高三数学上学期期中试题(普通班)理
山东省滕州市第一中学2015届高三第一学期期中考试数学(理)试题
山东省滕州市第一中学2015届高三第一学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域作答．1． 设集合M={a+1}，N={x ∈R|2x ≤4}，若M ∪N=N ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[-1，3], B ．[-3，1], C ．[-3，3], D ．（-∞，-3]∪[3，+∞） 2． 已知命题p ：x ∈A ∪B ，则非p 是（ ）A ．x 不属于A∩B,B ．x 不属于A 或x 不属于BC ．x 不属于A 且x 不属于B,D ．x ∈A∩B 3． 已知t ＞0，若2x 2dx 8t-=⎰（），则t=（）A ．1,B ．-2,C ．-2或4,D ．44．已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f ＝（ ）A ．124B ．112C ．14D ．125．若方程ln 50x x +-=在区间(a ，)b (,a b Z ∈，且1)b a -=上有一实根，则a 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．26．函数),2||.0,0()sin(R x A B x A y ∈<>>++=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．1)63sin(2+-=ππx y B ．1)36sin(2+-=ππx yC ．1)63sin(2++=ππx yD ．1)66sin(2++=ππx y7．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n” )(*∈N n 时，从“k n =到1+=k n ”时，左边应添乘的式子是（ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．2 8．若正数x ，y 满足1x y +=，且14ax y+≥对任意x ，(0,1)y ∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，4] B ．[4，)+∞C ．(0，1]D ．[1，)+∞9．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意R x ∈，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且 (1)()0x f x '-<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则c b a ,,三者的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00|()()|1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出4组函数： ①2()f x x =，()23g x x =-；②()f x =，()2g x x =+；③()x f x e -=，1()g x x=-； ④()ln f x x =，1()2g x x =-； 其中在区间(0，)+∞上存在“友好点”的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11．函数5123223+--=x x x y 在[]3,0上的最小值分别是 ．12．若实数x ，y 满足220,4,5.x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z x y =+的最大值为 ．13．在等差数列}{n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S = ． 14．已知函数2()x f x e x =-的导函数为/()f x ，()y f x =与/()y f x =在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程/()()0f x f a -=在(,]x a ∈-∞上有两解，则实数a 的取值范围是 ．（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分．15．（1）（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵A ＝1031⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B ＝1201-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1()AB -＝ ．（2）（选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）．若直线与曲线C 交于B A ,（3）（选修4-5：不等式选讲）函数x x y -+-=51的最大值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)xg x a x =-≤的值域为集合B （1）求集合A ，B ；（2）若()R BC A =∅，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，则462sin =C ； （1）求C sin ；（2）若2=c ，A B sin 2sin =，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1b ，3b ，9b 成等比数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若*2())(1)n nc n N n b =∈+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）已知向量33(cos ,sin ),(cos(),sin())444343x x x x a b ππ==+-+；令2()(),f x a b =+ （1）求()f x 解析式及单调递增区间； （2）若5[,]66x ππ∈-，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）若()f x =52，求sin()6x π-的值．20．（本小题满分12分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ， 其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路（宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数22(0y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为24()33t t ≤≤．（1）当23t =时，求直路所在的直线方程；（2）当为何值时，地块OABC 在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？21．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x a x ax x =+--． （1）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值； （2）讨论()f x 在定义域上的单调性；（3）证明：对任意正整数n ，222134232)1ln(nn n +++++<+ ． 2014年山东省滕州市第一中学第一学期高三期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题：（共10小题，每小题5分，满分50分） BCBAC ABDCD二、填空题：（共5小题，每小题４分，满分24分） 11．15-； 12．9； 13．88； 14．2≥a 15．（1）7231-⎛⎫⎪-⎝⎭（2（3） 14．（解法一）设/2()()()2()x a g x f x f a e x e a =-=---令/()2x g x e =->0，则ln 2x >，所以()g x 在(,ln 2)-∞单调递增，在(ln 2,)+∞单调递减要使满足题意，则2220(1)()0(ln 2)022ln 20(2)ln 2ln 2(3)a a a e a e a g a g e a a a ⎧--+≥---≥⎧⎪⎪<⇒--+<--⎨⎨⎪⎪<<---------⎩⎩由（1），（3）可知2a ≥ 设2()22ln 2ah a ea =--+，/()20a h a e a =-+<在2a ≥恒成立所以2()22ln 2ah a e a =--+在[2,)+∞上单调递减，所以2()(2)62ln 20h a h e ≤=--<所以（2）对任意的a R ∈都成立 综上所述2a ≥． （解法二）/()()0f x f a -=在(,]x a ∈-∞上有两解⇔函数/12()()y f x y f a ==与有两交点/1(),(,]y f x x a =∈-∞---表示右端点位置变化的函数2()y f a =--------表示与x 轴平行的一组直线，它的高低与()f a 的值有关所以a 一定在/1(),(,]y f x x a =∈-∞的极值点右侧，同时2()()y f a g a =≥三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解：（1）集合A ：2230x x -->， 解得：{|1A x x =<-或3}x >集合B ：()g x 图象单调递增，()4a g x a -<≤-，则{|4}B y a y a =-<≤- ．8分（2）{|13}R C A x x =-≤≤，由()R B C A =∅，结合数轴，41a -<-或3a -≥，解得3a ≤-或5a >． 13分 17．（本题满分12分）解：由已知：（1）462sin=C ，41)46(212sin 21cos 22=⨯-=-=∴C C又π<<C 0 ，415)41(1cos 1sin 22=-=-=∴C C ． ．．…．5分 （2）A B sin 2sin = ，∴由正弦定理得a b 2=，由余弦定理，得C ab b a c cos 2222-+=，得1=a ，从而2=b ．4154152121sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC ．．…．13分 18．（本题满分13分）解：（1）当2n ≥，时11222n n n n n n a S S +-=-=-= 又21112222a S ==-==，也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =112b a ==，设公差为d ，则由1b ，2b ，9b 成等比数列，得 2(22)2(28)d d +=⨯+ 解得0d =（舍去）或2d =所以数列{}n b 的通项公式为2n b n = ．． (7)（2）解：21(1)(1)n n c n b n n ==++ 数列{}n c 的前n 项和1111122334(1)n T n n =++++⨯⨯⨯⨯+11111111223111nn n n n =-+-++-=-=+++ ．．…．13分 19．解：22233()()212[cos cos()sin sin()]144344322cos()3x x x x f x a b a a b b x πππ=+=+⋅+=++-++=++ …2分 当223k x k ππππ-≤+≤，2k ∈，即：422,33k k k Z πππππ-≤≤-∈时， ()f x 单调递增， ()f x ∴增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,342ππππk k ，k Z ∈ …5分 （Ⅱ）由5[,],66x ππ∈-得7[,]366x πππ+∈，1cos()3x π-≤+≤当6x π=-时()max 2f x =+当23x π=时，()min 0f x = …9分（3）51()22cos()cos()3234f x x x ππ=++=∴+=，所以1sin()sin()cos()6634x x x πππ-=--=-+=-。
高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用 Word版含答案
北京市部分区届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用、（昌平区届高三上学期期末）设函数，.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行.() 求的值；()求实数的取值范围，使得对恒成立.、（朝阳区届高三上学期期末）设函数，，．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）证明．、（朝阳区届高三上学期期中）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上单调递减，试求的取值范围；（Ⅲ）若函数的最小值为，试求的值．、（东城区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）若为的极小值，求的值；（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值．、（丰台区届高三上学期期末）已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最小值.、（海淀区届高三上学期期末）已知函数．（Ⅰ）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值．、（海淀区届高三上学期期中）已知函数，函数.（Ⅰ）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；（Ⅱ）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.、（石景山区届高三上学期期末）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求的取值范围．、（通州区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）当＝时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数，证明：当∈时，＞.、（西城区届高三上学期期末）已知函数，其中．（Ⅰ）如果曲线在处的切线的斜率是，求的值；（Ⅱ）如果在区间上为增函数，求的取值范围．。
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
2017-2018学年吉林省长春市第十一高中高三数学上期中考试(理)试题
长春市十一高中2017—2018学年度高三上学期阶段考试数学试题（理科）组题人：杨君罗彦东审题人：刘凤臣2017.10.29一、选择题（每小题5分，共60分）1.设集合S={y|y=3x,x∈R},T={y|y=x2+1,x∈R},则S∩T=（）A.OB.TC.SD.{(0，1)}2.若复数z满足（1+i)z=2+i,则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设.O∈R ，则“O=2π”是“f(x)=cos(x+O)为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面向量||=1与||=2，且=，则2=（）A.4B.0C.5D.225.在△ABC中，若角B为钝角，则sin A—sin B的值（）A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定6.若log4(a+b)=log2ab,则a+b的最小值为（）A.7+43B.2C.43D.47.已知某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥中，最长的棱长为（）A.5B.22C.3D.32正视图俯视图8.已知0为直角坐标系原点，P，Q的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+1222534xyxyx，则sin∠POQ的最大值为（）俯视图A.0B.23C.21D.229.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下。
甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说:“我没有作案,是丙偷的”:丙说:“甲、乙两人中有一人作了案”:丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人.中只有一人是罪犯，说真话的人是（ ）A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丁D. 甲、丁10.观察表数（3），（5，7），（9，,1,13）（15,17,19,21,），（23），（25,27），（29,31, 33），935,37,39,41),(43),…,则第100个括号内各数之和为（ ）A.1479B.1992C.2000D.207211.抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ）A.33B.43C.63D.8312.若定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数x 1,x 2都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1),则称函数f(x)为“替换函数”，给出下列四个函数：①y=-x 3+1；②y=2x+sinx-cosx ；③y=⎩⎨⎧≠=0,ln 0,x x x x ；④y=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+0,0,422x x x x x x ,其中“替换函数”对应的序号为（ ） A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④二、填空题（每小题5分，共20分）13.在平面直角坐标系xoy 中，已知角a 的顶点和点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M 坐标为()3,1，则tan （a+3π）= . 14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,首项a 1=1,且满足：2S n =a n+1-1,则a 3+a 4+a 5= .15.由曲线y=x+1上的点向圆（x-3)2+（y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为 .16.定义：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上存在x 1,x 2(a<x 1<x 2<b)x 1,x 2，满足f ′(x1)=a b a f b f --⋅)()(,f ′(x 2)=ab a f b f --)()(,则称函数y=f(x)在区间[a,b]上是一个双中值函数，已知函数f(x)=x 3-x 2是区间[0,a]上的双中值函数，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知函数f(x)=622+x x(1)若f(x)>k 的解集为{x|x<-3或x>-2},求k 的值：(2)对任意x>0，f(x)≤t 恒成立，求t 的取值范围.18.（本小题满分12分）在△ABC 中，AB=2，BC=1，cos C=43. （1）求sin A 的值：（2）求⋅的值.19.（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和为S n ,a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1+S 4=0,b 9=a 1.（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若c n =)18)(16(1++n n b b ，求数列{c n }的前n 项和W n ．20.(本小题满分12分）如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中，AC=2，CE=1，平面ABC ⊥平面ACEF.（1）在EF 上找一点M ，使BM ⊥AC ，并说明理由：（2）在（1）的条件下，求平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角余弦值.21.（本小题满分12分）椭圆C ：2222by a x +=1（a>b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，满足211F F ⋅=0，55=559=. （1）求椭圆C 的方程.（2）设过点D （0,2）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且N 在D 、M 之间，设λ=，求λ的取值范围.22.（本小题满分12分）设k ∈R,函数f(x)=lnx-kx.(1)若k=2,求曲线y=f(x)在P （1，-2）处的切线方程；(2)若f(x)无零点，求实数k 的取值范围；(3)若f(x)有两个相异零点x 1,x 2,求证：lnx 1+lnx 2>2.。
甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
兰州一中2022-2023-1学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=( ) A ．{3,1}- B ．{3,4}- C ．{3,1,2,4}--D ．{1,0,2}-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x 的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =( ) A ．4B ．2C ．12-D ．1-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是( )．A ．lg lg x y >B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为( ) A 3π B 3πC 3πD 3π 7．设x ，y 满足约束条件23250y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最小值为( )A ．2B ．1-C ．2-D ．3-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是( )A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为810．已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a的取值范围为( ) A ．[2,5]B ．[2,)+∞C ．[2,6]D ．(,5]-∞11．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为22率为( ) A 23B 32C ．3D 1412．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2-- B ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．((),22,-∞+∞D ．(,2-∞第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y ++最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。
福建省龙岩市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题(pdf版)
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浙江省杭州学军中学2021届高三数学上学期期中试题(含解析).doc
浙江省杭州学军中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1. 设全集U =R ，集合M ={x |x ＞1}，P ={x |x 2＞1}，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D.2. 设纯虚数z 满足=1+ai （其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ）A. 1B.C. 2D.3. 若x 、y 满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.4. 已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要的条件是（ ）A. B. C. D.5. 函数y =的图象大致是（ ） A. B. C. D.6. 已知函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则（ ）A. ,0是的一个周期B. ,1是的一个周期C. ,1是的一个周期D. ,的最小正周期不存在7. 若关于x 的不等式|x +t 2-2|+|x +t 2+2t -1|＜3t 无解，则实数t 的取值范围是（ ）A. B. C. D.8. 若O 是△ABC 垂心，且，则m =（ ）A. B. C. D.9. 已知二次函数f （x ）=ax 2+bx （|b |≤2|a |），定义f 1（x ）=max{f （t ）|-1≤t ≤x ≤1}，f 2（x ）=min{f （t ）|-1≤t ≤x ≤1}，其中max{a ，b }表示a ，b 中的较大者，min{a ，b }表示a ，b 中的较小者，下列命题正确的是（ ）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题）11.（1-2x）5展开式中x3的系数为______；所有项的系数和为______．12.等比数列{a n}中，，则=______，a1a2a3a4=______．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则C=______；若，△ABC的面积为，则a+b=______．14.已知函数，则=______，若函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，则k的取值范围是______．15.已知x，y∈R且x2+y2+xy=1，则x+y+xy的最小值为______．16.已知平面向量满足，则的最大值为______．17.当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2恒成立，则7a+b的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数f（x）=2sin x cos（x+）+．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值及最小值．19.已知在△ABC中，|AB|=1，|AC|=2．（Ⅰ）若∠BAC的平分线与边BC交于点D，求；（Ⅱ）若点E为BC的中点，求的最小值．20.已知正项等差数列{a n}满足：，其中S n是数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，证明：．21.设函数f（x）=e x-ax+a，a∈R，其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：．22.已知函数f（x）=ln x-ax2-bx-2，a∈R．（Ⅰ）当b=2时，试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意的，方程f（x）=0恒有2个不等的实根，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜-1}，∴M∪P=P，M∩P=M．故选：C．先分别求出集合M，P，利用交集和并集的定义直接求解．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由=1+ai，得z=，由z为纯虚数，得，即a=1．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，属于基础题．根据充要条件的定义，逐一分析给定四个条件与a＞b的充要关系，可得答案．【解答】解：a＞b+1是a＞b的充分不必要的条件；a＞b-1是a＞b的必要不充分条件；|a|＞|b|是a＞b的既不充分也不必要条件；2a＞2b是a＞b的充要条件.故选：B．5.【答案】D【解析】解：当x＞0时，y=x lnx，y′=1+ln x，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：若x为有理数，D（D（x））=D（1）=1，若x为无理数，D（D（x））=D（0）=1，综上D（D（x））=1，排除C，D．根据函数的周期性的定义，周期不可能是0，故A错误，若x为有理数，D（x+1））=1，D（x）=1，则D（x+1）=D（x），若x为无理数，D（x+1））=0，D（x）=0，则D（x+1）=D（x），综上D（x+1）=D（x），即1是函数D（x）的一个周期，故选：B．根据定义，结合函数值之间的关系以及函数周期性的定义进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数值的计算以及函数周期的求解，根据条件和定义是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|≥|（x+t2-2）-（x+t2+2t-1）|=|-2t-1|=|2t+1|，∴关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解等价于|2t+1|≥3t，∴或，t＜0，解得t≤1．．故选：C．先求f（x）的最小值，然后把关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解转化为|2t+1|≥3t，解不等式可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．8.【答案】D【解析】解：在△ABC中，sin B sin C≠0，由，得+=2m•，连接CO并延长交AB于D，∵O是△ABC垂心，∴CD⊥AB，=+∴+=2m•（+），两端同乘以得•+•=2m•（+）•，∴•c2+•bc•cos A=2m••=2m•||•c•cos0°=2m•b cos A•c∵A=∴•c2+•bc•=bcm，由正弦定理化为•sin2C+•sin B sin C•=m•sin B sin C，∴cos C sinC+cos B sin C=m•sin B sin C，又sin C≠0，约去sin C，得cos C+cos B=m•sin B，∵C=π-A-B=-B，∴cos C=cos（-B）=-cos B+sin B，代入上式，得∴sin B=m•sin B，又sin B≠0，约去sin B，利用垂心的性质，连接CO并延长交AB于D，得到CD⊥AB，把由，变形，两端同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简得到得cos C+cos B=m•sin B，再把cos C化为cos（-B）整理就可以得到m的值．本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．9.【答案】C【解析】解：对于A，若f1（-1）=f1（1），则f（-1）为f（x）在[-1，1]上的最大值，∴f（-1）＞f（1）或f（-1）=f（1）．故A错误；对于B，若f2（-1）=f2（1），则f（-1）是f（x）在[-1，1]上的最小值，∴f（-1）＜f（1）或f（-1）=f（1），故B错误；对于C，若f2（1）=f1（-1），则f（-1）为f（x）在[-1，1]上的最小值，而f1（-1）=f（-1），f1（1）表示f（x）在[-1，1]上的最大值，∴f1（-1）＜f1（1）．故C正确；对于D，若f2（1）=f1（-1），由新定义可得f1（-1）≥f2（-1），则f2（1）≥f2（-1），故D错误．故选：C．由新定义可知f1（-1）=f2（-1）=f（-1），f（x）在[-1，1]上的最大值为f1（1），最小值为f2（1），即可判断A，B，D错误，C正确．本题考查了对于新定义的理解和二次函数的图象与性质，考查推理能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：a n+1-a n=≥0，a1=-，等号不成立，可得a n+1＞a n，∴数列{a n}是递增数列．∵数列{a n}满足，∴==-，∴b n==-∴数列{b n}的前项和为S n=-+-+……+-=2-．则使得|S2021-k|=|2--k|使得|S2021-k|最小的整数k的值为2．故选：C．a n+1-a n=≥0，可得数列{a n}是递增数列．数列{a n}满足，可得==-，b n==-进而得出结论．本题考查了数列的递推关系、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】-80 -1【解析】解：根据题意得，（1-2x）5展开式的通项为T r+1=（-2x）r=（-2）r x r令r=3得（-2）3=-80，令x=1得所有项的系数和为（1-2）5=-1故答案为-80，-1运用二项展开式的通项及所有项系数的和可解决此问题．本题考查二项展开式的通项及所有项的系数和．12.【答案】【解析】解：∵等比数列{a n}中，，∴q==，故答案为：，．推导出q==，由等比数列的通项公式得==，a1a2a3a4=，由此能求出结果．本题考查等差数列的两项和的比值、四项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】 7【解析】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，∴由正弦定理可得，解得，∴，解得ab=6，∵，cos C=，∴，解得a=1，b=6或a=6，b=1，∴a+b=7．故答案为：，7．由正弦定理可得，从而得到，由，得ab=6，由此利用余弦定理能求出a+b．本题考查三角形的角及边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．14.【答案】 [0，+∞）【解析】解：根据题意，函数，则f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8；由f（x）=2x+2-x-2≥0，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，∴当x＜0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min≥0．函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，即函数y=f（x）与函数y=k有无穷多个交点，则k≥0．故答案为：6-8；[0，+∞）．由f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8可得解；根据由f（x）=2x+2-x-2≥0，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，当x＜0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min≥0，零点问题转化为交点问题，即可求解．本题考查分段函数的性质，涉及函数与方程的关系，属于基础题．15.【答案】【解析】解：已知x，y∈R且x2+y2+xy=1，所以x2+y2=1-xy≥2xy，解得，又由已知得（x+y）2=xy+1，由于是求最小值，故可取，所以，令，则xy=t2-1，，故当时x+y+xy的最小值为，故答案为：．本题已知条件二元二次方程表示平面上的一条曲线，所求式子也是二元函数最值问题，从基本不等式角度出发，然后换元处理即可．本题考查了基本不等式的性质、换元解决二元函数最值问题，考查了推理能力与计算能16.【答案】10【解析】解：∵，设与的夹角为θ，∴===，∴cosθ=-1时，取得最大值10．故答案为：10．根据，可设与的夹角为θ，根据=进行数列的运算即可得出，从而可求出的最大值．本题考查向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．17.【答案】[-4，8]【解析】解：当x∈[1，4]时，不等式可化为，若a=0，则0≤b≤4，故7a+b∈[0，4]；若a＞0，y=，y'=a-=a（1-）=a，当x∈[1，2]，y递减，x∈[2，4]，y递增，可得x=1，y最大值为5a，x=2，y最小3a，故3a+b≥0，5a+b≤4，7a+b═-（3a+b）+2（5a+b）≤8，若a＜0，由上知，5a+b≥0，3a+b≤4，由7a+b═-（3a+b）+2（5a+b≥-4，综上，7a+b∈[-4，8]．