高三数学一轮复习课时检测12.3模拟方法--概率的应用(含解析)

12.3 模拟方法---概率的应用
一、选择题
1．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是( )． A.14 B.13 C.12 D.23
解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m ，故所求概率为P ＝24＝12
. 答案 C
2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．
A.14
B.13
C.427
D.415
解析 面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，
面积为81 cm 2时，边长AM ＝9，∴P ＝
9－612＝312＝14
. 答案 A
3、如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？[: A. 62596
B.98625
C. 529
625 D. 68625 解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的
所以符合几何概型的条件。

[:
设A ＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：25×25＝625
两个等腰直角三角形的面积为：2×21
×23×23＝529
带形区域的面积为：625－529＝96
∴ P （A ）＝ 62596
答案 A[:
4.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )
A.14
B.13
C.15
D. 12 解析 每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的
41123
，故蚂蚁停留在黑色地板砖上的概率是13 答案 B
5．在面积为S 的△ABC 的边上AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4
的概率是( )． A.14 B.12 C.34 D.23
解析 由△ABC ，△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，这是一个
几何概型，∴P ＝AE AB ＝34
. 答案 C
6．ABCD 为长方形，AB ＝2，B C ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )． [:
A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，
则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4
. 答案 B[:
7．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．
A.
4－π2 B.π－22 C.4－π4 D.π－24
解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则
阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22
. 答案 B
二、填空题
8.如图，四边形ABCD 为矩形，AB=
，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ．
解析 连接AC 交弧DE 于P ，则tan ∠
3=，所以∠CAB=30°，当直线AP 在∠CAB 内时AP 与BC 相交，所以概率P=
301903
︒=︒ 答案 13 9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12
，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14
，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析 设A ＝{小波周末去看电影}，
B ＝{小波周末去打篮球}，
C ＝{小波周末在家看书}，
D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，
则P(D)＝1－122π－142ππ＝1316
. 答案 1316 10．已知平面区域U ＝{(x ，y)|x ＋y≤6，x≥0，y≥0}，A ＝{(x ，y)|x≤4，y≥0，x －2y≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．[: 解析 依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U ＝18，S A ＝4，则点
P 落入区域A 的概率为P ＝S A S U ＝
29
.[:
答案 29
[: 11．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．
解析 由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0，
∵a ，b ∈ [0,1]，∴a≥b.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a≤1，0≤b≤1，
a≥b，画出该不
等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求 概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12
. 答案 12
12．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的
概率为________
．
解析 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16
. 答案 16
三、解答题
13. 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？[:
解析 病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A) ==取出的种子体积所有种子的体积100.011000
= 所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.
14．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n.
(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；
(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m≤1，
－1≤n≤1，
求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．
解析 (1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函
数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A)＝610＝35
. (2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m≤1，
－1≤n≤1的区域如图所示：
要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n)的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P ＝1272
＝17
. 15．已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2
≤4的概率．[: 思路分析 由题意画出图象可求面积之比．
解析 如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内
部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域
为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．
∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16
. 【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.
16．已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{－1,1}，设M ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈B}，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y)．
(1)求以(x ，y)为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上的概率；
(2)求以(x ，y)为坐标的点位于区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，
y≥－1
内(含边界)的概率． 解析 (1)记“以(x ，y)为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上”
为事件A ，则基本事件总数为6.因落在圆x 2＋y 2＝1上
的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A 包含的基本事件数为2，所以P(A)＝26＝13
. (2)记“以(x ，y)为坐标的点位于区域内”为事件B ，
则基本事件总数为6，由图知位于区域D 内(含边界)
的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)，
共4个，即B 包含的基本事件数为4，故P(B)＝46＝23
.。