第3章 平面问题的直角坐标解答1

x 2 gy y 6ax 2by 1 gy (b) xy yx 2bx x 2 gy, 3 2 y ( 1 g cot 2 2 g cot ) x ( 2 g cot 1 g ) y, (3-2)
将式(b)代入 边界条件：
l ( 2 gy) m(2by tan ) 0,
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.3 楔形体受重力和液体压力 试求应力分量。 ax3 bx2 y cxy 2 dy3
2 2by tan cos (6ay tan 2by 1 gy)sin 0, 1 g 2 g 3 a cot cot , 6 3 g g g 将系数代入式(b) a 1 cot 2 cot 3 , b 2 cot 2 , 6 3 2 13
x 2 gy y 6ax 2by 1 gy (b) xy yx 2bx 2
第三章 平面问题的直角坐标பைடு நூலகம்答
§3.3 楔形体受重力和液体压力 试求应力分量。 ax3 bx2 y cxy 2 dy3
在右面（斜面）：x y tan , f x 0, f y 0, 应力边界条件为： l x m yx 0, l xy m y 0,
将式(b)代入 边界条件：
l ( 2 gy) m(2by tan ) 0,
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.3 楔形体受重力和液体压力 试求应力分量。 ax3 bx2 y cxy 2 dy3
2 2by tan cos (6ay tan 2by 1gy)sin 0,
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.2 矩形梁的纯弯曲 （二）求位移分量 M x y, y 0, I (3 1) xy yx 0,
M M
o h/2
l/2 h/2 l/2
x
1
h
y
(3 1) (2 4) 假定为平面应力问题。 M M x y, y y, xy 0, (a ) 1 EI EI x x y , E u v x , y , 1 x y y y x , (2-4) (a) (2-2) E v u , 2(1 ) xy 1 xy xy , x y E
5
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.2 矩形梁的纯弯曲 M （二）求位移分量 o h/2 最后，位移分量为： h/2 M u xy, l/2 l/2 EI y M 2 M 2 Ml 2 v y x , 2 EI 2 EI 8 EI M 2 Ml 2 v x , 当y=0时，得梁的挠曲线方程： 2 EI 8EI 2 Ml , 跨中挠度：x=0时， vx 0 8EI 比较可知，弹性力学解和材料力学解是相同的。 故对纯弯曲梁，材料力学解是精确的。
2 gy cos 2by tan sin 0, b
x 2 gy y 6ax 2by 1 gy (b) xy yx 2bx
2 g
cot2
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.3 楔形体受重力和液体压力 试求应力分量。 ax3 bx2 y cxy 2 dy3
6
M
x
1
h
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.3 楔形体受重力和液体压力 设楔形体左面铅垂，右面与铅直面 成α角，下端认为无限长，承受重力 及液体压力。楔形体密度为ρ1 ，液 体密度为ρ2。 试求应力分量。 用半逆解法求解： 分析： } x, y, , 且与 1 g、2 g 成正比。 {
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.2 矩形梁的纯弯曲 M （二）求位移分量 M M x y, y y, EI EI (a) xy 0,
M
o h/2
l/2 h/2 l/2
x
1
h
u v u M v M x , y , y, y, x y x EI y EI (a) (2-2) (b) v u v u , 0, xy x y x y M 式(c)代入式(b)第三式: u xy f1 ( y ), EI (c) df 2 ( x) M df1 ( y ) M 2 x 0, v y f 2 ( x), 2 dx EI dy 2 EI
2 x 2 f x x 2cx 6dy y
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.3 楔形体受重力和液体压力 试求应力分量。 ax3 bx2 y cxy 2 dy3
x 2 f x x 2cx 6dy 由应力边界条件确定待定系数： y x 左面： 0, x 2 gy , 2 xy 0, y 2 f y y 6ax 2by 1 gy (a) x 将式(a)代入： 6dy 2 gy, 2cy 0, 2 xy yx 2bx 2cy 10 xy d 2 g / 6, c 0,
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.2 矩形梁的纯弯曲 （二）求位移分量
M u xy y u0 , EI (d ) M 2 M 2 v y x x v0 , 2 EI 2 EI
M M
o h/2
l/2 h/2 l/2
x
1
h
y
由边界条件确定任意常数ω,u0,v0。 l l 取为简支梁： 对左支点： x , y 0, u , 0 0 u0 0, 2 2
2 gy cos 2by tan sin 0, b
x 2 gy y 6ax 2by 1 gy (b) xy yx 2bx
2 g
cot 2
(c ) l (2by tan ) m(6ay tan 2by 1 gy) 0, l cos , m cos cos sin , 方向余弦： 12 2
3 2 量纲分析： 1g、2g N / m , x, y m, { } N / m 1gx、1gy、2gx、2gy 2 N /m { } 所以，用多项式表示应力分量时，应为 A,B,C,D为待 A1gx、B1gy、C 2gx、D2gy 的组合。 定常数。
xy yx 2 gx cot 。
2
将系数代入式(b) a
1 g g g cot 2 cot 3 , b 2 cot 2 , 6 3 2 14

第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.3 楔形体受重力和液体压力
x
3 y ( 1 g cot 2 2 g cot ) x (3-2) 2 ( 2 g cot 1 g ) y, xy yx 2 gx cot 2 。 应力分布：
M l l l v ,0 0, v0 0, 2 2EI 2 2
2 l M l l l v , 0 0 v0 0, 对右支点： x , y 0, 2EI 2 2 2 2 Ml 2 4 两式相减： 0, , 两式相加： v0 8 EI
8
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.3 楔形体受重力和液体压力 试求应力分量。 ax3 bx2 y cxy 2 dy3 满足相容方程。 f x 0, f y 1 g , 应力分量为：
由应力边界条件确定待定系数： x 左面： 0, x 2 gy , 2 xy 0, y 2 f y y 6ax 2by 1 gy (a) x 将式(a)代入： 6dy 2 gy, 2cy 0, 2 xy yx 2bx 2cy 9 xy d 2 g / 6, c 0,
y
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.2 矩形梁的纯弯曲 M M （二）求位移分量 o h/2 x h M h/2 u xy f1 ( y ), EI l/2 l/2 1 (c) M 2 y v y f 2 ( x), 2 EI df1 ( y ) f1 ( y ) y u0 df 2 ( x) M df1 ( y ) dy x 0, dx EI dy df 2 ( x ) M x 即: dx EI df 2 ( x) M df1 ( y ) x , f ( x) M x 2 x v 2 0 dx EI dy 2 EI ω为待定常数。 3
2
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.2 矩形梁的纯弯曲 M M （二）求位移分量 o h/2 x h 最后，位移分量为： h/2 M u xy, l/2 l/2 1 EI y M 2 Ml 2 M 2 M 2 Ml 2 x , v y x , 当y=0时，v 2 EI 8EI 2 EI 2 EI 8 EI v M u M x y ', x, x EI y EI 对同一截面，x是常数，β也常数。所 以，横截面上的所有垂直线素都转动 同一角度—平面假设是正确的。
(c ) l (2by tan ) m(6ay tan 2by 1 gy) 0, l cos , m cos cos sin , 方向余弦： 11 2
x 2 gy y 6ax 2by 1 gy (b) xy yx 2bx