【中考冲刺】人教版2016年初中数学中考复习课件 第23章 与圆有关的计算问题(共28张PPT)
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精品课件：人教版数学中考复习第22讲《圆》
C O A B D
考点二：垂径定理及其推论
3.垂径定理的应用： 用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段（弦心距）， 则垂足的线段（弦心距），则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半 径构成的直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a,半径r、弦心距d 及弓形高h四者之间就可以做到“知二求二”。
C半径：rA源自O弦心距： d E
B
d+h=r a 2 2 2 r d ( ) 2
弓形高：h
D
弦长：a
在a，d，r，h中 ，已知其中任意 两个量，可以求 出其它两个量．
考点三：弦、弧、圆心角之间的关系
1、定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心 距相等。 ∵ ∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
1、定义：
（1）圆心角：顶点在
（2）圆周角：顶点在 圆心 且两边都和圆相交的角叫做圆心角；
圆上 上且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、性质：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
3、圆周角定理：
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB＝2∠ACB 4、推论： 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∴∠C＝∠D
B O
B O
C
A
D
C
A
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
推论2： 半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是 直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 ∵AB是直径（或∠C＝90°） ∴∠C＝90°（∴AB是直径） 推论3： 三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 ∵OC＝OA＝OB ∴△ABC是直角三角形或∠C＝90°
考点二：垂径定理及其推论
3.垂径定理的应用： 用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段（弦心距）， 则垂足的线段（弦心距），则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半 径构成的直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a,半径r、弦心距d 及弓形高h四者之间就可以做到“知二求二”。
C半径：rA源自O弦心距： d E
B
d+h=r a 2 2 2 r d ( ) 2
弓形高：h
D
弦长：a
在a，d，r，h中 ，已知其中任意 两个量，可以求 出其它两个量．
考点三：弦、弧、圆心角之间的关系
1、定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心 距相等。 ∵ ∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
1、定义：
（1）圆心角：顶点在
（2）圆周角：顶点在 圆心 且两边都和圆相交的角叫做圆心角；
圆上 上且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、性质：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
3、圆周角定理：
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB＝2∠ACB 4、推论： 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∴∠C＝∠D
B O
B O
C
A
D
C
A
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
推论2： 半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是 直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 ∵AB是直径（或∠C＝90°） ∴∠C＝90°（∴AB是直径） 推论3： 三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 ∵OC＝OA＝OB ∴△ABC是直角三角形或∠C＝90°
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第六单元 第23课时 圆的基本性质课件
_2_5__米.
【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理,在Rt△AOD
中列方程即可求解.
【解析】在Rt△AOD 中，由垂径定理和勾股定理
可得,AD = 1 AB =20，OD =R -10，
∴R 2-(R
2 –10)
2=202，解得R
=
25(米).
拓展2 （’15广元）如图，
已知⊙O 的直AB⊥CD 于点E ，
（2）性质：三角形的外心到三角形各个15 _顶__点__ 的距离相等.
考点5 垂径定理及其推论
1. 垂径定理： 垂直于弦的直径 16 _平__分__这条弦，并且平分
弦所对的两条弧
【温馨提示】(1)平分弦（不是直径）的直径垂 直弦，并且平分弦所对的弧；(2)圆的两条平行 弦所夹的弧 17 _相__等___.
则下列结论错误的是 （B）
A. CE=DE
B. AE=OE
C. BC=BD
D. △OCE≌△ODE
【解析】∵AB 是⊙Ｏ的直径且AB⊥CD ,∴CE =DE ,BC =BD ,选项A、C 均正确.易知△OCE ≌△ODE ,选项D 正确.而由已知不能判定AE =OE ,选项B 不正确,故选B ．
失分点16 圆中的计算谨防漏解
第一部分 教材知识梳理
第六单元 圆
第23课时 圆的基本性质
中考考点清单
考点1 圆及其相关概念 考点2 弦、弧与圆心角关系 考点3 圆周角定理及其推论（高频考点） 考点4 圆内接四边形、三角形的 外接圆 考点5 垂径定理及其推论
考点1 圆及其相关概念
1. 圆的基本概念（参考图（1）） (1)圆的定义：平面内到定点距 离等于定长的所有点组成的图形 叫做圆，这个定点叫做①_圆__心__，
【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理,在Rt△AOD
中列方程即可求解.
【解析】在Rt△AOD 中，由垂径定理和勾股定理
可得,AD = 1 AB =20，OD =R -10，
∴R 2-(R
2 –10)
2=202，解得R
=
25(米).
拓展2 （’15广元）如图，
已知⊙O 的直AB⊥CD 于点E ，
（2）性质：三角形的外心到三角形各个15 _顶__点__ 的距离相等.
