3.1.3两倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式素材
课堂篇02
合作探究
给角求值问题
【例1】 求下列各式的值: π 5π (1)cos12cos12; π π π π (2)(cos -sin )(cos +sin ); 12 12 12 12 1 2π (3)2-cos 8; (4)sin10° sin30° s2sin2x 求 的值. 1+tanx 【分析】 代入求解. π 化简所求式,使其出现角( 4 -x),整体
【解】
sin2x-2sin2x 2sinxcosx-sinxcosx = 1+tanx cosx+sinx
sin2xcosx-sinx = cosx+sinx 1-tanx =sin2x 1+tanx π =sin2xtan(4-x) π π =cos(2-2x)tan(4-x)
π 1 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x-6)+2. 2π 因为 0≤x≤ , 3
③ 7π π π 所以-6≤2x-6≤ 6 ,
1 π 所以-2≤sin(2x-6)≤1. π 1 3 所以 0≤sin(2x-6)+2≤2, 即
2π 3 f(x)在区间0, 3 上的取值范围为0,2.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
1.会推导并记住二倍角公式. 2.能够运用二倍角公式及其变形解决有关化简、求值 和证明问题.
重点难点
重点:二倍角公式的推导; 难点:二倍角公式的变形应用.
预习篇01
新知导学
二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导
在公式sin(α+β),cos(α+β),tan(α+β)中,令
2
1 2π (3)原式= (1-2cos ) 2 8
1 π 2 =-2cos4=- 4 . 1 (4)原式=2cos20° cos40° cos80° = 2sin20° cos20° cos40° cos80° 4sin20°
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
5 119 cos4α = 1- 2sin 2α = 1- 2 = 13 169
2
2
120 sin4α 120 169 tan4α = = =119 cos4α 119 169
教材习题答案
α 24 α 7 α 24 α α = , cos = , tan = .注意 是 的2 倍, 4 25 4 25 4 7 4 8 α 3π 由8π < α < 12π可得π < < . 8 2 7 2、 25 1、sin
跟踪训练
1.(1)已知
求sin 2α,cos 2α,tan 2α之值.
π (2)已知 tan x+ =2,则 tan x tan 2x 4 ________.
3 12 cos α=- ,α∈ π,2π , 13
的值为
跟踪训练
π π 3π 2 2.已知 cos x-4 = ,x∈ 2, 4 . 10 (1)求 sin x 的值; π (2)求 sin 2x+3 的值.
k ,且 2 4
k , k Z
2
对于 C 2 能否有其它表示形式?
cos 2 2 cos 2 1
cos 2 1 2 sin
2
公式中的角是否为任意角?
引申:公式变形:
1 sin2 (sin cos )
1 cos2 2 cos
二倍角公式的简单应用 α 已知 tan =2,求: 2
π 6sin α+cos α (1)tan α+4 的值; (2) 的值. 3sin α-2cos α
ห้องสมุดไป่ตู้
分析:本题考查二倍角公式以及弦化切方 法的简单应用.
【数学】3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆 方法
TIP1:在使用身体记忆法时,可以与前面提到过的五感法结合起来,比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉,记忆印象会更加深刻; TIP2:采用一些怪诞夸张的方法,比如上面例子中腿上面生长出了很多植物, 正 常在我们常识中不可能发生的事情,会让我们印象更深。
TIP2:越夸张越搞笑,越有助于刺激我们的大脑,帮助我们记忆,所以不妨在 编 故事时,让自己脑洞大开,尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 (Richard Phillips Feynman)
费曼学习法出自著名物理学家费曼,他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖,费曼不仅是一名杰出的 物理学家,并且是一位伟 大的教育家,他能用很 简单的语言解释很复杂的概念,让其 他人能够快 速理解,实际上,他在学习新东西的时候,也会 不断的研究思考,直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解, 这也是这个学习法命名的由来!
例9 (1) 若cos 1,则sin
3
2
若 (3 ,2),则sin
2
2
3 3
,
cos
2
3 3
,
cos
2
6 3 6 3
. .
(2) 化简 1 cos 4等于 2
(A )
(A)cos(2 - ) (B) cos2 (C) sin(2 - ) (D) sin2
【学习力-学习方法】
课件4:3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
解析 (1)原式=12sin15°cos15°=41sin30°=18.
(2)cos215°-sin215°=cos30°=
3 2.
答案 (1)C (2)B
例2
求证:33- +44ccooss
2A+cos 2A+cos
44AA=tan4A.
