【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质课堂达标效果检测 新人教A版选修2-1
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和深厚的理论基础。
在高中数学中，我们学习了抛物线的方程、性质、图像以及与二次函数、解析几何等知识的关联。
本文将对高中抛物线的相关知识进行总结和梳理，以帮助我们更好地理解和应用这一概念。
一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上到定点距离与到定直线距离相等的动点所形成的轨迹。
其方程通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线具有以下基本性质：1. 它的对称轴是与x轴垂直的直线，过顶点。
2. 它的顶点是抛物线的最低点或最高点。
3. 它开口的方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 它的图像关于对称轴对称。
二、抛物线的图像与方程通过对抛物线的方程进行分析，我们可以得到一些关于抛物线图像的信息。
1. 抛物线的顶点坐标可以通过求解方程y=ax^2+bx+c的极值点（即导数为0的点）得到。
顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。
2. 当a>0时，抛物线的图像开口向上，极值点是最低点；当a<0时，抛物线的图像开口向下，极值点是最高点。
3. 当抛物线的方程为y=ax^2+bx+c时，通过对y的值进行分析我们可以得到抛物线的开口大小和位置信息。
三、抛物线与二次函数的关系抛物线是二次函数的特殊图像，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
通过对比抛物线与二次函数的方程，我们可以得到它们之间的关系。
1. 抛物线与二次函数的图像形状相同，二次函数可以表示抛物线的图像；2. 二次函数告诉我们抛物线的方程形式，可以通过方程的系数判断抛物线打开的方向和大小，掌握二次函数的性质有助于理解和研究抛物线。
四、抛物线与解析几何的关系抛物线在解析几何中有重要的应用和意义，特别是在平面直角坐标系中。
抛物线的方程可以表示平面上的曲线，通过解析几何的相关知识我们可以分析抛物线的性质和特点。
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧
探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学作为一门重要的学科，其内容的难度也相对较高。
抛物线作为高中数学中的一个常见知识点，其涉及到的解题方法与技巧也非常重要。
在本文中，我将借助我的学习经验，向大家浅谈关于探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧。
一、基本概念在探讨解题方法与技巧之前，首先我们需要了解抛物线的基本概念。
抛物线是一种在平面上呈现出u形的曲线。
其方程通常为y = ax² + bx + c。
抛物线有两个基本特性：首先，抛物线是对称的，它的对称轴是垂直于x轴的线，其公式为x = -b/2a。
其次，抛物线的最高点叫做顶点，其y坐标为y = c - b²/4a。
二、解题方法1. 求解抛物线的相关参数在解题的过程中，如果我们要求解抛物线的方程，我们需要知道其中的相关参数。
在抛物线方程y = ax² + bx + c中，参数a、b、c分别代表什么意思？我们可以这样理解：参数a代表抛物线的开口方向和开口的大小，参数b代表抛物线的上下平移位置，参数c代表抛物线的左右平移位置。
2. 求解抛物线与其他曲线的交点在解题的过程中，我们还需要求解抛物线与其他曲线（如直线、另一条抛物线等）的交点。
这时我们需要用到解方程的方法。
以求解抛物线和直线的交点为例，我们先将抛物线和直线的方程联立起来，然后将抛物线的方程中的x用直线的方程表示，我们最后就能够解出x的值。
将x的值代入其中一个方程就可以求出y的值。
3. 求解离散数据的抛物线方程在实际生活中，我们有时候需要通过一组离散的数据来求解抛物线的方程。
这时候我们需要用到最小二乘法。
最小二乘法是一种通用的解决线性回归问题的办法，将数据点投影到一个平滑的函数上，通过求解该函数的系数，最终得到最优的函数曲线。
三、解题技巧1. 确定坐标系在解题的过程中，我们应该确定好坐标系的选择，通常可以根据题目的要求来选择合适的坐标系。
如果我们要求解抛物线上的某一个点，可以选择原点为顶点，则求解过程更容易进行。
课件14：2.4.2 抛物线的简单几何性质
(2)如图把点 B 的横坐标代入 y2＝4x 中，得 y＝± 12， 因为 12>2，所以 B 在抛物线内部， 自 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于 P1. 此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|. 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值为 4.
∴|AB|＝4p，∴S△ABO＝12·4p·2p＝4p2.
命题方向2 ⇨抛物线焦点弦的性质 典例2 斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛 物线相交于两点A、B，求线段AB的长. [解] 如图，由抛物线的标准方程可知， 焦点F(1,0)，准线方程x＝－1. 由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2. 代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0.
1．抛物线 y＝－3x2 的准线方程是 ( C )
A．y＝34
B．y＝－34
பைடு நூலகம்
C．y＝112
D．y＝－112
[解析] 由抛物线 y＝－3x2 得 x2＝－13y，∴2p＝112.
