高考数学二轮复习专题九解析几何第4讲圆锥曲线的综合问题课件理

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圆锥曲线的综合课件

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15
课堂互动讲练
【思路点拨】由已知易得动点 Q的轨迹方程，然后找出P点与Q点的坐标关系，代入即可．
【解】法一：设 Q(x，y)，
则Q→A＝(－1－x，－y)， Q→B＝(1－x,4－y)，
→→
故由QA·QB＝ 4⇒ (－ 1－ x)(1－ x) ＋(－y)(4－y)＝4，
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D．9π
答案：B
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8
三基能力强化
3．直线
y＝kx－k＋1
与椭圆x2＋y2 94
＝1 的位置关系为( )
A．相交 C．相离答案：A
B．相切 D．不确定
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9
三基能力强化
4．(2009 年高考上海卷)过点 A(1,0)
作倾斜角为π的直线，与抛物线 4
y2＝2x
交于 M、N 两点，则|MN|＝________.
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4
基础知识梳理
(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则 ①Δ>0，直线l与圆锥曲线有两交点． ②Δ＝0，直线l与圆锥曲线有一公共点． ③(2)Δ若<a0＝，0直，线当l与圆圆锥锥曲曲线线为无双曲公线共时点，．l与双曲与抛线物的线渐的近对线称平轴行；平当行圆．锥曲线为抛物线时，l
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5
基础知识梳理
3．弦长公式
直线 l：y＝kx＋b，与圆锥曲线 C：F(x，y)＝0
交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2 |x1－ x2|＝ 1＋k2· (x1＋x2)2－4x1x2或 |AB|＝
1＋k12|y1－y2|＝
1＋k12 (y1＋y2)2－4y1y2.

专题圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习

A. B. C. D.
√
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解析：由题意可知，抛物线的标准方程为 , ,设直线的方程为 , , ,联立得消去 ,得 , ,则 , . ,所以当时，的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形的面积为18.
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考点二圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.

高二数学圆锥曲线复习课PPT课件演示文稿

第38页，共129页。
(2)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)． ∵椭圆经过 P1、P2 点，将 P1，P2 两点坐标代入椭圆方程，得63mm＋＋n2n＝＝1， 1. 解得 m＝19，n＝13. ∴所求椭圆方程为x92＋y32＝1.
b2 1
消元
一元二次方程
消y
消x
f (x) 0
g( y) 0
y
SABC
1 2
AB
•d
1 SABC 2 OC • y1 y2
B
c
O
x
A
第10页，共129页。
(3)直线与圆锥曲线有关弦的中点问题
解题
思路
直线与圆锥曲线联立消元得到一元二次方程
点差法
点的对称性
：
第11页，共129页。
5、焦点三角y形性质：
高二数学圆锥曲线复习课PPT 课件演示文稿
第1页，共129页。
（优质）高二数学圆
锥曲线复习课PPT课件
第2页，共129页。
二、基础知识点梳理
1、圆锥曲线的定义
椭圆的定义：
双曲线的定义：圆锥曲线的统一定义（第二定义）：
l
d . .M F
l d .M .
F
l d.M .
F
第3页，共129页。
2、圆锥曲线的标准方程
Image (2)（20191·新1课6标全国高考）在平面直角1坐6标系9xOy中，椭圆
C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为过F1的2直. 线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程2为____．
第33页，共129页。
【解析】(1)选C.不妨设E（-c,0），F（c,0），则

2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)

