2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习：第2部分专题6第4讲复数、算法、推理与证明含答案
(全国新课标)2017年高考数学大二轮温习 第三编 考前冲刺攻略 第一步 八大提分笔记 八 推理与证明、复数、
第一步 考前必看 八大提分笔记 八、推理与证明、复数、算法
1 推理方法 (1)合情推理 合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、 公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直 觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见 的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结 论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．
(2)间接证明——反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得 出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证 明方法叫反证法．
(3)数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步 骤进行： ①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成 立；
②(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证 明当 n＝k＋1 时命题也成立．
解析 进行第一次循环时，S＝1050＝20，i＝2，S＝20>1； 进行第二次循环时，S＝250＝4，i＝3，S＝4>1；进行第三次 循环时，S＝45＝0.8，i＝4，S＝0.8<1，此时结束循环，输出 的 i＝4.
归纳不严密致误
例3
[2016·湖北七市联考]观察下列等式
1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)；
复数的实部是a－2 2，虚部是a＋2 2.
由题意，知a＋2 2＝2×a－2 2.
解得 a＝6.故选 A.
循环结构判断不准致误
例2
[2016·山西质检]运行如图所示的程序框图，若
输出的点恰有 5 次落在直线 y＝x 上，则判断框中可填写的
条件是( )
A．i>6
B．i>7
C.i>8
2017年高考题和高考模拟题理科数学分项版汇编专题08 复数算法推理选讲 解析版
1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【解析】【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)z a bi a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可. 2.【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。
【考点】 复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。
除法实际上是分母实数化的过程。
在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。
3.【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若3,4z a i z z =⋅=，则a= （A ）1或-1 （B 7-7或 （C ）3（D 3 【答案】A【解析】试题分析：由3,4z a i z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算.【名师点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得a 的方程即可. 4.【2017课标II ，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。
高考数学冲刺复数考点全面解析
高考数学冲刺复数考点全面解析在高考数学的征程中，复数是一个不可或缺的重要考点。
对于即将踏入高考考场的同学们来说，透彻理解和熟练掌握复数相关知识，无疑是取得优异成绩的关键一步。
接下来，让我们一起对高考数学中复数这一考点进行全面而深入的解析。
首先，我们要明确什么是复数。
复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和b 均为实数，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。
在复数中，a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。
复数的四则运算规则是我们必须要掌握的重点。
加法：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i减法：（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i乘法：（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i除法：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（ac ＋ bd) ／（c²＋ d²) ＋（bc ad) ／（c²＋ d²)i在进行四则运算时，要特别注意 i²＝－1 的运用，以及合并实部和虚部。
复数的几何意义也是一个重要的知识点。
在复平面上，复数可以用点来表示，实部 a 对应横坐标，虚部 b 对应纵坐标。
复数的模长|z| ＝√（a²＋ b²)，表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
共轭复数同样不容忽视。
对于复数 z ＝ a ＋ bi，其共轭复数为z＝a bi。
共轭复数在复数的运算和性质研究中有着重要的作用。
接下来，我们看看高考中关于复数的常见题型。
一是复数的概念与分类。
会给出一个复数，要求判断它是实数、虚数还是纯虚数。
这就需要我们根据实部和虚部的取值来进行判断。
如果虚部为 0，就是实数；如果实部为 0 且虚部不为 0，就是纯虚数；否则就是虚数。
二是复数的四则运算。
通常会给出两个或多个复数，要求进行加、减、乘、除运算，然后求出结果的实部和虚部。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。
2017届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习课件：2-1集合、复数、逻辑用语
【解析】 由|x＋2|<3，得－3<x＋2<3，即－5<x<1，所以集 合 A＝{x|－5<x<1}．因为 A∩B＝(－1，n)，所以－1 是方程(x－ m)(x－2)＝0 的根， 解得 m＝－1.此时不等式(x＋1)· (x－2)<0 的解 集为{x|－1<x<2}，所以 B＝(－1，2)．所以 A∩B＝(－1，1)，即 n＝1. 【答案】 －1；1
3 A．(0， ) 4 3 C．[ ，＋∞) 4
【审题】 (1)求出 A；(2)观察 f(x)＝x2－2ax－1 的图像；(3) 数形结合定出整数解为 2；(4)解不等式组 f(2)≤0 且 f(3)>0，得 a 的范围．
【解析】 A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1 或 x<－3}，因为函 数 y＝f(x)＝x2－2ax－1 的对称轴为 x＝a>0，f(0)＝－1<0，根据 对称性可知要使 A∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为 2，所 3 a≥4， 3 4－4a－1≤0， 4 以有 f(2)≤0 且 f(3)>0，即 所以 即 ≤a< ， 4 3 4 9－6a－1>0， a< . 3 选 B. 【答案】 B
【审题】 (1)将 A、B 用图形来表示；(2)明确“A⊕B”的 意义．
