高中数学必修二(人教a版)课堂达标练：1-3-1柱体、锥体、台体的表面积与体积含解析

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人教新课标版数学高一人教A版必修二练习 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

第一章空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A 级基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底．答案：D2.如图所示，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ·2r ＝4πr2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2·2r ＝2πr 3＝2π.答案：B4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：由l ＝14×2πr ＝8得圆锥底面的半径r ＝16π≈163，所以米堆的体积V ＝14×13πr 2h ＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)．答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．2∶ 2D ．3∶ 6解析：棱锥B ′ ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32. 三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm ，4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.解析：棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2)．答案：727．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋2.则S 侧＝8＋22，S 底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S 表＝S 侧＋S 底＝11＋2 2. 答案：11＋22 三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r ，母线l ，则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝l 2－r 2＝36r 2－r 2＝35·r ＝35×157＝53，体积V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA ′＝2 cm ，底面高B ′D ′＝23cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级能力提升1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：设圆台较小底面半径为r ，较大底面半径为r 2，圆台的母线为l . 依题意r 2＝3r 1，且l ＝3，又S 侧＝π(r 1＋r 2)l ＝12πr 1. 所以12πr 1＝84π，则r 1＝7. 答案：A2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3. 设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．。

人教版数学高一-必修二(人教A)练习 1.3柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3 空间几何体的表面积与体积1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1．3.2 球的体积和表面积一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．如图L131所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( )图L131A ．πB ．2πC ．3πD ．4π2．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( ) A.π3 B.π4 C.π2D ．π 3．一个几何体的三视图如图L132所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )图L132A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π4．图L133是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( ' ) A ．1 B ．3 C.12 D.32图L133图L1345．图L134是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对7．一个空间几何体的三视图如图L135所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为( )图L135A ．64，48＋16 2B ．32，48＋16 2 C.643，32＋16 2 D.323，48＋16 2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．一个几何体的三视图及其尺寸如图L136所示，则该几何体的体积为 ________．图L136图L1379．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为________．10．如图L137所示，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则该正六棱锥的体积为________．11．已知正四棱锥V-ABCD的底面的面积为16 m2，侧棱长为 2 11 m，则它的侧面积为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)某个几何体的三视图如图L138所示(单位：m)．求：(1)该几何体的表面积(结果保留π)；(2)该几何体的体积(结果保留π)．图L13813．(13分)图L139是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形(长度单位：cm)．(1)该几何体是什么图形？(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图L1310所示)，并求它的表面积．(只需作出图形，不要求写作法)图L139图L131014．(5分)一个几何体的三视图如图L1311所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )图L1311A ．36πB ．9π C.92π D.278π 15．(15分)如图L1312所示，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2 2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成的几何体的表面积及体积．图L13121．3 空间几何体的表面积与体积1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1．3.2 球的体积和表面积1．C [解析] 设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.2．C [解析] 设内接正方体的棱长为a ，则球的直径为3a ，所以球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是4π⎝⎛⎭⎫3a 22∶6a 2＝π2. 3．B [解析] 结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2，1，则该几何的侧面积S ＝π(2×4＋1×4)＝12π.4．B [解析] 该几何体是直三棱柱，其底面三角形的面积为12×1×2＝1，高为3，所以该几何体的体积为3.5．C [解析] 该几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积S ＝2π×1×a ＋π×1×（3）2＋12＋π×12＝2πa ＋3π＝9π，所以a ＝3.6．B [解析] 由题意知球为长方体的外接球．设球的半径为R ，则(2R )2＝32＋42＋52，∴R 2＝252，∴S 球＝4πR 2＝4π×252＝50π.7．B [解析] 由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示．体积V ＝12×4×4×4＝32，表面积S ＝2×12×42＋4×(4＋4＋4 2)＝48＋16 2.8．54π [解析] 由几何体的三视图知该几何体是一个底面半径为3，高为6的圆柱，则该几何体的体积V ＝π×32×6＝54π.9．50π [解析] 因为圆锥的侧面展开图半圆的面积即为该圆锥的侧面积，且该半圆的半径即为圆锥的母线长10，所以圆锥的侧面积为12π×102＝50π.10．4 3 [解析] 由题意得正六棱锥的底面边长和高都为2，故该六棱锥的体积为13×34×22×6×2＝4 3.11．16 10 m 2 [解析] 如图所示，取AD 的中点E ，连接VE .∵正四棱锥V -ABCD 的底面的面积为16 m 2，∴AE ＝12AD ＝2 m ．在Rt △VAE 中，VE ＝VA 2－AE 2＝（2 11）2－22＝2 10(m)，∴正四棱锥V -ABCD 的侧面积为12×4×2 10×4＝16 10(m 2)．12．解：由三视图可知，该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．(1)几何体的表面积S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝(24＋π)m 2.(2)几何体的体积V ＝23＋12×43π×13＝⎝⎛⎭⎫8＋23πm 3. 13．解：(1)由三视图可知该几何体是三棱柱．(2)直观图如图所示．因为该几何体的底面是边长为4 cm 的等边三角形，高为2 cm ，所以它的表面积S 三棱柱＝2S 底＋S侧＝2×34×42＋3×4×2＝(24＋8 3)cm 2. 14．C [解析] ∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，∴底面外接圆半径r ＝ 2.由正视图中棱锥的高h ＝1，得棱锥的外接球半径R ＝⎝⎛⎭⎫122＋（2）2＝32，故该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π.15．解：易知所得的几何体是由一个圆台截去一个圆锥所得的组合体，且CE ＝DE ＝AD ＝2，BC ＝5，则S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2＝60π＋4 2π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(22＋2×5＋52)×4－13π×22×2＝1483π.。

