第5课时 坐标系中直线与坐标轴的夹角
《数控加工与编程技术》课程试题库
一、选择1、在数控铣床上的XY平面内加工曲线外形工件，应选择A指令。
A.G17；B.G18；C.G19；D.G202、闭环进给伺服系统与半闭环进给伺服系统主要区别在于B。
A.位置控制器；B.检测单元；C.伺服单元；D.控制对象3、G00的指令移动速度值是A。
A.机床参数指定；B.数控程序指定；C.操作面板指定；D.手动操纵指定4、圆弧插补段程序中，若采用圆弧半径Ｒ编程时，从起始点到终点存在两条圆弧线段，当D时，用-Ｒ表示圆弧半径。
Ａ.圆弧小于或等于180°；Ｂ.圆弧大于或等于180°；Ｃ.圆弧小于180°；Ｄ.圆弧大于180°5、ＦＭＳ是指C。
Ａ.自动化工厂；Ｂ.计算机数控系统；Ｃ.柔性制造系统；Ｃ.数控加工中心6、 DNC系统是指A。
A.自适应控制；B.计算机直接控制系统；C.柔性制造系统；D.计算机数控系统7、数控机床控制介质是指B。
A.零件图样和加工程序单；B.穿孔带；C.穿孔带、磁盘和磁带、网络；D.光电阅读机8、闭环控制系统的位置检测装置装在C。
Ａ.传动丝杠上；Ｂ.伺服电动机轴上；Ｃ.机床移动部件上；Ｄ.数控装置中9、设置零点偏置（G54-G59）是从C输入。
A. 程序段中；B.机床操作面板；C控制面板；D.系统内部自适应确定10、刀尖半径左补偿方向的规定是D。
A.沿刀具运动方向看，工件位于刀具左侧；B.沿工件运动方向看，工件位于刀具左侧；C.沿工件运动方向看，刀具位于工件左侧；D.沿刀具运动方向看，刀具位于工件左侧11、判断数控车床（只有X、Z轴）圆弧插补的顺逆时，观察者沿圆弧所在平面的垂直坐标轴（Y轴）的负方向看去，顺时针方向为G02, 逆时针方向为G03。
通常，圆弧的顺逆方向判别与车床刀架位置有关，如图1所示，正确的说法如下AB。
A、图1a表示刀架在机床内侧时的情况；B、图1b表示刀架在机床外侧时的情况；C、图1b表示刀架在机床内侧时的情况；D、以上说法均不正确。
直线定向示范课
知识点
方位角、象限角的含义； 子午线收敛角、磁偏角的概念； 真方位角、磁方位角、坐标方位角的关系； 正、反坐标方位角的概念； 坐标方位角与象限角的相互换算
考核点提示与要求
1识记:真北，轴北，磁北，子午线收敛角，磁 偏角，磁坐偏角;真方位角，坐标位角，磁方位 角，真象限角，坐标象限角，磁象限角;方位罗 盘、象限罗盘，磁针北端。
日常生活中我们经常问这几句话
在哪儿？
—静态地理位置
怎么走？
—动态地理位置
某地有什么？
—地理信息分布
有80%的信息和地理位置有关！
在日常生活中我们经常会说“武汉市位于长江中游”， “宜昌市在武汉市上游”，这就是借助地理空间拓扑关系 来描述地物之间的地理位置。(相对位置关系)
下图是北京市崇文区的一个街区 小胡同变成大马路
子午线收敛角随纬度的增大而增大，并与两点间的距离成正比。
第五章直线定向
第一节 三北方向 二 子午线收敛角、磁偏角及磁坐偏角概念
坐标子午线收敛角“ ”：同一点的真子午线方向与 坐标纵轴方向之间的交角 ，即任一点的真子午线方向
与中央子午线方向（坐标纵轴）的夹角。
[例] 图4-14中O点为中 央子午线上的点，其真 子午线方向为坐标纵轴， 点A或B为中央子午线以 外的点。
第五章直线定向
第一节 三北方向 （二）子午线收敛角、磁偏角及磁坐偏角概念
2、磁偏角：地面上某点真北方向与磁北方向的
夹角。用δ表示。
N P
真北
磁 北
磁 西 东北
- +
第五章直线定向 第一节 三北方向
二 子午线收敛角、磁偏角及磁坐偏角概念 2、磁偏角
子午线收敛角
名师导学高考二轮总复习物理专题2 第5课功与功率动能定理 课件
1
1
定理得 Pt2－fx2＝2mv2m－2mv21
解得 x2＝1 000 m. 则汽车从静止到达到最大速度过的路程为
x＝x1＋x2＝1 010 m.
