高中数学第一章集合与函数概念第9课时 映射与分段函数练习 新人教A版
高中数学必修1(人教A版)第一章集合与函数概念1-3
⎩⎨
0, x3
+
x
−
1,
x > 0, x = 0, x < 0.
如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最小值为 5 ，那么 f (x) 在区间
[−7, −3] 上是
A．增函数且最小值是 −5 B．增函数且最大值是 −5
C．减函数且最大值是 −5 D．减函数且最小值是 −5
例题：
求函数
y
= √−x−−−−−1 −
1 x
的最小值．
解：因为 x − 1 ⩾ 0 且 x ≠ 0，所以 x ⩾ 1 ，则函数 f(x) 的定义域为 [1, +∞)．
又
y = √−x−−−−−1 在
[1, +∞)
上单调递增，而
y=
1 x
在
[1, +∞)
上单调递减，所以
y
=
−
1 x
在
[1, +∞)
上单调递增．所以
解：B
因为奇函数 f(x) 在区间 [3, 7] 上是增函数，所以 f(x) 在[−7, −3] 上也是增函数，且奇函数
f f
(x) 在区间 (−3)max =
[3, 7] −f (3)
上 =
f(3)min = −5，故选
5，则 B．
f (x)
在区间
[−7, −3]
上有
定义 [−2, 2] 在上的偶函数 g(x)，当 x ⩾ 0 时，g(x) 单调递减，若 g(1 − m) < g(m) 成立， 求 m 的取值范围． 解：因为 g(x) 是偶函数，所以
y
=
√−x−−−−−1 −
1 x
人教A版高中数学必修课后习题及答案(第一章集合与函数概念) 副本
高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，印度_______A，英国_______A；（2）若2A x x x==，则1-_______A；{|}（3）若2=+-=，则3_______B；{|60}B x x x（4）若{|110}C x N x=∈≤≤，则8_______C，9.1_______C．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x-=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x=-+的图象的交点组成的集合；=+与26y x（4）不等式453x-<的解集．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c的所有子集．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉”符号填空：（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ； （2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． ．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ð，S A ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有个．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看， 集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？ 3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ．。
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2.2分段函数与映射练习(含解析)新人教A版必修1
对应学生用书P19知识点一分段函数高中数学第一章集合与函数概念1.2.2.2分段函数与映射练习（含解析）新人教A 版必修11．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1，x <1，则f (f (f (2)))＝( )A ．0B ．1C ．2 D. 2 答案 B解析 由题意，f (2)＝2－1＝1，f (f (2))＝f (1)＝1－1＝0，f (f (f (2)))＝f (0)＝1，故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞0，x －1，x ＜－1，则函数f (x )的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 答案 D解析 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，即(0，＋∞)∪(－∞，－1)，选D.3．作出下列函数的图象： (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0＜x ＜1，x ，x ≥1；(2)y＝|x＋1|＋|x－2|.解(1)函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0＜x＜1，x，x ≥1，的图象如图所示．(2)将原函数的解析式中的绝对值符号去掉，化为分段函数如下：y＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x＋1，x≤－1，3，－1＜x≤2，2x－1，x＞2.它的图象如图所示.知识点二映射A．M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→|y|＝x2B．M＝{－2,0,2}，N＝{4}，f：x→y＝x2C．M＝R，N＝{y|y>0}，f：x→y＝1x2D．M＝{0,2}，N＝{0,1}，f：x→y＝x2答案 D解析A中，当x＝2时，y＝±4，不符合；B中，x＝0，没有y与之对应，不符合；C 中，x＝0时，没有y与之对应，不符合，选D.5．设f：A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x －y，x＋y)．(1)求A中元素(－1,2)的象；(2)求B中元素(－1,2)的原象．解 (1)A 中元素(－1,2)在B 中对应元素为(－1－2，－1＋2)，即象为(－3,1)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，∴B 中元素(－1,2)的原象为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.知识点三分段函数的应用米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米 答案 A解析 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解 按a ≤－1，－1<a <2和a ≥2进行讨论． ①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1<a <2时，f (a )＝2a ， 由2a ＝3，得a ＝32，满足－1<a <2.③当a ≥2时，f (a )＝a 22，由a 22＝3，得a ＝±6，又a ≥2，∴a ＝ 6.