数学人教a版必修2：1.3 第1课时柱体、锥体、台体的表面积与体积

课下能力提升(五) [学业水平达标练]题组1 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A ．27 B ．64 C ．54 D ．362．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5 D.3∶23．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．34．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．题组2 柱体、锥体、台体的体积5．若长方体的长、宽、高分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3 D ．125 cm 36．(2016·朔州高一检测)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1-ADC 的体积是( )A.16B.13C.12D ．1 7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．题组3 与三视图有关的表面积、体积问题8．(2016·广州高一检测)一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πB ．18πC ．24πD ．36π9．(2016·贵港高一检测)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π10．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.[能力提升综合练]1．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.342．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π3．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 24．(2015·邯郸高一检测)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1-AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶25．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 6．(2016·贵阳高一检测)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 7．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 8．已知一个几何体的三视图如下，试求它的表面积和体积．(单位： cm)答案 [学业水平达标练]题组1 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积1．解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.2．解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.4．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S表＝S 底＋S 侧＝6π.答案：6π题组2 柱体、锥体、台体的体积5．解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm 3. 6．解析：选A 三棱锥D 1-ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16. 7．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝3π3.答案：3π3题组3 与三视图有关的表面积、体积问题8．解析：选C 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl＋πr 2＝24π.9．解析：选B 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝34×π×12×4＝3π.10．解析：由三视图可知原几何体如图所示．所以V ＝V ABC -A 1B 1C 1－V M -ABC ＝S △ABC ·5－13S △ABC ·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24. 答案：24[能力提升综合练]1．解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V 棱柱＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 2．A ．π B ．2π C ．4π D ．8π解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.3．解析：选B 根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD ⊥底面BCD ，另两个侧面ABC ，ACD 为等边三角形，则有S 表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3.故选B.4．解析：选C 如图，三棱锥D 1-AB 1C 的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线．设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥＝4×12(2a )2×32＝23a 2，S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.5．解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.答案：26．解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为π3(102＋10×6＋62)×9π×142＝3(寸)．答案：37．解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 圆锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝⎝⎛⎭⎫61572－⎝⎛⎭⎫1572＝35·157，V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 8．解：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱，且直棱柱的某个侧面在水平面上．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1. 可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2， 2.所以此几何体的体积V ＝S 梯形·h ＝12×(1＋2)×1×1＝32(cm 3)．表面积S 表＝2S 底＋S 侧＝12×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝(7＋2)(cm 2)．。