小结与拓展 汽车启动，一般认为阻力 f 不变， 要能灵活运用 P＝Fv，F－f＝ma，两式来分析问题， 匀加速启动阶段，F，f，a 都不变，v 增大，P 增大．如 果 P 不变，则 v 增大，F 减小，a 减小．当 a＝0 后， F＝f，匀速运动．
必要的辅助方程，进行求解．
1．求变力做功的几种方法
功的计算在中学物理中占有重要的地位，中学阶 段所学的功的计算公式 W＝Fscos α只能用于恒力做 功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可
用，变力做功问题可归纳如下： (1)功率恒定：WF＝Pt.注意：这是求牵引力做的
功，而不是合力做的功．
(4)平均力法 如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律
变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，利用 功的定义式求功．
W＝Fs＝（F1＋2F2）s.(如矩形木块在浮出水面过 程中浮力随木块浸入水中深度的减小而均匀减小)
(5)用动能定理求变力做功
例 1 如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点
动能定理时，可以分段考虑，也可以全程作为一个整 体考虑．
3．一般应用步骤
(1)选取研究对象，明确它的运动过程．
(2)分析研究对象的受力情况和各力做功情况，然 后求各个外力做功的代数和．
(3)明确物体运动过程中初、末状态的动能 Ek1 和 Ek2.
(4)列出动能定理的方程 W 合＝Ek2－Ek1，及其他
0 时速度达到最大值 vm＝54 km/h＝15 m/s，此时发动 机的牵引力 F 与机车所受阻力相等，对汽车速度由 0 到 vm 过程运用动能定理(设发动机功率为 P)，则
《高等数学II》教学大纲
《高等数学II》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：高等数学II英文名称：Higher mathematics II课程类别：公共课学时：64学分：4适用对象: 理工科专业考核方式：考试先修课程：高等数学I二、课程简介《高等数学II》是高等学校理工科专业学生的必修课。
通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和获得进一步的数学知识奠定必要的基础。
通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
其具体内容包括：空间解析几何与向量代数；多元函数微积分学（多元函数微分学、重积分、曲线积分和曲面积分）；无穷级数。
Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning. Through learning of this course, make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills, for learning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the necessary foundation. Through the knowledge content of teaching, cultivate students' operation ability, abstract thinking ability, logical reasoning ability, space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems. The specific contents include: spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus, reintegration, curvilinear integral and surface integral); Infinite series.三、课程性质与教学目的目前，《高等数学II》已成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学1”和“数学2”的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。
高中物理同步必修第一册 第3章相互作用 5 第2课时 多力平衡问题
针对训练 如图2所示，水平地面上质量为m＝10 kg的物体，在与水平方 向成37°角的推力F作用下做匀速直线运动.已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8， 物体与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度为g＝10 m/s2，求推力 F的大小. 答案 100 N
图2
解析 对物体受力分析如图所示. 物体在推力F的作用下做匀速直线运动，处于平衡状态，物体受到的摩 擦力为滑动摩擦力. 在竖直方向上：FN＝mg＋Fsin 37° 在水平方向上：Ff＝Fcos 37° Ff＝μFN 联立解得F＝100 N.
图9
123456789
解析 物块恰好沿斜面匀速下滑 物块沿斜面方向受力平衡，有 mgsin 37°＝μmgcos 37° 得：μ＝0.75
123456789
(2)拉力F的大小；
答案 9.6 N 解析 物块沿斜面匀速上滑时，物块的受力情况如图甲所示 在x方向：Fcos 37°＝Ff＋mgsin 37° 在y方向：FN＋Fsin 37°＝mgcos 37° Ff＝μFN 联立解得F＝9.6 N
轮之间的摩擦，则下列说法正确的是
√A.悬挂滑轮的轴对滑轮的作用力一定增大
√B.绳子对A的拉力一定增大
C.地面对A物体的摩擦力可能减少
图2
D.A物体对地面的压力增大
123456789
解析 绳子的拉力等于物体B的重力，悬挂滑轮的轴对滑轮的作用力等 于两侧绳子上的拉力的合力，当增加物体B的重力且A仍然保持静止时， 两侧绳上拉力的合力变大，则悬挂滑轮的轴对滑轮的作用力变大，故选 项A正确； 当增加B的重力时，绳子对A的拉力一定增大，选项B正确； 地面对物体A的摩擦力等于绳子的拉力的水平分力，故增加物体B的重力 时，地面对A物体的摩擦力增大，选项C错误； 对物体A，在竖直方向有FN＋FTsin θ＝mAg，可知随 拉力FT的增大，FN减小，由牛顿第三定律得A物体 对地面的压力减小，选项D错误.
