42a +是3a 、5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较()()11211nk k k k a a a =++--∑与12的大小，并说明理由；（3）若数列{}n b 满足()*21log n n b a n N+=∈，在每两个kb与1k b +之间都插入()1*2k k N -∈个2，使得数列{}n b 变成了一个新的数列{}p c ，试问：是否存在正整数m ，使得数列{}p c 的前m 项和2019=m S ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）12n n a （2）111112212n +⎛⎫-< ⎪-⎝⎭,详见解析（3）存在992m =，使得2019=m S【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程组，解基本量即可.（2）由（1）可知通项为：()()1211k k k a a a ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，对通项裂项可得：()()1112111221212121k k k k k -++⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，从而可求出前n 项和，即可比较出大小关系.（3）由（2）可知：212log log 2nn n b a n +===数列{}p c 中含有12,,,n b b b 含有个2，所以数列{}pc 中，kb 的前所有项之和为()0122(123)22222k S k -=+++++++++，求出S ，代入k 的具体值，可知当10k =时，1077S =，当11k =时，2112S =，所以在10k =的基础之上加上471个2可得2019S =，把前面所有项的个数加起来即可得到m 的值.【详解】解：（1）由42a +是3a ，5a 的等差中项，得35424a a a +=+， ∴34543428a a a a ++=+=,解得48a =. ∴3520a a +=，从而1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵1q >，∴解得2q . ∴11a =，从而12n na .（2）由（1）知()()()()11112211111221212121k k k k k k k k a a a -++++⎛⎫==- ⎪------⎝⎭. ∴()()11211nkk k k a a a =++--∑12231111111111221212212122121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ （3）212log log 2nn n b a n +===.根据题意，数列{}p c 中，k b （含k b 项）前的所有项的和为：()0122(1)(123)22222222k k k k S k -+=+++++++++=+-. 当10k =时，10552210772019S =+-=<， 当11k =时，11662221122019S =+-=>， 又∵201910779424712-==⨯, ∴()28101222471992m =++++++=时，2019=m S ，∴存992m =，使得2019=m S .【点睛】本题考查用基本量求数列的通项，考查裂项相消求和，考查根据数列的和求数列的项数，属于数列新定义题型，同时考查了学生的计算能力以及学生分析问题的能力，属于难题.20.设函数()xf x ae =，()lng x x b =+，其中,a b ∈R ,e 是自然对数的底数.（1）设()()F x xf x =，当1a e -=时，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a e -=，1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切； （3）当22a e≥时，证明：()[()]f x x g x b >-. 【答案】（1）最小值2e --（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()F x 的解析式，求导求单调性，然后则可求出最小值.（2）总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切，及()y f x =与()y g x =永远都存在两条公切线，分别设出切点求出切线方程，根据切线方程为同一条，列出方程组求解，证明等式恒成立即可. （3）即证明当22a e ≥时，ln 0x ae x x->.令()ln (0)x ae G x x x x =->，求导求令()G x 的最小值大于0即可.【详解】解：（1）1()x F x xe-=，1()(1)x F x x e'-=+，当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，()F x 单调递减； 当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 故1x =-时，()F x 取得最小值()21F e --=-.（2）∵()1x f x e -'=，∴()1x f x e -=在点()1,m m e-处的切线方程为11(1)m m y ex m e --=+-；∵()1g x x'=， ∴()ln g x x b =+在点(),ln n n b +处的切线方程为1ln 1y x n b n=++-. 由题意得111(1)ln 1m m e nm e n b --⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，则1(1)e 0m m m b ---+=. 令1()(1)n h m m em b -=--+，则1()1m h m me '-=-，由（1）得1m <-时，()h m '单调递增，又()10h '=，1m <时，0h m ，∴当1m <时，0h m ，()h m 单调递减； 当1m 时，0h m，()h m 单调递增.由（1）得21(1)(2)110b h b b ee--=-+-+>，又2233(3)(2)23(2)(3)23024bh b b eb b b b b -⎛⎫-=-+->--+-=-+> ⎪⎝⎭，()110h b =-<，所以函数()h m 在()1,1b -和()1,3b -内各有一个零点，故当1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（3）()[()]ln 0xae f x x g x b x x>-⇔->.令()ln (0)xae G x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()G x 的最小值大于0.求导得22(1)1(1)()x x a x e a x e xG x x x x '---=-=. ①当01x <≤时，()0G x '<，()(1)0G x G ae =>；②当1x >时，2(1)()(1)x a x x G x e x a x '⎡⎤-=-⎢⎥-⎣⎦， 令()(1)xx H x e a x =--，21()0(1)xH x e a x '=+>-， 又2222(2)0ae H e a a -=-=，取()1,2t ∈且使2(1)t e a t >-，即2211ae t ae <<-， 则22()0(1)ttH t e e e a t =-<-=-，∵()()20H t H <,故()H x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()G x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae G x x x =-， 且()()000001xx H x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1G x x x =--， ∵()()0201101G x x x '=-<-，故()0G x 是()1,2上的减函数. ∴()0(2)1ln 20G x G >=->,所以()0G x >. 综上，当22a e≥时，()[()]f x x g x b >- 【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查利用导数求曲线的切线，设计到了公切线问题和导数的零点代换问题，考查了学生的计算能力和转化问题的能力，属于难题.1、在最软入的时候，你会想起谁。
2020届天津市六校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)高一上学期期末考试数学试题(解析版)
