高中数学 立体几何初步 173 球的表面积和体积练习 北师大版必修2
第六章 6.3球的表面积和体积-北师大版(2019)高中数学必修第二册练习
6.3 球的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1.如图,各棱长都相等的三棱锥内接于一个球,则经过球心的一个截面图形可能是( )A.①③B.①②C.②④D.②③2.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为( )A.21πB.42πC.84πD.84图,M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.因为正三棱柱A 1B1C1-ABC的所有棱长都是6,AM=23√62-32=2√3,OM=3,球半径R=OA=√2+32=√21,该棱柱外接球的表面积为S=4π×(√21)2=84π.3.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为.R,r,则{R -r =1,4πR 2-4πr 2=28π,所以{R =4,r =3.所以体积和为43πR 3+43πr 3=364π3.4.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为9π2,则正方体的棱长为 .R,正方体棱长为a,则V 球=43πR 3=92π,得到R=32,正方体体对角线的长为√3a=2R,则a=√3,所以正方体的棱长为√3. √35.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.S=4πr 2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=3πr 3+πr 2l=43π×13+π×12×3=13π3.能力提升练1.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为( ) A.2+4√2(cm 2) B.8+16√2(cm 2) C.4+8√2(cm 2)D.16+32√2(cm 2)h,则由题意及球的性质可得,√22+22+ℎ2=2R=4,所以h=2√2(cm),所以该棱柱的表面积为2×22+4×2×2√2=8+16√2(cm 2),故选B.2.圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是( )A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cmr,则由3V 球+V 水=V 柱,可得3×43πr 3+πr 2×6=πr 2×6r,解得r=3.3.(2019浙江温州期末)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则圆柱的体积与球的体积之比为 ,圆柱的表面积与球的表面积之比为 .,圆柱底面半径r=球的半径R,圆柱的高h=2R,则V 球=43πR 3,V 柱=πr 2h=π·R 2·2R=2πR 3,所以V 柱V 球=2πR 343πR 3=32.S 球=4πR 2,S 柱=2πr 2+2πrh=2πR 2+2πR ·2R=6πR 2.所以S 柱S 球=6πR 24πR 2=32.324.(2020黑龙江齐齐哈尔模拟)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为4 cm,该纸片上的正方形ABCD 的中心为O.E,F,G,H 为圆O 上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH 分别是以AB,BC,CD,DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA 为折痕,折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH,使得E,F,G,H 重合,得到一个四棱锥.当AB=2 cm 时,该四棱锥的表面积为 ;该四棱锥的外接球的表面积为 .OE 交AB 于点I,设E,F,G,H 重合于点P,正方形的边长为2,则OI=1,IE=3,AE=√10,设该四棱锥的外接球的球心为Q,半径为R,则OC=√2,OP=√10-2=2√2,则R 2=(2√2-R)2+(√2)2,解得R=2√2,外接球的表面积S=4π×(2√2)2=252π cm 2,该四棱锥的表面积为4×12×2×3+2×2=16 cm 2.2252π cm 2素养培优练有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.a,三个球的半径依次为R 1,R 2,R 3,则有2R 1=a,R 1=a2,√2a=2R 2,R 2=√22a,√3a=2R 3,R 3=√32a,所以R 1∶R 2∶R 3=1∶√2∶√3.所以S 1∶S 2∶S 3=R 12∶R 22∶R 32=1∶2∶3.即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.。
(常考题)北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(包含答案解析)
一、选择题1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（ ）A ．7B ．7-C ．37D ．37- 3．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π4．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．325B ．522C ．326] D ．6，22] 5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．无论点F 在上1BC 怎么移动，都有11A FB D ⊥B ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且12A E EF = C ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60°D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30°6．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（ ） A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为5 B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D ．直线1AC 与平面BDM 相交7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．148．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π 10．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ）A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则//m nC ．m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．m n ⊥，//n α，则m α⊥ 11．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（ ）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥' 12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．34D ．12二、填空题13．3ABCD 中，对角线3AC =ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________．14．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.15．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_________.16．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．17．一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______.18．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．19．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM 是定值 （2）点M 在某个球面上运动（3）存在某个位置，使1DE A C ⊥（4）存在某个位置，使//MB 平面1A DE20．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题21．如图，ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2CD =.（1）求证：平面ABC ⊥平面ABD ；（2）求二面角A-BC-D 的余弦值.22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,2AB AA ==，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）求异面直线1BD 与1CC 的距离；（2）求直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）求点F 到平面BDE 的距离．23．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）证明：//GH 平面ABCD ；（2）求H 到平面AEC 的距离．24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足112EF CC =.（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值. 25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．（1）求证：1//AB 平面1BC D ；（2）求三棱锥1D BCC -的体积．26．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =，F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积．【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-， 222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2．C解析：C【分析】连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案.【详解】连接11D B 、1D E 、DE ，因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==， 所以2211111122B D D C B C =+=213110B E =+=222415ED CE DC +=+==，所以222115914D E ED D D ==+=+，由余弦定理得， 从而22211111111137cos 24214B D D E B E B D E B D D E +-∠===⨯⨯. 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．B解析：B【分析】 根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =.【详解】设底面圆半径为r ，由母线长4l ，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==， 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ； 如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===，所以222AM AB MB +=, 所以2MAB π∠=, 故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选：B【点睛】 关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2r lπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解.4．A解析：A【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()22+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.5．C解析：C 【分析】A.通过证明线面垂直，证得线线垂直；B.利用相似三角形，求1A EEF的值；C.首先构造直线1A F 与平面1BDC 所成角，再通过数形结合分析最大角，以及最大角的余弦值，判选项；D.将异面直线所成角转化为相交直线所成角，求解判断. 【详解】A.AC BD ⊥，1AC BB ⊥，AC ∴⊥平面1BB D ，1AC B D ∴⊥，11//AC AC ，111B D AC ∴⊥，同理11B D BC ⊥，1111A C BC C ，1B D ∴⊥平面11A BC ，1A F ⊂平面11A BC ，11B D A F ∴⊥，故A 正确；B.连结1A D ，1B C 交1BC 于点F ，11//A B DC ,且11A B DC =，∴四边形11A DCB 是平行四边形，所以11//A D B C ，∴11A DE FB E，得1112A E A DEFB F==，故B 正确；C.1A O ⊥平面1BDC ，1111A B AC A D ==，∴点O1BDC 是等边三角形的中心，11A BC 是等边三角形，111A BC BDC ≅ 当点F 是1BC 的中点时，11A F BC ⊥，此时1A F 是点1A 和1BC 上的点连线的最短距离，设直线1A F 与平面1BDC 所成角为θ，此时11sin A O A F θ=最大，所以此时θ最大，所以111cos 32OF A F θ==<,最大角大于60，故C 不正确；D.11//A B CD ，CD ∴与1A F 所成的角，转化为11B A F ∠的大小，11B A F ∠的最小角是11B A 与平面11A BC 所成的角，即11B A F ∠，此时1111123tan 23FB B A F A B ∠==>，所以11B A F ∠的最小角大于30，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何的综合应用，包含线线，线面角，垂直关系，首先会作图，关键选项是C 和D ，C 选项的关键是1A O ⊥平面1BDC ，点O1BDC 是等边三角形的中心，D 选项的关键是知道先与平面中线所成角中，其中线面角是其中的最小角.6．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】 设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =，22BD =，5DM =C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC ==直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 55d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 10D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7．C解析：C 【分析】根据三视图还原得其几何体为四棱锥，根据题意代入锥体体积公式计算即可. 【详解】解：根据三视图还原得其几何体为四棱锥，图像如下：根据图形可得ABCD 是直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，2,4,2,6AB CD PA AD ==== 所以11246212332P ABCD ABCD V S PA -+=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C 【点睛】 识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； （3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.8．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(022)A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos4224AP x x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，222211111222cos =22AP D P AD x xAP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当2x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.9．