解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
2
3
6
,
PN
=
0,
2
6 3
,
∴

广东省届高考数学文二轮专题复习解析几何圆锥曲线的综合问题PPT课件

所以C点的轨迹方程为x2 y2 1(y 0)． 25 16
2 设 M ( x 1， y 1 )， N ( x 2， y 2 )，
当直线 M N 的倾斜角不为 9 0 时，
设其方程为 y k x 3 ( k 0 )，
代入椭圆方程化简，得
(1
k
2
)x2
3
k
2x
x2
9 25
x1 x2
25 450k 2 81k 2 144 25 531k 2 144
16 25k 2 16 25k 2
16 25k 2
25
531
k
2
144 531
.
25 k 2 16
25
k 2 144
16 144
只要考虑 531 的最小值，即考虑1 25 531 取最小值．
考点2 圆锥曲线中的存在性问题
例2(2011 太原一模)在平面直角坐标系xOy中，已
知 ABC的顶点A，B的坐标分别为A3,0，B 3,0，
ABC的周长为16.
1 求顶点C的轨迹方程； 2 过点A作直线，与1中的曲线交于M，N 两点，
试判断 | BM | | BN | 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
2, 0． 1若M与A重合，求C的焦点坐标； 2若m 3，求 PA 的最大值与最小值； 3若 PA 的最小值为 MA ，求实数m的取值范围．
解析 1因为M与A重合，所以m2，椭圆方程为
x2 y2 1， 4 所以半焦距c 41 3，焦点坐标为( 3， 0)和( 3， 0)．
2因为m 3，椭圆方程为 x2 y2 1，设P(x，y)，则
则
y1

高三数二轮专题复习通用课件圆锥曲线

专题五第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在轨迹C上， ∴有yy1222＝＝44xx12，，① ② 由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)．当x1＝x2时，弦AB的中点不是N，不合题意， ∴yx11－－yx22＝y1＋4 y2＝1，即直线AB的斜率k＝1，注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹 C相交)， ∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y－2＝x －4，即x－y－2＝0.
专题五第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
(2013·辽宁文，15)已知F为双曲线C：
x2 9
－
y2 16
＝1的左焦
点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)
在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
[答案] 44
专题五第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝6，连接PA， PB，分别与两圆相交于M、N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝4；连接PA，PB并延长，分别与两圆相交于M′、N′两点，此时|PM′|＋|PN′|最大，最大值为 |PA|＋|PB|＋2R＝8，即最小值和最大值分别为4,8.
核心整合
专题五第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
知识方法整合
椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质
椭圆双曲线
抛物线
定义
|PF1| ＋ ||PF1| －定点 F 和定直线 l，
|PF2| ＝ |PF2|| ＝点 F 不在直线 l 上，

圆锥曲线课件

利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容，它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题。例如，通过解线性方程组，可以找到满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征向量，可以深入了解曲线的性质，从而更好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其方向会发生改变，这种现象叫做圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的主轴方向折射；经过双曲线时，会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦点的距离之和等于常数，这个常数等于椭圆的长轴长，等于双曲线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面内与准线相交的直线与圆锥相切于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极坐标形式，便于理解和求解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。

圆锥曲线复习课课件

函数思想法
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问题转化为参数的取值范围或最值问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正弦定理、余弦定理等，求解相关问题。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭圆和双曲线只有中心对称，抛物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要性质，在解决几何问题时具有广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代

解析几何第4讲

栏目导引
专题九解析几何
[名师点评 ] 直线与曲线相切时， ①当曲线 C 是抛物线 y＝ ax2 ＋ bx＋ c(a≠ 0)情况时，用导数的几何意义求解较明快简捷． ② 一般情况下，将直线 l 的方程与曲线 C 的方程联立消元后利用判别式 Δ＝ 0，但有时要注意检验．
栏目导引
专题九解析几何
专题九解析几何
第4讲
圆锥曲线的综合问题
专题九解析几何
1．直线与圆锥曲线相交时的弦长直线与圆锥曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ 1＋k2|x1 － x2|＝ 1 1＋ 2|y1－y2|，而|x1－x2|＝（ x1＋x2） 2－ 4x1x2. k
2．抛物线的过焦点的弦长 p 抛物线 y ＝2px(p>0)的过焦点 F2，0 若 A(x1， y1)，的弦 AB，
因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 Δ＝ (－ 4)2－4³(－4b)＝0，解得 b＝－1. (2)由 (1)可知 b＝－ 1，故方程 (*) 即为 x2－ 4x＋4＝0，解得 x＝ 2，代入 x2＝4y，得 y＝ 1. 故点 A(2，1)．因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y＝－1 的距离，即 r＝ |1－ (－ 1)|＝ 2. 所以圆 A 的方程为 (x－2)2＋ (y－1)2＝ 4.
b b ＋a ＋ a k ＋ 2 k
2
2≤
＝a－b， b ＋a ＋ 2ab
2 2
a2－b2
b 当且仅当 k ＝时等号成立． a 所以，点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a－b.
栏目导引
专题九解析几何
考点二
圆锥曲线中的最值问题

