分数指数幂1
12[1].7_分数指数幂(1)
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1 1 =4 = 16 2
1 3
(4) 4 × 27 = 2 × 3 = 计算
(8 × 27)
1 3
2 ×8
1 3 1 3
1 2
1 2
解： ） (8 × 27) = (8) × (27) = 2 × 3 = 6 （2 (1) (2) 2 × 8 = (2 × 8) = 4
分数指数幂（ 12.7.1 分数指数幂（1）
教学目标： 教学目标：
理解分数指数幂的意义； 1、 理解分数指数幂的意义；能将方 根与指数幂互化， 根与指数幂互化，体会转化思想 . 2、 能在简单运算中运用有理数指数 幂的性质进行计算 .
教学重点及难点
教学重点： 教学重点：
理解分数指数幂的意义，能将方根与 理解分数指数幂的意义， 指数幂互化 .
教学难点： 教学难点：
能在简单运算中运用有理数指数幂的性 质进行计算 .
复习
1 请写出整数指数幂的运算法则： 请写出整数指数幂的运算法则：
a m ⋅ a n = a m+ n
a m ÷ a n = a m−n
a m am (ab) m = a m ⋅ b m ( ) = m b b (a m ) n = a mn (其中m 、n为整数，a ≠ 0,b ≠ 0)
3m = 1
所以 3
1 即m = 3 1
2 = 23
讨论： 讨论：
通过 3
2=
1 23
的转化，
讨论方根如何与幂的形式互化？
概念辨析
m n m a = a n (a ≥ 0)
分数指数幂
1
n
am
=a
−
m n (a
> 0)
m an
分数指数幂 课件
2
1.3 3
可化为(
)
A. 2
3 C. 9
B. 3 D． 9
[答案] C
[解析]
2
33
＝3 32＝3 9.
2．若 a>0，n，m 为实数，则下列各式中正确的是( )
A．am÷an＝amn
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
[答案] D [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确， 故选D.
3 a15÷
a－3 a－1.
2
[思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指 数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1165.
37 3 (2)原式＝ a2 a－2 ÷
8
a－3
15
a3
3 ÷
3
a－2
1
a－2
＝3 a2÷
7
a3
3 ÷
[思路分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式
化为分数指数幂的形式．
(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
23
23
13
[解析] (1)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 ；
111
111
111
7
(2)原式＝[a·(a·a2 )2 ]2 ＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 ；
有条件的求值问题
已知
1
a2
＋a－12
＝3，求下列各式的值.
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
3
a2
－a－32
(3) 1 a2
苏教版必修一2.2.1《分数指数幂》word教案1
§2.2指数函数课题：§2.2.1分数指数幂-1.根式教学目标：1.理解n次方根与n次根式的概念;2.了解根式的两个性质:(n a)n, n a n分别等于什么.重点难点：重点——n次方根与n次根式的概念;难点——根式的两个性质:(n a)n, n a n分别等于什么．教学教程：一、问题情境问题1:若x2=a,则a叫x的_________,x叫a的____,a>0时,x的值有____个,分别记作______;a的正的平方根叫a的算术平方根,记作____.若x3=a,则a叫x的____,x叫a的____,a∈R,x的值有____个,记作_____;二、学生活动回忆初中学过的平方根与立方根的概念,为下面将概念推广到n 次方根作准备.问题2:将这两个概念推广,可得:若x4=a,则x叫a的,a>0时,x的值有个,分别记作;若x5=a,则x叫a的,a∈R,x的值有个,记作;……若x n=a,则x叫a的,x的值有几个呢?三、建构数学1.根式的概念一般地,如果一个实数x满足x n=a(n>1,n∈N*), 那么称x为a的n 次实数方根(n-th root).当n是奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根是一个负数,0的n次实数方根是0.总之,实数a的n次方根只有一个,记作x=n a.由学生举例说明.当n是偶数时,正数的n次实数方根有两个,它们互为相反数,正数a正的n次方根记作n a,亦可称为n次算术根;负的n次方根记作－n a.正数a的n次方根合并写成±n a.负数没有偶次方根,0的偶次方根是0.仍由学生举例说明.注:1. 0的n次方根都是0;2.偶次方根与平方根类似,奇次方根与立方根类似.式子n a叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数.2.根式的性质我们在初中曾经学过二次根式,三次根式的性质.⑴(a)2=a(a>0), (3a)3=a(a ∈R); ⑵a 2=|a|=⎩⎨⎧<-≥)0( )0( a a a a ,3a 3=a(a ∈R).你能写出n 次方根类似的性质吗?⑴(n a)n =a(n a 有意义); ⑵n 是奇数时,n a n =a(a ∈R),n 是偶数时,n a n =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0( )0( a a a a四、数学运用1．例题例1 求下列各式的值: ⑴(7)2⑵(3－5)3⑶4(－3)4⑷(3－π)2 解:⑴(7)2=7⑵(3－5)3=－5⑶4(－3)4=|－3|=3⑷(3－π)2=|3－π|=π－3例2求下列各式的值: ⑴5－32⑵(－3)4⑶.(2－3)2⑷5－2 6解:⑴5－32= 5(－2)5=－2⑵(－3)4=92=9⑶(2－3)2=|2－3|=3－ 2 ⑷5－26=(2－3)2=3－ 2. 2.练习 化简 ⑴3－125⑵(－10)2⑶4(4－π)4⑷6(a －b)6(a<b)五、回顾小结本课学习了n 次方根概念及性质,关键要抓住偶次根式与平方根类似,奇次根式与立方根类似这两个特点.六、课外作业1.P48 习题2.2⑴1;2.预习课本P46~48 2.分数指数幂预习题:⑴分数指数幂的意义是什么?如何将分数指数幂与根式进行互化?⑵分数指数幂有哪些性质?。
分数指数幂1
*
64 个细胞 .
在上述例子中 x 只能取正整数我们还知道 , .
x
对于式子 2 , x 取 负 整 数和0 也是有意义的那 . 么, x 能取分数甚至无理数吗 ?
学习目标
1.理解n次实数方根与n次根式的概念. 2.理解分数指数幂的含义. 3.熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正 实数的算术根.
2 .2
指 数函数
某细胞分裂时由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个, , 4 个分裂成 8 个, 如果分裂一次需要 min, 那 10 么,1 个细胞1 h 后分裂成多少个细胞 ?