证明:∵左边=33-+44ccooss
2A+2cos22A-1 2A+2cos22A-1
=11-+ccooss 22AA2=22csoins22AA2=(tan2A)2 =tan4A=右边,
∴33-+44ccooss
2A+cos 2A+cos
44AA=tan4A.
规律总结 利用倍角公式证明三角恒等式,关键是找到左、右两边
式子中角间的倍角关系.先用倍角公式统一角,再用同角三角函数 基本关系式等完成证明.
3 2.
跟踪训练 3 证明:(1)sin 2α=1+2tatnanα2α; (2)cos 2α=11-+ttaann22αα .
证明:(1)左边=sin
2α=2sin
αcos
α=2sin
αcos 1
α
=c2ossi2nα+αcsoisn2αα=1+2tatnanα2α=右边.
(2)左边=cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-1 sin2α=ccooss22αα+-ssiinn22αα
4.已知 cosx-π4=102,则 sin 2x= -2245 .
解析 sin 2x=cos2π-2x =cos2x-π2 =cos 2x-π4 =2cos2x-π4-1 =2× 1022-1 =-2245.
5.已知 tan(π4+α)=2,则 tan2α=________.
解析 ∵tan(π4+α)=11+ -ttaannαα=2,∴tanα=13, ∴tan2α=1-2tatannα2α=43.
用3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式的逆用:
2.倍角公式的拓展
2.倍角公式的拓展
练 习
y A sin( x ) b y A cos( x ) b y A tan( x ) b
这三个式子称为三角函数的标准式。 研究三角函数的性质,需先化为标准式. 三角函数的性质包括: 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期、对 称性,等.
已知 tan =2,求: 2
练 习
3 12 1.(1)已知 cos α=- ,α∈ π, π , 求sin 2α,cos 2α,tan 2α之值. 13 2 π tan x (2)(2014年江苏卷)已知 tan x+4 =2,则 的值为________. tan 2x 3 12 解析:(1)∵cos α=- ,α∈ π,2π , 13 ∴sin α=- 1-cos2α 122 5 =- 1- -13 =- , 13 5 12 120 ∴sin 2α=2sin αcos α=2× -13 × -13 = , 169 5 2 119 2 cos 2α=1-2sin α=1-2× -13 = , 169 sin 2α 120 tan 2α= = . cos 2α 119 4 (2) 9
练 习
π 55 3 .(2011 年全国卷Ⅱ)已知 α∈ 2,π ,sin α= , 4. 55
4 - 则 tan 2α=________. 3
sin 20° cos 20° 5. 4. 2 的值是( 2 cos 155° -sin 155° 1 A. 2
)
1 3 3 B.- C. D.- 2 2 2 1 sin 40° 2 sin 40° 解析:原式= = cos 310° 2cos(270° +40° )
3.1.3二倍角的正弦,余弦,正切公式
2
k ,
2
k
注意:二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式,其它如 4α 是
a a
a a
2α 的二倍, 是 的二倍, 是 的二倍等。
2 4
3 6
五.课堂小结
1.我们是如何得出倍角公式的。
2. cos的三种形式及其如何用 cos表示 sin2, .
cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) 2 cos 2 1
(3) tan 2 tan
tan tan
2 tan
.
1 tan tan
1 tan 2
(二)例题讲解
α-β);
sin(α+β)=______________________(S
sinαcosβ+cosαsinβ
α+β);
sinαcosβ-cosαsinβ
sin(α-β)=_____________________(S
α-β);
tanα+tanβ
1-tanαtanβ α+β);
tan(α+β)=________________(T
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
tan(α-β)=________________(T
).
α-β
你能根据两角和的正弦、余弦
、正切公式推出二倍角的正弦
、余弦、正切公式吗?
(二)公式推导
•
(三)得出结论
二倍角的三角函数
cos 2 cos sin 1 sin sin 1 2sin
2
2
2
2
2
3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式
π 12 5 又-2<β<0 且 sin β =-13,∴cos β=13, ∴cos 2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β 4 5 3 12 56 =5×13-5×-13=65. 9 又 cos 2α=1-2sin α,∴sin α=130.
升、降幂公式
1、升幂公式: 2 2 1 sin 2 sin cos 2 sin cos
2 =(sin cos )
1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
升幂缩角
2、降幂公式:
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式
平罗中学 石占军
复习两角和(差)的三角公式
C(α β)
cos cos cos sin sin
S(αβ)
sin sin cos cos sin
tan tan tan 1 tan tan
2
降幂扩角
例4.化简
(1) 1 sin 40 ; (2) 1 sin 40 ; (3) 1 cos 20 ; (4) 1 cos 20
变式:如何化简 2 sin 2 cos4呢?
