巧用权方和不等式求最值
巧构权方和不等式,妙解数学竞赛题
ｖ
—
—
—
１ 一１
１ 一１
‘
舾
‘
１ 一１
＋
ｂ麦 最 值 （［中 例ｌ ＋的 小 ． １ 的 ｏ 文］ ）
解 ／ ＲＡＡ ＢＣ 的 面积 为 Ｓ， ａ １ ２ ３ 则 ｄ＋ ＋
≤
：
亘 匝
（ ＋１ ＋１ 一 １ ＋１ ）
：４ ，
匝
￣４ ａ ＋ｃ ｄ ＋４ ｒ（ ＋ｂ ＋ ） －
）
题 已 ； （号 ’ ＋ ）知 ３ ｏ ） Ｅ， 且
１证 ， 求
… 高 ≤， 、 ． １ ｌ ］ ｍ ＼
＋ 詈． 文Ｉ］ （ － 中的例 １ １ ）
证明 注意到 ｓ ２ ＋ＣＳ ＝１ｓ ２ ＋ＣＳ ＝ ｉ 口 Ｏ ａ ，ｎｆ Ｏ ￣ ｎ ２ ｉｌ ２
证明
＋
［ ］ ３ ３例 ）
证 明
例６ （ ２ 第 ２届 Ｉ 试 题 ）设 Ｐ 为 三 角 形 ＭＯ
Ａ Ｃ内任一点 ， Ｂ Ｐ Ｎ￣Ｎ Ｂ Ｃ Ａ 的距离依次 Ｃ， Ａ， Ｂ
十
１ 一１
￣ ／
：
＋ｖ ｑｂ＋ｌ ／丽 ＋￣
／ ｑ－ ＋ １＋ ｖ４ｂ ＋ ＋ ａ １衄
—
为 ｌｄ ， ３记 Ｂ ， ２ ， Ｃ＝口 Ｃ ， Ａ＝ｂ Ａ ， Ｂ＝ｃ求 “：导 ，
上述两个不等式 中的等号均 当且仅 当旦 ＝ｘ ２
ｌ
￣－
２
事半功倍 的效果． 权方和不等式 设 Ｘ ， ２ ・ ， ＥＲ ， ｌＹ ， １ｚ ， 一 Ｙ ，２
…
＝
…
＝
／ 时取 得 ． ￣ ／ ／
其 中每个分式中 ， 分子、 分母均为正数且始终保
2不等式证明2-权方和不等式+(学生版)
§3不等式的证明2—权方和不等式二元结构是：111)()(,0,,,---++≥+>n n n n n n b a y x b y a x b a y x by =时取到，这里注意只需0>n . 本节还会用到的等式或不等式有：1.bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++.2.3223333)(b ab b a a b a +++=+.3.R c b a ∈,,，.222ca bc ab c b a ++≥++证明：bc c b ac c a ab b a 2,2,2222222≥+≥+≥+三式相加，化简可得bc ab ac c b a ++≥++222，当且仅当c b a ==时取等号.二、例题讲解直接利用权方和不等式证明、求解.例1.（199I0年日本 IMO 选拔赛试题）已知0,,>c b a ， 1=++c b a ，求证：.36941≥++cb a例1.【解析】()363213219412322=++++≥++=++c b a c b a c b a .例2.设y x ,是正实数且满足,1=+y x 求2281y x +最小值.例2.【解析】()().2721218123232322=++≥+=+y x y x y x 当,21y x =即32,31==y x 时等式成立.例3.y x ,为正实数，且1=+y x ，则1222+++y y x x 的最小值是 .例3.【解析】()411212222=++++≥+++y x y x y y x x . 例4.若0,>b a ，122=+b a ，求b a 81+的最小值.例4.【解析】55)41()(4)(18122232122321223=++≥+=+b a b a b a ，当且仅当2241b a =即552,55==b a 时取等号.将整式转化为分式进行证明、求解.例5.（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛试题）已知0,,>c b a ， 1=++c b a ，求证：31222≥++c b a .例5.【解析】31111)(1112222222=++++≥++=++c b a c b a c b a ，当且仅当c b a ==，等号成立.将分式的分子、分母进行变形后进行求证、求解.例6.已知0,,>c b a ，求证：23≥+++++a c b c b a b a c .例6.【解析】 ()ca bc ab ca bc ab c b a ca bc ab c b a ab bc b ac ab a bc ac c a c b c b a b a c 222222222)()()(2222121212+++++++=++++≥+++++=+++++由bc c b ac c a ab b a 2,2,2222222≥+≥+≥+三式相加，可得bc ab ac c b a ++≥++222，因此cabc ab ca bc ab c b a 222222222+++++++23≥，当c b a ==，等号成立. 例7.已知+∈R c b a ,,且1=++c b a ，求证：43111≥+++++a c c b b a .bcac ab bc ac ab c b a c b a a c c c b b b a a a c c b +++=+++++++≥+++++=++++11)()1()1()1(112222.又因为12221)(12222=+++++⇒=++⇒=++bc ac ab c b a c b a c b a ，由bc c b ac c a ab b a 2,2,2222222≥+≥+≥+三式相加，可得bc ab ac c b a ++≥++222，因此则有31)(32221222≤++⇒++≥+++++=ac bc ab ac bc ab bc ac ab c b a ， 所以有4311≥+++bc ac ab . 三、针对练习1．已知0,,>c b a ，且1=++c b a ，求证：1222≥++ca b c a b ．2.（1984年列宁格勒数学竞赛试题）已知+∈R c b a ,,且1=++c b a ，求证：abc a c c b b a ≥++333.3.已知+∈R c b a ,,且1=++c b a ，求222811c b a ++的最小值.4.已知d c b a >>>，求证：d a d c c b b a -≥-+-+-9111.5.已知0,>b a ，且1=+b a ，（1）求证：411≥+b a ；（2）求证：202120202020211≥+ba ．6.已知正数c b a ,,满足c b a c b a ++≤++642541，则=++a c b a ．7.已知：+∈R b a ,，求证：1332222≥+++a b b b a a .8.已知+∈R c b a ,,且1=++c b a ，求证：43111≤+++++c c b b a a .9.（第36届IMO 试题）若,0,0,0,1>>>=c b a abc 求)(1)(1)(1333b a c a c b c b a +++++最小值.。
巧用权方和不等式求最值
．．２
定理ｌ如图１，设Ｆｌ，Ｆ２分别是椭圆象
＇
＋ｙ＾Ｚ２＝１（口＞６＞０）的左、右焦点，点Ｐ在椭圆 上，且么ＦｌＰＦ２＝９０。．直线ＰＦｌ，ＰＦ２分别交椭
点Ｐ在ｚ轴上的射影为Ｈ，Ｉ ＦｌＦ２ Ｉ＝２ｃ，由 么ＦｌＰＦ２＝９０。，得ＩＰＦｌｌ２＋ＩＰＦ２１２＝４ｃ２，又Ｐ 在椭圆上，Ｉ ＰＦｌ Ｉ＋Ｉ ＰＦ２ Ｉ＝２ａ，将其平方得 ｆＰＦｌｌ２＋ＩＰＦ２［２＋２ｌＰＦｌ…ＰＦ２Ｉ＝４ａ２，于是
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２００９年第９期
号，点一号），赢ｔ＝（了１，而１一号），所以
——▲——▲——▲
一
ＧＡｌ＋ＧＢｌ＋ＧＣｌ＝０，故点Ｇ是ＡＡｌＢｌＣｌ的
重心．
又知直线ＡＡｌ的方程为ｙ一１＝一量≯·
（ｚ－Ｏ），即ｙ＝一生｝‰＋１．直线ＢＢｌ的方程
中学数学研究
ＧＧ——ＡＢｚ２＝＝（（南南一一号号，，ｒ＿等南去一一了了１１）），，向向量量
Ｇ—Ｃ２＝‘万岛一号，两ｂ一了１），因而
可得Ｇ—Ａ２＋匠＋赢＝－６，故点Ｇ是
△Ａ，Ｂ，Ｃ，的重心．命题得证．
为ｙ２ ｋ．ｚ·直线ｃｃｌ的方程为ｙ２一ｒ是（ｚ一
１）．易得直线ＡＡｌ与ＢＢｌ的交点Ａｓ
Ａ（点Ａ丁－的Ｂ＿生２交（再点南，ｃｚ，‘忐ｒ）南＿，等）直≥，线矛直Ｂ，Ｂ南ｌ线与），ＣＣＣＣ而ｌｌ的向与交量 、１＋忌＋足２’１＋五＋志２’’且：民
榭忙盎＋鬲ｂ＝苗＋ 解：由函数ｙ ２．ａｓ’ｉｎ一％ａ∞＋磊Ｓ…芫ａ，根据权方和
２００９年第９期
辔≥建（ｓｉｎ鬟２署＿（ｎ南＋ （心口）号夕 口＋心口）＿∥…。
６南）警¨，当且仅当堡季：哮，即口： ＳＩｎ。口００ｓ－口
ａｒｃｔａｎ（詈）矗取得等号．
我们可以直接利用例５的结论，即用旦替
【高中数学】秒杀秘诀MS09权方和不等式