C解析：C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=， 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.10．D解析：D 【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】 对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ，m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确； 对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂， 而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．11．C解析：C 【分析】设AH a =，则BH a =，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】 如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos 452AC CD ==，AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥， AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==， 所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角， 在ABE △中，2AB =2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅. 因此，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. 故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．；【分析】分析菱形的特点结合其翻折的程度判断其外接球球心的位置放到相应三角形中利用勾股定理求得半径利用球的体积公式求得外接球的体积【详解】根据题意画出图形根据长为的菱形中对角线所以和都是正三角形又因解析：556π； 【分析】分析菱形的特点，结合其翻折的程度，判断其外接球球心的位置，放到相应三角形中，利用勾股定理求得半径，利用球的体积公式求得外接球的体积. 【详解】根据题意，画出图形，3的菱形ABCD 中，对角线3AC = 所以ABC 和DBC △都是正三角形， 又因为二面角B AC D --的大小为2π， 所以分别从两个正三角形的中心做面的垂线，交于O ， 则O 是棱锥B ACD -外接球的球心，且11,2GD OG GE ===， 所以球的半径2252R GD OG =+=， 所以其体积为3344555(3326V R ππ==⋅=， 故答案为：556π. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关几何体外接球的问题，解题思路如下： （1）根据题中所给的条件，判断菱形的特征，得到两个三角形的形状；（2）根据直二面角，得到两面垂直，近一倍可以确定其外接球的球心所在的位置；（3）利用勾股定理求得半径； （4）利用球的体积公式求得结果；（5）要熟知常见几何体的外接球的半径的求解方法.14．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的解析：163π【分析】求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积. 【详解】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，33x ∴=， 所以，球O 的半径为232x =，则球O 的表面积为22316433S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：163π. 【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解.15．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平解析：36π【分析】证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积． 【详解】∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AFAP AB=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵ACCE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥．设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，3R =，球的体积为343363V ππ=⨯=． 故答案为：36π．【点睛】结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．16．【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角（或其补角）在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案 6 【分析】由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得． 【详解】设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，22OE =，23EF =． 所以6cos OE OEF EF ∠==． 故答案为：6．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 分别计算其棱长可得答案【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内如下图所示所以：BC=所以该三棱锥最长棱的长度为故 解析：3【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，分别计算其棱长，可得答案． 【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内，如下图所示，所以：2AB =，BC =2,22,23BP AC PC AP ====.所以该三棱锥最长棱的长度为23. 故答案为：23．【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．18．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考 3 【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论． 【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AEDE E =，∴BC ⊥平面AED ，ME ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性2BM CM ==112ME BC ==， 又113323323EO DE ==⨯=由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥，∴3cos 3EO MEO ME ∠==． 故答案为：33．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤．19．（1）（2）（4）【分析】首先取中点连结先判断（4）是否正确再根据平行关系以及等角定理和余弦定理判断（1）再判断（2）假设成立根据直线与平面垂直的性质及判定可得矛盾来判断（3）【详解】取中点连结则平解析：（1）（2）（4） 【分析】首先取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，先判断（4）是否正确，再根据平行关系，以及等角定理和余弦定理判断（1），再判断（2），假设1DE A C ⊥成立,根据直线与平面垂直的性质及判定,可得11DA A E ⊥矛盾来判断（3）. 【详解】取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，则1//MQ DA ，//BQ DE ，∴平面//MBQ 平面1A DE ，又MB ⊂平面MBQ ，//MB ∴平面1A DE ，故（4）正确；由1A DE MQB ∠=∠，112MQ A D ==定值，QB DE ==定值， 由余弦定理可得2222cos MB MQ QB MQ QB MQB =+-⋅⋅∠ 所以MB 是定值，故（1）正确；B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，故（2）正确；145A DE ADE ∠=∠=，45CDE ∠=，且设1AD =，2AB =，则2DE CE ==，若存在某个位置,使1DE A C ⊥,则因为222DE CE CD +=,即CE DE ⊥,因为1AC CE C =,则DE ⊥平面1A CE ,所以1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾， 故（3）不正确.故答案为：（1）（2）（4） 【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面位置关系时，首先判断（4）是否正确，其他选项就迎刃而解，而判断线面平行时，可根据面面平行证明线面平行.20．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以 解析：494π【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点O ，连OC ､OD ，即可得到COD ∠是二面角C AB D --的平面角，再由勾股定理逆定理得到222OC OD CD +=，即可得到二面角是直二面角，即可得证； （2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，即可证明BC ⊥平面DOM ，从而得到ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角，再利用锐角三角函数计算可得； 【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连OC ､OD ，因为ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形， 所以OC AB ⊥，⊥OD AB ，所以COD ∠是二面角C AB D --的平面角. 在OCD 中，因为OC =1OD =，2CD =，所以222OC OD CD +=所以90COD ∠=︒. 所以平面ABC ⊥平面ABD .（2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，由（1）可知DO ⊥面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以BC DO ⊥，由OMDO O =，,OM DO ⊂面DOM所以BC ⊥平面DOM因为DM ⊂面DOM ，所以BC ⊥DM ， 则ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角.在Rt OMD 中，1OD =，2OM =，由勾股定理：DM =，∴二面角A-BC-D 的余弦值为cos OM OMD DM ∠==.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．（1）22；（22；（33 【分析】（1）取BD 中点G ，连接GC ，FG ，根据线面垂直的判定定理及性质，先证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线，再由题中数据，计算出EF 的长，即可得出结果；（2）连接1ED ，由（1）得到EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，根据等体积法，由11E DBD D DBE V V --=求出d ，记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，由1sin dBD θ=即可得出结果； （3）由（2）得到1D 到平面BDE 的距离d ，根据题中条件，得到F 到平面BDE 的距离为2d，即可得出结果. 【详解】（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，取BD 中点G ，连接GC ，FG ， ∵F ，G 分别为1,BD BD 的中点，∴1//FG D D 且112FG D D =， 又1//CE D D ，112CE D D =，所以//FG CE 且FG CE =，则四边形EFGC 为平行四边形，又CE ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴CE CG ⊥，。
高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-3 球学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案
7.3 球1．球的截面(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆．(2)球的截面性质 ①球的截面是圆面．②球心和截面圆心的连线垂直于截面．③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 有如下关系：r ＝R 2－d 2. 2．球的切线(1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点． (2)过球外一点的所有切线的长度都相等． 3．球的表面积和体积(1)球的表面积公式S 球面＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)球的体积公式V 球＝43πR 3.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9.( ) (2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)用任意平面截球，所得截面都是圆．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√题型一球的表面积和体积 【典例1】 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是 ( ) A ．12π B．16π C.16π3 D.64π3(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．[思路导引] (1)求球的半径是求球表面积与体积的关键． (2)利用体积相等，求大球半径．[解析] (1)43πR 3＝32π3，故R ＝2，球的表面积为4πR 2＝16π.(2)两个小铁球的体积为2×43π×13＝8π3，即大铁球的体积为43π×R 3＝8π3，所以半径为32.[答案] (1)B (2)32解决球的表面积和体积时注意两点(1)一个关键抓住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方； ②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．[针对训练1] (1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍(2)一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2 C.2π2 D.6π6[解析] (1)球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的22倍．(2)设正方体的边长为a ，球的半径为R ，则6a 2＝4πR 2.则a R ＝6π3，则a 343πR3＝34π·⎝ ⎛⎭⎪⎫6π33＝6π6. [答案] (1)B (2)A 题型二球的截面【典例2】 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积．[思路导引] 用平面去截球体，所得截面是圆面，截面圆心与球心的连线与截面垂直，这就构造了直角三角形．[解] (1)若两截面位于球心的同侧．解法一：如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)． 在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49， 在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.解法二：同解法一，得OC 21＝R 2－49，OC 2＝R 2－400， 两式相减，得OC 21－OC 2＝400－49 ⇔(OC 1＋OC )(OC 1－OC )＝351. 又OC 1－OC ＝9，∴OC 1＋OC ＝39， 解得OC 1＝24，OC ＝15， ∴R 2＝OC 2＋r 2＝152＋202＝625， ∴R ＝25 cm.(以下略)(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2500π(cm2)．设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．