综上可知，a 的值为32或 6.易错点忽视分段函数的定义域而致误8.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．易错分析 题目中f (x )为分段函数，在求值时需要根据定义域取值范围不同代入不同的解析式，本题极易误以为1－a <1＋a 而忘记分类讨论导致结果错误．答案 －34正解 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.对应学生用书P20一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100 答案 A解析 因为f (－7)＝10，所以f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100，故选A.2．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( )A ．(1,3)B ．(1,6)C ．(2,4)D ．(2,6)答案 A解析 设B 中元素(4，－2)在A中对应的元素为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以B 中元素(4，－2)在A 中对应元素为(1,3)，故选A.3．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下图中，能表示P 到Q 的映射的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．③ 答案 C解析 由映射的概念，知①④符合要求．4．已知函数f (x )的图象恒过点(1,1)，则函数f (x －3)的图象恒过( ) A ．(4,1) B ．(－3,1) C ．(1，－3) D ．(1,4) 答案 A解析 函数f (x －3)的图象看作函数f (x )的图象向右平移3个单位，函数f (x )的图象恒过点(1,1)，则函数f (x －3)的图象恒过点(4,1)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A. 3 B ．9C ．－1或1D ．－3或 3 答案 A解析 依题意，若x ≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．若0<x ≤3，则x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.故选A.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f x ＋1，x ≤0，则f －43＋f 43等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 答案 B解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f x ＋1，x ≤0，∴f －43＝f －43＋1＝f －13＝f －13＋1＝f 23＝23×2＝43，f 43＝2×43＝83，∴f －43＋f 43＝43＋83＝4.二、填空题7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x ＜0的值域是________．答案 [1，＋∞)解析 当x ≥0时，f (x )≥1； 当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4. ∴值域为[1，＋∞)．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________.答案 2解析 f (0)＝3×0＋2＝2，f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a . 由题可知，4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)解析 当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 所以a 的取值范围是(－∞，－3)． 三、解答题10．已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)，求A 中元素(－1,2)在f 作用下与之对应的B中的元素．解 ∵x ＝－1，y ＝2，∴3x －2y ＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6， 4x ＋3y －1＝4×(－1)＋3×2－1＝1. ∴所求的B 中的元素为(－6,1)．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，x ，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x 2，x <0，求f [g (x )]的函数解析式． 解 当x ≥0时，g (x )＝x ， ∴f [g (x )]＝f (x )＝x 2. 当x <0时，g (x )＝－x 2，∴f [g (x )]＝f (－x 2)＝－x 2，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0.12．画出函数y ＝x |1－x 2|1－x2的图象，并根据图象指出函数的值域．解 由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－1<x <1，－x ，x <－1或x >1.作出函数图象如图所示． 根据图象可知函数的值域为 {y |y ≠1且y ≠－1}．。
高一数学人教A版必修1练习第9课时 映射与分段函数 Word版含解析
第课时映射与分段函数课时目标
．函数＝－的图象是图中的( )
答案：
解析：因为－＝(\\(－(≤或≥(，,－＋(<<(，))所以所求的图象为选项．
．设集合＝{，}，＝{}，从到的映射共有个( )
．．
．．
答案：
解析：如图：
．设函数()＝(\\(，≥，＜))，φ()＝(\\(，≤,－，＞))，则当＜时，(φ())＝( )
．－．－
．．
答案：
解析：依题意，当＜时，φ()＝＜，所以(φ())＝.
二、填空题(本大题共个小题，每小题分，共分)
．已知＝{}，对应法则：→(－)＋，设为中元素在作用下的象集，则＝.
答案：{}
解析：→(－)＋＝→(－)＋＝→(－)＋＝→(－)＋＝→(－)＋＝.∴＝{}．
．已知函数()＝(\\(＋，＜＋，≥))，
若(())＝，则实数＝.
答案：
解析：依题意，得()＝×＋＝，则(())＝()＝＋，所以＋＝，解得＝.
．设，为实数，集合＝，＝{，，－}，映射：→表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则＋＝.
答案：±
解析：由：→，知集合中的元素映射到集合中没有变化，且中只有个元素，所以＝.又因为中－为相反数，所以，，－这个元素中有个互为相反数，分情况讨论，知＝，＝±，所以＋＝±.
三、解答题(本大题共小题，共分)
．(分)画出下列函数的图象：
()＝＋＋－；
()＝－－.
解：()＝－＋＋＝(\\(－＋(<－(，(－≤<(，－(≥(.))
