1.1.1角的概念的推广课件
角的概念的推广与弧度制课件
02
CATALOGUE
角的概念的推广
任意角
根据角的旋转方向，将角分为正角、负角和零角。正角是指逆时 针旋转所形成的角，负角是指顺时针旋转所形成的角，零角则是 终边与始边重合的角。
终边相同的角
如果两个角的终边相同，则这两个角互为终边相同的角。它们之间存在一个最小正角，即360°/n（n为两角的终边相同的角的 个数）。
圆的面积公式
在弧度制下，圆的面积公式为$pi r^{2}$，其中$r$为半径。这个公式与 角度制下的圆的面积公式具有相同的 形式。
三角函数在弧度制下的定义
正弦函数
在弧度制下，正弦函数定义为 $sinalpha = frac{text{对边}}{text{斜 边}}$，其中$alpha$为角的大小。
余弦函数
在弧度制下，余弦函数定义为 $cosalpha = frac{text{邻边}}{text{ 斜边}}$，其中$alpha$为角的大小。
05
CATALOGUE
弧度制的应用
在物理学中的应用
旋转机械
在旋转机械中，如电动机和发电机，弧度制用于描述旋转角度和角速度，以便更好地理解旋转运动的物理性质。
角的度量单位
总结词
角度的度量单位是度，也称为度数。
详细描述
角度的度量单位是度，也称为度数，用于表示角的大小。在数学和物理学中， 角度的度量单位是度（°），并且规定1圆周角等于360°。Fra bibliotek角的分类
总结词
根据角的度数大小，可以将角分为锐角、直角、钝角、平角和周角。
详细描述
根据角的度数大小，可以将角分为以下几种类型：锐角（小于90°）、直角（等 于90°）、钝角（大于90°而小于180°）、平角（等于180°）和周角（等于360° ）。
角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
《角的概念的推广》ppt课件
生活中很多实例不在0°～360°范围内. 像体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转
体1 080º.
本节课我们进一步研究更广泛的角.
地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？
角
这就是这节课我们所要学习的内容——角
1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点) 2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否 也可以推广?
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对 于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负 来表示.
任意角定义：
逆时针
注意角的
顺时针
旋转方向和 旋转量.
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任 负角：按顺时针方向旋转形成的角
意 角
零角：一条射线从起始位置OA 没有作任何旋转，终止位置OB与
角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
y
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限
o
x
象限角 1.角的顶点与原点重合; 2.角的始边重合于x轴的非负半轴; 则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第 几象限角.
象限角的图形表示
终边
y 终边
ⅡⅠ
x Ⅰ Ⅱ
O ⅢⅣ
始边 Ⅲ Ⅳ
终边
§2 角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作 角. 顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形叫作角.
B 终边
顶点
O
A 始边
2.角是如何度量的? 角的单位是度.规定:周角的 为1 1度的角.
1.1.1角的概念
角的概念1.角是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.按逆时针方向旋转形成的角叫正角.按顺时针方向旋转形成的角叫负角.如果一条射线没作任何旋转，我们称它形成了一个零角.其中正角、负角、零角统称为任意角.2.在直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.若角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，{β|β=α+k·360°,k ∈Z },即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.4.终边落在x 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=k·360°,k ∈Z }； 终边落在y 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=90°+k·360°,k ∈Z }； 终边落在x 轴负半轴的角的集合为：{α|α=180°+k·360°,k ∈Z }； 终边落在y 轴负半轴的角的集合为：{α|α=270°+k·360°,k ∈Z }；5.第一象限角的集合为：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k ∈Z }；第二象限角的集合为：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k ∈Z }；第三象限角的集合为：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k ∈Z }；第四象限角的集合为：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k ∈Z }.一、角的概念的推广1.角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类：正角、零角、负角.3.象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角可表示为{α|2kπ＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角可表示为{α|2kπ+2π＜α＜2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角可表示为{α|2kπ+π＜α＜2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角可表示为{α|2kπ+23π＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }. 4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.终边落在x 轴非负半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ,k ∈Z ；终边落在x 轴非正半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ+π,k ∈Z ;终边落在y 轴非负半轴上的角的集合可记作： {α|α=2kπ+2π,k ∈Z }; 终边落在y 轴非正半轴上的角的集合可记作：{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为：{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的1360为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.2.弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即1360周角=1°，12π周角=1 rad.3.