[针对训练2] 把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6[解析] 画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.[答案] C题型三与球有关的切和接问题【典例3】 (1)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．[思路导引] (1)长方体的体对角线即是外接球的直径． (2)充分利用轴截面去寻找有关量之间的关系是解决问题的关键．[解析] (1)长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＝6πa 2. (2)如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ，OA ＝OEsin30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ，BD ＝AD ·tan 30°＝3R ，∴V 球＝43πR 3， V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9. [答案] (1)B (2)4∶9(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . [针对训练3] (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为________．[解析] (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123∶43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝1∶3 3.(2)设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32， ∴外接球表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π.[答案] (1)C (2)9π1．如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1[解析] 设两球的半径分别为r,3r ，则表面积之比为4πr 24π(3r )2＝19.[答案] A2．若把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R[解析] 设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R .[答案] D3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍[解析] 设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的体积V 大＝4π3×(3x )3＝36πx 3，另两球的体积之和V 和＝4π3x 3＋4π3×(2x )3＝12πx 3，所以V 大＝3V 和．[答案] C4．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π B.32π3 C.8π3 D.82π3[解析] 作轴截面如图所示，则OO 1＝1.设截面圆的半径为r ，球的半径为R .由已知可得πr 2＝π，所以r ＝1，R＝ 2.故S 球＝4πR 2＝8π.[答案] A课后作业(十六) (时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] 令S 球1＝4πR 2，S 球2＝4πr 2， 由题可知4πR 2－4πr 2＝48π，① 又2πR ＋2πr ＝12π，② ①②得R －r ＝2. [答案] C2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点落在球O 的表面上，已知AB ＝3，AD ＝4，BB 1＝5，那么球O 的表面积为( )A ．25π B．200π C．100π D．50π [解析] 由长方体的体对角线为外接球的直径， 设球半径为r ，则2r ＝9＋16＋25＝52， 则r ＝522，S 表＝4πr 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5222π＝50π.[答案] D3．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．5 [解析] BD ＝5，AC ＝22，CD ＝OD －OC＝R 2－BD 2－R 2－AC 2＝R 2－5－R 2－8＝1. 解得R ＝3. [答案] B4．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图)，则球的半径是( )A. 3 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．4 cm[解析] 设球的半径为r ， 则V 水＝8πr 2，V 球＝4πr 3， 加入小球后，液面高度为6r ，所以πr 2·6r ＝8πr 2＋4πr 3，解得r ＝4.故选D. [答案] D5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A ．π B.3π4 C.π2D ．6π[解析] 如图所示，圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，所以该圆柱底面圆周半径为r ＝22－12＝3，所以该圆柱的体积为V ＝Sh ＝π·(3)2·2＝6π.故选D. [答案] D6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18， ∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.[答案]9π27．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________． [解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π.[答案] 36π8．底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则这个球的表面积为________．[解析] 正四棱锥P －ABCD 外接球的球心在它的高PO 1上，记为O ，OP ＝OA ＝R ，PO 1＝4，OO 1＝4－R ，或OO 1＝R －4(此时O 在PO 1的延长线上)．在Rt △AO 1O 中，R 2＝8＋(R －4)2得R ＝3，所以球的表面积S ＝36π.[答案] 36π9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 10．已知正方体的棱长为a ，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径．[解] (1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图①所示，易得r 内＝a 2. (2)正方体的外接球与正方体的连接点为正方体各个顶点，故应作正方体的对角面，则球的一个大圆为对角面矩形的外接圆，如图②所示，设球半径为R ，则(2R )2＝(2a )2＋a 2⇒R ＝32a . (3)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图③所示，易求得球的半径为22a . 应试能力等级练(时间25分钟)11．若圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比是( )A ．6∶5B ．5∶4C ．4∶3D ．3∶2[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，母线长为2R ，则圆柱的表面积为2πR2＋2πR ×2R ＝6πR 2，球的表面积为4πR 2.所以圆柱的表面积与球的表面积之比是6πR 2∶4πR 2＝3∶2.[答案] D12．球面上有三点A ，B ，C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为( )A ．1200π B．1400π C．1600π D．1800π[解析] ∵AB 2＋BC 2＝182＋242＝302＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且其外接圆的半径为AC 2＝15，即截面圆的半径r ＝15.又球心到截面的距离为d ＝12R (R 为球的半径)，∴R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝152，∴R ＝10 3.∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1200π.[答案] A13．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________．[解析] 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π. [答案] 3π 14．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为________．[解析] 如图所示取PB 的中点O ，∵PA ⊥平面ABC∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ∴BC ⊥P C.∴OA ＝12PB ，OC ＝12PB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，故O 为外接球的球心． 又PA ＝2，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2，PB ＝ 6∴外接球的半径R ＝62. ∴V 球＝43πR 3＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π. [答案] 6π15．在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A －BCD ，求此正三棱锥的体积．[解] ①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15.设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．∵HB ＝HC ＝HD ＝23×32×123＝12， ∴OH ＝OB 2－HB 2＝9，∴正三棱锥A －BCD 的高h ＝9＋15＝24.又S △BCD ＝34×(123)2＝1083， ∴V 三棱锥A －BCD ＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A －BCD 的高h ′＝15－9＝6，S △BCD ＝1083，∴V 三棱锥A －BCD ＝13×1083×6＝216 3. 综上，此正三棱锥的体积为8643或216 3.。
2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7.3球的表面积和体积高效测评北师大版必修2资料
2016-2017学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.3 球的表面积和体积高效测评 北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( ) A.323π B ．8π3C ．82πD ．823π解析： 设球的半径为R ，截面的半径为r . ∴πr 2＝π.∴r ＝1.∴R ＝ 2. ∴V ＝43πR 3＝4π3(2)3＝823π.答案： D2．64个半径都为a4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个半径为a的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )A ．V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙B ．V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙C ．V 甲＝V 乙且S 甲＞S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙解析： 64个半径都为a 4的球，它们的体积之和为V 甲＝64×43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 43＝43πa 3，表面积之和为S 甲＝64×4π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝16πa 2；一个半径为a 的球，其体积为V 乙＝43π a 3，表面积为S乙＝4πa 2.所以V 甲＝V 乙且S 甲＞S 乙，故选C. 答案： C3．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.3π2π B.2π2 C.π2D ．6π6解析： 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则 6a 2＝4πR 2，即a ＝6π3R . ∴V 正＝a 3＝6π6π27R 3，V 球＝43πR 3，∴V 正V 球＝6π6. 答案： D4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对解析： 设球的半径为R .则2R ＝32＋42＋52＝5 2. ∴S 表＝4πR 2＝π(2R )2＝π(52)2＝50π. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析： 由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S ＝π×12＋12×4×π×12＝3π.答案： 3π6．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析： 过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝323，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S＝4πR 2＝24π.答案： 24π三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知高与底面直径之比为2∶1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，求球的体积．解析： 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，球的半径为R ，则h 2r ＝21，∴h ＝4r . ∵V 柱＝500π，∴πr 2h ＝500π， 即πr 2·4r ＝500π，∴r 3＝5004＝125，∴r ＝5.由圆柱内接于球知：R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 2＝r 2＋4r 2＝5r ， 即R ＝55，∴V 球＝43πR 3＝43π(55)3＝2 50053π.即V 球＝2 50053π.∴球的体积为2 50053π.8．如图，一个长、宽、高分别为80 cm,60 cm,55 cm 的水槽中有水200 000 cm 3.现放入一个直径为50 cm 的木球，如果木球的23在水中，13在水上，那么水是否会从水槽中流出？解析： 水槽的容积V ＝80×60×55＝264 000(cm 3)， 木球的体积V 木＝43π×253≈65 417(cm 3)．∵200 000＋65 417×23≈243 611＜V ，∴水不会从水槽中流出． 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在一个球面上，求此球的表面积． 解析： 由题意可知，该四面体是正四面体，则根据正四面体与球的对称性可知球心在四面体的高线上，且球心到各顶点的距离相等，如图所示，在四面体S －ABC 中，高为SD ，O 为外接球的球心，设球的半径为R ，则OS ＝OC ＝R .又四面体所有棱长都为2，所以CD ＝232 2－⎝⎛⎭⎪⎫222＝63， SD ＝2 2－⎝⎛⎭⎪⎫632＝233. 在Rt △ODC 中，OC 2＝OD 2＋CD 2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫233－R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫632， 解得R ＝32，所以S 球＝4πR 2＝3π.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.3 球的表面积和体积课件 北师大版必修2
自主学习·新知突破
前面几节课我们研究了柱体、锥体、台体的表面积与体积，其中圆锥、圆柱、 圆台的表面积和体积都与其形成有关．那么球的表面积与体积与什么有关呢？
[问题 1] 球是怎样形成的？球的大小决定因素是什么？ [问题 2] 半径是 R 的球的体积 V 是多少？ [问题 3] 半径是 R 的球的表面积 S 是多少？
[提示 1] 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫 作球体，决定球的大小的因素是球的半径．
4 [提示 2] 3πR3. [提示 3] 4πR2.