权方和不等式例1.1=++c b a ,求证：.36941≥++cb a 例2.求证：ca cb b a -≥+例3.设,2,0,1=+>>b a b a 则ba 211+最小值为（）例4.y x ,为正实数，且1=+y x ，则12+++y x 的最小值是.例5.已知,1,1>>b a 则11+b 最小值是.例6.已正数z y x ,,满足,1=++z y x 则yx x z z y 222++的最小值为例7.设y x .是正实数且满足,1=+y x 求2281y x +最小值例8.若ABC ∆三边对应分别为c b a ,,.求证：23≥++c b b a 例9.若⎪⎫⎛∈2,0x ，求证：125cos sin ≥+例10.若,0,0,0,1>>>=c b a abc 求)()()(333b a c a c b c b a +++最小值1．已知实数x ＞0，y ＞0，0＜λ＜2，且x +y=3，则的最小值为（）A ．B ．2C ．D ．32．对任意实数x ＞1，y ，不等式+≥1恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．2B ．4C ．D ．23．已知a ，b ，c ∈R ，且++=1，则|6abc ﹣1|的最小值为（）A ．3+1B ．2﹣1C ．3﹣1D ．2+14．设正数a ，b ，c 满足，则=．5．设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax +2by （a ＞0，b ＞0）的最大值为1，则+的最小值为．6．已知a ，b ，c 均为正数，且a +b +c=3，求证：++≥3．7．设x ，y ，z 为正实数，且x +y +z=3．求证：．秒杀秘籍：柯西不等式变形式对柯西不等式变形，易得()()222b a y x y b x a +≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+在0,,,>y x b a 时，就有了(),222y x b a y b x a ++≥+当y b x a =时，等号成立.同理,)(2222z y x c b a z c y b x a ++++≥++当zcy b x a ==时，等号成立.秒杀秘籍：权方和不等式权方和不等式：若.0,0,0>>>m b a i i 则()()mn m n m n m n m m m m b b b a a a b a b a b a ++++++≥+++++++ 211211212111当仅当nn b a b ab a === 2211时，等号成立.m 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式，关于带根号式子，将分子变为23次，分母为21次.8．（1）已知a，b，x，y 是正实数，求证：，当且仅当时等号成立；（2）求的最小值，并指出取最小值时x的值．9．已知a＞b＞c＞d ，求证：++≥．10．设a，b均为正数，且a+b=1，（Ⅰ）求证：+≥4；（Ⅱ）求证：+≥22017．11．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．12．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：≥27．13．已知a，b，c，d都是正实数，且a+b+c+d=1，求证：+++≥．14．设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证：++≥xy+yz+zx．15．已知x，y，z∈R+，且x+y+z=1．（1）求证：；（2）若λ（x2+y2+z2）≤x3+y3+z3恒成立，求实数λ的最大值．16．设实数a，b，c∈[0，+∞）且a+b+c=3，证明：++．17.已知+∈Rcba,,且1=++cba，求222811cba++的最小值18.已知+∈Rcba,,且1=++cba，求证：43111≥+++++accbba19.已知+∈Rcba,,且1=++cba，求证：43111≤+++++ccbbaa20.已知：+∈Rba,，求证：1332222≥+++abbbaa21.已知：,1,,,=++∈+zyxRz yx求证：.121212111111zyxzyx+++++≥-+-+-22.已知正数c ba,,满足,1=abc求证：1211211211≥+++++cba23.已知正数c ba,,满足,1=++cba求证：.2111111⎪⎭⎫⎝⎛++≤-++-++-+accbbaccbbaa24.已知c ba,,均为大于1的实数，且满足.2111=++cba求证：111-+-+-≥++cbacba1.yxyxyxyyx++≥+=++≥+-+22)21(412)22(12)2(21λλ=32.1)22()2()1(4)12(222222≥-++≥-+-y x a y x x a y y a x ，令t=x+2y-2,即2222818)44(11)2(22222≥≤-⇒≤⇒≥≥++⇒≥+a a at t a t a t 3.222))()((69491141111222222≥++++++=+++=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+++=+++=+z y y z z x x z x y y x xyz y x z x z y abc z y x c y zx b x z y a z y x zcz y x y b z y x x a 令故12216-≥-abc 4.根据权方和不等式,c b a c b a c b a c b a c b a 25416464254164++=++⇒++≥++≥++,根据取等号的条件cb a 521==，即8=++acb a 。
权方和不等式简单形式证明
权方和不等式简单形式证明权方和不等式（Cauchy-Schwarzinequality）是初等数学中的一个重要定理，其简单形式可以用于证明许多重要的数学结论。
本文将以简单形式的权方和不等式为出发点，探讨其证明方法及其应用。
一、权方和不等式的简单形式权方和不等式的简单形式是指如下的不等式：$$(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)geq (a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)^2$$其中$a_1,a_2,cdots,a_n$和$b_1,b_2,cdots,b_n$是任意实数。
这个不等式的意义是：对于任意实数$a_1,a_2,cdots,a_n$和$b_1,b_2,cdots,b_n$，它们的平方和的乘积不小于它们的内积的平方。
二、证明方法权方和不等式的简单形式可以用许多不同的方法证明，下面介绍其中两种比较简单的方法。
方法一：基于平均值不等式的证明平均值不等式（Arithmetic Mean-Geometric Mean inequality）是一个重要的不等式，它表明对于任意$n$个非负实数$x_1,x_2,cdots,x_n$，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即：$$frac{x_1+x_2+cdots+x_n}{n}geq sqrt[n]{x_1x_2cdotsx_n}$$根据平均值不等式，我们可以得到如下的推论：$$(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2)geqfrac{(a_1+a_2+cdots+a_n)^2}{n}$$$$(b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)geqfrac{(b_1+b_2+cdots+b_n)^2}{n}$$将上述两个不等式相乘，得到：$$(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)geq frac{(a_1+a_2+cdots+a_n)^2(b_1+b_2+cdots+b_n)^2}{n^2}$$ 我们再考虑$(a_1+a_2+cdots+a_n)(b_1+b_2+cdots+b_n)$的平方，根据平方差公式，可以得到：$$(a_1+a_2+cdots+a_n)(b_1+b_2+cdots+b_n)=sum_{i=1}^nsum_{j= 1}^na_ib_j=sum_{i=1}^na_isum_{j=1}^nb_j+sum_{j=1}^nb_jsum_{ i=1}^na_i-sum_{i=1}^nsum_{j=1}^na_ib_j$$将上述等式代入$(a_1+a_2+cdots+a_n)^2(b_1+b_2+cdots+b_n)^2$中，得到：$$(a_1+a_2+cdots+a_n)^2(b_1+b_2+cdots+b_n)^2=left(sum_{i=1} ^na_iright)^2left(sum_{j=1}^nb_jright)^2$$$$=left(sum_{i=1} ^na_iright)^2left(sum_{j=1}^nb_jright)^2+2left(sum_{i=1}^na _iright)left(sum_{j=1}^nb_jright)left(sum_{i=1}^na_iright)l eft(sum_{j=1}^nb_jright)-left(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^na_ib_jright)^2$$将上述等式代入$frac{(a_1+a_2+cdots+a_n)^2(b_1+b_2+cdots+b_n)^2}{n^2}$中，得到：$$frac{(a_1+a_2+cdots+a_n)^2(b_1+b_2+cdots+b_n)^2}{n^2}$$$$ =frac{left(sum_{i=1}^na_iright)^2left(sum_{j=1}^nb_jright)^ 2+2left(sum_{i=1}^na_iright)left(sum_{j=1}^nb_jright)left(s um_{i=1}^na_iright)left(sum_{j=1}^nb_jright)-left(sum_{i=1} ^nsum_{j=1}^na_ib_jright)^2}{n^2}$$$$=frac{2left(sum_{i=1}^ na_iright)left(sum_{j=1}^nb_jright)left(sum_{i=1}^na_iright )left(sum_{j=1}^nb_jright)-left(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^na_ib_ jright)^2}{n^2}+frac{left(sum_{i=1}^na_iright)^2left(sum_{j =1}^nb_jright)^2}{n^2}$$将上述等式代入原不等式中，得到：$$(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)geq frac{2left(sum_{i=1}^na_iright)left(sum_{j=1}^nb_jright)lef t(sum_{i=1}^na_iright)left(sum_{j=1}^nb_jright)-left(sum_{i =1}^nsum_{j=1}^na_ib_jright)^2}{n^2}+frac{left(sum_{i=1}^na _iright)^2left(sum_{j=1}^nb_jright)^2}{n^2}$$$$=frac{left(s um_{i=1}^na_ib_iright)^2}{n^2}+frac{left(sum_{i=1}^na_irigh t)^2left(sum_{j=1}^nb_jright)^2}{n^2}-frac{2left(sum_{i=1}^na_iright)left(sum_{j=1}^nb_jright)left(sum_{i=1}^na_ib_jri ght)}{n^2}$$$$=frac{left(sum_{i=1}^na_ib_iright)^2}{(a_1^2+ a_2^2+cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)}$$证毕。
权方和不等式简单公式
权方和不等式简单公式权方是指一种可以判断不等式中某个变量限定范围的函数，它可以用来确定某个变量在一定范围内是否满足给定的要求。
权衡（quadratic）是一种应用技术，它可以帮助我们把不等式简单地简化到只有两个变量。
因此，通过权衡公式，我们可以快速有效地解决不等式数学问题。
权方公式的基本概念是：当某个变量的值改变，其他一组变量的值也会改变，甚至可能取得更极端的值。
以二次不等式为例，当某一变量的值改变时，该不等式的整体形态也有所变化，从而反映出该变量和其他一组变量之间的互动关系。
因此，权方公式可以用来判断一个变量在一定范围内是否满足某种要求，从而有效地解决不等式数学问题。
权方公式的一般形式是：A（x）2+B（x）+C，其中A，B，C是常数，x是一组变量。
通过该公式，我们可以表示出一组变量之间的互动关系，进而判断某一变量在一定范围是否满足特定要求。
而且，权方公式还可以用来计算每一组变量的影响因素，以及每一组变量之间的相互影响。
权方公式是一种常用的解决不等式数学问题的方法，它可以有效地解决大多数不等式数学问题。
也就是说，只要你掌握了权方公式，就可以轻松地解决大多数不等式数学问题。
而且，它比一般的不等式数学问题更有普遍性，因此几乎可以用来解决所有数学问题，特别是高等数学问题。
另外，权方公式也可以用于解决某些复杂的不等式数学问题，有时还可以用来求解某个等式的最小值。
此外，它还可以用来评估一个系统的可行性，以及相关系统的性能。
因此，权方公式不仅可以解决大多数不等式数学问题，也可以应用于解决某些比较复杂的问题，从而帮助我们更好地解决数学问题。
综上所述，权方和不等式简单公式是一种常用的数学解决方案，能够有效地解决大多数不等式数学问题，也可以用于解决某些比较复杂的问题。
此外，它还可以用来评估系统可行性和性能，是一种相当有用的解决方案。
权方和不等式简单形式
权方和不等式简单形式
在数学中，权方和不等式表达了两个数之间的大小关系，它们是一种精确叙述和表示数字大小关系的简单形式。
权方和不等式简单形式包括两个主要部分：权方（乘方）和不等式。
权方是一种数学关系，它描述了一个变量（通常是x）的多次乘方形式。
它可以被写作xn表示x连乘n次，其中n是一个正整数。
权方提供了一种可以表达幂次的简单形式。
例如，设x = 2，则x的4次方可以被写作24，即2×2×2×2 = 16。
不等式是另一个数学概念，用来判断一个数是否大于或小于另一个数。
不等式通常以x>y，x≤y，x≥y或x<y的形式表示，其中x和y是两个数。
例如，设x为3，y为5，则可以得出x < y，表示x小于y。
权方和不等式简单形式在数学中有着十分重要的作用，它们是用来判断两个数的大小，以及表示一个数的幂次的有效工具。
它们可以用来表达各种数学概念，如最大公约数，最小公倍数，二次曲线的极值，以及多项式的根等。
权方和不等式简单形式被广泛应用于不同的数学领域中，如几何，微积分，统计学等。
它们在模拟复杂函数运算时尤其重要，可以有效描述函数的行为，从而做出正确的结论。
权方和不等式简单形式也可以用来表达和计算各种概率事件发
生的几率，如概率分布，概率差异，概率函数等。
因此，权方和不等式简单形式在统计学中也是十分重要的工具。
总之，权方和不等式是一种简单的数学形式，可以用来表达数学概念和计算概率事件发生的几率。
它们是精确叙述和表示数字大小关系的有效工具，在数学和统计学的教学和应用中都有着十分重要的作用。
权方和不等式的一个推论及其应用
闵可夫斯基不等式或分析法，可证得定理1若x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，则x 12+y 12+x 22+y 22 (x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2（当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号）.由柯西不等式或分析法，可证得定理2(权方和不等式)若x 1,x 2∈R ,y 1,y 2∈R +，则x 12y 1+x 22y 2 (x 1+x 2)2y 1+y 2（当且仅当x 1y 1=x 2y 2时取等号）.定理3（权方和不等式的推论）若a ,b ,c ,d ,p ,q ,r ,s ∈R;ab ≠0,cp +dq >0,cr +ds >0，则a 2p 2+b 2q 2cp +dq +a 2r 2+b 2s2cr +dsa 2(p +r )2+b 2(q +s )2c (p +r )+d (q +s )（当且仅当ps =qr 时取等号）.证明:由定理2与定理1，可得a 2p 2+b 2q 2cp +dq +a 2r 2+b 2s 2cr +ds（当且仅当时取等号） a 2(p +r )2+b 2(q +s )2c (p +r )+d (q +s )（当且仅当ps =qr时取等号）.进而可得欲证结论成立.题目（2021年中国科学技术大学强基计划笔试数学试题第8题）已知α,β∈æèöø0,π2，求2sin 4α+3cos 4β4sin 2α+5cos 2β+2cos 4α+3sin 4β4cos 2α+5sin 2β的最小值.