高等数学(工本)课后习题答案
5．求顶点为 A（2,5,0） ，B（11,3,8） ，C（5,1,11）的三角形各边的长度．
AB = AC =
(2 − 11) 2 + (5 − 3) 2 + (0 − 8) 2 = (2 − 5) 2 + (5 − 1) 2 + (0 − 11) 2 =
149 ； BC= 146 ．
(11 − 5) 2 + (3 − 1) 2 + (8 − 11) 2= 7 ；
（3） (m − n)(a + b) − (m + n)(a − b) ．
(m − n)(a + b) − (m + n)(a − b)
= (m − n)a + (m − n)b − (m + n)a + (m + n)b = 2(mb − na )
2．设向量 u = i − j + 2k ， v =− i + 3 j − k ，计算 2u − 3v ．
量和坐标轴的关系如何？ （1）由 cos α = 0 可知该向量垂直于 x 轴； （2）由 cos β = 1 可知该向量与 y 轴同向； （3）由 cos α = 0 及 cos β = 0 可知该向量垂直于 x 轴与 y 轴，即该向量与 z 轴平行． 7．求向量 a = {1, 2,1} 的单位化向量 a ，并求 a 与各个坐标轴的夹角．
（1） a （2） a ， b ； （2） a 与 b 的夹角 θ ． b；
= （1） a （2） a b= {1,1, −4} {2, −2,1} = −4 ；
2 12 + 12 + (−4)= 3 2， b =
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角
B.60° C.45°
C)
D.30°
解析 设AC和平面α所成的角为θ,
则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θ=
1 2 3 4 5
2
√,所以θ=45°.
2
3.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,
AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
21
规律方法
1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条
斜线在平面内的射影所成的角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的
角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺
少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.
√6
A.
3
1 2 3 4 5
√10
B.
2
√15
C.
5
√10
D.
5
解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立
空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
∴1 =(-2,0,1), =(-2,2,0),易知 为平面 BB1D1D 的一个法向量,
θ=|cos
|CB|2 + |BA|2 + |AS| 2 = √3,
√3
φ|= 3 ,
√3
所成的角的正弦值为 3 .
∴cos<1 , >=
1 ·
|1 || |
∴直线 BC1 与平面
《直线与平面的夹角》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
知识梳理
题型一 用定义求线面角
【例1】在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角 的正弦值． [思路探索] 可作出线面角，在三角形中解出．
解 如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD， EG⊥平面BCD，O、G为垂足． ∴AO＝2GE，AO、GE确定平面AOD，连结 GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．
知识梳理
【例 3】(12 分)如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱 长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值．
审题指导 建立坐标系，用 sin θ＝|cosφ|＝求线面角．
知识梳理
【题后反思】 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意 计算上不要失误． (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接 确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的 坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．
知识梳理
公式cos θ＝cos θ 1 ·cos θ 2的理解 由0≤cos θ 2 ≤1，∴cos θ≤cos θ 1 ，从而θ1≤θ.在公式中，令θ 2 ＝90°，则cos θ＝cos θ 1 ·cos 90°＝0. ∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO. 此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆 定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．
知识梳理
∵M 为 DC 的中点，∴CM＝12a
∴BM＝
a42＋a2＝
5 2a
又 ME＝12PD＝12a，∴BE＝ 54a2＋14a2＝ 26a
知识梳理
∴在 Rt△BME 中
cos∠MBE＝BBME ＝
第5课时中考数学压轴题动点问题汇编
几何综合汇编所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
《数控加工与编程技术》课程试题库
一、选择1、在数控铣床上的XY平面内加工曲线外形工件，应选择 A 指令。
A.G17；B.G18；C.G19；D.G202、闭环进给伺服系统与半闭环进给伺服系统主要区别在于B 。
A.位置控制器；B.检测单元；C.伺服单元；D.控制对象3、G00的指令移动速度值是 A 。
A.机床参数指定；B.数控程序指定；C.操作面板指定；D.手动操纵指定4、圆弧插补段程序中，若采用圆弧半径Ｒ编程时，从起始点到终点存在两条圆弧线段，当 D 时，用-Ｒ表示圆弧半径。
Ａ.圆弧小于或等于180°；Ｂ.圆弧大于或等于180°；Ｃ.圆弧小于180°；Ｄ.圆弧大于180°5、ＦＭＳ是指 C 。
Ａ.自动化工厂；Ｂ.计算机数控系统；Ｃ.柔性制造系统；Ｃ.数控加工中心6、 DNC系统是指 A 。
A.自适应控制；B.计算机直接控制系统；C.柔性制造系统；D.计算机数控系统7、数控机床控制介质是指 B 。
A.零件图样和加工程序单；B.穿孔带；C.穿孔带、磁盘和磁带、网络；D.光电阅读机8、闭环控制系统的位置检测装置装在 C 。
Ａ.传动丝杠上；Ｂ.伺服电动机轴上；Ｃ.机床移动部件上；Ｄ.数控装置中9、设置零点偏置（G54-G59）是从C 输入。
A. 程序段中；B.机床操作面板；C控制面板；D.系统内部自适应确定10、刀尖半径左补偿方向的规定是D 。