1．了解球的表面积和体积的计算公式． 2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题． 3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．
球的体积公式 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝__43_π_R_3__.
解析： 由已知，得截面圆的半径 r＝1， ∴球的半径 R＝ 2，∴S 球＝4πR2＝8π. 答案： 8π
4．(1)已知球的直径为 2，求它的表面积和体积．
108π (2)已知球的体积为 3 ，求它的表面积．
解析： (1)因为直径为 2，所以半径 R＝1，
所以表面积 S 球＝4πR2＝4π×12＝4π，
44
4
体积 V 球＝3πR3＝3π×13＝3π.
4 108 (2)因为 V 球＝3πR3＝ 3 π， 所以 R3＝27，R＝3，所以 S 球＝4π×32＝36π.
合作探究·课堂互动
球的表面积和体积
32π (1)球的体积是 3 ，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D． 3
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.3 球的表面积和体积训练案 北师大版必修2
1.7.3 球的表面积和体积[A.基础达标]1．用一平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选C.由已知得球的半径为R ＝3，又πr 2＝π，所以r ＝1，所以d ＝R 2－r 2＝ 2. 2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 解析：选D.由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V 球＝43π·(32)3＝9π2，V 长方体＝2×3×3＝18.所以V 总＝92π＋18.3．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是( )A ．12πB ．24πC ．32πD ．48π解析：选D.由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为3×4＝43，即球的半径为23，所以该球的表面积是4π(23)2＝48π.4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A．9πB．10πC．11πD．12π解析：选D.由三视图可知该几何体上面是个球，下面是个圆柱，由已知数据得表面积S ＝S球＋S圆柱＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE 与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为( )A.43π27B.6π2C.6π8D.6π24解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体PCDE，我们容易求得该正四面体外接球半径为64，所以外接球的体积V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫643＝6π8.6．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球的表面积为________．解析：如图所示为过长方体的一条体对角线AB的截面．设长方体中有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知有⎩⎨⎧xy＝3，yz＝5，zx＝15，解得⎩⎨⎧x＝3，y＝1，z＝5，所以球的半径R＝12AB＝12x2＋y2＋z2＝32.所以S球＝4πR2＝9π.答案：9π7．一个圆柱的底面直径和高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、球的体积之比为________．解析：设球的半径为R，则由已知得V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，所以，V 圆柱∶V 球＝2πR 3∶43πR 3＝3∶2. 答案：3∶28．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2 2 等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π. 答案：823π9．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为h cm ，半径为r cm.试管的容量为108π cm 3，半球部分容量为全试管容量的16.(1)求r 和h ；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4 cm 处，求水的体积．解：(1)因为半球部分容量为全试管容量的16，所以半球部分与圆柱体部分容量比为15，即15＝43πr 3×12πr 2×h， 所以h ＝103r ，43πr 3×12＝108π×16，所以r ＝3(cm)，h ＝10(cm)．(2)V ＝43πr 3×12＋πr 2×(h －4)＝43π×33×12＋π×32×6＝72π(cm 3)． 10．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解：设正方体的棱长为a .如图所示．图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.图(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.图(3)中正方体的各个顶点在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.[B.能力提升]1．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π 解析：选A.如图，过正三棱锥P ABC 的顶点P 作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，|PM |＝6，连接AM ，AO ，则|OP |＝|OA |＝R ，在Rt △OAM中，|OM |＝6－R ，又|AB |＝6，且△ABC 为等边三角形，故|AM |＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π.2．三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA ＝AB ＝BC ＝1，则球O 的表面积为( )A.32πB.32π C ．3π D ．12π解析：选C.由题意可知SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，则SC 是球的直径． 因为SA ＝AB ＝BC ＝1，由勾股定理可求得AC ＝2，SC ＝3，所以R ＝32，所以S ＝4π×(32)2＝3π，故选C. 3．若一个底面边长为32，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．解析：如图，O 1O 2＝6，OO 1＝62， AO 1＝32， 所以AO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32， 即R ＝32.所以V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.答案：92π4．三棱锥P ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，△ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为________．解析：如图所示，因为△ABC 所在小圆面积为16π， 所以小圆半径r ＝O ′A ＝4.又球的体积为500π3，所以4πR 33＝500π3，所以球半径R ＝5，所以OO ′＝3.当P 在OO ′上时取得最值，所以三棱锥的高满足2≤PO ′≤8. 答案：85.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)? (2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？解：(1)因为半球的直径是6 cm ，可得半径R ＝3 cm ，所以两个半球的体积之和为V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3)．又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h ＝π×9×2＝18π(cm 3)．所以这种“浮球”的体积是：V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm 3)．(2)根据题意，上、下两个半球的表面积是S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π(cm 2)．又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π(cm 2)，所以1个“浮球”的表面积为S ＝36π＋12π104＝48π104(m 2)． 因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S ＝2 500×48π104＝12π(m 2)．因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶100×12π＝1 200π(克)．6．(选做题)已知四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，边长为a ，PB ＝3a ，PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，且PD 是四棱锥的高．(1)在四棱锥内放入一球，求球的最大半径； (2)求四棱锥外接球的半径．解：(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等．设球的半径为R ，球心为S ，如图，连接SA ，SB ，SC ，SD ，SP .因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S PAB ，S PBC ，S PCD ，S PAD 与四棱锥S ABCD 的高都为R ，且它们恰好组合成四棱锥P ABCD .因为PD 为四棱锥P ABCD 的高，PD ＝AD ＝BC ＝a ，四边形ABCD 为正方形， 又PA ＝PC ＝2a ，PB ＝3a ，所以PB 2＝PA 2＋AB 2＝PC 2＋BC 2，所以△PAB ，△PCB 为直角三角形且全等．所以S △PAB ＝S △PCB ＝12·a ·2a ＝22a 2，S △PDA ＝S △PDC ＝12a 2，S 正方形ABCD ＝a 2，所以V P ABCD ＝13·a 2·a ＝13a 3.V S PAB ＝V S PBC ＝13·22a 2·R ＝26a 2R ，V S PAD ＝V S PDC ＝13·12a 2·R ＝16a 2R ，V S ABCD ＝13·a 2·R ＝13a 2R ， 因为V P ABCD ＝V S PAB ＋V S PBC ＋V S PAD ＋V S PDC ＋V S ABCD ，所以13a 3＝23a 2R ＋13a 2R ＋13a 2R ，即(2＋2)R ＝a ，所以R ＝(1－22)a ，即球的最大半径为(1－22)a . (2)由(1)知△PAB ，△PCB 为直角三角形，若M 为斜边PB 的中点，则MA ＝MB ＝MP ＝MC . 连接BD ，因为PD ＝a ，PB ＝3a ，BD ＝2a ，所以PB 2＝PD 2＋BD 2，即△PDB 为直角三角形，PB 为斜边， 所以MD ＝MB ＝MP ，所以M 为四棱锥P ABCD 外接球的球心，所以外接球半径R ′＝12PB ＝32a .。
高中数学北师大版必修2 1.7 基础练习 《球》(数学北师大必修二)