可得准线方程为 y＝112.故选 C．
2．若抛物线 y2＝x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点 P 的坐标为 ( B )
典例3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线 焦点. (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距 离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[解] (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x＝－1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求 一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离 之和最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值为
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是高三数学中一个重要的知识点。
在此，我将总结抛物线的基本性质、方程与图像、相关的计算方法等内容，以便于高三学生复习与应用。
抛物线的基本性质：1. 定义：抛物线是平面上到定点的距离与定直线的距离相等的点的轨迹。
2. 具体形状：抛物线是对称的开口向上或向下的曲线，由一个二次方程所描述。
3. 基本公式：抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
4. 坐标轴位置：抛物线的顶点为(xv, yv)，且抛物线关于x轴对称。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线方程与图像：1. 定点和距离：设定点为F(h, k)，直线为y=p，则抛物线上任意一点P(x, y)到定点的距离PF等于直线的距离PM，即PF=PM。
2. 方程表示：由定点和直线的距离相等得：(x-h)^2+(y-k)^2=(y-p)^2，整理后得到抛物线方程。
3. 顶点坐标：通过对抛物线一般方程进行配方，找到最小值的x坐标xv，再将xv带入一般方程求出y坐标yv，则顶点坐标为(xv, yv)。
4. 对称轴：抛物线的对称轴为x=h，方程为y=k。
5. 函数图像：根据方程求出抛物线上的点，再将这些点连线得到抛物线的图像。
抛物线的相关计算方法：1. 零点：抛物线与x轴相交的点称为零点。
通过令y=0，将抛物线方程改写为二次方程形式ax^2+bx+c=0，再求解此二次方程，可得到抛物线的零点。
2. 判别式：对于一般二次方程ax^2+bx+c=0，判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有一个实数根，即抛物线与x轴有一个交点；当Δ<0时，方程没有实数根，即抛物线与x轴没有交点。
3. 对称性：由抛物线方程的对称轴得知，点P(x, y)关于对称轴对称的点为Q(2h-x, y)。
高二数学抛物线知识点总结
高二数学抛物线知识点总结在高中数学课程中，抛物线是一个重要的章节，其中涵盖了许多基础的知识点和重要的应用。
本篇文章主要介绍高二数学课程中有关抛物线的知识点，包括求解抛物线、抛物线的性质以及抛物线的应用等方面，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、求解抛物线抛物线是高中数学中的一个重要图形，求解抛物线的关键在于掌握它的方程式。
抛物线的一般式方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，而a则代表着抛物线的开口方向、大小和位置。
在具体求解抛物线的过程中，我们可以采用不同的方法来得到方程式。
例如：1.已知抛物线上的三个点如果已知抛物线上的三个点(A、B、C)，可以通过联立三个点坐标的方程来解得方程式。
2.已知焦点和准线如果已知抛物线的焦点(F)和准线(l)，可以通过焦点所在直线的垂线和准线的交点为顶点，再求解出a来得到抛物线的方程式。
3.已知焦距和顶点坐标如果已知抛物线的焦距(p)和顶点坐标(A)，可以通过将求焦距所用的公式代入到一般式方程中，再通过整理得到抛物线的方程式。
二、抛物线的性质除了方程式外，抛物线还具有一些重要的性质，下面介绍其中几个：1.关于y轴对称抛物线是关于y轴对称的。
也就是说，它的左侧和右侧都是相似的，但形状是相反的。
2.顶点处为极值点抛物线的顶点处是它的极值点，也就是说，在顶点左右的点处，抛物线的值逐渐变大或变小。
3.切线垂直于准线在抛物线的焦点处，存在一条直线与准线垂直，该直线即为抛物线的切线。
4.两点确定一条切线根据抛物线图形特点，如果已知抛物线上的两个点，则可以确定一条切线。
这也为我们在抛物线的应用中奠定了基础。
三、抛物线的应用抛物线的应用非常广泛，从物理学到生活中的实际问题都可以涉及到抛物线的相关知识点。
在高中数学中，我们主要学习了以下两个应用：1.空中投射问题空中投射问题是抛物线应用的一个典型问题，也是考试中经常出现的题型之一。
根据题目所给定的条件，我们可以通过解析几何方法来求解空中投射问题，其中需要用到抛物线的方程式以及其它相关知识点。
高一数学复习考点知识专题讲解23---抛物线的简单几何性质
高一数学复习考点知识专题讲解抛物线的简单几何性质学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．知识点一 抛物线的简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0,0) 离心率 e ＝1 通径长2p知识点二 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．1．抛物线关于顶点对称．( × )2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ ) 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ )4．抛物线x 2＝4y ，y 2＝4x 的x ，y 的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．( √ )5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．( √ )一、抛物线的几何性质的应用例1 (1)等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2 答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(2p ，2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程， 得(3)2＝±a ，∴a ＝±3.∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1. 跟踪训练1 (1)边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x答案 C解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则抛物线的焦点坐标为( ) A ．(2,0) B ．(1,0) C ．(8,0) D ．(4,0) 答案 B解析 因为c a ＝2，所以c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，于是b 2＝3a 2，则ba ＝3，故双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x . 而抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，则|AB |＝3p ，又三角形的高为p2，则S △AOB ＝12·p2·3p ＝3，即p 2＝4.因为p >0，所以p ＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)． 二、直线与抛物线的位置关系命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断例2 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点． 命题角度2 直线与抛物线的相交问题例3 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程． 解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0 或2x ＋y －p ＝0. 延伸探究本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．解 如图，过A ，B ，M 分别作准线x ＝－p2的垂线交准线于点C ，D ，E .由定义知|AC |＋|BD |＝52p ，则梯形ABDC 的中位线|ME |＝54p ，∴M 点到y 轴的距离为54p －p 2＝34p .反思感悟 直线与抛物线的位置关系(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．(2)一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p . 跟踪训练2 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 答案 B解析 如图，过P 可作抛物线的两条切线，即y 轴和l 1均与抛物线只有一个公共点，过P 可作一条与x 轴平行的直线l 2与抛物线只有一个公共点．故过点P 与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.(2)设抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，直线y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且||AF ·||BF ＝25，则k 的值为( )A ．±2B ．－1C ．±1D ．－2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线y ＝kx ＋2代入x 2＝4y ， 消去x 得y 2－(4＋4k 2)y ＋4＝0， 所以y 1·y 2＝4，y 1＋y 2＝4＋4k 2，抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1， 因为||AF ＝y 1＋1，||BF ＝y 2＋1，所以||AF ·||BF ＝y 1·y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝4＋4＋4k 2＋1＝25⇒k ＝±2.1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43 B ．－1 C ．－34 D ．－12答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2,3)在准线上，所以－p 2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2,0)，故直线AF 的斜率k ＝3－0－2－2＝－34.2．