图象如图所示．。
高中数学 第一章 集合与函数概念练习(含解析)新人教A版必修1(2021年整理)
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第一章集合与函数概念练习1。
设集合A＝{x｜}，B＝{y｜y＝2x，x∈[0，2]｝，则A∩B＝( ）A．［0，2］B．(1,3）C．[1,3）D．（1，4)2. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．3. 已知集合则满足的非空集合的个数是（）A．1B．2C．7D．84。
设合集U=R，A=｛x｜0＜x＜2},B=｛x｜x＞1｝，则图中阴影部分表示的集合为（ )A．｛x｜x＞1}B．｛x|0＜x＜2｝C．{x｜1＜x＜2}D．｛x|x＞2｝5。
已知函数( )A．-18B．-10C．6D．16。
函数的定义域为（）A．B．C．D．7。
设集合M=｛x｜0≤x≤2}, N={y｜1≤y≤2｝，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（）A．B．C．D．8。
函数是偶函数,则的大小关系是（）A．B．C．D．9. 已知集合至多有一个元素，则实数的取值范围;若A中至少有一个元素，则实数的取值范围．10. 设集合，，若相等,则实数＝________。
11。
已知，，则集合与之间的关系是________．12。
设f(x）＝2x2＋2，g（x）＝，则g［f（2)]＝________．13. 若f（x）在（－∞，0）∪(0,＋∞）上为奇函数,且在（0，＋∞）上是单调增函数，f （－2）＝0，则不等式x·f（x）＜0的解集为________．14. 设函数(1）画出函数的图像。
2017版高中数学第一章集合与函数概念9分段函数和映射课时作业新人教A版必修1
课时作业(九) 分段函数和映射一、选择题1. 设集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →(x －1)2B ．f ：x →(2x －3)2C ．f ：x →－2x －1D ．f ：x →2x －3答案：A2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 ＝( )A.1516B ．－2716C.89D ．18答案：A 解析：f (2)＝22＋2－2＝4，f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f ：x →x 2是集合A 到集合B ＝{0,1,4}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C 解析：令x 2＝0,1,4，解得x ＝0，±1，±2.故选C.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f x ＋1 ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4答案：B 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， 又∵x ≤0时，f (x )＝f (x ＋1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝43. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜1，1x，x ＞1的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 D ．(0，＋∞)答案：D 解析：当x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，当x ＞1时，f (x )＝1x∈(0,1)，∴f (x )的值域(0,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞＝(0，＋∞)． 6．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52答案：A 解析：若x 2＋1＝5，则x 2＝4， 又∵x ≤0，∴x ＝－2；若－2x ＝5，则x ＝－52，与x ＞0矛盾．故选A.二、填空题7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．答案：4 解析：当x ＜0时，2x ＝16，无解； 当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4.8．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b ，已知函数f (x )＝x 2⊕x ，则f (2)＝________.答案：4 解析：根据已知条件有f (2)＝4⊕2＝4.9．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，则B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54与A 中________对应．答案：12 解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，解得x ＝12.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x ＜0，－12x ，0＜x ＜2，3，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝________，f (x )的定义域是________． 答案：32 {x |x ≥－1且x ≠0}解析：∵－1＜－34＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12. 而0＜12＜2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14.∵－1＜－14＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x ＜0}∪{x |0＜x ＜2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ＜0，－x ＋1，0＜x ≤1，则f (x )－f (－x )＞－1的解集为________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1] 解析：当－1≤x ＜0时，f (x )＝－x －1，f (－x )＝x ＋1，∴原不等式为－x －1－(x ＋1)＞－1， 解得x ＜－12，因此－1≤x ＜－12.当0＜x ≤1时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝x －1， ∴原不等式化为－2x ＋2＞－1，解得x ＜32，因此0＜x ≤1.综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]． 三、解答题12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋4 ，x ≥0，x x －4 ，x ＜0，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．解：f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0. 当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)； 当a ＋1＜0，即a ＜－1时， 有(a ＋1)(a －3)＝0，无解． 综上可知，a ＝－1.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x <0，x 2，0≤x <1，x ，1≤x ≤2.(1)求f (－8)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值； (2)作出函数的简图； (3)求函数的值域．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)因为－8∉[－1,2]，所以f (－8)无意义． 因为当－1≤x <0时，f (x )＝－x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝23.因为当0≤x <1时，f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.因为当1≤x ≤2时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象，如图所示． (3)由(2)中画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．14．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 尖子生题库15．规定：区间[m ，n ]的长度为n －m (n ＞m )，设A ＝[0，t ](t ＞0)，B ＝[a ，b ](b ＞a )，从A 到B 的映射f ：x →y ＝2x ＋t ，A 中元素在映射f 下对应元素的集合为B ，且B 比A 的长度大5，求实数t 的值．解：由于A 和B 均是数集，则该映射f ：x →y 是函数，且f (x )＝2x ＋t . 当x ∈A 时，f (x )的值域为[f (0)，f (t )]，即[t,3t ]， 所以B 的长度为3t －t ＝2t ， 又A 的长度为t －0＝t ， 则2t －t ＝5，解得t ＝5.。