A.沿刀具运动方向看，工件位于刀具左侧；B.沿工件运动方向看，工件位于刀具左侧；C.沿工件运动方向看，刀具位于工件左侧；D.沿刀具运动方向看，刀具位于工件左侧11、 判断数控车床（只有X 、Z 轴）圆弧插补的顺逆时，观察者沿圆弧所在平面的垂直坐标轴（Y 轴）的负方向看去，顺时针方向为G02, 逆时针方向为G03。
通常，圆弧的顺逆方向判别与车床刀架位置有关，如图1所示，正确的说法如下 AB 。
A 、图1a 表示刀架在机床内侧时的情况；B 、图1b 表示刀架在机床外侧时的情况；C 、图1b 表示刀架在机床内侧时的情况；D 、以上说法均不正确。
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式(教案说明)
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式教案说明江西省宜丰中学熊星飞一、教材在本章节中的地位及作用1．向量的坐标运算是在空间向量的运算（加减法运算、实数与向量的积，空间向量的基本定理的基础上，用坐标对几何图形进行量化，通过对运算来掌握向量的关系和性质；2．向量的运夹角和距离公式是在空间向量的坐标及坐标运算的基础上，对向量的夹角和距离进行的一种运算，是空间解析几何的基础；3．本节内容渗透了转化、化归、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材；4．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生抽象思维及空间想象的能力。
5．课时安排空间向量的坐标运算共分4个课时（第一课时：空间直角坐标系；第二课时：空间向量的直角坐标运算；第三课时：空间向量夹角与距离公式的掌握及简单运用；第四课时：空间向量的坐标运算综合运用。
本节课是第三课时（夹角与距离公式的掌握及简单运用）二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为立体几何的问题，立体几何问题再用坐标运算进行解决；2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．4．知识教学点（1）．掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式；（2）．会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直；（3）．会运用向量的夹角公式求异面直线所成的角。
三、教学重点与难点1．教学重点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。
2．教学难点：异面直线所成的角与空间两向量夹角的关系。
四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用对比学习、启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质。
第05讲 空间向量及其应用 (讲)(原卷版)-2023年高考数学一轮复习
第05讲 空间向量及其应用 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析题型一：空间向量的线性运算 题型二：共线、共面向量定理的应用 题型三：空间向量的数量积及其应用角度1：求空间向量的数量积 角度2：利用数量积求长度 角度3：利用数量积求夹角 角度4：利用向量解决平行和垂直问题角度5：向量的投影和投影向量 题型四：利用空间向量证明平行与垂直第四部分：高考真题感悟知识点一：空间向量的有关概念1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．2、几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量1、共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．（1）共线向量定理推论：如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+①，若在l 上取AB a =，则①可以化作：OP OA t AB =+（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点O ，空间中三点,,P A B 共线的充要条件是OP OA AB λμ=+，其中1λμ+=2、共面向量定理如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使p xa yb =+（1）空间共面向量的表示如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使AP xAB y AC =+．或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（,,,P A B C 四点共面）的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使OP OA xAB y AC =++，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （2）拓展对于空间任意一点O ，四点,,,P C A B 共面（其中,,C A B 不共线）的充要条件是OP xOC yOA zOB =++（其中1x y z ++=）．3、空间向量基本定理如果向量三个向量,,,a b c 不共面，那么对空间任意向量,p 存在有序实数组{},,,x y z 使得.p xa yb zc =++知识点三：空间向量的数量积1、空间两个向量的夹角（1）定义：如图已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 OA a =，OB b =，则么AOB ∠叫做向量,a b 的夹角，记,a b <>.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）（2）范围：[],0,a b π<>∈． 特别地，（1）如果,2a b π<>=，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥．(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π，故a,b 0<>=(或a,b π<>=)//a b ⇔(,a b 为非零向量)．(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a 都是共线的，即0a ．两非零向量的夹角是唯一确定的．（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量,a b 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ， (1)向量夹角的范围是0<<,a b ><π，异面直线的夹角θ的范围是0<θ<2π， (2)当两向量的夹角为锐角时，,a b θ=<>；当两向量的夹角为2π时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b θπ=-<>. 2、空间向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，则||||cos ,a b a b <>叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅；即||||cos ,a b a b a b ⋅=<>．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.3、向量a 的投影3.1．