人教A版高中数学必修二 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积同步练习1A卷

人教A版高中数学必修二 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积同步练习1A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（）【考点】2. （2分） (2019高一上·长沙月考) 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，， .若三棱锥的体积为16，则球的表面积为（）A .B .C .D .【考点】3. （2分）(2019·临川模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（）A .B .C .D .【考点】4. （2分）(2019·巢湖模拟) 在中，，，，过点作的垂线，垂足为，以为折痕将折起使点到达点处，满足平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A .B .C .D .【考点】5. （2分） (2020高三上·湖州月考) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .【考点】6. （2分）已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（）【考点】7. （2分） (2018高一上·安阳月考) 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（）A .B .C .D .【考点】8. （2分） (2015高二上·广州期末) 某几何体的三视图如图所示（均为直角边长为2的等腰直角三角形），则该几何体的表面积为（）A . 4+4B . 4+4C . 6+2D . 8【考点】二、填空题 (共2题；共2分)9. （1分）(2018·广元模拟) 如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为________．【考点】10. （1分）(2020·淮北模拟) 已知直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角的平面角为，则球的表面积等于________.【考点】三、解答题 (共3题；共25分)11. （10分） (2020高一下·牡丹江期末) 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面 .（1）求证：平面；（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.【考点】12. （5分） (2019高二上·杭州期中) 若一个球与一个圆柱的各面均相切，并设球的体积与圆柱的体积的比值为a，球的表面积与圆柱的表面积的比值为b，探求a与b的大小关系．【考点】13. （10分） (2016高一上·西安期末) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．【考点】参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共2题；共2分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：三、解答题 (共3题；共25分)答案：11-1、答案：11-2、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、答案：13-2、考点：解析：。

人教A版高一数学必修二 1-3-1 柱体、锥体、台体的表面

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍C.2倍D．2倍【答案】 D【解析】设轴截面正三角形的边长为2a，∴S底＝πa2，S侧＝πa×2a＝2πa2，∴S侧＝2S底．故选D。

2、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B.π+ C.+ D.+【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，所以表面积S=×2×+×π×12+×π×1×2=+.故选C.3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.1【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.故选A.4.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积( )A.与点E，F的位置有关B.与点Q的位置有关C.与点E，F，Q的位置都有关D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值【答案】D【解析】V A ′-EFQ =V Q-A ′EF =××EF ×AA ′×A ′D ′，所以其体积为定值，与点E ，F ，Q 的位置均无关.故选D.5、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【答案】 C【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 6、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2【答案】 B 【解析】根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD ⊥底面BCD ，另两个侧面ABC ，ACD 为等边三角形，则有S 表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3.故选B.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7、一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.【答案】 72【解析】棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2)．8．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.【答案】 83π【解析】由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.9、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是。

人教A版高中数学必修二 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积同步练习1(II)卷

人教A版高中数学必修二 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积同步练习1（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）已知球，过其球面上三点作截面，若点到该截面的距离是球半径的一半，且，，则球的表面积为（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·大理模拟) 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2 ，则此球的体积等于（）A .B .C .D .3. （2分）右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是（）A .B .C . 8D . 164. （2分）(2018·银川模拟) 等边三角形ABC的三个顶点在一个半径为1的球面上，O为球心，G为三角形ABC的中心，且．则△ABC的外接圆的面积为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 将长宽分别为和的长方形沿对角线折起，得到四面体，则四面体外接球的表面积为（）A .B .C .D .6. （2分）在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E是AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC 向上折起，使A，B重合于点P，若三棱锥P﹣CDE的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）一个平面截一个球得到截面面积为的圆面，球心到这个平面的距离是3cm，则该球的表面积是（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·普陀模拟) 如图所示的几何体，其表面积为，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A . 4B . 6C . 8D . 10二、填空题 (共2题；共2分)9. （1分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为________．10. （1分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为16π的同一球面上，则PA=________．三、解答题 (共3题；共20分)11. （10分）如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是，如图所示，俯视图是一个边长为的正方形．（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的外接球的体积．12. （5分） (2017高二上·静海期末) 如图，四棱锥的底面为正方形，⊥底面，分别是的中点， .（Ⅰ）求证∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角；（Ⅲ）求四棱锥的外接球的体积.13. （5分）已知正方体的全面积为24cm2：（1）求该正方体的内切球的体积；（2）求该正方体的外接球的体积．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共2题；共2分)9-1、10-1、三、解答题 (共3题；共20分)11-1、11-2、12-1、13-1、。

