2011-2012学年北京市清华附中九年级(上)期中数学试卷

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北京市清华大学附属中学数学九年级上册期末试卷(带解析)

北京市清华大学附属中学数学九年级上册期末试卷(带解析)一、选择题1．有一组数据5，3，5，6，7，这组数据的众数为（） A ．3B ．6C ．5D ．72．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（） A ．2210x x+= B ．220x x --=C ．2320x xy -=D ．240y -=3．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒ 4．已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时，y 的值随x 的增大而增大，则实数m （） A ．m=-2B ．m>-2C ．m≥-2D ．m≤-25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．50°6．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（） A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=7．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.28．已知点O 是△ABC 的外心，作正方形OCDE ，下列说法：①点O 是△AEB 的外心；②点O 是△ADC 的外心；③点O 是△BCE 的外心；④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是（） A ．②④B ．①③C ．②③④D ．①③④9．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若26ADC ∠=︒，则B 的度数为（）A ．30B ．42︒C ．46︒D ．52︒10．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：111．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（） A ．(1,3) B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--12．抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )A ．y ＝(x+1)2+3B ．y ＝(x+1)2﹣3C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3D ．y ＝(x ﹣1)2+313．如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（25），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为（）A．（203，103）B．（163，453）C．（203，453）D．（163，43）14．已知函数2y x bx c=-++的部分图像如图所示，若0y>，则的取值范围是（）A．41x-<<B．21x-<<C．31x-<<D．31x x<->或15．如图，AB为O的切线，切点为A，连接AO BO、，BO与O交于点C，延长BO与O交于点D，连接AD，若36ABO∠=，则ADC∠的度数为( )A．54B．36C．32D．27二、填空题16．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是______cm．17．一元二次方程290x的解是__．18．圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的全面积为_______cm2.19．O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与O的位置关系是______. 20．如图，平行四边形ABCD中，60A∠=︒，32ADAB=.以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点E，以D为圆心，DE为半径画弧，交CD于点F.若用扇形ABE围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r，则12rr的值为______.21．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AEAC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．22．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ． 23．点P 在线段AB 上，且BP APAP AB=.设4AB cm =，则BP =__________cm . 24．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．25．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x ，则可列方程为______．26．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____． x … ﹣1 0 1 2 … y…343…27．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．28．某公园平面图上有一条长12cm 的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的实际长度为_____．29．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝34，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，点F 是DE 上一动点，以点F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，当FD ＝_____时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切．30．如图，二次函数y＝x（x﹣3）（0≤x≤3）的图象，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……若P（2020，m）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m＝_____．三、解答题31．某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100 m比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组．（1）甲分到A组的概率为；（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．32．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上．（1）直接写出A、B、C、D坐标；（2）点P在第四象限，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．（3）若直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值范围．33．某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次甲 9 8 8 7 乙10679（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．34．如图，转盘A 中的6个扇形的面积相等，转盘B 中的3个扇形的面积相等．分别任意转动转盘A 、B 各1次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．（1）用表格列出这样的点所有可能的坐标；（2）求这些点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上的概率． 35．如图，抛物线y ＝﹣13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求此抛物线的表达式；（2）求过B 、C 两点的直线的函数表达式；（3）点P 是第一象限内抛物线上的一个动点．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由；四、压轴题36．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x的代数式表示BQ、DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形．37．已知，如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P为AC的中点，Q从点A运动到B，点Q运动到点B停止，连接PQ，取PQ的中点O，连接OC，OB．(1)若△ABC∽△APQ，求BQ的长；(2)在整个运动过程中，点O的运动路径长_____；(3)以O为圆心，OQ长为半径作⊙O，当⊙O与AB相切时，求△COB的面积．38．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．39．已知抛物线y＝﹣14x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．40．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P为抛物线上一动点，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】根据众数的概念求解．【详解】这组数据中5出现的次数最多，出现了2次，则众数为5．故选：C ．【点睛】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．2．B解析：B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．【详解】解：A.2210x x +=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程, 故选B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．3．C解析：C 【解析】【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,∵AB是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.4．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.【详解】解：抛物线的对称轴为直线221mx m∵10a=-<,抛物线开口向下，∴当x m<时，y的值随x值的增大而增大，∵当2x<-时，y的值随x值的增大而增大，∴2m≥-，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=AC BC ，然后根据圆周角定理计算∠ADC 的度数．【详解】∵BC 的度数为50°，∴∠BOC=50°，∵半径OC ⊥AB ，∴=AC BC ，∴∠ADC=12∠BOC=25°．故选B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理． 6．D解析：D【解析】【分析】根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2，根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 7．B解析：B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：////AD BE CF ，AB DE BC EF ∴=，即1 1.23EF=，3.6∴＝，EF＝＝＝，∴++DF EF DE3.6 1.24.8故选B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．【详解】解：如图，连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，∴OA＝OC≠OD，即O不是△ADC的外心，OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，OB＝OC＝OE，即O是△BCE的外心，OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.9．D解析：D【解析】【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据平行得到∠OCB，利用圆内等腰三角形即可求解.【详解】连接CO，∵26ADC ∠=︒∴∠AOC=252ADC ∠=︒∵//OA BC∴∠OCB=∠AOC=52︒∵OC=BO ，∴B =∠OCB=52︒故选D.【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.10．B解析：B【解析】【分析】可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=3：1，∴DE ：DC=3：4，∴DE ：AB=3：4，∴S △DFE ：S △BFA =9：16．故选B ．11．A解析：A【解析】【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵2(1)3y x =-+，∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3).故答案为A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．12．D解析：D【解析】【分析】按“左加右减，上加下减”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【详解】抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位得y ＝（x ﹣1）2，再向上平移3个单位得y ＝（x ﹣1）2+3.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k （a ，b ，c 为常数，a ≠0），确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．13．C解析：C【解析】【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标．【详解】解：过O′作O′F ⊥x 轴于点F ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，∵A 的坐标为（2∴OE=2．由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，在Rt △ABE 中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，由旋转前后三角形面积相等得OB AE A'B O'F 22⋅⋅=3O'F 2⋅=，∴．在Rt △O′FB 中，由勾股定理可求83=，∴OF=820433+=．∴O′的坐标为（20,33）．故选C ．【点睛】本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式．14．C解析：C【解析】【分析】根据抛物线的对称性确定抛物线与x 轴的另一个交点为（−3，0），然后观察函数图象，找出抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量的范围即可．【详解】∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝−1，与x 轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（−3，0），∴当−3＜x ＜1时，y ＞0．故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据函数对称轴找到抛物线与x 轴的交点.15．D解析：D【解析】【分析】由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=903654AOB ∴∠=-=OD OA =OAD ODA ∠=∠∴AOB OAD ODA ∠=∠+∠27ADC ADO ∴∠=∠=故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键二、填空题16．6；【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：=5π，解得：x=6，故答案为6．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．解析：6；【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：150180xπ =5π，解得：x =6，故答案为6．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =180n Rπ （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．17．x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵∴=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一解析：x 1＝3，x 2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵290x -=∴2x =9，∴x =±3，即x 1＝3，x 2＝﹣3，故答案为x 1＝3，x 2＝﹣3．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.18．24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2．【详解】解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，∴底解析：24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2．【详解】解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，∴底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，∴侧面面积＝12×6π×5＝15π；∴底面积为＝9π，∴全面积为：15π＋9π＝24π．故答案为24π．【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．19．相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的解析：相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．解：∵⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的距离为2，∵4＞2，即：d ＜r ，∴直线L 与⊙O 的位置关系是相交．故答案为：相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d ＜r ，则直线与圆相交；若d>r ，则直线与圆相离；若d=r ，则直线与圆相切.20．1【解析】【分析】设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出的值.【详解】设AB=a ，∵∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，∵平行四边形中，，∴∠D=120解析：1【解析】【分析】设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出12r r 的值. 【详解】设AB=a ， ∵32AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，∴l 1弧长EF=12020.5360a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=602360a π⨯⨯⨯=13a π ∴12r r =12l l =1 故答案为：1.【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.21．3【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，∴＝，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题解析：3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.22．2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解析：2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为1203180π⨯=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 23．【解析】【分析】根据题意，将问题转化为解一元二次方程的求解问题即可得出答案．【详解】解：设BP=x ，则AP=4-x ，根据题意可得，，整理为：，利用求根公式解方程得：，∴，(舍去)．解析：(6-【解析】【分析】根据题意，将问题转化为解一元二次方程的求解问题即可得出答案．【详解】解：设BP=x ，则AP=4-x ，根据题意可得，444x x x -=-，整理为：212160x x -+=，利用求根公式解方程得：x 6===±，∴16x =-264x =+>(舍去)．故答案为：6-【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽化出来的一元二次方程问题，将问题转化为一元二次方程求解问题，熟记一元二次方程的求根公式是解此题的关键．24．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4，解得74m =-， 724->-， ∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，解得m =所以m =，③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，解得m=2，综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．故答案为：2或【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键． 25．3000(1+ x)2=4320【解析】【分析】设增长率为x ，则2010年绿化面积为3000（1+x ）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x ）（1+x ）m2，然后可得方程．【详解】解析：3000(1+ x)2=4320【解析】【分析】设增长率为x ，则2010年绿化面积为3000（1+x ）m 2，则2021年的绿化面积为3000（1+x ）（1+x ）m 2，然后可得方程．【详解】解：设增长率为x ，由题意得：3000（1+x ）2=4320，故答案为：3000（1+x ）2=4320．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．26．（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）解析：（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x=0+22=1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为（3，0）．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．27．80【解析】∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°−140°=40°，∴∠BOD=2∠A=80°.故答案为80.解析：80【解析】∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°−140°=40°，∴∠BOD=2∠A=80°.故答案为80.28．240m【解析】【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．【详解】设这条公路的实际长度为xcm，则：1：2000＝12：x，解得x＝24000，24000c解析：240m【解析】【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．【详解】设这条公路的实际长度为xcm，则：1：2000＝12：x，解得x＝24000，24000cm＝240m．故答案为240m．【点睛】本题考查图上距离实际距离与比例尺的关系，解题的关键是掌握比例尺＝图上距离∶实际距离．29．或【解析】【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE ＝AB＝5解析：209或145【解析】【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根据相似三角形的性质得到DF＝209；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，∴DF＝HF，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tan A＝BCAC＝34，∴AC ＝4，AB ＝5，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，∴∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，∵FH ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴FH ∥CD ，∴△EFH ∽△EDC ， ∴FH CD ＝EF DE ， ∴4DF ＝55DF ，解得：DF ＝209；如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，∵∠A ＝∠D ，∠AEH ＝∠DEC∴∠AHE ＝90°，∴点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，∴△DEC ∽△DBH ，∴DE BD ＝CD DH ， ∴57＝4DH， ∴DH ＝285， ∴DF ＝145，综上所述，当FD ＝209或145时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切，故答案为：209或145．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．30．【解析】【分析】x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），然解析：【解析】【分析】x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），然后计算自变量为2020对应的函数值即可．【详解】当y＝0时，x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，则A1（3，0），∵将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……∴OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，∴抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），把P（2020，m）代入得m＝﹣（2020﹣2019）（2020﹣2022）＝2．故答案为2．【点睛】本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律的基本解题方法.三、解答题31．（1）13；（2）13【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出甲分到A组的概率；（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.【详解】解：（1）1 3（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)＝13．【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．32．（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣32)；（2）存在，(12，﹣154)；（3）﹣15736＜t＜﹣1【解析】【分析】（1）可通过二次函数的解析式列出方程，即可求出相关点的坐标；（2）存在，先求出直线BC和直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，12x﹣32），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出点P坐标；（3）求出直线y＝13x+t经过点B时t的值，再列出当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时的方程，使根的判别式为0，求出t的值，即可写出t的取值范围．【详解】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∵D为OC的中点，∴D（0，﹣32）；（2）存在，理由如下：设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设直线BD的解析式为y＝mx﹣32，将点B（3，0）代入y＝mx﹣32，解得m＝12，∴直线BD的解析式为y＝12x﹣32，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，12x﹣32），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣12x+32，HG＝12x﹣32﹣（x﹣3）＝﹣12x+32，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，当EH＝HG＝GP时，﹣12x+32＝﹣x2+3x，解得x1＝12，x2＝3（舍去），∴点P的坐标为（12，﹣154）；（3）当直线y＝13x+t经过点B时，将点B（3，0）代入y＝13x+t，得，t＝﹣1，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程13x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个解，即x2﹣73x﹣3﹣t＝0，△＝（73）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得t＝﹣157 36，∴由图2可以看出，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：﹣15736＜t＜﹣1时．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及了求二次函数与坐标轴的交点坐标、一次函数的解析式、解一元二次方程、确定一次函数与二次函数的图像的交点个数，灵活运用一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键.33．（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，（2）推荐甲参加省比赛更合适．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．【详解】（1）甲的平均成绩是：（9+8+8+7）÷4＝8，乙的平均成绩是：（10+6+7+9）÷4＝8，（2）甲的方差是：()()()()22229-8+8-8+8-8+7-148⎡⎤⨯⎣⎦＝12，乙的方差是：()()()()2222-8+6-8+7-8+9-814⎡⎤⨯⎣⎦10＝52．所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加省比赛更合适．【点睛】本题考查了方差、算术平均数，解决本题的关键是掌握方差、算术平均数的计算公式．34．（1）见解析；（2）19【解析】【分析】（1）根据题意列表，展示出所有等可能的坐标结果；（2）由（1）可求得点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上的结果数，再根据概率公式计算即可解答．【详解】（1）根据题意列表如下：（2）由上表可知，点（1，2）、（4，2）都在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上，所以P （这些点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上）＝218＝19．【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果．35．（1）y ＝﹣13x 2+13x +4；（2）y ＝﹣x +4；（3）存在，（1，4）或（2，）．【解析】【分析】（1）将点A ，B 的坐标代入y ＝﹣13x 2+bx +c 即可；（2）先求出点C 的坐标为（0，4），设直线BC 的解析式为y ＝kx +4，再将点B （4，0）代入y ＝kx +4即可；（3）先判断存在点P ，求出AC ，BC 的长及∠OCB ＝∠OBC ＝45°，设点P 坐标为（m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4），用含m 的代数式表示出QM ，AM 的长，然后分①当AC ＝AQ 时，②当AC ＝CQ 时，③当CQ ＝AQ 时三种情况进行讨论，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可写出点P 的坐标．【详解】（1）将点A （﹣3，0），B （4，0）代入y ＝﹣13x 2+bx +c ，得，33016403b c b c --+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得，134b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴此抛物线的表达式为y ＝﹣13x 2+13x +4；。