假设细胞分裂的次数为
x
x , 相应的细胞个数为
6
y,则
y 2 .当 x 6 时 , y 2 64 ,
1
m
(a 0, m, n 均为正整数).
a
n
且0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
分层训练
必做题: 书本P47 1 选做题:
x y
5 4
求
4
z
3
的值.
作业: 书本P48 习题2.2(1) 1
平方根
, 如果 x a , 那么 x 称为 a 的
2
( quadratic
root
); 如 ( cubic
果 x a, root ) .
n
3
那么称
x 为 a 的 立方根
一 般 地 , 如 果一个实
*
数 x满 足 x
a
( n 1 , n N ), 那么 称 x 为 a 的 n 次实数
方根 n th root .
分数指数幂(1)_韦余玲
6
a
数学应用：
巩固练习：
（1）
3
(8) 3 4 (3 2) 4 3 (2 3 ) 3
4
9 3
（2）
(4 ) 4 3 (3 ) 3
7 2
情境问题：
问题2:初中整数指数幂的概念及其性质有哪些？ 如下内容,你能补充完整吗?
n *
n
次方
探讨1：27的3次方根表示为
3
27 ，－32的5次方根表示为 5 32 ，
3 6
a 6 的3次方根表示为 a 。 x2 探讨2： 4，则x＝ 2 ，那么4的平方根是 2 。 x4 16 ，则x＝ 2 ，那么16的4次方根是 2 。
思考⑴：对于探讨2中问题，你有何发现？
a.a. (n N* ) ＝ ⑴整数指数幂的概念： aa
n个a
an ，
a
0
＝
1
(a≠0) ， a ＝
m n
n
am n (m, nZ) ； ⑵运算性质： a ＝ a
(a m ) n ＝பைடு நூலகம்a
⑶注意：①
mn
m
1 an
(a 0, n N*． )
(m, nZ) ； ab) n ＝ anbn (n Z) ． (
3.有理指数幂的运算性质
数学运用：
例2 求值 ：
2 3
— 1 2
8
； 100
1 ； ( ) 3 ； 4
16 ( ) 4 81
3
数学应用：
练习： 下列说法：(1)正数的n次方根是正数；(2)负数的n次方根是负数； (3)0的n次方根是0；(4) 正确命题的序号)．
数学分数指数幂
思源个性化学习讲义【知识精要】1．分数指数幂的意义： 一般地,我们规定 n m nm a a = ()1,0>≥n n m a 为正整数，、 ,这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 规定nm n maa-=1()1,0>>n n m a 为正整数，、其中的nm nm a a -、叫做分数指数幂，a 是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.注：（1）0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. （2）若无特殊说明，底数中的字母均为正数。
2. 当a >0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s ,均有下面的运算性质：设q p b a 、,0,0>>为有理数（1）q p q p qp q p a a a a a a -+=÷=⋅，（2）()pq qpa a =（3）()p p pp p pb a b a b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛=，【热身练习】1. 把下列方根化为分数指数幂的形式（1）310 （2）32101（3）3100 （4）41002. 求值(1)21169 (2)3264 (3) 239- (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43256（ ）A.3B.3-C.3±D.81 4．当a _________时，式子23a 有意义 5. 若0>a ，则43a 和53-a 用根式形式表示分别为 和6.56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和【精解名题】 1. （1）23425-⎪⎭⎫⎝⎛= ；（2） 63125.132⨯⨯= ________2. 计算：631010⨯=__________________3.3151写成幂的形式______________4.化为分数指数幂的形式为 ___________________5. 583221)22(--化为分数指数幂得 _________________________6.式子 （ ）7. 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。
分数指数幂 知识讲解
要点二、有理数指数幂的运算性质 设为有理数，那么 （1）. （2）. （3）.
【典型例题】 类型一、分数指数幂的运算
1、 把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）. 【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题. 【答案与解析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）. 【总结升华】，其中为正整数，.
举一反三：
【变式】(2015.三台期末)根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可
表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D；
Hale Waihona Puke 解：∵， ∴.2、 口算： （1）；（2）；（3）；（4）.
【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值. 【答案与解析】 解：（1）；
（2）； （3）； （4）. 【总结升华】求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分 数指数幂的值是一个正数.
举一反三：
【变式】口算：（1）；（2）；（3）. 【答案】 解：（1）；
（2）； （3）.
3、(2015.黄石模拟)用计算器计算,结果保留三位小数：
（1）；（2）；（3）. 【答案与解析】
分数指数幂
【学习目标】 1. 掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.
2. 会用计算器计算分数指数幂. 【要点梳理】 要点一、分数指数幂
把指数的取值扩大到分数，我们规定 ， ， 其中为正整数，. 上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数. 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. （1）当与互素时，如果为奇数，那么分数指数幂中的底数可为负数.