《球》基础练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1. 半径为2的球体积为()A．83πB．163πC．323πD．643π2.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π（第2题）（第5题）3.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 4．若球的体积与表面积相等，则球的半径是 ( )A．1 B．2 C．3 D．45. 某几何的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π6. 已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．20 2B ．25 2C ．50πD ．200π二、填空题7. 若球的表面积为16π，则此球的体积为 ．8. 将一个气球的半径扩大１倍，它的体积扩大到原来的 倍．9. 若一个球内切于棱长为2的正方体内，则该球的表面积为 ；体积为 ．10. 若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________．11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．12. 已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________．13. 已知球的直径SC =4，A 、B 是该球球面上的两点，AB =3，︒=∠=∠30B SC ASC ，则棱锥S-ABC 的体积为________．三、简答题14．在球内有相距9cm 的两个平行截面，截面面积分别为π492cm 和π4002cm ，求球的表面积.。
北师大版必修2练习1.7.3 球的表面积和体积 Word版含解析
．球的表面积和体积时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题(每小题分，共×＝分)．已知一个正方体的体积是，则这个正方体的内切球的表面积是( )．π．π．π．π答案：解析：设该正方体的棱长为，内切球的半径为，则＝，∴＝，∴正方体的内切球直径为，＝，∴内切球的表面积＝π＝π.．已知两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为( )．．．．答案：解析：设两球的半径分别为，，表面积分别为，，∵∶＝∶，∴∶＝π∶π＝∶＝∶.故选.．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )．正方体＝圆柱＝球．正方体<圆柱<球．正方体>圆柱>球．圆柱>正方体>球答案：解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为，，，则正方体＝，球＝π，圆柱＝π，由题意，知正方体＝球＝圆柱，所以＝，＝，所以正方体＝＝π，球＝π＝π，圆柱＝π，显然可知正方体<圆柱<球．．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )ππππ答案：解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为的正三角形，侧棱长是，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为，则＝＝，所以该球的表面积为π＝π.．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( )．：．：．：．：答案：解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为，则圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，于是圆柱的全面积为＝π＋π·＝π，球的表面积为＝π.∵＝＝.．球的截面把垂直于截面的直径分成两部分，若截面圆半径为，则球的体积为()．π．π答案：解析：设直径被分成的两部分分别为、，易知()＝·，得＝，则球的半径＝，故＝π·＝π.二、填空题(每小题分，共×＝分)．已知球的某截面圆的面积为π，球心到该截面的距离为，则球的表面积为．答案：π解析：因为截面圆的面积为π，所以截面圆的半径为.又球心到截面的距离为，所以球的半径为，所以球的表面积为π.．把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为.答案：解析：设大铁球的半径为，由π＝π×＋π×＋π×，得＝，得＝.．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球的表面积为．答案：π解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为、、，则由已知得(\\(＝()，＝()，＝()，))解得(\\(＝()，＝，＝()))所以球的半径＝＝.所以球＝π＝π.三、解答题(共分，＋＋)．如图所示，扇形所含中心角为°，弦将扇形分成两部分，这两部分各以为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积和之比．解：△旋转成圆锥，扇形旋转成半球，设＝半球＝π，锥＝··＝，∴(半球－锥)锥＝.．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为的圆形蛋皮等分成个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．解：设圆锥的底面半径为，高为.∵π＝π·，∴＝.＝＝.∴该蛋筒冰淇淋的表面积＝＋π·＝π()．体积＝π·×＋π·＝(＋)π()．．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是，如图所示，俯视图是一个边长为的正方形．()求该几何体的表面积；()求该几何体的外接球的体积．。
高中数学 172～3球的表面积和体积活页训练 北师大版必修2
1-7-2～3球的表面积和体积双基达标限时20分钟1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )． A ．8∶27 B ．2∶3 C ．4∶9 D ．2∶9解析 设这两个球的半径分别是r ，R，则4π3r 34π3R 3＝827，所以r R ＝23，则这两个球的表面积之比为4πr 24πR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 2＝49. 答案 C2．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是( )． A ．955π B．955 C ．355π D．355解析 如图所示，设底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝6π，∴r ＝3.∴h ＝64－r 2＝55∴V ＝13π·r 2·h ＝355π.答案 C3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233 D ．4π＋233解析 由三视图可知，该空间几何体是一个组合体，其中，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱，上半部分是一个底面边长为2，高为3的正四棱锥．如图．所以，所求几何体的体积V ＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋233.故选C答案 C4．球的内接正方体的表面积与球的表面积之比是________． 解析 设正方体棱长为a ，则S 正＝6a 2，S 球＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3a 2π. 答案 2∶π5．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________． 解析 ∵矩形的边长为6π和4π， ∴分类讨论可知圆柱底面圆的半径为2或3， ∴圆柱的体积为36π2或24π2. 答案 36π2或24π26．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的体积．解 由三视图知，三棱柱的高为2 mm ，由左视图知，正三棱柱的底面三角形的高为2 3 mm.设底面边长为a mm. 则32a ＝23，∴a ＝4 mm.∴此正三棱柱的体积 V ＝Sh ＝12×4×23×2＝8 3 (mm 3)．综合提高限时25分钟7．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为( )．A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶5解析 设棱台的高为h ，上底面积为S ，则下底面积为4S ， ∴V 台＝13h (S ＋S ·4S ＋4S )＝73Sh .答案 C8．正六棱锥P ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D GAC 与三棱锥P GAC 体积之比为( )．A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2 解析 如图，设棱锥的高为h ，V D GAC ＝V G DAC ＝13S △ADC ·12h ， V P GAC ＝12V P ABC ＝V G ABC＝13S △ABC ·h2. 又S △ADC ∶S △ABC ＝2∶1， 故V D GAC ∶V P GAC ＝2∶1. 答案 C9．已知在多面体ABC DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，AC ＝EF ＝1，则这个多面体的体积为________．解析 法一 将所求多面体补成一个正方体，而所求多面体的体积是正方体体积的一半．V ABC DEFG ＝12V 正方体＝12×2×2×2＝4.法二 连结BD 、BG ，则V ABC DEFG ＝V B ADGC ＋V B EFGD＝13S ADGC ·AB ＋13S EFGD ·BE ＝13×(1＋2)×2×12×2＋13×(1＋2)×2×12×2＝2＋2＝4.答案 410．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析 圆柱的体积公式为V圆柱＝πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍． 答案 4 1611．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．解 正三棱锥S ABC 如右图所示，设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ， 则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC . ∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝33， ∴AH ＝23AE ＝2 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝3， ∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.12．(创新拓展)一个圆台的母线所在直线与轴线所在直线的夹角为30°，两底面半径的比为1∶2，其侧面展开图是半圆环，面积为54π，求这个圆台的体积以及截得这个圆台的圆锥的体积．解 如图所示，ABCD 是圆台的轴截面图，圆台的侧面展开图是半圆环，AD ，BC 为上、下底面圆的直径，∠DCB ＝60°，根据题意可设r ＝AD 2＝x ，R ＝BC2＝2x ，因为∠DCB ＝60°，故圆台的高h ＝x ·tan 60°＝3x . 母线l ＝CD ＝xcos 60°＝2x ， 又有πOC 22－πOD 22＝54π，而OD OC ＝12，OC ＝2OD ，又CO －OD ＝2x ，所以OD ＝2x ，OC ＝4x .所以54π＝π2(OC ＋OD )(OC －OD )．所以54π＝π(2x ＋x )·2x ， 所以x ＝3(负根舍去)． 于是r ＝3，R ＝6，h ＝3 3.把它们代入圆台的体积公式V ＝πh 3(r 2＋rR ＋R 2)，得V ＝633π.设截得圆台的圆锥的高为h ′，则h ′＝R ·tan 60°＝6 3. 把R ＝6及h ′＝63代入圆锥的体积公式得 V ＝πR 2h ′3＝723π.。