清华九年级数学期中试卷

清华实验2012-2013学年第一学期期中质量检测九年级数学第一部分选择题一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．下列方程中肯定是一元二次方程的是 ( ) A 、02=++c bx ax B 、22123mx x x =+- C 、11=+xx D 、032)1(22=--+x x a 2．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．一条对角线平分一组对角 3．用配方法解下列方程是，配方错误的是（）A 、100)1(099222=+=-+x x x 化为 B 、46527(04722=-=--m m m 化为C 、25)4(09822=+=++x x x 化为D 、91032(024322=-=--x x x 化为4．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（） A 、3.2米 B 、4.8米 C 、5.2米 D 、5.6米6．如图，在⊿ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与⊿EBD 相似的三角形是（）A 、⊿ABCB 、⊿ADEC 、⊿DABD 、⊿BDC 7．如果小强将镖随意投中如图5所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为( ) A ．61 B ．81 C ．91 D ．1218．如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致（）9．某服装原价每件为200元，连续两次降价a%后，售价为162元，则a 的值为（）A ． 5B ． 10C ． 15D ． 2010．一个小球以15m/s 的初速度坚直向上弹出，它在空中的高度的h （m ）与时间t （s ）满足关系：2515t t h -=，小球何时能达到10m 高？（）A ．1s 或2sB ．1sC ．2sD ．无法确定11．顺次连接一个四边形的各边中点得到了一个菱形，那么原四边形不是下列中的（）A ．菱形B ．等腰梯形C ．矩形D ．对角线相等的四边形12．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点1A 处，已知OA =1AB =，则点1A 的坐标是（）．A ．（23，23）B ．（23，3）C ．（23，23） D ．（21，23）第二部分非选择题二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13．一元二次方程x x 22=的根为；14．反比例函数x y 3-=（x ＞0）的图像在第象限。

2011年北京市清华附中中考数学模拟试卷(含答案)

2011年北京市清华附中中考数学模拟试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、4的平方根是（）A、-2B、2C、±2D、42、下列计算正确的是（）A、x3+x2=x5B、x4÷x=x4C、x3•x2=x5D、（x3）2=x53、从北京教育考试院获悉，截至2010年3月5日，今年北京市中考报名确认考生人数达10.2万，与去年报考人数持平．请把10.2万用科学记数法表示应为（）A、0.102×106B、10.2×104C、1.02×105D、1.02×1044、把a3-4ab2分解因式，结果正确的是（）A、a（a+4b）（a-4b）B、a（a2-4b2）C、a（a+2b）（a-2b）D、a（a-2b）25、小明在做一道数学选择题时，经过审题，他知道在C、D四个备选答案中，只有一个是正确的，但他只能确定选项D是错误的，于是他在其它三个选项中随机选择了B，那么小明答对这道选择题的概率是（）A、B、C、D、16、若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（）A、9B、8C、6D、4A、3℃，2B、3℃，4C、4℃，2D、4℃，48、在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在对角线AC上，连接FB、FE ．当点F在AC 上运动时，设AF=x，△BEF的周长为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A、B、C、D、二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9、函数中，自变量x的取值范围是x≠-1．10、若|m-n|+（m+2）2=0，则m n的值是．11、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的度数是40度．12、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，10），点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为（0，0），（0，10）（0，2），（0，8）．三、解答题（共13小题，满分72分）13、计算：|-2 |+ -（3-π）0-14、解方程组：15、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．16、已知x=2010，y=2009，求代数式的值．17、已知正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（2，3）．（1）求正比例函数及反比例函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据图象直接写出点B的坐标及不等式的解集．18、列方程或方程组解应用题：在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？19、某市青少年健康研究中心随机抽取了本市1000名小学生和若干名中学生，对他们的视力状况进行了调查，并把调查结果绘制成如下统计图．（近视程度分为轻度、中度、高度三种）（1）求这1000名小学生患近视的百分比；（2）求本次抽查的中学生人数；（3）该市有中学生8万人，小学生10万人．分别估计该市的中学生与小学生患“中度近视”的人数．20、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，求AB的长．21、如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD 是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求DE的长．22、如图，已知正方形纸片ABCD的边长为2，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少？23、已知：抛物线y=（k-1）x2+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点．（1）求k的取值范围；（2）当k为整数，且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长？24、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．25、如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x-1，且与直线l2：相交于点P（-1，0）．（1）求直线l1、l2的解析式；（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B n，A n，…①求点B1，B2，A1，A2的坐标；②请你通过归纳得出点A n、B n的坐标；并求当动点C到达A n处时，运动的总路径的长？。

2011-2012学年度第一学期初三期中数学试题

D. (5，4)
7．如图，将△ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20°，
B 点落在 B 位置，A 点落在 A 位置，若 AC AB ，则 BAC 的度数是（）
A．50° B．60° C． 70° D．40°
8．汽车匀加速行驶路程为
s
v0t
1 2
at
2
，匀减速行驶路程为
s
v0t
1 2
at
2
，其中
设每桶食用油的售价为 x 元（ x 50 ），商店每天销售这种食用油所获得的利润为 y 元.
（1）用含有 x 的代数式分别表示出每桶油的利润与每天卖出食用油的桶数；（2）求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当每桶食用油的价格为 55 元时，可获得多少利润？（4）当每桶食用油的价格定为多少时,该商店一天销售这种食用油获得的利润最大?
）
A. 0
B. 2 C. 6
D. -2
3．将二次函数 y 2x2 的图像先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后所得到的图像
的解析式为（
）
A． y 2(x 1)2 3
B． y 2(x 1)2 3 C． y 2(x 1)2 3
D．
y 2(x 1)2 3
4．函数 y ax 2 2x 1和 y ax a （ a 是常数，且 a 0 ）在同一直角坐标系中的图
2011-2012 学年度第一学期初三期中数学试题
班姓名
学号
得分
考查内容：判别式、旋转、相似、三角函数、二次函数
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
1、如果两个相似三角形的相似比是1: 2 ，那么这两个相似三角形的周长比是（）
A． 2 :1

北京师大附中2011年11月初三数学期中试题及答案

北京师大附中2011--2012学年度第一学期期中考试初三数学试卷班级_______姓名________学号______成绩__________试题说明：1.本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2.请将全部的答案填在答题纸上.一．选择题（每小题4分，共32分）1．某商店购进一种商品，进价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --= 2. 如图，AC 是电线杆AB 的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =52°，则拉线AC 的长为( ) A.︒526sin 米 B. ︒526tan 米 C. 6·cos 52°米 D.︒526cos 米 3.已知二次函数y =k x +--2)13（的图象上有三点A (2，1y )，B (2， 2y )， C(5，3y )，则1y 、2y 、3y 的大小关系为( )A.1y >2y >3yB.2y >1y >3yC.3y >1y >2yD.3y >2y >1y 4．在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2+1不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A ．y ＝2(x －2)2+ 3 B ．y ＝2(x －2)2－1C ．y ＝2(x + 2)2－1D ．y ＝2(x + 2)2 + 35．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；③0x ≤时，y 随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tanCBE ∠的值是（）A ．247 BC ．724D ．136 8 CE ABD7.如图，AB 是⊙O 的直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （）A .到CD 的距离保持不变 B.位置不变C. 随C 点的移动而移动D. 等分 ⌒DB8.如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在⊙O cos ∠OQB 的值等于（）.A ．12B ．13C ．14D ．23二．填空题：（每小题4分，共32分）9.若3,34221+-=+-=x y x x y ，则使21y y ≤成立的x 的取值范围是________ 10.化简：|1'2332cos |)'3757sin 1(2--- ＝________ 11.下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60 乙：我站在此处看塔顶仰角为30 甲：我们的身高都是1.5m 乙：我们相距20m请你根据两位同学的对话计算塔的高度（精确到1米）是______．12.如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为______13. 在ABC ∆中，33,3,30==︒=∠AB BC A ，则______=∠B 14.有4个命题： ① 直径相等的两个圆是等圆； ② 长度相等的两条弧是等弧； ③ 圆中最大的弦是通过圆心的弦；④ 在同圆或等圆中,相等的两条弦所对的弧是等弧．其中真命题是__________________15.如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是____________16.若βα、是一元二次方程07)1(2=-+--m x m mx 的实根，且满足,10,01<<<<-βα则m 的取值范围是________北京师大附中2011--2012学年度第一学期期中考试初三数学答题纸班级_______姓名________学号______成绩__________17.计算： 30cos 330sin 206tan 45tan 345sin 22+-︒+︒18.今年北京市大规模加固中小学校舍,房山某中学教学楼的后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡度i =1:3，为防止山体滑坡，保障学生安全，学校决定不仅加固教学楼,还对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米.（结果保留根号）19. 已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于B A 、两点，若B A 、两点的横坐标分别是一元二次方程0322=--x x 的两个实数根，与y 轴交于点C （0，3），（1）求抛物线的解析式；（2）在此抛物线上求点P ，使8=∆ABP S .20.已知在四边形ABCD 中，7,33,3,90,120===︒=∠︒=∠BD BC AD ABC A （1）求AB 的长；（2）求CD 的长.班级_______姓名________学号______21.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A （0，-3）为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于点D 、E 两点．（1）如果一个二次函数图象经过B 、C 、D 三点，求这个二次函数的解析式；（2）设点P 的坐标为（m ,0）(m >5),过点P 作⊥PQ x 轴交（1）中的抛物线于点Q ，当以D C O 、、为顶点的三角形与PCQ ∆相似时，求点P 的坐标．22. 如图（1）即： ABC S △=12AB·CD ，在Rt ACD ∆中，AC CDA =sin ，A b CD sin =∴∴ABC S △=12bc·sin ∠A ． ①即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．如图（2），在∆ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD=α， ∠∵ ABC ADC BDC S S S =+△△△，由公式①，得12AC·BC·sin(α+β)= 12AC·CD·sinα+12BC·CD·sinβ，即 AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ． ② 请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC 、BC 、、、βα∠∠βα∠+∠的正弦或余弦函数表示（直接写出结果）．(1)______________________________________________________________ (2)利用这个结果计算:︒75sin =_________________________（23题7分，24、25题各8分）23. 已知A ∠是ABC ∆的一个内角,抛物线21682cos 2+-=x x A y 的顶点在x 轴上.(1)求A ∠的度数;(2) 若.31sin ,24==∆B S ABC 求:AB 边的长.班级_______姓名________学号______24. 已知：如图，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）求ABC △的面积．（2）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？25.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．北京师大附中2011--2012学年度第一学期期中考试初三数学答案17.1 18. 20320-;19. (1) y ＝-x 2+2x +3 (2) )41);4,221();4,221(321，（P P P ---+ 20. (1) 5 ;(2) 7.21. (1)2812+-=x y ;(2))0,12(P22. (1) sin （α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ． (2) 426+23. (1).90︒=∠A (2)AB=2424. (1)512)2(532292+--=t S ）；（; .51225.(1)E(3,1);F(1,2); (2)2)1(22+-=x y ; (3)存在,是55+.。

北京四中2011~2012学年度第一学期11月份考试初三数学试卷

数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级学号_________ 姓名分数__________一、选择题（每小题4分,共32分，下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的）1．下列事件是必然事件的是（）．A.随意掷两个均匀的骰子,朝上面的点数之和是6B.掷一枚硬币,正面朝上C.3个人分成两组,一定有两个人分在一组D.打开电视,正在播放动画片2．抛物线2)1(2+-=x y 可以由抛物线2x y =平移而得到,下列平移正确的是（）． A ．先向左平移1个单位,再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位,再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位,再向上平移2个单位 D ．先向右平移1个单位,再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm,母线长为50cm,则圆锥形纸帽的侧面积为（）． A ．2250cm π B ．2500cm π C ．2750cm π D ．21000cm π 4．两圆半径分别为2和3,圆心坐标分别为(1,0)和(-4,0),则两圆的位置关系是（）． A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 5．同时投掷两枚硬币,出现两枚都是正面的概率为（）． A ．41 B ．31 C ．43 D ．216．如图,在平面直角坐标系中,点P 在第一象限,⊙P 与x 轴相切与点Q,与y 轴交于M(0,2),N(0,8)两点,则点P 的坐标是（）．A ．(5,3)B ．(3,5)C ．(5,4)D ．(4,5)7．抛物线12++=kx x y 与k x x y --=2相交,有一个交点在x 轴上,则k 的值为（）．A ． 0B ． 2C ． 1-D ．418．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，6cm CD =， AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度都是1cm/s ，PQ A DCB而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共18分，每题3分）9.正六边形边长为3,则其边心距是_______cm ．10.函数)22(322≤≤--+=x x x y 最小值为 ,最大值为 . 11.如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且︒=∠40EPF ，则图中阴影部分的面积是． 12．已知二次函数c bx ax y ++=2满足(1)c b a <<； (2)0=++c b a ；(3)图象与x 轴有2个交点,且两交点间的距离小于2;则以下结论正确的有．①0<a ②0<+-c b a ③0>c ④02>-b a ⑤412<-ab三、解答题（每小题5分,本题共30分） 13．计算：30)31()2(21250--+---π． 14．用配方法解方程：032212=--x x ．15．已知,)3()1(122m x m x m y m m +-++=--当m 为何值时,是二次函数?16.如图,半径为6cm 的⊙O 中,圆心O 到弦AB 的距离OC 为3cm.试求: ⑴弦AB 的长;⑵弧AB 的长17.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象的顶点位于x 轴下方,它到x 轴的距离为4, 下面是函数x 与y 的对应值表：（1）求出二次函数的解析式；（2）将表中空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出c bx axy ++=2的图象;（4）根据图象回答:当x 为何值时,函数c bx ax y ++=2的值大于0. 18.如图,在△ABC 中,︒=∠90C ,AD 是BAC ∠的平分线,O 是AB 上一点,以OA 为半径的⊙O 经过点D.（1）求证:BC 是⊙O 的切线; （2）若BD=5,DC=3,求AC 的长.x0 2 y3- 4- 3-四.应用题(19题6分,20题5分,21题4分)19．桐桐和大诚玩纸牌游戏.下面是同一副扑克中4张扑克牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,桐桐先丛中抽出一张,大诚从剩余的3张牌中也抽出一张．桐桐说:若抽出的两张牌的数字都是偶数,你获胜;否则,我获胜.（1）请用列表(或树状图)表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）若按桐桐说的游戏规则进行游戏,这个游戏公平吗?请说明理由．20.某体育品商店在销售中发现:某种体育器材平均每天可售出20件,每件可获利40元;若售价减少1元,平均每天就可多售出2件;若想平均每天销售这种器材盈利1200元,那么每件器材应降价多少元?若想获利最大,应降价多少?21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O的位置.(保留作图痕迹,不写作法)五.解答题(本题5分)22．已知如图,正方形AEDG的两个顶点A、D都在⊙O上，AB为⊙O的直径，射线ED 与⊙O的另一个交点为C，试判断线段AC与线段BC的关系.六.综合运用(23题、25题7分，24题8分)23．已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabb kc +-22)(的值；（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根.24．已知:如图，在平面直角坐标系xoy 中,点A(2,0),点B 在第一象限且△OAB 为正三角形, △OAB 的外接圆交y 轴的正半轴于点C,过点C 的圆的切线交x 轴于点D.（1）求B、C两点的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，切EF平分四边形ABCD的周长．试探究:当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？25．已知抛物线32-+=bx ax y 交x 轴于A 、B 两点，与y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为1=x ，AB=4．（1）求二次函数32-+=bx ax y 的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，是点P 到B 、C 两点的距离之差最大？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行与x 轴的一条直线交抛物线于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径。