人教A版高中数学必修二1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积同步练习(I)卷

人教A版高中数学必修二 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（）A . 2B . 1C .D .2. （2分） (2017高二下·故城期末) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·黄山期末) 在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1内的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积最大值是（）A . 36B . 12C . 24D . 184. （2分）如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为，此四边形内任一点P到第i条边的距离为，若，则.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为，若,则（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·汕头模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A . 1.2B . 1.6C . 1.8D . 2.46. （2分）在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M是底面△ABC内一点，定义，其中m,n,p分别是三棱锥M-ABC，三棱锥M-PBC，三棱锥M-PCA的体积，若，且，则正实数a的最小值为（）A . 1B . 2C .D . 4二、填空题 (共4题；共4分)7. （1分） (2018高二上·长安期末) 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ ．8. （1分）已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，则此三棱柱的表面积为________．9. （1分）如图，三棱锥A-BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF=FD，若三棱锥A-BEF的体积是2，则四棱锥B-ECDF的体积为________．10. （1分） (2017高一下·穆棱期末) 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为________．三、解答题 (共3题；共30分)11. （10分） (2019高二上·安徽月考) 如图，已知等腰梯形，，，且，，垂足分别为，，将梯形沿着和翻折使得，两点重合于点 .（1）证明：平面平面 .（2）若四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.12. （10分） (2018高一下·合肥期末) 如图，四棱锥中，且底面，为棱的中点.（1）求证：直线平面；（2）当四面体的体积最大时，求四棱锥的体积.13. （10分） (2017高一上·济南月考) 如图所示，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，己知，， .（1）求证：（2）求圆柱的侧面积．参考答案一、单选题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共4题；共4分)7-1、8-1、9-1、10-1、三、解答题 (共3题；共30分)11-1、12-1、12-2、13-1、13-2、。

高一数学人教A版必修2达标训练：1-3-1柱体、锥体、台

更上一层楼基础·巩固1.两相同的正四棱锥组成如图1-3-15所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有()图1-3-15A.1个B.2个C.3个D.无穷多个思路解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D. 答案：D2.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图1-3-16所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是()图1-3-16A.4B.5C.6D.7思路解析：由题意可知该塔形的表面积S 表=2S 底+S 侧=2×22+4［22+(2)2+12+L+23-n ］ =8+4×39211])21(1[4>--n ，从而可解得ｎ的最小值为6. 答案：C3.长方体中过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,对角线的长是142,则这个长方体的体积是( )A.6B.12C.24D.48思路解析：设长方体的三条棱长为ｘ，2ｘ，3ｘ，则由长方体对角线公式可得x 2+(2x)2+(3x)2=(142)2，解之,可得ｘ=2.所以过一个顶点的三条棱长分别为2,4，6，所以V=2×4×6=48.答案：D4.如图1-3-17,在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 是A 1B 1上一点,且PB 1=1141B A ,则多面体P —BCC 1B 1的体积为( )图1-3-17 A.38 B.316 C.4 D.16 思路解析：由题意可得PB 1=14111=B A ，且PB 1⊥平面BCC 1B 1，由棱锥的体积公式得3111=-B BCC P V ×4×4×1=316. 答案：B5.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A.3∶2B.2∶1C.4∶3D.5∶3 思路解析：设圆锥的底面半径为r ，则由扇形的圆心角公式可得322ππ=l r ⇒l=3r ，所以S 侧=πrl=πr·3r=3πr 2,S 表=S 侧+S 底=3πr 2+πr 2=4πr 2.所以这个圆锥的表面积与侧面积的比是4∶3. 答案：C6.已知正四面体ABCD 的表面积为S,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H,设四面体EFGH的表面积为T,则ST 等于( ) A.91 B.94 C.41 D.31 思路解析：设正四面体的棱长为a,由E 、F 为正三角形的中心,则EF=a 31,所以91=S T . 答案：A7.如图1-3-18,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________________.图1-3-18思路解析：过上底面中心作平行于下底面的截面,将截下的几何体补到缺口处,可构成一个高为2b a +的圆柱,体积易求.答案：221r π(a+b) 8.棱台的体积为76 cm 3、高为6 cm,一个底面的面积为18 cm 2,求另一个底面的面积.思路解析：此题为棱台的体积公式的变形应用，可设所求底面面积为ｘ，代入体积公式求解可得.解：设另一个底面面积为x cm 2,则由V=h 31(''S SS S ++), 得76=31×6×(18+x+x 18). 解得x=50或x=8.检验知x=50是增根，需舍去.因此,另一个底面的面积是8 cm 2.综合·应用9.如图1-3-19，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD 与三棱锥A-EFC 的表面积分别是S 1、S 2，则必有( )图1-3-19A.S 1<S 2B.S 1>S 2C.S 1=S 2D.S 1、S 2的大小关系不能确定思路解析：连结OA 、OB 、OC 、OD,则V A —BEFD =V O-ABD +V O-ABE +V O-BEFD ,V A-EFC =V O-ADC +V O-AEC +V O-EFC ,又V A-BEFD =V A-EFC ,而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S △ABD +S △ABE +S 四边形BEFD =S △ADC +S △AEC +S △EFC .又面AEF 公共，故选C. 答案：C10.圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.思路解析：这是一个圆锥和圆柱的组合体,画出其轴截面,利用相似三角形求各元素之间的关系,再由公式可得.解旋转体的有关问题时,常常需要画出其轴截面图,将空间问题转化为平面问题来解决.解：如图,设圆柱和圆锥的底面半径分别是r 、R,则有R r R R r -=,即21=R r .∴R=2r,l=R 2. ∴22222)12(4222R r R R R r r S S ππππππ+=+∙+=圆锥表圆柱表=121214)12(422-=+=+r r .。