(北师大版)高中数学必修2检测1.7.3球的表面积和体积 Word版含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．用与球心距离为的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( )π．．π．π解析：设球的半径为，截面的半径为.∴π＝π.∴＝.∴＝.∴＝π＝()＝π.答案：．个半径都为的球，记它们的体积之和为甲，表面积之和为甲；一个半径为的球，记其体积为乙，表面积为乙，则( )．甲＞乙且甲＞乙．甲＜乙且甲＜乙．甲＝乙且甲＞乙．甲＝乙且甲＝乙解析：个半径都为的球，它们的体积之和为甲＝×π·＝π，表面积之和为甲＝×π＝π；一个半径为的球，其体积为乙＝π ，表面积为乙＝π.所以甲＝乙且甲＞乙，故选.答案：．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )．解析：设正方体的棱长为，球的半径为，则＝π，即＝.∴正＝＝，球＝π，∴＝.答案：．长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．π．π．都不对．π解析：设球的半径为.则＝＝.∴表＝π＝π()＝π()＝π.答案：二、填空题(每小题分，共分)．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为，＝π×＋××π×＝π.答案：π．已知正四棱锥－的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为．解析：过作底面的垂线段，则为正方形的中心．由题意可知×()×＝，所以＝，故球的半径＝＝＝，则球的表面积＝π＝π.答案：π三、解答题(每小题分，共分)．已知高与底面直径之比为∶的圆柱内接于球，且圆柱的体积为π，求球的体积．解析：设圆柱的底面半径为，高为，球的半径为，则＝，∴＝.∵柱＝π，∴π＝π，即π·＝π，∴＝＝，∴＝.由圆柱内接于球知：＝＝＝，即＝，∴球＝π＝π()＝())π.即球＝())π.∴球的体积为())π.．如图，一个长、宽、高分别为的水槽中有水 .现放入一个直径为的木球，如果木球的在水中，在水上，那么水是否会从水槽中流出？解析：水槽的容积＝××＝()，木球的体积木＝π×≈ ()．∵＋×≈＜，∴水不会从水槽中流出．☆☆☆．(分)一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在一个球面上，求此球的表面积．。
高中数学第一章立体几何初步1.7.3球的表面积和体积练习北师大版必修2
7．3 球的表面积和体积时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 答案：C解析：设该正方体的棱长为a ，内切球的半径为r ，则a 3＝8，∴a ＝2，∴正方体的内切球直径为2，r ＝1，∴内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.2．已知两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．．．．答案：A解析：设两球的半径分别为r 1，r 2，表面积分别为S 1，S 2，∵r 1∶r 2＝1∶3，∴S 1∶S 2＝4πr 21∶4πr 22＝r 21∶r 22＝1∶9.故选A.3．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )A ．V 正方体＝V 圆柱＝V 球B ．V 正方体<V 圆柱<V 球C ．V 正方体>V 圆柱>V 球D ．V 圆柱>V 正方体>V 球 答案：B解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a ，R ，r ，则S 正方体＝6a 2，S 球＝4πR 2，S 圆柱＝6πr 2，由题意，知S 正方体＝S 球＝S 圆柱，所以a ＝πr ，R ＝32r ，所以V 正方体＝a 3＝ππr 3，V 球＝43πR 3＝6πr 3，V 圆柱＝2πr 3，显然可知V 正方体<V 圆柱<V 球．4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.499π B.73π C.283π D.289π 答案：C解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为r ，则r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32＋12＝73，所以该球的表面积为4πr 2＝283π.5．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( ) A ．1：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．4：3 答案：C解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为r ，则圆柱的底面圆半径为r ，圆柱的高为2r ，于是圆柱的全面积为S 1＝2πr 2＋2πr ·2r ＝6πr 2，球的表面积为S 2＝4πr 2.∵S 1S 2＝6πr 24πr 2＝32. 6．球O 的截面把垂直于截面的直径分成两部分，若截面圆半径为3，则球O 的体积为( )A ．16π B.16π3C.32π3 D ．4 3π答案：C解析：设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知(3)2＝r ·3r ，得r ＝1，则球O 的半径R ＝2，故V ＝43π·R 3＝323π.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．答案：100π解析：因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.8．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案：6解析：设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.9．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为__________．答案：9π解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x 、y 、z ，则由已知得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝5所以球的半径R ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32.所以S 球＝4πR2＝9π.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB 将扇形分成两部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V 2之比．解：△ABO 旋转成圆锥，扇形ABO 旋转成半球，设OB ＝R .V 半球＝23πR 3，V 锥＝π3·R ·R2＝π3R 3， ∴(V 半球－V锥V 锥＝ 11．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10 cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．解：设圆锥的底面半径为r ，高为h .∵2πr ＝25π·10，∴r ＝2.h ＝102－22＝4 6.∴该蛋筒冰淇淋的表面积S ＝π·1025＋2π·22＝28π(cm 2)．体积V ＝1 3π·22×4 6＋23π·23＝163(6＋1)π(cm 3)．12．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2， 因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，则外接球的半径r ＝1242＋42＋22＝3，因此外接球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π，所以该几何体的外接球的体积是36π.。
北师大版必修2高中数学1.7.3球的表面积和体积课后训练
【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 1.7.3 球的表面积和体积课后训练北师大版必修21．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的表面积为()．A．π B．2π C．4π D．8π2．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()．A．R B．2R C．3R D．4R3．如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝14A1B1，则四棱锥P－BCC1B1的体积为()．A．83B．163C．4 D．164．长方体一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()．A．202π B．252π C．50π D．200π5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()．A．3523cm3B．144 cm3C．2243cm3D．1603cm36．一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，那么其体积为__________．7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m3.8．一个正方体的顶点都在球面上．若这个球的体积是32，则正方体的棱长是__________．9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，(1)求圆台的体积；(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．10．如图，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)参考答案1答案：D 解析：所得截面圆的半径为r ＝1，因此球的半径22112R =+=，球的表面积为24(2)=8ππ⋅. 2答案：D 解析：设圆柱的高为h ，则23433R h R ππ=⋅，∴h ＝4R .3答案：B 解析：四棱锥P －BCC 1B 1的底面是正方体的侧面，高PB 1＝14A 1B 1＝1，则V P －BCC 1B 1＝13×42×1＝163. 4答案：C 解析：设球的半径为R ，则2222345=52R =++.∴S 球＝4πR 2＝π·(2R )2＝50π.5答案：B 解析：该几何体是一个组合体，上面是一个正四棱柱，其底面是边长为4的正方形，且高为2，下面是一个正四棱台，其高为3，下底面是边长为8的正方形，所以V ＝4×4×2＋13×3×(64＋16＋6416⨯)＝144(cm 3)． 6答案：6 解析：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则不妨令ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，于是(abc )2＝236⨯⨯＝6，因此V ＝abc ＝6.7答案：6＋π 解析：由几何体的三视图可知，原几何体是一个长方体和一个圆锥的组合体．下面的长方体的长、宽、高分别是3 m ，2 m,1 m ，∴体积为3×2×1＝6(m 3)．上面的圆锥底面圆半径为1 m ，高为3 m ，∴圆锥的体积为13π×12×3＝π(m 3)．∴该几何体的体积为(6＋π) m 3. 8答案：1 解析：设球的半径为r ，则34332r ππ=，所以3338r =，32r =，球的直径为3，设正方体的棱长为a ，因为正方体内接于球，故3a 2＝(3)2，所以a ＝1. 9答案：解：(1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD ，由上、下底面面积分别为4π cm 2，25π cm 2得，上底半径O 1A =2 cm ，下底半径OB =5 cm ，又∵腰长为12 cm ，∴圆台的高AM =2212(52)--=315 (cm)，∴圆台的体积V 台=13(S 上+S S ⋅下上+S 下)h =13(4π+425ππ⋅＋25π)·315＝39153)． (2)设截得此圆台的圆锥母线长为l cm ，则由△SAO 1∽△SBO 得1225l l -=，∴l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥母线长为20 cm.10答案：解：如图，设水面的半径为r 分米，则EH =(r －2)分米，BG =2分米，在△ABG 中，∵EH ∥BG ，∴AH EH AG BG=. ∵AH =2分米，∴2252r -=. ∴r =145(分米)． ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为2211414876=344=35525V ππ⎡⎤⎛⎫⋅+⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦水 (分米3)． ∴所用的时间为87629225=325ππ≈36.69(秒)． ∴所用的时间约为36.69秒．。