故答案为：[-4，8]．当x∈[1，4]时，不等式可化为，分三种情况讨论，根据3a+b，5a+b的范围，确定7a+b 范围．考查不等式恒成立问题，函数最值计算，线性规划解不等式，中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin x cos（x+）+=2sin x•（cos x-sin x）+=sin x cosx-sin2x+ =sin2x-•+=sin（2x+）．令2kπ+≤x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1；当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的最值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.【答案】解：（1）AD为∠BAC的平分线，|AC|=2|AB|，所以|BD|=2|DC|，由B，C，D三点共线，，所以==．（2）由E为BC的中点，，由平行四边形对角线的性质，所以=，所以由柯西不等式（）（）≥（2+1）2=9，故的最小值为．【解析】（1）利用三点共线定理，求出，代入求出即可；（2）根据平行四边形对角线性质得到=，利用柯西不等式求出最值．考查三点共线定理，向量的运算，平行四边形对角线性质，柯西不等式，中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，数列{a n}为正项等差数列，所以a1=1，所以=1+，整理得：a2（a2+1）（a2-2）=0，所以a2=2，或a2=0（舍）或a2=-1（舍）所以数列{a n}的公差d=2-1=1，所以a n=1+（n-1）×1=n；（Ⅱ）证明：=（-1）n-1-（-1）n，∴b1+b2+b3+……+b n=（1+）+（--）+（+）+……+（（-1）n-1-（-1）n，）=1-≤1+=，命题得证．【解析】（Ⅰ）将原式中的n换为1，2得到a1，a2的方程组，解出a1，a2的值，即可得到公差，进而得到数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列{b n}的前n项和，再放缩证明即可．本题考查了等差数列的通项公式，列项相消法求数列的前n项和，放缩法证明不等式．考查了运算求解能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵f（x）=e x-ax+a，∴f'（x）=e x-a，若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a＞0，令f'（x）=0，则x=ln a，当f'（x）＜0时，x＜ln a，f（x）是单调减函数，当f'（x）＞0时，x＞ln a，f（x）是单调增函数，于是当x=ln a时，f（x）取得极小值，∵函数f（x）=e x-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（ln a）=a（2-ln a）＜0，即a＞e2，此时，存在1＜ln a，f（1）=e＞0，存在3ln a＞ln a，f（3ln a）=a3-3a lna+a＞a3-3a2+a＞0，又由f（x）在（-∞，ln a）及（ln a，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围．（2）∵，∴两式相减得a=，记=s（s＞0），则f′（）=-=[2s-（es-e-s）]，设g（s）=2s-（e s-e-s），则g'（s）=2-（e s+e-s）＜0，∴g（s）是单调减函数，则有g（s）＜g（0）=0，而＞0，∴f′（）＜0．又f'（x）=e x-a是单调增函数，且＞，∴f′（）＜0．【解析】（1）由f（x）=e x-ax+a，知f′（x）=e x-a，再由a的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间，然后根据交点求出a的取值范围；（2）由x1、x2的关系，求出f′（）＜0，然后再根据f′（x）=e x-a的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明；本题属于难题，考察了分类讨论的思想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法要明，过程要严谨，能提高分析问题解决问题的能力．22.【答案】解：（Ⅰ）当b=2时，f′（x）=-2ax-2=，x＞0，（1）当a＞0，令f′（x）=0，解得x=，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（2）当a=0时，令f′（x）=0，解得x=，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（3）当-＜a＜0，令f′（x）=0，解得x=或x=∴当0＜x＜，或x＞时，f′（x）＞0，当＜x＜时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减，（4）a≤-，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）问题等价于=ax+b有两解令g（x）=，x＞0有g′（x）=，x＞0，令g′（x）=0，解得x=e3，当0＜x＜e3，g′（x）＞0，当x＞e3，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，e3）上单调递增，在（e3，+∞）上单调递减，当x→-∞时，g（x）→-∞，当x→+∞时，g（x）→0，∵g（e2）=0，∴由图象可知a＞0时，过（0，-）作切线时，斜率a最大，设切点为（x0，y0），则有y=•x+，∴=-，∴x0=e，此时斜率a取最大值，故a的取值范围为（0，]．优质资料\word可编辑【解析】（Ⅰ）根据导数和函数单调性的关系，分类讨论即可求出，（Ⅱ）问题等价于=ax+b有两解，令g（x）=，利用导数和函数最值的关系，即可求出．本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想．11 / 1111。
2022-2023学年四川省成都市高三年级上册学期期中考试 数学(理 )
2022-2023学年四川省成都市高三上学期期中考试 理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,64. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos x x y x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = a b∥A. B.C.D.p q∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=-（ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11C. 12D. 1310. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C.D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8B. 6C. 5D. 4.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭15. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：b M ∈211222a b ab +--<+2022-2023学年度上期高2023届11月半期考试理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B 2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 14【答案】C 3. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,6【答案】A4. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos xxy x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.【答案】A5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π【答案】A6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = ab ∥A. B.C.D.p q ∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝【答案】D7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π【答案】B8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=- （ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C9. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】C10. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<【答案】D 11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C. D. 【答案】C12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8 B. 6C. 5D. 4.【答案】B二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 【答案】12-14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】13515. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △【答案】16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）【答案】5三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直可得数量积为0，结合正余弦定理边角互化即可求解，（2）根据余弦定理可求值，进而可求，根据三角形面积公式即可求解.CD a 【小问1详解】因为，所以，m n ⊥()sin (sin sin )()0a b B A C c a -⨯++-=由正弦定理得．()()()a b b a c a c -⨯=+-即，由余弦定理得，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =【小问2详解】在三角形中，，ADC 2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠即，解得或，即或，213164CD CD =+-1CD =3CD =2a =6a =因为，故，sin sin B C <B C <因为，所以，故，所以，π3C =A CB >>a c b >>6a =所以11sin 6422ABC S ab C ==⨯⨯=△18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，.911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为，解得；a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，，38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0123P5616528558551165故()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）由已知得为等边三角形，，再由，能证明⊥平1A AD1A O AD ⊥1A O CD ⊥1AO 面．ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当的长为时，O //Ox AB O O xyz -BP 23二面角的值为1D A A P --3π【详解】（1）证明：∵，且，13A AD π∠=12AA AD ==∴为等边三角形1A AD∵为的中点O AD ∴，1A O AD ⊥又，且，1CD A O ⊥CD AD D = ∴平面．1A O ⊥ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）O //Ox AB O O xyz -则，，(0,1,0)A-1A 设，(1,,0)P m ([1,1])m ∈-平面的法向量为，1A AP 1(,,)n x y z =∵，，1AA =(1,1,0)AP m =+且，1110(1)0n AA y n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 取，得1z=11),n m =+平面的一个法向量为11A ADD 2(1,0,0)n =由题意得12cos ,n n = 解得或（舍去），此时13m =-53m =-12133BP =-=∴当的长为时，二面角的值为.BP 231D A A P --3π20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 【答案】（1）22143x y +=（2）94【解析】【分析】（1）由题意列出曲线方程化简即可求解；（2）设直线AB 的方程为，，，表示出，联立直线与椭圆方程消去，1,x my =-()11,A x y ()22,B x y P x 表示出关于的韦达定理，结合求出直接PB 的方程，令，求出坐标，进而得到，由y ,B P 0y =M FM求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值.1212ABM S FM y y =-△ABM 【小问1详解】设曲线C 上的任意一点的坐标为，(),x y，即，所以曲线C 的方程为；12=22143x y +=22143x y +=【小问2详解】由题意，设直线AB 的方程为，，，则.1,x my =-()11,A x y ()22,B x y ()14,P y -联立方程得，则，221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=()214410m ∆=+>所以，，所以122634m y y m +=+122934y y m -=+()121223my y y y -=+又因为，所以直接PB 的方程为.2124PB y y k x -=+()211244y y y y x x --=++令，则，0y =()()1212121212121343352444422y y y x my y y x y y y y y y -++=--=--=--=-+=----所以，.5,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭32FM =因为12y y -====所以121324ABMS FM y y =-==△令，，则.t =1t ≥2991313ABM t S t t t ==++△又因为在上单调递减，所以当时，，()913f t t t =+[)1,+∞1t =()max94ARM S =△故面积的最大值为.ABM 94【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+【答案】（1） 1m n ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，由可求对应的m 和n 的值；()()10,11f f '==（2）设，由可判断，由得，设0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b <<<0a b <<11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，得，代换整理得，原不等式要11x b =21x a =21x tx =()()11221ln 1ln x x x x -=-11ln ln 1t t t x t --=-证，只需证，全部代换为关于的不等式得，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<t ()()1ln 1ln 0t t t t -+-<设，，由导数得，再证，放缩得()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-1t >()12ln 11S t t t ⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭()ln 1x x ≤+，进而得证.112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭【小问1详解】由，得.()ln m x n f x x +=()2ln m m x nf x x --'=因为函数在处的切线方程为，()f x ()()1,1f 1y =所以，，则；()10f m n '=-=()11f n ==1m n ==【小问2详解】证明：由（1）可得，，，()ln 1x f x x +=()2ln xf x x -'=所以当时，，单调递增；()0,1x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减.()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 因为，是函数的图象上两点，且，()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =不妨设，且，所以.0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b<<<由，得，即.()()f a f b =ln 1ln 1a b a b ++=11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，.11x b =21x a =设，则，所以，21x tx =1t >()()11221ln 1ln x x x x -=-即，故.