2
变式2.化简 1 sin 1 sin, (0,).
当 (0, )时,原式=2sin 2 2 当 ( ,)时,原式=2cos 2 2
2
π 3 12 2.已知 sin(2α-β)=5,sin β=-13,且 α∈2,π,β∈ π - ,0,求 sin α 的值. 2 π 解:∵2<α<π,∴π<2α<2π.
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)
D.
7 9
求 sin 4x 的值. 的最小值,
3.求函数 并求其单调区间.
7π π f ( x ) = 5 3 cos 2 x + 3 sin 2 x − 4sin x cos x ≤ x ≤ 24 4
倍角公式的逆向变换及有关变形:
1.完全平方公式:
1 ± sin 2α = ( sin α ± cos α )2
1 − cos 2α = 2sin 2 α 2 1 + cos 2α = 2 cos α
2.升幂公式:
sin α cos α = 1 s i n 2 α
3.降幂公式:
2
sin 2 α = 1 (1 − cos 2α )
π y = 2 cos 2 x − − 1 4
(2008广东文 5.已知函数 f ( x) = (1 + cos 2 x) sin 2 x, x ∈ R, 广东文) 广东文 已知函数 则 f ( x ) 是( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 最小正周期为 π B.最小正周期为 2 的奇函数 最小正周期为 C.最小正周期为 π 的偶函数 最小正周期为 π D.最小正周期为 2 的偶函数 最小正周期为 解析】 【解析】f ( x) = (1 + cos 2 x) sin 2 x = 2 cos 2 x sin 2 x = 1 sin 2 2 x = 1 (1 − cos 4 x ) , 4 2 选D.
2
cos α =
2
1 (1 + cos 2α ) 2
例 填空:
co s150 4 = ______; (1) tan150 + 0 sin15
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式完美版
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计一、教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道,二倍角的内涵是:揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中a B关系的特殊情形a =时的简化,让学生在探究中既感到自然、易于接受,还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系,同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为,《数学课程标准》提出:“要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征,获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习,更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换,否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.二、教学目标1.知识与技能:通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.过程与方法:通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.情感态度与价值观:通过本节学习,引导学生领悟寻找数学规律的方法,培养学生的创新意识,以及善于发现和勇于探索的科学精神.三、重点难点教学重点:二倍角公式推导及其应用.教学难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.四、课时安排1 课时五、教学设想(一)导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式,并回忆这组公式的来龙去脉,然后让学生默写这六个公式.教师引导学生:和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题,请同学们思考一下,应解决哪些问题呢?由此展开新课.3 兀思路2.(问题导入)出示问题,让学生计算,若sin a= , a (― , n 求sin2 , cos2 %的值学5 2生会很容易看出: sin2 a =sin( a + a )=sin a cos a +cos a sin a =2Sin 以此展开新课,并由此展开联想推出其他公式.(二) 推进新课、新知探究、提出问题① 还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗? (请学生默写出来,并由一名学生到黑板默写 )② 你写的这三个公式中角 a 、B 会有特殊关系a =吗?此时公式变成什么形式? ③ 在得到的C 2a 公式中,还有其他表示形式吗? ④ 细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢?⑤ 能看出公式中角的含义吗?思考过公式成立的条件吗?⑥ 让学生填空:老师随机给出等号一边括号内的角,学生回答等号另一边括号内的角, 稍后两人为一组,做填数游戏:sin()=2sin( )cos( ), cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦ 思考过公式的逆用吗?想一想 C 2a 还有哪些变形?⑧ 请思考以下问题: sin2 a =2sin 吗? cos2 a =2cos (吗? tan2 a =2tan ?活动:问题①,学生默写完后,教师打出课件,然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式, 提醒学生注意公式中的a ,,既然可以是任意角,怎么任意的?你会有些什么样的奇妙想法呢?