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数【教材回扣】1．分数指数幂(1)a m n ＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；a －mn＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝________，(a r )s ＝________，(ab )r ＝________，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质y ＝a x a>10<a <1图象定义域 ________ 值域________ 性质过定点________当x >0时，________；当x <0时，□10________ 当x >0时，□11________；当x <0时，□12________ 在(－∞，＋∞)上是□13________ 在(－∞，＋∞)上是□14________【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) 2．2a ·2b ＝2ab .( )3．函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( ) 4．若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( ) 题组二 教材改编1．(多选题)设a >0，则下列运算中不正确的是( )A ．a 43 a 34＝a B ．a ÷a 23 ＝a 32C ．a 23a -23＝0 D ．(a 14 )4＝a2．如图，①②③④中不属于函数y ＝2x ，y ＝6x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的一个是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④3．已知函数f (x )＝a －22x ＋1(a ∈R )为奇函数，则a ＝________.题组三 易错自纠1．式子a －1a化简得( )A.－aB.aC ．－aD ．－－a2．若函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为( )A.12B.32C.23或2D.12或323．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，则下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，不可能成立的是________．题型一 指数幂的运算[例1] (1)⎝⎛⎭⎫14 －12 ·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12(a >0，b >0)＝________.(2)若x 12 ＋x －12 ＝3，则x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2＝________.(3)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.[听课记录]类题通法(1)指数幂运算常用技巧①有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． ②负指数幂化为正指数幂的倒数．③底数是小数，一般要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后尽可能用幂的形式表示，便于指数幂的运算．(2)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法\”巧妙地求出代数式的值.巩固训练1：(1)计算23·612·332＝________.(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则x 12－y12x 12＋y 12 ＝________.题型二 指数函数的图象及应用角度|与指数函数有关的图象识别[例2] (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫52－|x －1|的大致图象为图中的( )(2)函数y ＝xax|x |(a >1)的大致图象是( )[听课记录]类题通法识别与指数函数图象有关的策略(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.巩固训练2：函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )角度|指数函数图象的应用[例3] 若函数y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为________． [听课记录]类题通法解答此类问题的关键是画出已知函数的图象，利用数形结合方法求解.巩固训练3：若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．题型三 指数函数的性质及其应用 高频考点 角度|比较大小[例4] (1)已知a ＝⎝⎛⎭⎫4313 ，b ＝223 ，c ＝⎝⎛⎭⎫3412 ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b (2)已知0<a <b <1，则( )A ．(1－a )1b >(1－a )bB ．(1－a )b >(1－a )b2C ．(1＋a )a >(1＋b )bD ．(1－a )a >(1－b )b [听课记录]类题通法利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.巩固训练4：已知0<a <b <1，则在a a ，a b ，b a ，b b 中，最大的是( ) A ．a a B ．a b C ．b a D ．b b角度|解简单的指数方程或不等式[例5] (1)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．[听课记录]类题通法利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.巩固训练5：若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．角度|与指数函数有关的复合函数[例6] (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)[2020·全国卷Ⅱ]若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)>0 B ．ln(y －x ＋1)<0 C ．ln|x －y |>0 D ．ln|x －y |<0 [听课记录]类题通法求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.巩固训练6：已知函数f (x )＝cos x x ＋12x ＋1＋a 是奇函数，则实数a 的值为________．[预测1] 核心素养——直观想象若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是________．[预测2] 新题型——多选题若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a <b <1 B ．b <a <0 C ．1<a <b D ．a ＝b2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数答案[教材回扣]□1 na m □2 1amn□3 a r ＋s □4 a rs □5 a r b r □6 R □7 (0，＋∞) □8 (0，1) □9 y >1 □10 0<y <1 □11 0<y <1 □12 y >1 □13 增函数 □14 减函数 [题组练透] 题组一1．× 2.× 3.√ 4.× 题组二1．解析：由已知a >0.a 43 a 34＝a 43 ＋34＝a 2512≠a ，A 错；a ÷a 23＝a 1－23 ＝a 13≠a 32，B 错；a 23·a －23 ＝a 23 ＋(－23 )＝a 0＝1≠0，C错；(a 14)4＝a 14 ×4＝a ，D正确．答案：ABC2．解析：已知三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点(0，1)，图象②不过点(0，1)，故选B.答案：B3．解析：由f (－x )＝－f (x )，得：a －22－x ＋1 ＝－a ＋22x ＋1，即2a ＝22x ＋1 ＋22－x ＋1 ，∵22x ＋1 ＋22－x ＋1＝2，∴a ＝1. 答案：1 题组三1．解析：由题意知a <0， ∴a－1a＝a －aa2 ＝－－a .故选D. 答案：D2．解析：当a >1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a 2，最小值为a ， 故有a 2－a ＝a 2 ，解得a ＝32或a ＝0(舍去)当0<a <1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a ，最小值为a 2，故有a －a 2＝a2，解得a ＝12 或a ＝0(舍去).综上a ＝32 或a ＝12 .答案：D3．解析：画出指数函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x的图象：满足等式⎝⎛⎭⎫12 a＝⎝⎛⎭⎫13 b，有①0<b <a ； ②a <b <0；⑤a ＝b ＝0三个．而③0<a <b ；④b <a <0不能成立． 