()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t tx t --=-要证，只需证，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<即证，即证，即证，12e x x +<()11e t x +<()1ln 1ln 1t x ++<即证，即证.()1ln ln 111t t tt t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<令，，()()()1ln 1ln S t t t t t=-+-1t >则，()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭证明不等式；()ln 1xx ≤+设，则，()()ln 1u x x x=+-()1111xu x x x -'=-=++所以当时，；当时，，10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()u x ()1,0-()0,∞+故，所以成立.()()max 00u x u ==()ln 1xx ≤+由上还不等式可得，当时，，故恒成立，1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭()0S t '<故在上为减函数，则，()S t ()1,+∞()()10S t S <=所以成立，即成立.()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12e x x +<综上所述，.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +【答案】（1） y =2220x y x +--=（2）79【解析】【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l 的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标判断得P 在直线l 上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l 代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.【小问1详解】因为直线l 的参数方程为（t 为参数），12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为y =因为，即，π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos ρθθ=+所以，得，22cos sin ρρθθ=+222x y x +=+所以曲线C 的直角坐标方程为.2220x y x +--=【小问2详解】因为点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为，所以点P 在直线l上，3π2⎫⎪⎭(0,将直线l 的参数方程（t 为参数），代入，化简得，12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2220x y x +--=2790t t -+=设A ，B 两点所对应的参数分别为，，则，，故，，1t2t 127t t +=129t t =10t >20t >所以，，11PA t t ==22PB t t ==所以.121212111179t t PA PB t t t t ++=+==23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：.b M ∈211222a b ab +--<+【答案】（1）{}11M x x =-<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）采用零点讨论法去绝对值可直接求解；（2）结合绝对值三角不等式得，要证()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+，即证，即证，去平方结合因式分解即可求211222a b ab +--<+1a b ab +<+221a b ab +<+证.【小问1详解】.()21110f x x x =+-+-<①当时，不等式可化为，解得，则；1x <-()21110x x -+++-<1x >-x ∈∅②当，不等式可化为，解得，则；112x -≤≤-()()21110x x -+-+-<1x >-112x -<≤-③当时，不等式可化为，解得，则.12x >-()()21110x x +-+-<1x <112x -<<综上所述，；{}11M x x =-<<【小问2详解】证明：因为（当且仅当时取等号），()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+()()21120a b +-≥所以要证，只需证，211222a b ab +--<+2222a b ab +<+即证，即证，即证，1a b ab +<+221a b ab +<+222210a b a b --+>即证.()()22110a b -->由（1）可知，.{}11M x x =-<<因为a ，，所以，所以成立.b M ∈221,1a b <<()()22110ab -->综上所述，.211222a b ab +--<+。
福建省莆田市仙游一中2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案
莆田市仙游一中2015届高三上学期期中考试数学（理科）试卷（命题人：杨超拔，满分：150分，答卷时间: 120分钟）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1. 设为向量，则“a b a b ⋅=”是“b a //”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件2．已知正角α的终边上一点的坐标为（32cos,32sinππ），则角α的最小值为( ) A ．65π B ．32π C ．35π D ．611π3.下列命题中是假命题．．．的是 （ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m x m x f m R ),0(+∞且在上递减 B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02 C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ）A ．2cos xB ．x sin 2C ．sin xD ．cos x5．若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=（ ）A ．7B ．17C ．7-D ．17-6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）A.0B.1C.2D.3()的值域为函数x x x f 3123)(.7-+-= A.[1，2] B[1，2] C.[1,3] D[1,23]8的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐 A ．2 B ． 8 C ． 4 D ．69.已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，()()1c a c b -⋅-=-，则c a-的最大值为（ ）1211 10. 已知定义在[)+∞,0上的函数()x f ，当[]1,0∈x 时，;2142)(--=x x f 当1＞x 时，()()a R a x af x f ,,1∈-=为常数.下列有关函数()x f 的描述：①当2=a 时，423=⎪⎭⎫⎝⎛f ； ②当，＜1a 函数()x f 的值域为[]2,2-；③当0＞a 时，不等式()212-≤x ax f 在区间[)+∞,0上恒成立；④当01-＜＜a 时，函数()x f 的图像与直线()*-∈=N n a y n 12在[]n ，0内的交点个数为()211nn -+-.其中描述正确的个数有( ) A.4 B.3 C.2D.1二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0<x 时，x xe x f -=)(，则当0>x 时，=)(x f ______ . 12.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m . （用四舍五入法将结果精确到个位。
2019华师一附中高三期中理科数学试题及答案
华中师中2019—2020学年度上学期测 高三年级数学(理题 ：12满分：150分命题人庆审题丹 一题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．)1.已知集合A {2,1,0,1,2}，B {x (1x )(x 2)0AIB 的子集个数为() A.2B ．4C ．6D ．8 2.设命题p ：n N ，n 22p 为() A ． 2n nN,n2B ．2 nN,n ≤2 nC ． 2n nN,n=2D ． 2 nN,n ≤2 n 3.若复数z 满足(34i )z 112i ，其中i 为虚z 的虚部为()A.2B.2C.2iD.2i 4.我国古代数学典籍《九章第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一 天也进一尺，以后每天减半。
问两鼠在第几？() A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天 x1 z y 的为() 5.已x ,满足件xy3 x2y30 A.1B.2C.3D.6 6.已知等 S S 且{S n }的最大项为 120,130, S ，a m 12，则 m S() 13 A.20B.22C.24D.26 7.右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ①ANGC ②CF 与EN 所成的角为60 ③BD//MN ④二面角EBCN 的大小为45 其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4uu u r uu u r uu u r8.已知ABC 中，AD2DC ，E 为BD 中点，若BCAEAB，则2的值为()A.2B.6C.8D.10高三年级理科数学试题第1页共8页4alog ， 9.若19 163 blog ， 3 20.2 c0.6，则a,b,c 的大小关系为() A.cbaB.cabC.bacD.abc10.已知函数f(x)2sin(x)(0,||)的部分图像如右图所示，且A(,1),B(,1)，则的值为()2A.5 6 B. 6C.5 6D.611.已知函数f xx 2x x，则使不等式f(x1)f(2x)成立的x 的取值范围是 ()ln(1)22fxx 2x x，则使不等式f(x1)f(2x)成立的x 的取值范围是()A.(，1)(1,)B.(1,+)C. 1 (,)(1,+) 3D .(,2)(1,) 12.已知函数f(x)xsinx2sin(x)，若对于任意的x 1,x 2[0,),(x 1x 2)，均有42xx|f(x)f(x)|a|ee|成立，则实数a 的最小值为()1212A. 2 3B.1C.3 2D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13.曲线 x yxe 在点1 (1,)e处的切线方程为____________. 14.已知 3 sin()2cos()sin2 ，则 2sinsincos____________. 15.已知ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若c1，ABC 的面积为221ab ，则ABC4面积的最大值为____________.uuruuu u r uuru16.已知ABC 的外接圆圆心为O ，|AB|6,|AC|8，AOABAC(,R)，若21sinA(t)(t 为实数)有最小值，则参数t 的取值范围是____________.2三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)高三年级理科数学试题第2页共8页17.(本小题满分12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2A1b222ccos(1)求角C；(2)BM平分角B交AC于点M，且BM1,c6，求cosABM.18.(本小题满分12分)已知数列{a}的前n项和为n1S，1a，n2S1n*a1,nN2nnn(1)证明：数列n1{Sn}n为等差数列；(2)若数列{bn}满足nbnnSS12nn，求数列{b n}的前n项和Tn.xxxxxx19.(本小题满分12分)已知函数f(x)(cossin)(cossin)23sincos20.222222(1)求函数f(x)的最大值并指出f(x)取最大值时x的取值集合；(2)若,为锐角，126cos(),f()，求f()的值.135621.(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，ABBC，AB3,BC2AD2,E为CD的中点，PBAE(1)证明:平面PBD平面ABCD；，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，(2)若PBPD，PC与平面ABCD所成的角为4使得BN平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.22.(本小题满分12分)高三年级理科数学试题第3页共8页1 (1)已知f(x)lnx2x ，证明：当x2时，212xlnx1(ln2)x；411(2)证明：当a(24,12) ee 时，13a133g(x)xlnxxx(x2)有最小值，记39g(x)最小值为(a)，求(a)的值域.23.(本小题满分10分)已知函数f(x)|x2||2x4|(1)解不等式f(x)3x4；(2)若函数f(x)最小值为a，且2mna(m0,n0)，求21m+1n的最小值.高三年级理科数学试题第4页共8页华中师中2019—2020学年度上学期期中考试高三年级数学(理科)答案：12满分：150分命题人庆审题丹 二题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 项是符合题目要求的．) 1234567891011 BDBBADCCACD 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 24. y 1 e 25. 6 5 26. 21 4 27. 3315 (,) 1616 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 28.解：(1)由题1cosA1bb cosA 222cc ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..2 cosAsinCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCsinAcosC0又(0,)sin0cos0 AACC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分4 2 (2)记A BM ，则M BC ，在RtMCB 中，CBcos ， 在RtACB 中，cos ABC B C AB ，即 cos2c os 6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..10 即 2cos 2cos1 6 cos 3 4 或 2 3 (舍) cos3 ABM ⋯⋯⋯.⋯⋯⋯分.124 29.解：(1)n2时， 2222 Snannn(SS)nn ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分2 nnnn1即 22 (n1)S n nS n n(n1)(n 2)1同除以n (n 1)得n 1n SS1(n2) nn1 nn1n1 {S n } n为等差数列，首项为1，公差为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分6 (2)由(1)知2 n1n SnS nn nn1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..8n211 bnnn1nn(n1)2n2(n1)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.10111111T(1)()()1n112n1nn222232n2(n1)2(n1)2⋯⋯⋯.. 12分30.解：(1)xxxx 22f(x)cossin23sincoscosx3sinx2sin(x)⋯⋯⋯.分.322226令x2k得x2k,k Z623所以最大值为2，此时x的取值集合为{x|x2k,k Z}⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.63(2)由,为锐角，cos() 1213得sin()513Q022663又312sin()(,)65226644cos()65⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..8cos()cos[()()]6663cos()cos()sin()sin()6665⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10126 f()2sin()2sin()2cos()⋯⋯⋯⋯⋯⋯163266652分31.解(1)证明:由四边形ABCD是直角梯形,AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.3∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE?平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4分(2)在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接O C,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,高三年级理科8页∴PO ⊥平面ABCD∴∠PCO 为P C 与平面ABCD 所成的角,则∠PCO= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.64∴易得OP=OC=∵PB=PD,PO ⊥BD,∴O 为B D 的中点,∴OC ⊥BD.