并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到a ,会有相等这个特殊情况,教师就此进入下一个问题, 如果学生没想到这种特殊情况,教师适当点拨进入问题②,然后找一名学生到黑板进行简化, 其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写,最后学生都不难得 出以下式子,鼓励学生尝试一下,对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间,充分 地让学生去思考、去探究,并初步地感受二倍角的意义 .同时开拓学生的思维空间,为学生将 来遇到的3a 或3 B 等角的探究附设类比联想的源泉.sin(a+p)=sinacosP+cosasinsin2a=2sir ME (S>a ); 2 2cos( a + 3 )=cos oescoSoeBSin 低 a-sin a (C a );这时教师适时地向学生指出,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦,余弦,正切公 式,并指导学生阅读教科书,确切明了二倍角的含义,以后的倍角”专指二倍角”教师适时提出问题③,点拨学生结合 Sin 2a +cosa =偲考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中 的公式.si n2a = 2s L n Q cc JSQ ( )cc)s2(x= —sin 111} COS .2Q = 2 CO S 2a — 1 讥2 tan a .|coa2a~ 1 —]-lan a这时教师点出,这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示) .倍角公式给出了 a 的三角函数与2a 的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生,这组公式用途很广,并与学生一起观察公式的特征与记忆,首先 公式左边tan(tan 二"tan : 1)=tan : taitan2:仃2.)1 - ta n :角是右边角的2倍;左边是2a的三角函数的一次式,右边是a的三角函数的二次式,即左到右T升幕缩角,右到左T降幕扩角、二倍角的正弦是单项式,余弦是多项式,正切是分式•问题⑤,因为还没有应用,对公式中的含义学生可能还理解不到位,教师要引导学生观察 思考并初步感性认识到:(I )这里的 倍角”专指 二倍角”遇到 三倍角”等名词时,三”字等不可 省去;(n )通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数;(川)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况; (W )公式(S2』,(C2a )中的角a 没有限制,都是 氏R .但公式(T2a )需在a 』k n +和aM k (k € Z )时才成立,这一条件限制要引起学生的注意•但是当2 4 2a =k n+,k € Z 时,虽然tan o 不存在,此时不能用此公式,但 tan2是存在的,故可改用诱导公式.2问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性, 即二倍角公式不仅限于 2 a 是a 的二倍的 形式,其他如4a 是2a 的二倍,?是-的二倍,3 a 是遁的二倍,?是-的二倍,—-%是一--的2 4 23 62 4 2二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式 •例女口 :sin 旦=2sin — cos — ,cos 旦=cos 2— -sin 2—等等•2 4 43 6 6问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用,这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3 a cos3 oXsin6 , 4sin — cos — = 2(2sin — cos~ )=2sin —,24 4 4 4 2厶 Ld112 2 2.------ 2 -- =tan80 ; cos 2 asin 2 a =cos4,aan2 a =2tan aa^2a 等等.1 一 tan 240问题⑧,一般情况下:sin2 aM 2sin a ,cos2 aM 2cos a ,tan2 aM 2tan a. 若 sin2 a =2sin 则,sin a cos a =2sirlfesin a =或 cos a =1此时 a =kn (€ Z ).11. 2若 cos2 a =2cos a, 2cos a-2cos -1=0,即 cos若 tan2 a =2tan 则,一 2~ =2tan 久,an a =即 a =k n €k Z ).1 -tan a解答:①一⑧(略) (三)应用示例思路1. 5 兀 兀例 1 已知 sin2 a=,一<a<,求 sin4 a ,cos4 a ,t 的值.a13 4 2活动:教师引导学生分析题目中角的关系,观察所给条件与结论的结构,注意二倍角公式的选用,领悟 倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会 倍”的深刻含义,它是描述两个数 量之间关系的.本题中的已知条件给出了2a 的正弦值.由于4a 是2 a 的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题,目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用,理解 二倍角的相对性,教师大胆放手,可让学生自己独立探究完成1 - 3 a= (cos 2舍去).JT JI JT解:由< a<—得<2 a < n.4 2 2又T sin2 a=-13’i 2••• cos2a= .. 1 -sin 2a =-5 12 120sin4 a =sin[2 x (2 a )]=2sin2 a cos2a =2 x )= ;13 13 169'25 2 119a =cos[2 X (2 -2s]=12 a =-12 X —)= ;13 129sin4a 120 169 120 a= =(- ) X = .cos4a 169 119 119点评:学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法,但要提醒学生注意 意优化问题的解答过程,使问题的解答简捷、巧妙、规范,并达到熟练掌握的程度 的基本应用是高考的热点.