弧度与角度的换算:360°=2π rad;180°=π rad;1°=180πrad≈0.017 45 rad ； 1 rad=（180π）°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式： l=|α|·r （其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.5.扇形的面积公式：S 扇形=21l·r=21|α|r 2（其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.知识导学要理解任意角概念，可通过创设情境：“转体720°，逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.图1-1-12.角的概念的推广按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750°,图1-1-3中,正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.图1-1-2 图1-1-33.在直角坐标系内讨论角象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.4.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和.5.几个重要的角的集合(1)象限角的集合第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,0°＜β＜90°,k∈Z}.第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,90°＜β＜180°,k∈Z}.第三象限角的集合为{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,180°＜β＜270°,k∈Z}.第四象限角的集合为{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,270°＜β＜360°,k∈Z}.(2)几种特殊角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}.终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}.终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.终边落在y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.终边落在y=-x上的角的集合为{α|α=k·180°+135°,k∈Z}.终边落在y=±x上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k∈Z}.题组一：基础概念．【题目】．在直角坐标系中，作出下列各角：（1）360°（2）－270°（3）390°（4）－540°【解】．【题目】．设集合M={θ|θ为小于90°的角}，N={θ|θ为第一象限的角}，则M∩N 等于( )A．{θ|θ为锐角} B．{θ|θ为小于90°的角}C．{θ|θ为第一象限角} D．以上均不对解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.提示（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.（2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意.．【题目】．下列各命题正确的是( )A．终边相同的角一定相等B．第一象限角都是锐角C．锐角都是第一象限角D．小于90°的角都是锐角解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60°和300°是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.对于B,390°是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.对于D,-60°是小于90°的角,但它不是锐角,∴应排除D.综上,应选C.答案：C．【题目】．下列命题中，正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．锐角都是第一象限角C．第一象限的角都是锐角D．小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D 错；因此正确的答案为B.答案：B．【题目】．给出下列四个命题：（1）小于90°的角是锐角；（2）钝角是第二象限角；（3）第一象限角一定是负角；（4）第二象限角必大于第一象限角。
1.1.1角的概念的推广
第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1.1角的概念的推广课前自主学习学习目标1.知道用运动变化的官邸啊了解角的概念和推广，能正确区分正角、负角和零角.2.学会正确区分象限角与终边在坐标轴上的角，知道终边相同的角的表示方法，并能判断角的终边的位置.知识梳理知识点1：任意角的概念正角、负角、零角是怎样定义的？思考1零角的终边和始边重合，如果一个叫得终边和始边重合，那么这个角一定是零角吗？知识点2：终边相同的角对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？思考2终边相同的角有什么特点?知识点3：象限角象限角是如何定义的？思考3任意一个角都是象限角吗？课前体验1.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2.－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°4.写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．课堂互动探究问题探究1. 锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？2. 对于直角坐标系中任意一条射线OB ，以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?3.若α是第二象限的角，那么2α是第几象限的角？典例剖析例1. 在0360︒︒~范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）解题反思：终边相同的角如何表示？如何找出与95012'︒－终边相同的角？例2. 写出终边在y 轴上的角的集合.解题反思：1.在0360︒︒~范围内，终边在y 轴上的角有几个？与这几个个角终边相同的角的集合可以合并吗？2.你能写出终边在x 轴上，终边坐标轴上的角的集合吗？第一、二、三、四象限角的集合呢？例3.若α是第二象限角，则α2，2α分别是第几象限的角？ 解题反思：α是第二象限角，如何表示？由α的取值范围，来确定2α，2α的取值范围？规律方法总结（1）判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那么在第几象限，就是第几象限角，若角与角适合关系：，，则、终边相同；若角与适合关系：，，则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．（2）要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如θ=a+k×1200（k∈Z）所表示的角所在的象限。
高一数学角的概念的推广1
所以
终边落在ｙ轴上的角的集合为
={β| β=900+1800 的偶数倍}
2700+k∙3600
S=S1∪S2
∪{β| β=900+1800 的奇数倍}
={β| β=900+1800 的整数倍}
={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
练习
写出终边落在ｘ轴上的角的集合
• 小结：