天津市六校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先化简集合M、N，再利用交集定义直接求解．【详解】∵集合＝{1，2，3}，N＝{x|8}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N＝{1，2}．故选：C．【点睛】本题考查交集的定义及运算，考查不等式的解法，涉及绝对值不等式、指数函数单调性的应用，注意条件是基础题．2．函数在区间内有零点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，只需求f（1）、f（2）、f（3），再根据函数在一个区间两个端点的函数值符号相反则确定函数存在零点，进行判断．【详解】函数f（x）＝x24，函数在区间上为连续函数，由f（1）＝1﹣1﹣4＝﹣4＜0，f（2）＝440，f（3）＝940，由零点存在定理知，在区间（2，3）上f（x）必有零点，∴k＝2，故选：B．【点睛】本题主要考查函数零点的概念、函数零点的判定定理及应用，本题的解题关键是检验函数值的符号，属于容易题．3．设，向量，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据平面向量垂直与共线定理，列出方程组求出x、y的值，即可求得结果．【详解】x，y∈R，向量，，，且，，∴，解得x＝1，y＝﹣2；∴（1，1），（2，﹣2）；∴（3，﹣1），.故选D．【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，正确将向量垂直与共线关系用坐标表示是关键，是基础题．4．若函数在区间上单调递减，且，.则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合＜0，＞1得答案．【详解】由5+4x﹣x2＞0，可得﹣1＜x＜5，函数t＝5+4x﹣x2的增区间为（﹣1，2），要使在区间（a﹣1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b＝＜0，c＝＞1，∴b＜a＜c．故选：D．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及应用．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，涉及指数函数单调性的应用，是中档题．5．设函数且是上的减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A6．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】B7．函数（其中，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B8．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，由此求出A、T以及|x1﹣x2|的最小值，从而可得答案．【详解】∵sin2018x cos2018x cos2018x sin2018x，（cos2018x sin2018x）＝3sin（2018x），∴A＝f（x）max＝3，周期T，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）＝f（x）max＝3，f（x1）＝f（x）min＝﹣3，|x1﹣x2|的最小值为T，又A＝3，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：C．【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，是中档题．二、填空题9．已知，则__________.【答案】10．如图，在矩形中，已知，且，则__________.【答案】【解析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，代入数量积公式计算．【详解】以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），E（6，2），F（2，4）．∴（6，2），（﹣4，4）．∴•24+8＝﹣16．故答案为﹣16．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可简化数量积运算，是基础题．11．在中，若，且，则的形状为__________三角形.【答案】等腰12．已知函数，则________.【答案】3【解析】f（2）＝tan，f（﹣6）＝f（﹣8+2）＝，分别求出即得答案．【详解】由表达式知，f（2）＝tan1，f（﹣6）＝f（﹣8+2）＝，故f（2）•f（﹣6）＝1×3＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查分段函数值的求解，注意将点代入相应的解析式，属于基础题．13．设函数是定义在的偶函数，在区间是减函数，且图象过点原点，则不等式的解集为________.【答案】14．给出下列说法，正确的有__________.①与共线单位向量的坐标是；②集合与集合是相等集合；③函数的图象与的图象恰有3个公共点；④函数的图象是由函数的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在轴右侧部分沿轴翻折到轴左侧替代轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到.【答案】②④【解析】与（﹣3，4）共线的单位向量有两个，判定命题①是错误的；分析出A、B两个集合均表示奇数集，可判断②；分别画出函数的图象与y＝|x2﹣1|的图象，即可判断③；运用函数图象平移变换和对称变换，即可判断④．三、解答题15．设全集为，集合,.（1）；（2）已知，若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）可解出A＝{x|x≤﹣3，或x≥6}，，然后进行交集、补集的运算即可；（2）根据C⊆B可讨论C是否为空集：C＝∅时，2a≥a+1；C≠∅时，，从而可求出实数a的取值范围．【详解】（1）由题或，，或，∴或.（2）∵,①若时，，即满足题意.②若时，，即.若，则，即，又∵，∴，综上所述，即可.【点睛】本题考查交集、补集的运算，集合的化简，涉及一元二次不等式和绝对值不等式的解法，当涉及子集的问题时，要注意空集，属于中档题．16．已知函数.（1）求的定义域与最小正周期；（2）当时，求值域.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）根据函数有意义，，可得定义域，利用三角函数有关系公式将函数化为y＝A sin（ωx+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调区间，根据单调性计算最值．【详解】（1）由得的定义域为.，所以的最小正周期（2）由，得，又∵，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在x=处取最大，，又，，∴在x=处取最小，∴.【点睛】本题主要考查同角基本关系式及二倍角公式的应用，考查了三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．17．已知.（1）求的单增区间和对称轴方程；（2）若，，求.【答案】（1）对称轴方程：，单增区间：；（2）.【解析】先对函数f（x）化简，将其整理成（1）由正弦函数的性质，令，解出x的取值范围即得到函数的递增区间；令,，求得对称轴方程；（2）由可得，结合x的范围，得到，由二倍角公式求得结果.【详解】（1），若单增，则单减，∴令，得到，∴单增区间，令,对称轴方程.（2）∵，∴，∴，又∴，∵，∴，∴，∴.【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，解题的关键是熟练掌握二倍角公式及诱导公式，利用角的范围结合正弦函数的性质对余弦的正负进行取舍是关键，属于中档题. 18．已知函数的定义域为，且对任意的有. 当时，，.（1）求并证明的奇偶性；（2）判断的单调性并证明；（3）求；若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0,证明见解析，为奇函数；（2）单调递增，证明见解析；（3）. 【解析】（1）令x＝y＝0，求解f（0）＝0．根据判奇偶即可. （2）f（x）在R上是增函数，任取x1，x2∈R，且x1>x2，则x1﹣x2＞0，可证得，即有f（x1）>f（x2），得到结果；（3）通过f（3）＝f（2）+f（1）求解即可．由f（4x﹣a）+f （6+2x+1）＞6转化为f（4x﹣a+6+2x+1）＞f（3）恒成立．利用函数的单调性，构造函数，转化求解即可．【详解】（1），∴，又因为的定义域为R关于原点对称，∴，所以为奇函数.（2）则，因为，所以，单调递增.（3）∵，若，∴f（），由（2）知单调递增，∴，所以，∴.【点睛】本题考查函数的恒成立的应用，涉及抽象函数求值和奇偶性、单调性的证明及应用，利用赋值法是关键，属于中档题．19．已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当a＝1时，利用对数函数的单调性，直接解不等式f（x）1即可；（2）化简关于x的方程f（x）+2x＝0，通过分离变量推出a的表达式，通过解集中恰有两个元素，利用二次函数的性质，即可求a的取值范围；（3）在R上单调递减利用复合函数的单调性，求解函数的最值，∴令，化简不等式，转化为求解不等式的最大值，然后求得a的范围．【详解】（1）当时，，∴，解得，∴原不等式的解集为.（2）方程，即为，∴，∴，令，则，由题意得方程在上只有两解，令, ,结合图象可得，当时，直线和函数的图象只有两个公共点，即方程只有两个解．∴实数的范围.（3）∵函数在上单调递减，∴函数在定义域内单调递减，∴函数在区间上的最大值为，最小值为，∴，由题意得，∴恒成立，令，∴对，恒成立，∵在上单调递增，∴∴，解得，又，∴．∴实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的综合应用，复合函数的单调性以及指对复合型函数的最值的求法，利用换元法将指对复合型函数转化为二次函数求最值是关键，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题．。
天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019-2020学年高三上学期期中联考数学试题(解析版)
2019～2020学年度第一学期期中七校联考高三数学一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则AB =（ ） A. [2,3]B. (1,5)C. {2,3}D. {2,3,4} 【答案】C【解析】【分析】解不等式简化集合A 的表示，用列举法表示集合B ，最后根据集合交集的定义求出A B . 【详解】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键. 2.若x ＞0＞y ，则下列各式中一定正确的是（ ）A. sinx siny >B. ()lnx ln y <-C. x y e e <D. 11x y> 【答案】D【解析】【分析】举反例否定A,B,C ，根据不等式性质证明D 成立.【详解】∵[]sin πsin πln1ln 1=-=--，,11 e e ->, ∴A,B,C 不正确， ∵x ＞0，∴1x ＞0，∵y ＜0，∴1y ＜0，∴1x ＞1y ． 故选：D ． 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析判断能力，属基本题.3.已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. c a b >>【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】0.20 1.100.20.2a 1.1 1.11,?b log 1.1log 10,?0c 0.20.21=>==<=<=<=,故a c b >> 故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．4.要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为函数sin 4sin[4()]312y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要得到函数43y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。