变式训练1.不查表,求值:sinl5c '-cosl5'3.答案:C1 sin2: - cos2二=ta n 0.1 sin2; cos2 二活动:先让学生思考一会,鼓励学生充分发挥聪明才智,战胜它,并力争一题多解.教师可点拨学生想一想,到现在为止,所学的证明三角恒等式的方法大致有几种:从复杂一端化 向简单一端;两边化简,中间碰头;化切为弦;还可以利用分析综合法解决,有时几种方法 会同时使用等.对找不到思考方向的学生,教师点出:可否再添加一种,化倍角为单角?这可否成为证明三角恒等式的一种方法?再适时引导,前面学习同角三角函数的基本关系时曾用 到“1的代换,对“ 1的妙用大家深有体会,这里可否在“1”做做文章?待学生探究解决方法后,可找几个学生到黑板书写解答过程,以便对照点评及给学生以 启发.点评13cos4tan4 ,在解题时注I _ , 2 解:原式=、.(sin 15cos15 )=.sin 215 2 sin15 cos 215点评:本题在两角和与差的学习中已经解决过,现用二倍角公式给出另外的解法, 生体会它们之间的联系,体会数学变化的魅力 让学2.(2007年咼考海南卷 ,9) …cos2a若n sin(a -才)、2,则cos a +sin 的值为 .. (7 A.21B. 27 D.一23.(2007年咼考重庆卷 ,6) F 列各式中,值为 -的是(2 A.2sin15 tos15 D.sin 215 °cos 2| :答案:B2B.cos-si n 2152C.2s in例2证明时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬;对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励•强调“ 1的妙用很妙,妙在它在三角恒等式中一旦出现,在证明过程中就会 起到至关重要的作用,在今后的证题中,万万不要忽视它 证明:方法一:22si n J cos ::: (1 1 - 2cos R22sinr COST (1 2cos v -1)2sin vcosv 1 -cos sin v COST cos sin v cos J sin 2二 = 2 sin vcosv cossinY 。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
正正
cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ⇒ cos(α + α ) = cos α cos α − sin α sin α 2 2 ⇒cos 2α = cos α − sin α sin( α + β )= sin α cos β + cos α sin β ⇒ sin( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
,4 < α < 2 的值. 求 sin 4α, 4α, tan 4α 的值. cos 例1 已知
4 ABC中 例2 在△ABC中, cos A = , tan B = 2. 5
5 sin 2α = 13
π
π
求 tan(2A+2B) 的值 的值.
变式:把例2中求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值.
总 结 归 纳
sin2α = 2sinα cosα 2 2 cos 2α = cos α − sin α
= 2 cos α − 1
2 2
= 1 − 2 sin α 2tanα tan 2α = 1− 1 − tan2 α
1、二倍角公式是和角公式的特例,体现将一般化归为特 殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式与和角、差角公式一样,反映的都是如何 用单角的三角函数值表示复角(和、差、倍)的三角函 数值,结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公 式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
= 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α 2tanα kπ π α ≠ kπ + π (k ∈Z) , α ≠ + ,且 tan 2α = 2 2 2 4 1 − tan α
课件11:3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
所以原式成立.
归纳升华 三角函数式的化简与证明 1.化简三角函数式的要求:(1)能求出值的尽量求出; (2)使三角函数的种类与项数尽量少;(3)次数尽量低.
2.证明三角恒等式的方法:(2)从复杂的一边入手,证明一边 等于另一边;(2)比较法,左边—右边=0,左 右边 边=1;(3)分析 法,即从要证明的等式出发,一步步寻找等式成立的条件.
(1)【解析】cos4 α2-sin4 α2=
cos2
α2-sin2
α2cos2
α2+sin2
α2=cos α.
【答案】cos α
(2)解:原式=cos 20°cos 40°cos 80°=
2sin
20°cos 20°cos 40°cos 2sin 20°
80°=
2sin
40°cos 4sin
40°cos 20°
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系(重点). 2.灵活运用二倍角公式及其不同变形,能正用、逆用公 式,进一步体会化归思想的应用(重点、难点).
知识提炼·梳理
三角函数
公式
简记
二倍角的正弦 sin 2α=2sin αcos α S2α cos 2α=cos2 α-sin2α=
类型 3 化简与证明 典例 3 求证:(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2A·cos 2B; (2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.