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
与ａ终边相同的角的一般形式为
ａ＋Kｘ3600，K ∈ Za S={ β| β= a+kx3600 , K∈ Z}
300+2x3600 ,
300+3x3600 ,
…,
300－2x3600
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形 式为300＋KX3600，K ∈ Z
例1 把下列各角写成ａ＋ｋ.3600（00≤ａ＜3600， ｋ∈ｚ）的形式，并判定它们分别是第几象限角：
1.任意角的概念
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2.象限角
2)始边重合于X轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
ａ＋Kｘ3600，K ∈
Z
x 例2 写出终边落在 y 轴上的角的集合。 • 解：终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为 y
1.在初中角是如何定义的？ 角的范围是多少？
定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边 边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
B 终边
角与角的概念
1．1．1 角的概念的推广1．角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)图示，称它形成了一个零角2．象限角:是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．1．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( )A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝C D ．A ＝D4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M P D ．M ∩P ＝∅6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．8．经过10分钟，分针转了________度．9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_____________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________．11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′．12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．13．如图所示，写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角？弧度制和弧度制与角度制的换算1．角的单位制(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．2．角度制与弧度制的换算31集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是()A ．A ＝B B ．A ⊆B C ．B ⊆A D 以上都不2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶97．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α的终边与－7π6角的终边垂直，则α＝______． 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝__________． 11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500° (2)236π (3)－4 12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1.2.1 三角函数的定义1．任意角三角函数的定义2．六种三角函数值在各象限的符号3．三角函数的定义域1．若α的终边与y 轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是( )A ．sin α与cos αB ．tan α与cot αC ．tan α与sec αD ．cot α与csc α2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为( )A ． 3 B ．－ 3 C ．33 D ．－333．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．5 5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{－3，－1}C ．{1,3} D ．{－1,3}6．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A ．π4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π47．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．11．判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan(－23π4)． 12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2 B ．cos θ2 C ．tan θ2D ．cos 2θ 14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1.2.22．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π43．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定4．利用正弦线比较sin 1，sin 1．2，sin 1．5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1．2>sin 1．5B ．sin 1>sin 1．5>sin 1．2C ．sin 1．5>sin 1．2>sin 1D ．sin 1．2>sin 1>sin 1．55若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π3，π3B ．⎝⎛⎭⎫0，π3C ．⎝⎛⎭⎫5π3，2π D ．⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 6．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan α B ．tan α<sin α<cos α C ．sin α<cos α<tan α D ．cos α<tan α<sin α7．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为____________8．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝__ 9．不等式tan α＋33>0的解集是______________．10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12． 12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小． 13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22． 14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α．