数学必修Ⅱ人教新课标A版1-3-1柱体-锥体-台体的表面积与体积练习-1

答案：12
7．(山东高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为________．
答案：
8．一个正四Βιβλιοθήκη 台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13cm，则其表面积为________ cm2.
答案：1 012
三、解答题
9．如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．(单位：cm)
解：由三视图知该几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．长方体的长、宽、高分别是8,4,6，圆柱的高是8，底面半径是2，
∴表面积为S＝8×4＋2×8×6＋2×4×6＋2× ×π×22＋ ×2π×2×8＝176＋20π(cm2)，
体积为V＝8×4×6＋ ×π×22×8＝192＋16π(cm3)，
故该几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.
10．已知正三棱锥VABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2 ，求该三棱锥的表面积．
解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，
且VA＝VB＝VC＝4，
课时达标检测（五）柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、选择题
1.如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是()
A. B.
C. D.
答案：C
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()
A．πB．2π
C．4πD．8π
答案：B
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()

高中数学必修二(人教A版)课堂达标练1-3-1柱体、锥体、台体的表面积与体积 Word版含解析

．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是，对角线的长是，则这个长方体的体积是( )
．．
．．
解析：设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为、、，又对角线长为，则＋()＋()＝()，解得＝.∴三条棱长分别为、、.∴长方体＝××＝.
答案：
．已知正方体的棱长为，其俯视图是一个面积为的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) ．
解析：根据正方体的俯视图及侧视图特征想象出其正视图后求面积．由于该正方体的俯视图是面积为的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为，宽为的矩形，其面积为.
答案：
．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：)，则该几何体的表面积为( )
．π ．π
．π ．π
解析：由三视图知该几何体为圆锥，底面半径＝，母线＝，∴表＝π＋π＝π.故选.
答案：
．一个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为.
解析：根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为，高为的。

【高中教育】高中数学人教A版必修二1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积达标检测.doc

第1部分 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积课时达标检测新人教A 版必修2一、选择题1. 如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C －A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80解析：选C 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为4，两底面积和为2×12×(2＋4)×4＝24，四个侧面面积为4×(4＋2＋217)＝24＋817，所以几何体的表面积为48＋817.5．设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42D ．36π＋18解析：选B 由三视图可判断此几何体是球与长方体的组合体，其体积V ＝4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋32×2＝9π2＋18. 二、填空题6.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a ，则V ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×a ＝33，所以a ＝ 3. 答案： 37．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为线段AA 1、B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．解析：因为E 点在线段AA 1上，所以S △DED 1＝12×1×1＝12.又因为F 点在线段B 1C 上，所以点F 到平面DED 1的距离为1，即h ＝1，所以VD 1－EDF ＝VF －DED 1＝13×S △DED 1×h ＝13×12×1＝16. 答案：168．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则其表面积为________．解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h ＝132－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－822＝12 (cm)，所以S侧＝4×12×(8＋18)×12＝624 (cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积为S＝624＋64＋324＝1 012(cm2)．答案：1 012 cm2三、解答题9．如图是某几何体的三视图．(1)画出它的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积和体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为3)，所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，体积为V＝π×12×2＋13×π×12×3＝2π＋33π.10．已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2 3.取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，有VD ＝VB2－BD2＝4232＝13，则S△VBC＝12×VD×BC＝12×13×23＝39，S△ABC ＝12×(23)2×32＝33，所以，三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝339＋33＝3(39＋3)．。

