2019届高三数学(理)人教版---精校解析Word版第八篇第4节双曲线

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2019年全国高考大纲版数学(理)试卷及答案【精校版】

2019年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为（） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N = （）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ． 7.曲线1x y xe-=在点（1,1）处切线的斜率等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（） A ．14 B ．13C．4 D．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（） A ．14 BD ．12【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（） A ．()y g x = B ．()y g x =- C ．()y g x =- D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答）【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B.解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\=()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B ?<癨??．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===. （I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AAC C ，故平面11AAC C ^平面ABC ．又BC AC ^， BC \^平面11AAC C ．连结1AC ，∵侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AAC C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E =1AC 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1A FD Ð为二面角1A AB C--的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD ABDF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz-．由题设知1A D与z轴平行，z轴在平面11AAC C内．（I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,a A B£则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA=得2，即2240a a c-+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B?-+=\^．（II）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z=则1,,m CB m BB^^即10,0m CB m BB??．()0,1,0,CB=()112,0,,BB AA a c==-故0y=，且()20a x cz-+=．令x c=，则()2,,0,2z a m c a=-=-，点A到平面11BCC B的距离为cos,CA mCA mCA cm×?==．又依题设，点A 到平面11BCC Bc\=代入①解得3a=（舍去）或1a=．于是(11,0AA=-．设平面1ABA的法向量(),,n pq r=，则1,n AA n AB^^，即10,0,0n AA n AB p??\-+=，故且20p q-+=．令p=，则1,q r==()3,2n=．又()0,0,1p=为平面ABC的法向量，故1cos,4n pn pn p⋅==⋅，∴二面角1A AB C--的大小为1arccos4．20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解：记iA表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，0,1,2i=；B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I）122D A B C A B A B C=⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.iiP B P C P A C i P D===⨯=∴=()()()()()()()()()()()() 1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II）X的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()2 00100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()()220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p =\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m =-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y m m m +骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫．由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=． 22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0a a -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．（ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+?是增函数．当()0,x ??时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3ln 1033x x x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <?++．（i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <?++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <?++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。

2019年高考全国3卷理科数学试题及答案(精校word解析版)

普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．02.设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =A ．12B ．2 C ．2 D ．23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4.5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805.已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y ，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -= 6.设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减7.执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ．3π4C ．π２D ．π49.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．810.已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．6 B ．3 C ．2D ．1311.已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．1-２B ．13C ．12D ．112.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最小值为__________．14.设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．15.设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 16.a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．18.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19.（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD ??，AB BD =．（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．DABCE20.（12分）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．21.（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++鬃?<，求m 的最小值．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2．（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案1.【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，直线y x =与圆221x y +=相交于（1,1），（-1，-1），则A B I 元素的个数为2，故选B. 2.【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则z = C. 3.【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4.【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5.【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 6.【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.7.【解析】程序运行过程如下表所示： S Mt 初始状态 0 100 1第1次循环结束 100 10- 2第2次循环结束 90 1 3此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8.【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r = 则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B. 9.【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++又∵11a =，代入上式可得220d d +=又∵0d ≠，则2d =- ∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 10.【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a == 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a = ∴c e a == A11.【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：36π221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12.【解析】由题意，画出右图．设BD 与⊙C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD =∵BD 切⊙C 于点E ． ∴CE ⊥BD ． ∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即⊙C． ∵P 在⊙C 上． ∴P 点的轨迹方程为2242)(1)5x y -+-=（．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 而00(,)AP x y =u u u r ，(0,1)AB =u u u r ，AD =u u u r∵(0,1)(2,0)AP AB AD λμλμ=+=+u u u r u u u r u u u r∴0112x μθ==+，01y λ== 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤ (其中sin ϕ，cos ϕ) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 13.【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小．由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-． 14.【解析】{}n a Q 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q+=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②，显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()A O DxyBP gCE()3341128a a q ∴==⨯-=-．15.【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩Q x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭ 由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如右：由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16.【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD u u u r 为x 轴正方向，CB u u u r为y 轴正方向， CA u u u r为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =r，||1b =r ．设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r ，||2AB '=u u u r ．设AB 'u u u r 与a r 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]2a AB θθαθ--⋅==∈'r u u u r ．故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB 'u u u r 与b r 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |2AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=u u u r r r u u u rr u u u r .当AB 'u u u r 与a r 夹角为60︒时，即π3α=，12sin 2cos 2cos 232πθα====．∵22cos sin 1θθ+=， ∴2|cos |θ=．∴21cos |cos |2βθ==．∵π[0,]2β∈． ∴π=3β，此时AB 'u u u r 与b r 夹角为60︒．∴②正确，①错误．17.解：（1）由sin 3cos 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.g 12-g1211(,)44-g 1()2y f x =-1()y f =-y由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD .由勾股定理AD ==又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=，1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△18.解：⑴易知需求量x 可取200,300,500()21612003035P X +===⨯ ()3623003035P X ===⨯ ()257425003035P X ++===⨯.⑵①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y nn =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+= 此时max 520Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，()())()12200220023002255Y n n n =⨯+-⋅--⋅-+⋅⋅⎡⎤⎤⎣⎦⎦320025n -= 此时520Y <. ④当500n ≥时，易知Y 综上所述：当300n =时，Y . 19.解：⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC ∆Q 为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC = AB BC BD BDABD DBC=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ==== 易得：OD ，OB =∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩I 平面平面OD ABC ∴⊥平面又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADCABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等即E 为BD 中点DB C EO2019年高考全国3卷理科数学试题及答案(精校word 解析版)以O 为原点，OA u u u r 为x 轴正方向，OB u u u r 为y 轴正方向，OD u u u r为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r，则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得1n =u u r 220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则1212cos n n n n θ⋅=⋅u u r u u r u u r u u r20.解：⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+uu r uu u r12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥u u r u u u r，即O 在圆M 上．⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==-，001924x y =-+=，半径||r OQ == 则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Qx y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21.解：（1）()f x 的定义域为()0+∞，.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫⎪⎝⎭，所以不满足题意； ②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，2019年高考全国3卷理科数学试题及答案(精校word 解析版)所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()0+∞，的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥. 故a =1 ⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立 ∴11ln(1)22k k +<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<， ∴m 的最小值为3．22.解：⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……②①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ= 即M．23. 解：⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.2019年高考全国3卷理科数学试题及答案(精校word解析版)。

教育最新2019年人教版高三数学(双曲线)复习经典过关试题附答案Word版

高三数学（双曲线）复习检测试题 (附参考答案)一。

选择题1．双曲线22154x y -=-的离心率为( )A． B． C ．23 D ．322．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为（）A221412x y -= B 221124x y -= C.221106x y -= D.221610x y -= 3.已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（）（A ）23（B ）23 （C ）26（D ）3324.设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1两个焦点，点P 在双曲线上，满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（）A ．1B ．25C ．2D ．5 5.已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（）（A（B（C ）65 （D ）566.若椭圆154116252222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为（） A.221B.84C.3D.21 7.已知点(2,0),(3,0)A B -,动点(,)P x y 满足26PA PB x ⋅=-,则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线8.（北京3）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.（福建12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]10.已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（）（A ）43 （B ）53 （C （D 11.（全国Ⅱ11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+12.如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A ）3 （B ）5 （C ）25（D ）31+二。