新课标人教A版高一数学必修知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：〔1〕元素确实定性； 〔2〕元素的互异性； 〔3〕元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是公平的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比拟它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 〔1〕用大写英文字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 〔2〕集合的表示方法：列举法与描述法。
〔Ⅰ〕列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
〔Ⅱ〕描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①言语描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} 〔3〕图示法〔文氏图〕： 4、常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于〞的概念集合的元素通常用小写的英文字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a ∉A 6、集合的分类：1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合 二、集合间的根本关系 1.“包含〞关系———子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B注意： 有两种可能〔1〕A 是B 的一局部，；〔2〕A 与B 是同一集合。
高中数学第一章集合与函数概念1_2_2_2分段函数及映射课后提升训练新人教A版
分段函数及映射(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2015·湖北高考)设x∈R,定义符号函数sgnx=则( )A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx【解析】选D.=x|sgnx|==xsgn|x|==|x|sgnx==xsgnx=而左边=2.(2017·大连高一检测)点(x,y)在映射f下的对应元素为,则点(2,0)在f作用下的对应元素为( )A.(0,2)B.(2,0)C.(,1)D.(,-1)【解析】选D.由点(x,y)在映射f下的对应元素为,令x=2,y=0,则=,=-1,所以点(2,0)在f作用下的对应元素为(,-1).3.(2017·周口高一检测)已知f(x)=则f+f的值等于( )A.-2B.4C.2D.-4【解题指南】解答本题先求出f,再求出f,最后求两值之和.【解析】选B.当x=时,f=2×=,当x=-时,f=f=f=2×=, 所以f+f=4.4.(2015·山东高考改编)设函数f(x)=若f=4,则b= ( )A.1B.C.D.【解析】选D.f=-b,若-b<1,即b>时,3×-b=4,解得b=,不符合题意,舍去;若-b≥1,即b≤时,得2=4,得b=.5.已知f(2x)=+3,则f= ( )A.4B.7C.19D.5【解析】选C.因为f(2x)=+3=+3,所以f(x)=+3,所以f=+3=19.6.给定映射f:(x,y)→(x+2y,2x-y),在映射f下与(4,3)对应的(x,y)为( )A.(2,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(10,5)【解析】选A.由映射的概念,知解得【延伸探究】本题条件不变,则(4,3)在映射f作用下对应的点是什么?【解析】由映射f:(x,y)→(x+2y,2x-y),所以(4,3)在映射f作用下对应的点是(4+2×3,2×4-3),即(10,5).7.已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为( )A.[-1,1]B.[-1,2]C.(-∞,1]D.[-1,+∞)【解析】选A.原不等式等价于或解得-1≤x≤1.8.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为( )A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米【解析】选 A.该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y=由y=16m,可知x>10.令2mx-10m=16m,解得x=13(立方米).【补偿训练】(2017·深圳高一检测)已知f(x)=若f(x)=10,则x=________.【解题指南】当x≤0时,由x2+1=10,求得x的值,当x>0时,由2x=10,求得x的值.【解析】当x≤0时,由x2+1=10,得x=-3.当x>0时,由2x=10,得x=5.答案:-3或5二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·开封高一检测)已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为________.【解析】当0≤x≤1时,f(x)=-1;当1<x≤2时,设f(x)=kx+b(k≠0),则解得此时f(x)=x-2.综上,f(x)=答案:f(x)=10.(2015·浙江高考)已知函数f(x)=则f(f(-2))=__________,f(x)的最小值是__________.【解析】f(-2)=(-2)2=4,所以f(f(-2))=f(4)=4+-6=-.当x≤1时,f(x)≥0,当x>1时,f(x)≥2-6,当x=,即x=时取到等号,因为2-6<0,所以函数的最小值为2-6.答案:-2-6三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·咸阳高一检测)已知函数f(x)=(1)求f(-4),f(3),f(f(-2))的值.(2)若f(a)=10,求a的值.【解析】(1)f(-4)=-4+2=-2,f(3)=2×3=6,f(-2)=-2+2=0,f(f(-2))=f(0)=02=0.(2)当a≤-1时,由a+2=10,得a=8,不符合;当-1<a<2时,由a2=10,得a=±,不符合;当a≥2时,由2a=10,得a=5,符合.所以a=5.12.如图所示,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动.设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式.(2)作出函数的图象,并根据图象求f(x)的值域.【解析】(1)函数的定义域为(0,12),当0<x≤4时,f(x)=×4×x=2x;当4<x≤8时,f(x)=×4×4=8;当8<x<12时,f(x)=×4×(12-x)=24-2x.所以函数解析式为f(x)=(2)图象如图所示.从图象可以看出f(x)的值域为(0,8].【能力挑战题】已知函数f(x)=|x-2|(x+1).(1)作出函数f(x)的图象.(2)利用图象判断关于x的方程|x-2|(x+1)=1的解的个数.【解题指南】先整理函数f(x)的解析式,去掉绝对值号,再作函数图象;可以利用图象交点判断关于x的方程的解的个数.【解析】(1)函数f(x)=|x-2|(x+1),去绝对值符号得f(x)=可得f(x)的图象如图所示.(2)关于x的方程|x-2|(x+1)=1的解的个数就是直线y=1与y=|x-2|(x+1)的图象的交点的个数.作出图象如图.由图可知,y=1与y=|x-2|(x+1)的图象有3个交点,所以方程|x-2|(x+1)=1有3个解.。