如图(1)，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ,||bca ab b =<>向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图(2))．3.2．如图(3)，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A '，B '，得到A B ''，向量A B ''称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A B ''的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．4、空间向量数量积的几何意义：向量a ，b 的数量积等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos ,b a b <>的乘积或等于b 的长度||b 与a 在b 方向上的投影||cos ,a a b <>的乘积.5、数量积的运算：（1）()()a b a b λλ⋅=⋅，R λ∈. （2）a b b a ⋅=⋅(交换律)．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律).知识点四：空间向量的坐标表示及其应用设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，空间向量的坐标运算法则如下表所示：数量积 a b a b a b a b ⋅=112233＋＋共线（平行）(0)a b b ≠()112233a b a b a b R a bλλλλλ=⎧⎪⇔=⇔=∈⎨⎪=⎩垂直 a b ⊥⇔11223300a b a b a b a b ⋅=⇔++=（,a b 均非零向量）模22222||||a a a a a a ===++123，即222||a a a a =++123夹角cos ,a b <>=112233222222123123a b |a ||b |a b a b a b a a a b b b ++⋅=++++1、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta =，即AP t AB =2、平面法向量的概念如图，若直线 l α⊥ ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {|0}P a AP ⋅=．3、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面α的法向量为(,,)n x y z = 选向量：选取两不共线向量,AB AC 列方程组：由00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩列出方程组解方程组：解方程组0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1) 得结论：得到平面的一个法向量.知识点六：空间位置关系的向量表示1、空间中直线、平面的平行设直线1l ,2l 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为n ，m ，则 线线平行12l l ⇔a b ⇔a b λ=(R λ∈)线面平行 1l α⇔a n ⊥⇔0a n ⋅=面面平行αβ⇔n m ⇔n m λ=设直线1l 的方向向量为111(,,)a a b c =，直线2l 的方向向量为222(,,)b a b c =，平面α的法向量111(,,)n x y z =，平面β的法向量为222(,,)m x y z =，则 线线垂直12l l ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120a a b b c c ++=线面垂直1l α⊥⇔a n ⇔a n λ=⇔111111a x b y c zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩面面垂直 αβ⊥⇔n m ⊥⇔0n m ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=1．（2022·全国·高二课时练习）若平面α，β的一个法向量分别为11,,163m ⎛⎫⎪⎝=-⎭-，1,1,32n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则( )A ．αβ∥B ．αβ⊥C ．α与β相交但不垂直D ．αβ∥或α与β重合2．（2022·全国·高二课时练习）设平面α法向量为(1,2,2)-，平面β的法向量为(2,4,)k --，若αβ∥，则k 等于( )A ．2B ．4-C ．4D ．2-3．（2022·全国·高二单元测试）若直线l 的方向向量(2,2,1)a =-，平面α的法向量(6,8,4)u =-，则直线l 与平面α的位置关系是__________________．4．（2022·全国·高二课时练习）已知51,2,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,,2b x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭分别是直线12,l l 的一个方向向量．若12l l ∥，则( ) A ．153,2x y ==B ．315,24x y ==C ．3,15x y ==D ．153,4x y ==5．（2022·全国·高二课时练习）若(2,3,1)n =-是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0,3,1)-B ．(2,0,1)C ．(2,3,1)--D ．(2,3,1)--题型一：空间向量的线性运算典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，给出下列各式： ①()AB BC +1CC +．②()111AA A D +11D C +．③()1AB DD +11BC +．④()1AD CB +AC +．其中运算结果为向量1AC 的共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））如图，设OA a =，OB b =，OC c =，若AN NB =，2BM MC =，则MN =（ ）A ．112263a b c +-B ．112263a b c --+C ．111263a b c --D ．111263a bc -++题型归类练1．（2022·全国·高二期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =，则向量MN 可表示为（ ）A ．12a b c ++B ．1144a b c ++C ．131484a b c --D ．313444a b c +-2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111AC B D F =，若1AF xAB yAD zAA =++，则x y z ++=___________.3．（2022·全国·高二开学考试）如图，在三棱锥P —ABC 中， M 是侧棱PC 的中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x ＋y ＋z 的值为______．题型二：共线、共面向量定理的应用典型例题例题1．