2019届高三数学(理)人教版---精校解析Word版第八篇第5节抛物线

2019届高三数学（理）人教版一轮训练
第5节抛物线
【选题明细表】
知识点、方法
题号
抛物线的标准方程与几何性质
1,2,3,7
抛物线的定义及其应用
6,8,9,11
抛物线定义、标准方程及几何性质的综合应用
4,5,10,12,13,14
基础巩固(时间:30分钟)
1.设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为(D)
故选B.
5.(2017·上饶市一模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若 · =0,则k等于(D)
(A) (B) (C)(D)2
解析:由抛物线C:y2=8x得焦点F(2,0).
由题意可知,斜率k存在,设直线AB为y=k(x-2),
代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,Δ>0.
所以|PA|+|PM|≥5-=,当且仅当A,P,F三点共线时,取“=”号,此时,P位于抛物线上,所以|PA|+|PM|的最小值为.故选C.
7.(2017·茂名市一模)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点上,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是cm.
解析:由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则|MM1|= .因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点M到x轴的距离d≥2.故选D.

2019高考数学真题汇编椭圆双曲线抛物线

2019高考数学真题汇编椭圆双曲线抛物线一．选择题2019全国Ⅱ卷理8若抛物线px y 22=（p>0）是1322=+p y p x 的一个焦点，则P_______ A. 2 B. 3 C. 4 D.82019全国Ⅱ卷理11设F 为双曲线C ：12222=-by a x （a>0,b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点，若OF PQ =,则C 的离心率______A. 2B. 3C. 2D.52019全国Ⅲ卷理10双曲线C ：12422=-y x 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PF PO =,则△PFO 的面积为______A. 423B. 223 C. 22 D.232019全国Ⅲ卷文10已知F 为双曲线C:15422=-y x 的一个焦点,P 点在C 上，O 为坐标原点，△OPF 的面积为______ A.23 B. 25 C. 27 D.29 2019全国Ⅰ卷理10已知椭圆C 的焦点1F (-1,0) ,2F (1,0),过1F 的直线与C 交于A,B 两点.若122,2BF AB B F AF ==则C 的方程为_________A. 1222=+y xB.12322=+y xC. 13422=+y xD.14522=+y x 2019全国Ⅰ卷文10 双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为0130，则C 的离心率为___A. 040sin 2B. 040cos 2C.050sin 1 D.050cos 1 2019天津理5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且OF AB 4=(O 为原点）则双曲线的离心率____ A. 2 B. 3 C. 4 D.52019北京理4已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21则___ A. 222b a = B. 2243b a = C. b a 2= D.b a 432= 2019北京文5已知双曲线1222=-y ax （a>0）的离心率是5，则a=____ A. 6 B. 4 C. 2 D.21 2019浙江理2渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是_______B. 22 B. 1 C. 2 D.2二．填空题 2019浙江理15已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率________2019北京文11设抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程___________ 2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若0,211=∙=F F F 则C 的离心率___________.2019全国Ⅲ卷文15设F 1,F 2为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△F MF 21为等腰三角形，则M 的坐标为（） ()222210,0x y C a b a b-=>>：。

2019届高三数学(理)一轮课件：第51讲-双曲线(含答案)

双曲线
第51讲 PART 8
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.
3.了解圆锥曲线的简单应用.
4.理解数形结合的思想.
教学参考
考情分析
考点双曲线的定义及标准方程
考查方向定义应用
考例 2016全国卷Ⅰ5 2017全国卷Ⅲ5 2017全国卷Ⅱ9,2016全国卷 Ⅱ11,2015全国卷Ⅱ11, 2014全国卷Ⅰ4,2013全国卷Ⅰ4
考查热度 ★★☆
双曲线的几何求渐近线与离心率性质直线与双曲线的位置关系弦长问题
★★★
★★☆
4 �� 2 �� 2 |2�� | �� 2 +��
的离心率为 ( A.2 C. 2 B. 3 D.
2 3 3
)
= . 根据已知得 1 + 2
2
2��
2�� 2 �� 2 �� 2
=4,即
�� 2 �� 2 -�� 2
)
[解析] 双曲线的一条渐近线的方程为 x+ ��y=0.根据双曲线方程得 a =3m,b =3,所
2 2
以 c= 3�� + 3,双曲线的右焦点坐标为 ( 3�� + 3,0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
| 3�� +3| 1+��
= 3.
教学参考