2011-2012第一学期期中数学试卷

北京市第七中学2011～2012学年度第一学期期中检测试卷初三数学试卷 2011.11试卷满分：120 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 二次函数2)1(2+-=x y 图象的顶点坐标是（）Ａ．(1,-2)Ｂ．(1, 2)Ｃ．(-1, 2)Ｄ．(-1, -2)2.下列命题中，正确的是（）A. 所有的矩形都相似；B. 所有的直角三角形都相似；C. 有一个角是100°的所有等腰三角形都相似；D. 有一个角是50°的所有等腰三角形都相似．3．如图，在ABC △中，DE BC ∥，且cm DE cm EC cm AE 6,5,3===，则BC 等于（） A ．10cm B ．16cmC ．12cmD ．cm 5184．将抛物线22y x =经过怎样的平移可得到抛物线22(3)4y x =++？答：（） A. 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 B. 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 C. 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位D. 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△DEF 为等边三角形，AB=DE ，点B 、C 、D 在x 轴上，点A 、E 、F 在y 轴上，下面判断正确的是（）A ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转60°得到的B ．△DEF 是△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到的 C ．△ DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到的D ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转120°得到的6. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=（）A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠7. 如图，AD ∥BC ，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4. 若在边DC 上有点P ，使△PAD 和△PBC相似，则这样的点P 存在的个数有（）个 A 1 B 2 C 3 D 48．已知b < 0时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a 的值等于．．．．（）. A. -2 B.-1 C. 2 D. 1二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）9. 二次函数++=x x y 426的最小值为_________________.10．在比例尺1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是6 cm ，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为 km.11．两个相似三角形的面积分别为62cm 和242cm ，且他们的周长的和为36cm ，则其中较小的三角形的周长为______________.12．已知：抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，顶点为M,直线CM 的解析式为3y x =-+并且线段CM 的长为__________________________.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．如图，已知△ABC 顶点的坐标分别为A （1，－1），B （4，－1），C （3，－4）．（1）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到 △AB 1C 1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的11AB C ∆,并写出点1B 的坐标：1B ____________；（2）以坐标原点O 为位似中心，在第二象限DCB A内再画一个放大的222A B C ∆，使得它与 △ABC 的位似比等于2：1 .14．已知二次函数y = x 2 -4x +3.（1）用配方法将y = x 2 - 4x +3化成y = a (x -h ) 2 +k（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x 为何值时，y >0．（4）写出当30<<x 时，直接写出相应y 的取值范围.15．二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （3，0），B （-1，0）且与y 轴交点为C （0，6）.（1）此二次函数的解析式；（2）求三角形ABC 的面积；（3）若点D 位于x 轴上方的抛物线上，当△ABD 的面积取得最大值时，求D 点的坐标.16．如图，△ABC 与△ADE 中，∠C=∠E, ∠1=∠2. 求证：DE ：BC=AE ：AC.17．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A作BC AE ⊥，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且B AFE ∠=∠．（1）求证：ADF ∆∽DEC ∆；（2）若3,33,4===AE AD AB ，求AF 的长．18．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且3=PA ，4=PB ，5=PC ．若将APB ∆绕点A 逆时针旋转后，得到CQA ∆（1）求点P 与点Q 之间的距离；（2）求APB ∠的度数．四、解答题（本题共20分，第19、20题各5分，第21题6分，第22题4分）19．用长为48m 的绳子，围成矩形场地，矩形的一边长为x m ，面积为y m 2.（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；（2）当x 为多少时，矩形面积最大，最大面积是多少.20．百货商店服装柜台在销售中发现，“乐乐”牌童装平均每天可售20件，每件赢利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存。

北京海淀区2011-2012学年度初三数学上册期

海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分.一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2.D3.A4.B5. B6. C7.D8. C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. x =0或x =4 10. 15 11. 1 12. π(2分); 32π12n + (2分)三、解答题（本题共29分,第13题～第15题各5分,第16题4分,第17题、第18题各5分）13．解法一： a=1, b=-8, c=1, …………………………1分 24600b ac ∆=-=>. …………………………2分860b x -±∆±==. …………………………3分∴ 154,15421-=+=x x . …………………………5分解法二：281x x -=-.2816116x x -+=-+. …………………………1分 2(4)15x -=. …………………………2分 415x -=±. …………………………3分 ∴154,15421-=+=x x . …………………………5分14．证明: 在△AED和△ACB中，∵∠A=∠A, ∠AED =∠C, ……………………………2分∴△AED∽△ACB. ……………………………3分∴.ABADACAE=……………………………4分∴.64 5= AE∴.310=AE……………………………5分15．（1）①(-2 ,0), (1, 0)；②8; ③增大(每空1分) ……………………………3分（2）依题意设抛物线解析式为y=a (x+2) (x-1).由点(0, -4)在函数图象上，得-4=a(0+2) (0-1). ……………………………………4分解得a =2.∴y=2 (x+2) (x-1). …………………………………………………5分即所求抛物线解析式为y=2x2+2x-4.16．（1）正确画图（1分）标出字母（1分）……………………………………2分（2）正确画图（1分），结论（1分）………………………………………………4分17．解：由题意得{220,[2(2)]4(2)(1)0.kk k k-≠∆=---+≥…………………1分由①得2k≠. ………………………………………………………2分由②得2k≤. ………………………………………………………4分∴2k<.∵k为正整数，∴1k=. ……………………………………………………5分18．解法一：由题意画树形图如下：…………………3分从树形图看出，所有可能出现的结果共有9个，这些结果出现的可能性相等，标号之和等于4的结果共有3种. ………………………………………………………4分所以P(标号之和等于4)=3193=. ………………………………………………………5分解法二：①②第二次摸球第一次摸球312321233211……………………………………3分由上表得出，所有可能出现的结果共有9个，这些结果出现的可能性相等，标号之和等于4的结果共有3种. ………………………………………………………4分所以P(标号之和等于4)=3193=. ………………………………………………………5分四、解答题（本题共21分, 第19题、第20题各5分, 第21题6分，第22题5分）19．（1）(20)(280)(20)y w x x x =-=-+- ……………………………………2分 221201600x x =-+-.（2）22(30)200y x =--+. ∵2040x ≤≤, a =-2<0,∴当30x =时，200y =最大值. ……………………………………4分答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元. ………5分20．（1）∵二次函数y 的图象与x 轴交于点 (x1, 0)和(x2, 0), ∴ 令0y =，即．………………………………………………1分∵m>0，0.解得 1x =或x = …………………………………………………………2分∵ x1 <x2，103<<-m ,∴21x =. ……………………………………………………………3分（2）由（1）1x =3x -.由1x =是方程的根，∴………5分 21．解：（1）证明：∵CE AB ⊥, ∴ 90CEB ∠=.∵ CD 平分ECB ∠, BC=BD,∴ 12∠=∠, 2D ∠=∠.∴ 1D ∠=∠. …………………………1分 ∴ CE ∥BD . ∴ 90DBA CEB ∠=∠=.∵ AB 是⊙O 的直径,∴ BD 是⊙O 的切线. ………………………………………………………2分（2）连接AC ，∵ AB 是⊙O 直径， ∴ 90ACB ∠=. ∵CE AB ⊥,可得 2CE AE EB =⋅.∴ .162==AE CE EB ………………………………………………………3分在Rt △CEB 中，∠CEB=90︒, 由勾股定理得20.BC == ……………4分∴ 20BD BC ==.∵ 1D ∠=∠, ∠EFC =∠BFD,∴ △EFC ∽△BFD. ………………………………………………………5分∴BF EFBD EC =. ∴ 101620BF BF -=. ∴ BF=10. ………………………………………………………………………6分 22．（1）画图: 图略(1分); 填空： a (1分) …………………………………2分（2）a 85(1分), a n n 1212++ （2分） ……………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（1）∵A(a, -3)在4a y x +=的图象上,∴43a a +=-. 解得1a =-. ……………………………………1分∴反比例函数的解析式为3y x =. ……………………………………2分（2）过A 作AC ⊥y 轴于C. ∵ A(-1, -3),∴ AC=1，OC=3. ∵ ∠ABO=135︒，∴ ∠ABC=45︒. 可得 BC=AC=1. ∴ OB=2.∴ B (0, -2). …………………3分由抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于B ，得c= -2.∵ a= -1,∴22y x bx =-+-. ∵ 抛物线过A(-1，-3), ∴ 123b ---=-. ∴ b=0.∴ 二次函数的解析式为22y x =--. ……………………………………4分（3）将22y x =--的图象沿x 轴翻折，得到二次函数解析式为22y x =+. ……………5分设将22y x =+的图象向右平移后的二次函数解析式为2()2y x m =-+ (m>0). ∵ 点P （x0, 6）在函数3y x =上，∴036.x =∴012x =.∴2()2y x m =-+的图象过点1(,6)2P .∴62)21(2=+-m .可得1253,22m m ==-（不合题意，舍去）. ∴ 平移后的二次函数解析式为25()22y x =-+. …………………………6分∵ a=1>0,∴ 当2521≤≤x 时，62≤≤y ; 当325≤<x 时，492≤<y . ∴ 当132x ≤≤时，26y ≤≤. ……………………………………7分∴ 平移后的二次函数y 的取值范围为 26y ≤≤.24. （1）CD=AF+BE. …………………1分（2）解：（1）中的结论仍然成立.证明：延长EA 到G ，使得AG=BE ，连结DG . ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD, AB ∥CD ，AD=BC. ∵ AE ⊥BC 于点E,∴ ∠AEB=∠AEC=90︒.∴∠AEB=∠DAG=90︒. ∴ ∠DAG=90︒. ∵ AE=AD,∴ △ABE ≌△DAG . …………………………………………………………………3分 ∴∠1=∠2, DG=AB. ∴∠GFD=90︒-∠3. ∵ DF 平分∠ADC, ∴∠3=∠4.∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180︒-∠FAD-∠3=90︒-∠3.∴∠GDF=∠GFD. ………………………………………………………………4分 ∴ DG=GF.∴ CD=GF=AF+AG= AF + BE.即 CD = AF +BE. ………………………………………………………………5分（3）a CD AF BE b =+或bCD aAF bBE =+或b b CD AF BEa a =+. …………………7分 25. 解：（1）∵ 抛物线过原点和A(0-)， ∴ 抛物线对称轴为3-=x . ∴B(3).设抛物线的解析式为23y a x =+（.∵ 抛物线经过(0, 0),∴ 0=3a+3. ∴ a=-1. ∴3)3(2++-=x y ……………………………………………1分=.322x x -- 4321GDAFC E B∵ C 为AB 的中点,A(0-)、B(3)，可得C(32) . 可得直线OC 的解析式为xy 33-=. ……………………………………………2分（2）连结OB. 依题意点E 为抛物线x x y 322--=与直线xy 33-=的交点（点E 与点O 不重合）.由2,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=--⎩，解得5,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或0,0.x y =⎧⎨=⎩（不合题意，舍）.∴ E（53） …………………………3分过E 作EF ⊥y 轴于F, 可得OF=53， ∵ OE=DE ，EF ⊥y 轴， ∴ OF=DF.∴ DO=2OF=103.∴ D(0, 10)3.∴（3）E 点的坐标为(32)或(12-). 说明：此问少一种结果扣1分.。