2019届天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等七校2019届高三上学期期末联考数学（理科）试题（解析版）一、选择题：（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知集合,,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解集合A,然后根据补集的运算求解,再根据集合的交集的运算,即可求解.【详解】由题意或,所以,所以,故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及集合的混合运算问题,其中解答总正确求解集合A,准确利用集合的运算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.2.设,直线：,直线：,则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行的等价条件求出得取值范围,结合充分条件和必要条件的定义,进行判定,即可得到答案.【详解】由题意,当时,两直线,此时两直线不平行,当时,若,则满足,由得,解得或,当时,成立,当时,成立,即两直线是重合的（舍去）,故所以是的充要条件,故选C.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定,以及两直线位置关系的应用,其中解答中根据直线平行的等价条件求出得值是解答的本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3.设变量满足约束条件,则目标函数的最小值是（）A. -5B. 1C. 2D. 7【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,结合图象确定目标函数的最优解,代入目标函数,即可求解.【详解】由题意,画出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由目标函数,可得,由图象可知,当直线过点时,直线在y轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值,最小值为,故选B.。
天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(Word版含答案)
2018～2019学年度第一学期期末七校联考高三数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】求解集合A，然后根据补集的运算求解，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的混合运算问题，其中解答总正确求解集合A，准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.设，直线：，直线：，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线平行的等价条件求出得取值范围，结合充分条件和必要条件的定义，进行判定，即可得到答案.【详解】由题意，当时，两直线，此时两直线不平行，当时，若，则满足，由得，解得或，当时，成立，当时，成立，即两直线是重合的（舍去），故所以是的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及两直线位置关系的应用，其中解答中根据直线平行的等价条件求出得值是解答的本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是（）A. -5B. 1C. 2D. 7【答案】B【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由目标函数，可得，由图象可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 7B. 14C. 30D. 41【答案】C【分析】由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，即可求解.【详解】由题意，模拟程序的运行，可得，不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；此时，满足，推出循环，输出S的值为30，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.已知，，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】现判断函数是奇函数，同时又是增函数，结合指数幂和对数的性质判断，三个变量的大小，结合单调性进行判定，即可得到答案.【详解】函数是奇函数，当时，为增函数，又由，则，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的单调性，合理得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.己知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列是函数的单调递增区间的为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，求得，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，所以函数的最小正周期为4，则，解得，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，令，解得，当时，函数的单调单调递增区间为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的图象变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到函数的解+析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】A【分析】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，得到，在直角三角形中，可得，得到，再由双曲线的定义，解得，利用双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，且为的中位线，可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，所以，所以，故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．8.定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. ，B.C. ，D.【答案】C【分析】根据函数的性质和函数的解+析式，求得，则若时，恒成立转化为且，即可求解.【详解】当时，，则，当时，，则，则当时，，当时，，当时，，当时，，所以时，，所以，“若时，恒成立”等价于，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意根据函数的性质和函数的解+析式，求得函数的最值，再把恒成立问题转化为不等式组求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.已知复数(是虚数单位)，则复数的虚部为___________.【答案】2【分析】根据复数的代数形式的四则运算，化简复数，即可得到答案.【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.若二项式的展开式中的常数项为，则_____________.【答案】124【分析】根据题意，利用二项式求得的值，再求出被积分函数的原函数，即可求解.【详解】由题意，二项展开式的通项为，由，得，所以，则.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及定积分的计算问题，其中解答中根据二项展开式的通项，求得的值，再根据定积分的计算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11.已知正方体中，四面体的表面积为，则该正方体的体积是_____________.【答案】8【分析】由已知画出图形，设正方体的棱长为，由四面体的表面积为求的的值，则正方体的体积，即可求解.【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则四面体的棱长为，其表面积，得，所以正方体的体积是.【点睛】本题主要考查了多面体的体积的计算问题，其中解答中熟记正四面体的表面积的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题.12.已知抛物线的参数方程为（为参数，），其焦点为，顶点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，若的面积为，则_____________.【答案】【分析】把抛物线C的参数方程化为普通方程，写出过交点F的斜率为的直线方程，与抛物线方程联立，求出点A的坐标，写出点B的坐标，利用的面积列出方程，即可求出P的值. 