(多选)以y 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D. x 2＝－8y答案 CD解析 设抛物线方程为x 2＝2py 或x 2＝－2py (p >0)， 依题意得y ＝p2，代入x 2＝2py 或x 2＝－2py 得|x |＝p ，∴2|x |＝2p ＝8，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝8y 或x 2＝－8y .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22) 答案 B解析 由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0. 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B.4．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，若|AB |＝43，则焦点F 到直线AB 的距离为________． 答案 2解析 由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求距离为3－1＝2.5．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 答案 0或1解析 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点， 当k ≠0时，联立方程消去y ，得 k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0， 由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0， ∴k ＝1.1．知识清单：(1)抛物线的几何性质．(2)直线与抛物线的位置关系．2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法．3．常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况．1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则点P到抛物线的焦点F的距离为()A．4 B．5 C．6 D．7答案 A解析由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则P(3，±23)，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在答案 B解析当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16 答案 B解析 由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，设点A (－2，n )， ∴－3＝n －0－2－2，∴n ＝4 3.∴P 点纵坐标为4 3. 由(43)2＝8x ，得x ＝6， ∴P 点坐标为(6,43)，∴|PF |＝|P A |＝|6－(－2)|＝8，故选B.4．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|F A |＋|FB |等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|F A |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7.5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∵当x ＝p 2时，|y |＝p ， ∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p 2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36. 6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫18，±24 解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24. 7．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 是FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，过点M 作MM ′⊥y 轴，垂足为M ′，|OF |＝2，∵M 为FN 的中点，|MM ′|＝1，∴M 到准线距离d ＝|MM ′|＋p 2＝3， ∴|MF |＝3，∴|FN |＝68．已知点A 到点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等，点A 的轨迹与过点P (－1,0)且斜率为k 的直线没有交点，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 设点(x ，y )，依题意得点A 在以y 2＝4x .过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0，当k ＝0时，显然不符合题意； 当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1＞0，解得k ＞1或k ＜－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，由题意知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2， ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17， ∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，O 为坐标原点．(1)求证：l 与C 必有两交点．(2)设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．(1)证明 联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，可得2x 2－kx －1＝0，所以Δ＝k 2＋8>0，所以l 与C 必有两交点．(2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1x 1＋y 2x 2＝1，① 因为y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1，代入①，得2k ＋⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝1，② 由(1)可得x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－12，代入②得k ＝1.11．若点M (1,1)是抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点，则弦AB 的长为________．答案 15解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x ，可得y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2， 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，代入抛物线的方程得4x 2－8x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 则||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×⎝⎛⎭⎫22－4×14＝15， 即弦AB 的长为15.12．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________．答案 x ＝5p 2解析 由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.由题意知AF ⊥OB ，则有y x －p 2·－y x ＝－1. 所以y 2＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2，2px ＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2. 因为x ≠0.所以x ＝5p 2. 所以直线AB 的方程为x ＝5p 2. 13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得||x ＝ 3＋p 24. 要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p ＝3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 14．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．答案 48解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6. 所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，所以|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.15．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB→＝0，则k 等于( )A.12B.22C. 2 D ．2答案 D解析 由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，x 1x 2＝4. y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2－4)＝8k， y 1y 2＝－8x 18x 2＝－16.∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4－16－16k ＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0，解得x 1＝12，x 2＝92， 故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9， 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.。
高中数学抛物线的公式及复习技巧
高中数学抛物线的公式及复习技巧高中数学抛物线的公式1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。
a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。
2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。