2022-2023学年北京市海淀区清华附中九年级(上)期中数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市海淀区清华附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45B．60C．72D．1443．（2分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+1）2＝6D．（x﹣1）2＝6 4．（2分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC 的度数为（）A．120°B．130°C．140°D．150°6．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1 7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．0＜﹣＜1D．a+b+c＜0 8．（2分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）点A（2，3）与点B关于原点对称，则B点的坐标．10．（2分）请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式．11．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝．12．（2分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是．13．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②＝；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是．三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（8分）解下列方程（1）x2﹣6x﹣16＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．18．（4分）已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．（1）根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点．（2）请在图中画出△A1B1C1．19．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB＝150°．作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB＝60°．∵A，B，M在⊙O上，∴∠AMB＝∠AOB（）（填推理的依据）．∴∠AMB＝30°．∵四边形ACBM内接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB＝180°（）（填推理的依据）．∴∠ACB＝150°．20．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：△AEB≌△ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．21．（5分）一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．22．（5分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B （﹣1，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点C的坐标；（3）设过B，C两点的直线解析式为y2＝mx+n，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．24．（5分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）．（1）当x＝50时，总利润为元；（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是；（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？25．（6分）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.750请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；（3）求h关于d的函数表达式；（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q是x轴上一点，①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个覆盖的特征点．（1）已知点C（2，3），①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆盖特征点的为；②若在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．（2）以点D（2，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围．2022-2023学年北京市海淀区清华附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．【分析】常数项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，则x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，故选：D．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤．4．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x ﹣1）2﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．5．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠BDC的度数为：180°﹣40°＝140°故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角等基本知识．6．【分析】根据二次函数的性质可以判断y1、y2、y3的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2，∴该函数开口向下，对称轴为直线x＝2，∵该函数图象上有A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）三点，|2﹣1|＜|4﹣2|＜|2+1|，∴y2＞y3＞y1，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．【分析】由抛物线的开口方向判定a的取值范围，由抛物线于y轴的交点判定c的取值范围，根据对称轴的位置即可判定的取值范围，由抛物线中，x＝1时的函数值即可判定a+b+c的取值范围．【解答】解：A、抛物线的开口向下，∴a＜0，故正确；B、抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故正确；C、抛物线的对称轴在y轴的右边，在直线x＝1的左边，∴，故正确；D、从图象可以看出，当x＝1时，对应的函数值在x轴的上方，∴a+b+c＞0，故错误．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点等与二次函数的系数之间的关系是解决此类问题的关键．8．【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；【解答】解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0②；函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0④；当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；故选：D．【点评】本题考查一元二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．【解答】解：点A（2，3）与点B关于原点对称，则B点的坐标：（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．10．【分析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，1），说明常数项c＝1．【解答】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y＝x2+x+1等，答案不唯一．故本题答案为：y＝x2+x+1等．【点评】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．11．【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．【分析】根据垂径定理，可得＝，∠OEB＝90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：连接AO，如图：由OC⊥AB，得＝，∠OEB＝90°．∴∠2＝∠3．∵∠2＝2∠1＝2×32°＝64°．∴∠3＝64°，在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠3＝90°﹣64°＝26°，故答案为：26°．【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出＝，∠OEB＝90°是解题关键，又利用了圆周角定理．13．【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，得到a＝b2，找一组满足条件的数据即可．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，∴a＝b2，当b＝2时，a＝4，故b＝2，a＝4时满足条件．故答案为：4，2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．14．【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，故答案为：x＝1或x＝3．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．15．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE，故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．16．【分析】①②正确，证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论．③错误，证明AB＝MN，可得结论．④正确，证明△OBN是等边三角形，可得结论．【解答】解：连接OM、ON，如图，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN＝90°，∵MN∥AB，∴∠CMN+∠MCD＝180°，∴∠CMN＝90°，∴四边形CMND是矩形，∴CM＝DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，∴＝，故②正确，∵OA＝OB，OD＝OD，∴AC＝BD，故①正确，当四边形MCDN是正方形时，CM＝2OC，∴OM＝OC，∴AB＝2OM＝2OC＝MN，故③错误，若M是的中点，连接BN，∴∠AOM＝∠MON＝∠BON＝60°，∵ON＝OB，∴△ONB是等边三角形，∵ND⊥OB，∴OD＝DB，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．【分析】（1）利用求根公式法求解即可；（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16＝0；∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣16，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣16）＝36+64＝100＞0，∴x＝＝＝3±5，∴x1＝8，x2＝﹣2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10，x（2x﹣5）﹣（4x﹣10）＝0，x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，则（2x﹣5）（x﹣2）＝0，∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．【分析】（1）分别作AA1、BB1的中垂线m、n，两者的交点即为所求；（2）作出点C绕点O1顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得．【解答】解：（1）如图，根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点O1，故答案为：O1．（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点是解题的关键．19．【分析】（1）根据题意补全图形；（2）根据画图过程得出△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°，根据圆周角定理得出∠AMB＝30°，再根据圆内接四边形的性质即可得解．【解答】解：（1）如图即为所求，（2）证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵A，B，M在⊙O上，∴∠AMB＝∠AOB（在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），∴∠AMB＝30°，∵四边形ACBM内接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB＝180°（圆内接四边形对角互补），∴∠ACB＝150°．故答案为：在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．20．【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质知∠DAE＝60°，AE＝AD，从而得∠EAB＝∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB ＝∠ADC＝105°可得．【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC（SAS）．（2）如图，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED＝60°，∵△EAB≌△DAC∴∠AEB＝∠ADC＝105°．∴∠BED＝45°．【点评】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键．21．【分析】先根据垂径定理求得AM、CN，然后根据勾股定理求出OM、ON的长，即可得出结论．【解答】解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．∴∠ONC＝90°．∵AB∥CD，∴∠OMA＝∠ONC＝90°．∵AB＝1.6，CD＝1.2，∴AM＝AB＝0.8，CN＝CD＝0.6，在Rt△OAM中，∵OA＝1，∴OM＝＝0.6．同理可得ON＝0.8，∴MN＝ON﹣OM＝0.2（米）．答：水面下降了0.2米．【点评】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．22．【分析】（1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；（2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可．【解答】（1）证明：Δ＝（a﹣3）2﹣4×3×（﹣a）＝（a+3）2．∵a＞0，∴（a+3）2＞0．即Δ＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）解：3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0，（3x﹣a）（x+1）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝．∵方程有一个根大于2，∴＞2．∴a＞6．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程的方法．23．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）根据图象抛物线在直线上方时x的取值范围求解．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（﹣1，3）代入y1＝x2+bx+c得，解得，∴y1＝x2+6x+8．（2）∵y1＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴抛物线顶点C的坐标为（﹣3，﹣1）．（4）如图，可得x＜﹣3或x＞﹣1时，y1＞y2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．24．【分析】（1）根据题意先求出当x＝50时的销售量，再求出利润即可；（2）每件进价是40元，销售单价为x元，则每件利润为（x﹣40）元，从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得w关于x的函数关系式；（3）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得x的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．【解答】解：（1）当x＝50时，销售量为y＝﹣2×50+140＝40（件），利润为：（50﹣40）×40＝400（元），故答案为：400；（2）由题意得：w＝y•（x﹣40）＝（﹣2x+140）（x﹣40）＝﹣2x2+220x﹣5600，∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40），故答案为：w＝﹣2x2+220x﹣5600；（3）∵y≥38，∴﹣2x+140≥38，解得：x≤51．∵w＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450，∴对称轴为x＝55，抛物线开口向下，∴当x≤55时，w随x的增大而增大，∵x≤51，∴当x＝51时，w有最大值，最大值为：﹣2×512+220×51﹣5600＝418．∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25．【分析】（1）根据对应点画图象即可；（2）由图象可得答案；（3）利用待定系数法可得关系式；（4）设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）如图，（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；（3）由图象可得，顶点（1，4），设二次函数的关系式为h＝a（d﹣1）2+4，把（2，3）代入可得a＝﹣1，所以h＝﹣（d﹣1）2+4；（4）设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，当d＝1+2＝3时，h′＝﹣4+4+m＝m，∴m≥2，答：水枪高度至少向上调整2米．【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26．【分析】（1）利用二次函数的性质结合抛物线的顶点坐标在x轴上，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）①作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，联立直线OP与抛物线的表达式成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标；②利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，分点P，Q在y轴右侧及点P，Q在y轴左侧两种情况考虑：（i）当点P，Q在y轴右侧时，由抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝x交于点（1，1），可得出当1≤3﹣n≤3时，图象G上存在点P使得∠POQ ＝45°，解不等式组即可求出n的取值范围；（ii）当点P，Q在y轴左侧时，同①可得出，抛物线y＝x2+4x+4与直线y＝﹣x交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），进而可得出当﹣1≤3﹣n≤1时，图象G上存在点P使得∠POQ＝45°，解不等式组即可求出n的取值范围．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上，∴＝0，解得：m＝2，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+4．（2）①作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，如图1所示．联立直线OP及抛物线的表达式成方程组，得：，解得：，，∴点P的坐标为（1，1）或（4，4）．②当y＝1时，x2﹣4x+4＝1，解得：x1＝1，x2＝3，∴点E的坐标为（1，1），点F的坐标为（3，1）．分两种情况考虑：（i）当点P，Q在y轴右侧时，∵抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝x交于点（1，1），∴当1≤3﹣n≤3时，图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，∴，解得：0≤n≤2；（ii）当点P，Q在y轴左侧时，同①可得出，抛物线y＝x2+4x+4与直线y＝﹣x交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），∴当﹣1≤3﹣n≤1时，图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，∴，解得：2≤n≤4．综上所述：若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，n的取值范围为0≤n≤4．【点评】本题考查了二次函数的性质、解一元一次方程、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与变换以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，找出关于m的一元一次方程；（2）①联立直线OP与抛物线的表达式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标；②分点P，Q在y轴右侧及点P，Q在y轴左侧两种情况，找出关于n的一元一次不等式组．27．【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可；（2）∠FBE的度数为45°．由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD ＝∠CDA＝∠DAB＝90°，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；（3）作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，判定△HAB≌△FAD（ASA），可得HB＝FD，AH＝AF，HF＝DE，∠H＝45°，从而可得HF与AF的数量关系，则可得线段AF与DE的数量关系．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）∠FBE＝45°．设DF与AB交于点G，如图所示：由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠EDC＝90°﹣α，∠BCE＝90°﹣2α，∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，∴∠ABE＝45°﹣α．∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°．∵∠AGD＝∠FGB，∴∠FBG＝α∴∠FBE＝∠FEB＝45°．（3）DE＝AF．证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，由（2）得∠FBE＝∠FEB＝45°．∴FB＝FE．∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，∴∠HAB＝∠FAD，∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，∴△HAB≌△FAD（ASA），∴HB＝FD，AH＝AF，∴HF＝DE，∠H＝45°．∴HF＝AF．∴DE＝AF．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质、互余关系及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．28．【分析】（1）①画出图形，根据点P为这个覆盖的一个特征点的定义判断即可．②分两种情形：m＞0，m＜0分别求解即可．（2）观察图象可知，当a＞0时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，当a＜0时，抛物线经过（0，4），对称轴x＝，当抛物线经过（2，5）或（3，5）时，抛物线满足条件，求出a的值，可得结论．【解答】解：（1）①如图1中，观察图象可知，P2，P3是△ABC的覆盖特征点．故答案为：P2，P3．②当m＞0时，结合函数图象可知符合题意．当m＜0时，由题意得：当x≥3且y≥3时，点P（x，y）为△ABC的覆盖的特征点（图中的阴影部分）．又∵点P在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上，∴当直线y＝mx+5（m≠0）过点K（3，3）时，解得：，∴结合函数图象可知，综上所述：．（2）如图3中，观察图象可知，当a＞0时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，当a＜0时，抛物线经过（0，4），对称轴x＝，当抛物线经过（2，5）或（3，5）时，抛物线满足条件，∴5＝4a﹣10a+4，解得a＝﹣，观察图象可知，当a≤﹣时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，综上所述，满足条件的a的取值范围为：a＞0或．故答案为：a＞0或．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，点P为这个覆盖的一个特征点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题。