以O B ,O C ,OP 所在为x ,y 建直系,则B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,), 假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN 平面PCD 成立，uuruuu u r uu u r 设PNPDPC(,0,1) ，易得N(,3,3(1))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分8 由u uruuu u r BNPC0 uuruuu u r 得 BNPD012 , 55 ，满足题意⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10 所以N 点到平面ABCD 的距离为3(1) 23 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.12(说明：若没有说明,0,1或者用其它方法解答但没有说明点N 在侧面PCD 上， 扣2分)32.解：(1)证明：212x2/ f(x )033 xxx f x 在[2,)上单增 ()x2时，f(x)f(2)即11lnxln22 x4x2时，212xlnx1(ln2)x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分44(2)13a11/2222g(x)xlnxxx1x(lnxa)233x11由f(x)在[2,)上单增且2f(e)1,f(e )2,24 eea11 (2,1)42 ee知存在唯一的实数2x 0(e,e)，使得 / g(x)0，即1 lnxa002x 0//x(x,),g(x)0,g(x)单增x(2,x),g(x)0,g(x)单减；00⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..81lnxa0g(x)g(x)，x0满足02min0x7页共8页高三年级理科数学试题第1 alnx02x 013a1 33g (x )xlnxxx00000393 0 x 2932 x(exe)⋯⋯.10分 00 122/2x 32记h (x)xx(exe)，则h xh(x)在 ()093332(e,e)上单减63e2e222eh(e)h(x)h(e)e939363 e2e2所以(a)的值域为2(e,e)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.12939333.解：(1)当x2时，3x23x4，无解当2x2时，x63x4，得12 x2当x2时，3x 23x4，得x21 [,)所以不等式解集为2⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..5 (2)f(x)|x2||2x4||x2||x2||x2| |(x2)(x 2)||x2|当且仅当2x2时取等 4|x2|4当且仅当x2时取等 所以当x2时，f(x)最小值为4，即a4，⋯⋯⋯⋯⋯分7所以2mn4所以 21121[2(m1)n]()m1n6m1n 12(m1)2n (5) 6nm112(m1)2n3 (52) 6nm12所以21m+1n2(m1)2nnm1当且仅当3最小值为⋯⋯⋯⋯⋯分.102且2mn4即m1,n2时取“=”高三年级理科8页。
陕西省西安市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试 高三数学（理科）试题命题人：付 功一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2x B x =-≥,则=⋂B C A R ( )(A))1,2(-- (B))0,1(- (C))0,1[- (D)]1,2(--2.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面对量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)43．复数z 满足i z i 34)23(+=⋅-，则复平面内表示复数z 的点在( )（A ）第一象限 （B ）其次象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) （A ） 12π （B ）6π （C ） 3π（D ）56π5. 已知数列{}n a 为等差数列，满足OC a OB a OA 20133+=，其中C B A ,,在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ） （A ）22015（B ） 2015 （C ）2016 （D ）2013 6. 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则[])()(22x f x f y +=的最大值为（ ）（A ）33 （B ）22 （C ） 13 （D ）67.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 （ ）A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π）8. 在ABC∆中，060=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则BC 的长为（ ） （A ）2 （B ）23 （C ）32 （D ）39.已知向量（，），（，），与的夹角为060,则直线021sin cos =+-ααy x 与圆()()21sin cos 22=++-ββy x 的位置 关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离 （C ）相切 （D ）随的值而定10．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点N M ,，则MN 的最小值为（ ）（A ）2ln 2121+ （B ）2ln 2121- （C ） 2ln 1+ （D ）12ln - 11.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ） （A ）62 （B ）92 （C ） 122 （D ）15212．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．（A ）f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12 （B ）f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12 （C ）f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12 （D ）f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12二、填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上). 13. 设向量)2,1(),1,(=+=b x x a ,且b a ⊥,则=x .１４．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f15在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+- 则角C 的大小为。
辽宁省建昌高中2011届高三年级上学期期中考试(数学理)
建昌高中2010—2011年十一月月考高三数学试题（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1、在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为 ( ) A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或122．已知四边形ABCD 的三个顶点A （0，2），B （—1，—2），C （3，1），且AD BC 2=，则 顶点D 的坐标为（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛27,2 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2 C ．（3，2）D ．（1，3）3、若)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值为 （ ）A ．31B ．31-C ．97 D ．97-4．在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11S （ ） A ．18 B ．99 C ．198D ．2975、函数y ＝sin 2x 的图象，向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值为 ( )A.512πB.116πC.1112π D ．以上都不对6、若等边的边长为23，平面内一点Ｍ满足（ ）A . 2 B. －2 C. －3 D. 3 7、使奇函数f(x)=sin(2x+θcos(2x+θ)在[4π-,0]上为减函数的θ值为 （ ）A 、 3π-B 、6π-C 、56π D 、23π8、若平面向量 )2,1(-=a 与b 的夹角是1800，且53=b ，则b 的坐标为 （ ）A ．（6，-3）B ．（-6，3）C ．（-3，6）D ．（3，-6）9．已知实数x ，y 满足⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是 （ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 C ．),21[+∞-D ．)1,21[-10、定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当]5,3[∈x 时42)(--=x x f ，则( )A ．(sin)(cos)66f f ππ< B ．(sin 1)(cos 1)f f >C ．22(sin)(cos)33f f ππ< D ．(sin 2)(cos 2)f f >11、已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是( )12．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：l ，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n N *∈ 的前l2项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则200920102011a a a ++等于 （ ）A ．1003B ．1005C ．1006D ．2011二、填空题：（每小题5分，共20分）13、数列{}n a 的前n 项和242,n S n n =-+1210||||||a a a +++= .14、已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6πωω和g(x)=2cos (2x+)+1ϕ的图象的对称轴完全相同。
甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试卷
西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理） 命题人：张丽娇 审题人：惠银东一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60项是符合题目要求的．）1.已知集合{}3,2,1,2A =---，{B x =2|56x x --≤}0，则A ⋂C R B =（ ）A ．{}3-B ．{}3,2,1---C ．{}3,2--D ．{}1,2- 2.集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（ ）A ．12-B ．()0,4a ∈C ．()[),04,a ∈-∞⋃+∞D ．()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭ 3.已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R ；命题 1:,1xq x e ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．()p q ⌝∨5.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝⎛⎭⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升到8000，则C 大约增加了(lg 2≈0.301)( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．50%6.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ）①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；A ．②③B ．③④C ．②④D ．③7.已知非常数函数f(x)满足f (−x )f (x )=1(x ∈R)，则下列函数中，不是奇函数的是（ ）A ．f (x )−1f (x )+1B ．f (x )+1f (x )−1C ．f (x )−1f (x )D ． f (x )+1f (x )8．已知3log 2a =，4log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<9．函数f (x )＝3|x |·cos 2x x的部分图象大致是( )10.若()f x 的定义域为R ，对,x y R ∀∈，()()()()(),11f x y f x y f x f y f ++-== 则()221k f k ==∑( )A ．－3B ．－2C ．0D ．111.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π， 且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.[18,814]B.[274,643]C.[274,814]D.[18,27]12.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)<f(x)，则不等式e x f(x +1)<e 4f(2x －3)的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()3,01,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则()()2f f -=__________． 14.函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为__________． 15.∫(3−3sinx +√9−x 2)dx =__________．16．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上单调递增，则 ①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；④函数f (x )在[0,100]上有25个零点．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（14分）在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．“①函数y =√x 2+2x −k 的定义域为R ，②∃x ∈R ，使得|x −1|+|x −2|+k ⩽0， ③方程x 2+k =0有一根在区间[1,+∞)内”问题：已知条件p ：______，条件q ：函数f(x)=2x 2−kx 在区间(−3,a)上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最大值．18.（14分）已知函数f (x )=ln (m x x+1−1)(其中m ∈R 且m ≠0)是奇函数．（1）求m 的值；（2）若对任意的x ∈[ln2,ln4]，都有不等式f (e x )−x +lnk ≥0恒成立， 求实数k 的取值范围．19.（14分）已知函数f (x )＝x 2－2x +aln x(a ∈R)．(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －4y －2＝0垂直，求实数a 的值；(2)当a >0时，讨论函数f(x)的单调性．20.（14分）已知函数f (x )=2a+1a −1a 2x ，a >0 (1)证明:函数f (x )在（0，+∞）上单调递增；(2)设0<m <n ，若f (x )的定义域和值域都是[m,n ]，求n −m 的最大值.21.(14分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，， （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.。