3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。
4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。
高考数学复习技巧1、训练想像力。
有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。
同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。
现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。
所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。
2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。
为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。
3、审题。
有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。
把隐含条件挖掘出米，常常是数学解题的关键所在，对题目隐含条件的挖掘，都要仔细思考除了明确给出的条件以外，是否还隐含着更多的条件，这样才能准确地理解数学题意。
高三提高数学成绩的窍门1、培养良好的学习兴趣常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性就自然的会立志学好数学，成为数学学习的成功者就连孔子不是也说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣2、培养良好的学习习惯很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有好的学习习惯良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松，高中数学良好的学习习惯应该是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用在跟着老师脚步学习的过程中应该养成把老师讲的知识翻译成自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中数学答题技巧有什么1.检查关键结果。
高二数学抛物线知识点总结归纳
高二数学抛物线知识点总结归纳抛物线是数学中一个重要的曲线，它在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
在高二数学学习中，我们学习了关于抛物线的基本知识和性质，下面对这些知识进行总结和归纳。
1. 抛物线的定义和特点抛物线是一个平面曲线，其定义可以通过以下公式表示：y =ax^2 + bx + c（其中a≠0）。
抛物线关于y轴对称，并且其开口方向由a的正负决定。
如果a>0，抛物线开口向上；如果a<0，抛物线开口向下。
抛物线上的所有点到其焦点的距离都相等，这个距离称为焦距。
2. 抛物线的顶点抛物线的顶点是其最高点或最低点，它的横坐标为 -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
顶点是抛物线的对称中心，即抛物线关于顶点对称。
3. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点是指平面内与抛物线上的任意一点的距离相等的动点P。
焦点的坐标可以通过计算得到，当抛物线开口向上时，焦点的坐标为（-b/2a，c - (b^2-1)/4a），当抛物线开口向下时，焦点的坐标为（-b/2a，c + (b^2-1)/4a）。
抛物线上的准线是与抛物线关于焦点对称的直线，它的方程为y = c - (b^2-1)/4a。
4. 抛物线的判别式对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，判别式D = b^2-4ac 可以用来判断抛物线的性质。
如果D>0，抛物线与x轴有两个交点，开口方向向上或向下；如果D=0，抛物线与x轴只有一个交点，开口方向向上或向下；如果D<0，抛物线与x轴没有交点，开口方向向上或向下。
5. 抛物线的对称性抛物线具有以下对称性质：- 抛物线关于y轴对称，即对于抛物线上的任意一点P(x, y)，都有P'(-x, y)在抛物线上。
- 抛物线关于x轴对称，即对于抛物线上的任意一点P(x, y)，都有P'(x, -y)在抛物线上。
6. 抛物线的平移和缩放对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，当把x替换为x-h（h 为任意实数）时，抛物线向右平移h个单位；当把y替换为y-k （k为任意实数）时，抛物线向上平移k个单位。
高二数学抛物线知识点总结大全
高二数学抛物线知识点总结大全抛物线是数学中的一种曲线形状，具有许多重要的性质和应用。
在高中数学中，学生将学习关于抛物线的各种知识点，包括定义、性质、方程式、图像的绘制以及实际应用等方面。
本文将对高二数学中与抛物线相关的知识点进行总结和归纳。
1. 抛物线的定义：抛物线是平面上一个点到一个定点和一个定直线之间的距离相等的点的集合。
其中，定点称为焦点，定直线称为准线。
抛物线对称轴是过焦点和准线的垂直平分线。
抛物线的定义可以用数学的方式表示为：抛物线是平面上满足定点到焦点和准线的距离之比不变的点的集合。
2. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中，a、b、c为常数且a≠0。
这个方程中的a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。
常数b和c决定了抛物线在坐标系中的位置。
3. 抛物线的顶点坐标：对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，抛物线的顶点坐标可以通过顶点公式 V(-b/2a , f(-b/2a)) 来求得，其中，f(-b/2a)表示将x = -b/2a代入抛物线方程得到的y值。
4. 抛物线与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点，即抛物线的根可以通过解方程 ax^2 + bx + c = 0 来求得。
根的个数和大小取决于方程的判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有一个重根；当Δ < 0时，方程没有实根。
5. 抛物线的图像与性质：抛物线的图像可以通过画出几个关键点来确定，例如焦点、准线上的点、顶点等。
抛物线的开口方向和焦点的位置决定了其图像的形状。
抛物线的图像是关于对称轴对称的。
在对称轴上的点与焦点的距离相等于对称轴和准线的距离。
6. 抛物线的平移和拉伸：对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，如果在x方向上加上h，y方向上加上k，那么抛物线的方程将变为 y = a(x-h)^2 + k。
2.4.2-抛物线的简单几何性质
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
(0，p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0
p0
o F( p ,0) x
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
对称性
顶点
焦半径
焦点弦 的长度 通径
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0
关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
（0,0）
p 2
x0
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、 顶点
定义：抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
y
o F( p ,0) x
2
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、 离心率
即直线与抛物线只有一个公共点。
当1 k 1 ,且k 0时， 2
即直线与抛物线有两个公共点。
高二数学《认识抛物线》知识点梳理
高二数学《认识抛物线》知识点梳理抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有广泛的应用。
在高二数学学习中，学生将进一步认识抛物线的性质和特点，掌握相关的基本知识。
本文将对高二数学中关于抛物线的知识点进行梳理和总结。
一、抛物线的定义与性质抛物线是平面上一组点的集合，满足到一个定点距离与到一条定直线距离相等的性质。
具体来说，设平面上一点P的坐标为(x, y)，定点F的坐标为(a, b)，定直线l的方程为y=kx+d，则点P在抛物线上当且仅当满足以下条件：(1) 点P到定点F的距离等于点P到定直线l的距离，即√[(x-a)²+(y-b)²]=|kx-y+d|。
(2) 抛物线开口的方向由二次项的系数a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、一般式与顶点式在解决实际问题中，常常需要将抛物线的方程转化成标准形式，即一般式或顶点式。
(1) 一般式：抛物线的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
通过一般式，可以直观地了解抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2) 顶点式：抛物线的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中(a, k)为抛物线的顶点坐标。
通过顶点式，可以直接获得抛物线的对称轴和顶点坐标。
三、焦点和准线抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要特点。
(1) 焦点：设抛物线的焦点为F，焦点到定直线l的距离为PF，焦距为p，抛物线的焦点公式为PF²=4pa，其中a为抛物线的二次项系数。
(2) 准线：设抛物线的准线为l，定直线l的方程为y=-p，其中p为抛物线的焦距。
抛物线上任意一点的横坐标与它到准线的距离的平方成正比。
四、抛物线的平移与缩放抛物线可以通过平移和缩放进行变换，从而得到不同的抛物线。
(1) 平移：对于抛物线y=ax²+bx+c，若将其沿x轴平移h个单位，沿y轴平移k个单位，则新抛物线的方程为y=a(x-h)²+k，平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点在高二数学的学习中，抛物线是一个重要的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理等其他学科中也经常出现。
下面就让我们一起来深入了解一下抛物线的相关知识。
一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