2011-2012学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷

2011-2012 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）下列说法正确的是（）A．掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面超上是不可能事件B．随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件C．经过某市一装有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件D．某一抽奖活动中奖的概率为买100 张奖券一定会中奖2．（4 分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．（4 分）将抛物线y＝x2 平移得到抛物线y＝x2+3，则下列平移过程正确的是（）A．向上平移3 个单位B．向下平移3 个单位C．向左平移3 个单位D．向右平移3 个单位4．（4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣x+1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2﹣4x+2＝0 5．（4分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm26．（4 分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m7．（4 分）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0 8．（4分）已知O 为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C 点出发，绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）A． B．C． D．二、填空题（本题共16 分，每小题4 分）9．（4 分）方程x2﹣4x＝0 的解为．10．（4 分）如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，若∠ADC＝15°，则∠ABE＝．11．（4 分）若（x，y，z 均不为0），则的值为．12．（4 分）用两个全等的含30°角的直角三角形制作如图1 所示的两种卡片，两种卡片中扇形的半径均为1，且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30°角的顶点，按先A 后B 的顺序交替摆放A、B 两种卡片得到图2 所示的图案．若摆放这个图案共用两种卡片8 张，则这个图案中阴影部分的面积之和为；若摆放这个图案共用两种卡片（2n+1）张（n 为正整数），则这个图案中阴影部分的面积之和为．（结果保留π ）三、解答题（本题共29 分，第13 题～第15 题各5 分，第16 题4 分，第17 题、第18 题各5 分）13．（5 分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．14．（5 分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是AC、AB 边上的点，∠AED＝∠C，AB＝6，AD＝4，AC＝5，求AE 的长．15．（5 分）抛物线y＝ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…0 ﹣4 ﹣4 0 8 …（1）根据上表填空：①抛物线与x 轴的交点坐标是和；②抛物线经过点（﹣3，）；③在对称轴右侧，y 随x 增大而；（2）试确定抛物线y＝ax2+bx+c 的解析式．16．（4 分）如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点和O 点都在格点上．（1）在图1 中画出与△ABC 关于点O 对称的△A′B′C′；（2）在图2 中以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2 倍（只需画出一种即可）．17．（5 分）已知关于x 的方程（k﹣2）x2+2（k﹣2）x+k+1＝0 有两个实数根，求正整数k 的值．18．（5 分）在一个口袋中有3 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸出一个小球记下标号后放回，再随机地摸出一个小球记下标号，求两次摸出小球的标号之和等于4 的概率．四、解答题（本题共21 分，第19 题、第20 题各5 分，第21 题6 分，第22 题5 分）19．（5 分）某商店销售一种进价为20 元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？20．（5 分）已知二次函数y＝x2+（3﹣）x﹣3（m＞0）的图象与x 轴交于点（x1，0）和（x2，0），且x1＜x2．（1）求x2 的值；2 2（2）求代数式mx1 + x1 +（3﹣）x1+ x1+9 的值．21．（6 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CE⊥AB 于E，CD 平分∠ECB，交过点B 的射线于D，交AB 于F，且BC＝BD．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE＝9，CE＝12，求BF 的长．22．（5 分）已知△ABC 的面积为a，O、D 分别是边AC、BC 的中点．（1）画图：在图中将点D 绕点O 旋转180°得到点E，连接AE、CE．填空：四边形ADCE 的面积为；（2）在（1）的条件下，若F1 是AB 的中点，F2 是AF1 的中点，F3 是AF2 的中点，…，F n 是AF n﹣1 的中点（n 为大于1 的整数），则△F2CE 的面积为；△F n CE 的面积为．五、解答题（本题共22 分，第23 题7 分，第24 题7 分，第25 题8 分）23．（7 分）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣3），与y 轴交于点B．（1）试确定反比例函数的解析式；（2）若∠ABO＝135°，试确定二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，将二次函数y＝ax2+bx+c 的图象先沿x 轴翻折，再向右平移到与反比例函数的图象交于点P（x0，6）．当x0≤x≤3 时，求平移后的二次函数y 的取值范围．24．（7 分）已知在□ABCD 中，AE⊥BC 于E，DF 平分∠ADC 交线段AE 于F．（1）如图1，若AE＝AD，∠ADC＝60°，请直接写出线段CD 与AF+BE 之间所满足等量关系；（2）如图2，若AE＝AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，若AE：AD＝a：b，试探究线段CD、AF、BE 之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．25．（8 分）如图，已知抛物线经过坐标原点O 及A（，0），其顶点为B（m，3），C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一个动点（点E 与点O 不重合），点D 在y 轴上，且EO＝ED．（1）求此抛物线及直线OC 的解析式；（2）当点E 运动到抛物线上时，求BD 的长；（3）连接AD，当点E 运动到何处时，△AED 的面积为？请直接写出此时E 点的坐标．2011-2012 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）下列说法正确的是（）A．掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面超上是不可能事件B．随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件C．经过某市一装有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件D．某一抽奖活动中奖的概率为买100 张奖券一定会中奖【分析】根据已知及一定会发生的事件为必然事件．可能发生也可能不发生，是随机事件作出判断．【解答】解：A、掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面超上可能发生也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；B、随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件正确，故本选项正确；C、经过某市一装有交通信号灯的路口，遇到红灯也可能遇到绿灯，所以是随机事件，故本选项错误；D、某一抽奖活动中奖的概率为买100 张奖券一定会中奖，只是说获奖的概率是，但买100 张不一定有奖，故本选项错误．故选：B．【点评】此题考查的知识点是随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（4 分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．（4 分）将抛物线y＝x2 平移得到抛物线y＝x2+3，则下列平移过程正确的是（）A．向上平移3 个单位B．向下平移3 个单位C．向左平移3 个单位D．向右平移3 个单位【分析】根据“上加下减”的原则直接进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2 向上平移得到抛物线y＝x2+3．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．4．（4 分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣x+1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2﹣4x+2＝0 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac 的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0 的一元二次方程．【解答】解：A、△＝12﹣4×1×1＜0，无实数根；B、△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＞0，有两个不相等实数根；C、△＝62﹣4×9＝0，有两个相等实数根；D、△＝42﹣4×1×2＞0，有两个相等实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．5．（4 分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm2【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝π×2×5＝10πcm2，故选：C．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．6．（4分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．【解答】解：如图；AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC＝7m，故树的高度为7m．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．7．（4 分）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点得出c 的值，然后根据抛物线与x 轴交点的个数及x＝1 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、由二次函数的图象开口向下可得a＜0，故选项错误；B、由抛物线与y 轴交于x 轴上方可得c＞0，故选项错误；C、由抛物线与x 轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0 的根的判别式b2﹣4ac＞0，故选项错误；D、把x＝1 代入y＝ax2+bx+c得：y＝a+b+c，由函数图象可以看出x＝1 时二次函数的值为正，正确．故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，y＝a﹣b+c，然后根据图象判断其值．8．（4分）已知O 为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C 点出发，绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）A． B．C． D．【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线．【解答】解：∵C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A，∴侧面展开图BO 为扇形对称轴，连接AC 即可是最短路线，∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C 关于OA 的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO 的另一对称点，连接即可；故选：C．【点评】此题主要考查了圆锥侧面展开图以及做对称点得出最短路径，根据做对称点得出最短路径问题是中考中考查重点也是难点，同学们应重点掌握．二、填空题（本题共16 分，每小题4 分）9．（4 分）方程x2﹣4x＝0 的解为 x1＝0，x2＝4 ．【分析】x2﹣4x 提取公因式x，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．【解答】解：x2﹣4x＝0x（x﹣4）＝0 x＝0 或x﹣4＝0x1＝0，x2＝4故答案是：x1＝0，x2＝4．【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．该题运用了因式分解法．10．（4 分）如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，若∠ADC＝15°，则∠ABE＝ 15 ° ．【分析】因为△ABD 和△ACE 都是等边三角形，所以有AD＝AB，AC＝AE，又因为∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，所以∠DAC＝∠BAE，故可根据SAS 判定△ADC≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得出∠ABE 的度数．【解答】解：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，又∵∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ADC≌△ABE（SAS）．又∵∠ADC＝15°，∴∠ABE＝∠ADC＝15°．故答案为：15°．【点评】本题考查等边三角形的性质及三角形全等的判定方法，解答本题的关键是根据题意判断出△ADC≌△ABE，难度一般．11．（4 分）若（x，y，z 均不为0），则的值为 1 ．【分析】首先根据比例的等比性质与已知得出，，然后将化为：+2•﹣，再代入求值．【解答】解：已知（x，y，z 均不为0），由比例的性质得：＝＝，＝，则＝+2•﹣＝+﹣1＝1，故答案为：1．【点评】此题考查的知识点是比例的性质，关键是准确掌握其性质进行运算．12．（4 分）用两个全等的含30°角的直角三角形制作如图1 所示的两种卡片，两种卡片中扇形的半径均为1，且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30°角的顶点，按先A 后B 的顺序交替摆放A、B 两种卡片得到图2 所示的图案．若摆放这个图案共用两种卡片8 张，则这个图案中阴影部分的面积之和为π；若摆放这个图案共用两种卡片（2n+1）张（n 为正整数），则这个图案中阴影部分的面积之和为π．（结果保留π）【分析】分别求出A、B 两种扇形的面积，再求图形中A、B 两种扇形的个数，求阴影部分的面积，注意按先A 后B 的顺序交替摆放A、B 两种卡片．【解答】解：依题意，A 种图中扇形圆心角为60°，半径为1，面积为＝，B 种图中扇形圆心角为30°，半径为1，面积为＝，故图2 中阴影部分面积和为4×（+）＝π，摆放这个图案共用两种卡片（2n+1）张，需要A 种图（n+1）张，需要B 种图n 张，则这个图案中阴影部分的面积和为（n+1）×+n×＝π．故答案为：π，π．【点评】本题考查了图形的变化规律型的计算．关键是先计算每一个基本图形的面积，再确定组合中含基本图形的个数．三、解答题（本题共29 分，第13 题～第15 题各5 分，第16 题4 分，第17 题、第18 题各5 分）13．（5 分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5，∴x＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．14．（5 分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是AC、AB 边上的点，∠AED＝∠C，AB＝6，AD＝4，AC＝5，求AE 的长．【分析】利用有两角相等的三角形相似先判定△AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AE 的长．【解答】证明：在△AED 和△ACB 中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠C，∴△AED∽△ACB，∴ ，∵AB＝6，AD＝4，AC＝5，∴∴AE＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质：对应边的比相等的性质，做题时注意：边之间的对应．15．（5 分）抛物线y＝ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…0 ﹣4 ﹣4 0 8 …①抛物线与x 轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0）；②抛物线经过点（﹣3， 8 ）；③在对称轴右侧，y 随x 增大而增大；（2）试确定抛物线y＝ax2+bx+c 的解析式．【分析】（1）①由表格可知：x＝﹣2 及1 时，y 的值为0，从而确定出抛物线与x 轴的交点坐标；②由x＝﹣1 及x＝0 时的函数值y 相等，x＝﹣2 及1 时的函数值也相等，可得抛物线的对称轴为x＝﹣0.5，由函数的对称性可得x＝2 及x＝﹣3 时的函数值相等，故由x＝2 对应的函数值可得出x＝﹣3 所对应的函数值，从而得出正确答案；③由表格中y 值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧为增函数，故在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大；（2）由第一问得出抛物线与x 轴的两交点坐标（﹣2，0），（1，0），可设出抛物线的两根式方程为y＝a（x+2）（x﹣1），除去与x 轴的交点，在表格中再找出一个点坐标，代入所设的解析式即可求出a 的值，进而确定出函数解析式．【解答】解：（1）①（﹣2，0），（1，0）；②8；③增大（每空1 分）…（3 分）（2）依题意设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），由点（0，﹣4）在函数图象上，代入得﹣4＝a（0+2）（0﹣1），…（4 分）解得：a＝2．∴y＝2（x+2）（x﹣1），即所求抛物线解析式为y＝2x2+2x﹣4．…（5 分）故答案为：（﹣2，0），（1，0）；8；增大．【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，以及二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想，其中待定系数法确定函数解析式一般步骤为：设出函数解析式，把图象上点的坐标代入所设的解析式，得到方程组，求出方程组的解可得出系数的值，从而确定出函数解析式．16．（4 分）如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点和O 点都在格点上．（1）在图1 中画出与△ABC 关于点O 对称的△A′B′C′；（2）在图2 中以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2 倍（只需画出一种即可）．【分析】（1）找到A、B、C 关于点O 的对称点A′，B′，C′，连接A′，B′，C′即可；（2）分别作出三角形的对应点，扩大对应边2 倍即可得出答案．【解答】解（1）如图1 所示：（2）如图2 所示：【点评】此题考查了作图﹣﹣旋转变换和位似图形的画法，找到各点关于点O 的对称点并连接各点是解题的关键．17．（5 分）已知关于x 的方程（k﹣2）x2+2（k﹣2）x+k+1＝0 有两个实数根，求正整数k 的值．【分析】根据一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可，在解题时要注意二次项系数不能为0 即k≠2；【解答】解：由题意得：k﹣2≠0①，△＝[2（k﹣2）]2﹣4（k﹣2）（k+1）≥0②．由①得k≠2．由②得k≤2．∴k＜2．∵k 为正整数，∴k＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式以及一元一次不等式的整数解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数．18．（5 分）在一个口袋中有3 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸出一个小球记下标号后放回，再随机地摸出一个小球记下标号，求两次摸出小球的标号之和等于4 的概率．【分析】用树状图列举出所有情况，看两次摸出小球的标号之和等于4 的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：由题意画树形图如下：从树形图看出，所有可能出现的结果共有9 个，这些结果出现的可能性相等，标号之和等于4 的结果共有3 种．所以P（标号之和等于4）＝＝．【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．四、解答题（本题共21 分，第19 题、第20 题各5 分，第21 题6 分，第22 题5 分）19．（5 分）某商店销售一种进价为20 元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．【解答】解：（1）y＝w（x﹣20）＝（﹣2x+80）（x﹣20）＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）y＝﹣2（x﹣30）2+200．∵20≤x≤40，a＝﹣2＜0，∴当x＝30 时，y 最大值＝200．答：当销售单价定为每双30 元时，每天的利润最大，最大利润为200 元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．（3）由二次函数的值求出x 的值．20．（5 分）已知二次函数y＝x2+（3﹣）x﹣3（m＞0）的图象与x 轴交于点（x1，0）和（x2，0），且x1＜x2．1 1 1 1 1（1）求 x 2 的值；22（2）求代数式 mx 1 +x 1 +（3﹣ ）x 1+x 1+9 的值．【分析】（1）令 y ＝0，得到关于 x 的一元二次方程x 2+（3﹣）x ﹣3＝0，再利用因式分解法解二元一次方程即可求出两交点的坐标，然后根据 x 1＜x 2 即可得解；（2）根据（1）的结论，先整理得到 x 2+（3﹣）x ＝3，再把 x 的值代入进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵二次函数 y ＝x 2+（3﹣ ）x ﹣3 （m ＞0）的图象与 x 轴交于点（x 1，0）和（x 2，0）， ∴令 y ＝0，即x 2+（3﹣）x ﹣3＝0，（x +3）（x ﹣1）＝0，∵m ＞0， ∴＞0，解得 x ＝1 或 x ＝﹣，∵x 1＜x 2，﹣＜0＜1，∴x 2＝1；（2）由（1）x 1＝﹣，得 x 1＝﹣3，∵x 1＝﹣是方程 x 2+（3﹣ ）x ﹣3＝0 的根，∴x 2+（3﹣）x ＝3，222∴mx 1 + x 1 +（3﹣ ）x 1+6 x 1+9＝mx 1 +3+6 x 1+9，＝m •（﹣）2+3+6 ×（﹣）+9，＝9+3﹣18+9，＝21﹣18，＝3．【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，通常令 y ＝0，求关于 x 的二元一次方程得到交点，（2）题先利用方程的概念把代数式化简然后再代入 x 1 的值进行计算更加简便．21．（6 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CE ⊥AB 于 E ，CD 平分∠ECB ，交过点B 的射线于D，交AB 于F，且BC＝BD．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE＝9，CE＝12，求BF 的长．【分析】（1）要证明BD 是⊙O 的切线，由已知条件转化为证明∠DBA＝90°即可；（2）连接AC，利用三角形相似求出BE 的值，由勾股定理求出BC 的值，由已知条件再证明△EFC∽△BFD，相似三角形的性质利用：对应边的比值相等即可求出BF 的长．【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°．∵CD 平分∠ECB，BC＝BD，∴∠1＝∠2，∠2＝∠D．∴∠1＝∠D，∴CE∥BD，∴∠DBA＝∠CEB＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：连接AC，∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB＝90°．∵CE⊥AB，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵∠A+∠ABC＝90°，∠A+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∴△ACE∽△CBE，∴＝，即CE2＝AE•EB，∵AE＝9，CE＝12，∴EB＝16，在Rt△CEB 中，∠CEB＝90，由勾股定理得BC＝20，∴BD＝BC＝20，∵∠1＝∠D，∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴＝，即∴BF＝10．【点评】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形判定和相似三角形的性质以及勾股定理的运用，题目综合性很强，难度不大．22．（5 分）已知△ABC 的面积为a，O、D 分别是边AC、BC 的中点．（1）画图：在图中将点D 绕点O 旋转180°得到点E，连接AE、CE．填空：四边形ADCE 的面积为 a ；（2）在（1）的条件下，若F1 是AB 的中点，F2 是AF1 的中点，F3 是AF2 的中点，…，F n 是AF n﹣1 的中点（n 为大于1 的整数），则△F2CE 的面积为 a ；△F n CE 的面积为 a ．【分析】（1）根据平行四边形的判定的平行四边形ADCE，推出AE＝CD，AD＝CE，根据SSS 证△ADC 和△CEA 全等，即可求出答案；（2）设△ABC 边AB 上的高是h，则AB×h＝a，求出DE∥AB，推出△EAF2 的边AF2 上的高和△BCF2 上的边BF2 上的高相等，都是h，根据△F2CE 的面积为：S△ABD+S 四边形ADCE﹣﹣，代入求出即可；求出BF1＝AB，AF1＝AB，BF2＝AB，AF2＝AB，BF3＝AB，AF3＝AB，根据线段的结果推出BF n＝AB，AF n＝AB，根据△F n CE 的面积为S△ABD+S 四边形ADCE﹣﹣，代入求出即可．【解答】（1）解：如图：∵AO＝OC，DO＝OE，∴四边形ADCE 是平行四边形，∴AE＝DC，CE＝AD，在△ADC 和△CEA 中，∴△ADC≌△CEA，∴S△ADC＝S△CEA＝a，∴四边形ADCE 的面积是a+a＝a，故答案为：a．（2）解：过C 作CM⊥AB 于M，设△ABC 边AB 上的高是CM＝h，则AB×h＝a，∵BD＝DC，AO＝CO，∴DE∥AB，∴△EAF2 的边AF2 上的高和△BAD 上的边BF2 上的高相等，都是h，∴△F2CE 的面积为：S△ABD+S 四边形ADCE﹣﹣，＝a+a﹣×AB×h﹣×AB×h═a，∵BF1＝AB，AF1＝AB，BF2＝AB，AF2＝AB，BF3＝AB，AF3＝AB，…∴BF n＝AB，AF n＝AB，∴；△F n CE 的面积为S△ABD+S 四边形ADCE﹣﹣，＝a+a﹣×AB×h﹣×AB×h，＝a+a﹣a﹣a，＝a．故答案为：a，a．【点评】本题考查了三角形的面积，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的应用，关键是根据线段的结果得出BF n，AF n 的长，本题有一定的难度，对学生提出了较高的要求，主要培养学生的观察能力和总结规律的能力．五、解答题（本题共22 分，第23 题7 分，第24 题7 分，第25 题8 分）23．（7 分）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣3），与y 轴交于点B．（1）试确定反比例函数的解析式；（2）若∠ABO＝135°，试确定二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，将二次函数y＝ax2+bx+c 的图象先沿x 轴翻折，再向右平移到与反比例函数的图象交于点P（x0，6）．当x0≤x≤3 时，求平移后的二次函数y 的取值范围．【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式，然后解方程求出a 的值，代入反比例函数解析式整理即可；（2）过点A 作AC⊥y 轴于C，根据∠ABO＝135°求出∠ABC＝45°，再根据等角对等边的性质得到BC＝AC＝1，然后求出OB 的长度，从而可得点B 的坐标，再把点A 的坐标代入二次函数解析式求出b 的值，从而得到二次函数的解析式；（3）先求出翻折平移后的二次函数解析式，再把点P 的坐标代入反比例函数解析式求出点P 的坐标，然后把点P 的坐标代入并求出二次函数解析式，然后根据二次函数图象的增减性分段求出y 的取值范围，从而得解．【解答】解：（1）∵A（a，﹣3）在y＝的图象上，∴＝﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝＝，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）过A 作AC⊥y 轴于C．∵A（﹣1，﹣3），∴AC＝1，OC＝3，∵∠ABO＝135°∴∠ABC＝45°，可得BC＝AC＝1，∴OB＝2，∴B（0，﹣2），由抛物线y＝ax2+bx+c 与y 轴交于B，得c＝﹣2．∵a＝﹣1，∴y＝﹣x2+bx﹣2，∵抛物线过A（﹣1，﹣3），∴﹣1﹣b﹣2＝﹣3，∴b＝0，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2；（3）将y＝﹣x2﹣2 的图象沿x 轴翻折，得到二次函数解析式为y＝x2+2，设将y＝x2+2 的图象向右平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣m）2+2（m＞0），∵点P（x0，6）在函数y＝上，∴6＝，解得x0＝，∴y＝（x﹣m）2+2 的图象过点P（，6），∴（﹣m）2+2＝6，解得m1＝，m2＝﹣，（不合题意，舍去），∴平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣）2+2，∵a＝1＞0，∴①当≤x≤时，2≤y≤6，②当＜x≤3 时，2＜y≤，∴当≤x≤3 时，2≤y≤6，∴平移后的二次函数y 的取值范围为2≤y≤6．【点评】本题是对反比例函数的综合考查，主要有待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，函数图象的平移，以及二次函数图象的增减性，综合性较强，难度较大，特别是第（3）小题，求出点P 的坐标是解题的关键．24．（7 分）已知在□ABCD 中，AE⊥BC 于E，DF 平分∠ADC 交线段AE 于F．（1）如图1，若AE＝AD，∠ADC＝60°，请直接写出线段CD 与AF+BE 之间所满足等量关系；。