答案：③④课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)原式＝412·432·a 32·b－3210·a 32·b－32＝2×45 ＝85 . (2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x－12 )2＝9，∴x ＋x －1＝7，∴原式＝（x 12＋x －12）（x －1＋x －1）－3（x ＋x －1）2－4 ＝3×（7－1）－372－4＝13. (3)由已知条件知f (p )＝65 ，f (q )＝－15，所以⎩⎨⎧2p 2p ＋ap ＝65①，2q 2q＋aq ＝－15②， ①＋②，得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q＋aq ）＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ，所以36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，所以a 2＝36，所以a ＝6或a ＝－6，又a >0，得a ＝6.答案：(1)85 (2)13(3)6巩固训练1 解析：(1)原式＝2·312 ·1216·⎝⎛⎭⎫32 13＝2·312 ·(3×4)16 ·313·⎝⎛⎭⎫12 13 ＝2·312＋16 ＋13 ·213 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×3×1＝6.(2)∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 12－y 12x 12＋y 12 2 ＝x ＋y －2（xy ）12x ＋y ＋2（xy ）12 ＝12－2×91212＋2×912＝618 ＝13 . ∵x <y ，∴x 12－y 12<0，∴x 12－y12x 12＋y 12 <0，∴原式＝－33. 答案：(1)6 (2)－33题型二例2 解析：(1)y ＝⎝⎛⎭⎫52 －|x －1|＝⎝⎛⎭⎫25|x －1|，y >0，且x >1时，为减函数，x <1时为增函数，故选B.(2)当x >0时，y ＝a x 为单调递增函数；当x <0时，y ＝－a x 为单调递减函数． 答案：(1)B (2)C巩固训练2 解析：当a >1时，函数单调递增，且函数图象恒过点(0，1－1a )，因为0<1－1a <1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点(0，1－1a )，且1－1a<0.故选D.答案：D 例3 解析：曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示．由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0，1).答案：(0，1)巩固训练3 解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案：[－1，1] 题型三例4 解析：(1)a ＝⎝⎛⎭⎫43 13>1，0<c ＝⎝⎛⎭⎫34 12 <1， a ＝⎝⎛⎭⎫43 13 <213 <223＝b ， ∴c <a <b .(2)∵y ＝(1－a )x 是减函数， ∴(1－a )a >(1－a )b ，又y ＝x b 在(0，＋∞)上是增函数，1－a >1－b ， ∴(1－a )b >(1－b )b ，∴(1－a )a >(1－b )b .D 对，其余皆错． 答案：(1)B (2)D巩固训练4 解析：∵0<a <b <1， ∴b a >a a >a b 且b a >b b ， ∴最大的是b a . 答案：C例5 解析：(1)函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集即2x >x ＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x ，y ＝x ＋1的图象(图略)，结合图象易得2x >x ＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.(2)当a <0时，⎝⎛⎭⎫12 a－7<1， ∴⎝⎛⎭⎫12 a<8， ∴－3<a <0；当a ≥0时， a <1，∴0≤a <1. 综上a 的取值范围是(－3，1). 答案：(1)D (2)(－3，1) 巩固训练5解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12 x <1可变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12 x ＋[⎝⎛⎭⎫12 x]2，设t ＝⎝⎛⎭⎫12 x，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.答案：(－2，3)例6 解析：(1)由f (1)＝19 ，得a 2＝19 ，所以a ＝13 或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 |2x －4|由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增则y ＝⎝⎛⎭⎫13 t在R 上单调递减．所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞).(2)因为2x －2y <3－x －3－y ，所以2x －3－x <2y －3－y .设f (x )＝2x －3－x ，则f ′(x )＝2x ln 2－3－x ×ln3×(－1)＝2x ln 2＋3－x ln 3，易知f ′(x )>0，所以f (x )在R 上为增函数．由2x －3－x <2y －3－y 得x <y ，所以y －x ＋1>1，所以ln (y －x ＋1)>0，故选A.答案：(1)B (2)A巩固训练6 解析：∵函数y ＝cos xx是奇函数，∴要使f (x )＝cos x x ＋12x ＋1 ＋a 是奇函数，只需g (x )＝12x ＋1 ＋a 是奇函数．由g (－1)＝－g (1)得12－1＋1 ＋a ＝－12＋1 －a ，∴a ＝－12 .(经检验符合题意)答案：－12高考命题预测预测1 解析：因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1，所以f (x )＝2|x－1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值3－(－1)＝4，所以n －m 的取值范围是(0，4].答案：(0，4]预测2 解析：因为实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ， 设f (x )＝2x ＋3x ，g (x )＝3x ＋2x . 由图象可知：①当x <0时，f (x )<g (x )，所以2a＋3a＝3b＋2b，即b<a<0，故B正确；②当x＝0时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝0，故D正确；③当0<x<1时，f(x)>g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即0<a<b<1，故A正确；④当x＝1时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝1，故D正确；⑤当x>1时，f(x)<g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即1<b<a，故C错误．答案：ABD第11页共11页。
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数
第1页共11页2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数【教材回扣】1．分数指数幂(1)a m n ＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；a －m n＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝________，(a r )s ＝________，(ab )r ＝________，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质y ＝a x a >10<a <1图象定义域________值域________性质过定点________当x >0时，________；当x <0时，□10________当x >0时，□11________；当x <0时，□12________在(－∞，＋∞)上是□13________在(－∞，＋∞)上是□14________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.n a n 与(n a )n 都等于a (n ∈N *)．()2．2a ·2b ＝2ab .()3．函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．()4．若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .()题组二教材改编1．(多选题)设a >0，则下列运算中不正确的是()A ．a 43a 34＝a B ．a ÷a 23＝a 32C ．a 23a-23＝0D ．(a 14)4＝a 2．如图，①②③④中不属于函数y ＝2x ，y ＝6x ，y 的一个是()。
【数学课件】分数指数幂(1)
如何求p呢？
数学建构：
1．平方根与立方根．
如果一个数的平方等于a，那么这个数是a的一个平方根， 也就是说，如果x2=a，那么x就是a的一个平方根． 如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根， 也就是说，如果x3=a，那么x就是a的立方根．