证明:(1)左边=1+cos(22A+2B)=1-cos(22A-2B)=
cos(2A+2B)+2 cos(2A-2B)=
1 2(cos°80°=
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.13 二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点一 二倍角公式的推导sin2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α;cos2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos 2α-sin 2α;tan2α=tan(α+α)=2tan α1-tan 2α(α≠π2+k π,2α≠π2+k π,k ∈Z ). cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1;cos2α=cos 2α-sin 2α=(1-sin 2α)-sin 2α=1-2sin 2α.知识点二 二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α=sin2α, sin αcos α=12sin2α, cos 2α-sin 2α=cos_2α, 2tan α1-tan 2α=tan2α. 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式 1+cos2α=2cos 2α,1-cos2α=2sin 2α,1+cos α=2cos 2α2,1-cos α=2sin 2α2.降幂公式 cos 2α=1+cos2α2,sin 2α=1-cos2α2.类型一 给角求值对于给角求值问题,一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.1.cos 2π12-sin 2π12;2.1-tan 275°tan75°;3. 12-cos 2π84. sin15°sin75°5. cos20°cos40°cos80° 6.cos π7cos 3π7cos 5π77.sin 4π12-cos 4π12 8.3tan π81-tan 2π8类型二 给值求值(1)条件求值问题常有两种解题途径:①对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;②对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论:(sin θ±cos θ)2=1±sin 2θ.1.已知cos x =34,则cos2x 等于( )2、若sin α-cos α=13,则sin2α=________.若改为sin α+cos α=13,求sin2α.3、若tan α=34,则cos 2α+2sin2α等于4、若sin(π-α)=13,且π2≤α≤π,则sin2α的值为( )5、已知α为锐角,若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=35,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α-π6=________.类型三 利用二倍角公式化简证明三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化.(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分.(3)对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.(5)利用“1”的恒等变形,如tan 45°=1,sin 2α+cos 2α=1等.1α为第三象限角,则1+cos2αcos α-1-cos2αsin α=________.2、1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ.3、4sin αcos α1+cos2α·cos 2αcos 2α-sin 2α=tan2α.。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
π,3π, (2)因为 x∈ 2 4
故 cos x=- 1-sin x=-
2
42=-3. 1- 5 5
24 7 2 sin 2x=2sin xcos x=- ,cos 2x=2cos x-1=- . 25 25
2x+π=sin 2xcosπ+cos 2xsinπ 所以 sin 3 3 3
二倍角公式与其他知识的综合问题 已知α,β∈ 程x2+3
-π,π ,tan α与tan β是方 2 2
基础梳理
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 在公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 中,令 β=α, 得到 sin 2α=________,这就是二倍角的正弦公式; 在公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 中,令 β=α, 得到 cos 2α=________,这就是二倍角的余弦公式, 其变形形式有:cos 2α=________=________;
解法二:
(sin x+cos x-1)(sin x-cos x+1)
sin 2x
(sin x+cos x-1)(sin x-cos x+1) = (sin x+cos x)2-1 (sin x+cos x-1)(sin x-cos x+1) = (sin x+cos x+1)(sin x+cos x-1)
π tan α+tan 4 π α+ = 所以 tan π 4 1-tan αtan 4 4 - +1 3 tan α+1 1 = = =- ; 4 7 1-tan α 1+ 3 4 (2)由(1), tan α=- , 3 6sin α+cos α 6tan α+1 所以 = 3sin α-2cos α 3tan α-2 -4+1 6 3 7 = = . 4 - -2 6 3 3
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
1-2sin α ; ___________
2
2tan α 1-tan2α (3)T2α:tan 2α= ___________.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.3
本 讲 栏 目 开 关
2.倍角公式常用变形 sin 2α sin 2α sin α ; cos α , (1) = _______ = ______ 2sin α 2cos α 1± sin 2α ; (2)(sin α± cos α)2= _____________ 1-cos 2α 1+cos 2α 2 2 (3)sin2α= ___________ , cos2α= ____________ ; 2α 2α 2sin 2 2cos 2 (4)1- cos α= __________,1+ cos α= ________.
2sin αcos α; cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin α sin α=cos2α-sin2α; 2tan α tan 2α=tan(α+α)= . 1-tan2α
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
本 讲 栏 目 开 关
问题2 根据同角三角函数的基本关系式 sin2α+cos2α=1, 你能否只用 sin α或cos α表示cos 2α?