2019高中数学必修二人教A版练习：1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积含解析

最新中小学教案、试题、试卷
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【选题明细表】
1.已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( B ) (A) (B) (C)2π (D)4π
解析:由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为,
高为的圆锥的组合体,
其体积为2××π×()2×=π.
2.(2018·河南焦作期末)一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该圆锥的体积为( D )
(A)2π (B)π (C) (D)
解析:由题圆锥的底面周长为2π,底面半径为1,圆锥的高为,圆锥。

【精准解析】高中数学人教A版必修2一课三测：1.3.1+柱体、锥体、台体的表面积与体积+Word版含解析byde

积水深九寸，则平地降雨量是( )
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公
式 V＝1(S 上＋ S 上 S 下＋S 下)·h) 3
A．2 寸 B．3 寸
C．4 寸 D．5 寸
解析：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为 14 寸，下底面半径为 6 寸，高为 18 寸．因为积水深 9 寸，所以水面半径为1(14＋6)＝10 寸，
2
2
8．如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求 A 到平面 A1BD 的距离 d.
解析：在三棱锥 A1－ABD 中，AA1⊥平面 ABD， AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝ 2a， ∵VA1－ABD＝VA－A1BD，
∴1×1a2·a＝1×1× 2a× 3· 2a·d.
为 OE＝1AB＝2，所以 PE＝4，则 S 侧＝4×1×4×4＝32.
2
2
答案：A
知识点二
空间几何体的体积
3.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形
成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.2 2π B.4 2π
3
3
C．2 2π D．4 2π 解析：由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为 2，高为 2的圆锥的组合体，
思考感悟：
练一练 1.若长方体的长、宽、高分别为 3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 答案：B 2．圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于( ) A．72 B．42π C．67π D．72π 答案：C 3．圆柱 OO′的底面直径为 4，母线长为 6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为 ________．答案：24π 32π 4．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为 6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2. 答案：72

高一数学人教A版必修2课后导练：1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积含解析

课后导练基础达标1 圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的（）A.4倍B.3倍C. 2倍D.2倍解：设底面半径为 R ，由条件知母线长为2R ，2S 侧 =π R · 2R=2πR =2S 底. 答案： D6 2 正三棱锥的底面边长为a,高为a ，则三棱锥的侧面积等于（）63232A.aB. a423 3 23 32C.aD.2 a4解： VO=6 a ， OA= a ? 3 3 a ，6 2 36∴ V A= 1a ，21 1 3∴S 侧=·3a · a=a 2，224应选 A.答案： A3 圆锥母线长为 1，侧面睁开图的圆心角为 240 °，该圆锥体积为（） A.2 2 B. 8C.4 5D.10818181 81解：设圆锥底面半径为 R ，高为 h ，240 则 2πR=180∴R= 2，h= 14 15 ， 3931 ∴V=32πR h=45，应选C.81答案： C4 长方体的高等于 h,底面积等于 a ，过相对侧棱的截面面积等于 b ，则此长方体的侧面积等于（）A. 2 b 2 ah 2B. 2 2b 2 ah 2C. 2b 22ah 2D. b 22ah 2解：如图，由条件知AB ·BC=a ，且 AC ·h=b ，∴ A C= b，hb 2 即 AB 2+BC 2= 2 =（ AB+BC ）2-2a ，h∴AB+BC=b 22ah 2 .h∴S 侧 =2（ AB+BC ） ·h= 2 b 2 2ah 2 ，应选 C.答案： C5 直棱柱的侧面睁开图是 ________,正棱锥的侧面睁开图是一些全等的________.答案：矩形等腰三角形6 轴截面是正方形的圆柱，轴截面面积为 S ，则它的全面积是 ________.分析：设底面半径为 R ，则高为2R ，∴ 4R 2=S ，2+2 2S 3Sπ R · 2R=6πR =6π·π S.全42答案：3πS27 已知长方体中，有一个公共极点的三个面面积分别为 2,3,6，求长方体的体积 .解：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则由条件知 ab=2， ac=3， bc=6.∴（ abc ） 2=36 ，∴ V=abc=6.8 用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是 24 cm ，下底半径为 16 cm ，母线长为 48 cm ，则矩形铁皮的长边长最少是多少？解：如图，设圆台的侧面睁开图的圆心角为∠ A ′OB=α，OA=x ，由相像三角形知识得x16 ， x48 24∴x=96 ，则 α=60°，∴△ BOB ′为等边三角形 . BB ′ =OB=144 cm ，即矩形铁皮的长边长最少为144 cm.综合运用9 已知棱台的两个底面面积分别是 245 cm 2 和 80 cm 2，截得这棱台的棱锥的高为35 cm ，则这个棱台的高为（）A.20 cmB.15 cmC.10 cmD.25 cm分析：设棱台高为 h ，则截去的小棱锥的高为35-h ，由截面性质知80(35h)2 解得 h=1524535cm. 答案： B10 已知正四周体ABCD 的表面积为 S ，其四个面的中心分别为 E 、F 、G 、H ，设四周体 EFGH的表面积为 T ，则 T等于（）1 S4 C.11 A.B.D.9943分析：设正四周体 ABCD 的棱长为 a ，如下图，则 EF= 2 MN= 1 BD= 1a ，333因此T=1，选 A.S 9答案： A11 圆柱的侧面睁开图是边长为 6π和 4π的矩形，则圆柱的全面积为（）A.6 π（ 4π +3）B.8 π（ 3π +1）C.6 π（ 4π +3）或 8π（ 3π +1）D.6 π（ 4π +1）或 8π（ 3π +2）分析：圆柱的侧面积 S 侧=4π× 6π=24.π（1）以边长为 6π的边为底时， 2πR=6π， R=3，222∴S 全 =2πR +24 π=18 π +24 π.（2）以边长为 4π的边为底时， 2πR=4π， R=2，∴S 2 2 2全 =2πR +24 π=8π +24 π.选 C.答案： C拓展研究12 如图，已知正三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 的全部棱长都相等， D 是 A 1C 1 的中点，则直线 AD 与平面 B 1DC 所成角的正弦值为 _____________.分析：不如设 A 在面 B 1DC 的射影为 H ，连接 DH ，（令棱长为 a ）则∠ ADH 为 AO 与面 B 1DC 所成角 . 即 sinADH=AH，AD下边求 AH.由等体积公式易知VA B 1DCVB 1ADC，1B 1D ? AC ? A 1A2 5AH=21a.5?B 1D?DC22 5 a4 ∴sinADH=5.5 a 52答案：45。