解：在定理3中选a =2,b =3,c =4,d =5,p =sin 2α,q =cos 2β,r =cos 2α,s =sin 2β;α，β∈æèöø0,π2,可得2sin 4α+3cos 4β4sin 2α+5cos 2β+2cos 4α+3sin 4β4cos 2α+5sin 2β 59(当且仅当α+β=π2时取等号)，所以所求最小值是59.注：还可得到上面定理的伴随结论.定理1′若a i ,b i ∈R +(i =1,2,⋯,n )，则a 12+b 12+a 22+b 22+⋯+a n 2+b n 2 (a 1+a 2+⋯+a n )2+(b 1+b 2+⋯+b n )2，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=⋯=a n b n时取等号.证明：由图1可证a 12+b 12+a 22+b 22+⋯+a n 2+b n 2=OA 1+A 1A 2+⋯+A n -1A n OA n=(a 1+a 2+⋯+a n )2+(b 1+b 2+⋯+b n )2当且仅当点O ,A 1,A 2,⋯,A n 是线段OA n上依次向右的诸点，即a 1b 1=a2b 2=⋯=a n b n 时取等号.由柯西不等式，可证得定理2′（n 维的权方和不等式）若x 1,x 2,⋯,x n ∈R ,y 1,y 2,⋯,y n ∈R+,n 2，则x 12y 1+权方和不等式的一个推论及其应用yb nb 2b 1o a 1a 2A 1A 2a nxA n -1A n图1··51x 22y 2+⋯+x n 2y n (x 1+x 2+⋯+x n )2y 1+y 2+⋯+y n（当且仅当x 1y 1=x 2y 2=⋯=x n y n时取等号）.项目基金：本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（课题编号FT2017GD003，课题负责人：甘志国）阶段性研究成果之一.（北京市丰台二中甘志国100071）文[1]、[2]、[3]和[4]分别对此类问题给出了证明.但这些证明的技巧性较高，而这类不等式应用也较广.为此，本文利用函数单调性与最值给出这类问题较为简洁的证明.例1设a >0,b >0,m .,n ∈N 且m >n1，则a n m+b n m>(a +b )n m（1）.文[1]给出了（1）式的初等方法证明与应用，本文将利用函数单调性与最值方法给出这个幂方根a n m+b n m一个上界估计如下：定理1若a >0,b >0,m ,n ∈N 且m >n ,则a nm+b nm21-nm⋅(a +b )n m（2）.证明：设x =a a +b,s =n m ,这时0<x<1,0<s <1.我们只需要考虑函数f (x )=x s +(1-x )s -1(0<x <1,0<s <1).注意到f ′(x )=sx s -1-s (1-x )s -1;f ″(x )=s (s -1)x s -2+s (s -1)⋅(1-x )s -2<0.令f ′(x )=0,解得x =12.f ″(12)=s (s -1)(12)s -3<0.f (x )在x =12取得最大值.故f (x )=x s +(1-x )s -1 f (12),(0<x <1,0<s <1)，于是（2）获证.例2若a >0,b >0,则a a 2+3b2+1.（《数学通报》2003年第9期第）证明:由（1）知：a a 2+3b 2+b b 2+3a 2令t =(b a )2>0，则a 2a 2+3b 2+b 2b 2+3a 2=11+3t +t t +3；记f (t )=11+3t +t t +3,f ′(t )=24(t 2-1)(1+3t )2(t +3)2；易知当t =1时，f (t )取得最小值f (1)=1.故a a 2+3b 2+b b 2+3a2 1.定理2若a >0,b >0,n ∈N,0<λ 1，则+ 21+λn （3）.文[2]给出了定理2的初等证明，我们利用（2）式给出它的证明.证明：由（2）知+令t =b a (>0)，则aa +λb +b b +λa =11+λt +t t +λ；记f (t )=11+λt +t t +λ，f ′(t )=λ(λ2-1)(t 2-1)(1+λt )2(t +λ)2；易知当0<λ<1时，t =1为f (t )的最大值点;且f (t )的最大值为f (1)=21+λ；故（3）式成立；当λ=1时，（3）式显然成立.定理3设x ,y >0,xy =1,λ 0,m 2,m为正整数，则x λx +1m +yλy +1m 2λ+1m （4）.证明:x λx +1m+y λy +1mλx +1mλy +1m21m⋅λ(x +y )+2m 一类无理分式不等式的证明··52。
权方和不等式在竞赛中的应用
权方和不等式在竞赛中的应用吕顺宁（云南省易门县第一中学６５１１００）吕顺宁中学高级教师，玉溪市高中数学学科带头人，玉溪市高中数学名师工作室成员，在《数学教学》、《数理天地》、《中学数学教学》、《中学数学研究》、《中学数学月刊》、《数学教学研究》等刊物发表论文多篇。
１．权方和不等式及推论权方和不等式：设ａｉ，ｂｉ＞０，则∑ｎｉ＝１ａｍ＋１ｉｂ ｍｉ≥（∑ｎｉ＝１ａｉ）ｍ＋１（∑ｎｉ＝１ｂｉ）ｍ，ｍ＜－１或ｍ＞０，∑ｎｉ＝１ａｍ＋１ｉｂ ｍｉ≤（∑ｎｉ＝１ａｉ）ｍ＋１（∑ｎｉ＝１ｂｉ）ｍ，－１＜ｍ＜０．取等条件：ａ１ｂ１＝ａ２ｂ２＝…＝ａｎｂｎ．特别地，当ｍ＝１时，得推论ａ２１ｂ１＋ａ２２ｂ２＋…＋ａ２ｎｂｎ≥（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）２ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ．取等条件：ａ１ｂ１＝ａ２ｂ２＝…＝ａｎｂｎ．２．竞赛中的应用例１已知ｘ＞０，ｙ＞０，且１２ｘ＋ｙ＋１ｙ＋１＝１，则ｘ＋２ｙ的最小值为．（２０１９年甘肃省预赛）解令λ（２ｘ＋ｙ）＋μ（ｙ＋１）＝ｘ＋２ｙ＋μ，比较对应项的系数，得２λ＝１，λ＋μ＝２，｛解得λ＝１２，μ＝３２，烅烄烆结合已知，由权方和不等式的推论，得１＝１２ｘ＋ｙ＋１ｙ＋１＝１２１２（２ｘ＋ｙ）＋３２３２（ｙ＋１）＝１２槡（）２ｘ＋１２ｙ＋３２槡（）２３２ｙ＋３２≥１２槡＋３２槡（）２ｘ＋２ｙ＋３２＝２＋槡３ｘ＋２ｙ＋３２，去分母，化简整理得ｘ＋２ｙ≥１２＋槡３．由取等条件，易得当且仅当ｘ＝１２＋槡３３，ｙ＝槡３３时，上述不等式取等号，故所求最小值为１２＋槡３．例２已知正实数ｘ，ｙ满足１ｘ＋３ｙ＋·５３·２０２１年第１期“希望杯”与其它数学竞赛《数理天地》高中版１２ｘ＋ｙ＝１，则ｘ＋ｙ的最小值为．（２０２０年四川省预赛）解令α（ｘ＋３ｙ）＋β（２ｘ＋ｙ）＝ｘ＋ｙ，比较对应项的系数得α＋２β＝１，３α＋β＝１，｛解得α＝１５，β＝２５，烅烄烆变形已知条件等式并用推论，得１＝１ｘ＋３ｙ＋１２ｘ＋ｙ＝１５１５（ｘ＋３ｙ）＋２５２５（２ｘ＋ｙ）＝１５槡（）２１５ｘ＋３５ｙ＋２５槡（）２４５ｘ＋２５ｙ≥１５槡＋２５槡（）２１５ｘ＋３５ｙ＋４５ｘ＋２５ｙ＝１５槡＋２５槡（）２ｘ＋ｙ，去分母化简整理，得ｘ＋ｙ≥３＋槡２ ２５，由取等条件，易得当且仅当ｘ＝４ ＋槡２１０，ｙ＝２ ＋槡３ ２１０时，上述不等式取等号，故所求最小值为３ ＋槡２ ２５．例３已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ为正数，且ａ＋２０ｂ＝ｃ＋２０ｄ＝２，则１ａ＋１ｂｃｄ的最小值为．（２０２０年福建省预赛）解由已知条件及二元均值不等式，得０＜ｃｄ＝１２０（ｃ·２０ｄ）≤１２０ｃ＋２０ｄ２（）２＝１２０，所以１ｃｄ≥２０，由推论得１ａ＋１ｂｃｄ≥１ａ＋２０ｂ＝１２ａ＋２０２２０ｂ≥（１＋２０）２ａ＋２０ｂ＝４４１２，由取等条件易得当且仅当ｃ＝２０ｄ且１ａ＝２０２０ｂ，即ａ＝ｂ＝２２１，ｃ＝１，ｄ＝１２０时等号成立，故所求最小值为４４１２．例４设ａ，ｂ，ｃ为正实数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证：（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）·ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ（）≥１２．