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2.2分段函数与映射课时作业(含解析)新人教A版必修1
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2.2分段函数与映射课时作业（含解析）新人教A 版必修1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若f ：A →B 能构成映射，下列说法正确的是( )①A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；②A 中的多个元素可以在B 中有相同的像；③B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；④像的集合就是集合B .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据映射的概念，A 中的元素在B 中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一，也可以是一对一．B 中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A3．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )解析：y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x >0，x －1，x <0.答案：D4．下列各对应中，构成映射的是( )解析：选项A ，C 中集合A 中的元素1，在集合B 中有2个元素与之对应；选项B 中集合A 中的元素2在集合B 中无元素与之对应，所以都不是映射，只有D 项符合映射的定义．故选D.答案：D5．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52解析：当x ≤0时，x 2＋1＝5，x ＝－2.当x >0时，－2x <0，不合题意．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x >0，x 2－2，x ≤0，则f (1)＋f (－1)＝________.解析：因为1>0，所以f (1)＝2×1＝2；因为－1<0，所以f (－1)＝(－1)2－2＝－1.故f (1)＋f (－1)＝2＋(－1)＝1.答案：17．已知函数f (x )在[－1,2]上的图象如图所示，则f (x )的解析式为________．解析：当x ∈[－1,0]时，y ＝x ＋1；当x ∈(0,2]时，y ＝－12x ， 故f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2.8．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________. 解析：由f (2)＝3，可知2a －1＝3，所以a ＝2，所以f (3)＝3a －1＝3×2－1＝5.答案：5三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (f (－2)))的值；(2)若f (a )＝32，求a . 解析：(1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f (f (－2))＝f (－1)＝2，∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32. (2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，∴a ＝2>1； 当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，∴a ＝±22∈[－1,1]； 当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，∴a ＝－34>－1(舍去)． 综上，a ＝2或a ＝±22. 10．已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x 2x ＋1. (1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？(2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？ 解析：(1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得x 2x ＋1＝12×1＋1＝13，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13.(2)B 中元素49，即x 2x ＋1＝49，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4. [能力提升](20分钟，40分)11．a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba ，1，N ＝{a,0}，f ：x →2x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中为2x ，则a ＋b ＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．±2解析：由题意知M 中元素b a 只能对应0,1只能对应a ，所以2b a＝0，a ＝2，所以b ＝0，a ＝2，因此a ＋b ＝2，故选C.答案：C12．从集合A 到集合B 的映射f ：x →x 2＋1，若A ＝{－2，－1,0,1,2}，则B 中至少有________个元素．解析：根据映射的定义可得，x ＝±2→y ＝5，x ＝±1→y ＝2，x ＝0→y ＝1，所以A 中元素在对应法则f 作用下的集合为{1,2,5}，故集合B 中至少有3个元素．答案：313．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)；(2)f (x )＝|x ＋2|. 解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞]上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5，x ≤0，x ＋5，0<x ≤1，－2x ＋8，x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，f (f (－1))的值； (2)若f (a )>2，求a 的取值范围．解析：(1)因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5，x ≤0，x ＋5，0<x ≤1，－2x ＋8，x >1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π＝1π＋5， f (－1)＝3×(－1)＋5＝2，f (f (－1))＝f (2)＝－2×2＋8＝4.(2)因为f (a )>2，所以当a ≤0时，f (a )＝3a ＋5>2，解得a >－1，所以－1<a ≤0；当0<a ≤1时，f (a )＝a ＋5>2，解得a >－3，所以0<a ≤1；当a >1时，f (a )＝－2a ＋8>2，解得a <3，所以1<a <3.综上，a 的取值范围是(－1,3).。