2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习8.6 双曲线教学设计及答案

第六节双曲线1．双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质．知识点一双曲线的定义易误提醒双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a ＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在．[自测练习]1．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16，由左焦点F(－5,0)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4³3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：44知识点二双曲线的标准方程和几何性质易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e > 2.(2)注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[自测练习]2．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)²(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D4．已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析：∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C. 答案：C考点一双曲线的定义及标准方程|1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2，又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，△PF 1F 2为直角三角形．△PF 1F 2的面积S ＝12³6³8＝24.答案：C2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，∴c ＝4， 4－a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，b 2＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.答案：A3．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 答案：C求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常，且该常必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．考点二渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起常见的命题探究角度有：1．已知离心率求渐近线方程． 2．已知渐近线求离心率．3．由离心率或渐近线确定双曲线方程．4．利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围．探究一已知离心率求渐近线方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以y ＝±12x .答案：C探究二已知渐近线求离心率2．(2016²海淀模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知b a ＝2，得b ＝2a ，c ＝5a ，所以e ＝ca＝ 5.答案： 5探究三由离心率或渐近线求双曲线方程3．(2016²宜春一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－4y25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y24＝1解析：∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1.又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45. 故所求方程为5x 2－5y24＝1，故选D.答案：D探究四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5. 答案：C解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a或|m |＝ab讨论． (2)注意形结合思想在处渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．考点三直线与双曲线的位置关系|(2016²汕头模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A (－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e ＝2.设过右焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，其中点P 位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP ，AQ 分别与直线x ＝12交于M ，N 两点，求证：MF 2⊥NF 2.[解] (1)由题可知a ＝1.∵e ＝c a＝2.∴c ＝2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，x ＝ty ＋2，得(3t 2－1)y 2＋12ty ＋9＝0，则y 1＋y 2＝－12t 3t 2－1，y 1y 2＝93t 2－1.又直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 12 x 1＋1 . 同，直线AQ 的方程为y ＝y 2x 2＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 22 x 2＋1 .∴MF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 12 x 1＋1 ， NF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 22 x 2＋1 . ∴MF 2→²NF 2→＝94＋9y 1y 24 x 1＋1 x 2＋1＝94＋9y 1y 24 ty 1＋3 ty 2＋3 ＝94＋9y 1y 24[t 2y 1y 2＋3t y 1＋y 2 ＋9]＝94＋9³93t 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2³93t 2－1＋3t ³－12t3t 2－1＋9＝94－94＝0，∴MF 2⊥NF 2.解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系判断直线与双曲线的位置关系．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t＝4，点D 的坐标为(43，3).20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误【典例】已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[易错点析] 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．[解] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[方法点评] (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[跟踪练习] (2015²厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：直线l 的方程为y ＝33(x ＋13)，代入C ：x 24－y 29＝1整，得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4³23³160>0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．答案：DA 组考点能力演练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，渐近线方程为y ＝3x ，y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|²|PF 2|＝9，得c 2－9＝a 2.又c a ＝54，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝7.答案：D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：依题意，a 2－b 2＝m 2＋n 2＝c 2，c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，得a＝4m ，c ＝2m ，∴e ＝c a ＝12.答案：D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3]解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|²4a 2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时，等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝b 2a 2c ，即33＝c 2－a 22ac ，即3e 2－2e －3＝0，∴e ＝3，∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝2.∴b a＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x7．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .又点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，c 2a 2＝52，∴e ＝102.答案：1028．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线为y ＝3x ，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，则b ＝3a ，c ＝2a .在△AF 2F 1中，由|F 1A |＝2|F 2A |，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，得|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝14.答案：149．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x轴平行．(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3³3(x －2)2＝3k 2. 简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2 x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝2362－4³8³ 36＋3k 2 8＝ 9－6k 2＝3，求得k 2＝1. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2＋y 2－4y －4＝0，双曲线的左、右顶点A ，B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，试在“8”字形曲线上求一点P ，使得∠F 1PF 2是直角．解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，在已知圆的方程中，令y ＝0，得x 2－4＝0，即x ＝±2，则双曲线左、右顶点为A (－2,0)，B (2,0)，于是a ＝2.令y ＝2，可得x 2－8＝0，解得x ＝±22，即双曲线过点(±22，2)，则822－4b 2＝1，∴b ＝2.所以所求双曲线方程为x 24－y 24＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F 1(－22，0)，F 2(22，0)．当∠F 1PF 2＝90°时，设点P (x ，y )， ①若点P 在双曲线上，得x 2－y 2＝4，由F 1P →²F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2－8＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，x 2－8＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±6，y ＝±2，所以P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．②若点P 在上半圆上，则x 2＋y 2－4y －4＝0(y ≥2)，由F 1P →²F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2＋y 2－8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y －4＝0，x 2＋y 2－8＝0，无解．同，点P 在下半圆也没有符合题意的点．综上，满足条件的点有4个，分别为P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．B 组高考题型专练1．(2015²高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.答案：D2．(2015²高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ²－b 2a c －a ＝－1，整得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.答案：C3．(2015²高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2,23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.答案：D4．(2015²高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.解析：因为(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.答案： 35．(2015²高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2.不妨设点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pba，y ＝2pb 2a 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb 2a 2－p 22pb a＝4b 2－a 24ab . 由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，整得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32.答案：32。

【2019版课标版】高考数学文科精品课件§9.5双曲线及其性质.pdf

五年高考
考点一双曲线的定义及其标准方程
1.(2017 课标全国 Ⅲ ,5,5 分 )已知双曲线
C:
??2 ??2
??2
-??2
=1(a>0,b>0)
的一条渐近线方程为
y= √5x, 且与椭圆
??2
??2
+ =1
有公共焦点
,则
C 的方程为
2
12 3
(
)
??2 ??2
A. - =1
8 10
?2? ??2
??2 ??2
A. 4 -√5=1
?2? ??2
B. 4 - 5 =1
C. ?2? -??2 =1
25
D.??2-??2 =1
2 √5
答案 B 12.(2014 辽宁 ,20,12 分) 圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴 ,y 轴正半轴围成一个三角形
,当该三角形面积最小时
,切点为 P(如图 ),双曲线 C1:????22-????22=1 过点 P 且
A. - =1
44
?2? ??2
B. - =1
88
,则双曲线的方程
?2? ??2
??2 ??2
C. 4 - 8 =1D . 8 - 4 =1
答案 B
3.(2016 课标全国
Ⅰ ,5,5 分 )已知方程
??2 ??2+n
??2
-3??2 - n
=1
表示双曲线
,且该双曲线两焦点间的距离为
4,则 n 的取值范围是 (
A. √5 B.2
C.√3 D.√2
答案 D 7.(2015 安徽 ,4,5 分)下列双曲线中 ,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是 ( )

2019版高考数学(文)第8章平面解析几何第6讲双曲线 Word版含答案

第讲双曲线
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点双曲线的概念
平面内与两个定点，(＝>)的距离的差的绝对值为常数(小于且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合＝{－＝}，＝，其中、为常数且>，>：
()当<时，点的轨迹是双曲线；
()当＝时，点的轨迹是两条射线；
()当>时，点不存在．
考点双曲线的标准方程和几何性质
[必会结论]
双曲线中的几个常用结论
()焦点到渐近线的距离为.
()实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
()双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
()过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
()过双曲线焦点的弦与双曲线交在同支上，则与另一个焦点构。