人教A版高中必修二试题1-3-1-1柱体、锥体、台体的表面积与体积.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第1章 1.3.1.1一、选择题1．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( ) A ．6a 2 B ．12a 2 C ．18a 2D ．24a 2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×23a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2.2．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )A.3π2 B ．2π C ．πD ．4π[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，故其全面积S ＝2π×⎝⎛⎭⎫122＋2π×12×1＝3π2.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，∴S 全＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)又S 侧＝h 2＝4π2r 2，∴S 全S 侧＝1＋2π2π.[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．已知圆柱轴截面的周长l 为定值，则圆柱侧面积的最大值为( ) A.14πl 2 B.18πl 2 C.116πl 2D ．πl 2[答案] C[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高是h ，由其轴截面周长为l ，可得 4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r2，S ＝2πrh ＝πr (l －4r )．易得当r ＝l 8时，S 最大值为116πl 2.5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π[答案] B[解析]圆台的轴截面如图，设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.解得r＝2.所以S圆台侧＝π(r＋4r)·10＝100π，故选B.6．一个长方体的长、宽、高分别为3,8,9，若沿其一对面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为()A．3 B．8C．9 D．3或8或9[答案] A[解析]要使几何体的表面积不发生变化，则圆柱的两底面面积之和等于圆柱的侧面积．设圆柱的底面半径为r，则2πr2＝2πrh，即r＝h.还需检验：当h＝9时，在长为8，宽为3的面上不可能截得半径为9的孔；当h＝8时，在长为9，宽为3的面上也不可能截得半径为8的孔；当h＝3时，在长为9，宽为8的面上可以截得半径为3的孔．故正确答案为A.7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于()A. 3 B．2C．2 3 D．6[答案] D[解析]原几何体是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，则S侧＝3×2×1＝6.8．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3[答案] B[解析] 两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B. 9．一个圆台的上、下底面面积分别是π cm 2和49π cm 2，一个平行于底面的截面面积为25π cm 2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( )A ．2∶1B ．3∶1 C. 2 ∶1D. 3 ∶1[答案] A[解析] 将圆台补成圆锥形成三个小锥体，它们的底面积之比为1∶25∶49，因此高之比为1∶5∶7，所以截面与上、下底面的距离之比为4∶2即2∶1，故选A.10．四棱台的两底面分别是边长为x 和y 的正方形，各侧棱长都相等，高为z ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )A.1x ＝1y ＋1z B.1y ＝1x ＋1z C.1z ＝1x ＋1yD.1z ＝1x ＋y[答案] C[解析] 由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h ′，则根据条件得， ⎩⎨⎧4·x ＋y2·h ′＝x 2＋y 2z 2＋⎝⎛⎭⎫y －x 22＝h ′2，消去h ′得，4z 2(x ＋y )2＋(y －x )2(y ＋x )2＝(x 2＋y 2)2. ∴4z 2(x ＋y )2＝4x 2y 2， ∴z (x ＋y )＝xy ， ∴1z ＝1x ＋1y . 二、填空题11．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则轴截面面积是________．[答案]32πcm 2[解析] 设卷成圆柱的底面半径r ，母线长为l ，则S 侧＝2πrl ＝32，S 轴＝2rl ＝32π(cm 2)．12．已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，E 为棱A 1B 1上一点，则AE ＋EO 的长度的最小值是________．[答案]102a [解析] 将正方体一部分展开如图， AE ＋EO 在A 、O 、E 三点共线时取最小值． AO ＝OE ′2＋AE ′2 ＝⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2＝102a . 