高考数学二轮复习专题六解析几何第4讲圆锥曲线中的综合问题课件文

当 m 的斜率为- 3 时,由图形对称性知,坐标原点到 m,n 的距离之比仍为 3. 3
综上,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3.
3.(2015 新课标全国卷Ⅱ,文 20)已知椭圆 C: x2 + y2 =1(a>b>0)的离 a2 b2
心率为 2 ,点(2, 2 )在 C 上. 2
(1)求 C 的方程;
2
33
当 m 的斜率为 3 时,可设 n 方程为 y= 3 x+b.代入 x2=2py 得 x2- 2 3 px-2pb=0,
3
3
3
由于 n 与 C 只有一个公共点,故Δ= 4 p2+8pb=0 所以 b=- p ,
3
6
又因为 m 的截距 b1= p , b1 =3,所以坐标原点到 m,n 的距离的比值为 3. 2b
c

a

2, 2
(1)解:由

4 a2
2
b2
1,
解得 a2=8,b2=4,
a2 b2 c2,

故椭圆 C 的方程为 x2 y2 =1. 84
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆 F 的半径
|FA|= 2 p,又点 A 到 l 的距离 d=|FA|= 2 p 而 S△ABD=4 2 .
所以 1 |BD|·d=4 2 .即 1 ×2p× 2 p=4 2 ,
2
2
所以 p=-2(舍去)或 p=2 所以圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8.