（２０２０年甘肃省预赛）证明首先由二元均值不等式，得ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１２［（ａ２＋ｂ２）＋（ｂ２＋ｃ２）＋（ｃ２＋ａ２）］≥１２（２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ）＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，①结合已知条件，由推论得ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ＝ａ２ａ（ｂ＋ｃ）＋ｂ２ｂ（ｃ＋ａ）＋ｃ２ｃ（ａ＋ｂ）≥（ａ＋ｂ＋ｃ）２２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＝１２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ），②将不等式①和②相乘，得（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ（）≥１２，·６３·《数理天地》高中版“希望杯”与其它数学竞赛２０２１年第１期由取等条件易知当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１３时等号成立，故不等式获证．例５已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ为正实数，且ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＝１，求证：ａ３ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｂ３ａ＋ｃ＋ｄ＋ｃ３ａ＋ｂ＋ｄ＋ｄ３ａ＋ｂ＋ｃ≥１３．（２０２０年新疆预赛）证明记不等式左边为Ｍ，结合题设，由二元均值不等式可得ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２≥ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＝１，故由推论可得Ｍ＝（ａ２）２ａ（ｂ＋ｃ＋ｄ）＋（ｂ２）２ｂ（ａ＋ｃ＋ｄ）＋（ｃ２）２ｃ（ａ＋ｂ＋ｄ）＋（ｄ２）２ｄ（ａ＋ｂ＋ｃ）≥（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２）２２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＋ａｃ＋ｂｄ）≥ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＋ａｃ＋ｂｄ）．（＊）下面证明：ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２≥２３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ａｃ＋ｂｄ）成立．事实上（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ）＋ａｃ＋ｂｄ＝１＋ａｃ＋ｂｄ≤（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２）＋（ａｃ＋ｂｄ）≤ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＋１２［（ａ２＋ｃ２）＋（ｂ２＋ｄ２）］＝３２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２），所以ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２≥２３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ａｃ＋ｂｄ），将该不等式逆向代入（＊）式即得所证不等式．（上接第３４页）所以ｌｎ（ｙ－ｘ＋１）＞０，且｜ｘ－ｙ｜与１的大小不确定，故（Ｃ）（Ｄ）无法确定．故选（Ａ）．注本解法的思路与解法２相同，不同之处是判断函数ｆ（ｔ）＝２ｔ－３－ｔ的单调性采用导数法，这也是判断函数单调性的常用方法．２．试题探源问渠那得清如许，唯有源头活水来，对试题的探源，可以让我们更深刻地认识问题．（１）已知ｘ，ｙ∈Ｒ，且３ｘ＋５ｙ≤３ｙ＋５－ｘ，则下列关系式中成立的是（）（Ａ）ｅｘ－ｙ≥１．（Ｂ）ｅｙ－ｘ≥１．（Ｃ）ｌｎ（ｘ－ｙ）≥０．（Ｄ）ｌｎ（ｙ－ｘ＋１）≥１．（第２３届“希望杯”高二１试）（２）若（ｌｏｇ７５）ｘ－（ｌｏｇ３５）ｘ≥（ｌｏｇ７５）－ｘ－（ｌｏｇ３５）－ｙ，则（）（Ａ）ｘ－ｙ≥０．（Ｂ）ｘ＋ｙ≥０．（Ｃ）ｘ－ｙ≤０．（Ｄ）ｘ＋ｙ≤０．（第２０届“希望杯”高一培训）可以看出今年考题的“母题”来源于上述竞赛题，只是将题目进行适当的改编而已，这说明命题专家很重视命题的传承和相互借鉴．所以在高考的备考中，除了要进行高考真题的训练外，还可以适当加入一些接近高考难度的高中竞赛题的训练．３．试题推广由高考题及试题的题源，容易得到下列推广结论：结论１已知ａ＞１，ｂ＞１，且ａｘ－ａｙ≤ｂ－ｘ－ｂ－ｙ，则ｘ≤ｙ．结论２已知０＜ａ＜１，０＜ｂ＜１，且ａｘ－ａｙ≤ｂ－ｘ－ｂ－ｙ，则ｘ≥ｙ．结论３已知０＜ａ＜１，ｂ＞１，且ａｘ－ｂｘ≤ａ－ｙ－ｂ－ｙ，则ｘ＋ｙ≥０．结论４已知ａ＞１，０＜ｂ＜１，且ａｘ－ｂｘ≤ａ－ｙ－ｂ－ｙ，则ｘ＋ｙ≤０．·７３·２０２１年第１期“希望杯”与其它数学竞赛《数理天地》高中版。
广义权方和不等式公式
广义权方和不等式公式广义权方和不等式公式，听起来是不是有点让人摸不着头脑？别担心，咱们一起来好好琢磨琢磨。
先来说说啥是广义权方和不等式公式。
简单来讲，它就是一个在数学中挺重要的家伙。
比如说，有这么一组数 a₁、a₂、a₃……an 和 b₁、b₂、b₃……bn ，它们都是正实数。
那么广义权方和不等式公式就可以表示成：(∑(aₖ^m))/(∑(bₖ^n)) ≥ (∑aₖ)^(m-n) / (∑bₖ)^m ，这里 m > n > 0 。
可能您这会儿听着还是有点晕乎，没关系，我给您举个小例子。
假设咱们要做一批零件，甲每天能做 5 个，乙每天能做 3 个。
做一个零件甲需要2 小时，乙需要1 小时。
那按照广义权方和不等式公式，我们来算算平均每个人做一个零件需要的时间。
这时候 a₁ = 5 ，b₁ =2 ，a₂ =3 ，b₂ = 1 。
m 咱就取 2 ，n 取 1 。
套进公式算算，就能得出一个比较合理的结果，从而判断出整体的效率情况。
在学习数学的过程中，我记得有一次，我给学生们讲这个广义权方和不等式公式。
那堂课刚开始，我就发现好多孩子都是一脸迷茫的表情。
我心里明白，这公式对他们来说确实有点难。
于是，我没有着急去硬灌知识，而是先讲了个生活中的小例子，就像刚才咱们说的做零件那个。
讲完之后，我看到不少孩子眼睛里有了点光亮，好像开始有点明白了。
接着，我带着他们一步一步地推导公式，让他们自己动手算算。
慢慢地，越来越多的孩子掌握了这个公式。
那节课结束的时候，看着孩子们脸上那种满足的表情，我心里别提多高兴了。
再回到广义权方和不等式公式本身，它在数学的很多领域都有着广泛的应用。
比如说在求最值问题上，它常常能发挥出意想不到的作用。
还有在一些几何问题中，它也能帮我们找到解决问题的关键。
总之，广义权方和不等式公式虽然看起来有点复杂，但只要我们耐心去理解，多结合实际例子，就能发现它其实没那么可怕，还挺有趣的呢！不知道您对这个公式有没有更清楚一些？希望您也能在数学的海洋里发现更多有趣的知识！。
43. 如何利用不等式求解最值问题？
43. 如何利用不等式求解最值问题？43、如何利用不等式求解最值问题？在数学的学习中，最值问题一直是一个重要且常见的考点。
而不等式作为一种有力的工具，在求解最值问题时发挥着关键作用。
那么，如何巧妙地利用不等式来解决这类问题呢？让我们一起来探讨一下。
首先，我们要了解一些基本的不等式。
比如，均值不等式就是一个非常重要的工具。
对于任意两个正实数＄a$ 和＄b$，有＄＼frac{a ＋b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＄，当且仅当＄a ＝ b$ 时，等号成立。
这个不等式在求解最值问题时经常被用到。
举个简单的例子，若＄x ＞ 0$，求函数＄y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＄的最小值。
我们可以利用均值不等式，因为＄x ＞ 0$，所以＄x ＋＼frac{1}｛x} ＼geq 2\sqrt{x ＼times ＼frac{1}｛x}｝＝ 2$ ，当且仅当＄x ＝＼frac{1}｛x}＄，即＄x ＝ 1$ 时，等号成立，所以函数＄y$ 的最小值为＄2$ 。
再来看柯西不等式。
对于两组实数＄a_1, a_2, ＼cdots, a_n$ 和＄b_1, b_2, ＼cdots, b_n$ ，有＄（a_1^2 ＋ a_2^2 ＋＼cdots ＋ a_n^2)（b_1^2 ＋ b_2^2 ＋＼cdots ＋ b_n^2) ＼geq （a_1b_1 ＋ a_2b_2 ＋＼cdots ＋ a_nb_n)＾2$ ，当且仅当＄＼frac{a_1}｛b_1} ＝＼frac{a_2}｛b_2} ＝＼cdots ＝＼frac{a_n}｛b_n}＄时，等号成立。