如果我们以焦点 F 到准线 l 的距离为 p（p>0），以焦点 F 所在直线为 x 轴，过点 F 且垂直于 x 轴的直线为 y 轴建立直角坐标系，那么抛物线的标准方程可以表示为：当抛物线的焦点在 x 轴正半轴上时，方程为 y²＝ 2px（p>0）；当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y²＝－2px（p>0）；当抛物线的焦点在 y 轴正半轴上时，方程为 x²＝ 2py（p>0）；当抛物线的焦点在 y 轴负半轴上时，方程为 x²＝－2py（p>0）。
二、抛物线的图像和性质以 y²＝ 2px（p>0）为例，来研究一下抛物线的图像和性质。
1、图像抛物线的图像是一个轴对称图形，对称轴为 x 轴。
它开口向右，顶点在原点。
2、定义域和值域定义域为x≥0，值域为 R。
3、焦点和准线焦点为 F（p/2，0），准线方程为 x ＝ p/2。
4、离心率抛物线的离心率 e ＝ 1。
5、焦半径抛物线上一点 P（x₀，y₀）到焦点的距离称为焦半径。
对于 y²＝2px（p>0），焦半径|PF| ＝ x₀＋ p/2。
三、抛物线的相关公式1、抛物线的通径通过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径。
对于 y²＝ 2px（p>0），通径长为 2p。
2、抛物线的弦长公式设抛物线y²＝2px（p>0）上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则弦长|AB| ＝√（1 ＋ k²)×（（x₁＋ x₂)² 4x₁x₂) ，其中 k 为直线AB 的斜率。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中抛物线知识点总结抛物线是一条二次函数，它的图像呈现出一个弧形，常见于物理、数学和工工科中。
在高中学习中，抛物线是一个重要的数学概念之一，在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。
在此本文将为您介绍抛物线的基本概念、性质以及解题方法等知识点。
1. 抛物线的基本概念抛物线的定义是由一个不在同一平面的点P和一条确定的直线l，绕P旋转一周所形成的曲线叫做抛物线。
其中点P叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx +c ，其中a,b,c是常数，a 不等于0。
当 a > 0 时，抛物线开口向上，当a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的性质（1）对称性抛物线的图像具有对称性，也就是有轴对称线。
这条对称线称为抛物线的轴线，它通过焦点和准线的垂线交点。
（2）焦点、准线和顶点的关系对于对称轴y = k，横坐标为h的点P(x,y), 有以下关系式成立：（i）焦点坐标为 F(h,k+p)，其中p=1/(4a)（ii）准线的方程为 y = k-p（iii）顶点坐标为 V(h,k)（3）焦距的意义焦距是从焦点到准线的距离，它的值等于 1/(4a)。
焦距的意义在物理学中有广泛应用，例如椭圆轨道和双曲线轨道等。
（4）最值和拐点抛物线最值和拐点是求解抛物线的重要问题：（i）当抛物线开口向上时，最小值就是它的顶点V(h,k)，最大值不存在。
（ii）当抛物线咕咕向下时，最大值就是它的顶点V(h,k)，最小值不存在。
（iii）抛物线拐点存在的条件为 a 不等于 0。
求抛物线的拐点（x,y)，只需要将一阶导数为0的得到解析式，然后代入求y坐标值。
3. 抛物线的应用抛物线在日常生活和工程学中有着广泛的应用，其中的一个典型实例是进行投掷运动的物理解析。
在投射问题中，抛物线成为空气中物体运动的轨迹，其中重力在垂直方向上作用，空气阻力在垂直方向上不作用。
抛物线还有一些其他的应用，包括：（1）建筑物的设计，例如拱形门廊和地理石的建筑设计。
高中抛物线的知识点总结
高中抛物线的知识点总结高中阶段，数学是每个学生必须学习的一门学科，而抛物线则是数学中比较重要的一个知识点。
抛物线在现实生活中有着广泛的应用，并且在高考中也经常出现。
本文将对高中抛物线的知识点进行总结，帮助大家更好地学习这个重要的数学知识点。
一、抛物线的基本概念抛物线是一种平面曲线，它的形状像一个对称的弧形。
它的定义是：过定点P，到定直线L上的点的距离与它们之间连线的长度相等的点M的轨迹，其中定点P称为抛物线的焦点，定直线L 称为抛物线的直准线。
抛物线的特点有以下几条：1. 抛物线是对称的，其对称轴为过焦点的直线；2. 抛物线的焦点到直准线的距离等于抛物线上任意一点到焦点距离与该点到直准线距离的和；3. 抛物线上任意一点到其直准线的距离等于该点到焦点距离的垂线长度。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程为：y = ax² + bx + c。
其中，a、b、c均为常数，a ≠ 0。
a决定了抛物线的开口方向，如果a > 0，则抛物线开口向上，如果a < 0，则抛物线开口向下。
三、抛物线的顶点及坐标在抛物线上，最高和最低点分别为抛物线的顶点和底点。
抛物线的顶点坐标为：x = -b/2a，y = -Δ/4a其中，Δ = b² - 4ac为判别式，用来判断抛物线与x轴的交点。
四、抛物线的焦点和直准线抛物线的焦点和直准线是抛物线的两个重要概念。
焦点的坐标为：x = -b/2a，y = (4ac - b²)/4a直准线方程为：x = -b/2a其中，对于一个开口向上的抛物线，焦点在y轴上方；对于一个开口向下的抛物线，焦点在y轴下方。
五、抛物线与直线交点的求解对于抛物线和直线的交点，我们需要解方程组。
首先，我们需要将抛物线的方程和直线的方程相等，得到一个二次方程，然后求解该方程即可得到交点。
六、抛物线的应用在现实生活中，抛物线有着广泛的应用。
比如，运动员在比赛中投掷飞镖、铅球时所形成的轨迹都是抛物线。
2.4.2抛物线的简单几何性质
（4）x2 +8y =0 准线方程
焦点坐标
（ 1） （ 2） （ 3）
（ 5， 0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
（ 4）
（0，-2）
y=2
前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性 质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有 什么区别吗？
分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有 一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它 没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线，而椭
四.离心率：
同样 ，抛物线上的点M到其焦点的距离 和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率, 用e表示.由定义可知,抛物线的离心率为e=1.
例1：
已知抛物线关于x轴对称,它的顶点 在坐标原点,并且经过点M（2，-2 2 ）, 求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在 原点,并且经过点M（2,-2 2）,所以,可以设它的 标准方程为 y2=2px（p>0） 因为点M在抛物线上，所以（-2 2）2=2p· 2， 即 p=2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y2=4x
3x2-10x+3=0，
M
例3：
如图,直线y=x-2与抛物 线y2=2x相交于A,B两点,求 证:OA⊥OB.
O
y
●
B
F
x
A
（x-2）2=2x. 证明：将y=x-2代入y2=2x中，得 则 y=3± 5 -2=1± 化简得 x2-6x+4=0， 解得x=3± 5 ， 5
1+ 5 1因为k OB= ，k OA= 3+ 5 31 + 5 1所以k OB ·k OA= × 3+ 5 3所以OA⊥OB.
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是数学中一种基本的曲线形状，其形状如同一个U字形。
在高中数学学习中，抛物线是一个重要的内容，需要了解其性质、方程和应用等方面的知识。
本文将就高中抛物线的相关知识点进行总结。
一、抛物线的定义抛物线是指平面上一点到一个定点F（焦点）和一条定直线（准线）的距离之比等于一个常数e（离心率）的轨迹。
抛物线的形状非常特殊，其特点是对称，并且具有无数个焦点和准线。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线是关于准线的对称图形，即准线是抛物线的对称轴，任意一点与焦点的连线与准线的交点处的切线垂直于准线。
2. 焦准定理：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
3. 焦点的坐标：设抛物线的焦点为F（p,0），则焦点的坐标为（p,0）。
4. 焦距的求解：设抛物线的方程为y^2=4ax，则焦距为f=|4a|。
5. 离心率的求解：设抛物线的焦点为F，准线为L，则离心率e=|FP|/|FL|。
三、抛物线的方程1. 首先，根据焦点为（p,0）和准线为x=0，可以得到抛物线的一般方程为y^2=4px。
2. 当抛物线的焦点在y轴上，即p=0时，抛物线方程为x^2=4ay。
3. 当抛物线的焦点在x轴上，即p=∞时，抛物线方程为y^2=4ax。
4. 如果已知抛物线的顶点为V（h,k），则抛物线的方程可以表示为y=a(x-h)^2+k，其中a为抛物线的参数。
四、抛物线的应用抛物线在物理、力学、光学等领域都具有重要的应用价值，以下是抛物线在不同领域的应用示例：1. 物理：在物理学中，抛物线常常被用来描述抛体的运动轨迹，如抛射体的运动轨迹、炮弹的轨迹等。
2. 工程：在工程学中，抛物线也常常被运用于桥梁、建筑物、拱门等的结构设计中，以保证结构的稳定性和美观性。
3. 光学：当光线入射到抛物面上时，会被反射到焦点上，因此抛物线也被广泛应用于望远镜、卫星接收器等光学设备中。
总结：高中抛物线的学习是数学学科中的重要内容，通过对抛物线的性质、方程和应用的了解，可以更好地应用于实际问题的解决。
高中数学课件第2章 2.4 2.4.1 抛物线的标准方程
[一点通] 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时， 应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一 种，然后写出焦点及准线．
1．(北京高考)若抛物线 y2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则 p＝
________，准线方程为________． 解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，p＝2，
准线方程为 x＝－p2＝－1. 答案：2 x＝－1
2．已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程． (1)x2＝4y； (2)2y2＋5x＝0. 解：(1)由抛物线标准方程知抛物线焦点在 y 轴正半轴上， 开口向上． ∵p＝2，∴焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y＝－1. (2)将 2y2＋5x＝0 变形为 y2＝－52x， ∴2p＝52，p＝54，开口向左． ∴焦点坐标为－58，0，准线方程为 x＝58.