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
0的n次实数方根等于0
数学建构：
3．根式及其性质．
我们把 n a叫n次根式，n是根指数，a是被开方数．
a
数学应用：
数学应用：
例2．计算下列各式的值．
(1) 2 1 0 24 13 162 81 42 24 32
3
4
……
数学建构：
2．n次方根． 一般地，如果一个实数x的满足xn=a(n＞0，nN*)，那么称x为a的n次实数方根． 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根 是一个负数．这时，a的n次实数方根只有一个，记为n a ． 当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次实数方根是两个，它们互为相反数，正数 a 的正 n 次实数方根用符号n a表示，负的 n 次实数方根用符号－n a表示， 它们可以合并写成的形式±n a(a＞0)．
分数指数幂的运算公式
分数指数幂的运算公式分数指数幂的运算公式是数学中经常用到的重要工具，它可以帮助我们简化复杂的运算，提高计算的效率。
在本文中，我们将深入探讨分数指数幂的运算公式，并解释其应用。
首先，让我们回顾一下指数的基本定义。
指数是数学中表示幂运算的一种方法。
例如，a的n次方（或称为a的指数n）可以表示为an。
在这里，a是底数，n是指数。
在分数指数幂中，指数可以是一个分数，这给了我们一个新的计算方式。
让我们看一个分数指数幂的例子：2的1/2次方。
这意味着我们需要计算2的平方根。
根据常识，我们知道2的平方根是1.414。
那么我们可以得出2的1/2次方等于1.414。
一般来说，分数指数幂的运算公式可以表示为：a的m/n次方 = (a的m)的1/n次方这个公式实际上是分数指数幂规律的推广。
根据这个公式，我们可以先对底数a进行m次幂运算，然后再将结果开n次方。
举个例子来说明这个公式的应用。
假设我们要计算4的3/2次方。
根据上述公式，我们可以先计算4的3次方，结果为64。
然后我们再将64开2次方，结果为8。
所以4的3/2次方等于8。
这个公式对于分数指数幂数的运算非常有用，它可以帮助我们解决一系列的问题。
让我们再来看一个例子。
假设我们要计算16的2/3次方。
根据公式，我们可以计算16的2次方，结果为256。
然后我们再对256开3次方，结果为16。
所以16的2/3次方等于16。
分数指数幂的运算公式还可以推广到更复杂的情况。
比如，一个分数的指数也可以是一个分数。
在这种情况下，我们可以将其转化为两个整数的比例，并按照以上公式进行运算。
总结一下，分数指数幂的运算公式可以极大地简化复杂的运算问题。
通过将分数指数幂转化为整数指数和开方运算，我们可以更轻松地进行计算。
这个公式不仅适用于整数幂，还适用于各种分数幂的情况。
因此，它在数学领域具有广泛的应用价值。
希望通过本文的讲解，您能更好地理解和运用分数指数幂的运算公式。
在解决数学问题时，这个公式将成为您的有力工具。
《分数指数幂》课件
实际应用
了解分数指数幂在日常生 活和工作中的应用。
综合练习和总结
1 自我总结
回顾所学内容，检查自己的理解。
2 综合练习
测试自己的知识，以确保已经掌握了全部内容。
探索《分数指数幂》
欢迎来到我的演示文稿。今天，我将向您介绍一些关于分数、指数和幂的基 础知识和技巧。
分数的定义与运算
分数是什么？
了解分数的基本概念，以及它们在我们日常生 活中的应用。
分数的加法和减法
如何正确地计算分数的加减法。
分数的乘法和除法
学习如何计算分数的乘除法，以及何时使用它们。
分数的化简与约分
分数的化简
了解如何将分数化为最简形式，以便更轻松 地进行运算。
分数的约分
学习如何简化分数，以便更容易地进行比较。
分数的乘方
什么是分数乘方？
了解什么是分数乘方，以及如何计算。
分数的正整数幂
学习如何将分数乘以自己。
指数的定义与运算
什么是指数？
了解指数的基础概念和定义。
指数的加法和减法
学习如何计算指数的加减法。
数、指数。
3
小数指数和分数指数
了解什么是小数指数和分数指数。
倍增法求指数和计算法则
倍增法
了解如何使用倍增法找出大数的指数。
指数的运算法则
学习如何对指数进行加、减、乘和除法运算。
分数指数幂的运算法则和实际应用
分数指数幂的定义
了解什么是分数指数幂， 以及如何计算。
计算分数指数幂的四 种方法
学习如何使用四种不同的 方法计算分数指数幂。
指数的乘方与法则
指数的乘方
了解如何将一个数字乘以自己多次。
指数的幂法则
指数函数——分数指数幂1
苏教版高中数学教材必修1
第n章
章名
2.3 指数函数
数学理论
根式
如果一个实数x满足xn＝a（n＞1，nN*）， 那么称x为a的n次实数方根．
我们把 开方数．
na
叫n次根式，n是根指数，a是被
苏教版高中数学教材必修1
第n章
章名
2.3 指数函数
例题讲解
苏教版高中数学教材必修1
第n章
章名
a a a a a =a
t s t s
t s
t-s
(a b) =a b
t t
t
a t a ( )= t b b
t
(a>0,b>0,t Q,s Q)
苏教版高中数学教材必修1 第n章 章名
2.3 指数函数
例题讲解
例2 求值：
苏教版高中数学教材必修1
第n章
章名
2.3 指数函数
苏教版高中数学教材必修1 第n章 章名
2.3 指数函数
知识拓展
问题: 通过这节课的学习我们将指数幂扩展到了分数指数 幂，那么能否进一步扩展到有理数指数幂，实数指数幂？ 如果能，那么其运算性质是否与分数指数幂相同？
苏教版高中数学教材必修1
第n章
章名
2.3 指数函数
课堂训练
书第47页练习第2题，第3（3）题，第4题．
苏教版高中数学教材必修1
第n章
章名
2.3 指数函数
课后思考
计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)．
苏教版高中数学教材必修1
第n章
章名
2.3 指数函数
数学理论
我们规定：
分数指数幂练习 (1)
分数指数幂练习一、填空1、5.749保留两个有效数字的结果是 ；19.973保留三个有效数字的结果是 。
2、近似数5.3万精确到 位，有 个有效数字。
3、用科学计数法表示459600，保留两个有效数字的结果为 。
4、近似数2.67×510有 个有效数字，精确到 位。
5、把234.0615四舍五入，使他精确到千分位，那么近似数是 ，它有 个有效数字。
6、用四舍五入法取近似值，0.01249精确到0.001的近似数是_________，保留三个有效数字的近似数是___________。
7、 用四舍五入法取近似值，396.7精确到十位的近似数是______________；保留两个有效数字的近似数是____________。
8、25的平方根是 ；38的正的平方根是 。
9、2-3的倒数是 ；()()[]=+23-232 10、15的小数部分是 ；2-51的整数部分为 ；11、使代数式3x 2-有意义的x 的取值范围是 。
12、正方形A 的面积是正方形B 面积的2倍，则正方形A 的边长是B 的二、计算1、67636-+2、3623⨯+ 3、2135213÷÷⨯4、()255-5、()()3222⨯ 6、()2725+7、221719- 8、()225- 9、()225+10、()()223131+-- 11、()02332-+-12、()()222323-⨯+13、7273⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 14、2030⨯ 15、464÷16、332333552101--+⨯+-- 17、()()20092010223322-⨯+（1）43555÷⋅ （2）251232)3(32)27(2-+---（3）05321)15(125)259(+--- （4）32121331001.028|48|÷⨯--（5）4141241)21()41()21(+⋅+⋅-a a a （6）)4()2(3312161326561y x y x y x ⨯-÷（7）212131])27[()3()2764(8-+--⨯-- （8）22121])32()32[(--++2．利用幂的性质计算：（1）643321684⋅÷⋅ （3）1243a aa a ⋅⋅3.计算：98)21(2)2(3102--++---.4.计算：|1-2|+231++(π-2)05.计算：(13-)0+(31)-1-2)5(--|-1|6.计算:32221(4)3(--⨯+）7、．计算0211(1)124π----+三、解答题1、下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？ ①65.7 ； ②0.0407； ③1.60； ④4000万； ⑤3.04千万； ⑥7.56×3102、按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：①60290（保留两个有效数字） ②0.03057（保留三个有效数字） ③2345000（精确到万位）3、已知52121=--xx ，求221x x +的值。
高一数学 分数指数幂
1m（a 0, m, n N *）
an
① asat=as+t, ②(as)t=ast, ③(ab)t=atbt, 其中s,tR,a>0,b>0.
在等式ab=N(bN*)中,已知a、b求N的运算 是乘方运算，已知b、N求a的运算是开方运算， 因而开方运算是乘方运算的一种逆运算，引入分数 指数幂将乘方运算与开方运算统一起来了.
(2)n
an
a | a |
n为 正 奇 数 n为 正 偶 数
二、分数指数幂
1、分数指数幂的意义
m
a n n am（a 0, m, n N *）
m
an
1
m
an
n
1 （a 0,m,n N *） am
并且规定：
0的正分数指数幂为0， 0的 负分数指数幂没有意义。
2、分数指数幂的运算性质
asat=as+t,
规定:0的n次方根等于0.
形如n a的代数式叫做n次根式，简称根式。
例1、求下列各式的值:
（1）（ 5）2； （2）（3 2）3；
（3）4（ 2）4； （4）（3 ）2 .