天津市蓟县2022届高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2021-2022学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．函数的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=( )A ．B ．C ．D ．2．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点可能落在下列哪个区间内( )A．（0，1）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）3．已知向量，，满足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为( )A ．B ．C ．D ．4．将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A．y=2cos2x B．y=2sin2x C ．D．y=cos2x5．由直线y=x和曲线y=x3围成的封闭图形面积为( )A ．B ．C．1 D．26．有四个关于三角函数的命题：p1：∃A∈R ，+=；p2：∃A，B∈R，sin（A﹣B）=sinA﹣sinB；p3：∀x∈[0，π]，=sinx，p4：sinx=cosy→x+y=其中假命题是( )A．P1，P4B．P2，P4C．P1，P3D．P2，P37．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是( )A．（0，1）B．（0，）C．[，）D．[，1）8．定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b 满足的取值范围是( ) A ．B ．C ．D．（﹣∞，3）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．函数f（x）=sinωx•cosωx的最小正周期为2，则ω=__________．10．已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为__________．11．已知函数y=f（x）为R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+a ，则f（﹣1）=__________．12．在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=，l的极坐标方程为__________．13．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为__________．14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•当λ=__________时有最小值为__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（1）求AB的值；（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长．16．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．17．（13分）已知f（x）=sin（2x﹣），且f（a+）=﹣，＜α＜．（1）求cosα；（2）求．18．（13分）若函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]的最大值为6．（1）求常数m的值；（2）求函数当x∈R时的最小值，并求出相应的x的取值集合；（3）求该函数x∈[0，π]的单调增区间．19．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x，设t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）试推断m，n的大小并说明理由；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，并确定这样的x0的个数．2021-2022学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．函数的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=( )A ．B ．C ．D ．【考点】交集及其运算；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】依据负数没有平方根列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合A，依据负数和0没有对数列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合B，然后求出两集合的交集即可．【解答】解：由函数有意义，得到1﹣2x≥0，解得：x ≤，所以集合A={x|x ≤}；由函数y=ln（2x+1）有意义，得到2x+1＞0，解得：x ＞﹣，所以集合B={x|x ＞﹣}，在数轴上画出两集合的解集，如图所示：则A∩B=（﹣，]．故选A【点评】此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集的运算．此类题往往借助数轴来计算，会收到意想不到的收获．2．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点可能落在下列哪个区间内( )A．（0，1）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】欲求函数的零点所在的区间，依据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在推断出区间两个端点的乘积是否小于0，从而得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=|x﹣2|﹣lnxf（1）=1＞0，f（2）=﹣ln2＜0f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0 f（5）=3﹣ln5＞0∴f（1）f（2）＜0，f（3）f（4）＜0∴函数的零点在（1，2），（3，4）上，故选C．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．3．已知向量，，满足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为( )A ．B ．C ．D ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题；平面对量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，化简等式，即可求得与的夹角．【解答】解：设与的夹角为θ∵（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴1+•﹣8=﹣6∴•=1∵•=||||cosθ∴cosθ=，又∵θ∈[0，π]∴θ=故选B．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查同学的计算力量，属于基础题．4．将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A．y=2cos2x B．y=2sin2x C ．D．y=cos2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】依据向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可．【解答】解：将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选A．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查图象变化，是基础题．5．由直线y=x和曲线y=x3围成的封闭图形面积为( )A ．B ．C．1 D．2【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数x3﹣x在区间[0，1]上的定积分的值的2倍，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵曲线y=x3和曲线y=x的交点为A（1，1）、原点O和B（﹣1，﹣1）∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为S=2=2（）=2（）=故选：B【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等学问，属于基础题．6．有四个关于三角函数的命题：p1：∃A∈R ，+=；p2：∃A，B∈R，sin（A﹣B）=sinA﹣sinB；p3：∀x∈[0，π]，=sinx，p4：sinx=cosy→x+y=其中假命题是( )A．P1，P4B．P2，P4C．P1，P3D．P2，P3【考点】命题的真假推断与应用．【专题】计算题．【分析】推断特称命题为真只须举特例即可，推断全称命题为真，则需要严格证明，推断特称命题为假，须严格证明，而推断全称命题为假，只须举反例即可．【解答】解：∵恒成立，∴命题p1为假命题∵当A=0，B=0时，sin（A﹣B）=sinA﹣sinB，∴命题p2为真命题∵==|sinx|，而x∈[0，π]，∴sinx≥0，∴=sinx∴命题p3为真命题∵sin=cos0，而+0≠，∴命题p4为假命题故应选A【点评】本题考查了推断全称命题和特称命题真假的方法，解题时要精确把握命题特点，恰当推断7．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是( )A．（0，1）B．（0，）C．[，）D．[，1）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】依据条件便有，从而得到f（x）在R上单调递减，这样依据一次函数、对数函数及减函数的定义便可得到，这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围．【解答】解：依据条件知，f（x）在R上单调递减；∴；解得；∴实数a的取值范围为[）．故选：C．【点评】考查减函数的定义，依据减函数的定义推断一个函数为减函数的方法，以及一次函数、对数函数及分段函数的单调性．8．定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b 满足的取值范围是( )A ．B ．C ．D．（﹣∞，3）【考点】简洁线性规划的应用；函数的单调性与导数的关系．【专题】压轴题；图表型．【分析】先依据导函数的图象推断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，0＜a＜2，画出可行域如图．k=表示点Q（﹣1，﹣1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（2，0）时，k 最小，最小值为：；当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．函数f（x）=sinωx•cosωx的最小正周期为2，则ω=．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】由二倍角公式化简函数解析式可得f（x）=sin2ωx，由周期公式即可解得ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx•cosωx=sin2ωx，最小正周期为2，∴2=，解得：ω=．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式，周期公式的应用，属于基础题．10．已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为3．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】首先，将所给的条件代入，转化为基本不等式的结构形式，然后，利用基本不等式进行求解．【解答】解：∵x，y∈R+，x+y=1，∴+=+=++1≥2+1=3，故答案为：3．【点评】本题重点考查了基本不等式问题，考查等价转化思想的机敏运用，属于中档题．11．已知函数y=f（x）为R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+a，则f（﹣1）=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可．【解答】解：函数y=f（x）为R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+a，可得f（0）=02+2×0﹣20+1+a=0，解得a=2．x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+2，f（﹣1）=﹣f（1）=﹣[12+2﹣21+1+2]=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，考查计算力量．12．在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=，l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0．【考点】简洁曲线的极坐标方程．【专题】计算题；函数思想；分析法；坐标系和参数方程．【分析】先把点的极坐标化为直角坐标，再求得直线方程的直角坐标方程，化为极坐标方程．【解答】解：在直角坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=的直线的斜率为，其直角坐标方程是y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣+1=0，其极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，故答案为：ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键．13．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题．【分析】延长BO交⊙O与点C，我们依据已知中⊙O的半径为2，，∠AOB=90°，D为OB 的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：【点评】本题考查的学问是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键．14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•当λ=时有最小值为．【考点】平面对量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；向量法；平面对量及应用．【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，依据具体的形式求最值．【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=2，所以=（+）•（+），=（+）（+），=•+λ++•，=4×2×cos60°+λ×2×2×cos60°+×4×2+×2×2×cos120°，=+2λ+≥+2×2=，（当且仅当λ=时等号成立）．故答案为：，．【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（1）求AB的值；（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）依据正弦定理即可求值得解．（2）依据余弦定理可求cosA，由D为AB边的中点，可求AD，依据余弦定理即可求得CD的值．【解答】（本题满分13分）解：（1）在△ABC 中，依据正弦定理，，于是．…（2）在△ABC 中，依据余弦定理，得，∵D为AB边的中点，∴AD=，在△ACD 中，由余弦定理有：．…（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数争辩函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的微小值；（Ⅱ）先求出函数h （x）的导数，通过争辩a的范围，从而得到函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）微小∴f（x）在x=1处取得微小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，分类争辩思想，是一道中档题．17．（13分）已知f（x）=sin（2x ﹣），且f （a+）=﹣，＜α＜．（1）求cosα；（2）求．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】（1）直接利用函数值列出方程，求出，利用两角和与差的三角函数求解即可．（2）求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）．∴，∵，∴，又∵，∴∴=…（Ⅱ）同理（Ⅰ），，∴，，∴原式=…（13分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算力量．18．（13分）若函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]的最大值为6．（1）求常数m的值；（2）求函数当x∈R时的最小值，并求出相应的x的取值集合；（3）求该函数x∈[0，π]的单调增区间．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，（1）利用已知条件求出相位的范围，然后求解m即可．（2）求出函数的最小值，然后求解x的集合．（3）利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间即可．【解答】解：（1）∵函数f（x ）在区间上为增函数，在区间上为减函数，∴在区间的最大值为=6，∴解得m=3．（2）（x∈R）的最小值为﹣2+4=2．此时x 的取值集合由，解得：…（3）函数设z=，函数f（x）=2sinz+4的单调增区间为由，得，设A=[0，π]B={x|}，∴∴，x∈[0，π]的增区间为：．…（13分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算力量．19．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．【考点】利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】方程思想；构造法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求得函数的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得导数，求得极值点，求出端点处的函数值，可得最值；（3）构造函数g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，求出导数和单调区间，可得极值和最值，即可证得不等式．【解答】解：（1）函数f（x）=x+ax2+blnx 的导数为．由已知条件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+ 0 ﹣f（x）增减当x=时，取得最大值；当x=e时，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．即有x=1处取得极大值，且为最大值0故当x＞0时，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造函数的思想方法证明不等式，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x，设t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）试推断m，n的大小并说明理由；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，并确定这样的x0的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数推断；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩函数的极值．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后依据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的微小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．【解答】解：（1）由于f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，要使函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0，（2）由于函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得微小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（3）证：∵，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x ﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并争辩解的个数，由于g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．【点评】本题以函数为载体，考查利用导数确定函数的单调性，考查函数的极值，同时考查了方程解的个数问题，综合性强，尤其第（3）问力量要求比较高．。