19版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案文

19版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案文D(3)当a>c 时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形续表3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(4)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( ) 答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P53T3)已知椭圆x28＋y25＝1和双曲线x2m－y2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A．x＝±36y B．y＝±36xC．x＝±22y D．y＝±22x答案 D解析由椭圆x28＋y25＝1和双曲线x2m－y2＝1有公共的焦点，得m＋1＝8－5.所以m＝2，所以双曲线方程为x22－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±22x.故选D.(2)(选修A1－1P51例3)已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±12x，则此双曲线的离心率为________．答案 5解析因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±12x，所以ab＝12，即b＝2a.由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋4a2＝5a2，即c2a2＝5，所以e＝ca＝5.3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. 3 B．3C.3m D．3m答案 A解析由题意知，双曲线的标准方程为x23m－y23＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝a2＋b2＝3m＋3，不妨设F为双曲线的右焦点，故F(3m＋3，0)．其中一条渐近线的方程为y＝1 mx，即x－my＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3·m＋1|1＋(－m)2＝3，故选A.(2)(2016·山东高考)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．答案 2解析由已知得|AB|＝|CD|＝2b2a，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以4b2a＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－12(舍去)．题型1 双曲线的定义及应用典例1(2017·湖北武汉调研)若双曲线x2 4－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )A．8 B．9C．10 D．12利用双曲线定义得到|PF|＋|PA|＝2a＋|PB|＋|PA|，再利用|PA|＋|PB|≥|AB|求出最小值．答案 B解析由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选B.典例2(2018·河北邯郸模拟)设动圆C 与两圆C1：(x＋5)2＋y2＝4，C2：(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为________．根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解．答案x24－y 2＝1解析设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r ＞2，于是有⎩⎨⎧|CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎨⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4＜25＝|C 1C 2|，即圆心C 的轨迹L 是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L 的方程为x2⎝ ⎛⎭⎪⎫422－y2(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1，即x24－y 2＝1. 方法技巧1．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系．2．应用双曲线定义需注意的问题(1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在．(2)求双曲线方程时，注意用标准形式．冲关针对训练1．(2017·衡水模拟)已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则|sin A－sin B|sin P的值等于( )A.45B.74C.54D.7答案 A解析由x216－y29＝1得a ＝4，b ＝3，c ＝5.结合双曲线定义及正弦定理得|sin A －sin B |sin P ＝||PA |－|PB |||AB |＝2a 2c ＝45，故选A.2．已知双曲线x 216－y 29＝1上有一点P ，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝π3，则△PF 1F 2的面积为________．答案 9 3解析由题意，得|F 1F 2|＝216＋9＝10. 因为⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3＝100，所以|PF 1|·|PF 2|＝36.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝9 3.题型2 双曲线的标准方程及应用典例 (2018·兰州检测)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y24＝1 B.x 24－4y23＝1 C.x24－y24＝1 D.x24－y212＝1 本题采用方程法．答案 D解析不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝22，①2x 0·2y 0＝2b ，②y 0＝b 2x 0，③由①③得x 20＝164＋b2，④ 所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b 24＋b2，⑤ 由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x24－y212＝1.故选D.[条件探究1] 若将典例中条件变为“以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．解因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43.又c2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x29－y216＝1.[条件探究2] 若将典例中变为“双曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆x24＋y2＝1共焦点”，求双曲线的方程．解椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，所以4 a2－1b2＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x22－y2＝1.方法技巧双曲线标准方程的求解方法1．定义法．2．待定系数法．提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．冲关针对训练1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1C.3x 220－3y25＝1 D.3x 25－3y220＝1 答案 A解析由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b＝1，所以双曲线的方程为x24－y 2＝1.故选A.2．(2018·福建漳州模拟)已知双曲线C ：x2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，且P 与点F 1关于直线y ＝－bxa对称，则双曲线的方程为________________．答案 x 2－y 24＝1解析设点A (1,0)，因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝|AF 1|－|AF 2|，所以2a ＝(c ＋1)－(c －1)，则a ＝1.因为点P 与点F 1关于直线y ＝－bxa对称，所以∠F 1PF 2＝π2，且|PF 1||PF 2|＝b a ＝b ，结合|PF 1|－|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝4＋4b 2，可得b ＝2.所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1.题型3 双曲线的几何性质角度 1 与双曲线有关的范围问题(多维探究)典例(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 根据已知MF1→·MF 2→<0，列出y 0的不等式求解．答案 A解析不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 2－1<0.∴－33<y 0<33，故选A.[条件探究] 将本例中条件“MF 1→·MF 2→<0”改为“MF1→·MF 2→＝0”，求△MF 1F 2的面积．解由MF1→·MF 2→＝0得MF 1⊥MF 2，知△MF 1F 2为直角三角形．设M 为双曲线右支上一点，则|MF 1|－|MF 2|＝22，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2|＝12，得|MF 1|·|MF 2|＝2，所以S △MF 1F 2＝12·|MF 1|·|MF 2|＝1.角度2 与双曲线渐近线有关的问题典例(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．涉及曲线交点时，考虑用设而不求的方法．答案 y ＝±22x解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y1＋y2＝2pb2 a2.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋p2＋y2＋p2＝4×p2，即y1＋y2＝p，∴2pb2a2＝p，即b2a2＝12，∴ba＝22，∴双曲线的渐近线方程为y＝±22x.角度3 与双曲线离心率有关的问题典例(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为( )A. 2B.3 2C. 3 D．2将等式sin ∠MF 2F 1＝13转化为关于a ，b ，c 的等式．答案 A解析由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A.方法技巧与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略1．双曲线的离心率e ＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.2．求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．3．求双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.冲关针对训练1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E 的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. 5 B．2C. 3D. 2 答案 D解析设双曲线E的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则A(－a,0)，B(a,0)，不妨设点M在第一象限内，则易得M(2a，3a)，又M点在双曲线E上，于是(2a)2a2－(3a)2b2＝1，可得b2＝a2，∴e＝1＋b2a2＝ 2.故选D.2．(2018·成都统考)已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为( )A．x±2y＝0 B.2x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0答案 A解析设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b2a.因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0.故选A.题型4 直线与双曲线的综合问题典例1以P (1,8)为中点作双曲线为y 2－4x 2＝4的一条弦AB ，求直线AB 的方程．本题采用“点差法”．解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21－4x 21＝4，y 22－4x 22＝4，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)， ∵弦AB 的中点是P (1,8)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝16.∴16(y1－y2)＝8(x1－x2)，∴直线AB的斜率为y1－y 2x1－x2＝12，∴直线AB的方程为y－8＝12(x－1)，即直线AB的方程为x－2y＋15＝0.典例2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→>2(其中O为原点)，求k的取值范围．(2)直线与双曲线联立，用设而不求的方法，列出不等式，然后求解．解(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝3，c＝2，于是a2＋b2＝22，b2＝1，故双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2. 由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B >2.x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k2＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，又∵k 2<1，∴13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.方法技巧直线y ＝kx ＋m 与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的位置关系的分析：1．代数法⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y2b2＝1，消去y ，得(b2－a 2k 2)x 2－2kma 2x －a 2(m 2＋b 2)＝0.(1)二次项系数为0时，直线L ⎝⎛⎭⎪⎫k ＝±b a 与双曲线的渐近线平行或重合．重合：无交点；平行：有一个交点． (2)二次项系数不为0时，上式为一元二次方程，Δ>0⇔直线与双曲线相交(两个交点)；Δ＝0⇔直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线相离．2．几何法：运用数形结合思想考查直线与渐近线的位置关系，转化为其斜率的大小关系．冲关针对训练若双曲线E ：x2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎨⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎨⎧k ＞1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2.故k 的取值范围是{k |1＜k ＜2}． (2)由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，∴k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点，∴80m2－64m2＝1，得m＝±14 .故k＝52，m＝±14.1.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )A．(－1,3) B．(－1，3)C．(0,3) D．(0，3)答案 A解析由题意可知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c为半焦距，∴2c＝2×2|m|＝4，∴|m|＝1，∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，∴－m2<n<3m2，∴－1<n<3.故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x28－y210＝1 B.x24－y25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B解析解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24－y25＝k (k >0)，即x 24k －y25k＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x24－y25＝1.故选B.解法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，∴b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线C 的方程为x24－y25＝1.故选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案 233解析如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝bax，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝aba2＋b2.又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝32MA＝32b，即aba2＋b2＝32b，∴a2＝3b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝233.4．(2018·兰州诊断)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e，则a2＋eb的最小值为________．答案26 3解析由题意，可得k＝ba＝tanπ3＝ 3.∴b＝3a，则a2＝b23，∴e＝1＋b2a2＝2.∴a2＋eb＝b23＋2b＝b3＋2b≥2b3×2b＝263.当且仅当b2＝6，a2＝2时取“＝”．[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2018·唐山统考)“k<9”是“方程x2 25－k ＋y2k－9＝1表示双曲线”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析∵方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．2答案 B解析由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∵F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x23－y24＝1 B.x24－y23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析设双曲线方程x 2a 2－y2b2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b2＝1.②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D. 4．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x 2－y22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 2－y22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2＝1＋k216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22，故这样的直线有3条．故选C.解法二：当直线l 无斜率时同解法一，且此时与双曲线一支交于两点的情况只有一种，其他直线得到的|AB |>4.由于双曲线的实轴长为2小于4，因此与双曲线两支分别相交得到的两点都在x 轴上方或x 轴下方两种情况．综上所述，共有三条直线满足条件，故选C.5．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m2＋y2＝1(m >1)与双曲线C 2：x2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 答案 A解析在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m.在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n.因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.由n >0，m >1可得m >n ，且m 2－2>0.从而e 21·e 22＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2·n2＝(m 2－1)2m 2·(m 2－2)，则e 21e 22－1＝(m 2－1)2m 2(m 2－2)－1＝1m 2(m 2－2)>0，即e 1e 2>1.故选A. 6．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )A．32 B．16C．84 D．4答案 B解析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝bax上，由题意可知|F2M|＝bca2＋b2＝b，所以|OM|＝c2－b2＝a.由S△OMF2＝16，可得12 ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，ca＝52，所以a＝8，b＝4，c＝45，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.7．(2018·湖南十校联考)设双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线与直线x＝a2c分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A．(1，2) B．(2，2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析双曲线x 2a 2－y2b2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，∵60°＜∠AFB ＜90°，∴33＜k FB ＜1，∴33＜abc c －a 2c＜1，∴33＜a b ＜1，∴13＜a 2c 2－a 2＜1，∴1＜e 2－1＜3，∴2＜e ＜2.故选B.8．(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52B．4C.92D．9答案 C解析由题意设焦距为2c，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2，①由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③①2＋②2，得|PF1|2＋|PF2|2＝2a21＋2a22，④将④代入③，得a21＋a22＝2c2，∴4e21＋e22＝4c2a21＋c2a22＝4(a21＋a22)2a21＋a21＋a222a22＝52＋2a22a21＋a212a22≥52＋22a22a21·a212a22＝92，当且仅当2a22a21＝a212a22，即a21＝2a22时，取等号．故选C.9．(2017·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ D ．(0，＋∞)答案 A解析设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1，由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2，即有a 1＝5＋c ，a 2＝5－c (c <5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c >10，可得c >52，即有52<c <5.由离心率公式可得e1·e2＝ca1·ca2＝c225－c2＝125 c2－1，由于1<25c2<4，则有125c2－1>13.则e1·e2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.故选A. 10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )A.x28＋y22＝1 B.x212＋y26＝1C.x216＋y24＝1 D.x220＋y25＝1答案 D解析∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20. ∴椭圆C 的方程为x220＋y25＝1.故选D. 二、填空题11．若点P 在曲线C 1：x216－y29＝1上，点Q在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．答案 10解析依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10.12．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若OE→＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率为________．答案10 2解析圆x2＋y2＝a24的半径为a2，由OE→＝12(OF→＋OP→)知，E是FP的中点，设F′(c,0)，由于O是FF′的中点，所以OE⊥PF，|OE|＝12|PF′|⇒|PF′|＝2|OE|＝a.由双曲线定义，|FP|＝3a，因为FP是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2⇒9a 2＋a 2＝4c 2⇒e ＝102.13．(2018·安徽江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x22－y24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．答案 2解析由题意取F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 2－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.14．(2018·贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________．答案 3解析设椭圆的半长轴为a 1，椭圆的离心率为e 1，则e 1＝c a 1，a 1＝c e 1.设双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，e ＝c a ，a ＝c e.|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y (x >y >0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ，当点P 看作是椭圆上的点时，有4c 2＝(x ＋y )2－3xy ＝4a 21－3xy ，① 当点P 看作是双曲线上的点时，有4c 2＝(x －y )2＋xy ＝4a 2＋xy ，② ①②联立消去xy ，得4c 2＝a 21＋3a 2，即4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋3e2＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3，即双曲线的离心率为 3.B 级三、解答题15．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝2.。