(5) x2 2x 1
完成课本 P59 T1
2、根式的性质
(1（) n a）n a
（其中，n为正奇数时，aR; n为正偶数时，a0.）
广东省深圳市第三高级中学数学 必修一《分数指数幂》课件
仔细观察、规范书写、全面审题、 严谨表达、回顾核查、归纳总结
教学目的：了解实数指数幂的意义，理
解n次方根与n次根式的概念，熟练掌握用 根式与分数指数幂表示一个正实数的算术 根，掌握有理指数幂的运算性质，灵活地 运用乘法公式进行有利指数幂的运算与化 简，会进行根式与分数指数的互化。
分数指数幂
3
6
1
分数指数幂的意义可得出不同的结果: 13 3 1 1 ，
2
1 6
6
12
6
1
1
这就说明分数指数幂在底数小于0
时无意义.
分数指数幂
【定义】 2、负分数指数幂的意义
注意：负分数指数幂在有意义的情况下，总表 示正数，而不是负数,负号只是出现在指数上. 正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂 的意义相仿，就是： 规定：0的a正mn 分 数a1mn指数n幂a1m等(于a>00；,m0,n的∈负N分*,且数n指>数1).幂没 有意义.
4a
13
(2)(m 4 n 8 )8
1
(m 4
)8
(n
3 8
)8
m2n3
m2 n3
分数指数幂
【变形训练】
1、计算下列各式：
(1)
a2 (a 0);
a 3 a2
(2)( 3 25 125 ) 4 5
分析： （1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式， 然后计算 .
16 3 ( )4
2 4( 3 ) ( ) 4
( 2 )3
27
81
3
3
8
分数指数幂
【典型例题】
例2、计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 );
13
(2)(m 4 n 8 )8 .
分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系
分数指数幂
分数指数幂1(新编2019)
一复习回顾
• 1.提问：正方形面积公式？正方体的体积 公式？
• 2.回顾初中根式的概念：如果一个数的平 方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如 果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根. → 记法： a, 3 a
二讲授新课
• 1.指数函数模型及背景 • 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，
1990年人口数为a万，则x年后人口数为多 少万？ • 实例2例（细胞分裂）. • 实例3. 给一张报纸，先实验最多可折多少 侯 冬十月 傉檀奔于南山 其将牵腾帅众降 义弗可矣 在北河西北 宗之破振将温楷于柞溪 秋七月 三柱一曰三泉 六月 遂泛舟东下 自馀封赏各有差 吴将陶璜等围交趾 武帝受禅 大旱 愍帝崩问至 癸酉 靡不由之 十一月 用告祸福 追复故皇太子位 而其妃后躬行四教 州县 讨斩之 天下同 八月 杀之 缪胤各还本部 异不得至寿春 进安西将军庾翼为征西将军 九坎间十星曰天池 依阿无心者皆名重海内 死之 八月 成帝因削弱之资 及岁常调非军国要急者 死者数千人 敕收其馀 百揆时叙于上 以为远近之数 奏事不名 降于石勒 藩镇有疆理之务 己巳 以兖州刺 史朱序为南中郎将 身服厥劳 斗 迁大将军 禁酒 九卿西五星曰内五诸侯 亦何足特痛哉 获石季龙将支重 谓千年而永治 三月 遣兼司空 右掖门也 章武王范之薨 必以文武为谥 夜行于平地 九月癸酉 十二月庚午 然少为舅氏所制 翟钊寇河南 大破之 舆鬼五星 刺史吴隐之为循所败 二曰宣 夜 示之以好恶 为文所败 众溃 天地之体 帝患之 封新城乡侯 进慕容皝为安北将军 改元 六月 范文寇九德 乞襦 己卯 而鸿雁之歌方远 地震水旱为变者相属 是岁 李雄将李寿寇巴东 色白 固辞策命 帝在长安 使两婢侍 令外人知 其北都没之顷 及帝登阼 天若如推磨右转而日西行者 以 挫其锋 获之 改元 石季龙寇历阳 愍帝奔播之
第三章 §1 指数幂的拓展
§1 指数幂的拓展学习目标 1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理指数幂和实数指数幂的含义．知识点一 分数指数幂 1．正分数指数幂给定正数a 和正整数m ，n (n >1，且m ，n 互素)，若存在唯一的正数b ，使得b n ＝a m ，则称b 为a 的mn 次幂，记作b ＝mn a .这就是正分数指数幂．2．负分数指数幂给定正数a 和正整数m ，n (n >1，且m ，n 互素)，定义m na -＝1m na＝1nam，这就是负分数指数幂． 思考 因为5－32＝－2，所以()15322,-=-这种说法正确吗？答案 不正确，因为在指数幂的概念中，总有a >0. 知识点二 无理数指数幂无理数指数幂的定义：一般地，给定正数a ，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数a α，自然地，规定a －α＝1aα.1．0的指数幂总等于0.( × ) 2．指数幂m na ，总有a >0.( √ )3．分数指数幂m na 可以理解为mn 个a 相乘．( × )4．138-＝12.( √ )一、n 次方根例1 (1)若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________. 答案 7或－11解析 81的平方根为－9或9，即a ＝－9或9， －8的立方根为－2，即b ＝－2， ∴a ＋b ＝－11或7.(2)若4x －2有意义，求实数x 的取值范围． 解 ∵4x －2有意义，∴x －2≥0， ∴x ≥2，即x 的取值范围是[2，＋∞)．(学生)反思感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)符号：根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定． ①当n 为偶数，且a ≥0时，na 为非负实数； ②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致． 跟踪训练1 (1)已知x 7＝8(x >0)，则x 等于( ) A ．2 2 B.78 C ．－78 D ．±78 答案 B解析 因为7为奇数，8的7次方根只有一个78. (2)若42x ＋5有意义，则x 的取值范围是________； 若52x ＋5有意义，则x 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－52，＋∞ R 二、根式与分数指数幂的互化例2 用分数指数幂表示下列各式(a >0)：(1)3a 2；(2)a 3b 4；(3)a a . 解 (1)原式＝23a . (2)原式＝3432222a b a b =. (3)令b ＝a a ＝()12a a ，∴b 2＝aa ，∴b 2a＝a ＝12a ，∴⎝⎛⎭⎫b 2a 2＝a ，即b 4a 2＝a ， ∴b 4＝a 3，∴b ＝34a ，即原式＝34.a 反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数幂的分母．(2)被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式(a >0，b >0)： (1)ab 3；(2)a 3·a . 解 (1)原式＝1322a b . (2)令b ＝a 3a ，∴ba3＝a ＝12a ，∴⎝⎛⎭⎫b a 32＝a ，即b 2a 6＝a ，∴b 2＝a 7. ∴b ＝72a ，即a 3·a ＝72a . 三、指数幂的计算 例3 计算：12(1)64； 231(2)27⎛⎫ ⎪⎝⎭；-32(3)16；- 131(4)8⎛⎫. ⎪⎝⎭ 解 (1)令12=64b ，∴b 2＝64，∴b ＝8(b >0)，1264=8.∴223323111(2)==2727127b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-令∴b 3＝⎝⎛⎭⎫1272＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1332＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1323， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫132＝19，2311==9.1279⎛⎫ ⎪⎝⎭-∴ (3)332232116,=1616b =，-令∴b 2＝163＝(42)3＝(43)2，∴b ＝43＝64(b >0)，32116=64.-∴ (4)令b ＝1318⎛⎫⎪⎝⎭， ∴b 3＝18＝⎝⎛⎭⎫123，∴b ＝12，1311=82⎛⎫. ⎪⎝⎭∴ 反思感悟 指数幂的运算，一般用待定系数法，把分数指数幂转化为整数指数幂，利用整数指数幂的运算性质求解指数幂．跟踪训练3 把下列各式中的正数b 写成分数指数幂的形式． (1)b 3＝32；(2)b 2＝14；(3)b －3＝34；(4)b －3m ＝42n (m ，n ∈N ＋)．解 (1)b 3＝32＝25，53=2b .∴ (2)b 2＝14，1214b ⎛⎫=. ⎪⎝⎭∴(3)b －3＝34，433b =.-∴ (4)b －3m ＝42n ＝(22)2n ＝24n ，43=2n mb .-∴1．