1．2．1 三角函数的定义1．C 2．B3．C 4．A5．D 6．D 7．－7138．－2<a ≤3 9．负号10．2 11．解 (1sin α·cos α<0．(2)sin 285°·cos(－105°)>0．(3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0． 12．解 sin α＝y 3＋y 2＝34y ．当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0． 当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213．当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎫－3，213，r ＝433． ∴cos α＝－34，tan α＝－73．当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433∴cos α＝－34，tan α＝73． 13．C 14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝(－15a )2＋(8a )2＝17|a | (a ≠0)．(1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815． (2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815． 弧度制和弧度制与角度制的换算1．A2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．－10π＋74π 8．25 9．73π或103π 10．－11π3，－5π3，π3，7π311．解 (1)是第四象限角．2)是第四象限角．(3)第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ．∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100． ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad ． 13．42 设圆半径为r ，圆心角为θ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ．∴|θ|＝42r r＝42． 14(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216．当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216． 角的概念的推广1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7．x 轴的正半轴8．－609．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }10．－110°或250°11．(1)是第三象限角．(2)是第四象限角．(3)是第二象限角．12．①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }．②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }．13．{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．14．第一、二、四象限角。
1.1.1 角的概念的推广
张喜林制1.1.1 角的概念的推广考点知识清单1．角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，射线的端点叫做____；旋转开始时的射线叫做 ；旋转终止时的射线叫做____． 2．正角、负角和零角一条射线绕着它的端点，按 旋转形成的角叫做正角；按 一旋转形成的角叫做负角；如果一条射线 旋转，称它形成了一个零角．3．象限角在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与一，角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．注意：终边落在坐标轴上的角不属于任一象限．4．终边相同的角所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合一，即任一与角任终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的和．5．(1)当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时，旋转的绝时量可以是____．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生盛的角，常叫做 (2)各角和的旋转量等于各角 一， 要点核心解读1．角的概念的理解 ．角可以看做是平面内j 条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，其中逆时针旋转形成正角，顺时针旋转 转形成负角，没有旋转形成零角， 2．终边相同的角 ． 设a 是任意角，所有与a 终边相同韵角以及a 本身相成一 个集合，这个集合记为},360|{Z k k S ∈⋅+== αββ3．在直角坐标系内讨论角（象限角，象限界角） (1)象限角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴童合， 角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，如300,420,30-o角都是第一象限的角；,480,124240-角都是第二象限的角o 150,570,210-角都是第三象 限的角，o o o 45660,300-角都是第四象限的角．(2)象限界角（轴线角） ‘当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合， 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称之为象 限界角．如,270,180,90,360,270,180,90,0o o o o ---o 360-等都是象限界角．4．几个重要角的集合(1)象限角的集合 第一象限角的集合 第二象限角的集合=∈⋅+<<⋅},36090360|{Z k k k o αα ⋅∈<<⋅+=},900,360|{z k k ββαα第三象限角的集合,36018036090|{o k k ⋅+<<⋅+ αα=∈}z k⋅∈<<⋅+=},18090;360|{Z k k ββαα第四象限角的集合+<<⋅+ 270360180|{ααO o k=∈⋅},360z k k⋅∈<<⋅+=},270180,360|{z k k o ββαα(2)象限界角的集合+<<⋅+ 03360270||6ααk =∈⋅},360z k k⋅∈<<⋅+=},360270,3601{Z k k o o ββαα终边落在x 轴正半轴上的角的集合为 终边落在x 轴负半轴上的角的集合为⋅∈⋅=},3|{z k k o ωαα终边落在x 轴上的角的集合为+⋅=o k 360|{αα }.,180z k o ∈终边落在y 轴正半轴上的角的集合为⋅∈⋅=},180|{z k k αα终边落在y 轴负半轴上的角的集合为+⋅= 03|{6k αα }.,90z k o ∈终边落在y 轴上的角的集合为+⋅= 360|{k αα},270z k ∈终边落在坐标轴上的角的集合为⋅∈+⋅=},90180|{z k k αα典例分类剖析⋅∈⋅=},90|{Z k k αα考点1概念辨析问题命题规律’ 给出对基本概念的不同理解或不同表述，判断或选择正确结论． [例1]下列说法正确的是( )．A ．终边相同的角一定相等C ．第一象限的角都是锐角D ．小于90。
角的概念推广说课课件
950 与130 角的终边相同
当k 1时， 640 (1) 360 280
它是第二象限的角.
它是第四象限的角.
