2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算

2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算

基础巩固强化

一、选择题

1．(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →

＋BA →

＝2BP →

，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →

＋PC →

＝0 D.P A →

＋PB →

＋PC →

＝0

[答案] B

[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →

＋BA →

＝2BP →

⇔P 是AC 的中点，故P A →

＋PC →

＝0.

(理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →

＝2DB →，CD →

＝rAB →

＋sAC →

，则r ＋s 的值是( )

A.23

B.43 C ．－3 D ．0

[答案] D

[解析] CD →

＝AD →

－AC →

，DB →

＝AB →

－AD →

.

∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →

－1

2CD →－AC →.

∴3

2

CD →＝AB →－AC →

，

∴CD →＝23AB →－2

3

AC →

.

又CD →＝rAB →＋sAC →

，∴r ＝23，s ＝－2

3，

∴r ＋s ＝0.

2．(2012·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b

|b |成立的充分条件是( )

A ．a ＝－b

B ．a ∥b

C ．a ＝2b

D ．a ∥b 且|a |＝|b |

[答案] C

[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念．

因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b

|b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b |

.

[点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b |

.

3．(2013·长春调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1)

[答案] A

[解析] 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)，故选A.

4．(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →

2＝16，|AB →

＋AC →

|＝|AB →

－AC →

|，则|AM →

|＝( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 [答案] A

[解析] 由|AB →

＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即AB →·AC

→

＝0，

所以AB →⊥AC →

，∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，又由BC →2＝16得|BC →|＝4，所以|AM →

|＝2. 5．设OA →

＝e 1，OB →

＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP

PB |＝4，如图所示，则

OP →

＝( )

A.15e 1－25e 2

B.25e 1＋15e 2

C.15e 1＋45e 2

D.25e 1－15e 2 [答案] C

[解析] AP →

＝4PB →，∴AB →

＝AP →

＋PB →

＝5PB →

， OP →

＝OB →

＋BP →

＝OB →

－1

5

AB →

＝OB →

－15(OB →－OA →)＝45OB →＋15OA →＝15e 1＋4

5

e 2.

6．(2013·湖南衡阳八中月考)向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则λ满足( ) A ．λ<－5

3

B ．λ>－5

3

C ．λ>－5

3且λ≠0

D ．λ<－5

3

且λ≠－5

[答案] C

[解析] 当λ＝0时，a 与a ＋λb 平行，其夹角为0°，∴λ≠0，由a 与a ＋λb 的夹角为锐角，可得a ·(a ＋λb )＝(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＝3λ＋5>0，解得λ>－53，综上可得λ的取值范围为λ>－53且λ≠0，

故应选C.

二、填空题

7．(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. [答案] 1

[解析] a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3) ，因为a －2b 与c 平行，所以3×3－3k ＝0， 所以k ＝1.

(理)已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →

＝－2BC →

，则点B 的坐标为________．