高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积课后课时精练北师大版必修2
7.3 球的表面积和体积时间：25分钟1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( ) A.323π B.8π3 C ．82π D.823π 答案 D解析 所得截面圆的半径为r ＝1，因此球的半径R ＝12＋12＝2，球的体积为43πR3＝823π.2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶2∶ 3 C ．1∶22∶3 3D ．1∶4∶7答案 C解析 三个球的表面积之比是1∶2∶3，即r 21∶r 22∶r 23＝1∶2∶3.∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，∴V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶3 3.3．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B．43π C．46π D．63π 答案 B解析 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝22＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π. 4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2答案 B解析 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连成中点处，在直角三角形中可得R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝7a 12，∴S ＝4πR 2＝4π×7a 212＝7π3a 2.5．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如右图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析 由题中的三视图可知，该几何体由一个半圆柱与一个半球拼接而成，其表面积为2r ×2r ＋2πr 2＋2πr 2＋πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.6．若一个球和一个正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( ) A ．S 球>S 正方体 B ．S 球＝S 正方体 C ．S 球<S 正方体 D ．不能确定 答案 C解析 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，由体积相等可得43πR 3＝a 3，则有R ＝334πa .所以S 球＝4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎪⎫ 334πa 2＝4πa 2·3324π2＝336πa 2.而S正方体＝6a 2.因为336π<6，所以S 球<S 正方体．7．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．答案 24π解析 过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S＝4πR 2＝24π.8．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是___cm.答案 4解析 设球的半径为r cm ，则有8πr 2＋3×43πr 3＝πr 2×6r ，由此解得r ＝4.9．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．答案 100π解析 因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.10．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．解 由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．(1)该几何体的表面积为S ＝2πR 2＋6×2×2－π×R 2＝π＋24(m 2)．(2)该几何体的体积为V ＝12×43πR 3＋23＝23π＋8(m 3)．。
【新】高中数学第一章立体几何初步1.7.3球的表面积和体积课时作业北师大版必修2
1.7.3 球的表面积和体积[学业水平训练]1.半径为r 的球的表面积为16π，则r ＝( )A ．2 B.14C ．4 D.14π解析：选A.由4πr 2＝16π，得r 2＝4，∴r ＝2.2.用一平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选C.由已知得球的半径为R ＝3，又πr 2＝π，∴r ＝1，∴d ＝R 2－r 2＝ 2. 3.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π 解析：选B.设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝（2）2＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π.4.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm ，则球的表面积是( )A ．8π cm 2B ．12π cm 2C ．16π cm 2D ．20π cm 2解析：选B.设球的半径为R ，正方体的体对角线为l ，则R ＝l 2＝22＋22＋222＝3，所以S 球＝4πR 2＝12π cm 2.5.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解析：选D.由三视图可知该几何体上面是个球，下面是个圆柱，由已知数据得表面积S＝S 球＋S 圆柱＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.6.圆半径扩大n 倍，其面积扩大________倍；球半径扩大n 倍，其表面积扩大________倍，体积扩大________倍．解析：由圆的面积公式S ＝πr 2，球的表面积公式S ＝4πR 2，球的体积公式V ＝43πR 3，可知，圆半径扩大n 倍，其面积扩大n 2倍，球的半径扩大n 倍，其表面积扩大n 2倍，体积扩大n 3倍．答案：n 2 n 2 n 37.一个圆柱的底面直径和高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、球的体积之比为________．解析：设球的半径为R ， 则由已知得V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，所以，V 圆柱∶V 球＝2πR 3∶43πR 3＝3∶2. 答案：3∶28.已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2 2 等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π. 答案：823π9.过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．解：如图，设截面圆的圆心为O 1，则OO 1⊥O 1A ，O 1A 为截面圆的半径，OA 为球的半径．∵48π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝48. 在Rt △AO 1O 中， OA 2＝O 1O 2＋O 1A 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＋48，∴R ＝8 cm ，∴S 球＝4πR 2＝4π×64＝256π cm 2，∴V 球＝43πR 3＝2 0483π cm 3.10.一个长、宽、高分别是80 cm 、60 cm 、55 cm 的水槽中有水200 000 cm 3，现放入一个直径为50 cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出(π取3.14)?解：V 球＝43πR 3＝43×3.14×253≈65 417(cm 3)，水中球的体积为V 1＝V 球×23≈43 611(cm 3)，V 长方体＝80×60×55＝264 000(cm 3)，∴V 长方体－200 000＝264 000－200 000 ＝64 000>43 611.故水槽中的水不会流出．[高考水平训练]1.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P DCE 的外接球的体积为( )A.43π27B.6π2C.6π8 D.6π24 解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体P CDE ，我们容易求得该正四面体外接球半径为64，∴外接球的体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫643＝6π8.2.若一个底面边长为32，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．解析：如图，OO 1＝62，AO 1＝32， ∴AO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32， 即R ＝32.∴V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.答案：92π3.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？解：(1)因为半球的直径是6 cm ，可得半径R ＝3 cm ，所以两个半球的体积之和为V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3)．又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h ＝π×9×2＝18π(cm 3)．所以这种“浮球”的体积是：V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm 3)．(2)根据题意，上、下两个半球的表面积是S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π(cm 2)．又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π(cm 2)，所以1个“浮球”的表面积为S ＝36π＋12π104＝48π104(m 2)． 因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S ＝2 500×48π104＝12π(m 2)．因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶100×12π＝1 200π(克)．4．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，所以R ＝334πa ，r ＝312πa ， 所以S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝ ⎛⎭⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， 所以S 2<S 3.又6a 2>332πa 2＝354πa 2， 即S 1>S 3.所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2<S 3<S 1.。
2020学年高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积学案北师大版必修2(最新整理)
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7。
3 球的表面积和体积［学习目标］1。
了解球的截面． 2.掌握球的表面积和体积公式．3。
会运用这些公式进行简单的有关计算.【主干自填】1．球的表面积公式：S球面＝错误!4πR2（R为球的半径)．2．球的体积公式：V球＝错误!错误!πR3(R为球的半径）．【即时小测】1．思考下列问题（1)用一个平面去截球体,截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象,用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d。