13．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________．[答案] 180°[解析] 由题意知，πrl ＝2πr 2 ∴l ＝2r ， ∴θ＝rl×360°＝180°.14．面积为2的菱形，绕其一边旋转一周，所得几何体的表面积是________． [答案] 8π[解析] 如图，设菱形ABCD 边长为m ，AD 边上高BE ＝h ，则mh ＝2，其表面积S ＝2πh ·m ＋2(πh ·m )＝8π.三、解答题15．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，CC 1＝1，一条绳子从A 沿着表面拉到点C 1，求绳子的最短长度．[解析] 绳子的最短长度有三种情况，如下图：图(1)是将面ABB 1A 1与A 1B 1C 1D 1展开，AC ′1＝32；图(2)是由A 经过面ABB 1A 1和BCC 1B 1到C 1，AC ′1＝26；图(3)是由A 经过面ABCD 和BCC 1B 1到C 1，AC ′1＝2 5.比较上述三种情况知，AC ′1最小为3 2.[点评] (1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线AC 1＝a 2＋b 2＋c 2是最短线路．(2)解答多面体表面上两点间最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．16．底面为正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥称作正棱锥，其侧面等腰三角形的高称作棱锥的斜高，已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm ，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的侧面积和表面积．[解析] 正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE . ∵OE ＝2cm ，∠OPE ＝30°，∴h ′＝PE ＝OEsin30°＝4cm ，因此S 侧＝12ch ′＝12×(4×4)×4＝32(cm 2)，S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．17．如图，一直角梯形ABCD 的上、下底分别为CD ＝3，AB ＝33，高AD ＝2，求以腰BC 所在直线为轴旋转一周所形成的旋转体的表面积．[解析] 由题设∠ABC ＝30°，BC ＝4，分别过A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足为M 、N ，则AM ＝332，DN ＝32，所求旋转体的表面积由三部分构成①圆锥B －AM 的侧面积S 1＝π·AM ·AB ＝27π2.②圆台MN 的侧面积S 2＝π(AM ＋DN )·AD ＝43π. ③圆锥C －DN 的侧面积S 3＝π·DN ·CD ＝32π∴S 表＝S 1＋S 2＋S 3＝(15＋43)π.18．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h ′＝22，其表面积S ＝42＋4×4×2＋⎝⎛⎭⎫12×4×22×4＝48＋16 2 cm 2.。

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1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( )
A．6 B．12
C．24 D．48
解析：设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为214，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(214)2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、4、6.∴V 长方体
＝2×4×6＝48.
答案：D
2．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )
A.
3
2
B．1
C.2＋1
2
D. 2
解析：根据正方体的俯视图及侧视图特征想象出其正视图后求面积．由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为2，宽为1的矩形，其面积为 2.
答案：D
3．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
A．12πB．18π
C．24πD．36π
解析：由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S表＝πrl ＋πr2＝24π.故选C.
答案：C
4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为
________m3.
解析：根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆
锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱．故该几何体的体积V ＝
13π×22×2＋π×12×4＝
20π3(m 3)．答案：20π3
5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为________．
解析：设底面半径为
r ，侧面积＝4π2r 2，表面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为1＋2π2π. 答案：1＋2π2π 课堂小结。