双曲线(讲)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版

年理数天津卷】已知双曲线的离心率为
到双曲线同一条渐近线的距离分别为，且
B. C. D.
【答案】C
（则可得：，不妨设：
双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则
，双曲线的离心率：，据此可得：
则双曲线的方程为
的左、右焦点分别为为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分，则的值为（
C. 52
D.
位于双曲线的左支，则：
：
若为直角三角形，则
B. 3
C.
D. 4
【答案】
年浙江卷】双曲线的焦点坐标是−，，0)，(2，−)，【答案】
O PF中，
1 ()22
+
2b a
是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则
B. 2
C.
D.。

2019届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线课件理新人教版

是线段F1F2的中垂线;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射
线;当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在. 2.方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么?
提示:若A>0,B<0,表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,表示焦点在y轴上
的双曲线.所以Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB<0.
3.等轴双曲线的定义及性
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为 x2-y2=λ (λ ≠0),离心率 e= 2 . 渐近线方程为 y=±x .它们互相垂直
【重要结论】
x2 y 2 2b 2 1.双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)中,过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为 . a a b
b
2
图形
性质
范围对称性
x≥a 或 x≤-a y≥a 或 y≤-a 对称轴: x轴、y轴坐标原点对称中心:____________
顶点
A1
顶点坐标: (-a,0) ,A2 (a,0)
y=±
c
.
顶点坐标: A1 (0,-a) ,A2 (0,a)
y=±
a x b
.
渐近线性质离心率
b x a
x2 y2 (2)(2016·全国Ⅰ卷)已知方程 2 - 2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间 m n 3m n
的距离为 4,则 n 的取值范围是( (A)(-1,3) (B)(-1, 3 )
) (D)(0, 3 )
(C)(0,3)
x2 y2 解析:(2) 2 =1 表示双曲线, m n 3m2 n
2 x 2

2019高三数学人教A版理一轮教师用书：第8章第6节双

第六节双曲线[考纲传真](教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第139页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.[知识拓展]三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A ．2B ．62C ．52 D ．1 D [依题意，e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.] 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1A[由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选A ．]5．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.](对应学生用书第140页)(1)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(2)由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|P A |的最小值为9.][规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题,在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a平方，建立与|PF 1|·|PF 2|间的联系．[跟踪训练] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) 【导学号：97190291】A ．14 B ．13 C ．24D ．23A [由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a ＝14.](1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1(2)(2018·湖北调考)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1. 故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][规律方法] 求双曲线标准方程的主要方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程. (2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.[跟踪训练] (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)C (2)x 216－y 29＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5. 又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.]◎角度1 双曲线的离心率问题(2018·长沙模拟(二))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2＝83相切，则该双曲线的离心率为( )A ．62B ．32C ． 3D ．3A [由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b |b 2＋a2＝22b c ＝223，即c ＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62，故选A ．]◎角度2 双曲线的渐近线问题(2018·合肥二检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [因为e ＝ca ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .]◎角度3 双曲线性质的综合应用(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D ．][规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(3)(2017·武汉调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________. 【导学号：97190292】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a . ∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2， ∴1＜e ＜ 2. 故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。