在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2,即R2＝r2＋d2.（2)球的半径为R，它的体积公式为________，它的表面积公式________，观察这两个公式，想想它们都有什么特点？提示：V＝43πR3S＝4πR2这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确定．其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数，并且表面积为半径为R的圆面积的4倍．2．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大( ）A．2倍 B。
2倍 C．2错误!倍 D．3错误!倍提示：C 球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(错误!)3＝2错误!倍．3．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ）A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1提示：A 设两球的半径为R1，R2,∵R1∶R2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为S1∶S2＝4πR错误!∶4πR错误!＝R错误!∶R错误!＝1∶9.例1 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4,求球面面积与球的体积．［解]如图所示，设球心为O，截面圆圆心O1，球半径为R，连接OO1，则OO1是球心到截面的距离．由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点,由于AC＝BC，则O1在CM上．设O1M＝x,易知O1M⊥AB,则O1A＝错误!，O 1C＝CM－O1M＝错误!－x.又O1A＝O1C，∴22＋x2＝错误!－x。
北师版高中数学必修第二册课后习题 第6章 立体几何初步 6.3 球的表面积和体积
第六章6.3 球的表面积和体积A级必备知识基础练, 1.如图,该球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,若球O的体积为4π3则圆柱O1O2的表面积为( )A.4πB.5πC.6πD.7π2.[浙江杭州高一期中]直径为6 cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2 cm的小球,如果不计损耗,可铸成这样的小球的个数为( )A.3B.6C.9D.273.若长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O 的表面积为.4.已知三个球的半径分别为R1,R2,R3,且满足R1+2R2=3R3,则它们相应的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是,它们相应的体积V1,V2,V3满足的等量关系是.B级关键能力提升练5.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为( ) A.2+4√2 cm 2 B.8+16√2 cm 2 C.4+8√2 cm 2 D.16+32√2 cm 26.已知一个几何体的三视图如图,则其外接球的体积为( )A.18πB.27πC.36πD.45π7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.意思是:球的体积V 乘16,除以9,再开立方,即为球的直径d,由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为( ) A.S=278d 2B.S=272d 2C.S=92d 2D.S=1114d 2C 级学科素养创新练8.已知一个表面积为120的正方体的四个顶点在半球的球面上,四个顶点在半球的底面上,求半球的表面积.参考答案6.3 球的表面积和体积1.C 由球O 的体积V=43πr 3=4π3,可得球的半径r=1,所以底面圆的半径为1,圆柱的高为2r=2,所以圆柱O 1O 2的表面积为2πr 2+2πr·2r=6πr 2=6π. 2.D 小球的体积为4π3×13,大球的体积为4π3×33,所以可铸成这样的小球的个数为4π3×334π3×13=27.故选D.3.14π 球的直径是长方体的体对角线,所以2R=√32+22+12=√14,所以球O 的表面积为S=4πR 2=14π.4.√S 1+2√S 2=3√S 3 √V 13+2√V 23=3√V 33因为S 1=4πR 12,所以R 1=√S 14π=√S 12√π,同理可得R 2=√S 22√π,R 3=√S 32√π.由R 1+2R 2=3R 3,得√S 1+2√S 2=3√S 3.由V 1=43πR 13,得R 1=√3V 14π3=√33√V 13√4π3.同理可得R 2=√3V 24π3=√33√V 23√4π3,R 3=√3V 34π3=√33√V 33√4π3.由R 1+2R 2=3R 3,得√V 13+2√V 23=3√V 33.5.B 设正四棱柱的高为h,则由题意及球的性质可得,√22+22+h 2=2R=4,所以h=2√2(cm),所以该棱柱的表面积为2×22+4×2×2√2=8+16√2(cm 2),故选B. 6.C 根据三视图还原原几何体,如图所示.由图可知,该几何体为三棱锥A-BCD,且AB ⊥平面BCD,将三棱锥A-BCD 补成长方体AEFG-BCDH,所以,三棱锥A-BCD 的外接球直径为2R=√42+22+42=6,故R=3,因此,该几何体的外接球的体积为V=43πR 3=36π.7.A 因为√16V 93=d,所以V=9d 316=4π3d 23,所以π=278,所以S=4πd 22=4×278×d 24=278d 2.故选A.8.解如图所示为过正方体对角面的截面图.设正方体的棱长为a,半球的半径为R, 由6a 2=120,得a 2=20, 在Rt △AOB 中,AB=a,OB=√22a, 由勾股定理,得R 2=a2+(√2a 2)2=3a 22=30.所以半球的表面积为S=2πR 2+πR 2=3πR 2=3×30π=90π.。
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7．3 球的表面积和体积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 答案：C
解析：设该正方体的棱长为a ，内切球的半径为r ，则a 3
＝8，∴a ＝2，∴正方体的内切
球直径为2，r ＝1，∴内切球的表面积S ＝4πr 2
＝4π.
2．已知两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．．．．
答案：A
解析：设两球的半径分别为r 1，r 2，表面积分别为S 1，S 2，∵r 1∶r 2＝1∶3，∴S 1∶S 2＝4πr 21∶4πr 22＝r 21∶r 2
2＝1∶9.故选A.
3．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )
A ．V 正方体＝V 圆柱＝V 球
B ．V 正方体<V 圆柱<V 球
C ．V 正方体>V 圆柱>V 球
D ．V 圆柱>V 正方体>V 球 答案：B
解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a ，R ，r ，则S 正方体＝6a 2
，
S 球＝4πR 2，S 圆柱＝6πr 2，由题意，知S 正方体＝S 球＝S 圆柱，所以a ＝πr ，R ＝3
2
r ，所以
V 正方体＝a 3＝ππr 3，V 球＝4
3
πR 3＝6πr 3，V 圆柱＝2πr 3，显然可知V 正方体<V 圆柱<V 球．
4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.
499π B.73π C.283π D.289π 答案：C
解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其
外接球的半径为r ，则r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×32＋12＝73，所以该球的表面积为4πr 2＝283π.
5．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( ) A ．1：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．4：3 答案：C
解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为r ，则圆柱的底面圆半径为r ，圆柱
的高为2r ，于是圆柱的全面积为S 1＝2πr 2＋2πr ·2r ＝6πr 2，球的表面积为S 2＝4πr 2
.
∵S 1S 2＝6πr 2
4πr 2＝32
. 6．球O 的截面把垂直于截面的直径分成两部分，若截面圆半径为3，则球O 的体积为( )
A ．16π B.16π
3
C.32π3 D ．4 3π
答案：C
解析：设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知(3)2
＝r ·3r ，得r ＝1，则球O 的
半径R ＝2，故V ＝43π·R 3
＝323
π.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．
答案：100π
解析：因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.
8．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.
答案：6
解析：设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1023，得R 3
＝
216，得R ＝6.
9．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为__________．
答案：9π
解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x 、y 、z ，则由已知得
⎩⎨⎧
xy ＝3，yz ＝5，zx ＝
15，
解得⎩⎨⎧
x ＝3，y ＝1，
z ＝5
所以球的半径R ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32
.所以S 球＝4πR
2
＝9π.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB 将扇形分成两部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积V
1和V 2之比．
解：△ABO 旋转成圆锥，扇形ABO 旋转成半球，设OB ＝R .V 半球＝23πR 3，V 锥＝π3·R ·R
2
＝π3
R 3
， ∴(V 半球－V
锥V 锥＝ 11．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10 cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(
蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．
解：设圆锥的底面半径为r ，高为h .
∵2πr ＝2
5
π·10，∴r ＝2.
h ＝102－22＝4 6.
∴该蛋筒冰淇淋的表面积S ＝π·102
5
＋2π·22＝28π(cm 2
)．
体积V ＝1 3π·22×4 6＋23π·23＝163
(6＋1)π(cm 3
)．
12．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2
，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的外接球的体积．
解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2， 因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.
(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，
则外接球的半径r ＝12
42＋42＋22
＝3，
因此外接球的体积V ＝43πr 3＝4
3
×27π＝36π，
所以该几何体的外接球的体积是36π.。