【详解】抛物线C的参数方程为（为参数，），消去参数，化为，其焦点坐标为，准线方程为，过焦点F且斜率为的直线方程为，由，整理得，解得或（不合题意，舍去），所以当时，，所以点，所以，所以的面积为，解得.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了三角形的面积的计算问题，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，求解交点的坐标，再利用三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13.设，，若，则的最小值为_____________.【答案】【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为满足，所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14.在梯形中，，，，，，分别为线段和上的动点，且，，则的最大值为_____________.【答案】【分析】根据平面向量的线性运算与数量积的运算，求得的解+析式，进而求得实数的取值范围，在利用函数的单调性，求得最值，即可得到答案.【详解】由题意，梯形中，，因为，，则，因为，解得，设，则在上单调递增，所以当时，取得最大值.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得的解+析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15.在中，内角所对的边分别为.，，. （Ⅰ）求边的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式，可求得值，利用正弦定理化简已知等式可求得的值，再根据余弦定理可解得的值；（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系式可求得的值，根据二倍角公式可求得的值，进而根据两角和的余弦函数公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由，得，因为，由，得，∴，由余弦定理，得，解得或（舍）∴（Ⅱ）由得∴，∴【点睛】本题主要考查了诱导公式、正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作. 从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作.（Ⅰ）设为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者但不包含男志愿者”，求事件发生的概率.（Ⅱ）设表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解+析【分析】（Ⅰ）由题意，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解的值；（Ⅱ）由题意得出随机变量的取自，计算对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望. 【详解】（Ⅰ）事件为的基本事件的总数为，事件包含基本事件的个数为，则.（Ⅱ）由题意知可取的值为：0，1，2，3，4 .则，，，因此的分布列为0 1 2 3 4的数学期望是【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及随机变量的分布列与数学期望问题，其中解答中认真审题，合理准确求解随机变量取每个值对应的概率，利用公式求解数学期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.17.如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值；（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（Ⅰ）详见解+析（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的数量积，求得，即可得到平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解平面与平面所成二面角的正弦值．（Ⅲ）设，，得，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，得到向量的坐标，进而求解的长.【详解】（Ⅰ）证明：四边形为矩形，，又平面平面，平面平面，平面.取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设平面的法向量，∵，，由得，不妨设，又∴，∴，又∵平面∴平面．（Ⅱ）设平面的法向量∵，，由得，不妨设，∴，∴∴平面与平面所成二面角的正弦值为．（Ⅲ）∵点在线段上，设，∴，又∵平面的法向量，设直线与平面所成角为∴，∴∴，∵，∴∴，∴，∴的长为.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中熟记空间向量在线面位置关系中的应用，以及熟记空间向量的夹角公式在空间角求解中的应用是解答的关键，同时建立适当的空间直角坐标系，正确求解平面法向量是解答的基础，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.18.设是等差数列，是等比数列，公比大于0.已知，，，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，.（ⅰ）求；（ⅱ）证明【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）(ⅰ) ；(ⅱ)详见解+析.【分析】（Ⅰ）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，根据等差、等比数列的通项公式，列出方程，求得的值即可求解数列的通项公式；（Ⅱ）由题意，则(ⅰ)中，即可求得；(ⅱ)化简，利用裂项法，求解，即可作出证明.【详解】（Ⅰ）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，∵，，∴，∴或，∵，∴，∴.由，解得，：∴，.（Ⅱ）设，则(ⅰ)(ⅱ)∵∴∴【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求数列求和，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.19.设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，根据题意列出方程组，求得，，即可求解椭圆的方程；（II）设点，，由题意，且，由的面积是面积的3倍，可得，联立方程求得的值，即可求解的值.【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，所以，椭圆的方程为．（II）设点，，由题意，且由的面积是面积的3倍，可得，所以，从而，所以，即．易知直线的方程为，由消去，可得由方程组消去，可得．由，可得，整理得，解得，或．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．所以，的值为．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用问题，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及联立方程组，利用直线与圆锥曲线的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.已知函数，其中，为自然对数的底数. 设是的导函数.（Ⅰ）若时，函数在处的切线经过点，求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的单调区间；（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解+析（Ⅲ）【分析】（I）时，利用导数的几何意义，求得切线斜率，切点坐标，即可求解切线的方程，进而求解得值；（II）求得函数的导数，根据在单调递增，转化为，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（Ⅲ）由得：，得，由已知，设为在区间内的一个零点，则由可知在区间上至少有三个单调区间，得到在区间内存在零点，在区间内也存在零点.则在区间内至少有两个零点，由（II）可知，列出不等式组，即可求解.【详解】（I）时，，，∴切线斜率，切点坐标∴切线方程∵切线经过点，∴∴（II）∵∴.∵在单调递增，∴，即时，，所以单调递增区间为②当，即时，，所以单调递减区间为③当时，令，得，令，得，令，得，∴函数单调递减区间为，单调递增区间为综上①②③可得：当时，单调递增区间为；当时，单调递减区间为，单调递增区间为；当时，单调递减区间为.（Ⅲ）由得：，∴由已知，设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上至少有三个单调区间．∴在区间内存在零点，在区间内也存在零点.∴在区间内至少有两个零点．由（II）可知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意．∴，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增∴∵∴令，∵∴，令∵，令得；令得；∴在单调递增，在单调递减.∴在恒成立.即在时恒成立.∴由得，∴∴∴的取值范围是．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等式问题，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
天津市静海区第一中学2020_2021学年高一数学上学期期末考试试题含解析
（2）
————（1）0（2）
分析：
（1）利用诱导公式化简，即可求解；
（2）先利用二倍角公式化简 ，由切化弦化 ，
通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.