（2022·天津·南开中学高一期末）如图，在ABC 中，13AD DC =，P 是线段BD 上一点，若15AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．23C ．2D ．15例题2．（2022·山西太原·高一期中）在ABC 中，点D 在BC 上，且2BD DC =，过D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，记AM AB λ=，AN AC μ=，若23λ=，则μ=（ ） A ．53B ．32C ．43D ．54例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P M ，为空间任意两点，如果有1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必在平面_________内.例题4．（2022·全国·高二课时练习）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（ ） A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面 D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面题型归类练1．（2022·全国·高二）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-2．（2022·江苏·高二课时练习）A ，B ，C 三点不共线，对空间内任意一点O ，若311488OA OB O OC P →→→→=++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（ ） A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期中）在△ABC 中，点M 是BC 上一点，且3BC BM =，P为AM 上一点，向量(0,0)BP BA BC λμλμ=+>>，则31λμ+的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4题型三：空间向量的数量积及其应用角度1：求空间向量的数量积典型例题例题1．（2022·全国·高二）已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10例题2．（2022·上海长宁·二模）已知OA AB ⊥，若()1,1,0OA =，则OA OB ⋅=_________． 例题3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥P ABC -中，1PB PC ==，90APB APC ∠=∠=︒，60BPC ∠=︒，则AB PC ⋅=（ ）A ．12B 3C ．1D 2例题4．（2022·福建·莆田第二十五中学高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（ ）A ．12B ．8C ．6D ．4题型归类练1．（2022·广东·高三阶段练习）已知正四面体ABCD 的棱长为1，且2BE EC =，则AE CD ⋅=（ ） A ．16B ．16-C ．13-D ．132．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，,,AP AB AC 两两垂直，2,1,AP AB AC M ===为PC 的中点，则AC BM ⋅的值为（ ）A ．1B ．13C ．14D ．12 3．（2022·全国·高二单元测试）已知MN 是长方体外接球的一条直径，点P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，17，则PM PN ⋅的取值范围为（ ）A ．3-2-4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．7-04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．73--44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．[]-20，4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面α内有两点()1,1,2M -，(),3,3N a ，平面α的一个法向量为()6,3,6n =-，则=a （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 5．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知向量()()2,3,1,1,2,4a b →→=-=-，则a b →→⋅=（ ）A ．0B ．4C ．4-D ．-5 6．（2022·吉林·长春市第二十九中学高二阶段练习）已知()()()1,1,0,0,1,1,1,0,1,,2a b c p a b q a b c ====-=+-，则p q ⋅=________.角度2：利用数量积求长度典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，空间四边形OABC 中，2OA OB OC ===，2AOC BOC π∠=∠=，π3AOB ∠=，点M ，N 分别在OA ，BC 上，且2OM MA =，BN CN =，则MN =（ ）A 22B 46C 34D 21例题2．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A M C E ⊥，则线段AM 的长的最小值为（ ）A 5B 25C ．1D 5 例题3．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，112AM MC =，点N 为1BB 的中点，则||MN =___________.例题4．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______. 题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为（ ）．A ．6B 6C ．3D 32．（2022·河南平顶山·高二期末（理））在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB BC BB ===，11ABB ABC B BC ∠=∠=∠3π=，12AE BD =，则1||B E =（ ）A 33B ．5C ．32D ．33．（2022·江苏连云港·高二期中）已知空间中非零向量a ，b ，且2a =，3b =，,60a b ︒<>=，则23a b -的值为（ ）．A 97B ．97C 61D ．614．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1112,45,60AA BAA DAA BAD ∠∠∠===，则1AC =（ ）A ．1B 3C ．9D ．35．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））在空间直角坐标系中，已知点A (1,2,1),(4,11,4),(1,1,1)B D ，若点P 满足2AP PB =，则||PD =_______．6．（2022·浙江·玉环市玉城中学高二期中）若()()2,3,5,3,1,4a b ==-， 则2a b -=__________________4．（2022·全国·高二）设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．