第十二讲恒等变形乘法公式

第十二讲 恒等变形（2）乘法公式

实验班

1. (2000年重庆市初中竞赛题)(1-

212

)·(1-213)…(1-211999)(1-212000)等于( )． A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000 D ．20014000

解： 原式＝（1－12）（1＋12）（1－13）（1＋13）……（1－11999）（1＋11999）（1－12000）（1＋12000

）＝132419982000199920012001........223319991999200020004000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

2.(第13届希望杯全国数学邀请赛试题)已知a+

1a =-2,则441a a +=_________，441a a

-=______． 解：由a+1a =-2，去分母得：2a +1+2a=0，即2(a+1)=0∴a=-1因此，441a a +=2 441a a -=0

3. (山东省竞赛题) 若正整数x ，y 满足22

x y -=64，则这样的正整数对(x,y)的个数是( )．

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解：B 。由22()()6416423241688x y x y x y -=+-==⨯=⨯=⨯=⨯ 则有方程组64321681248x y x y x y x y or or or x y x y x y x y +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩

； 解之且由于x ，y 为正整数，得到1710156x x or y y ==⎧⎧⎨

⎨==⎩⎩

4. (2002年全国初中竞赛题)已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002,则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值为（ ）

A.0

B.1

C.2

D.2

解： ∵a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12( 2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac)= 12

〔(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2〕, 又a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,

∴原式=

12〔(2000-2001)2+(2001-2002) 2+(2000-2002) 2〕=12

×(1+1+4)=3

5．（2003年重庆市初中数学竞赛试题)若13x x

+=，则2421x x x ++的值为 ( )

A.10 B ．8 C ．

110 D ．18 解：D 242222111118x x x x x x x ++⎛⎫=++=+-= ⎪⎝⎭

，故原式=18

6．有10位乒乓球手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x l ，y l 顺序表示第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺序表示第二号选手胜与负的场数；……；用x 10,y 10顺次表示第十号选手胜与负的场数．

求证：22222212101210............x x x y y y +++=+++.

解：由题意知：x i +y i =9(i =1,2,…,10)且x 1+x 2+…+x 10=y 1+y 2+…+y 10.

因（21x +22x +…+210x ）-(21y +22y +…+210y )=(21x -21y )+(22x -22y )+…+(210x -210y )

=(x l + y l ) (x l - y l )+(x 2+y 2) (x 2-y 2)+…+ (x 10+ y 10)·(x 10-y 10)=9〔(x 1+x 2+…+x 10)-( y 1+y 2+…+y 10)〕=0

7．（希望杯训练题）已知a-b=4,ab+c 2

+4=0，则a+b=( )

A ．4

B ．0

C ．2

D ．-2

解：B. 将a=b+4代入ab+c 2+4=0，得到22(2)0b c ++=

8．(2001年天津市选拔赛试题) 已知222246140x y z x y z ++-+-+=则x+y+z=_____．

解：2. 由于22222224614(1)(2)(3)0x y z x y z x y z ++-+-+=-+++-=，得到1,2,3x y z ==-=

龙班

1.(第13届希望杯全国数学邀请赛试题)已知a+

1a =-2,则441a a +=_________，441a a

-=______． 解：由a+1a =-2，去分母得：2a +1+2a=0，即2(a+1)=0∴a=-1因此，441a a +=2 441a a -=0

2. (2002年全国初中竞赛题)已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002,则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值为（ ）

A.0

B.1

C.2

D.2

解： ∵a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12( 2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac)= 12

〔(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2〕, 又a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,

∴原式=

12〔(2000-2001)2+(2001-2002) 2+(2000-2002) 2〕=12

×(1+1+4)=3 3．（2003年重庆市初中数学竞赛试题)若13x x

+=，则2421x x x ++的值为 ( ) A.10 B ．8 C ．

110 D ．18 解：D 242222111118x x x x x x x ++⎛⎫=++=+-= ⎪⎝

⎭，故原式=18

4．（2002年全国初中竞赛题）设a ＜b ＜0 , a 2+b 2=2.5ab,则a b a b

+- 的值为（ ） A.1.5 B.3.5 C.2 D.3

解： ∵a 2+b 2=2.5ab, ∴(a+b)2=4.5ab (1) , (a-b)2=0.5ab (2) , ∵a0,a+b<0,a-b<0, ∴(1)0(2)

a b a b +>-得3.

5．有10位乒乓球手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x l ，y l 顺序表示第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺序表示第二号选手胜与负的场数；……；用x 10,y 10顺次表示第十号选手胜与负的场数．

求证：22222212101210............x x x y y y +++=+++.

解：由题意知：x i +y i =9(i =1,2,…,10)且x 1+x 2+…+x 10=y 1+y 2+…+y 10.

因（21x +22x +…+210x ）-(21y +22y +…+210y )=(21x -21y )+(22x -22y )+…+(210x -210y )

=(x l + y l ) (x l - y l )+(x 2+y 2) (x 2-y 2)+…+ (x 10+ y 10)·(x 10-y 10)=9〔(x 1+x 2+…+x 10)-( y 1+y 2+…+y 10)〕=0

6．（希望杯训练题）已知a-b=4,ab+c 2

+4=0，则a+b=( )

A ．4

B ．0

C ．2

D ．-2

解：B. 将a=b+4代入ab+c 2+4=0，得到22(2)0b c ++=

7．(2001年天津市选拔赛试题) 已知222

246140x y z x y z ++-+-+=则x+y+z=_____．

解：2. 由于22222224614(1)(2)(3)0x y z x y z x y z ++-+-+=-+++-=，得到1,2,3x y z ==-=