解答：利用
（1）原式
（2）原式=
点拨：关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.
天津市静海区第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一､选择题：每小题4分，共28分.
1.已知集合 ，且 ，则实数 的值为 （ ）
A.3B.2C.0或3D.0或2或3
————A
分析：
根据元素与集合的关系，分类讨论，并验证集合元素的互异性，即可求解.
解答：由题意，知 ，可得
（1）当 时， ，不满足集合元素的互异性，舍去；
12.设函数 ，当a=1时，f(x)的最小值是________；若 恒成立，则a的取值范围是_________.
————(1). 1 (2). [0， ]
分析：
当a=1 时，分段求出函数的最小值，比较可得分段函数的最小值；分类讨论代入解析式，将不等式恒成立化为最值问题求解可得结果.
解答：当a=1时，当 时， ，当 时， ，当且仅当 时，等号成立.所以 的最小值为 .
（4）利用基本不等式求最值.
11.已知函数 ，若函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是___________.
————
分析：
可得 时， 有一个零点 ，所以只需要当 时， 有一个根，利用“分离参数法”求解即可.
解答：因为函数 ,
当 时， 有一个零点 ，
所以只需要当 时， 有一个根即可，即 有一根,
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U A C B ⋂（ ） A ．{4} B ．{2，3，6} C ．{2，3，7} D ．{2，3，4，7}【答案】B【解析】先求出U C B 再与A 取交集，即可得到答案. 【详解】因为{2,3,5,6}U C B =，{A =2，3，4，6}， 所以{2,3,6)}(U A C B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．1y =- C ．1x = D ．1y =【答案】A【解析】利用22y px =的准线方程为2p x =-，能求出抛物线24y x =的准线方程. 【详解】24,24,2y x p p =∴==， ∴抛物线24y x =的准线方程为2p x =-， 即1x =-，故选A . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.3．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分别解两个不等式得到集合A ，B ，再利用集合间的关系，即可得到答案. 【详解】解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<， 因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.4．直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为（ ）A ．B ．C ．2D ．4【答案】B【解析】先求圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式，即可求得答案. 【详解】圆心到直线的距离d ==，所以||AB ===故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.5．已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．21n n S a =-B ．12n n S a =-C ．2n n S a =-D ．2n n S a =-【答案】D【解析】根据递推关系求得等比数列{}n a 的通项公式，再求出前n 项和为n S ，化简可得2n n S a =-. 【详解】*12()n n a a n N +=∈，112n n a a +∴=， ∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列， ∴11()2n n a -=，∴11112221212nn n n S a --==-=--. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查基本量运算，求解时要注意通过化简找到n S 与n a 的关系.6．已知偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增，若ln3a =，21log 3b =，121log 5c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f c f b f a >> D ．()()()f a f c f b >>【答案】A【解析】根据题意得()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得a b c <<，从而利用函数的单调性可得答案.【详解】因为偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增， 所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递减. 因为3323311log log 20ln 3log 3log log 2e e >>⇒<⇒<，即12a b <<<， 因为112211log log 254c =>=， 所以a b c <<，所以()()()f a f b f c >>. 故选：A. 【点睛】本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和逻辑推理能力.7．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．1()22g π=B ．()g x 的最小正周期是4πC ．()g x 在区间[0，]3π上单调递增D ．()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减 【答案】C【解析】根据函数的平移变换求出()g x 的解析式，再一一对照选项验证是否成立. 【详解】函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得：()sin(2)3g x x π=-.对A ，sin()3()2g πππ-==，故A 错误； 对B ，最小正周期为π，故B 错误； 对C ，当023333x x ππππ<-<-<⇒<，因为(,)33ππ-是(,)22ππ-的子区间，故C正确； 对D ，当54263333x x πππππ<<<⇒-<，4(,)33ππ不是3(,)22ππ的子区间，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.8．已知双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >的右焦点为F 0)，点P 在C 的一条渐近线上，若(PO PF O =是原点），且∆POF 的面积为4，则C 的方程是（ ）A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22133y x -=D ．2215x y -=【答案】A【解析】根据三角形的面积及PO PF =，求出点P 的坐标，再利用点P 的坐标求渐近线的斜率，从而得到ba的值，再观察选项，即可得到答案. 【详解】因为PO PF =，所以点P 的横坐标等于2因为∆POF 的面积为4，设点P 在第一象限，所以124p p y y =⇒=，所以b a ==，只有选项A 符合. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求解能力，求解时只要得到ba的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量. 9．已知函数2ln(2)23()15363x x f x x x x ⎧-<≤=⎨-+->⎩，若关于x 的方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[3，12] B ．(3，12)C ．(0，12)D ．(0，3)【答案】D【解析】画出函数()f x 的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题，求出直线与抛物线相切时的临界值，再结合图象得到k 的取值范围. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：将直线y kx =代入2()1536f x x x =-+-得：215)360(x k x -++=，当直线y kx =与抛物线相切时，215)1440(3k k --=⇒==∆或27k =， 由于方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解， 所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以03k <<. 故选：D. 【点睛】本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解.二、填空题10．i 是虚数单位，若复数z 满足(13)4i z i +=，则z =________.【答案】6255+i 【解析】利用复数的除法运算，求得z =6255+i . 【详解】44(13)1246213(13)(13)1055i i i i z i i i i -+====+++-. 故答案为：6255+i . 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 11．621(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是________（用数字作答）. 【答案】192-【解析】根据二项展开式得61621(2)()(0,1,,6)rrrr T C x r x-+=-=，进而得到1r =时会出现3x 项，再计算其系数. 