例如，已知＄x, y$ 为实数，且＄x^2 ＋ y^2 ＝ 1$ ，求＄2x ＋3y$ 的最大值。
我们可以利用柯西不等式：＄（2^2 ＋ 3^2)（x^2 ＋y^2) ＼geq （2x ＋ 3y)＾2 ＄，即＄13 ＼geq （2x ＋ 3y)＾2 ＄，所以＄＼sqrt{13} ＼leq 2x ＋ 3y ＼leq ＼sqrt{13} ＄，则＄2x ＋ 3y$ 的最大值为＄＼sqrt{13}＄。
求代数式的最值的解题策略
求代数式的最值的解题策略田素伟(上海市泥城中学ꎬ上海２０１３００)摘㊀要:求最值与恒成立问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ常用的是二元变量的权方和不等式.关键词:权方和不等式ꎻ最值ꎻ等号成立中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００５２－０４收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:田素伟ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀求代数式的最值问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ特别是对于知和求和型 求最值ꎬ对于解决这类问题的关键是合理选择恰当的方法.在这类问题中如果能正确利用权方和不等式会起到事半功倍的效果ꎬ下面通过具体例题说明权方和不等式在求最值问题上的解题策略[１].１直接利用权方和不等式求最值例１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ满足２ａ＋ｂ＝４ꎬ则２ａ＋２＋２ｂ的最小值是.分析㊀为了使２ａ＋２＋２ｂ中分母的和为定值ꎬ对所求代数式进行变形使它出现２ａ＋ｂ＝４ꎬ所以变形为４２ａ＋４＋２ｂ就可以使用权方和不等式了.解析㊀由权方和不等式ꎬ得４２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋４＋ｂ＝６＋４２８＝３＋２２４ꎬ当且仅当２ａ＋ｂ＝４ꎬ２２ａ＋４＝２ｂꎬìîíïïï即ａ＝６－４２ｂ＝８２－８{时等号成立.所以２ａ＋２＋２ｂ的最小值为３＋２２４.评析㊀权方和不等式作为柯西不等式的分式形式ꎬ在求二元变量最值时有非常广泛的应用ꎬ权方和不等式:设ａꎬｂꎬｘꎬｙ>０ꎬ则ａ２ｘ＋ｂ２ｙȡ(ａ＋ｂ)２ｘ＋ｙꎬ当且仅当ａｘ＝ｂｙ时等号成立.利用权方和不等式求最值时的一般步骤:第一步:先看分式的分母之和是不是定值ꎬ分子之和是不是定值ꎬ若不是定值ꎬ能否通过变形后使之变成定值ꎻ第二步:使用权方和不等式公式ꎬ让分子的指数比分母大１即可ꎻ第三步:检验等号成立的条件.变式１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０且满足ａ＋ｂ＝３ꎬ则２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值是.解析㊀因为已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０ȡ(２０２２＋２０２２)２ａ＋２０２１＋ｂ＋２０２０＝４ˑ２０２２４０４４＝２ꎬ当且仅当２０２２ａ＋２０２１＝２０２２ｂ＋２０２０ａ＋ｂ＝３ꎬìîíïïïꎬ即ａ＝１ꎬｂ＝２{时等号成立.所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值为２.变式２㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ则２ａ＋ｂ的最小值为.解析㊀因为ａ>０ꎬｂ>０ꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋ｂ＋４＝８２ａ＋ｂ＋４ꎬ又因为１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ所以２３ȡ８２ａ＋ｂ＋４.所以２ａ＋ｂ＋４ȡ１２.即２ａ＋ｂȡ８ꎬ当且仅当２２ａ＋４＝２ｂꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬìîíïïïï即ａ＝１ꎬｂ＝６{时等号成立.所以２ａ＋ｂ的最小值为８.变式３㊀已知ｘ>０ꎬｙ>０满足１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ则３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１的最小值为.分析㊀通过变形再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１＝３１－１/ｘ＋４１－１/ｙȡ３＋２()２１－１/ｘ＋１－１/ｙ＝７＋４３１＝７＋４３ꎬ当且仅当１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ３１－１/ｘ＝２１－１/ｙꎬ{即ｘ＝２＋３２ꎬｙ＝２３＋３３{时等号成立.变式４㊀已知正实数ａꎬｂꎬ且ａ＋２ｂ＝２ꎬ求１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值.解析㊀由ａ＋２ｂ＝２可得ａ＝２－２ｂ.因为１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋２－２ｂ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４－(２ｂ＋１)２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ꎬ因为１ａ＋１＋４２ｂ＋１ȡ(１＋２)２ａ＋１＋２ｂ＋１＝９４ꎬ所以１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ȡ９４－１＝５４ꎬ当且仅当１ａ＋１＝２２ｂ＋１ꎬａ＋２ｂ＝２ꎬ{即ａ＝１３ꎬｂ＝５６ìîíïïïï时等号成立.㊀所以１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值是５４.变式５㊀已知ａ>０ꎬｂ>０满足２ａ＋ｂ＝３ꎬ则２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是.解析㊀因为２ａ＋ｂ＝３ꎬ所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋(ｂ２－４)＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ２－４ｂ＋２＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ－２＋２ｂ＋２＝２ａ＋ｂ－２＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋２２ａ＋２ｂ＋２ȡ１＋２＋２()２２ａ＋ｂ＋２＝１３５ꎬ当且仅当２２ａ＝２ｂ＋２ꎬ２ａ＋ｂ＝３ꎬ{即ａ＝５４ꎬｂ＝１２{时等号成立.所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是１３５２通过权方和不等式再利用换元和重要不等式求最值㊀㊀例２㊀已知ｘ>１ꎬｙ>１ꎬ则ｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１的最小值是.解析㊀设ｘ＋ｙ－２＝ｔ(ｔ>０)ꎬｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１ȡｘ＋ｙ()２ｘ＋ｙ－２＝ｔ＋２()２ｔ＝ｔ＋４ｔ＋４ȡ８ꎬ当且仅当ｘ＋ｙ－２＝２ꎬｘｙ－１＝ｙｘ－１ꎬ{即ｘ＝２ꎬｙ＝２{时等号成立.３与三角函数有关的问题求最值例３㊀己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ则１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值为.分析㊀可以观察代数式１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ两个分母之和是一个常数ꎬ所以可用权方和不等式求最小值解析㊀因为己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβȡ(１＋３)２ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝１６ｓｉｎ(α＋β)＝１６ｓｉｎπ/６＝３２ꎬ当且仅当α＋β＝π６ꎬｃｏｓαｓｉｎβ＝３ｓｉｎαｃｏｓβ时等号成立.