233可化为( ) A. 2 B. 3 C.39 D.9 答案 C解析 233＝332＝39.2.5a －2(a >0)可化为( ) A ．25a- B ．25a C ．75a D ．72a -答案 A3．已知(a －b )2＝a －b ，则( ) A ．a >b B ．a ≥b C ．a <b D ．a ≤b答案 B 解析(a －b )2＝|a －b |＝a －b ，所以a －b ≥0，所以a ≥b . 4．m 6(m >0)的平方根为( ) A ．m 3 B ．－m 3 C ．±m 3 D ．|m |3 答案 C5．若b －5＝32－3(b >0)，则b ＝________. 答案 8解析 b －5＝32－3＝(25)－3＝2－15，1535=2=2=8.b --∴1．知识清单：(1)正分数指数幂和负分数指数幂． (2)无理数指数幂和实数指数幂．2．常见误区：0的零指数幂和任意负实数指数幂没有意义．1．2的10次方根为( ) A.102 B －102 C.210 D ．±102 答案 D 2.13m 2(m >0)化为分数指数幂为( )A ．23m-B ．23m C ．32m-D ．32m答案 A 解析13m2＝23231=m m.-3．()3432x --中x 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 要使该式有意义，需3－2x >0，即x <32.4．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A ．5－2a B ．2a －5 C ．1 D ．－1 答案 C解析 ∵2<a <3，∴a －2>0，a －3<0， ∴(2－a )2＋4(3－a )4＝|2－a |＋|3－a |＝a －2＋3－a ＝1. 5．若b －3n＝5m (b >0，m ，n ∈N ＋)，则b 等于( )A ．35n m- B ．35m n- C ．35n mD ．35m n答案 B解析 若x p ＝y q (p ，q ∈N ＋，x >0，y >0)，则3==5p m qny x b ，.-所以6．计算：148116⎛⎫⎪⎝⎭-＝________. 答案 237．若31a －3有意义，则实数a 的取值范围是________． 答案 {a |a ≠3}解析 要使31a －3有意义，则a －3≠0，即a ≠3.所以a 的取值范围是{a |a ≠3}． 8．计算：23827⎛⎫ ⎪⎝⎭＋⎝⎛⎭⎫340＋3－2＝________. 答案149解析 令b ＝23827⎛⎫⎪⎝⎭，∴b 3＝⎝⎛⎭⎫8272＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2332＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2323， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫232，∴原式＝⎝⎛⎭⎫232＋1＋19＝149. 9．计算下列各式的值：12(1)121; 1264(2);49-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 34(3)10;-000 23125(4)27-⎛⎫. ⎪⎝⎭解 (1)令12121,b = ∴b 2＝121，∴b ＝11(b >0)，12121=11.∴(2)11221264164==49496449b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，，令 ∴b 2＝6449，∴b ＝87(b >0)，12647=498⎛⎫. ⎪⎝⎭-∴ (3)3434110=10000000，-34=10b 000，令∴b 4＝10 0003＝(104)3＝(103)4， ∴b ＝103(b >0)，∴3410000-＝1103＝11 000.(4)2233231251125=272712527b-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，，令∴b3＝⎝⎛⎭⎫125272＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5332＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5323，∴b＝⎝⎛⎭⎫532(b>0)，∴2312527⎛⎫⎪⎝⎭-＝1⎝⎛⎭⎫532＝925.10．已知4a4＋4b4＝－a－b，求4(a＋b)4＋3(a＋b)3的值．解因为4a4＋4b4＝－a－b，所以4a4＝－a，4b4＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.11．(多选)下列互化不正确的是()A.－x＝()12x-(x>0)B.6y2＝13y(y<0)C．2132x y-＝3y2x(x>0，y>0)D．13x-＝－3x(x≠0)答案ABD解析对于A，－x＝12x，-故A错误；对于B，当y<0时，6y2>0，13y<0，故B错误；对于C，2132x y-＝3y2x(x>0，y>0)，故C正确；对于D，13x-＝13x(x>0)，故D错误．12．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是()A．()()123611--和B．12200和-C．112424和D．332142⎛⎫⎪⎝⎭和--答案 C解析选项A中，()()123611--和均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意；选项B中，0的负实数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，332142⎛⎫⎪⎝⎭--和虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，111422422=24=2=2=2，，满足题意．13.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则4(a－b)4的值为()A．a＋bB．－(a＋b)C．a－bD．b－a答案 D解析由题图知f(－1)＝a－b＋0.1<0，∴a－b<0.∴4(a－b)4＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.14．若x2－2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，则(x2 020)y＝________.答案 1解析因为x2－2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，所以(x－1)2＋(y＋3)2＝|x－1|＋|y＋3|＝0，所以x＝1，y＝－3.所以(x2 020)y＝(12 020)－3＝1－3＝1.15．若代数式2x－1＋2－x有意义，则4x2－4x＋1＋24(x－2)4＝________.答案 3解析∵2x－1＋2－x有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤2，∴12≤x ≤2.∴4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4＝(2x －1)2＋24(x －2)4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3. 16．化简下列各式： (1)5－26＋7－43；(2)a ＋2a －1＋a －2a －1(a ≥1)． 解 (1)原式＝3－26＋2＋4－43＋3＝(3－2)2＋(2－3)2＝(3－2)＋(2－3)＝2－ 2. (2)原式＝(a －1)＋2a －1＋1＋(a －1)－2a －1＋1＝(a －1＋1)2＋(a －1－1)2＝(a －1＋1)＋|a －1－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，1≤a ≤2，2a －1，a >2.。
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师生活动
3
a aa a
2
1 2 1 2
2 3
5 3
；
3 2 1 2 3 4
a a (a a ) (a ) a
； 学生板演、点评
n为奇数时,x= n a ,
n 为偶数时， x n a ；
n 2．掌握两个公式： n为奇数时,( n a ) ,
a (a 0) n为偶数时,n a n | a | a (a 0)
12 4 3 4 3
②
a8 ( a 4 ) 2 a 4 a 2
4
12 4
2
教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计） 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成 分数作为指数的形式， （分数指数幂形式）. （2）分数指数幂定义 根式的被开方数不能被根指数整除时， 根式是否也可以写成分数指 数幂的形式.如：
即： a m a n (a 0, n N * , n 1)
n
m
（2）规定 ①正数的分数指数幂为： a ②负分数指数幂为： a
m n
n
a m (a 0, m, n N * )
1 a
m n
(a 0, m, n N * )
③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义. （3）运算性质：① a a a
2
同理，若 x a ，则 x 叫做 a 的立方根.