【解析】 集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集 合 A 中有 5 个元素(即 5 个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合 B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有 25 个元素(即 25 个点)， 即图中正方形 ABCD 内及正方形 ABCD 上的整点． 集合 A⊕B＝ {(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5 分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1 有公共焦点，则C 的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5 分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5 分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（）A．B．C．D．11．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ 的最大值为（）A．3 B．2C．D．2二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
(完整版)高考复数知识点精华总结
1.复数的概念: (1 )虚数单位i ;(2) 复数的代数形式z=a+bi , (a, b € R)； (3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 2 .复数集3 .复数a+bi(a, b € R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时，a+bi 就是实数，当b 工0时，a+bi 是虚数，其中 a=0且b 工0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则a+bi=0是实数。
4. 复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， (1) 加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2) 减法:z1 - z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ； (3) 乘法:z1 z 2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i;z-i (a-i a 2 t 1b 2) (a 2t 1 a-|b 2)i— 2~Z~2(4)除法：z 2a 2b 2;(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况 (6) 特殊复数的运算：n2①i (n 为整数)的周期性运算； ②(1 ± i) = ±2i ;丄 3③若 3 =- 2 + 2 i ，则 3 3=1 ， 1+ 3 + 3 2=0.5. 共轭复数与复数的模实数(b 复数 a bi (a, b R) 0)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a 0) 非纯虚数(a 0)(1 )若z=a+bi，则z a bi，z z 为实数,(2)复数z=a+bi 的模|Z|= b ,且z zz z为纯虚数(b工0).2|z| =a2+b2.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
4 •复数a+bi 的共轭复数是a - bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称 若b=0，贝U 实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
【高考冲刺】高考数学(理)真题专项汇编卷(2017—2019)知识点13：数系的扩充和复数的引入
高考数学（理）真题专项汇编卷（2017—2019）知识点13：数系的扩充和复数的引入1、设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则( ) A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=2、设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3、若(1i)2i z +=，则z =( ) A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i4、已知复数:2i z =+，则z z ⋅=( ) A.3 B.5C.3D.55、设121iz i i-=++则z = ( ) A. 0 B.12C. 1D. 26、1212ii +=- ( ) A. 4355i --B. 4355i -+C. 3455i --D. 3455i -+7、()()12i i +-= ( ) A. 3i --B. 3i -+C. 3i -D. 3i +8、设有下面四个命题:1p :若复数z 满足1R z∈，则z R ∈;2p :若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈; 3p :若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =;4p :若复数z R ∈，则z R ∈. 其中的真命题为( ) A. 13,p p B. 14,p p C. 23,p p D. 24,p p9、31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i +D ．2i -10、设复数z 满足()12i z i +=，则z = ( )A.12B.2C. D. 211、i 是虚数单位，则5i1i-+的值为_______. 12、设i 为虚数单位，3i 65i z -=+，则z 的值为.13、已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是___________.14、复数1z 1i=+（i 为虚数单位），则|z |=___________.15、i 是虚数单位，复数67i12i+=+__________.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：,(1)z x yi z i x y i =+-=+-，1,z i -=则22(1)1x y +-=．故选C ．2答案及解析： 答案：C解析：由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点(3,2)--位于第三象限．故选C ．3答案及解析： 答案：D 解析：()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．4答案及解析： 答案：D解析：∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.5答案及解析： 答案：C 解析：()()()()11222112i i i z i i i i i ---=+=+=++，1z=，故选C6答案及解析： 答案：D解析：因为: 212(12)341255i i ii ++-+==-所以选D.7答案及解析： 答案：D解析：原式=222213i i i i i -+-=++=+故选D8答案及解析： 答案：B解析：设(),z a bi a b R =+∈， 则22222211i ii a b a b za b a b a b a b -===-++++， 由1R z∈可得0b =，则z R ∈，故1p 正确; ()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，由2zR ∈可得0a =或0b =，不能得到z R ∈，故2p 错误; 若z R ∈，则0b =，则R z a =∈，故4p 正确; 对于3p ，若121,2z z ==，则12z z R ⋅∈， 但不能得到12z z =的结论，故3p 错误.故选B.9答案及解析：解析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D10答案及解析： 答案：C解析：由题()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则z ==C 。