北京清华大学附属中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

北京清华大学附属中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且ABE 为等边三角形．（1）如图①，当点P 在A 的右侧时，请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是，AP 与EC 的数量关系是．（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P 在A 的左侧时，若△PBC 的面积为934，求线段AC 的长．2．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值；②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、9,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.3．如图，抛物线26y ax x c =-+交x 轴于, A B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-+经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接,AC AP ，判定APC △的形状，并说明理由；（3）在直线BC 上是否存在点M ，使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．定义：对于二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠，我们称函数221()1111()222ax bx c x m y ax bx c x m ⎧++-≥⎪=⎨---+<⎪⎩为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如：2y x 的m 分函数为221()11()2x x m y x x m ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩．设二次函数244y x mx m =-+的m 分函数的图象为G ．（1）直接写出图象G 对应的函数关系式．（2）当1m =时，求图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标．（3）当图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，求m 的取值范围．（4）当0m >，图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时，直接写出m 的取值范围．5．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标．（3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．6．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为cm(0662)x x <≤+，两张纸条重叠部分的面积为2cm s ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．7．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点，与x 轴相交于点F ，直线132y x =+与抛物线交于()()2266A B -，，，两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点E 是线段OC 上的一个动点(不与端点重合)，过点E 作//EG BC 交BF 于点C ，连接DE DG ，．（1）求抛物线的解析式及点F 的坐标；（2）当DEG ∆的面积最大时，求线段EF 的长；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点()4H n ，和点P ，使EHP ∆为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．8．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线221y x x =-+-的顶点A 在x 轴上，交y 轴于B ，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x 轴交于,C D ，顶点为()1,4E ．（1）求点B 的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点M 在原抛物线上，平移后的对应点为N ，若OM ON =，求点M 的坐标；（3）如图2，直线CB 与平移后的抛物线交于F ．在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以,,C F P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E ，F 分别在边BC ，AB 上，AF ＝BE ＝2，连结DE ，DF ，动点M 在EF 上从点E 向终点F 匀速运动，同时，动点N 在射线CD 上从点C 沿CD 方向匀速运动，当点M 运动到EF 的中点时，点N 恰好与点D 重合，点M 到达终点时，M ，N 同时停止运动．（1）求EF 的长．（2）设CN ＝x ，EM ＝y ，求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围．（3）连结MN ，当MN 与△DEF 的一边平行时，求CN 的长．12．（问题发现）（1）如图①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由15．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝32-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC =，23BC =，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点,A C 在x 轴的负半轴上（点C 在点A 的右侧），顶点B 在第二象限，将ABC ∆沿AB 所在的直线翻折，点C 落在点D 位置（1）若点C 坐标为()1,0-时，求点D 的坐标；（2）若点B 和点D 在同一个反比例函数的图象上，求点C 坐标；（3）如图2，将四边形BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形1111B C A D ，过点1D 的反比例函数(0)k y k x=≠的图象与CB 的延长线交于点E ，则在平移过程中，是否存在这样的k ，使得以点1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点11,,D B E 在同一条直线上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由18．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC 是“近直角三角形”，∠B ＞90°，∠C ＝50°，则∠A ＝度；（2）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4．若BD 是∠ABC 的平分线， ①求证：△BDC 是“近直角三角形”；②在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得△BCE 也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为AC 边上一点，以BD 为直径的圆交BC 于点E ，连结AE 交BD 于点F ，若△BCD 为“近直角三角形”，且AB ＝5，AF ＝3，求tan ∠C 的值．19．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与33y x =-平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标；（3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．①试求点N 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数关系式；②直接写出N 点的运动轨迹长度为．20．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(3,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．点D 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ．设点D 的横坐标为(04)m m <<．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）线段DE的长用含m的式子表示为；（3）以DE为边作矩形DEFC，使点F在x轴负半轴上、点G在第三象限的抛物线上．①如图2，当矩形DEFC成为正方形时，求m的值；②如图3，当点O恰好是线段EF的中点时，连接FD，FC．试探究坐标平面内是否存在全等？若存在，直接写出点P的坐一点P，使以P，C，F为顶点的三角形与FCD标；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题671．（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；（3）过点C作CD⊥m于D，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，∴3293，∴PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，∵m∥n，∴∠CAD＝∠AEB＝60°，∴AD＝12AC＝t，CD33，∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，∴t 37（负值舍去），∴AC＝2t 67．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．2．（1）1；（2）①22-；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2- 当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：m=2综上所述：m=2m=2m=2 ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小，∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432．当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为12-，当x=2时，有最大值，最大值y=72．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 与y 轴交点纵坐标为1， ∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x 2+4x+n 经过点（0，1）， ∴n=1．如图4所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．3．（1）265y x x =-+；（2）APC △的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍的点，且坐标为M 1（1317,66），M 2（236，76）．【解析】【分析】（1）先根据直线5y x =-+经过点,B C ，即可确定B 、C 的坐标，然后用带定系数法解答即可；（2）先求出A 、B 的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB 为等腰三角形；再结合OB=OC 得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定APC △的形状；（3）作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M1，AC 于E ；然后说明△ANB 为等腰直角三角形，进而确定N 的坐标；再求出AC 的解析式，进而确定M 1E 的解析式；然后联立直线BC 和M 1E 的解析式即可求得M 1的坐标；在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，利用中点坐标公式即可确定点M 2的坐标【详解】解：（1）∵直线5y x =-+经过点,B C ∴当x=0时，可得y=5，即C 的坐标为（0,5）当y=0时，可得x=5，即B 的坐标为（5,0）∴2250600565a c a c⎧=⋅-⨯+⎨=-⨯+⎩解得15a c =⎧⎨=⎩ ∴该抛物线的解析式为265y x x =-+ （2）APC △的为直角三角形，理由如下： ∵解方程265x x -+=0，则x 1=1，x 2=5 ∴A （1,0），B （5,0）∵抛物线265y x x =-+的对称轴l 为x=3 ∴△APB 为等腰三角形∵C 的坐标为（5,0）, B 的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴APC △的为直角三角形；（3）如图：作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M1，AC 于E ， ∵M 1A=M 1C ， ∴∠ACM 1=∠CAM 1 ∴∠AM 1B=2∠ACB ∵△ANB 为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N （3，2）设AC 的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0)∴500k bk b =⋅+⎧⎨=+⎩解得b=5，k=-5∴AC 的函数解析式为y=-5x+5设EM 1的函数解析式为y=15x+n ∵点E 的坐标为（15,22） ∴52=15×12+n ，解得：n=125∴EM 1的函数解析式为y=15x+125 ∵511255y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴M 1的坐标为（1317,66）；在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2 设M 2（a ，-a+5）则有：3=1362a+，解得a=236∴-a+5=76∴M 2的坐标为（236，76）．综上，存在使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍的点，且坐标为M 1（1317,66），M 2（236，76）．【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．4．（1）22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪=⎨-+-+<⎪⎩（2）图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）当13m <或12m =或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点（4m <<，14m <<．【解析】【分析】（1）根据分函数的定义直角写成关系式即可；（2）将m=1代入（1）所得的分函数可得2243(1)121(1)2x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，然后分11x -≤<和14x ≤≤两种情况分别求出最高点和最低点的坐标，最后比较最大值和最小值即可解答；（3）由于图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，则可令对应二元一次方程的根的判别式等于0，即可确定m 的取值；同时发现无论m 取何实数、该函数的图象与x 轴总有交点，再令x=m 代入原函数解析式，求出m 的值，据此求出m 的取值范围；（4）先令2441x mx m m -+-=或-m①，利用根的判别式小于零确定求出m 的取值范围，然后再令x=m 代入2441x mx m m -+-=或-m②，然后再令判别式小于零求出m 的取值范围，令x=m 代入212212x mx m m -+-+=或-m③，令判别式小于零求出m 的范围，然后取①②③两两的共同部分即为m 的取值范围．【详解】（1）图象G 对应的函数关系式为22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪=⎨-+-+<⎪⎩（2）当1m =时，图象G 对应的函数关系式为2243(1)121(1)2x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩．当11x -≤<时，将21212y x x =-+-配方，得21(2)12y x =--+．所以函数值y 随自变量x 的增大而增大，此时函数有最小值，无最大值．所以当1x =-时，函数值y 取得最小值，最小值为72y =-．所以最低点的坐标为71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．当14x ≤≤时，将243y xx =-+配方，得2(2)1y x =--．所以当2x =时，函数值y 取得最小值，最小值为1y =- 所以当4x =时，函数值y 取得最大值，最大值为3y = 所以最低点的坐标为(2,1)-，最高点的坐标为(4,3)所以，图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（3）当x m ≥时，令0y =，则24410x mx m -+-=2(4)4(41)m m ∆=-- 24(21)m =-所以无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有交点．所以当12m =时，图象G 在12x ≥的部分与x 轴只有一个交点．当x m =时，222441341y m m m m m =-+-=-+-．令0y =，则23410m m -+-=．解得113m =，21m =．所以当13m <或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点．综上所述，当13m <或12m =或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点．（4）当2441x mx m m -+-=即24310x mx m -+-=， △=()()22443116124m m m m --=-+＞0，方∵212416452<0-⨯⨯=-， ∴m 不存在；当2441x mx m m -+-=-即24510x mx m -+-=， △=()()22445116204m m m m --=-+＜0，解得14＜m ＜1；① 将x=m 代入2441>x mx m m -+-得-3m 2+3m-1＞0，因△=()()234133<0-⨯--=-则m 不存在；将x=-m 代入2441>x mx m m -+-得-3m 2+5m-1＞0，解得m 或m ；②将x=m 代入212212x mx m m -+-+=得 221023<m m -+，解得33m <或m <③ 将x=m 代入212212x mx m m -+-+=-得 21=023m m -+，因△=23145<02-⨯=-故m 不存在；在①②③m <14m <<，即为图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时的m 的取值范围．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了新定义函数的定义、二次函数最值和二次函数图像，正确运用二次函数图像的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．5．（1）2134y x x =-++；（2）（32，0）；（3）①见解析；②CM=1或CM=1+【解析】【分析】（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m 的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由PC =EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长．【详解】（1）∵点()6,0C在抛物线上，∴103664b c =-⨯++，得到6=9b c +，又∵对称轴2x =， ∴2122()4b b x a =-=-=⨯-，解得1b =， ∴3c =，∴二次函数的解析式为2134y x x =-++；（2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：∵抛物线的解析式为2134y x x =-++，对称轴为2x =，()6,0C∴点A （2，0），顶点B （2，4）， ∴AB=AC=4，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠1=45°；∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ， ∴FM=CM ，∠2=∠1=45°，设点M 的坐标为（m ，0）， ∴点F （m ，6-m ），又∵∠2=45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°， ∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ，直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，∵直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，整理得：213204x m +-=，∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=32，点M 的坐标为（32，0）．当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2134y x x =-++不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为（32，0）．（3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵2PC 2）知∠BCA=45°， ∴PG=GC=1， ∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ， ∴EM=PM ，∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°， ∴∠HEM=∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ）， ∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1，∴点H （m-1，0），∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；∴EA=22(12)(50)m m --+--=221634m m -+，又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0）， ∴点D （4，2），∴ED=22(14)(52)m m --+--=221634m m -+， ∴EA= ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ． ②当点E 在（1）所求的抛物线2134y x x =-++上时，把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0，解得：m=523+m=523-， ∴CM =231或CM =123+．【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．6．（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3）221(06)2618(662)1[(62)]2(6262)22(62)x x x x s x x x ⎧<⎪⎪-<⎪=⎨⎪--++<+⎪⎪=-⎩，s 的最大值为2362cm ．【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点B 、D 作BE CD ⊥于点E 、DF CB ⊥于点F ，再根据纸条的特点证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分06x <≤、662x <、62<662x <+和x=662+四种情况分别求出s 与x 的函数关系式，然后再求最大值即可．【详解】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）证明：分别过点B 、D 作BE CD ⊥于点E 、DF CB ⊥于点F ， ∴90BEC DFC ∠=∠=︒ ∵两张纸条等宽， ∴6BE DF ==．在BCE 和DCF 中45BCE DCF ∠=∠=︒， ∴2266=62BC DC ==+， ∵两张纸条都是矩形，， ∴//AB CB //BC AD ． ∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵BC DC =， ∴四边形ABCD 是菱形；（3）Ⅰ、如图：当06x <≤时，重叠部分为三角形，如图所示， ∴212S x =， ∴018S <．最大值为218cm ．Ⅱ、如图：当662x <时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为cm x ，上底为(6)cm x -，∴()1666182S x x x =+-⋅=-，当62x =时，s 取最大值2(36218)cm -．Ⅲ、当62662x <<+时，重叠部分为五边形，2211=626(662)[(662)]36222S S S x x -=⨯-+-=--++五边形菱形三角形．此时36218362S -<<五边形．Ⅳ、当662x =+时，重叠部分为菱形， ∴2362cm S =菱形．∴221(06)2618(662)1[(6626x x x x s x x x ⎧<⎪⎪-<⎪=⎨⎪--++<+⎪⎪=-⎩ ∴s 的最大值为2．【点睛】本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键． 7．（1）抛物线的解析式为21142y x x =-，点F 的坐标为()20，；（2）4EF =；（3）点P 的坐标为()()()466121456---，，，，，或()22.-，【解析】【分析】（1）因为抛物线经过原点，A,B 点，利用待定系数法求得抛物物线的解析式，再令y=0，求得与x 轴的交点F 点的坐标。