3
二、新课讲解 1、n 次方根：若 x a （n ＞1，且 n∈N+）则 x 叫做 a 的 n 次方根
n
师生共同回顾初 中所学过的平方 根、立方根的定 义 师：类比平方根、 立方根的概念， 归纳出 n 次方根 的概念
n
a 叫做根式.其中 n 称为根指数，a 为被开方数.
1 16 3 ) 4； （3） 0.0001 4 81
解： （1） 8 (2 ) 2
3
2 3
22 4 ；
教师板演、点评
) 2 3 27 16 3 2 4( 3 4 （2） ( ) ( ) 4 ( ) ； 3 8 81 3
（3） 0.0001 4 = (0.14 )
南京市鼓楼中等专业学校教案
授课日期 年 月 日 第 周 授课时数 1 课型 新授课
课
题
§7.11 分数指数幂（1）
教
学
知识目标：①理解 n 次实数方根及 n 次根式的概念 ②掌握 n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值 ③通过具体实例理解分数指数幂的含义 能力目标：①能够运用根式运算性质化简、求值
1
1 4
0.11 10
例 3：用分数指数幂的形式表或下列各式. （1） a
3
a2
；(2)
a a
；.
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
3
教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计） 解： （1） a （2） 四、巩固练习 教材 P41 练习 1、2、3、4 五、课堂小结 1．根式的概念：若 n＞1 且 n N ，则 x是a的n次方根 .
3．分数指数是根式的另一种写法. 4．无理数指数幂表示一个确定的实数. 5． 掌握好分数指数幂的运算性质， 其与整数指数幂的运算性质是一致的. 六、布置作业 教材 P44 1、2、3
先让学生独自回 忆，然后师生共 同总结.
4
3 2 3 1 5
师生活动 师：让学生经历 从“特殊一一 般”，“归纳一 猜想”，是培养 学生“合情推理” 能力的有效方 式，同时学生也 经历了指数幂的 再发现过程，有 利于培养学生的 创造能力．
a a (a 0)
2
b b 2 (b 0)
m n
4
c5 c 4 (c 0)
教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计） 一、问题情境 1、情境：细胞分裂问题中 2 的 x 只能取正整数，而对于式子 2 而言，
x x
师生活动
x 取负整数和 0 也有意义．那么 x 能取分数甚至无理数吗？ 3 3、解方程：① x2 a(a 0) ；② x a ．
回顾平方根、立方根的有关概念． 归纳：在初中的时候我们已经知道： 若 x a ，则 x 叫做 a 的平方根.
(3)
4
(3 ) 4 (4)
( a b) 2
学生思考，口答， 教师板演、点评．
解： (1)3 (2) 3 = —2；
(2) (5) 2 =5；
(4) ( a b) 2 = a b
(3)
4
(3 ) 4 = 3
2
例 2：求值： （1） 8 3 ； （2） (
2 3 2 3 3
5 10 8
n
师：让学生对 n 为奇偶数进行充 分讨论.
a, a 0 a n | a | a, a 0
(8) 4 | 8 | 8
4
小结：当 n 为偶数时， n an 化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具
a10 5 (a 2 )5 a 2 a 5 a (a ) a a
r s r s
(a 0, r, s Q)
② (ar )S ars (a 0, r, s Q) ③ (a b)r ar br (Q 0, b 0, r Q) 三、例题讲解 例 1：求下列各式的值
让学生讨论、研 究，教师引导
(1)3 (2) 3
(2) (5) 2
目
标 情感目标：通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；培养 学生认识、接受新事物的能力.源自教 重 难学 点 点
重点：掌握并运用根式的运算性质 难点：根式概念的理解.
§7.1.1 分数指数幂 1 板书 设计 1、根式的概念 2、分数指数幂 3、运算性质 例题 1 例题 2
学情 分析
教后记
1
n为奇数, a的n次方根有一个,为n a 说明： a为正数: n n为偶数, a的n次方根有两个,为 a
n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a a为负数: n为偶数, a的n次方根不存在.
零的 n 次方根为零，记为 n 0 0 举例：16 的次方根为 2 ， 27的5次方根为5 27 等， 而 27 的 4 次方根不存在. 小结：一个数到底有没有 n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正 数还是负数，还要分清 n 为奇数和偶数两种情况. 根据 n 次方根的意义，可得： ( n a )n a （ ( n a )n a 肯定成立） 问题：等式 n an a 一定成立吗？ 通过探究得到：n 为奇数， n an a n 为偶数, 举例： 3 ( 3)3 3 27 3, 体的值，这样就避免出现错误. 2、分数指数幂 （1）引例：观察以下式子，并总结出规律： a ＞0 ① ③