【详解】666316621(2)()2(1)(0,1,,6)rr r r r r rr T C x C x r x---+=-=⋅⋅-⋅=，当633r -=时，即1r =，所以1533262(1)192T C x x =-=-.故答案为：192-. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题. 12．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 【答案】25【解析】利用1的代换，将求式子43a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】因为4343123()(3)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=， 等号成立当且仅当21,55a b ==. 故答案为：25. 【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.13．已知半径为2的球的球面上有A 、B 、C 、D 不同的四点，ABC ∆是边长为3的等边三角形，且DO ⊥平面(ABC O 为球心，D 与O 在平面ABC 的同一侧），则三棱锥D ABC -的体积为______.【解析】作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到答案. 【详解】如图所示，点E 为ABC ∆的中心，则23BE AC =⋅=，2OB =，所以1OE ===，所以2111(33332ABC V S DE ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键.14．设{}n a 是等差数列，若59a =，2716a a +=，则n a =_______；若*121()n n n b n N a a +=+∈，则数列{}n b 的前n 项和n S =________. 【答案】21n -22321n nn ++ 【解析】利用等差数列通项公式求得1,a d ，进而求得n a ；求出1112121n b n n =-+-+再利用分组求和法及裂项相消法求n S . 【详解】 由题意得：11149,2,212716,1,n a d d a n a d a +==⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨+==⎩⎩.因为21111(21)(21)2121n b n n n n =+=-+-+-+，所以111113b =-+，211135b =-+，11,12121n b n n =-+-+， 所以212312121n n nS n n n +=-+=++. 故答案为：21n -；22321n nn ++. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写. 15．设点M 、N 、P 、Q 为圆222(0)x y r r +=>上四个互不相同的点，若0MP PN ⋅=，且(PM +)2PN PQ ⋅=，则PQ =_______.【解析】根据0MP PN ⋅=得到MN 过圆的圆心O ，再利用向量的加法法则得2PM PN PO +=，由向量数量积的几何意义得到等式1||cos ||2PO PQ θ=，最后求得||PQ 的值. 【详解】因为0MP PN ⋅=，所以MP PN ⊥， 所以MN 过圆的圆心O ，所以()22||||cos 2PM PN PQ PO PQ PO PQ θ+⋅=⋅=⋅=， 因为PO 在PQ 向量方向上的投影为：1||cos ||2PO PQ θ=，代入上式得： 2||122PQ PQ =⇒=. 【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识，考查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2(sin cos cos sin )sin A C A C A +=sin C +.⑴求证：a 、b 、c 成等差数列； ⑵若7c =，23C π=，求b 和sin 2B 的值.【答案】（1）证明见解析（2）5b =，sin 2B =【解析】（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理证得2b a c =+，从而证明结论成立；（2）利用余弦定理22+49+=a b ab ，再由（1）27=-a b ，联立求得b 的值；由正弦定理求得sin B ，再利用倍角公式求得sin 2B 的值. 【详解】（1）因为()2sin cos cos sin sin sin +=+A C A C A C ， 所以()2sin sin sin A C A C +=+.由于在ABC ∆中，+=A C B π-，所以()sin sin A C B +=， 所以2sin sin sin B A C =+. 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2b a c =+. 所以,,a b c 成等差数列. （2）在ABC ∆中，27,3c C π==， 由余弦定理，得222272cos 3a b ab π=+-, 即22+49+=a b ab .由（1）知27=-a b ，所以()()2227+2749-+-=b b b b ，解得5b =.由正弦定理，得2sin3sin 14b Bc π==. 在ABC ∆中，因为于2=3C π，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11cos 14B ===.所以sin 22sin cos 98B B B ==. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求cos B 的值时，注意角0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭这一条件的应用. 17．每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）310（3）详见解析【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；（2）利用计算原理求得基本事件的总数为310C，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；（3）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算()4 73410k k C CP X kC -==（1,2,3,4k=），最后求得期望值.【详解】（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3，由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有4人、3人、3人，所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为111433310310 C C CC⋅⋅=.（3）由题意知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，且X服从超几何分布，()4 73410k k C CP X kC -==（1,2,3,4k=）. 所以，随机变量X的分布列为所以，随机变量X的数学期望为()13111412343010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，11PA PC ==1111A B B C =1PB ==114A C =.⑴求证：PO ⊥平面111A B C ； ⑵求二面角111B PA C --的正弦值； ⑶已知H 为棱11B C 上的点，若11113B H BC =，求线段PH 的长度.【答案】（1）证明见解析（2（3）【解析】（1）证明11PO A C ⊥，1PO OB ⊥，再根据111A C OB O =，从而得到线面垂直的证明；（2）以点O 为坐标原点，分别以11,,OA OB OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值；（3）结合（2）中()12,0,0C -，求得点23⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭H ，再求PH 的值，从而求得线段PH 的长度. 【详解】（1）在三角形11PA C 中，11PA PC =且O 为11A C 的中点， 所以11PO A C ⊥.①在1Rt PAO ∆中，11112,2AO AC ==1PA =,2PO ==. 连接1OB ，在111A B C ∆中，1111=A B BC =111OB AC ⊥所以1OB ==又1PB =22211PB PO OB =+，所以1PO OB ⊥.②又因为111A C OB O =，③由①②③，得PO ⊥平面111A B C .（2）以点O 为坐标原点，分别以11,,OA OB OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O ，()()()112,0,0,0,,0,0,2A B P ， 所以()()111=2,22,0,=2,0,2A B A P --. 设(),,n x y z =为平面11PA B 的法向量，则有111·0,·0.n A B n A P ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20,220.x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令=1x ，得 1.y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以21,,12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.易得，()1=0,OB 且为平面11PA C 的法向量， 所以12n OB =，125n OB =， 所以1115cos ,5n OB n OB n OB ==.故所求二面角111B PA C --=（3）由（2）知()12,0,0C -.设点()111,,H x y z =，则()1111,B H x y z =-.