角度3：利用数量积求夹角典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()()1,2,3,2,4,6,14a b c ==---=，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为______________.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知()1,0,0A 、()0,1,1B -、()0,0,0O ，OA OB λ+与OB 的夹角为120 ，则实数λ=______．例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =--，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．0B ．2πC ．23πD ．π题型归类练1．（2022·全国·高二）已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．30 D ．150︒2．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足113DP DD =，则直线AP 与直线1D B 所成角的余弦值为（ ）A ．230B 230C 30D 303．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系O xyz -中，若()1,,2a λ=--，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为120︒，则λ的值为（ ）A ．1B ．17-C ．1-或17-D ．17或1- 5．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，且3a b ⋅=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6角度4：利用向量解决平行和垂直问题典型例题例题1．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量a ，b 分别是直线1l ，2l 的方向向量，且()1,3,5a =，(),,2b x y =，若12l l ∥，则（ ） A ．15x =，35y = B ．3x =，15y = C ．25x =，65y = D ．32x =，152y = 例题2．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量()()1,,3,,2,6m x n y =-=，若//m n ，则x y +的值为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-例题3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量(1,1,2)a k =，(1,0,1)b =--，(0,2,1)c =，且向量2a b -与c 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．2-C ．4-D ．0例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(1,3,2)a =-，(2,,4)b m =--，若//a b ，则实数m 的值是________.若a b ⊥，则实数m 的值是________.题型归类练1．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量()2,1,3a =-，(),2,6b x =-，若a b ∥，则实数x 的值为（ ）A ．2B ．4C ．4-D ．2-2．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知(3,2,1),(2,,0)a b m =--=，若a b ⊥，则m 的值为（ ）A ．3B ．4-C ．3-D ．43．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，2c a b λ=+，若b c ⊥，则实数λ=（ ）A ．－2B ．2C ．1D ．－14．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1-B ．43C ．53D ．755．（2022·全国·高二课时练习）如果(1,5,2)A -，(2,4,2)B ，(,3,2)C a b +三点在同一直线上，那么=a __________，b =__________．角度5：向量的投影和投影向量典型例题例题1．（2022·全国·高二）已知空间三点(1,1,1)A --，(1,2,2)B --，(2,1,1)C ，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.例题2．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知()2,0,1a =，()3,2,5b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是（ ）A ．()153,2,5-B ．()3,1382,5-C ．()152,0,1D ．()1382,0,1 题型归类练1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知()()0,1,1,0,0,1a b ==，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．()1,0,0B ．()0,0,1C ．()0,1,0D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2．（2022·广东惠州·高二期末）已知()0,1,1a =，()0,1,0b =，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．1 B 2 C ．()0,1,0 D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．（2022·全国·高一）已知,,i j k 为标准正交基底，23a i j k =++，则a 在i 方向上的投影为（ ）A ．1B ．－1C 14D 144．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量(2,1,2)a =-，(1,2,1)b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是（ ）A ．424(,,)333-B ．(2,1,2)-C ．242(,,)333-D ．(1,2,1)-5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量(1,22)(2,11)a b ==-,,,，则向量b 在向量a 上的投影向量为（ ）A ．244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭B ．244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（ ）A ．6-B ．a -C ．32D ．34-b题型四：利用空间向量证明平行与垂直典型例题例题1．（2022·福建莆田·高二期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD 且22PD =122AB BC AD ===，90BAD ∠=，//BC AD ，点M 为棱PC 的中点．