清华附中版九年级数学上册期末复习卷(含答案) 精选试题及答案

北师大版九年级数学上册期末复习卷（时间90分钟满分120分）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．如图放置的几何体的左视图是( )2．用配方法解一元二次方程x 2＋4x －3＝0时，原方程可变形为( ) A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x ＋2)2＝7 C ．(x ＋2)2＝13 D ．(x ＋2)2＝193．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则点E 的坐标为( )A ．(2，0) B.⎝⎛⎭⎫32，32 C ．(2，2) D ．(2，2)4．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米(如图)，然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为( )A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米 5．若反比例y ＝2k －1x的图象经过第一、三象限，则k 的取值范围是( ) A ．k>12B ．k<12C ．k≥12D ．k≤126. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD BD ＝53，CF ＝6，则DE 的长为( )A．6 B．8 C．10 D．127．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC等于()A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶48．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB的中点，折叠该纸片使点C落在点C′处，且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的度数为()A．30° B．40° C．45° D．60°9．如图，A，B两点在反比例函数y＝k1x的图象上，C，D两点在反比例函数y＝k2x的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是()A．6 B．4 C．3 D．210．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH·PC.其中正确的是()A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④11．写出一个两实根之和为－5的一元二次方程，它可以是_______________．12. 将抛物线y＝x2－2x＋3沿y轴向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为_________________ .13．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________________________________________．14．)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是__________．15．已知三角形纸片(△ABC)中，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线AC上，记为点B′，折痕为EF.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是________．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，则AP的长为__ __．17．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E.若双曲线y＝32x(x>0)经过点D，则OB·BE的值为_______.18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF ⊥BD于点F，则PE＋PF的值为__ __．19．(8分) 如图，画出下图中物体的三视图．20．(8分) 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.21．(8分) 在一个不透明的布袋里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除所标数字外其他完全相同，小明从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率；(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，y满足xy ＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．22．(10分) 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售．销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．如果这批旅游纪念品共获利1 250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？23．(10分) 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点 F.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长．24．(10分) 如图，一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝mx的图象交于A，B两点．(1)求一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝mx的表达式；(2)观察图象，当y1＜y2时，x的取值范围为________________；(3)求△OAB的面积．25．(12分) 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是边AD上的点，且AE＝EF＝FD，连接BE，BF，使它们分别与AO相交于点G，H.(1)求EG∶BG的值；(2)求证：AG＝OG；(3)设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a∶b∶c的值．参考答案1-5CBCAA 6-10CDCDC 11. x 2＋5x －1＝0 12. y ＝(x －1)2＋4 13.k ＞12且k≠114.13 15．4或401316. 4.8 17. 3 18. 2.419. 解：如图所示。

2011-2012年海淀初三第一学期期中各科试卷答案汇总2

题号
答案
题号
答案
题号
答案
题号
答案
17
6×107
18
机械（动）
19
内
20
长度 Βιβλιοθήκη 21 4000 22
0.3A
答图5
2F
GA+G动
=2.1×107J ---------- 1分
38．解: （1）匀速提升物体A时滑轮组的机械效率
---------------------------------- 2分
23
10：9
（说明：22题不写单位扣1分。）
答图1
F
答图2
A1
A2
L1
L2
S
四、实验与探究题（共34分。24～32、34～35每题2分，33题4分，36题3分，37题5分）
（3）断开开关S，调节电阻箱R2的阻值。闭合开关S，用电流表A测量通过电阻箱R2的电流I2；断开开关S，将电流表接在干路上，闭合开关S，用电流表A测量通过干路的电流I，将I、I2的测量数据记录在实验数据记录表中。 ……（1分）
（4）仿照步骤（3），再做4次实验，并分别将各次的I 、I2测量数据记录在实验数据记录表中。………………（1分）
物理
一、单项选择题（每题2分，共24分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
D
C
A
A
D
B

北京教院附中初三数学期中试卷2011-2012上

）
A． m 1 4
B． m 1 4
C． m 1 且 m 0 4
D． m 1 且 m 0 4
10. 如图为二次函数 y ax2 bx c 的图象，此图象与 x 轴的交
y
点坐标分别为（ 1, 0 ）、（ 3，0） .下列说法正确的个数是
（
）
① ac 0
五、解答题（本题共 19 分，第 31 题 6 分，第 32 题 6 分，第 33 题 7 分）
31．(1)略(2)26cm 32.(1)(3,-18) (2) (1, 2)(7, 2)(3 2 5, 2)
33. (1) (k 2)2 4 (2) m 6, n 2, k 5, y x2 5x 3
C． y 2(x 1)2 3
D． y 2(x 1)2 3
8．抛物线 C1 ： y x2 1与抛物线 C2 关于 x 轴对称，则抛物线 C2 的解析式为（
）
A. y x2
B. y x2 1
C. y x2 1
D. y x2 1
9．已知二次函数 y m2 x2 (2m 1)x 1 的图像与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是（
A1,
A2 ,
A3 , ,
A2008
在
y
轴的正
半轴上，点
B1, B2 ,
B3,, B2008
在二次函数
y
2 3
x2
位于第一象限的图象上，若△A0B1C1，
△A1B2C2，△A2B3C3，…△A2007B2008C2009 都为正三角形，则△ A0 B1 A1 的边长=
,
△ A B 2007 2008 A2008 的边长=
6．在△ABC 中，O 为外心，∠A=92°，则∠BOC 的度数为：（

北京清华大学附属中学九年级上册期中试卷检测题

北京清华大学附属中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0．（1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】（1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0， ∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2， ∵m 2≥0， ∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2， ∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±，∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0， x +3=0或x ﹣4=0， ∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，， ∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：；（3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-，代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．3．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A 型空气净化器和B 型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B 型空气净化器的进货量不少于A 型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A 型空气净化器的净化能力为300 m 3/小时，B 型空气净化器的净化能力为200 m 3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m ２，室内墙高3 m ．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A 型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A 型空气净化器的利润为200元，每台B 型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.4．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．【答案】（1）k＝3．（2）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t）•3t＝﹣3 2t2+34t．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣1）•3t＝3t2﹣3t．（3）直线PQ的解析式为y＝﹣3x+53．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝223AB OA-=∴k＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO＝OBOA= ∴∠BAO ＝60°， ∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°， ∴∠AQP ＝30°， ∴AQ ＝2AP ＝2t ，当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t）•2t＝﹣2t 2+4t ．当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1＝2．（3）∵OQ +AB（BQ ﹣OP ）， ∴2t ﹣1+2∴2t +121t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7， ∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P （12，2），Q （5，0），设直线PQ 的解析式为y ＝kx+b ，则有12250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为33y x =-+．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1236 25SS时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+23E'B的最小值．【答案】（1）抛物线y ＝﹣34 x 2+94 x +3，直线AB 解析式为y ＝﹣34x +3；（2）P （2，32）；（3）4103 【解析】【分析】（1）由题意令y ＝0，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出a ，根据待定系数法可以确定直线AB 解析式；（2）根据题意由△PNM ∽△ANE ，推出65PN AN =，以此列出方程求解即可解决问题；（3）根据题意在y 轴上取一点M 使得OM′＝43，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+23E′B 的最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2﹣3mx+n （m≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），则有330n m m n ⎧⎨⎩++＝＝，解得433m n ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴抛物线239344y x x =-++，令y ＝0，得到239344x x -++＝0，解得：x ＝4或﹣1， ∴A （4，0），B （0，3），设直线AB 解析式为y ＝kx+b ，则340b k b +⎧⎨⎩＝＝，解得334k b ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线AB 解析式为y ＝34-x+3．（2）如图1中，设P （m ，239344m m -++），则E （m ，0），∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ， ∴∠PMN ＝∠AEN ， ∵∠PNM ＝∠ANE ， ∴△PNM ∽△ANE ，∵△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，123625S S ＝， ∴65PN AN =， ∵NE ∥OB ，∴AN AEAB OA=， ∴AN ＝54545454（4﹣m ），∵抛物线解析式为y ＝239344x x -++， ∴PN ＝239344m m -++﹣（34-m+3）＝34-m 2+3m ， ∴2336455(4)4m mm -+=-，解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，32）．（3）如图2中，在y 轴上取一点M′使得OM′＝43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．∵OE′＝2，OM′•OB ＝43×3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB ， ∴OE OBOM OE '=''， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，∴M E OE BE OB '''='＝23， ∴M′E′＝23BE′，∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+23BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线时），最小值＝AM′2244()3+410．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+23BE′的最小值，属于中考压轴题．7．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值．（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3）5412或4或5412【解析】【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为()24542d BP sin t =⋅︒=-，则12PBE S BE d =⨯⨯)()122244222t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值；（3）先求出2454222AM AB sin =⋅︒=⨯=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ 是平行四边形，得到22NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得22884NH NQ HQ =+=+=；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ， (),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可．【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBE S BE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-； ∵二次函数()()42f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时， ∴()()()22422maxf t f ==⨯⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得454AM AB sin =⋅︒== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴22884,NH NQ HQ =+=+=设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+--- ∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --= 解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --= 解得54152m -=<（舍）或5412m += ③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=（舍）综上所述，5414,2m m +==，5412m -=符合题意，即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为541-或4或541+．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键8．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ．（1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是；（4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >- 【解析】【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值；（2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =-（2）当0m >时，,(3)F m m -此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++∴0y 的最大值118= 综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0 当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△解得：m=0（舍去）或29m =- 由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m ∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+2(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）P的坐标，C的坐标；（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q（92，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣65x+385，∴Q′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492．【解析】【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =，点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =，AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．12．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)（1）求出a 和b 之间的数量关系．（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)①求出此时抛物线的解析式；②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(478，91-8+)，F 1(，，G 2，F 2，) 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出131t -4+=，2t -4=，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。