又()112,B C =--，11113B H BC =，所以()()1111,2,3x y z -=--，从而1112,3,30.x y z ⎧=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎪⎩即点23⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭H .所以2,233PH ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.所以PH ⎛=-= 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性.19．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(F c -，0)、2(F c ，0)，点P在椭圆上，O 为原点. ⑴若PO c =，23F OP π∠=，求椭圆的离心率；⑵若椭圆的右顶点为A ，短轴长为2，且满足2211(3ee OF OA F A+=为椭圆的离心率）. ①求椭圆的方程；②设直线l ：2y kx =-与椭圆相交于P 、Q 两点，若POQ ∆的面积为1，求实数k 的值.【答案】（11（2）①2214x y +=②2k =±【解析】（1）由题意得12PF PF ⊥，利用勾股定理得1PF =，再利用椭圆的定义得到,a c 的关系，从而求得离心率；（2）①由22113eOF OA F A+=，得223c b =，求出,,a b c 后，即可得到椭圆的方程； ②设点()()1122,,,P x y Q x y ，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得PQ 关于k 的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积POQ S ∆=从而求得k 的值. 【详解】（1）连接1PF .因为22,3OP OF c F OP π==∠=， 所以2POF ∆是等边三角形，所以22,3PF c PF O π=∠=. 又21OP OF OF ==，所以12PF PF ⊥,所以1PF =.于是，有)1221a PF PF c =+=，所以1c e a ==-1. （2）①由22113e OF OA F A +=，得()113cc a a a c +=-， 整理，得223c b =.又因为22b =，所以1b =，22223,4c a b c ==+=.故所求椭圆的方程为2214x y +=.②依题意，设点()()1122,,,P x y Q x y .联立方程组222,1.4y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，并整理得()224116120k x kx +-+=.则()()222256484116430k k k ∆=-+=->，（）且1212221612,4141k x x x x k k +==++，所以12241PQ x k =-==+.又点O 到直线l 的距离为d =，所以1122POQS PQ d ∆=⋅==因为1POQS ∆=1=，解得2k =±.经验证2k =±满足（）式，故所求实数k =【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 20．已知函数21()ln()(1)(2f x ex ax a x e =+++为自然对数的底数）. ⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(1，(1))f 处的切线方程； ⑵讨论()f x 的单调性； ⑶当0a <时，证明3()12f x a≤--. 【答案】（1）8210x y --=（2）见解析（3）证明见解析 【解析】（1）当1a =时，()12f x x x'=++，利用导数的几何意义求得切线方程； （2）对函数进行求导得()()'11()ax x f x x++=，对a 分0a ≥和0a <两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间； （3）证明不等式()312f x a ≤--成立等价于证明()max 312f x a≤--成立，再构造函数进行证明. 【详解】（1）当1a =时，()()21ln 22f x ex x x =++. 所以()12f x x x '=++， 所以()111241k f '==++=，又()712f =. 所以曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()7412y x -=-， 即8210x y --=.（2）易得()()21111ax a x f x ax a x x+++'=+++=()()11ax x x ++=（0x >）. ①当0a ≥时，()0f x '>，此时()f x 在()0,∞+上单调递增； ②当0a <时，令()0f x '=，得1x a=-. 则当10x a <<-时，()0f x '>，此时()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；当1x a >-时，()0f x '<，此时()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （3）由（2）知，当0a <时，()f x 在1x a=-处取得最大值， 即()()2max111ln 12e a f x f a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11ln 2a a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()312f x a ≤--等价于()max 312f x a ≤--，即113ln 122a aa ⎛⎫--≤-- ⎪⎝⎭， 即11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭.（※） 令1t a=-，则0t >.不妨设()lnt 1g t t =-+（0t >），所以()111tg t t t-'=-=（0t >）. 从而，当()0,1t ∈时，()0g t '>；当()1,t ∈+∞时，()0g t '<， 所以函数()g t 在区间()0,1上单调递增；在区间()1,+∞上单调递减. 故当1t =时()()max 10g t g ==.所以当0t >时，总有()()max 0g t g t ≤=. 即当0a <时，不等式（※）总成立， 故当0a <时，()312f x a≤--成立. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.。
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2018～2019学年度第一学期期末七校联考高三数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}11{>-=x x A ，}3,2,0,1{-=B ，则B A C U ⋂)(=（ ）（A ）}2,1,0{ （B ）}2,0{ （C ）}3,1{-（D ）}3,2,1,0,1{-2．设R a ∈，直线062:1=++y ax l ，直线0)1()1(:22=-+-+a y a x l ，则“1-=a ”是“21//l l ”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3．设变量y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+≥010*******y x y x y x x ，则目标函数y x z +=2的最小值是（ ）（A ）-5 （B ）1 （C ）2（D ）74．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）（A ）7 （B ）14 （C ）30（D ）415．已知||2)(x x x f ⋅=,)5(log 3f a =，)4.0(5.0f b =，)5(log 2=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c b a >> （D ）b a c >> 6．己知函数)0,0(sin )(>>=ωωA x A x f 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将)(x f 的图象向右平移31个单位长度，得到函数)(x g 的图象，则下列是函数)(x g 的单调递增区间的为（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,38 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,32 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,31 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡313,37 7．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222ay x =+的切线，交双曲线右支于点M ，若o MF F 4521=∠，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）2 （D ）58．定义域为R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+1-，当]2,0(∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-=]2,1[,1)1,0(,2x xx x x x f ）（. 若(0,4]x ∈时，t x f t t -≤≤-3)(272恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）（A ）[]2,1 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知复数iiz -+=362(i 是虚数单位)，则复数z 的虚部为___________.10．