人教新课标版数学高一-人教A必修一习题 第一章 集合与函数概念(整合)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下五个对象，其中能构成集合的个数为( )①你所在班中身高超过1.75 m 的同学；②所有平行四边形；③人教A 版数学必修1教材中的所有习题；④所有有理数；⑤2012年高考试卷中的所有难题．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 由于①②③④项中的对象具备确定性，故①②③④能构成集合．⑤项不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合．答案： D2．设全集U ＝Z ，集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,3,5}B ．{1,2,3,4,5}C ．{7,9}D ．{2,4}解析： 题图中所示阴影表示的集合是(∁U A )∩B ＝{2,4}．答案： D3．如果全集U ＝{x |x 是小于9的正整数}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，则(∁U A )∩(∁U B )为( )A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{5,6}D ．{7,8}解析： U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∁U A ＝{5,6,7,8}，∁U B ＝{1,2,7,8}，故(∁U A )∩(∁U B )＝{5,6,7,8}∩{1,2,7,8}＝{7,8}．答案： D4．下列各组函数相等的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 0C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析： 选项A ，B ，D 中两函数定义域不同，只有C 项符合．答案： C5．已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( ) A ．8B ．9C ．11D ．10解析： ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (3)＝9＋2＝11.答案： C6．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A ．y ＝x 2－2x ＋1B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞)) C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N ) D ．y ＝1|x ＋1|解析： 在选项A 中y 可等于零，选项B 中y 显然大于1，选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)，选项D 中|x ＋1|>0，即y >0.答案： D7．函数f (x )＝1－x 2＋91＋|x |是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析： ∵函数f (x )的定义域是[－1,1]，且f (－x )＝f (x )，∴该函数为偶函数．答案： B8．已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6解析： 由题意得g (－2)＝f (－2)＋9＝－f (2)＋9＝3，∴f (2)＝6.答案： D9．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．R解析： 二次函数的对称轴是直线x ＝－m 2，则由题意可得－1≤m 2≤1，所以－2≤m ≤2. 答案： A10．若函数f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，则F (x )在区间(－∞，0)上( )A ．有最小值－5B ．有最大值－5C ．有最小值－1D ．有最大值－3解析： ∵当x >0时，F (x )≤5，即af (x )＋bg (x )＋2≤5，∴af (x )＋bg (x )≤3.设x <0，则－x >0，∴af (－x )＋bg (－x )≤3，即af (x )＋bg (x )≥－3.∴F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2≥－1.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．用列举法表示集合：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪ 10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________. 解析： 由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.答案： {－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________． 解析： 若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.答案： －313．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)的值等于________． 解析： 设g (x )＝ax 3＋bx ，显然g (x )为奇函数，则f (x )＝ax 2＋bx －4＝g (x )－4，于是f (－2)＝g (－2)－4＝－g (2)－4＝2，所以g (2)＝－6，所以f (2)＝g (2)－4＝－6－4＝－10.答案： －1014．若函数f (x )同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则称函数f (x )为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)解析： ①要求函数f (x )为奇函数，②要求函数f (x )为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数．答案： (3)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}．(1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )．解析： (1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{－5,2}． (2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2. 由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， 所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 16．(本小题满分12分)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，(x >0)0，(x ＝0)x 2＋mx .(x <0)(1)求实数m 的值；(2)画出函数图象； (3)若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，试确定a 的取值范围．解析： (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又∵f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，所以f (x )＝x 2＋2x ，则m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ， (x >0)0， (x ＝0)x 2＋2x ， (x <0)函数f (x )的图象如图所示．(3)由图象可知f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，|a |－2]上单调递增，只需－1<|a |－2≤1，即1<|a |≤3，解得－3≤a <－1或1<a ≤3.17．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解析： (1)由题意设f (x )＝a (x －1)2＋1，代入(2,3)得a ＝2，所以f (x )＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3.(2)对称轴为x ＝1，所以2a <1<a ＋1，所以0<a <12. (3)f (x )－2x －2m －1＝2x 2－6x －2m ＋2，由题意得2x 2－6x －2m ＋2>0对于任意x ∈[－1,1]恒成立，所以x 2－3x ＋1>m 对于任意x ∈[－1,1]恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则g (x )min ＝－1，所以m <－1.