Hale Waihona Puke 小结：1.任意角的概念
正角：射线按逆时针方向旋转 形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转 形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2.象限角 2)始边重合于X轴的正半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
与300终边相同的角的一般形
与 终边相同的角的一般形式为
式为300＋K· 3600，K ∈ Z
S | k 360，k Z
k 360，k Z
注意:
(1)k Z
(2) 是任意角； (3)k 3600 与之间是“+”号，如 k 3600 k 3600 30°, 应看成 +(-30°)； (4)终边相同的角不一定相等，但相等的 角，终边一定相同，终边相同的角有无 数多个，它们相差360°的整数倍．
练习： ① -572 o ② 2581 o
1与 120 角终边相同的角的集合 解： 是
S1 | 120 k 360 , k Z
当k 1时， 120 1 360 240
120 与240 角的终边相同 3与 950 角终边相同的角的集合 解： 是
四、教学方法：
1、以学生为主体，教师为主导的”启发式、提 问式”教学方法。
2、营造民主的教学氛围，使学生或显性（答问、 板演等）或隐性（聆听，苦思等）地参与全教学 过程，学生在教师设计的问题下，积极思考、动 手演练、步步深入，掌握终边相同角的表示方法。
五、教学程序： （一）新课引入：
1.1.1 角的概念的推广
鸡西市第十九中学学案
如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点
就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的
叫做叫α的顶点.初中所研究的角的范围为
【复习二】举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？
①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体
②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（
小结：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？
思考：与60°终边相同的角有、、…都可以用代数式表示为那么，与α终边相同的角如何表示？
新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z
3.写出终边在直线y=－。
高中数学人教A版必修四1.1.1【教学课件】《任意角》
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【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象 限，所以①不正确。 ②120° 是 第 二 象 限 角 ， 390° 是 第 一 象 限 角 ， 显 然 390°>120°，所以②不正确。 ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③ 正确。 ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或 负角，所以④不正确。
畅言教育
人民教育出版社
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2．对终边相同的角的概念的理解 (1)角α 是任意角。 (2)k·360°与α 之间用“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )，k∈Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
(4)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (5)终边相同的角的应用： ①利用与角α 终边相同的角的集合，可把任意与角α 终边相同的角β 转化成 β ＝α ＋k·360°，k∈Z ， 0°≤α <360°的形式；
畅言教育
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2．与 30°角终边相同的角的集合是( A ) A．{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α |α ＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α |α ＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α |α ＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析： 由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合 是{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} 答案：A
第一章 1.1.1角的概念的推广
上的角的集合： S＝{β|β＝45° 360° ＋k· ，k∈Z}∪{β|β＝225° 360° ＋k· ，k∈Z} ＝{β|β＝45° ＋2k· ， 180° k∈Z}∪{β|β＝45° ＋(2k＋1)· ， 180° k∈Z} ＝{β|β＝45° 180° ＋k· ，k∈Z}． ∴S 中适合－360° ≤β<720° 的元素是：
填一填·知识要点、记下疑难点
2．象限角
1.1.1
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重 合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是
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第几象限角 ．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角
不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角， 连同角 α 在内， 可构成一个集合
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题]
1.1.1
例 1 在 0° ～360° 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判 定它们是第几象限角．
本 课 时 栏 目 开 关
(1)－150° ；(2)650° ；(3)－950° 15′.
解 (1)因为－150° ＝－360° ＋210° ，所以在 0° ～360° 范围内，与 －150° 角终边相同的角是 210° 角，它是第三象限角．
(2)因为 650° ＝360° ＋290° ，所以在 0° ～360° 范围内，与 650° 角 终边相同的角是 290° 角，它是第四象限角．
(3)因为－950° 15′＝－3×360° ＋129° 45′，所以在 0° ～360° 范 围内， 与－950° 15′角终边相同的角是 129° 45′角， 它是第二象 限角．
形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它 形成了一个零角．
高中数学必修四课件全册
(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角:
(2k+
3
2
<<2k+2,
kZ
或
2k-
2
<<2k,
kZ
)
②轴线角
x 轴的非负半轴: =k360º(2k)(kZ);
x 轴的非正半轴: =k360º+180º(2k+)(kZ);
y
轴的非负半轴:
=k360º+90º(2k+
2
)(kZ);
y 轴的非正半轴: =k360º+270º(2k+ 32) 或
二、象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。
注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。
三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：
S { | k 360 , k Z} （角度制）
{ | 2k , k Z} （弧度制）
例1、求在 0 到 360（ 0到2）范围内，与下列各角终边相同的角
混用角度制和弧度制
180 180 1 rad
1
rad
180
57.30
1 rad
180
（4）弧长公式和扇形面积公式.
lr
S r2 1 r2 1l r
2
2
2
l
n 360
2
r
n
180
r
S
n 360
r2
n
360
r2
2、角度与弧度的互化
2 360
1弧度 (180) 57.30 5718,
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(2) S={β| β=k· 360º －21º k∈Z)} S中在－360º ～720º 间的角是 0×360º －21º =－21º ；
例3
写出终边落在各轴上的角的集合。 y＋
x－
o
x＋
y－
例４
写出终边落在各象限内的角的集合。
y＋
二 x－ 三 y－
o
一 x＋ 四
4. 下列命题： ①一个角的终边在第几限，就说这个角是第 几象限的角； ②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等. 其中正确命题的序号是.