(1)证明：PA DM ⊥；例题2．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图在边长是2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，1A C 的中点.(1)证明：平面1EAC ⊥平面1DA C ；例题3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）在如图所示的五面体ABCDFE 中，面ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥面ABCD ，//DF AE ，且112DF AE ==，N 为BE 的中点，N 为CD 中点.(1)求证：//FN 平面ABCD ；例题4．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中//AD BC ，AB AD ⊥，4PA =，122AB AD BC ===，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =.(1)求证：DE ⊥平面PAC ；题型归类练1．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；2．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．(1)求证：PN ∥面ACC 1A 1；3．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC BB ===，AB BC ⊥，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的一点．(1)证明：BF DE ⊥；4．（2022·江西赣州·高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，1AB =，3AD =，2CD =，2ADC π∠=，平面PBC ⊥平面ABCD ，且PB PC =，E为BC的中点.(1)证明：平面PAE⊥平面PBD.-中，底面ABCD为正方形，CD⊥5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）已知四棱锥P ABCD平面PAD，PD FD⊥，2==，E、F分别为AP、AB的中点.PD AD(1)求证：DF EC⊥；1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（ ）A ．平面1B EF ⊥平面1BDDB ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11AC D2．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；3．（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱111ABC A B C-中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；。
高中数学北师大版选修21课件：第二章5 夹角的计算
所以P→A·D→A＝P→A·A→B＝P→A·B→C＝0，
因为 AB⊥AD，所以A→B·D→A＝0，
因为 AB⊥BC，所以A→B·B→C＝0，
所以P→B·D→C＝
(P→A＋A→B)·(D→A＋A→B＋B→C
)＝A→B2＝
→ |AB
|2
＝
1，
又因为|P→B|＝ 2，|C→D|＝ 2，
所以 cos〈P→B，D→C〉＝P→→B·→D→C＝ |PB||DC|
小．( × )
2．已知直线 l1 的一个方向向量为 a＝(1，－2，1)，直线 l2 的 一个方向向量为 b＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为
(D )
A．1
B. 6 3
C. 3 3
解析：选设两直线夹角为 θ，
则 cos θ＝ |a·b| ＝ 2＋4 ＝ 3.
|a|·|b| 6·2 2 2
BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是__6_0_°___．
解析：A→B＝A→C＋C→D＋D→B，
所以A→B·C→D＝(A→C＋C→D＋D→B)·C→D
＝A→C·C→D＋C→D2＋D→B·C→D＝
0＋
12＋
0＝
1，又
|A→B|＝
2，
→ |CD|
＝1.
所以 cos〈A→B，C→D〉＝A|→A→BB·||C→C→DD|＝2×1 1＝12.
第二章 空间向量与立体几何
§5 夹角的计算
5．1 直线间的夹角 5．2 平面间的夹角 5．3 直线与平面的夹角
1．问题导航 (1)两异面直线的夹角与两异面直线方向向量的夹角有什么关 系？ (2)两平面的夹角与两平面法向量的夹角有什么关系？ (3)直线与平面的夹角和该直线的方向向量与该平面的法向量 的夹角有什么关系？
【原创】高考物理总复习 第5课时 带电粒子在叠加场中的运动(能力课时)
A．该微粒一定带负电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C．该磁场的磁感应强度大小为qvmcogs θ D．该电场的场强为mgsqin θ
qUd ＝qv0B，U＝v0Bd
多维课堂突破 学科素养提升 限时规范训练
电磁流 量计
霍尔元 件
大一轮复习·物理（RJ）
UDq＝qvB，所以v＝DUB 所以Q＝vS＝π4DBU
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在 与磁场、电流方向都垂直的方向上出现
电势差
多维课堂突破 学科素养提升 限时规范训练
大一轮复习·物理（RJ）
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大一轮复习·物理（RJ）
考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动 1．带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场 力和重力平衡． 2．洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方 法相同．
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大一轮复习·物理（RJ）
2×10－3 kg的带正电的小球，从M(3.64 m,3.2 m)点，以v0＝1 m/s的水平
速度开始运动．已知球在第一象限内做匀速圆周运动，从P(2.04 m,0)
点进入第四象限后经过y轴上的N(0，－2.28 m)点(图中未标出)．求：(g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
如图所示，区域Ⅰ内有与水平方 向成45°角的匀强电场，区域宽度为d1，区域Ⅱ 内有正交的有界匀强磁场和匀强电场，区域宽 度为d2，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖 直向下．一质量为m、带电荷量为q的微粒在区域Ⅰ左边界的P点，由 静止释放后水平向右做直线运动，进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，从 区域Ⅱ右边界上的Q点穿出，其速度方向改变了60°，重力加速度为g， 求：