∴抛物线标准方程为 y2＝12x. (2)设抛物线标准方程为 y2＝2px(p>0)焦点坐标为p2，0， ∴p2＝52，∴p＝5. ∴抛物线标准方程为 y2＝10x.
[一点通] 待定系数法求抛物线标准方程的步骤： (1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式；(定形) (2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向；(定位) (3)利用题中所给数据确定 p. 焦点坐标 准线方程 开口方向
y2＝2px(p __(p2_，__0_)__ __x_＝__－__p2_ ＞0)
_向__右__
y2＝－ _－__p2_，__0__ __x_＝__p2___ 2px(p＞0)
_向__左__
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向
3．以双曲线1x62－y92＝1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ________________________． 解析：双曲线1x62－y92＝1 的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点 坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为 y2＝16x. 答案：y2＝16x
高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质知能演练轻松闯
【优化方案】2013-2014学年高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质知能演练轻松闯关 理 新人教A 版选修2-11．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8y D ．x 2＝±16y 解析：选D.顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p >0)．由顶点到准线的距离为4知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y ，x 2＝－16y .2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B ，且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A.12B.14C.16D.18解析：选A.线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.3．已知直线y ＝kx －k 和抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A ．直线和抛物线有一个公共点 B ．直线和抛物线有两个公共点C ．直线和抛物线有一个或两个公共点D ．直线和抛物线可能没有公共点 解析：选C.∵直线y ＝kx －k 过定点(1,0)， ∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．4．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A.15 B ．215C.152 D ．15 解析：选A.令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y 2＝12x 得4x 2－8x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝(1＋22)(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15. 5．等腰Rt △AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2解析：选B.∵抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p .∴A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．∴|AB |＝4p .∴S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.6．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0y ＝ax2，得ax 2－x ＋1＝0，由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.答案：147．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为__________．解析：设抛物线C 的方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝x 得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)是AB 的中点，从而有a ＝4，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析：∵直线AF 的斜率为－3， ∴∠P AF ＝60°. 又∵|P A |＝|PF |， ∴△P AF 为正三角形．故|PF |＝|AP |＝2p ＝8. 答案：89．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求P 点横坐标及抛物线方程．解：设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋p2＝10y 2＝2px|y |＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9p ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1p ＝18， ∴P 点横坐标为9或1，∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .10．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．解：由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为：y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， 所以点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23，∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4得x 2＋3＝4， ∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得： (3)2＝±a ，∴a ＝±3.∴所求抛物线方程是：y 2＝3x 或y 2＝－3x .1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选D.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．2．经过点(0，－2)的直线与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB |＝________.解析：设直线方程为y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0， ∵直线与抛物线交于A ，B 两点，∴k ≠0，Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＞0，即k ＞－1且k ≠0. 又x 1＋x 22＝2(k ＋2)k 2＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍)．∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(42－4)＝215.答案：2153．求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解：(1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.所以直线x ＝0与抛物线只有一个交点．(2)若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，则解得x ＝12，且y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，则直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1，或y ＝12x ＋1.4．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值． 解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x .消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∵直线与抛物线相交于A 、B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2＞4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。