双曲线(测)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版

月摸底】双曲线
D．
【答案】A
底】
】双曲线的离心率为，则其渐近线
C. D.
因为渐近线方程为
，选A.
的右焦，点为原点），则双曲线的方程为（
【答案】B
月调研】已知双曲线
线方程为（
D
e=
故渐近线方程为：
届广西钦州市高三上学期第一次检测】已知双曲线（，
、，焦距为（），抛物线的准线交双曲线左支于，（为坐标
B. 2
C.
D.
的准线为，将代入，可
，即，化为，故选A.
届高三第一次联考】已知双曲线
，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为【答案】D
=，a
y=±
，
a=b=2
届五模】已知双曲线方程为
B C
，则椭圆
B D
【答案】
即为
可得离心率
化简可得，
即为
，故选
已知方程表示双曲线，的取值【答案】
因为方程
，即
届三模】过点
【答案】
中，若双曲线的右焦点
：
的右焦点为，左顶点为.为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，的一个内角为，则【答案】
故答案为：
三、解答题
）∵椭
，在坐标轴上，离心，且过点
若点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．
(1);(2)
，所以是等轴双曲线，∴设双曲线方程为
代入方程得：，所以
线方程为：
，所以，
，
的坐标为
三点的圆以点
(1)
.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
在双曲线。