全国新课标2017年高考数学大二轮温习第二编专题整合冲破专题一集合常用逻辑用语向量复数算法合情推理不
专题一 集合、经常使用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式及线性计划 第一讲 集合与经常使用逻辑用语适考素能特训 文一、选择题1．[2016·郑州质检]设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，那么∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}答案 A解析 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，因此∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，应选A.2．[2016·沈阳质检]设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，那么以下结论正确的选项是( )A ．A ∩B ＝{－1}B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1} 答案 D解析 集合A ＝{x |x >0}，从而A 、C 错，∁R A ＝{x |x ≤0}，那么(∁R A )∩B ＝{－1}，应选D.3．[2021·福建高考]假设集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，那么A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅ 答案 C解析 因为A ＝{i ，－1，－i,1}，B ＝{1，－1}，因此A ∩B ＝{1，－1}，应选C. 4．[2021·辽宁五校联考]设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，那么M ∪N ＝( ) A ．{x |x ≥－2} B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}答案 A 解析 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，因此M ∪N ＝[－2，＋∞)，应选A.5．[2016·合肥质检]“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 A解析 此题要紧考查函数的性质与充分必要条件．由题意得，x ＋1x≥2⇔x >0，∴“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的充分没必要要条件，应选A. 6．[2016·西安质检]已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0，那么( )A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0答案 B解析 此题要紧考查命题的真假判定、命题的否定．∵3x >0，∴3x ＋1>1，那么log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0.故应选B.7．[2016·广州模拟]以下说法中正确的选项是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．假设p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，那么綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0C ．假设p ∧q 为假命题，那么p ，q 均为假命题D ．命题“假设α＝π6，那么sin α＝12”的否命题是“假设α≠π6，那么sin α≠12”答案 D解析 此题要紧考查命题的相关知识及充要条件．f (0)＝0，函数f (x )不必然是奇函数，如f (x )＝x 2，因此A 错误；假设p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，那么綈p ：∀x ∈R ，x 2－x－1≤0，因此B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，那么p ∧q 为假命题，因此C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．8．以下四个命题中正确命题的个数是( )①关于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，那么綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0相互垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估量值为1.23，样本点的中心为(4,5)，那么线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④假设实数x ，y ∈[－1,1]，那么知足x 2＋y 2≥1的概率为π4； A ．1B ．3C ．4D ．5答案 A 解析 ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，因此m ＝3是两直线垂直的充分没必要要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，知足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，因此知足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4. 9．给定以下四个命题：命题p ：当x >0时，不等式ln x ≤x －1与ln x ≥1－1x等价； 命题q ：不等式e x ≥x ＋1与ln (x ＋1)≤x 等价；命题r ：“b 2－4ac ≥0”是“函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ≠0)有极值点”的充要条件；命题s ：假设对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式a <sin x x 恒成立，那么a ≤2π.其中为假命题的是( )A ．(綈s )∧pB ．(綈q )∧sC ．(綈r )∧pD ．綈(q ∧p ) 答案 A解析 由1x >0，ln x ≤x －1，得ln 1x ≤1x －1，即ln x ≥1－1x，故命题p 为真命题；由于x 的取值范围不同，故命题q 是假命题；当b 2－4ac ＝0时，函数f (x )无极值点，故命题r是假命题；设h (x )＝sin x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2，由于函数h (x )＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，故sin x x >2π，a ≤2π，即命题s 是真命题．依照复合命题的真值表可知选A. 10．[2016·武昌调研]“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 C解析 此题要紧考查函数的单调性与充要条件．