高考数学二轮复习专题6 解析几何第4讲圆锥曲线中的综合问题文

第4讲圆锥曲线中的综合问题圆与圆锥曲线的综合问题训练提示:充分挖掘题目条件,寻找圆心与圆锥曲线焦点的位置关系,圆的半径与给定线段长度之间的关系,充分利用“圆的直径所对圆周角为直角”等性质解决问题.1.已知圆心为F1的圆的方程为(x+2)2+y2=32,F2(2,0),C是圆F1上的动点,F2C的垂直平分线交F1C于M.(1)求动点M的轨迹方程;(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交M的轨迹于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.(1)解:由线段的垂直平分线的性质得|MF2|=|MC|.又|F1C|=4,所以|MF1|+|MC|=4,所以|MF2|+|MF1|=4>4.所以M点的轨迹是以F1,F2为焦点,以4为长轴长的椭圆.由c=2,a=2得b=2.故动点M的轨迹方程为+=1.(2)证明:当直线l的斜率存在时,设其方程为y+2=k(x+1),由得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.从而k1+k2=+==2k-(k-4)×=4.当直线l的斜率不存在时,得A(-1,),B(-1,-),得k1+k2=4.综上,恒有k1+k2=4.2.设椭圆M:+=1(a>)的右焦点为F1,直线l:x=与x轴交于点A,若=2(其中O为坐标原点).(1)求椭圆M的方程;(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求·的最大值.解:(1)由题设知,A(,0),F1(,0),由=2.得=2(-),解得a2=6.所以椭圆M的方程为+=1.(2)设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,则·=(-)·(-)=(--)·(-)=-=-1.从而求·的最大值转化为求的最大值.因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),所以+=1,即=6-3,因为点N(0,2),所以=+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.因为y0∈[-,],所以当y0=-1时,取得最大值12.所以·的最大值为11.圆锥曲线中的定点、定值问题训练提示:由直线方程确定定点,若得到直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值.3.如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点.(1)解:依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,y=|OB|cos 30°=12.因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=x2,y′=x.设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以Q(,-1).设M(0,y1),令·=0对满足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立.由于=(x0,y0-y1),=(,-1-y1),由·=0,得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足y0=(x0≠0)的y0恒成立,所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).4.已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程;(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值.解:(1)设椭圆半焦距为c,圆心O到l的距离d==,则l被圆O截得的弦长为2,所以b=.由题意得又b=,所以a2=3,b2=2.所以椭圆E的方程为+=1.(2)证明:设点P(x0,y0),过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k(x-x0),整理得y=kx+y0-kx0,联立直线l0与椭圆E的方程得消去y得2[kx+(y0-kx0)]2+3x2-6=0,整理得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,因为l0与椭圆E相切,所以Δ=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0,整理得(2-)k2+2x0y0k-(-3)=0,设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-.因为点P在圆O上,所以+=5,所以k1k2=-=-1.所以两条切线斜率之积为常数-1.圆锥曲线中的存在性问题训练提示:存在性问题,先假设存在,进行一系列推理,若推理正确则存在,若得出矛盾则不存在.5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆的上顶点为N,是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,使点F为△PQN的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)设F(c,0),则=,知a= c.过点F且与x轴垂直的直线方程为x=c,代入椭圆方程,有+=1,解得y=± b.于是b=,解得b=1.又a2-c2=b2,从而a=,c=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F为△PQN的垂心.设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为N(0,1),F(1,0),所以k NF=-1.由NF⊥PQ,知k PQ=1.设直线l的方程为y=x+m,由得3x2+4mx+2m2-2=0.由Δ>0,得m2<3,且x1+x2=-,x1x2=.由题意,有·=0.因为=(x1,y1-1),=(x2-1,y2),所以x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,即x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,所以2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,于是2×-m(m-1)+m2-m=0,解得m=-或m=1.经检验,当m=1时,△PQN不存在,故舍去m=1.当m=-时符合,直线l的方程为y=x-.6.(2015河北沧州4月质检)已知点M在椭圆G:+=1(a>b>0)上,H(-2,0)是M在x轴上的射影.F1是椭圆G的左焦点,且=(O为坐标原点),·=.(1)求椭圆G的方程;(2)在x轴上是否存在定点P0,过P0任意作直线l交椭圆G于A,B两点,使得直线HM始终平分∠AHB?若存在,则求出P0;若不存在,请说明理由.解:(1)依题可设M(-2,y0),由=得F1为HO的中点,于是F1(-1,0),又由·=得(0,-y0)·(1,-y0)=,解得=,于是有+=1,整理得5a4-29a2+20=(5a2-4)(a2-5)=0,解得a2=5或a2=(舍去).所以椭圆G的方程是+=1.