高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.抛物线y 2=3x 关于直线y=x 对称的抛物线方程为( ) =13x =3y =13y=3x【解题指南】利用点(x,y)关于y=x 的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x 的对称点为(y,x),因此y 2=3x 关于y=x 对称的抛物线方程为x 2=3y. 2.已知直线l 过抛物线C 的核心,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,那么△ABP 的面积为( )B.24【解析】选C.如下图,设抛物线方程为y 2=2px(p>0). 因为当x=p2时,|y|=p, 因此p=|AB |2=122=6.又P 到AB 的距离始终为p, 因此S △ABP =12×12×6=36.3.已知F 是抛物线y 2=x 的核心,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,那么线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34B.1C.54D.74【解析】选C.由抛物线的概念,有|AF|+|BF|=(x A +p2)+(x B +p 2)=x A +x B +p=3,故x A +x B =3-p=52,故线段AB 的中点到y 轴的距离为54,应选C.【触类旁通】假设将上题改成F 是抛物线x 2=2y 的核心,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,那么线段AB 的中点到y 轴的距离为 . 【解析】|AF|+|BF|=6,由抛物线的概念可得|AD|+|BE|=6,又线段AB 的中点到抛物线准线y=-12的距离为12(|AD|+|BE|)=3,因此线段AB 的中点到y 轴的距离为52. 答案:524.抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( ) A.43B.75C.85【解析】选A.设抛物线y=-x 2上一点为(m,-m 2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为|4m −3m 2−8|5,当m=23时,取得最小值为43.【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l 方程为:4x+3y+m=0,由{y =−x 2,4x +3y +m =0消去y 得,3x 2-4x-m=0,由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-43. 因此l 的方程为4x+3y-43=0.因此抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d=|−8−(−43)|√42+32=43.5.(2021·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=14x 2的核心的直线被抛物线所截得的弦长为( )B.6【解析】选A.设弦的端点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:14x 2-x-1=0,因此x 1+x 2=4,x 1x 2=-4,因此弦长l =√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8.6.已知抛物线y 2=2px(p>0)的核心为F,其上的三个点A,B,C 的横坐标之比为3∶4∶5,那么以|FA|,|FB|,|FC|为边长的三角形( )A.不存在B.必是锐角三角形C.必是钝角三角形D.必是直角三角形【解析】选B.设A,B,C 三点的横坐标别离为x 1,x 2,x 3,x 1=3k,x 2=4k,x 3=5k(k>0),由抛物线概念得|FA|=p 2+3k,|FB|=p 2+4k,|FC|=p 2+5k,易知三者能组成三角形,|FC|所对角为最大角,由余弦定理可证该角的余弦值为正数,故该三角形必是锐角三角形. 二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·长沙高二检测)已知定点A(-3,0),B (3,0),动点P 在抛物线y 2=2x 上移动,那么PA →·PB →的最小值等于 .【解析】设P(x,y),那么y 2=2x,因为A(-3,0),B(3,0),则PA →·PB →=AP →·BP →=(x+3,y)·(x-3,y)=x 2+y 2-9=x 2+2x-9=(x+1)2-10(x ≥0), 因此当x=0时,(PA →·PB →)min =-9. 答案:-98.(2021·济宁高二检测)已知抛物线y 2=4x 的核心为F,准线与x 轴的交点为M,N 为抛物线上的一点,且知足|NF|=√32|MN|,那么∠NMF= .【解析】过N 作准线的垂线,垂足为P , 那么有|PN|=|NF|, 因此|PN|=√32|MN|,∠NMF=∠MNP . 又cos ∠MNP=√32,因此∠MNP=π6,即∠NMF=π6.答案:π69.(2021·长春高二检测)已知点P 是抛物线y 2=4x 上的动点,点P 在y 轴上射影是M,点A(4,6),那么|PA|+|PM|的最小值是.【解题指南】将P 到y 轴的距离,转化为点P 到核心的距离,当A,P ,F 共线时,|PA|+|PM|最小. 【解析】由y 2=4x,得p=2, 因此F(1,0), 如图,|PM|=|PN|-p 2=|PF|-1,因此|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1 =√(4−1)2+(6−0)2-1=3√5-1.答案:3√5-1三、解答题(每题10分,共20分)10.直角△AOB 的三个极点都在抛物线y 2=2px 上,其中直角极点O 为原点,OA 所在直线的方程为y=√3x,△AOB 的面积为6√3,求该抛物线的方程.【解题指南】运用解方程组别离求出A,B 坐标,从而求出|OA|和|OB|,利用面积公式求出p 即可. 【解析】因为OA ⊥OB,且OA 所在直线的方程为y=√3x,因此OB 所在直线的方程为y=-√33x.由{y 2=2px ,y =√3x ,得A 点坐标(2p 3,2√3p 3),由{y 2=2px ,y =−√33x ,得B 点坐标(6p,-2√3p).|OA|=43|p|,|OB|=4√3|p|,S △OAB =8√33p 2=6√3,因此p=±32.即该抛物线的方程为y 2=3x 或y 2=-3x.11.(2021·淮安高二检测)如图,已知抛物线y 2=4x 的核心为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,直线AF,BF 别离与抛物线交于点M,N.(1)求y1y2的值.(2)记直线MN 的斜率为k 1,直线AB 的斜率为k 2,证明:k 1k 2为定值.【解题指南】(1)把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后依照一元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,依照根与系数的关系代入化简可求得定值.【解析】(1)依题意,设AB 的方程为x=my+2,代入y 2=4x,得y 2-4my-8=0,从而y 1y 2=-8. (2)设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),k 1k 2=y 3−y 4x 3−x 4×x 1−x 2y 1−y 2=y 3−y 4y 324−y 424×y 124−y 224y 1−y 2=y 1+y 2y 3+y 4, 设直线AM 的方程为x=ny+1,代入y 2=4x 消去x 得:y 2-4ny-4=0,因此y 1y 3=-4,同理y 2y 4=-4,k 1k 2=y 1+y 2y 3+y 4=y 1+y 2−4y 1+−4y 2=y 1y 2−4,由(1)y 1y 2=-8,因此k 1k 2=2为定值.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点,设点P 到此抛物线准线的距离是d 1,到直线x+2y-12=0的距离为d 2,那么d 1+d 2的最小值是( )B.4C.11√55D.115【解析】选C.设抛物线的核心为F,那么F(1,0).由抛物线的概念可知d 1=|PF|,因此d 1+d 2=|PF|+d 2,因此d 1+d 2的最小值为|PF|+d 2的最小值,即点F 到直线x+2y-12=0的距离,因此最小值为√5=11√55.【变式训练】已知抛物线y 2=4x,过核心F 的直线与抛物线交于A,B 两点,过A,B 别离作y 轴的垂线,垂足别离为C,D,那么|AC|+|BD|的最小值为 . 