当a ＝0时，f (x )＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )＝(－ax ＋1)x ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x ，结合二次函数的图象可知f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )＝|(ax －1)x |的图象大致如图：函数f (x )在区间(0，＋∞)上有增有减，从而a ≤0是函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增的充要条件，应选C.二、填空题11．[2021·山东高考]假设“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，那么实数m 的最小值为________．答案 1解析 由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m 的最小值为1.12．[2016·贵阳监测]已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且知足以下三个条件：①若a 1∈A ，那么a 2∈A ；②若a 3∉A ，那么a 2∉A ；③若a 3∈A ，那么a 4∉A .那么集合A ＝________.(用列举法表示)答案 {a 2，a 3}解析 若a 1∈A ，那么a 2∈A ，那么由假设a 3∉A ，那么a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；假设a 4∈A ，那么a 3∉A ，那么a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．13．已知命题p ：实数m 知足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 知足方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示核心在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分没必要要条件，那么a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 解析 由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由x 2m －1＋y 22－m ＝1表示核心在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分没必要要条件，因此⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38， 因此实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38. 14．[2016·山东临沂高三模拟]已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，假设“p 且q ”为真命题，那么a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23 解析 由绝对值不等式得|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2，当且仅当－1≤x ≤1时等号成立，即|x －1|＋|x ＋1|的最小值为2.假设不等式|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，那么3a ≤2，即a ≤23.假设函数y ＝(2a －1)x 为减函数，那么0<2a －1<1，即12<a <1，由“p 且q ”为真命题知命题p ，q 均为真命题，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23，12<a <1，即12<a ≤23，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23.。
高考复数知识点精华总结
高考复数知识点精华总结1.复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
2.复数集：复数集包括整数、有理数、实数（当b=0时）、分数、小数、无理数、纯虚数和虚数。
3.复数a+bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位。
当b=0时，a+bi是实数，当b≠0时，a+bi是虚数。
若a=0且b≠0，则a+bi是纯虚数。
4.复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法都可以用实数单位和虚数单位进行运算。
特殊复数的运算包括周期性运算和(1±i)2=±2i等。
5.共轭复数与复数的模：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为|z|=√(a^2+b^2)。
共轭复数关于实轴对称，若b=0，则实数a与其共轭复数相等。
6.两个复数相等的定义为a+bi=c+di，其中a、b、c、d都是实数。
复数不能进行大小比较，只能由定义判断它们相等或不相等。
在运算中需要将虚数单位i的平方i^2=-1结合到实际运算过程中去。
6.复数的除法可以通过将分母实化得到，即满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi被称为复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此可以得到以下公式：a+bi / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2)7.复数a+bi的模表示复数a+bi的点到原点的距离。
1.例1：对于复数z=m+1+(m－1)i，当m=1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m=-1时，z是纯虚数；当m<-1时，z对应的点Z在第三象限。
例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x。
y∈R，求x。
y。
解得x=2.y=4.2.例4：对于复数z＝m25+(m2+3m－10)i，当虚部m2+3m－10=0时，z为实数，解得m=2；当虚部m2+3m－10≠0且分母不为零时，z为虚数，解得m≠2且m≠±5；当虚部为0且分母不为零时，z为纯虚数，解得m=-2.3.计算i＋i2＋i3+……+i2005，可以将i的周期性用以下公式表示：i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i。
2017届新课标高考总复习·数学课件：第12章 第4节 复 数
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算，可将 含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项， 分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭 复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式．
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考纲要求： 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式 的四则运算． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
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1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是 a ，虚部是 b . (2)复数的分类
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(2)复数的加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3∈C，有 z1＋z2＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ． (3)复数的乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意 z1，z2， z3∈C，有 z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
