高考数学一轮复习 专题2.8 函数与方程(讲)

专题2.8 函数与方程【考纲解读】

内容

要求备注

A B C

函数概念与基本初

等函数Ⅰ

函数与方程

√

1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在

性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．

2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的

近似解．

【直击教材】

1．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．

【答案】

⎣⎢

⎡

⎦⎥

⎤

－1，－

1

2

2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是______．

【答案】1

3．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

【答案】－

1

2

，－

1

3

【知识清单】

1．函数零点所在区间的判定

1．函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

2．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2 判断函数零点个数

函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：

(1)令f(x)＝0；

(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；

(3)作出y1，y2图像；

(4)由图像交点个数得出结论．

3 函数零点的应用

函数零点与函数交点关系

【考点深度剖析】

1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误认为函数图像与x 轴的交点．

2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．

【重点难点突破】

考点1 函数零点所在区间的判定

【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________．

【答案】(1,2)．

【1-2】函数f (x )＝2x －2x

－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】(0,3)

【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0

【思想方法】

函数零点个数的判断方法．

(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点．

考点2 判断函数零点个数

【2-1】函数f (x )＝2x

|log 0.5x |－1的零点个数为______个．

【答案】2

【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____ 【答案】4

【解析】由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1，

又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2＝－1.

可得f (x )＝－2或f (x )＝1

2.

若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝1

4；

若f (x )＝12，则x ＝－1

2或x ＝2，

综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点．

【思想方法】

(1)等价转化思想．

(2)数形结合思想

【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质

考点3 函数零点的应用

【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．

【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

e ，0

【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1 【解析】依题意，要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0即2x

＝a 必有一个根，此时00时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9a 2－4a >0，3a >0，

a >0，

由此解得a >49.因此，满足题意的实数a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 049，即49

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．

【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质

【易错试题常警惕】

函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．

如：已知集合(){}

2,20x y x mx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若 A B ≠∅I ，则实数m 的取值范围是 ．

【分析】Q A B ≠∅I ，∴方程组21

2y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数

()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．Q ()010f =>，当()20f ≤，即32

m ≤-时，显然A B ≠∅I 成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝

⎦． 【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．

【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.