(2)设P0(m,0),A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不等于零时,可设直线l为x=ty+m,联立+=1,消去x得(4t2+5)y2+8mty+4m2-20=0,有y1+y2=,y1y2=,注意到HM平分∠AHB⇒k AH=,k BH=满足k AH+k BH=0,即+=0⇒y1(x2+2)+y2(x1+2)=0⇒y1(ty2+m+2)+y2(ty1+m+2)=2ty1y2+(m+2)(y1+y2)=0⇒2t·+(m+2)·=0⇒t(2m+5)=0,故m=-,定点P0(-,0).若直线l的斜率为零,定点P0(-,0)也满足条件,故定点P0(-,0)为所求.类型一:圆锥曲线中的最值(范围)问题1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足∥,·=·,M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l距离的最小值.解:(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),又A(0,-1),所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).再由题意可知(+)·=0,即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.所以曲线C的方程为y=x2-2.(2)设P(x0,y0)为曲线C:y=x2-2上一点.因为y′=x,所以l的斜率为x0.因此直线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-=0.所以O点到l的距离d=.又y0=-2,所以d==(+)≥2.当x0=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.2.(2015云南模拟)如图,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,),四边形ABCD的顶点在椭圆E上,且对角线AC,BD过原点O, k AC·k BD=-.求·的取值范围.解:⇒所以椭圆E的方程为+=1.当直线AB的斜率存在时,设l AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 由⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2()+km()+m2=.由k OA·k OB=-得·=-.所以=-·⇒m2=4k2+2,·=x1x2+y1y2=+==2-,所以-2≤·<2,当k=0时,·=-2,当k不存在即AB⊥x轴时,·=2,所以·的取值范围是[-2,2].3.(2015郑州第一次质量预测)已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n 与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).(1)求曲线E的方程;(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值,若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.解:(1)设点P(x,y),由题意可得=,整理可得+y2=1,曲线E的方程是+y2=1.(2)有最大值,设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=.当m=0时,不合题意.当m≠0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得=1,即m2+1=n2.联立消去y得(m2+)x2+2mnx+n2-1=0.Δ=4m2n2-4(m2+)(n2-1)=2m2>0,x1+x2=,x1x2=,S四边形ACBD=|AB||x2-x1|===≤.当且仅当2|m|=,即m=±时等号成立,此时四边形ABCD面积的最大值为,n=±,经检验可知,直线y=x-和直线y=-x+符合题意.4.如图,过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k1和k2,切点分别为P,Q.(1)求证:k1·k2为定值,并且直线PQ过定点;(2)记△APQ的面积为S△APQ,当最小时,求·的值.(1)证明:设过A点的直线为y=k(x-a),与抛物线联立得整理得x2-kx+ka+1=0,Δ=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k1·k2=-4为定值.抛物线方程y=x2+1,求导得y′=2x,设切点P,Q的坐标分别为(x p,y p),(x q,y q),则k1=2x p,k2=2x q,所以x p+x q=+=2a,x p x q=·=-1.直线PQ的方程:y-y p=(x-x p),由y p=+1,y q=+1,得到y=(x p+x q)x-x p x q+1,整理可得y=2ax+2,所以直线PQ过定点(0,2).(2)解:设A到PQ的距离为d.S△APQ=|PQ|×,所以===,设t=≥1,所以==(t+)≥,当且仅当t=时取等号,此时a=±.因为·=(x p-a,y p)·(x q-a,y q)=x p x q-a(x p+x q)+a2+y p y q,y p y q=(2x p a+2)(2x q a+2)=4a2x p x q+4+4a(x p+x q)=4a2+4,所以·=3a2+3=.类型二:证明问题5.如图,已知点A(1,)是离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B,D两点,且A,B,D三点互不重合.(1)求椭圆C的方程;(2)求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.(1)解:由题意,可得e==,将(1,)代入椭圆方程, 得+=1,又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:设直线BD的方程为y=x+m,又A,B,D三点不重合,所以m≠0,设D(x1,y1),B(x2,y2),由得4x2+2mx+m2-4=0.所以Δ=-8m2+64>0⇒-2<m<2.x1+x2=-m,①x1x2=,②设直线AB,AD的斜率分别为k AB,k AD,则k AD+k AB=+=+=2+m·(*)将①、②式代入(*),整理得2+m·=2-2=0,所以k AD+k AB=0,即直线AB,AD的斜率之和为定值0. 6.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线.解:(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当解得<m<5,所以m的取值范围是(,5).(2)当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).由得(1+2k2)x2+16kx+24=0.因为直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点,所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)×24>0,即k2>.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直线BM的方程为y+2=x,点G的坐标为(,1).因为直线AN和直线AG的斜率分别为k AN=,k AG=-,所以k AN-k AG=+=+=k+=k+=0.即k AN=k AG.故A,G,N三点共线.。