所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值是３２.评析㊀本题利用权方和不等式求最小值ꎬ简单明了ꎬ可以起到事半功倍的效果.４与函数性质有关的求最值例４㊀函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为.解析㊀因为ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)ꎬ又因为０<ｘ<２０ꎬ所以４００－ｘ２>０.所以当０<ｘ<２０时ꎬｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２ȡ(２＋３)２ｘ２＋４００－ｘ２＝１１６ꎬ当且仅当２ｘ２＝３４００－ｘ２ꎬ即ｘ＝４１０时等号成立.所以函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为１１６.评析㊀本题还可以先用换元法再利用基本不等式求解ꎬ但是计算量比较大.变式题㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ若对任意的正数ａꎬｂꎬ满足ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ则３ａ＋１ｂ的最小值为.分析㊀先求函数的奇偶性与单调性ꎬ再根据ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ得ａ＋３ｂ＝１ꎬ最后根据权方和不等式求最值.解析㊀因为ｘ２＋１－ｘ>０恒成立ꎬ所以函数ｆｘ()的定义域为Ｒ.因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ所以ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１＋ｘ().因为ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１－ｘ()＋ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)(ｘ２＋１－ｘ)＝０ꎬ所以ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝０.所以ｆｘ()＝－ｆ－ｘ().所以ｆｘ()为奇函数.又因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ０)单调递减ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递减ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝０处连续ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ＋¥)单调递减.因为ｆａ()＋ｆ３ｂ－１()＝０ꎬ所以ｆａ()＝ｆ１－３ｂ().所以ａ＝１－３ｂ.即ａ＋３ｂ＝１.所以３ａ＋１ｂ＝３ａ＋３３ｂȡ(３＋３)２ａ＋３ｂ＝１２１＝１２ꎬ当且仅当３ａ＝３３ｂꎬａ＋３ｂ＝１ꎬìîíïïï即ａ＝１２ꎬｂ＝１６ìîíïïïï时等号成立.所以３ａ＋１ｂ的最小值为１２.评析㊀易错点是利用权方和不等式求最值时ꎬ要注意必须验证等号成立的条件ꎬ若不能取等号则这个定值就不是所求的最值ꎬ这也是最容易发生错误的地方.５与数列有关的问题求最值例５㊀已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝ａ２＋２ａ１ꎬ若存在ａｍꎬａｎꎬ使得ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则１ｍ＋４ｎ的最小值为.分析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ且ｑ>０ꎬ根据已知条件求出ｑ的值ꎬ由已知条件可得出ｍ＋ｎ＝６ꎬ再利用权方和不等式可求得１ｍ＋４ｎ的最小值.解析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ则ｑ>０.由ａ３＝ａ２＋２ａ１可得ｑ２－ｑ－２＝０.因为ｑ>０ꎬ所以ｑ＝２.因为ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则ａ２１ ２ｍ－１ ２ｎ－１＝１６ａ２１.所以ｍ＋ｎ－２＝４.可得ｍ＋ｎ＝６.由已知ｍꎬｎɪＮ∗ꎬ所以１ｍ＋４ｎȡ(１＋２)２ｍ＋ｎ＝９６＝３２ꎬ当且仅当１ｍ＝２ｎꎬｍ＋ｎ＝６ꎬ{即ｍ＝２ꎬｎ＝４{时等号成立.所以１ｍ＋４ｎ的最小值为３２.６与向量有关的问题求最值例６㊀已知ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ则２ｍ＋１ｎ的最小值为.分析㊀先根据三点共线ꎬ求出ｍ＋２ｎ＝１ꎬ再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ所以ｍ＋２ｎ＝１.所以２ｍ＋１ｎ＝２ｍ＋２２ｎȡ(２＋２)２ｍ＋２ｎ＝８ꎬ当且仅当２ｍ＝２ｎꎬｍ＋２ｎ＝１ꎬìîíïïï即ｍ＝１２ꎬｎ＝１４ìîíïïïï时等号成立.所以２ｍ＋１ｎ的最小值为８.评析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝λＯＢң＋μＯＣңꎬ所以λ＋μ＝１.以上各题都是对于 知和求和型 求最值ꎬ是以不等式㊁三角㊁数列㊁向量为载体ꎬ实际上还是考查不等式性质的应用ꎬ可以转化为 １ 的应用来考查基本不等式ꎬ但是如果熟练掌握利用权方和不等式求最值ꎬ可以简化计算ꎬ使解题变得简单.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。
权方和不等式的证明过程
权方和不等式的证明过程嘿，咱今儿来聊聊权方和不等式的证明过程哈！这可是个挺有意思的玩意儿呢！咱先来说说权方和不等式是啥。
就好比你有一堆东西，要把它们按照某种规则分配好，让结果最合理、最优化。
权方和不等式就是这么个帮咱找到最佳分配方式的工具。
那怎么证明它呢？咱就像走一条有点曲折但充满乐趣的小路一样。
想象一下，我们有两个集合，里面装着各种数字。
然后呢，我们要通过一些巧妙的计算和推理，来证明这个不等式是成立的。
咱可以从一些简单的例子入手呀。
比如说，有两个数 a 和 b，它们的权分别是 m 和 n。
那我们就开始捣鼓这些数字，看看能不能发现什么规律。
哎呀，你说这是不是就像在玩一个解谜游戏呀！我们一点点地去尝试，去探索，去找到那个隐藏的答案。
然后呢，我们可以用一些基本的不等式定理来辅助我们的证明。
就像我们在爬山的时候，找到了一些稳固的石头可以踩着往上爬一样。
通过不断地尝试和思考，我们会发现一些奇妙的联系和规律。
这时候，就好像我们突然找到了打开宝藏大门的钥匙一样兴奋！你看啊，数学里的这些东西，不就是让我们的大脑变得更灵活，更聪明嘛！证明权方和不等式的过程，不就是一次奇妙的冒险嘛！咱在这个过程中，可能会遇到一些小挫折，就像走路不小心绊了一跤。
但没关系呀，爬起来继续走就是了！当我们终于成功地证明了权方和不等式的时候，那种成就感，哇，简直没法形容！就好像我们征服了一座高峰，站在山顶上，看着美丽的风景，心里那个美呀！所以呀，别小瞧了这个权方和不等式的证明过程。
它可不只是一堆枯燥的公式和计算，它里面蕴含着无穷的乐趣和智慧呢！咱要用心去感受，去体验，去享受这个过程。
相信我，你会爱上它的！这就是权方和不等式的证明过程，有趣吧！。
权方和不等式在求三角函数最值中的应用
权方和不等式在求三角函数最值中的应用
作者：孙晗
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011年第09期
摘要：本文试论述权方和不等式在求三角函数最值问题中的应用.
关键词：权方和不等式；求三角函数最值
沈文选和唐立华编著的《分级精讲与测试系列（高二数学）》书中给出了权方和不等式及其证明，笔者发现其对于解决许多求最值和证明不等式等问题有着易于掌握和简化过程的作用，下面笔者将用例题来说明权方和不等式在求三角函数最值问题中的应用.
权方和不等式?摇
设ai，bi∈R+（i=1，2，...，n），则
当实数m>0或m
有≥.?摇?摇（1）
当实数m满足－1
有≤.?摇（2）
上述两不等式，当且仅当==…=时取“＝”.
当m=1时，就是Cauchy不等式的推论
≥（ai∈R，bi∈R+）（3）
已知a，b∈R+，n∈R且n≠0，2，x∈0，，求函数f（x）=asinnx+bcosnx分别在n>2，n 解析先把函数f（x）=asinnx+bcosnx化为f（x）=+=+.