甘肃省兰州市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学(理)
兰州一中2020-2021-1学期期中考试试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2 3.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A.2 2B.17C.15D.2 56. ( )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( )212(),52xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩9.函数若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c ),则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－e ，1e C.[－e ，＋∞) D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有()'()ln 2f x f x >成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ()2log 013.30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩已知函数，则18f f ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ________．()22214.4=x x dx --+⎰定积分________.15.若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是_______________． ()()1123116.21x a x a x f x R a x -⎧-+<=⎨≥⎩已知函数的值域为，则实数的取值范围是______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足 (a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.18.(本题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值.序号 分组（分数段） 频数（人数） 频率 1 [0, 60) a 0.1 2[60, 75)15b19.(本题满分12分)为迎接我校建校120周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，成绩均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表： （1）求,,,a b c d 的值；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.20.(本题满分12分)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－ax .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝e x ＋mx 2－2e 2－3，当a ＝e 2＋1时，对任意x 1∈[1，＋∞)，存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)≤ f (x 1)，求实数m 的取值范围.选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22.(本题满分10分)平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.23.(本题满分10分)已知函数()|21||23|f x x x =++-. (1)求不等式6)(≤x f 的解集；(2)若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.兰州一中2020-2021学年度高三第一学期期中数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( C ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( B )A.12B.22C.32D.23.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( D ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( C ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( A ) A.2 2B.17C.15D.25.6.6.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( C )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( A ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( D )9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( B ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( B ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( D ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－e ，1eC.[－e ，＋∞)D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( C )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 127． 14.定积分⎠⎛－22(4－x 2＋x )d x ＝___2π._____.15．若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是___2____________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是_0≤a <12.___.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值. 解 (1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc . ∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C .∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C .∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C ).故当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值 3.18.（本题满分12分）如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值. (1)证明 如图，连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1∥DC ，可得B 1C ∥A 1D ，故ME ∥ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED . 又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， 所以MN ∥平面C 1DE .(2)解 由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →，DE →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0).设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0).设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1).于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155，则sin 〈m ，n 〉＝105，所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为105. 19.（本题满分12分）为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.解：(Ⅰ(Ⅱ)X 的可能取值为2，3，4.12(2)0.20.20.04,(3)0.20.80.20.064,P X P X C ==⨯===⨯⨯=1233(4)0.20.80.80.896P X C ==⨯+=所以分布列为：()20.0430.06440.896 3.856E X =⨯+⨯+⨯=20.（本题满分12分）已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*) 因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4， 则32<k <2或－2<k <－32. 则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2. 21.（本题满分12分）已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－a x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝e x＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax＋1＋a－1x2＝（x－1）（x－a＋1）x2，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.当a≤1时，a－1≤0，由f′(x)<0得0<x<1，由f′(x)>0得x>1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.当1<a<2时，0<a－1<1，由f′(x)<0，得a－1<x<1，由f′(x)>0得0<x<a－1或x>1，所以函数f(x)在(a－1，1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增. 当a＝2时，a－1＝1，可得f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>2时，a－1>1，由f′(x)<0得1<x<a－1，由f′(x)>0得0<x<1或x>a－1，所以函数f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0，1)和(a－1，＋∞)上单调递增.(2)当a＝e2＋1时，由(1)得函数f(x)在(1，e2)上单调递减，在(0，1)和(e2，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(e2)＝－e2－3.对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，即存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)的函数值不超过f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值－e 2－3.由e x ＋mx 2－2e 2－3≤－e 2－3得e x ＋mx 2≤e 2，m ≤e 2－e xx 2. 记p (x )＝e 2－e xx 2，则当x ∈[1，＋∞)时，m ≤p (x )max . p ′(x )＝－e x x 2－2（e 2－e x ）x （x 2）2＝－e x x ＋2（e 2－e x ）x 3， 当x ∈[1，2]时，显然有e x x ＋2(e 2－e x )>0，p ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，e x x ＋2(e 2－e x )>e x x －2e x >0，p ′(x )<0，故p (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，得p (x )max ＝p (1)＝e 2－e ，从而m 的取值范围为(－∞，e 2－e].四．选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22. （本题满分10分）坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.解 (1)将直线l 的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1化为直角坐标方程为x －y －1＝0.将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝9. (2)由(1)知点M (0，－1)，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，代入圆的方程为t 2－2t －8＝0，设A ，B 对应的参数为t 1和t 2，所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝－8.故⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝28. 23．（本题满分10分）已知函数()|21||23|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x .，解此不等式得53>-<a a 或.。
2011年海淀区高三上期中练习数学(理科)