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25.(1)确定函数f (x )的解析式；(2)当x ∈(－1,1)时判断函数f (x )的单调性，并证明；(3)解不等式f (2x －1)＋f (x )<0.解析： (1)由题意可知f (－x )＝－f (x )，∴－ax ＋b 1＋x 2＝－ax ＋b 1＋x 2， ∴b ＝0，∴f (x )＝ax 1＋x 2. 又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝25，∴a ＝1，∴f (x )＝x 1＋x 2. (2)当x ∈(－1,1)时，函数f (x )是单调递增的． 证明如下：设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 21(1＋x 21)(1＋x 22)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0.又1＋x 21>0,1＋x 22>0， ∴(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )为增函数．(3)∵f (2x －1)＋f (x )<0，∴f (2x －1)<－f (x )．又f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f (2x －1)<f (－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －1<1，－1<－x <1，2x －1<－x ，∴0<x <13， ∴不等式f (2x －1)＋f (x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫0，13.。
高中数学第一章集合与函数概念第9课时映射与分段函数练习新人教A版必修1
2．映射．
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．如图，给出的集合M到N的对应关系：
其中是M到N的映射的是()
A．①③B．③④
CБайду номын сангаас①④D．②④
答案：B
解析：①中集合M中的元素4在N中没有元素与之对应，②中集合M中元素1对应N中的两个元素，③④符合映射的概念．
2．已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{0|0≤y≤2}，按对应关系f不能构成从M到N的映射的是()
∴y＝S梯形ABCD－S△MDN
＝ ·1·(4＋2)－ (4－x)2
＝－ x2＋4x－5(3<x≤4)
综上，y＝
第9课时 映射与分段函数
课时目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义．
2．学会判断函数的奇偶性．
3．了解函数奇偶性的有关性质．
4．掌握常见函数的奇偶性．
识记强化
1．分段函数．
(1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫分段函数，它虽由几部分构成，但它是一个函数．
A．f：x→y＝ xB．f：x→y＝ x
C．f：x→y＝ xD．f：x→y＝
答案：C
解析：因为当x＝4时，y＝ ×4＝ ∉N，所以C中的对应关系f不能构成从M到N的映射．
3．已知函数f(x)＝ ，则f(3)的值是()
四川省成都市新都一中必修一同步练习：第一章 集合与函数 第9课时 分段函数与映射 Word版含答案
四川省成都市新都一中高一同步练习第一章集合与函数的概念第9课时分段函数与映射基础达标(水平一)1.下表是某工厂产品的销售价格表.一次购买件数1~10件11~50件51~100件101~300件300件以上单价(元)3732302725某人现有现金2900元,则他一次最多可以购买这种产品().A.96件B.97件C.107件D.108件【解析】若按单价25元,则不够300件,故这不可能.若按单价27元购买,可买107件,符合101~300件的范围.【答案】C2.已知集合A=N*,B={正奇数},映射f:A→B,使A中任一元素a与B中元素2a-1相对应,则与B中元素17对应的A中的元素为().A.3B.5C.17D.9【解析】由题意知,17=2a-1,解得a=9.【答案】D3.若从甲地到乙地通话m分钟的话费满足函数f(m)=其中[m]表示不超过m的最大整数,则从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是().A.3.71B.4.24C.4.77D.5.3【解析】f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=1.06×(2.5+2)=4.77,故选C.【答案】C4.函数y=的大致图象是().【解析】函数的定义域为{x|x≠0},故排除A,B;y==|x|>0,排除D.综上知选C.【答案】C5.函数f(x)=则f(f(2))的值为.【解析】∵f(x)=∴f(2)=-1,∴f(f(2))=f(-1)=.【答案】6.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是.【解析】由f(-4)=f(0)得(-4)2+b×(-4)+c=c,由f(-2)=-2得(-2)2+b×(-2)+c=-2,解得b=4,c=2,则f(x)=由f(x)=x得x2+4x+2=x,解得x=-2或x=-1.故当x≤0时,f(x)=x有2个解;当x>0时,f(x)=x有1个解,为x=2.综上,f(x)=x共有3个解.【答案】37.设x≥0时,f(x)=2;x<0时,f(x)=1,又规定:g(x)=(x>0),试写出y=g(x)的解析式,并画出其图象.【解析】当0<x<1时,x-1<0,x-2<0,∴g(x)==1;当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,∴g(x)==;当x≥2时,x-1>0,x-2≥0,∴g(x)==2.故g(x)=,其图象如图所示.拓展提升(水平二)8.集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数有().A.2个B.3个C.5个D.8个【解析】由f(a),f(b)∈{-1,0,1},且f(a)+f(b)=0知,这样的映射有:共3个.【答案】B9.若定义函数sgn x=则().A.|x|=x|sgn x|B.|x|=x sgn|x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=x sgn x【解析】当x<0时,|x|=-x,而x|sgn x|=x,x sgn|x|=x,|x|sgn x=(-x)·(-1)=x,故排除A、B、C,选D.【答案】D10.若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是.【解析】由题意得f(x)=画出函数f(x)的图象(图象略),得值域是(-∞,1].【答案】(-∞,1]11.如图,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着折线BCDA,由点B(起点)向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x,△APB的面积为y.试求:(1)y与x之间的函数关系式;(2)画出函数y=f(x)的图象.【解析】(1)当点P在线段BC上运动时,S△APB=×4x=2x(0≤x≤4);当点P在线段CD上运动时,S△APB=×4×4=8(4<x≤8);当点P在线段AD上运动时,S△APB=×4×(12-x)=24-2x(8<x≤12).即y与x之间的函数关系式为y=(2)画出函数y=f(x)的图象如图所示.。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2.2 分段函数与映射练习 新人教A版必修1