[典题 1] (1)设 i 是虚数单位，若复数 z＝a－31－0 i(a∈R)是纯
虚数，则 a 的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
(2)(2015·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i 是
虚数单位)，则 a，b 的值分别等于( )
【山东省】2017学年高考数学年(理科)算法初步、复数、推理与证明专题练习
1 1 1 1 25 满足条件，k＝8，S＝2＋4＋6＋8＝24．
25 由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出 S 的值为24．
结合选项可得判断框内填入的条件可以是 k＜8．]
8．D
[对于选项 A，如果输出 b 的值为 792，则 a＝792，
I（A）＝279，D（A）＝972，b＝D（A）－I（A）＝972－279＝693，不满足题意．
山东省 2017 年高考数学（理科）专题练习 算法初步、复数、推理与证明 答案
[A 组高考题、模拟题重组练] 一、程序框图(流程图) 1~3．CCB 4．3 二、复数 5~9．ADABB 三、合情推理 10．B 11．1 和 3 12． 4 n(n＋1)
3 [B 组“10＋5”模拟题提速练] 一、选择题 1~5．DDDBD 6~10．CDDCC 二、填空题 11．－1 12．24 13．乙丙 14． 1 n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n N*)
1 014－2
0115＝1－2
12 015＝2
014 015，故选
C．]
二、填空题
11．－1
[∵z＝1－i(i 为虚数单位)，
5/6
z
1＋i
＋2
2i
∴ z ＋z2＝1－i＋(1－i)2＝ －
＋ －2i＝ 2 －2i＝－i，
故其虚部为－1．] 12．24 [由程序框图得第一次循环，n＝6，S＝3sin 60 °≈2．598＜3．10；第二次循环，n＝12，S＝6sin 30 °＝ 3＜3．10；第三次循环，n＝24，S＝12sin 15 °≈3．105 6＞3．10，此时循环结束，输出 n 的值为 24．] 13．乙丙 [甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错 误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．]
专题01 复数-2017年高考数学三轮讲练测核心热点总动员
2017年学易高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】热点一 复数【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1. 【2014全国卷1理】=-+23)1()1(i i （ ）A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --1 【答案】D【解析】由已知得=-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----． 2. 【2014全国卷1文】设i iz ++=11,则=||z （ ） A.21 B. 22 C. 23 D. 2 【答案】B【解析】根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=-++-,由模的运算可得：||2z ==. 3.【2015全国卷1】设复数z 满足1i 1zz+=-,则z =（）A ．B ．2 【答案】A 【解析】由1i 1z z +=-得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-,所以1z =．故选A ． 4.【2015全国卷2】若为实数,且()()2i 2i 4i a a +-=-,则a =（）． A.1- B. C. D. 【答案】B【解析】由复数的运算律将左边直接展开可得.因为24(4)i 4i a a +-=-,所以240,44a a =-=-,解得0a =.故选B.5．【2016全国卷1】设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则i =x y +（）.【答案】B【解析】 由()1i 1i x y +=+,得1x y ==,所以i 1i x y +=+=故选B. 6．【2016全国卷3】若12i z =+,则4i1zz =-（）. A. B.1- C. D.i - 【答案】C【解析】 因为25,z z z⋅==所以4i 4ii 14zz ==-.故选C. 7.【2016全国卷2】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是(). A.()31-，B.()13-，C.()1+∞，D.()3-∞-，【答案】A【解析】由题意知,30m +>,10m -<,所以31m -<<.故选A ． 【热点深度剖析】从近三年的高考试题来看,复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点,每套高考试卷都有一个小题,并且一般在前三题的位置上,主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算． 2014年考查了复数的除法运算、复数的模,2015年考查了复数的乘法、除法运算及复数的模.2016年考查了复数的模、共轭复数、复数相等及复数的几何意义,预测2017年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点,其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！ 【重点知识整合】 1.基本概念：⑴a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)c d a b c d R =∈；⑵复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.（3）复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③是纯虚数20z ⇔<.2.复数运算公式：设1z a bi =+,2(,,,)z c di a b c d R =+∈,12()()z z a c b d i ±=±+±,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++,1222222(0)z ac bd bc ad i z z c d c d +-=+≠++. 3.几个重要的结论：⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ⋅==；⑶若为虚数,则22||z z ≠. 4.常用计算结论： ⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i ii +-=,11i ii -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；⑷1||11zz zz z =⇔=⇔=；12ω=-+,212ωω=-=,31ω=,210ωω++=. 【应试技巧点拨】1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式,以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③是纯虚数20z ⇔<.4. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点及向量OZ 相互联系,即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔OZ ；(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观．5. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位的看作一类同类项,不含的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟悉的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把的幂写成最简形式． 【考场经验分享】1.目标要求：新课标对复数的要求较低,根据课标的要求,本部分内容的考查不会太难,一般出一道选择题(或填空题)考查基本概念与运算,与概率等结合的题目可能会出,但都比较容易解决．所以本热点必须得满分.2.注意问题：复数这个热点一般出现在试卷的前三道题目中,难度较低,但是解题时需加小心,千万不能因为不重视而导致失分.例如复数的实部和虚部要分清楚,例如1i -的实部是-1,虚部为1,运算时要注意21i =-.3.经验分享：学会必要的检验,例如将求解的复数代入验证,若复数为纯虚数时,实部等于0,要验证虚部不为0,利用复数相等进行复核等方法,确保万无一失.【名题精选练兵篇】1.【江西省百校联盟2017届高三2月联考】若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知(),12az bi a b R i=+∈-为“理想复数”,则（ ） A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,所以由题设中定义的新概念“理想复数”可得,即,应选答案D.2．【湖北省七市（州）2017届高三第一次联合调考（3月联考）】设为虚数单位,则复数12iz i+=的虚部为 A.B. C. D.【答案】D【解析】因复数,则复数的虚部为,应选答案D.3．【2016-2017学年河北唐山市高三第一次模拟】若复数满足()34z i i =+,则的实部为（） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】.故实部为,选D.4．【河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）】设复数满足1z i i =-+（为虚数单位）,则复数为（ ）A.B.C. D.【答案】A【解析】由题意得,复数,所以,故选A.5．【江西省红色七校2017届高三下学期第二次联考】在复平面内,复数的对应点为()1,1-,则()2z i z + =（ ）A.B. C. D.【答案】B 【解析】,,故选B.6．【广东省广州市2017届高三3月综合测试（一）】复数()2211i i+++的共轭复数是 A.B.C.D.【答案】B【解析】 ,故其共轭复数是 ,选B7．【2017届河南省安阳市高三第一次模拟】设为虚数单位,复数为纯虚数,则实数的值为（ ）A. B. 1 C. D. 2 【答案】C【解析】由题设得,,则,故选C.8．【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考】复数(为虚数单位)在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】因为,所以点在第四象限,应选答案D.9．【2017届江西省南昌市高三第一次模拟】若复数（）在复平面内对应的点在直线上,则的值等于（ ）A. 1B. 2C. 5D. 6 【答案】B【解析】由题知复数在复平面内对应的点为,又点在直线上,则,可得.故本题选.10．【2017届重庆市高三上学期第一次诊断模拟（期末）】已知（是实数）,其中是虚数单位,则（ ）A. -2B. -1C. 1D. 3 【答案】A【解析】解析：由题设可得,则,故,应选答案A.11．【2017届重庆市第一中学高三上学期一诊模拟】复数满足,则复数在复平面上对应的点与点间的距离为 （ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】的对应点坐标为,由两点间距离公式得,故选B12．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】若43z i =+,则||zz =（ ） A ． B ．1- C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D 【解析】43||5z iz -=,故选D. 13．【2017届云南曲靖一中高三上学期月考四】若复数满足20171zi i=-,其中为虚数单位,则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】2017(1)(1)11z i i i i i z i =-=-=+⇒=-,故选A.14．【2017届黑龙江虎林一中高三上学期月考三】已知()()31z m m i =++-复平面内对应的点在第四象限, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()1,3- C. ()3,1- D ．(),3-∞- 【答案】C【解析】由已知可得303110m m m +>⎧⇒-<<⎨-<⎩,故选C.15．【2017届广西陆川县中学高三上学期二模】已知复数iz -=12,给出下列四个结论：①2=z ；②i z 22=；③的共轭复数i z +-=1；④的虚部为.其中正确结论的个数是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B16．【2017届四川成都七中高三第14周考】已知,x y R ∈,为虚数单位,且(2)1x i y i --=-+,则1(1)3x y i i++-的虚部为（ ）A ．325i -B ．325-C ．325i D ．325 【答案】D 【解析】()21,3,1,x i y i x y --=-+∴==()()()422111131313x yi ii ii i+∴==+-+-⎡⎤+-⎣⎦()()143434343432525i ii i i -==-=-+--+-,故选D.【名师原创测试篇】1.已知复数,“0z z +=”是“为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当0z =时,满足0z z +=,此时为实数；而当为纯虚数时,0z z +=,所以“0z z +=”是“为纯虚数”的必要不充分条件,故选B ． 2.已知i b iia +=+2,),(Rb a ∈其中为虚数单位,则=-b a （ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1【答案】A【解析】因为i b ai i ia +=-=+22,所以⎩⎨⎧=-=12ab ,即⎩⎨⎧-==12a b ,所以3-=-b a ；故选A ． 3.若复数满足i zi +=1,则的共轭复数是（ ） A ．i --1 B ．i +1 C ．i +-1 D ．i -1 【答案】B 【解析】11,1izi i z i i+=+∴==-,所以的共轭复数是1i + 4.若()3,3a ∈-,复数z a i =-,则()2z i -对应的点在第一象限的概率为（ ） A ．512 B ．12 C ．712 D ．34【答案】C【解析】因为()()()()()22212z i a i i a a i -=+-=++-,所以21012202a a a +>⎧⇔-<<⎨-<⎩ ,所以()2z i -对应的点在第一象限的概率为()()1332723312⎛⎫---+- ⎪⎝⎭=--,故选C.5. 设1z i =-,则22z z+=（ ） A ．-1-i B ．-l+I C ．1-i D ．l+i 【答案】C。
2017高三数学(理)北师大版一轮复习课件13.5 复数
复数
-2-
考纲要求:1.理解复数的基本概念.理解复数相等的充要条件. 2.了 解复数的代数表示法及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面 上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代 数形式表示. 3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复 数相加、相减的几何意义.