角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？
初中定义：由一个端点引出的两条射线 组成的几何图形叫做角。 顶 点 射线
射线
2.我们初中学过那些角?它们的大小是多 少?
锐角:大于0度小于90度
直角:等于90度
钝角:大于90度小于180度
平角:等于180度
周角:等于360度
我们以前所学过的角都是大于0度小于 或等于360度的角，即 （0º , 360º ]
(1).(2).(4).
５.在坐标系中的角：
终边相同时，角不一定 _____相等，角相等时终 一定 相同，终边相同的角有____ 无数 个， 边_____ 360°的整数倍 它们满足什么性质它们相差 ________________ 。
课堂小结：正角：射线按逆时针方向旋转
1.任意角
形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转 形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
四、象限角与轴线角
y
终边
x o
终边
终 边 始边
终 边
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
练习：
1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？ 答：第一象限的角并不都是锐角。
3、小于90°的角都是锐角吗？
答：小于90°的角并不都是锐角，它也 有可能是零角或负角。
（2）660°=360°+300° 所以与640°角终边相同的角是300° （3）-950°08’ = -3×360°+129°52'
所以与-950°12’ 角终边相同的角是 129°52 ’
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，
并把S中在－360º ~720º 间的角写出来：
(1) 60º ；(2) －21º ；(3) 363º 14′.
2.象限角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
α＋K· 3600，K∈Z
4：判断一个角是第几象限角，方法是：所给角ａ 改写成α0+k 〃3600 ( K∈Z,00≤α0＜3600)的形 式，α0在第几象限α就是第几象限角
300+2x3600 ,
300+3x3600 ,
…,
300－2x3600
300－3x3600
…,
与0终边相同的角的一般形 式为300＋ K ·360° ，K ∈ Z
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角 终边相同的角。 （1）-120°（2）660 °（3） -950 ° 08'
解（1）-120°=-360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 °
2100
-1500
二、角的分类
按旋转方向，角可以分为：
零角：如果一条射线没有作任何旋转，就 叫零角 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按逆时针方向旋转形成的角
角的概念的推广
方向角：正角、负角和零角
y
o 负角
正角 x 零角
(,)
例、画出下列各角：
30 ， 390 ， 330 ， 30 ， 330 ， 390
思考:生活中的角是不是都在范围(00 ,3600 ]内?
踺子后手翻转体180度接前直空翻540度——“程菲跳”
踺子后手翻转体180度直体前空翻转体900度——“李小鹏跳”
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
汽车在前进和倒车时，车轮转动的角度如 何表示才比较合理? 工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，转动的角 度如何表示比较合适?
y -3300 3900
300
x
o
并观察图像：这些角有何特点？
三、终边相同的角的集合 y
-3300 3900
300
x
o
300=
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600 －3300=300－3600 =300－1x3600
与α终边相同的角的一般形式为 α＋K ·360°，K ∈ Z S={ β| β=α + K ·360° , K∈ Z}
1×360º －21º =339º ；
2×360º －21º =699º ． (3) {β| β=k· 360º+ 363º14’ k∈Z } S中在－360º ～720º 间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 学案例１及 0×360º+363º14’=363º14’． 跟踪练习
这些例子所提到的角不仅不在范围 (00 ,3600 ] 中，而且有的方向还不相同， 有必要将角的概念进行推广。
一、角的概念
用运动的观点来看待角的变化。
定义：平面内一条射线绕着端点从一 个位置OA旋转到另一个位置OB所成 的图形叫做角。
B 终边 顶 点o
A 始边
二、角的分类 “正角”、“负角”、“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做 正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，射线没有旋转时也把它看成角叫做零 角。如图，以OA为始边的角α=210°，β=－ 150°。