①?摇当－1>0或－12或n
+≥==a-+b-1-，
当且仅当=，
即x=arctan时，
f（x）取最小值a-+b-1-.
②当－1
即0
+≤==a-+b-1-，
当且仅当=，
即x=arctan时，
f（x）取最大值a-+b-1-.。
2020届高考数学教研讲义：权方和不等式(无答案)
1.已知 ， ，求 的最小值。
2.已知 且 ，求 的最小值。
3.已知 且 ， ，求 的最小值。
4、权方和不等式在证明不等式中的应用
【典例精析】（2014年高考浙江自选模块03号题）设正数 满足 ，求证： ，并给出等号成立的条件.
变式训练：且 ，求证：
变式训练：
1.（1905杭州二中）已知实数 满足 ，则 的最小值为______.
2.已知 且 ，求 的最小值.
3.设 ，若 ，则 的最小值为（）
A. B.6 C. D.
4.已知实数 满足 且 ，则 的最小值是_____.
5.已知 ，且 ，则 的最小值是______.
6.设 是正实数，且 ，则 的最小值是______.
4.已知 ，求证：
5.已知 ， ，求证：
5、换元法巧用权方和不等式
【典例精析】已知 为三角形三边长，求证：
变式训练：
1.已知正数 满足 ，求证：
2.已知正数 且满足 ，求证：
3.已知 均为大于1的实数，且满足 ，求证：
课后练习
1.对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（）
A.2 B.4 C. D.
权方和不等式
一、知识点
1.权方和不等式的二维形式：
若 ，则 ，当 时，等号成立。
2.权方和不等式的多维形式：
若 ，则 成立，当 时，等号成立。
3.权方和不等式的推广：
若 ，则 成立，当 时，等号成立。
即 （等号在 时取得）
二、实战训练
1、利用权方和不等式二维形式求最值
【典例精析】（七彩阳光联盟10月）已知正实数 满足 ，则 的最大值为________
7.已知 ，则 的最小值是______.
权方和不等式专题研究(最终完美版)
内容简介：本文详细介绍了权方和不等式的产生背景并通过大量实例系统展示了权方和不等式在是中学数学（包括奥林匹克数学）中的广泛应用；深刻揭示了其使用上的诸多技巧。
权方和不等式专题研究“权方和不等式”是 80 年代初由湖北杨克昌教授命名的，其实质是H older 不等式的特例。
在初等数学中的地位虽然不算突出，但对于中学数学（包括奥林匹克数学）中的很多与不等式有关的问题而言，权方和不等式却“堪称利器”。
故在此对其做专题研究。
一．权方和不等式的产生背景及其在中学数学（竞赛数学）中的应用n n n引理1：若0,a0且1,则aλλλaλ>>∑=∑≥∏ii i i i i ii=1 i=1 i=1证明：因函数f(x) =ln x在(0,+∞)上是凹函数n由Jensen不等式:对λ0,a0且λ 1>>∑=i i ii=1⎛⎞≥=⎜⎟n n⎛n⎞⎝∑⎠∑⎝∏⎠i=1 i=1 i=1有:ln λaλln a ln aλ(当⎜⎟ii i i i i a=等号成立) i aj又在上单调增f(x) =ln x(0,+∞)n n∑∏故有(等号在i a:λa≥aλa=时取得)ii i i ji=1 i=1引理2：（Holder 不等式）1 1若a>0,b>0(i=1,2⋅⋅⋅⋅⋅⋅n), +=1且p>1i ip q1 1n⎛n⎞p⎛n ⎞q∑∑∑则a b a b≤⎜p⎟⋅⎜q⎟i i i ii=1 i=1 i=1⎝⎠⎝⎠1a 1b a bp q证明：由引理1易知: +≥i i i ip a q bn n 1 1∑∑∑∑p q n p n qi i⎛⎜⎞⎟⋅⎛⎜⎞⎟a bp qi=1 i=1 i i⎝⎠⎝⎠i=1 i=1n∑a bi i1 a a a 1 b b b( p+p+⋅⋅⋅+p) ( p+p+⋅⋅⋅+p) 故 1 i=1 1 2 n 1 2 n≤+=1 1 n np a q b∑∑⎛n⎞p⋅⎛n⎞qp q∑∑a bp q i i⎜⎟⎜⎟i i i=1 i=1⎝⎠⎝⎠i=1 i=111 1 n npnq⎛ ⎞ ⎛⎞∑∑∑此即:a ba b≤ ⎜⎟ ⋅⎜pq⎟i ii i i =1i =1i =1⎝ ⎠ ⎝ ⎠（当 p ba = λ 时取等号）q ii注 1：引理 1 实际上是加权算术平均与几何平均不等式的特例。
权方和不等式的妙用
权方和不等式的妙用
苏晓会
【期刊名称】《中学生数理化（高二数学、高考数学）》
【年(卷),期】2024()11
【摘要】权方和不等式是确定一些分式代数式的最值问题中比较常用的一个基本不等式,也是课外阅读与提升的一个知识点。
权方和不等式,作为柯西不等式的一个特例,在一些不等式的证明或最值(或取值范围)的求解等问题中,有着非常重要的作用,是解决问题的一种非常重要的不等式,成为竞赛、自招及高考等选拔性考试中的一个重要知识点。
【总页数】2页(P16-17)
【作者】苏晓会
【作者单位】山东省济南市莱芜第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
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基本不等式技巧——权方和——不等式中的战斗机
（7）权方和——不等式中的战斗机【知识点拨】已知,,,,,x y z a b c R +∈，则有：()222a b a b x y x y++≥+（当且仅当a b x y =时，等号成立）. 【证明】： (a 2x+b 2y)(x +y )=a 2+b 2+ya 2x+xb 2y⩾a 2+b 2+2ab =(a +b )2.当且仅当ya 2x=xb 2y即a x=b y时, 等号成立.同理,)(2222z y x c b a z c y b x a ++++≥++当z cy b x a ==时，等号成立． 说明:1.上式其实即为二元三元变量的权方和不等式，实质是柯西不等式的变形形式.2. 设,i i a b R ∈＋(1,2,,i n =⋅⋅⋅)，实数0m >，则11111()()nm m i ni i nm mi ii i a abb ++===≥∑∑∑，其中等号当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时成立.这称之为权方和不等式. 我们称m 为该不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数高1次. 例 1. 已知 x,y ∈R +且 1x+1y=1, 求 x +2y 的最小值.简解: 1=12x+(√2)22y ≥(1+√2)2x+2y, 故 x +2y ≥(1+√2)2=3+2√2当且仅当1x=√2y ,1x+1y=1 即 x =1+√2,y =1+√22 时取得最小值 3+2√2.例 2. 已知 a,b,c ∈R +且 a +b +c =1, 求 1a 2+1b 2+8c 2的最小值简解:13a 2+13b 2+23c 2≥(1+1+2)3(a+b+c )2=64等号在1a=1b=2c且 a +b +c =1 即 a =b =14,c =12 时取得例 3. 已知 x +2y +3z +4u +5v =30, 求 w =x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2 的最小值.简解: w=x 21+(2y )22+(3z )23+(4u )24+(5v )25≥(x+2y+3z+4u+5v )21+2+3+4+5=60当且仅当2x y z u v =====时，等号成立. 例4. 设 a >1,b >0,a +b =2, 则 1a−1+2b最小值为_______解：1a−1+2b=1a−1+(√2)2b⩾(1+√2)2a−1+b=3+2√2.当1a−1=√2b即a =√2,b =2−√2时,等号成立.例 5 已知 a >1,b >1, 则 a 2b−1+b 2a−1最小值是________解：a 2b−1+b 2a−1⩾(a+b )2a+b−2,令 a +b −2=t , 则(t+2)2t=t +4t+4⩾8,当仅当 t =4t , 即 t =2,{a =2b =2, 等号成立。