2011-2012学年北京四中九年级(上)期中数学试卷_0

2011-2012学年北京四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6B．抛一枚硬币，正面朝上C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组D．打开电视，正在播放动画片2．（4分）抛物线y=x2+4x+1可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位3．（4分）已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm，母线长为50cm，则圆锥形纸帽的侧面积为（）A．250πcm2B．500πcm2C．750πcm2D．1000πcm2 4．（4分）两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（﹣4，0），则两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切5．（4分）同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）7．（4分）抛物线y=x2+kx+1与y=x2﹣x﹣k相交，有一个交点在x轴上，则k的值为（）A．0B．2C．﹣1D．8．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm，AD=2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题4分，本题共16分）9．（4分）正六边形边长为3，则其边心距是cm．10．（4分）若二次函数y=x2+2x﹣3（0≤x≤3）的最小值为，最大值为．11．（4分）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．12．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．三、解答题（每小题5分，本题共30分）13．（5分）计算：．14．（5分）用配方法解方程：．15．（5分）已知，当m为何值时，是二次函数？16．（5分）如图，在半径为6 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离OC为3 cm．试求：（1）弦AB的长；（2）的长．17．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点位于x轴下方，它到x轴的距离为4，下表是x与y的对应值表：（1）求出二次函数的解析式；（2）将表中的空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出y=ax2+bx+c的图象；（4）根据图象回答：当x为何值时，函数y=ax2+bx+c的值大于0．18．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．四、应用题（19题6分，20题5分，21题4分）19．（6分）小明和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．小慧说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）若按小慧说规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．20．（5分）某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价每减少1元，平均每天就可多售出2件；若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？21．（4分）用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O的位置．（保留作图痕迹，不写作法）五、解答题（本题5分）22．（5分）已知如图，正方形AEDG的两个顶点A、D都在⊙O上，AB为⊙O直径，射线ED与⊙O的另一个交点为C，试判断线段AC与线段BC的关系．六、综合运用（23、25题7分，24题8分）23．（7分）已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2﹣bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；（2）求代数式的值；（3）求证：关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．24．（8分）如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C 的圆的切线交x轴于点D．（1）求B，C两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：△AEF的最大面积．25．（7分）抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，﹣3），（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．2011-2012学年北京四中九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1．C；2．B；3．B；4．B；5．A；6．D；7．B；8．B；二．填空题（每小题4分，本题共16分）9．；10．﹣3；12；11．4；12．①②③⑤；三、解答题（每小题5分，本题共30分）13．；14．；15．；16．；17．﹣1；1；3；18．；四、应用题（19题6分，20题5分，21题4分）19．；20．；21．；五、解答题（本题5分）22．；六、综合运用（23、25题7分，24题8分）23．；24．；25．；。

北京教院附中初三数学期中试卷2011-2012上

北京教院附中初三数学期中试卷2011-2012上密：号北京教育学院隶属中学学年度学第一学期初三年级数学期中试卷：封名试卷共五道大题，道小题，满分分，考试时间分钟。

姓题号一二三四五总分：封级分数装一、选择题（此题共分，每题分。

下边各题均有四个选项，此中只有一个．．是符合题意的．）．二次函数的对称轴为（）装．．．．．如图，内接于，若，则的大小为（）订．．．．订. 以下说法正确的个数有( )①均分弦的直径垂直于弦 ; ②三点确立一个圆 ;③ 等腰三角形的外心必定在它的内部; ④ 同圆中等弦平等弧个. 个 . 个. 个．某汽车销售企业年盈余万元，年盈余万元，且从年到年，每年盈余的年增加率同样．设每年盈余的年增加率为，依据题意，下边所列方程正确的选项是（）．线．．．．．假如两圆半径分别为和，圆心距为，那么这两个圆的地点关系是（）．外离．外切．订交．内切．在△中，为外心，∠°，则∠的度数为：（）．°.°.°.°. 将二次函数的图像先向右平移个单位，再向上平移个单位后所获取的图像的分析式为（）．．．．．抛物线：与抛物线对于轴对称，则抛物线的分析式为（）...．已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（）．．．且．且.如图为二次函数的图象，此图象与轴的交点坐标分别为（）、（，）.以下说法正确的个数是（）①②③方程的根为，④当时，跟着的增大而增大二、填空题（此题每空分，共分）．一元二次方程的解是。

．圆内接四边形中，∠，∠，∠的度数比为：：，则∠的度数为。

．对于的一元二次方程的一个根是，则的值为．．圆锥的母线长为，底面半径为，则它的侧面积为．. 半径为的圆中有两条平行弦，长度分别为和，则这两条弦的距离为。

．抛物线的极点坐标是，在对称轴左边，随的增大而。

．边长为的正三角形的外接圆的半径为．．如图， , 分别切⊙于点, ∠°，∠等于。

．如图，为⊙直径，为⊙的弦，∠ °，则∠的度数为。

北京清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．D ．．如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠BOC ＝100°，则∠BAC 的度数为（）．70°B 50°．40°．将抛物线212y x =向左平移个单位长度，得到的抛物线是（21(1)2y x =+通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确()246x -=-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（3k ≤2x +上，那么下列结论正确的是12y y =A ．B ．C ．D ．8．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）(0°＜x ≤90°)近似满足函数关系2y ax bx c =++(a ≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A ．18°B ．36°C ．41°D ．58°二、填空题13．如图所示，在14．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040y x =-+的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△CDE 可以看作是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，三、解答题(3)根据图象回答：当03x ≤<时，y 的取值范围是______．20．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ，DE ，(1)依题意补全图形(2)求证：AEB ADC △≌△；(3)若105ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)(3)0x m x m +-+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若此方程有一个负数根，求m 的取值范围．22．如图，已知AB 为O 的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC 、OC 、BC ．(1)求证：CAO BCD ∠=∠．(2)若3BE =，8CD =，求O 的直径．23．如图，二次函数21y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,3)-，一次函数2y mx n =+的图象过点A 、C ．小高的做法为：①作出ABC 的外接圆，圆心为M ；②作出线段AB 的垂直平分线1l ，1l 与③以O 为圆心，OA 的长为半径画圆，老师说小高的做法是正确的．根据小高设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ，∵M 是ABC 的外接圆，又在M ∵1l 是AB 的垂直平分线∴OA OB =∴点B 也在以O 为圆心，以OA 为半径的圆上，对于O ， AB AB =∴12APB ∠=∠25．排球场的长度为18m ，球网在场地中央且高度为以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，度y （单位：m ）与水平距离x （单位：(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离水平距离/m x 0246竖直高度/my 2.482.722.82.72①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度位：m ）近似满足函数关系0.02(y x =--并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）求c 的值（用含a 的式子表示）；（3）若点()1,3M x ，()2,3N x 为抛物线上不重合两点求a 的取值范围．27．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段线段AD ，连接CD ．(1)连接BD ，①如图1，若80α=︒，则BDC ∠的度数为______；②证明：BDC ∠的大小不随α的改变而改变．(2)如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得B ACD ∠=∠90CED ∠=︒，求α的值．28．在平面直角坐标系xOy 中，线段4AB =，点M ，N 在线段为MN 的中点，如果任取一点Q ，将点Q 绕点P 顺时针旋转180︒得到点Q '，则称点Q '为点Q 关于线段AB 的“旋平点”(1)如图1，已知()1,0A -，()3,0B ，()1,2Q ，如果(),Q a b '为点Q 关于线段AB 的“旋平点”，①写出一个点Q 的“旋平点”的坐标______；②画出示意图，写出a 的取值范围：(2)如图2，O 的半径为3，点A ，B 在O 上，点()1,0Q ，如果在直线x m =上存在点Q 关于线段AB 的“旋平点”，求m 的取值范围．。

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2011-2012学年北京市清华附中九年级（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共15分）1．已知一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为1，则a﹣b的值是_________．2．在中任取其中两个数相乘，积为有理数的概率为_________．3．直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为_________．4．若式子有意义，则x的取值范围是_________．5．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P 是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是_________（结果保留π）．二、选择题（每题4分，共20分）6．（2010•湛江）下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待免D．瓮中捉鳖7．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=a，则a的值为（）A．135°B．120°C．110°D．100°8．已知两圆的半径是方程x2﹣7x+12=0两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外离D．外切9．一个均匀的立方体骰子六个面上标有数1，2，3，4，5，6，若以连续掷两次骰子得到的数m，n作为点P的坐标，则点P落在反比例函数图象与坐标轴所围成区域内（含落在此反比例函数的图象上的点）的概率是（）A．B．C．D．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个11．（2008•长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）12．﹣+﹣20080﹣13．已知a、b、c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根．14．已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．15．（2008•龙岩）如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．（1）画出“基本图形”关于原点O对称的四边形A1B1C1D1，并求出A1，B1，C1，D1的坐标；（2）画出“基本图形”关于x轴的对称图形A2B2C2D2；（3）画出四边形A3B3C3D3，使之与前面三个图形组成的图形既是中心对称图形又是轴对称图形．巨人教育16．在一次晚会上，大家围着飞镖游戏前．只见靶子设计成如图形式．已知从里到外的三个圆的半径分别为1，2，3，并且形成A，B，C三个区域．如果飞镖没有停落在最大圆内或只停落在圆周上，那么可以重新投镖．（1）分别求出三个区域的面积；（2）雨薇与方冉约定：飞镖停落在A、B区域雨薇得1分，飞镖落在C区域方冉得1分．你认为这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平．四、解答题（共4小题，每小题7分，共28分）17．如图：⊙O上有A、B、C、D、E五点，且已知AB=BC=CD=DE，AB∥ED．（1）求∠A、∠E的度数；（2）连CO交AE于G ，交于H，写出四条与直径CH有关的正确结论．（不必证明）18．（2008•梅州）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0…①（1）若x=﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．19．（2007•安徽）按如图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．（1）若y与x的关系是y=x+p（100﹣x），请说明：当p=时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a（x﹣h）2+k（a＞0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）20．（2006•青岛）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．五、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）21．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为_________；（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．22．（2007•鄂尔多斯）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．巨人教育23．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．2011-2012学年北京市清华附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共15分）1．已知一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为1，则a﹣b的值是﹣1．考点：一元二次方程的解。

分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解答：解：把x=1代入方程ax2+x﹣b=0，可得a+1﹣b=0，解得a﹣b=﹣1．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．2．在中任取其中两个数相乘，积为有理数的概率为．考点：概率公式；实数的运算。

分析：有理数即为相乘后不含有根号的数．4个数中任取两个，有12种可能．可将这些数中的两个相乘看是否满足积为有理数．再用满足的个数除以总的个数即可．解答：解：依题意：共有12种可能．满足条件的有：与和与两种，因此概率为．故本题答案为：．点评：本题考查的是概率的公式．本题常常会将与和与两种情况当成一种来算，算出的概率为．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．考点：一次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标。

专题：计算题。

分析：先根据已知条件求得m的值，再根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即可求得P′的坐标．解答：解：∵点P（m﹣5，2m）是直线y=x+3上的点，∴2m=m﹣5+3，即m=﹣2；那么P点的坐标是（﹣7，﹣4），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．点评：本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．4．若式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件。

分析：根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．解答：解：根据二次根式的性质可知：1+x≥0，即x≥﹣1，又因为分式的分母不能为0，所以x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．巨人教育点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零．5．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P 是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是4（结果保留π）．考点：扇形面积的计算；圆周角定理；切线的性质。

分析：由于BC切⊙A于D，那么连接AD，可得出AD⊥BC，即△ABC的高AD=2；已知了底边BC的长，可求出△ABC的面积．根据圆周角定理，易求得∠EAF=2∠P=80°，已知了圆的半径，可求出扇形AEF的面积．图中阴影部分的面积=△ABC的面积﹣扇形AEF的面积．由此可求阴影部分的面积．解答：解：连接AD，则AD⊥BC；△ABC中，BC=4，AD=2；∴S△ABC =BC•AD=4．∵∠EAF=2∠EPF=80°，AE=AF=2；∴S扇形EAF==；∴S阴影=S△ABC﹣S扇形EAF=4﹣．点评：解决本题的关键是利用圆周角与圆心角的关系求出扇形的圆心角的度数．二、选择题（每题4分，共20分）6．（2010•湛江）下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待免D．瓮中捉鳖考点：随机事件。

分析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．解答：解：A，B选项为不可能事件，故不符合题意；C选项为可能性较小的事件，是随机事件；是必然发生的是瓮中捉鳖．故选D．点评：理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=a，则a的值为（）A．135°B．120°C．110°D．100°考点：圆周角定理。

分析：先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，再运用周角360°即可解．解答：解：∵∠ACB=a∴优弧所对的圆心角为2a∴2a+a=360°∴a=120°．故选B．点评：本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．已知两圆的半径是方程x2﹣7x+12=0两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外离D．外切考点：圆与圆的位置关系；根与系数的关系。

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