-3-
(5)复数的模:向量������������的模 r 叫作复数 z=a+bi 的模,记作|z|或 |a+bi|,即|z|=|a+bi|= ������2 + ������ 2 .
-4-
2.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi (2)复数 z=a+bi 复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). 平面向量������������(a,b∈R).
(-1+i )(-1-i )
2 +
2 i(c+di≠0). 2 ������ +������
������������-������������
-5-
(2)复数加法的运算定律:复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (3)复数加、减法的几何意义
3
解析
关闭
答案
-111 2 3 4 5
自测点评 1.在复数范围内实数的一些性质不一定成立,无解的一元二次方 程在复数范围内都有解,且方程的根成对出现. 2.在复数中,两个虚数不能比较大小. 3.利用复数相等,如a+bi=c+di列方程时,a,b,c,d∈R是前提条件.
-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
热点23复数2017年高考数学二轮核心考点总动员(无答案)
2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点23 复数【热点考法】本热点考查形式为选择或者填空题，主要考查复数的概念、四则运算、几何意义等等复数知识，考查运算求解能力，为基础题，分值为5分. 【热点考向】 考向一 复数的概念 【解决法宝】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若b ≠0且a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ；a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0. (3)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数，复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i.2.复数的概念问题，关键在理解概念的基础上，利用复数的有关概念解题. 例1【2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考】已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（ ）A.B.C.D.【分析】 【解析】考向二 复数的运算 【解决法宝】复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d ) i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋dc －d＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)复数加法的运算定律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．例2【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研】已知复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【分析】 【解析】考向三 复数的几何意义【解决法宝】1.复数z ＝a ＋b i←――→一一对应有序实数对(a ，b )←――→一一对应点Z (a ，b )． 2.一般情况下复数不能比较大小。
2017年高考数学考前回扣教材10 理科复数、算法、推理与证明
回扣10 复数、算法、推理与证明1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0. ②z 是虚数⇔b ≠0.③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R ). (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ；其中a ，b ，c ，d ∈R . 2.复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )； (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.3.程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示. (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示.程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.4.推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论.合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论5.证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.推理模式：框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.推理模式：框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).(3)反证法在假定命题结论成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此判定命题结论成立的方法叫反证法.1.复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项.3.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.4.解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.5.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.用数学归纳法证明时，易盲目以为n 0的起始值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设.6.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果.1.复数z ＝1＋i1－2i 的虚部为( )A.－15B.15C.－35D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ，所以其虚部为35.2.复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A.－1－3i B.－1＋3i C.1＋3i D.1－3i 答案 A解析 z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.3.阅读如图所示的程序框图，若m ＝8，n ＝10，则输出的S 的值等于( )A.28B.36C.45D.120 答案 C解析 第一次循环：S ＝10，k ＝1； 第二次循环：S ＝10×92＝45，k ＝2；第三次循环：S ＝45×83＝120，k ＝3；第四次循环：S ＝120×74＝210，k ＝4；第五次循环：S ＝210×65＝252，k ＝5；第六次循环：S ＝252×56＝210，k ＝6；第七次循环：S ＝210×47＝120，k ＝7；第八次循环：S ＝120×38＝45，k ＝8＝m ；结束循环，输出S ＝45.4.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋ax n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则a 等于( ) A.n B.2n C.n 2 D.n n 答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1， 第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，归纳可以知道a＝n n.5.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD 为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等.6.用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a，b都被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不能被5整除D.a不能被5整除答案 B解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法答案 A解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法. 8.执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为()A.15B.16C.31D.32答案 B解析列表分析如下是否继续循环S n循环前0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小正整数值为16.9.在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.答案S21＋S22＋S23＝S24解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.10.若P0(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2＋y0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________. 答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb2＝1.。
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课时作业
1．若复数z 满足i z ＝2－4i ，则z －
在复平面内对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B ．(2，－4) C ．(－4，－2)
D ．(－4，2)
D [解析] 由题意得，z ＝2－4i i ＝－4－2i ，所以z －
＝－4＋2i ，故其在复平面内对应
的点的坐标是(－4，2)，选D.