3.1.3
本 讲 栏 目 开 关
π π 5 π ∵sin -x= cos +x= ,且0<x< , 4 4 4 13 π π π ∴ +x∈ , , 4 4 2 π 12 2π ∴sin +x= 1-cos +x= , 4 4 13
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
本 讲 栏 目 开 关
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 4 2sin 2 cos 2 5 12 120 2 ( ) ; 13 13 169
cos 4 1 2sin 2 2 5 2 119 1 2 ( ) ; 13 169
tan 4 sin 4 120 169 120 ( ) . cos 4 169 119 119
2 4 , 5
8 D. 25
8 : 5得, cos
7 cos 2 cos 1 . 2 25
2.已知 cos
4 ,8 12, 求 sin , cos , tan 的值. 8 5 4 4 4 3 4 3 解:由 , cos , 得sin = , 8 2 8 5 8 5 3 4 24 sin =2sin cos =2 )( ) ( = , 4 8 8 5 5 25
2.公式的逆用 例3.求下列各式的值:
(1)sin15 cos15 ;(2) cos
2
8
sin
2
8
;
tan 22.5° (3) ;(4)2 cos 2 22.5° 1. 1 tan 2 22.5°
1 1 1 解:(1)sin15°cos15°= 2sin15°cos15°= sin 30° ; 2 2 4 2 (2) cos 2 sin 2 = cos(2 ) cos ; 8 8 8 4 2 1 2 tan 22.5° tan 22.5° 1 1 2 (3) tan 45° ; 1 tan 2 22.5° 1 tan 2 22.5° 2 2
tan B 2, 2 tan B 2 2 4 tan 2B . 2 2 1 tan B 1 2 3 tan 2A tan 2B tan(2A 2B) 1 tan 2A tan 2B 24 4 44 7 3 . 24 4 还可以把 2A 2B 1 ( ) 117 7 3
课件8:3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
θ 2>0.
∴原式=sin
θ2+cos
θ2-cos
θ2-sin
2θ=2sin
θ 2.
归纳点评 (1)三角函数中常用的解题技巧——“变次”.
本题用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形:
1±sin α=(sin
α 2±cos
α2)2,
1+cos α=2cos2α2,1-cos α=2sin2α2.
(2)含有根号的式子化简,脱掉根号时要注意符号问题.
-cos π6=- 23.故选 C.
3.设 sin 2α=-sin α,α∈2π,π,则 tan 2α 的值是_____. 【解析】∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,α∈2π,π, ∴cos α=-12,sin α= 23.∴tan α=- 3,则 tan 2α= 12-tatannα2α= 3. 【答案】 3
17-15sin 2β≤4 2. 又当 β=-π4时,等号成立,所以|b+c|的最大值为 4 2.
(3)证明:由 tan αtan β=16,得4scionsβα=4scionsαβ, 所以 a∥b.
归纳点评 对向量的垂直,平等,模概念要清楚,记 忆防止混乱而出错.对三角函数的基本关系式应熟悉 掌握.
4.已知 sin π4+xsin π4-x=61,x∈π2,π,求 sin 4x, cos 4x,tan 4x 的值. 解:sin π4-x=sin[π2-π4+x]=cos π4+x, ∴2sin π4+xcos π4+x=13, 即 sin 2π4+x=31,sin π2+2x=13,
∴cos 2x=13.又 x∈π2,π,∴2x∈(π,2π),
2α,sin2α=1-c2os
2α .
3.1.3二倍角的正弦 余弦 正切公式
解:1)原式 (
(2 sin 15 cos15 ) 2 2 2 (2)原式 cos 4 2 0 (3)原式 tan 45 101 Nhomakorabea1
sin 30 1
0
4
(4)原式 cos150 0 0 0 cos(180 30 ) cos 30
3 2
例2 已知 sin 的值。 解:由
cos 4 cos 2 2 1 2 sin
2
120 12 13 13 169 5
2
119 5 2 1 2 169 13
120 120 169 tan 4 119 cos 4 169 119
课后作业
课本P151习题3 .1 A组中 第 15、16、17题,
同学们再见
4
2
5 13
,
4
2
,
cos tan 求 sin 4 , 4 , 4
2
2
2
,得
2
2
2
。又 sin
5 13
,
所以 cos 2 1 sin 2
5 1 13
12 13
于是 sin 4 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 2
(C2α ).
1 tan 因为sin2α+cos2α=1, 所以公式(C2α )可以变形为
2
tan 2
2 tan
,
(T2α ).
或
cos2α=2cos2α - 1, cos2α=1 - 2sin2α,
3_1_3二倍角的正弦、余弦、正切公式
T( )
T( )
4.化一公式(辅助角公式):
a sin x b cos x
a2
b2
sin(x
), 其中tan
cos sin
x的系数 x的系数
新课讲解
在S( )中令 =,则有
sin 2 sin( )
sin cos cos sin 2sin cos
S2 : sin 2 2sin cos
)
A.-78
7 B.8
C.-3312
31 D.32
[例 2] 已知 sinθ+cosθ= 22,0<θ<34π,求 sin2θ,cos2θ 的值.
[分析] 一般地,将sinθ±cosθ=k两边平方可产 生sin2θ,由平方关系可求cos2θ.