第2课时 分段函数与映射一、A 组1.(2016·湖北随州高一期末)下表表示y 是x 的函数,则函数的值域是( )x 0<x<5 5≤x<1010≤x<15 15≤x ≤20 y 2345A.[2,5]B.NC.(0,20]D .{2,3,4,5}解析:由题表可知,y=所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D . 答案:D2.已知f :x →x 2是集合A 到集合B={0,1,4}的一个映射,则集合A 中的元素最多有( ) A.3个B.4个C.5个D.6个解析:令x 2=0,1,4,解得x=0,±1,±2.故选C . 答案:C3.(2016·辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)若f (x )=则f (5)的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11解析:由题意知,f (5)=f (f (11))=f (8)=f (f (14))=f (11)=8.故选A .答案:A4.函数f (x )=的值域是( ) A .RB .(0,+∞)C .(0,2)∪(2,+∞)D .[0,2]∪[3,+∞)解析:当0≤x ≤1时,2x 2∈[0,2];当x ≥2时,x+1≥3,所以函数f (x )的值域是[0,2]∪[3,+∞). 答案:D5.已知函数f (x )=则不等式xf (x-1)≤1的解集为( ) A .[-1,1] B.[-1,2]C.(-∞,1]D.[-1,+∞)解析:原不等式等价于解得-1≤x ≤1.答案:A6.已知f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式为 .解析:当0≤x ≤1时,f (x )=-1;当1≤x ≤2时,设f (x )=kx+b (k ≠0),则解得此时f (x )=x-2. 综上,f (x )= 答案:f (x )=7.已知函数f(x)=则f(1)+f(-1)=.解析:∵f(1)=2×1+1=3,f(-1)=-2×(-1)+1=3,∴f(1)+f(-1)=3+3=6.答案:68.已知f(x)=则f(f(f(5)))等于.解析:f(f(f(5)))=f(f(0))=f(-1)=2×(-1)-3=-5.答案:-59.已知函数f(x)=(1)求f,f,f(4.5),f;(2)若f(a)=6,求a的值.解:(1)∵-∈(-∞,-1),∴f=-2×=3.∵∈[-1,1],∴f=2.又2∈(1,+∞),∴f=f(2)=2×2=4.∵4.5∈(1,+∞),∴f(4.5)=2×4.5=9.(2)经观察可知a∉[-1,1],否则f(a)=2.若a∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;若a∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.故a的值为-3或3.10.导学号29900037已知函数f(x)=1+(-2<x≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数;(2)画出该函数的图象;(3)写出该函数的值域.解:(1)当0≤x≤2时,f(x)=1+=1,当-2<x<0时,f(x)=1+=1-x.所以f(x)=(2)函数f(x)的图象如图所示.(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).二、B组1.给出如图所示的对应:其中能构成从A到B的映射的个数为()A.3B.4C.5D.6解析:①是映射,是一对一;②③是映射,满足对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应;④⑤不是映射,是一对多;⑥不是映射,a3,a4在集合B中没有元素与之对应.答案:A3.函数f(x)=的值域是()A.RB.[0,+∞)C.[0,3]D.[0,2]∪{3}解析:作出y=f(x)的图象如图所示.由图知,f(x)的值域是[0,2]∪{3}.答案:D4.已知函数f(x)=若f(x0)=8,则x0=.解析:由题意得解得∴x0=-或x0=4.答案:-或45.导学号29900038已知直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是. 解析:y=x2-|x|+a=画出直线y=1和曲线y=x2-|x|+a的图象如图所示.由图知解得1<a<.答案:6.若f(x)=则f=,f(x)的定义域是.解析:∵-1<-<0,∴f=2×+2=,而0<<2.∴f=-=-.∵-1<-<0,∴f=2×+2=.因此f.函数f(x)的定义域为{x|-1≤x<0}∪{x|0<x<2}∪{x|x≥2}={x|x≥-1,且x≠0}.答案:{x|x≥-1,且x≠0}7.如图所示,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4).(1)求f(f(0))的值;(2)求函数f(x)的解析式.解:(1)由题图可得f(f(0))=f(4)=2.(2)设线段AB所对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),将代入,得∴∴y=-2x+4(0≤x≤2).同理,线段BC所对应的函数解析式为y=x-2(2≤x≤6).∴f(x)=8.导学号29900039(2016·河南南阳五校高一联考)甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km,甲从10时出发前往乙家.如图表示的是甲从家出发到乙家为止经过的路程y(单位:km)与时间x(单位:分)的关系.试写出y=f(x)的函数解析式.解:当0≤x≤30时,设f(x)=kx(k≠0),将(30,2)代入可得k=,∴f(x)=x;当30<x≤40时,f(x)=2;当40≤x≤60时,设f(x)=mx+b(m≠0),则将(40,2),(60,4)代入可得,解得即f(x)=x-2.综上,f(x)=。
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第9课时映射与分段函数
课时目标
的图象是图中的( )
－2x x≤0或x，
x2＋2x x，
所以所求的图象为＝{0,1}，从A到B的映射共有______
≥0＜0，φ(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x，x≤2
－x2，x＞2
，则当x x f x x
若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________. 答案：2
解析：依题意，得f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ，所以4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.
9．设a ，b 为实数，集合M ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
－1，b a
，1，N ＝{a ，b ，b －a }，映射f ：x →x 表示把集
合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.
答案：±1
解析：由f ：x →x ，知集合M 中的元素映射到集合N 中没有变化，且N 中只有3个元素，所以M ＝N .又因为M 中－1,1为相反数，所以a ，b ，b －a 这3个元素中有2个互为相反数，分情况讨论，知b ＝0，a ＝±1，所以a ＋b ＝±1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分) 10．(12分)画出下列函数的图象： (1)y ＝|x ＋3|＋|x －5|；
(2)y ＝x 2
－2|x |－1.
解：(1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋2 x <－，8 －3≤x
，2x －2 x
图象如图所示．
(2)y ＝x 2
－2|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x －1
x ，
x 2
＋2x －1
x
图象如图所示．
11．(13分)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2x ＋1，x <1
x 2
－2x ，x ≥1.
(1)试比较f (f (－3))与f (f (3))的大小；
(2)画出函数f (x )的图象； (3)若f (x )＝1，求x 的值．
解：(1)因为－3<1，所以f (－3)＝－2×(－3)＋1＝7，
又因为7>1，所以f (f (－3))＝f (7)＝72
－2×7＝35.
因为3>1，所以f (3)＝32
－2×3＝3，所以f (f (3))＝3. 所以f (f (－3))>f (f (3))．
(2)函数图象如图实线部分所示．
和函数图象综合判断，可知在(－∞，1)上，由
－2x＝1，解得x＝1＋2或
能力提升
＋x，
[f x＋x，
(10)＝
的函数，并写出函数的定义域．
⊥AD，G为垂足，依题意，
，
的左侧时，点N在AB上，∵AM＝x，∠A
∈，3]
－5，x∈，4].。