2．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A ．方程x 3
＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根
A [解析] 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x 3
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3
＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.
3．(2016·兰州诊断考试)若复数z 满足z ＝|8＋6i|6－8i (i 是虚数单位)，则z 的虚部为
( )
A ．4 B.45 C ．－4
D ．－45
B [解析] z ＝|8＋6i|6－8i ＝|8＋6i|（6＋8i ）（6－8i ）（6＋8i ）＝35＋45i ，所以z 的虚部为4
5，选B.
4．(2016·郑州第二次质量检测)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )
A ．2 014
B ．2 015
C ．2 016
D ．2 017
D [解析] 分析程序框图可知，当i 为偶数时，S ＝2 017，当i 为奇数时，S ＝2 016，而程序在i ＝0时跳出循环，故输出的S ＝2 017，故选D.
5．(2016·长春质量检测(二))复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 1·z 2＝( )
A ．12＋13i
B ．13＋12i
C ．－13i
D ．13i
D [解析] 复数z 1在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称的点表示的复数z 2＝2＋3i ，所以z 1·z 2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.
6．(2016·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
B [解析] 第一次循环，S ＝8，n ＝2；第二次循环，S ＝2，n ＝3；第三次循环，S ＝4，
n ＝4，故输出S 的值为4.
7．设三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝
2S
a ＋
b ＋c
；
类比这个结论可知：若四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S ABC 的体积为V ，则r ＝( )
A.V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
B.2V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
C.
3V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
D.
4V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
C [解析] 设四面体的内切球的球心为O ，则V ＝V O ABC ＋V O SAB ＋V O SAC ＋V O SBC ，即V ＝1
3S 1r
＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，所以r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4
.
8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若甲同学每科成绩不低于乙同学，且至少有一科成绩比乙高，则称“甲同学比乙同学成绩好．”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [解析] 用A，B，C分别表示成绩为优秀、合格、不合格，显然事件A，B，C中都是最多只有一个元素，因此学生最多只有3个，容易验证，3个同学的语文、数学成绩分别为(A，C)，(B，B)，(C，A)时满足条件．故学生最多有3人．
9．如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是( )
A．k≤6? B．k≤7?
C．k≤8? D．k≤9?
B [解析] 第一次执行循环，得到S＝10，k＝9；第二次执行循环，得到S＝90，k ＝8；第三次执行循环，得到S＝720，k＝7.此时满足条件，故选B.
10．(2016·兰州实战考试)已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD(n，m)，其结果为n除以m的余数，例如MOD(8，3)＝2.如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
A [解析] 分析题意可知，输入的n的值可以被4整除但不能被3整除，故选A.
11．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为( )
A ．t ≥14
B ．t ≥18
C ．t ≤14
D ．t ≤18
B [解析] 依次运行程序框图中的语句可得，n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x ＝38t
≥3，则8t ≥1，t ≥18
，故选B.
12．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，
C (a 5，a 6)，
D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝( )
A ．1 006
B ．1 007
C ．1 008
D ．1 009
B [解析] 通过观察得a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8
＝4，a 9＝3，a 10＝5，a 11＝－3，a 12＝6，…，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3＝4－1，a 5＋a 6＋a 7＋
a 8＝7＝8－1，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝11＝12－1，…，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＋a 2 016＝2 016－
1＝2 015，又a 4＝2，a 8＝4，a 12＝6，…，所以a 2 016＝1 008，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝2 015－1 008＝1 007.
13．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R )，若z 1·z 2∈R ，则a 等于________．
[解析] 依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i 是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.
[答案] 4
14．(2016·湖北七市(州)协作体联考)观察下列等式 1＋2＋3＋…＋n ＝1
2
n (n ＋1)；
1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝1
6
n (n ＋1)(n ＋2)；
1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝1
24n (n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)；
可以推测，1＋5＋15＋…＋
1
24
n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________． [解析] 根据式子中的规律可知，等式右侧为1
5×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n
＋4)＝1
120
n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)．
[答案] 1
120
n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)
15．从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为________．
[解析] 依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13，22，31，40，49，58，67，76，所以输出的x 不小于40的概率为5
8
.
[答案] 5
8
16．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是________.
[解析] 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.
[答案] 10。