2011年海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2011．11选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1． 设集合()(){}|2130A x x x =--<，{}|14B x x =≤≤，则A B =∩（ ）A ．[)10，B ．()23，C ．142⎛⎤⎥⎝⎦，D ．(]14，2． 若()()2lg 1f x x =-，则()f x 的定义域是（ ） A ．()1+∞，B ．()()011+∞，∪，C ．()()110-∞--，∪，D ．()()001-∞，∪， 3． 已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-，则12345a a a a a ----=（ ）A ．15B ．17C ．15-D ．164．已知非零向量a，b，那么“0a b ⋅> ”是“向量a，b方向相同”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，上为减函数的是（ ）A ．sin 2y x =B ．2cos y x =C ．cos 2x y = D ．()tan y x =-6． 函数()1xf x e =-的图象大致是（ ）AB C D7． 要得到函数sin cos y x x =-的图象，只需将函数cos sin y x x =-的图象（ ）A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度 C ．向右平移π个单位长度D ．向左平移3π4个单位长度8． 已知定义域为()0+∞，的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则方程()2f x =+）A ．3B ．2C ．1D ．0非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9． 曲线1y x=在2x =处的切线的斜率为 ．10． 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ．11． 点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点（如图所示）．若图中阴影部分的面积等于矩形O ABC 的面积，那么边AB 的长等于 ．12． 已知点()11A ，，()53B ，，向量AB 绕点A 逆时针旋转3π2到AC 的位置，那么点C 的坐标是 ．13． 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，8a =，10b =，ABC △的面积为，则ABC △中最大角的正切值是 ． 14． 已知数列()12.3n A a a a n ，≥∶，令{}|1A k k T x x a a i j n ==+<，≤≤，()card A T 表示集合AT 中元素的个数．①若24816A ，，，∶，则()card A T = ；②若1i i a a c +-=（c 为常数，11i n -≤≤），则()card A T = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （本小题共13分）已知函数()2sin 2cos 22f x x x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16． （本小题共13分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，23a -，且5a 是4a ，5a 的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使n n a S =成立的的有n 的值． 17． （本小题共13分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：C ）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式1000020C x =+，每日的销售额R （单位：元）与日产量x 满足函数关系式52129001203020400120.x ax x x R x ⎧-++<<⎪=⎨⎪⎩，，，≥ 已知每日的利润y R C =-，且当30x =时，100y =-．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润率可达到最大，并求出最大值． 18． （本小题共13分）已知函数()()22ln f x x ax a x a =+-∈R ．（Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间． 19． （本小题共14分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a λ=-（λ为常数，123n = ，，，）． （Ⅰ）若232a a =，求λ的值；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当2λ=时，若数列{}n b 满足()1123n n n b a b n +=+= ，，，，且132b =，令()1nn n na c ab =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 20． （本小题共14分）已知函数()22x x P f x x x x M ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，，，，其中P ，M 是非空数集，且P M =∅∩．设()(){}|f P y y f x x P ==∈，， ()(){}|f M y y f x x M ==∈，． （Ⅰ）若()0P =-∞，，[]04M =，，求()()f P f M ∪；（Ⅱ）是否存在实数3a >-，使得[]3P M a =-∪，，且()()[]323f P f M a =--∪，？若存在，请求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明现由；（Ⅲ）若P M =R ∪，且0M ∈，1P ∈，()f x 是单调递增函数，求集合P ，M参考答案一、选择题对于任意()0,x ∈+∞，()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，意味着()12log f x x +的值不随x 的变化而变化，设其值为m ，则()()12log 3f x x mf m +=⎧⎪⎨⎪=⎩，即12log 3m m -=．方程左边的式子随着m 的增大而增大，且可以观察得知2m =是方程的解，于是2m =是其唯一解．于是方程()2f x =+122log2x -=+2log x =t =，0t >，有22t t =．画函数图象可知，方程22t t =在()0,+∞上有两解．于是选B ．二、填空题9、14-10、 11、2π12、()3,3-13、314、6；1,023,0c n c =⎧⎨-≠⎩三、解答题15． （I ）()11cos 4sin 422xf x x -=-1sin 44222x x=+-πsin 432x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期是2ππ42=．（II ）∵π04x ≤≤，∴ππ4π4333x +≤≤，因此πsin 4123x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤ ∴()12f x -≤，因此()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是,12⎡-⎢⎣⎦． 16． （I ）设数列{}n a 的公差为d ，则52333a a d d =+=+，42232a a d d =+=+，82636a a d d=+=+于是2548a a a =⋅即()()()2333236d d d +=++，解得2d =- 因此125a a d =-=，()1172n a a n d n =+-=-．（II ）72n a n =-，∴26n S n n =-+，因此n n a S =，即2672n n n -+=-，解得1n =或7n =．17． （I ）32127010000,0120301040020,120x ax x x y R C x x ⎧-++-<<⎪=-=⎨⎪-⎩≥，当30x =时，3213030270301000010030y a =-⋅+⋅+⋅-=-解得3a =．（II ）主要研究函数()32132701000030f x x x x =-++-，利用导数()21627010f x x x '=-++()()1903010x x =--+根据边界点()0,10000-，()120,8000和极值点()90,14300，画函数草图如下：于是当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大，且此最大值为14300元． 18． （I ）利用数列前n 项和与通项公式的关系：111111111n n n n n n n n n n n n n S a S S a a a a a a a S a λλλλλλλλ------=-⎫⇒-=-⇒=-⇒=⎬=--⎭ 而111S a λ=-，即111a a λ=-，解得111a λ=-于是()221a λλ=-，()2331a λλ=-，代入232a a =，得()()223411λλλλ=--，于是常数2λ=（0λ=舍去）． （II ）由（I ）1λλ-0≠，于是{}n a 是等比数列，若{}n a 同时也为等差数列，则{}n a 为非零常数列． 此时11λλ=-，无解．因此不存在常数λ使得{}n a 是等差数列．（III ）当2λ=时，12n n a -=，而112n n n n b b b -+=-=△，∴11111131221222n n n n n b b ----=+=+-=+∑于是()()()11111221121212121212122n nn n n n nn n c -----⎛⎫===- ⎪++⎛⎫++⎝⎭++ ⎪⎝⎭ 累加，有n T =1122122121n n⎛⎫-=-⎪++⎝⎭．20、（I ）如图：若(),0P =-∞，则()()0,f P =+∞； 若[]0,4M =，则()[]8,1f M =-； 于是()()[)8,f P f M =-+∞ ．（II ）如图，画出直线3y =-，与22y x x =-+交于点()1,3--和()3,3-，于是可知[]1,3M ⊆-；∵[]3,P M a =- ，∴[]3,1--P ⊆，于是[][]1,33,23a ⊆--，因此233a -≥，即3a ≥； 当3a ≥时，∵22x x x >-+，∴函数的最大值为a ，因此23a a =-，解得3a =． 经检验，3a =时，取[][]3,01,3P =- ，()0,1M =即可． 于是满足条件的实数a 的值为3．（III ）如图，()f x 是单调递增函数，于是(],0M -∞⊆，[)1,P +∞⊆ 当()0,1P ⊆时，P =()0,+∞，(],0M =-∞； 当()0,1M ⊆时，[)1,P =+∞，(),1M =-∞．。
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高三普通班期中考试理科数学试题
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的倾斜角为( )
A．45°B．135°
2．点F(3m＋3，0)到直线3x－3my＝0的距离为( )
A. 3
B.3m
C．3 D．3m
3．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
4．如果直线l过(－2，－2)，(2,4)两点，点(1 344，m)在直线l上，那么m的值为( ) A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
5．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
6．过点(2，0)引直线l与曲线y A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A C
7．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )
A．．．1
9．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为( )
A．36 B．18 C．．
10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
11．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为 ( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
12．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________________．
14．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为______________．
15．圆O：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离的最大值是________．
16．已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________
三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(15分)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，点Q的坐标为(－2,3)．
(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)求|MQ|的最大值和最小值；
(3)求M(m，n)，求
3
2
n
m
-
+
的最大值和最小值．
18．(15分)已知圆C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，其中m<5．
(1)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|m的值；
(2)在(1)条件下，是否存在直线l：x－2y＋c＝0，使得圆上有四点到直线l的距离为
5若存在，求出c的范围；若不存在，说明理由．
19．(10分)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直
线方程为y＝0．若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
20． (15分)已知△ABC中，顶点A(2,2)，边AB上的中线CD所在直线的方程是x＋y＝0，边AC上高BE所在直线的方程是x＋3y＋4＝0．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
21．(15分)(1)已知△ABC的三个顶点为A(0,5)，B(1，－2)，C(－6,4)，求BC边上的高所在直线的方程；
(2)设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
参考答案 一、选择题
AAAD ABAB CADC
二、填空题
13.解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝
－
2
＋－3＋
2
＝5，∴圆
C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.
答案：(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝5
14.解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋3
2
＝4，
y ＋2
2
＝3，
z ＋1
2
＝1，解得x ＝5，y
＝4，z ＝1，
故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)
15.解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|
32＋4
2
＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：4 16.答案：22
三、解答题解：
17．解：(1)由点P (a ，a ＋1)在圆C 上，可得a 2
＋(a ＋1)2
－4a －14(a ＋1)＋45＝0，所以a ＝4，即P (4,5)．
所以|PQ |k PQ ＝
3524---＝1
3
．
(2)由x 2
＋y 2
－4x －14y ＋45＝0可得(x －2)2
＋(y －7)2
＝8，
所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝
可得|QC |
因此|MQ |max ＝|QC |＋r ＝|MQ |min ＝|QC |－r ＝ (3)分析可知，
3
2
n m -+表示直线MQ 的斜率． 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则
3
2
n m -+＝k ．
由直线MQ 与圆C
2
k
所以
3
2
n m -+的最大值为2
2
18．解：(1)圆C 的方程化为(x －1)2
＋(y －2)2
＝5－m ， 圆心C (1,2)，半径r
则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为
d
由于|MN |
12|MN |
有r 2＝d 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2，∴5－m
＝2
＋2，得m ＝4． (2)假设存在直线l ：x －2y ＋c ＝0，使得圆上有四点到直线l
的距离为
5
， 由于圆心C (1,2)，半径r ＝1，则圆心C (1,2)到直线l ：x －2y ＋c ＝0的距离为
d
<14
c <2
19.答案：解：由方程组21=0=0x y y -⎧⎨
⎩+，
，
解得点A 的坐标为(－1,0).
又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，
所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1).① 又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0， 故直线BC 的斜率k BC ＝－2，
所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1).② 解①②组成的方程组得=5=6x y ⎧⎨-⎩，
，
即顶点C 的坐标为(5，－6).
20．解：(1)由题意可设B (－3a －4，a )，则AB 的中点D 322,2
2a a --+⎛⎫
⎪⎝⎭必在直线CD 上， ∴
322a --＋2
2
a +＝0，∴a ＝0，∴B (－4,0)． 又直线AC 方程为：y －2＝3(x －2)，即y ＝3x －4．
由0,34x y y x +=⎧⎨=-⎩
得，C (1，－1)．
(2)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则()22222220,440,110,
D E F D F D E F ⎧++++=⎪⎪
--+=⎨⎪++-+=⎪⎩
解得941147D E F ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩
∴△ABC 外接圆的方程为x 2
＋y 2
＋94x －11
4
y －7＝0．
21. 解：(1)∵BC 边所在直线的斜率k BC ＝
24
1(6)
----＝－67，
∴BC 边上的高所在直线的斜率k ＝7
6. ∴BC 边上的高所在直线的方程为y ＝7
6
x ＋5，
即7x －6y ＋30＝0.
(2)令x ＝0，y ＝2＋a ；令y ＝0，当a ≠1时，x ＝21
a
a +-. ∵直线l 在两个坐标轴上的截距相等， ∴2＋a ＝
21
a
a +-，解得a ＝－2或a ＝2. 当a ＝1时，直线l 的方程为y ＝3，此时在x 轴上的截距不存在，不合题意． ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或3x －y ＝0.。