已知 θ 是第三象限角,且 sin4θ+cos4θ=59,那么 sin2θ 等于
T(
)
:
tan(
)
tan tan 1 tan tan
T(
)
:
tan(
)
tan tan 1 tan tan
2. 互余的两个角之间的关系:
sin cos(900 )
cos sin(900 )
tan cot(900 )
3. 六个三角函数公式之间的联系:
S( )
C( )
C( )
S( )
求tan( 2A 2B)的值.
例3. 已知tan 2 1 ,求tan的值.
3
例4. 已知tan 1 , tan 1 ,
7
3
求tan( 2 )的值.
1.(2010·全国卷Ⅱ文,3)已知 sinα=23,则 cos(π-2α)= (
)
A.-
3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式
2 tan tan 2 1 tan2
不仅“2α”是“α”,而且“α”是 的二 倍角, “4α”是“2α”的二倍角, 2 “3α”是 3 的二倍角。
2
2.二倍角的余弦公式的变形
cos2 cos sin
2 2
cos2 1 sin 2
(1 sin ) sin
含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用,解 题时要注意公式的灵活运用,在求值问题中,要注 意寻找已知与未知的联结点. 3.二倍角公式有许多变形,不要求都记忆,需要时 可直接推导.
谢谢
sin 4 sin(2 2 ) 2 sin 2 cos2 2 5 ( 12 ) 120
13 13 169
12 2 ( , ), cos 2 1 sin 2 2 13
2
5 2 119 cos 4 1 2 sin 2 1 2 ( ) 13 169 sin 4 120 169 120 tan 4 ( ) cos 4 169 119 119
3、注意:当 k (k Z )时,tan 不存在,但是 tan 22 tan(2k ) 0
ห้องสมุดไป่ตู้ 证明
sin 3 3 sin 4 sin
3
cos3 4 cos 3 cos
3
小结
1.角的倍半关系是相对而言的,
2α 是α 的两倍,
4α 是2α 的两倍, 6α 是3 α 的两倍等等,这里蕴
2
3.倍半角的转换
1 sin 2 (sin cos )
2
1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 2 sin
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水寨中学高一数学自主探究学案
内容:两倍角的正弦、余弦、正切公式 课时:1 模块:必修4 编号:3.1.3
一、学习目标
三维目标
1、知识与技能:通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
2、过程与方法:通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用,进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高分析问题、解决问题的能力.
3、情感态度与价值观:理解转化的变形,认识事物的相关性以及善于发现和勇于探索的科学精神.
重点难点
学习重点:二倍角公式推导及其应用.
学习难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程
复习导入:大家首先回顾一下两角和(差)的正弦、余弦和正切公式,
()=±βαcos
()=±βαsin
()=±βαtan
公式推导:
=+=)sin(2sin ααα =
=+=)cos(2cos ααα =
把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢?
==+ααα222sin 1cos sin 得到由 ;=α2cos ; 那么=α2cos = ;
=+=)tan(2tan ααα 。
注意:2,22k k ππαπαπ≠
+≠+ ()k z ∈
练习求值: 1、2sin15︒cos15︒= 2、2cos 222.5︒-1= 3、8sin 8cos 22π
π
- =
4、0
20
5.22tan 15.22tan 2-= 5、 12cos 24cos 48cos 48sin 8ππππ=
例题分析。
,,的值求已知例4tan ,4cos ,4sin 128548cos
1αααπαπα〈〈-=
例2在△ABC 中,cosA=
54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.
例3求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域
例4 求证:)6(sin )3cos(
cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值
例5 化简:
θ
-θ+θ-θ-+θ-θ-θ-θ+sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1
例6利用三角公式化简:sin50(13tan10)+
达标检测。
、的值求已知ααπ2cos ,5
3)sin(1=-
.tan 2sin 2sin 2的值求、αππααα),,(
,∈-=
248cos 148sin 1:30
+-+化简、
4、已知tan2α=
3
1,求tanα的值。
5、=π-ππ+π)12
5cos 125)(sin 125cos 125(sin
______; 6、=α-α2
sin 2cos 44____________________; 7、=α+-α-tan 11tan 11___________________; 8、=θ-θ+2cos cos 212
__________________.
9、若tan θ = 3,求sin2θ - cos2θ 的值。
10、已知),2(,135sin ππ∈α=
α,求sin2α,cos2α,tan2α的值。
11、已知),,2(,61)4sin()4sin(
ππααπαπ∈=-+求α4sin 的值。
12、已知21)2tan(=-β
α,3
1)2tan(-=-αβ,求)tan(βα+的值。
13、求值tan70°cos10°(3tan20°-1)。