2019届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线训练理新人教版

丰富丰富纷纷第4节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义及标准方程2,4,6双曲线的几何性质1,3,5,9 双曲线定义、标准方程及几何性质的综合应用7,8,10,11,12,13,14基础牢固 ( 时间 :30 分钟 )1. 双曲线 x2-my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍, 则 m等于 ( D )(A) (B) (C)2 (D)4剖析 : 双曲线的方程可化为x2-=1,因此实轴长为2, 虚轴长为2,因此 2=2(2), 解得 m=4.应选 D.2. 已知双曲线C: -y 2=1 的左、右焦点分别为F1,F 2, 过点 F2的直线与双曲线C的右支订交于P,Q 两点 , 且点 P 的横坐标为2, 则△ PF1 Q的周长为 ( D )(A)4(B)(C)5(D)2 2剖析 : 由双曲线方程得 a =3,b =1,22 2因此 c =a +b =4,因此 c=2, 因此右焦点F2(2,0),因为 x P=2 且 PQ过点 F2,因此 PQ⊥ x 轴 , 如图 ,由此得? |PF 1|+|PF 2|=,因此△ PF1Q的周长为2(|PF 1|+|PF 2|)=. 应选 D.丰富丰富纷纷3.(2016 ·全国Ⅱ卷 ) 已知 F1,F 2是双曲线E: - =1 的左、右焦点 , 点 M在 E 上 ,MF1与 x 轴垂直,sin∠ MF2F1=,则E的离心率为(A)(A)(B) (C)(D)2剖析 : 由题不如设 |MF1|= =1,|MF 2|=3,则 c= ,a=1, 得 e== . 应选 A.4. 已知双曲线- =1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和圆C:x 2+y2-6x+5=0 相切 , 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 , 则该双曲线的方程为( A )(A)- =1 (B)-=1(C) - =1 (D)-=1剖析 : 圆心的坐标是(3,0),因此半焦距c==3, 圆的半径是2, 双曲线的渐近线方程是bx± ay=0, 依照已知得=2, 即=2,解得 b=2, 则 a2=32-2 2=5,故所求的双曲线方程是- =1. 应选 A.5.(2017 ·佳木斯市三模) 椭圆 C: + =1 与双曲线E: - =1(a,b>0) 有相同的焦点, 且两曲线的离心率互为倒数, 则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为( D )(A) (B)(C)(D)剖析 : 椭圆 C: + =1 的焦点坐标为 ( ± 1,0),离心率为.双曲线 E: - =1(a,b>0) 的焦点为 ( ± 1,0),c=1,双曲线的离心率为椭圆的倒数, 因此为 2.由 e=, 即 2=, 得 a=,则 b= , 双曲线渐近线为y=±x,设渐近线的倾斜角α, 则 tanα =±,因此α =60°或 120° ,因此 sinα =. 应选 D.6. 已知双曲线 2 F ,F , 点 P 为左支上一点 , 且满足∠ F PF =60°, 则△-y =1 的左、右焦点为1 2 1 2F PF 的面积为.1 2剖析 : 设 |PF 1|=m,|PF 2|=n, 在△ F1PF2中由余弦定理得m2+n2-2mncos 60 °=(2c) 2, ①由双曲线定义得n-m=2a, ②联立①②化为因此 mn=4,因此=mnsin 60 ° =.答案 :7. 已知 F1,F 2为双曲线- =1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和 Q.且△ F1PQ为正三角形 , 则双曲线的渐近线方程为.剖析 : 法一设F2(c,0)(c>0),P(c,y0),代入双曲线方程得y0=±,因为 PQ⊥ x 轴 , 因此 |PF 2|=.在 Rt △ F1F2P 中, ∠ PF1F2=30° ,因此 |F 1F2|=|PF 2|, 即 2c=·.又因为 c2=a2+b2, 因此 b2=2a2或 2a2=-3b 2( 舍去 ).因为 a>0,b>0, 因此 =.故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.法二设 F2(c,0),由题意Rt△ PF1F2中,∠ PF1F2=30° ,因此 |PF 1|=2|PF 2|,由双曲线定义 , 得 |PF 1|-|PF 2|=2a,即|PF 2|=2a, 又|F 1F2|=2c,因此==,因此 c= a,2 2因此 c =3a ,又 c2=a2+b2进而得 b2=2a2,因此=,因此渐近线方程为y=±x.答案 :y= ±x能力提升 ( 时间 :15 分钟 )8. 如图 , 已知双曲线- =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1,F 2,|F 1F2| =8,P 是双曲线右支上的一点 , 直线 F2P 与 y 轴交于点 A, △ APF1的内切圆在边 PF1上的切点为 Q,若 |PQ|=2, 则该双曲线的离心率为 ( C )(A)(B)(C)2(D)3剖析 : 如图记 AF1,AF 2与△ APF1的内切圆相切于 N,M,则|AN|=|AM|,|PM|=|PQ|,|NF1|=|QF 1|,因为 |AF 1|=|AF 2|,因此 |NF1|=|AF 1|-|AN|=|AF 2|-|AM|=|MF2|,因此 |QF1|=|MF 2|,因此 |PF 1|-|PF 2|=(|QF 1|+|PQ|)-(|MF2|-|PM|)=|PQ|+|PM|=2|PQ|=4,即 2a=4, 因此 a=2. 由|F 1F2|=8=2c, 得 c=4,因此 e==2. 应选 C.9. 若双曲线 C:mx2+y2=1 的离心率为 2k(k>0), 其中 k 为双曲线 C的一条渐近线的斜率 , 则 m的值为(B)(A)-(B)(C)-3(D)剖析 :mx2+y2=1, 即 y2-=1(m<0),2 2因此 a =1,b =-,因此 e2=1+ =1- =(2k) 2 ,又渐近线斜率k=, 因此 k2==-m,因此 1- =-4m.2因此 4m+m-1=0,因为 m<0,因此 m=. 应选 B.10.(2017 ·潍坊市三模 ) 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F 2,P 为椭圆 C1与双曲线 C2在第一象限内的一个公共点, 设椭圆 C1与双曲线 C2的离心率为e1,e 2, 且=, 若∠ F1PF2=, 则双曲线C2的渐近线方程为( C )(A)x ± y=0(B)x ±y=0(C)x ±y=0 (D)x ±2y=0剖析 : 设椭圆 C 1 的方程为+ =1(a 1>b 1>0),双曲线 C 的方程为 - =1(a >0,b>0),222焦点 F (-c,0),F2(c,0).1法一由 e 1= ,e 2= , =, 得 =, 则 a 1=3a 2.由题意 |PF 1|+|PF 2|=2a 1,|PF |-|PF |=2a 2 ,12则|PF 1|=a 1+a 2=4a 2,|PF 2|=a 1-a 2=2a 2.由余弦定理可知 |F 1F 2| 2=|PF 1| 2+|PF 2| 2-2|PF 1| ·|PF 2|cos ∠F 1PF 2,22 22 2× 4a 22则(2c) =(4a ) +(2a ) -2 × 2a × , c 2=3 ,=c 2 - =2 , 则 b 2=a 2,双曲线的渐近线方程 y=± x=± x, 即 x ± y=0. 应选 C.法二因为 = = =,因此 a 1=3a 2,由椭圆及双曲线定义得 |PF 1|+|PF 2|=2a 1=6a 2, ① |PF 1|-|PF 2|=2a 2, ②①2 - ② 2 化为 |PF 1| ·|PF 2|=8 ,在△ PF 1F 2 中 , 由余弦定理得|F 1 2 2 1 2 2 21 2 F | =|PF | +|PF | -2|PF | · |PF |cos, 因此 |F 1F 2| 2=(|PF 1|-|PF 2|) 2+|PF 1| · |PF 2|,22, 因此 (2c) =(2a 2) +8因此 c 2=3,( 以下同法一 ).11.F ,F 分别是双曲线- =1(a>0,b>0) 的左、右焦点 , 过 F 的直线 l 与双曲线的左、右两1 2 1支分别交于 A,B 两点 . 若△ ABF 是等边三角形 , 则该双曲线的离心率为.2剖析 : 如图 , 由双曲线定义得,|BF 1|-|BF 2|=|AF 2|-|AF 1|=2a,因为△ ABF2是等边三角形 ,因此 |BF 2 |=|AF 2 |=|AB|,因此 |AF 1 |=2a,|AF 2|=4a,且∠ F1AF2=120°,1 2 2 2 2 2在△ F AF 中 ,4c =4a +16a +2× 2a× 4a × =28a , 因此 e= .答案 :12.(2017 ·邯郸市一模 ) 已知点 A(a,0), 点 P 是双曲线 C:2右支上任意一点 , 若 |PA| 的-y =1最小值为3, 则 a= . 剖析 : 设 P(x,y)(x≥2),2 2 2 2-1)= (x-a) 2 2则|PA| =(x-a) +y =(x-a) +( +a -1.a≥时 , 取 x=a, 得 |PA| 2的最小值为 a2-1=9, 因此 a=5 ;a<时 , 这个关于 x 的二次函数在x∈ [2,+ ∞) 单调递加 , 取 x=2, 得 |PA| 最小值为=|2-a|=3,因此a=-1.总之 , 得 a=-1 或 5.答案:-1或513. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0) 的左、右焦点为F1,F 2,P 为双曲线 C 右支上异于极点的一点 , △ PF1F2的内切圆与x 轴切于点 (1,0),且P与点F1关于直线y=-对称,则双曲线方程为.剖析 : 设点 A(1,0),因为△ PF1F2的内切圆与x 轴切于点 (1,0),则|PF 1|-|PF 2|=|AF 1|-|AF 2|,因此 2a=(c+1)-(c-1),则 a=1.因为 P 与点 F1关于直线y=-对称,如图,△ F1PF2的一条中位线在直线y=-x 上,因此∠ F1PF2=且=tan ∠ PF2F1==b,联立 |PF 1|-|PF 2|=2 且 |PF 1| 2+|PF 2| 2=4c2=4+4b2解得 b=2.因此双曲线方程为x2-=1.答案 :x 2-=114.P(x 0,y 0)(x 0≠± a) 是双曲线 E: - =1(a>0,b>0) 上一点 ,M,N 分别是双曲线 E 的左、右顶点, 直线 PM,PN的斜率之积为 .(1) 求双曲线的离心率 ;(2) 过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于A,B 两点 ,O 为坐标原点 ,C 为双曲线上一点 , 满足=λ+, 求λ的值 .解:(1)由点P(x0,y0)(x≠± a)在双曲线-=1 上 ,有 - =1.①由题意知·=,②联立①②可得a2=5b2,又 c2=a2+b2=6b2,则 e==.(2)联立得 4x2-10cx+35b 2=0,设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则③设=(x 3,y 3),=λ+,即2 又 C 为双曲线上一点, 即-5 =5b ,有( λ x1+x2) 2-5( λ y1+y2) 2=5b2,2 1 2 1 2)=5b 2化简得λ ( -5 )+( -5 )+2 λ (x x -5y y , ④又 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 在双曲线上 ,因此-5 =5b2, -5=5b2,由③式有 x1x2-5y 1y2=x1x2-5(x 1-c)(x 2-c)=-4x 1x2+5c(x 1+x2)-5c 2=10b2, 将以上各式代入④式得λ2+4λ =0,解得λ =0 或λ =-4.。