若二项式62133⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为m ，则dx x m ⎰123=_____________. 11．已知正方体1111D C B A ABCD -中，四面体11ACD B -的表面积为38，则该正方体的体积是_____________.12．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数，0>p ），其焦点为F ，顶点为O ，准线为l ，过点F 斜率为3的直线l '与抛物线C 交于点A （A 在x 轴的上方），过A 作l AB ⊥于点B ，若BOF ∆的面积为23，则p =_____________. 13．设,0,1>>b a 若,2=+b a 则ba 112+-的最小值为_____________.14．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2==BC AB ，1=CD ，o BCD 120=∠，P ，Q分别为线段BC 和CD 上的动点，且λ=，λ61=，则⋅的最大值为_____________.三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（本题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 32)cos(=-B π，1=c ， A c B a sin 6sin =.（Ⅰ）求边a 的值； （Ⅱ）求)32cos(π+B 的值.16．（本题满分13分）某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作. 从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作.（Ⅰ）设M 为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者a 但不包含男志愿者b ”，求事件M 发生的概率.（Ⅱ）设X 表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.17．（本题满分13分）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，oDAB 90=∠，22===AD BC AB ，四边形EDCF 为矩形，2=DE ，平面⊥EDCF 平面ABCD . （Ⅰ）求证：DF ∥平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值； （Ⅲ）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为1414，求线段AP 的长. 18．（本题满分13分）设}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，公比大于0.已知11=b ，1232=+b b ，1)(462=+b a a ，3524a a b a -=.（Ⅰ）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设)2(11++=n n c n ，n n c c c c S 321⋅⋅=（*N n ∈）.（ⅰ）求n S ； （ⅱ）证明1112)1(121+=+⋅+-=-∑n nk k k k n kS b b （*N n ∈）19．（本题满分14分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为35，13||=AB .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线)0(:<=k kx y l 与椭圆交于N M ,两点，且点M 在第二象限. l 与AB 延长线交于点P ，若BNP ∆的面积是BMN ∆面积的3倍，求k 的值.20．（本题满分14分）已知函数1)(2---=bx ax e x f x ，其中R b a ∈,，e ＝2.71828…为自然对数的底数. 设)(x g 是)(x f 的导函数.（Ⅰ）若1=a 时，函数)(x g 在0=x 处的切线经过点)1,1(-，求b 的值；（Ⅱ）求函数)(x g 在区间]0,1[-上的单调区间；（Ⅲ）若0)1(=-f ，函数)(x f 在区间)0,1(-内有零点，求a 的取值范围.天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考高三数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1．B 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C 二、填空题（每小题5分，共30分）9．2 10．124 11．8 12．2 13．223+ 14．67三、解答题（共80分） 15．（本题满分13分） 【解析】（Ⅰ）由32)cos(=-B π，得32cos -=B ………………………………1分 1=c ，由A c B a sin 6sin =，得ca ab 6=，6=∴b ……………………3分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得015432=-+a a ，解得35=a 或3-=a （舍） 35=∴a …………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由32cos -=B 得 35sin =B ………………………………………………7分912cos ,9542sin -=-=∴B B ………………………………………………10分 1811543sin2sin 3cos2cos )32cos(-=-=+∴πππB B B …………………………13分 16．（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）事件为M 的基本事件的总数为C610，事件M 包含基本事件的个数为48C ，则15421056)(61058===CC M P . …………………4分 （Ⅱ）由题意知X 可取的值为： 0,1,2,3,4. ……………………………5分则14121015)0(41046====CC X P ，2182108014)1(41036====CC C X P 732109024)2(41026====C C C X P ，3542102434)3(41016====CC C X P ，2101)0(41044===CCX P ………………………………………………………10分 因此X 的分布列为……………………………………… ………………………………………11分X 的数学期望是()()()()()()0011223344E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==58…13分17．（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）证明：四边形EDCF 为矩形，CD DE ⊥，又平面⊥EDCF 平面ABCD ，平面 EDCF 平面ABCD =CD ，⊥ED 平面ABCD . …………………………………………………………1分取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则)0,0,1(A ，)0,2,1(B ，)0,2,1(-C ，)2,0,0(E ，)2,2,1(-F ， 设平面ABE 的法向量),,(z y x m =，∵)2,2,1(--=，)0,2,0(=AB ，由⎩⎨⎧=⋅=⋅00n n 得⎩⎨⎧==+--02022y z y x ，不妨设)1,0,2(=m ，………3分 又)2,2,1(-=DF ∴0202=++-=⋅m ，∴m⊥，……4分 又∵⊄DF 平面ABE ∴DF ∥平面ABE ． ……………………5分 （Ⅱ）设平面BEF 的法向量),,(z y x n =∵)0,2,1(,)2,2,1(-=--=，由⎩⎨⎧=⋅=⋅00n n 得⎩⎨⎧=+-=+--02022y x z y x ，不妨设)2,1,2(=n ， …………7分 ∴5525324||||,cos =+=⋅>=<n m n m n m，…………………………………………8分55,sin >=<∴n m∴平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值为55．…9分（Ⅲ）∵点P 在线段EF 上，设]1,0[,∈=λλ∴)2,2,1()0,2,1()2,0,1(λλλλ--=-+-=+=， ……………10分 又∵平面BEF 的法向量)2,1,2(=n，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ∴141444)1(3|42)1(2|||||,cos |sin 22++--++--=>=<=λλλλθn AP AP n， 01118452=-+∴λλ 0)1115)(13(=+-∴λλ，]1,0[∈λ ，31=∴λ ………………………………………………12分∴)2,32,34(-=，31424)32()34(22=++-=∴，∴AP 的长为3142.…13分 18．（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， ∵11=b ，1232=+b b ，∴122=+q q ，∴21=q 或1-=q ， ∵0>q ，∴21=q ，∴1)21(-=n n b . …………………………………………3分 由1)(462=+b a a ，3524a a b a -=解得11=a ，1=d ：∴n a n=，1)21(-=n n b . …………………………………………………………5分（Ⅱ）设)2()1)(1()2(11+++=++=n n n n n n c n ，则 ………………………6分(ⅰ)2)1(2)2()1)(1(534442333122321++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=n n n n n n c c c c S n n…9分(ⅱ)1112)1(1212)1(2+++⋅+-⋅=⋅++=-k k k k k k k k k k k kS b b………………………11分。