高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)

F(1,0)，
基础知识题型分类思想方法练出高分
题型分类·深度剖析
题型一圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪解析探究提高
【例 1】已知抛物线 C：y2＝4x，过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最大值．
基础知识题型分类思想方法练出高分
难点正本疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解法的一般规律
“ 联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
基础知识·自主学习
要点梳理
2
难点正本疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解法的一般规律
“ 联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
“ 联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
a．Δ > 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b．Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点； c．Δ < 0 时，直线和圆锥曲线没有公共点．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
1 10 1 当 λ＋ λ ＝ 3 ，即 λ＝3时，|PQ|2 有最大值 4 7 . 3 112 ，|PQ|的最大值为 9
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分

高三数二轮专题复习课件圆锥曲线

理解参数方程与圆锥曲线的关联，掌握利用参数方程解决圆锥曲线问题的方法。
极坐标与圆锥曲线
理解极坐标与圆锥曲线的交汇点，掌握利用极坐标解决圆锥曲线问题的方法。
05
圆锥曲线解题技巧与策略
代数法求解圆锥曲线问题
利用代数方法进行求解
代数法是解决圆锥曲线问题的一种基本方法，主要通过将问题转化为代数方程，然后进行求解。这种方法需要掌握圆锥曲线的标准方程和相关性质，以及代数方程的求解技巧。
抛物线
离心率e为1，因为抛物线是所有点与固定点（焦点）距离相等的点的集合。
03
圆锥曲线的应用
曲线的切线问题
切线斜率
通过求导数或利用曲线的参数方程，求出切线的斜率，进而求出切线方程。
切线长
利用切线斜率和点到直线的距离公式，求出切线长。
切线与弦的关系
利用切线与弦的垂直关系，求出弦的中点坐标和长度。
THANKS
感谢观看
关于x轴和y轴都是对称的。
抛物线
只有一条对称轴，通常为 y=x或y=-x。
曲线的范围
椭圆
在x轴和y轴上都有一定的范围，确保所有点都在椭圆上。
双曲线
在x轴和y轴上都有一定的范围，确保所有点都在双曲线上。
抛物线
只关于一个轴有范围，通常为y≥0 或y≤0。
曲线的顶点和焦点
椭圆
有两个顶点和两个焦点，顶点是曲线的最高和最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
双曲线
有一个顶点和两个焦点，顶点是曲线的最高或最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
抛物线
有一个顶点和焦点，顶点是曲线的最高或最低点，焦点在顶点的
正上方或正下方。
曲线的离心率
椭圆

2024版高考复习A版数学考点考法PPT讲解：圆锥曲线的综合问题

1
为定值.
λμ
解析
(1)由题意知e= c =
a
1
b2 a2
=
2 ,则a2=2b2,又椭圆C经过点H(-2,1),所
2
以
4 a2
+
1 b2
=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为
x2 6
+
y2 3
=1.
(2)证明:显然,直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my-3,A(x1,y1),
由
y y
2 16x, k1(x
4)
消去y得
k12
x2-(8
k12
+16)x+16
k12
=0,Δ1=256(
k12+1)>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=8+16 ,
k12
则y1+y2=k1(x1-4)+k1(x2-4)=16 ,
k1
故A
4
8 k12
,
8 k1
,同理可求得B
B(x2,y2),
x my 3,
由
x
2
6
y2 3
1消x得(m2+2)y2-6my+3=0,所以Δ=36m2-12(m2+2)>0,y1+y2=
6m m2
2
,y1y2=
3 m2
2
,由题意知y1,y2均不为1.设M(xM,0),N(xN,0),由H,M,A三点
共线知
AM
与 MH
共线,所以xM-x1=-y1(-2-xM),化简得xM=
例2
(2021济南二模,21)已知椭圆C:

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(2)存在符合题意的点．证明如下：
设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM， PN 的斜率分别为 k1，k2. 将 y＝kx＋a 代入 C 的方程，得 x2－4kx－4a＝0.
故 x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. 从而 k1＋k2＝y1x－1 b＋y2x－2 b ＝2kx1x2＋（a－x1bx）2 （x1＋x2）＝k（aa＋b）. 当 b＝－a 时，有 k1＋k2＝0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN a，a)，N(－2 a，a)，或 M(－2 a，a)，N(2 a，a)．又 y′＝x2，故 y＝x42在 x＝2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a， a)处的切线方程为 y－a＝ a(x－2 a)，即 ax－y－a＝0. y＝x42在 x＝－2 a处的导数值为－ a，C 在点(－2 a，a)处的切线方程为 y－a＝－ a(x＋2 a)，即 ax＋y＋a＝0. 故所求切线方程为 ax－y－a＝0 和 ax＋y＋a＝0.
2．已知定点 A(1，0)与定直线 l：x＝－1，B 是直线 l 上一动点，N 是 AB 的中点，动点 M 满足 MB∥x 轴，且M→N⊥A→B. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求证 MN 恒与曲线 C 相切； (3)当△MAB 为直角三角形时，求△MAB 外接圆的方程．
法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 y＝kx＋2 代入 y＝2x2 中得 2x2－kx－2＝0，
∴x1＋x2＝k2. ∵xN＝xM＝x1＋2 x2＝k4，
∴N 点的坐标为4k，k82. 设抛物线在点 N 处的切线 l1 的方程为 y－k82＝mx－k4，
将 y＝2x2 代入上式得 2x2－mx＋m4k－k82＝0， ∵直线 l1 与抛物线 C 相切，
故∠OPM＝∠OPN，所以点 P(0，－a)符合题意．
[名师点评] 直线与曲线相切时，①当曲线 C 是抛物线 y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)情况时，用导数的几何意义求解较明快简捷．② 一般情况下，将直线 l 的方程与曲线 C 的方程联立消元后利用判别式 Δ＝0，但有时要注意检验．
已知抛物线 C：y＝2x2，直线 l：y＝kx＋2 交 C 于 A，B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (1)求证：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； (2)是否存在实数 k，使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N？若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．
专题九解析几何
第4讲圆锥曲线的综合问题
专题九解析几何
2016考向导航
历届高考考什么？圆锥曲线的综合问题
三年真题统计
2015
2014
2013
卷Ⅰ，T20
卷Ⅰ，T20(2) 卷Ⅰ，T20(2) 卷Ⅱ，T20(2) 卷Ⅱ，T20(2)
专题九解析几何
2016会怎样考？ (1)以椭圆或抛物线的几何性质为背景构建圆锥曲线框架是试题的特点，在此框架下建立元素之间的关系是试题的内涵 (2)考查是以直线和圆锥曲线为主要内容，结合数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程思想方法的综合
解：(1)证明：法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 y＝kx＋2 代入 y＝2x2 中，得 2x2－kx－2＝0，∴x1＋x2＝k2.
∵xN＝xM＝x1＋2 x2＝k4，∴N 点的坐标为4k，k82.
∵(2x2)′＝4x，∴(2x2)′|x＝k4＝k，即抛物线在点 N 处的切线的斜率为 k. ∵直线 l：y＝kx＋2 的斜率为 k，∴切线平行于 AB.
1. 如图，直线 l：y＝x＋b 与抛物线 C：x2＝4y 相切于点 A. 求：
(1)实数 b 的值； (2)以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．
解：(1)由yx＝2＝x4＋y，b，得 x2－4x－4b＝0.(*) 因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得 b＝－1. (2)由(1)可知 b＝－1，故方程(*) 即为 x2－4x＋4＝0，解得 x＝2，代入 x2＝4y，得 y＝1. 故点 A(2，1)．因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y＝－1 的距离，即 r＝|1－(－1)|＝2. 所以圆 A 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
∵MN⊥x 轴，
∴|MN|＝|yM－yN| ＝k42＋2－k82＝k2＋8 16.
∵|AB|＝ 1＋k2× （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1＋k2×
k 2
2－
4×（－1）
＝12 k2＋1× k2＋16.
∴k2＋8 16＝14 k2＋1× k2＋16，
∴k＝±2，
∴存在实数 k＝±2，使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N.
B(x2，y2)，则 x1x2＝p42，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
考点一直线与圆锥曲线相切
(2015·高考全国卷Ⅰ，12 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x42与直线 l：y＝kx＋a(a＞0)交于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM＝ ∠OPN？说明理由．
1．直线与圆锥曲线相交时的弦长直线与圆锥曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ 1＋k2|x1 －x2|＝ 1＋k12|y1－y2|，而|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2.
2．抛物线的过焦点的弦长
抛物线 y2＝2px(p>0)的过焦点 F2p，0的弦 AB，若 A(x1，y1)，
∴Δ＝m2－8m4k－k82＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
∴m＝k，即 l1∥AB. (2)假设存在实数 k，使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N. ∵M 是 AB 的中点，∴|MN|＝12|AB|. 由(1)知 yM＝12(y1＋y2) ＝12(kx1＋2＋kx2＋2)
＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12k22＋4＝k42＋2，