2019届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标44双曲线文新人教版20180723468

课堂达标(四十四) 双曲线[A 基础巩固练]1．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.[答案] A2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5[解析] 由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. [答案] C3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析] 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.[答案] A4．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 [解析] 由题意知c ＝4，A (a ，b )，所以(a －4)2＋b 2＝16，又a 2＋b 2＝16 ∴a ＝2，b 2＝12；所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.[答案] A5．(2018·广西名校猜题卷)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5[解析] 如图因为FB →＝2FA →，所以A 为线段FB 的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2＋∠4＝2∠2＝∠3.故∠2＋∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒b a＝ 3. ∴e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝4⇒e ＝2. [答案] C6．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )A ．32B ．16C ．8D ．4[解析] 双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率为52，设F 2(c,0)，双曲线C 2一条渐近线方程为y ＝bax ，可得|F 2M |＝bc a 2＋b2＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2＝a ，由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，且c a ＝52，解得a ＝8，b ＝4，c ＝45，即有双曲线的实轴长为16. [答案] B7．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为______．[解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. [答案] x 2－y 23＝18．(2018·海南海口4月调研)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b <0)的右焦点且垂于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥513|CD |，则双曲线离心率的取值范围为______．[解析] 易知|AB |＝2b 2a ，因为渐近线y ＝±b a x ，所以|CD |＝2bca，由2b2a ≥513·2bc a 化简得b ≥513c ，即b 2≥25169c 2，所以c 2－a 2≥25169c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2≥169144，解得c a ≥1312.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1312，＋∞9．(2018·南昌二模)已知等腰梯形ABCD 中AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C 、D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是______．[解析] 当双曲线过C ，D 时，由平面几何可知∠ACB ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AC ＝23，所以2c ＝4，|CA |－|CB |＝2(3－1)＝2a ，即a ＝3－1，c ＝2，此时ca＝23－1＝3＋1，若双曲线与线段CD 相交，那双曲线的张口变大，离心率变大，即e ≥3＋1，故填：[3＋1，＋∞)．[答案] [3＋1，＋∞)10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.[解] (1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －3，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635.[B 能力提升练]1．(2018·三明质检)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是( )A ．－38B.316C ．－38D ．不能确定[解析] 令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38.[答案] A2．(2018·山西太原二模)已知双曲线x 23－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是AB 的中点，则△OAB (O 为坐标原点)的面积是( )A ．4 3B ．313 C.14D ．2 3[解析] 双曲线x 23－y 2＝1的a ＝3，b ＝1，c ＝3＋1＝2，右焦点为(2,0)，则抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为(2,0)，即有2＝p2，解得p ＝4，即抛物线方程为y 2＝8x ，联立直线y ＝kx ＋m ，可得k 2x 2＋(2km －8)x ＋m 2＝0，判别式Δ＝(2km －8)2－4k 2m 2＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 1＋x 2＝8－2kmk2，点M (2,2)是AB 的中点，可得8－2km k2＝4，且2＝2k ＋m ，解得k ＝2，m ＝－2. 满足判别式大于0. 即有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，可得弦长|AB |＝1＋4·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·16－4＝215，点O 到直线2x －y －2＝0的距离d ＝|0－0－2|4＋1＝25，则△OAB (O 为坐标原点)的面积是12d ·|AB |＝12×25×215＝2 3.故选：D.[答案] D3．(2018·日照模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为______．[解析] 设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)，代入双曲线方程得y 0＝±b 2a ，∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b2a.在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)． ∵a >0，b >0，∴b a＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . [答案] y ＝±2x4．(2018·咸阳模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0且a ≠b )的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．给出下面四个命题：①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝a 上；②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝b 上； ③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④△PF 1F 2的内切圆必通过点(a,0)．其中所有真命题的序号是______．[解析] 设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，PF 2切于A ，B ，与F 1F 2切于M ，则|PA |＝|PB |，|F 1A |＝|F 1M |，|F 2B |＝|F 2M |，又点P 在双曲线的右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设点M 的坐标为(x,0)，则由|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得(x ＋c )－(c －x )＝2a ，解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴．由以上分析易知，①④正确，②③错误．[答案] ①④5．(2018·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．[解] (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±bax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2.② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得：34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0.∵e >1，∴e ＝2， ∴双曲线的离心率为 2.[C 尖子生专练]已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2，求k 的取值范围．[解] (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2＞0，∴k 2＜1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2019年全国统一高考数学试题(理科)(新课标Ⅲ)(教师版含解析)

【详解】(1)对求导得 .所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
【详解】因为，，
所以，
，所以，
所以．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
14.记Sn为等差数列{an} 前n项和，，则 ___________.
【答案】4.
【解析】
分析】
根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
A.12B.16C.20D.24
【答案】A
【解析】
【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）
A.16B.8C.4D.2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
6.已知曲线在点处的切线方程为，则（）
A. B. C. D.
【答案】118．8
【解析】
【分析】
根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.
【详解】由题意得，，
四棱锥O−EFG的高3cm，∴ ．

2019届高三上期末数学分类汇编(28)双曲线与抛物线(Word版,含答案)

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，再由双曲线定义A=2a，可得.【详解】∵，得到|，∴=，又，连接A，，在三角形中，由余弦定理可得A，又由双曲线定义A=2a，可得，∴=，故选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）10.如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（）A. 2028B. 2038C. 4046D. 4056【答案】B【解析】【分析】由抛物线性质得|P n F|x n+1，由此能求出结果．【详解】∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，,∴＝（x1+1）+（x2+1）+…+（x2018+1）＝x1+x2+…+x2018+2018＝2018+20=2038．故选：B．【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．（山东省德州市2019届高三期末联考数学（文科）试题）3.已知抛物线的准线与圆相切，则抛物线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线准线与圆x2+y2﹣2x﹣8＝0相切，知1+＝3，解得p＝4,即得到方程．【详解】圆x2+y2﹣2x﹣8＝0转化为（x﹣1）2+y2＝9，抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为x ＝﹣，∵抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣2x﹣8＝0相切，∴1+＝3，解得p＝4．抛物线方程为：y2＝8x．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）10.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可。

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【选题明细表】
, 2=2(2
两点
(A)4 (B)(D)
=1,
由此得|=,
.
-
( A
(B) (D)2
c=,a=1,e==.故选
已知双曲线
曲线的右焦点为圆
- (B)
- (D)
解析:圆心的坐标是(3,0),c=
根据已知得=2,即=2, 故所求的双曲线方程是
C:-
则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为
(C) (D)
-
双曲线的离心率为椭圆的倒数
b=,±x,
设渐近线的倾斜角±,
=.
则△F
联立①②化为
所以=mnsin 60.
:
±
=30°
|=2c=·
2a
=.
±x.
所以==,
所以c=a,
=,
±x.
±x
已知双曲线-
双曲线右支上的一点,直线
(B)
的内切圆相切于
-
,
=1-
=-4m.
2+m-1=0,
.
·潍坊市三模)已知椭圆
且
±
±
的方程为
的方程为-
(c,0).
=,得则a1=3a2.
|+|PF|=2a1,
=c-=
±±x,±
因为=
,
由椭圆及双曲线定义得
,
+8
,
-
A,B
e=. :
C:
+(
的最小值为a=5;
5.
5
y=-
的内切圆与x
y=-
且=tan
且
2|=2
-
的斜率之积为
=+,
在双曲线-
·=,
联立①②可得2=5b2,
e==.
联立
-10cx+35b2=0,
③
=(x3,y3),=+,
C为双曲线上一点即-5
(-5)+(-5
所以-5,。