【解析】抛物线准线为x=-1,F(1,0),那么|AC|=|AF|-1,|BD|=|BF|-1,因此|AC|+|BD|=|AF|+|BF|-2=|AB|-2.而|AB|为过核心的弦长,因此当AB ⊥x 轴时,|AB|取到最小值4.因此|AC|+|BD|≥4-2=2. 答案:22.如图,F 为抛物线y 2=4x 的核心,A,B,C 在抛物线上,假设FA →+FB →+FC →=0,那么|FA →|+|FB →|+|FC →|=( )【解析】选A.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),因为F(1,0),因此FA →+FB →+FC →=(x 1+x 2+x 3-3,y 1+y 2+y 3)=0,因此{x 1+x 2+x 3=3,y 1+y 2+y 3=0.因此|FA →|+|FB →|+|FC →|=x 1+p 2+x 2+p 2+x 3+p 2=3+3=6.3.(2021·成都高二检测)A,B 是抛物线x 2=y 上任意两点(非原点),当OA →·OB →最小时,OA →,OB →所在两条直线的斜率之积k OA ·k OB =( ) A.1212C.√3√3【解析】选B.由题意设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22), 因此OA →·OB →=x 1x 2+(x 1x 2)2=(x 1x 2+12)2-14,易知当x 1·x 2=-12时,OA →·OB →最小,现在k OA ·k OB =x 1x 2=-12.4.(2021·安阳高二检测)抛物线y 2=2px(p>0)的核心为F,已知点A,B 为抛物线上的两个动点,且知足∠AFB=90°,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,那么|MN ||AB |的最大值为( )A.√22B.√33D.√3【解析】选A.设|AF|=r 1, |BF|=r 2,|MN ||AB |=12(r 1+r 2)√r 12+r 22 =12√r 12+2r 1r 2+r 22r 12+r 22=12√1+2r 1r 2r 12+r 22≤12√1+r 12+r 22r 12+r 22=√22.【触类旁通】此题条件“∠AFB=90°”改成“∠AFB=120°”,其他条件不变,那么结论如何? 【解析】选B.如图, 设|AF|=r 1, |BF|=r 2,那么|MN|=12(r 1+r 2),|AB|=√r 12+r 22−2r 1r 2·cos120°=√r 12+r 1r 2+r 22,因此|MN ||AB |=r 1+r 22√r 12+r 22+r 1r 2=12√(r 1+r 2)2r 12+r 22+r 1r 2=12√1+r 1r 2r 12+r 22+r 1r 2≤12√1+r 1r 23r1r 2=√33.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·天水高二检测)已知抛物线x2=4y的核心为F,通过F的直线与抛物线相交于A,B两点,那么以AB 为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_____.【解析】由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么A,B到准线的距离和为y1+y2+2=AB,因此以AB 为直径的圆的圆心到x 轴的距离为y 1+y 22,设直线AB 的方程为y=kx+1,代入抛物线方程,消y,得x 2-4kx-4=0,因此x 1+x 2=4k,y 1+y 2=4k 2+2,因此以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长为 2√(y 1+y 2+22)2−(y 1+y 22)2=√12+16k 2,因此k=0时,以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值为2√3. 答案:2√36.(2021·安徽高考)已知直线y=a 交抛物线y=x 2于A,B 两点.假设该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角,那么a 的取值范围为 .【解题指南】点C 的轨迹是圆心在y 轴上、半径为r=√a 的圆,数形结合可得.【解析】联立直线y=a 与抛物线y=x 2得x=±√a ,知足题设条件的点C 的轨迹是以(0,a)为圆心,r=√a 为半径的圆,其方程为x 2+(y-a)2=a.由数形结合可知当r=√a ≤a 时知足题设要求,解得a ≥1. 答案:[1,+∞)三、解答题(每题12分,共24分)7.设抛物线y 2=2px(p>0)的核心为F,通过点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.试探讨直线AC 是不是通过原点O?【解题指南】借助k OA 和k OC 的关系去探讨.【解析】直线AC 通过原点O.证明如下:设AB:x=my+p 2,代入y 2=2px, 得y 2-2pmy-p 2=0.由根与系数的关系,得y A y B =-p 2,即y B =-p 2y A .因为BC ∥x 轴,且C 在准线x=-p 2上, 因此C (−p 2,y B ),那么k OC =y B −p 2=2p y A =y A x A =k OA . 故直线AC 通过原点O.【一题多解】如下图,记准线l 与x 轴的交点为E,过A 作AD ⊥l ,垂足为D,那么AD ∥EF ∥BC,连接AC 交EF 于N,那么|EN ||AD |=|CN ||AC |=|BF ||AB |,|NF ||BC |=|AF ||AB |. 因为|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,因此|EN|=|AD |·|BF ||AB |=|AF |·|BC ||AB |=|NF|,即N 是EF 的中点,从而点N 与点O 重合,故直线AC 通过原点O.8.(2021·长春高二检测)点M(m,4)(m>0)为抛物线x 2=2py(p>0)上一点,F 为其核心,已知|FM|=5.(1)求m 与p 的值.(2)以M 点为切点作抛物线的切线,交y 轴于点N,求△FMN 的面积.【解析】(1)由抛物线概念知,|FM|=p2+4=5,因此p=2.因此抛物线的方徎为x 2=4y, 又由M(m,4)在抛物线上,因此m=4.故p=2,m=4.(2)设过M 点的切线方程为y-4=k(x-4),代入抛物线方程消去y 得,x 2-4kx+16k-16=0,其判别式Δ=16k 2-64(k-1)=0,因此k=2,切线方程为y=2x-4,切线与y 轴的交点为N(0,-4),抛物线的核心F(0,1),因此S △FMN =12|FN|·m=12×5×4=10.。
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"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质课
堂达标效果检测新人教A版选修2-1 "
1.(2014·鹤岗高二检测)抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4
B.6
C.8
D.12
【解析】选B.抛物线y2=8x的准线是x=-2,
由条件知P到y轴距离为4,
=4.
所以点P的横坐标x
P
根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.
).若点M到该抛物线焦点的距离为2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y
3,则|OM|=( )
A.2
B.2
C.4
D.2
)在此抛物线上,所以【解析】选B.由抛物线定义知,+2=3,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.因为点M(2,y
=8,于是|OM|==2,故选B.
3.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为 .
【解析】由抛物线y2=2px(p>0),得焦点F的坐标为,则FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得,2p×=1,所以p=,
所以B点到准线的距离为+=p=.
答案:
4.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为.
【解析】据题意知,△PMF为等边三角形时,PF=PM,
所以PM垂直抛物线的准线,
设P,则M(-1,m),
等边三角形边长为1+,F(1,0),
所以由PM=FM,得1+=,解得m2=12,
所以等边三角形边长为4,其面积为4.
答案:4
5.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,求点A的坐标. 【解析】由y2=4x,知F(1,0),
因为点A在y2=4x上,所以不妨设A(,y),
则=(,y),=(1-,-y).
代入·=-4中,得(1-)+y(-y)=-4,
化简得y4+12y2-64=0.
所以y2=4或y2=-16(舍去),所以y=±2.
所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2).。