1965年高考数学试题

1965年高考数学试题

1．右面的二视图所表示的立体是什么?求出它的体积

．

[Key] 1.解：右面的二视图所表示的立体是正六棱锥.

设这个六个棱锥的高是h，底面积是A，体积是V，则有

注：本题考二视图和计算棱锥的体积.

余弦对数表

2．在A处的甲船测得乙船在北偏西49°48的B处以速度22/小时向正北方向行驶．甲船立即从A处出发，以速度26/小时向北偏西a度的方向沿直线驶去，追赶乙船．问a是多大角度时，经过一段时间，甲船能够在某处C恰好与乙船相遇?(lg2.2=0.3424，lg2.6=0.4150;lg是以10为底的对数符号.)

余弦对数表

[Key] 2.解：设甲船与乙船相遇所需要的时间为t，则有

BC=22t，AC=26t.

由正弦定理，得

对上式两边取对数，得

lgsin( 49°48′-a )

=lg22-lg26+lgsin49°48

=1.3424-1.4150＋

=

查表得到

49°48-a=40°15.

∴a=49°48-40°15=9°33.

注：本题考解任意三角形的基本方法，并考查学生查表和运用对数计算的能力.

3.把地球看作半径为R的球.设A、B两地的纬度相同，都是a度，它们的经度相差β度(0°<β≤180°).求A、B两地之间的球面距离（即大圆弧长）.

[Key] 3.解法一：

设A、B两地之间的球面距离为x，大圆弧所对的圆心角为θ度，则

(1)

设纬度为a的纬度圈的圆心为P，半径为r，则∠APB=β.因为△PAB是等腰三角形，所以A、B之间的直线距离

又在直角三角形OAP中，∠OAP=a，可知

r=Rcosa.

又在等腰三角形OAB中，可以求得

代入(1)，得

答：A、B两地之间的球面距离为

解法二：

设A、B两地之间的球面距离为x，大圆弧所对的圆心角为θ度，则

设纬度为a的纬度圈的圆心为P，半径为r，则∠APB=β.在△PAB中，根据余弦定理得A、B 之间的直线距离的平方

AB2=2r2-2r2cosβ=2r2(1-cosβ).

又在直角三角形OAP中，∠OAP=a可知

r=Rcosa.

所以AB2=2R2cos2a(1-cosβ).

又在△OAB中，根据余弦定理，得

AB2=2R2(1-cosθ).

所以2R2cos2a(1-cosβ)=2R2(1-cosθ).

由此，cosθ=1-cos2a(1-cosβ)，

即θ=arccos[1-cos2a(1-cosβ)].

代入(1)，得

答：A、B两地之间的球面距离为

注：本题考运用几何与三角的基本知识，计算球面距离.

4.(1)证明│sin2x│≤2│sinx│.（x为任意值）

(2)已知n为任意正整数，用数学归纳法证明

│sinnx│≤n│sinx│.（x为任意值）

[Key] 4.解：(1)│sin2x│=│2sinxcosx│

=2│sinx│·│cosx│

≤2│sinx│.(∵│cosx│≤1)

(2)当n=1时，│sinx│=│sinx│，不等式成立.

设当n=k时不等式成立，今证明当n=k＋1时，不等式也成立.因为

sin(k＋1)x=sinkxcosx＋coskxsinx，

所以根据绝对值不等式的性质，得到

│sin(k＋1)x│≤│sinkx│·│cosx│＋│coskx│·│sinx│.

又根据归纳法的假设和│cosx│≤1及│coskx│≤1，得到

│sin(k＋1)x│≤k│sinx│＋│sinx│=(k＋1)│sinx│.

因此，不等式对一切正整数n都成立.

注：本题主要考数学归纳法和绝对值不等式.第一小题的目的是启发学生应用│cosx│≤1来证明不等式.

5.已知一点P的坐标是(4，-2)，直线l的方程是y-x+5=0，曲线C的方程是

此题的略图.

[Key] 5.解：直线l的方程也可以写成

y = x－5，

所以l的斜率是1，与l垂直的直线的斜率应为-1.

因此，经过P点而与直线l垂直的直线l的方程是

y＋2=-(x-4)，

即

x＋y -2=0.

要求l与C的交点坐标，只须解下列方程组

由(1)式解得

y=-x＋2，(3)

代入(2)式并化简，得到

3x2＋2x-1=0，

或(3x-1)(x＋1)=0.

代入(3)式，得到

略图如下：

注1：本题主要考直线的斜率、直线的方程以及直线与二次曲线的交点等最基本的解析几何知识.

注2：画出的略图应包括所给的以及所求出的点、直线和曲线的图形.

6.当p是什么实数时，方程x2+px-3=0与方程x2-4x-(p-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根. [Key] 6.解法一：

设这两个方程的公共根是a，则有

现在的问题是求p和a的值.为此，我们先从(1)、(2)两式消去p.

由(2)式得

p=a2-4a＋1.

代入(1)式并化简，就得到

a3-3a2＋a-3=0.

分解因式得

(a-3)(a2＋1)=0. (3)

因为p是实数，±i不可能是方程x2＋px-3=0的根，所以a=3.

将a=3代入(1)，得到

9＋3p-3=0，

∴p=-2.

解法二：