考点5 垂径定理及其推论
1. 垂径定理： 垂直于弦的直径 16 _平__分__这条弦，并且平分
弦所对的两条弧
【温馨提示】(1)平分弦（不是直径）的直径垂 直弦，并且平分弦所对的弧；(2)圆的两条平行 弦所夹的弧 17 _相__等___.
则下列结论错误的是 （B）
A. CE=DE
B. AE=OE
C. BC=BD
D. △OCE≌△ODE
【解析】∵AB 是⊙Ｏ的直径且AB⊥CD ,∴CE =DE ,BC =BD ,选项A、C 均正确.易知△OCE ≌△ODE ,选项D 正确.而由已知不能判定AE =OE ,选项B 不正确,故选B ．
失分点16 圆中的计算谨防漏解
第一部分 教材知识梳理
第六单元 圆
第23课时 圆的基本性质
中考考点清单
考点1 圆及其相关概念 考点2 弦、弧与圆心角关系 考点3 圆周角定理及其推论（高频考点） 考点4 圆内接四边形、三角形的 外接圆 考点5 垂径定理及其推论
考点1 圆及其相关概念
1. 圆的基本概念（参考图（1）） (1)圆的定义：平面内到定点距 离等于定长的所有点组成的图形 叫做圆，这个定点叫做①_圆__心__，
初三数学圆的复习课件_人教版
A A A O O C O C C C
B B
B
问题1：如何作三角形的外接圆？ 问题 ：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？ 如何找三角形的外心？ 问题2： 问题 ：三角形的外心一定 ∠C＝90°O ＝ ° ▲ABC是锐角三角形 是锐角三角形 ▲ABC是钝角三角形 A 是钝角三角形 在三角形内吗？ 在三角形内吗？
B M O A P
关于弦的问题，常常需 关于弦的问题， 过圆心作弦的垂线段， 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 这是一条非常重要的辅 助线。 助线。 圆心到弦的距离、半径、 圆心到弦的距离、半径、 构成直角三角形 弦长构成直角三角形， 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。 角形的问题。
• 以3cm为半径画圆，能画多少个？ • 以点O为圆心画圆，能画多少个？ • 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
– 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
• 圆是“圆周”还是“圆面”？
– 圆是一条封闭曲线
• 圆周上的点与圆心有什么关系？
圆的定义（集合观点）
• 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
– 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； – 到定点的距离等于定长的点都在圆上。 • 一个圆把平面内的所有点 分成了多少类？ • 你能模仿圆的集合定义思 想，说说什么是圆的内部 和圆的外部吗？
• 切线的主要性质：
– – – – – 切线和圆只有一个公共点 切线和圆心的距离等于半径 切线垂直于过切点的半径 定理 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 经过切点垂直于切线的直线必过圆心
①过圆心②过切点③ 过圆心②过切点③ 垂直于切线， 垂直于切线，随便知 两个就可推出第三个
• 主要辅助线：
B B
B
问题1：如何作三角形的外接圆？ 问题 ：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？ 如何找三角形的外心？ 问题2： 问题 ：三角形的外心一定 ∠C＝90°O ＝ ° ▲ABC是锐角三角形 是锐角三角形 ▲ABC是钝角三角形 A 是钝角三角形 在三角形内吗？ 在三角形内吗？
B M O A P
关于弦的问题，常常需 关于弦的问题， 过圆心作弦的垂线段， 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 这是一条非常重要的辅 助线。 助线。 圆心到弦的距离、半径、 圆心到弦的距离、半径、 构成直角三角形 弦长构成直角三角形， 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。 角形的问题。
• 以3cm为半径画圆，能画多少个？ • 以点O为圆心画圆，能画多少个？ • 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
– 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
• 圆是“圆周”还是“圆面”？
– 圆是一条封闭曲线
• 圆周上的点与圆心有什么关系？
圆的定义（集合观点）
• 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
– 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； – 到定点的距离等于定长的点都在圆上。 • 一个圆把平面内的所有点 分成了多少类？ • 你能模仿圆的集合定义思 想，说说什么是圆的内部 和圆的外部吗？
• 切线的主要性质：
– – – – – 切线和圆只有一个公共点 切线和圆心的距离等于半径 切线垂直于过切点的半径 定理 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 经过切点垂直于切线的直线必过圆心
①过圆心②过切点③ 过圆心②过切点③ 垂直于切线， 垂直于切线，随便知 两个就可推出第三个
• 主要辅助线：
人教版九年级上册数学第二十三章圆课件PPT(1)
2．如图，在⊙O中，CD是直径， EA=EB,请些出三个正确的结论 _____________________．
C
EB ·O
B ED ·O
A
双基训练 1.确定一个圆的条件是—圆—心——和—半—径——
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个
一是圆心，
二是半径．
等圆 半径相同，圆心不同
2．合作交流，学习新知
A
r · O
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么 规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
2．合作交流，学习新知
动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端 点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
3.下列说法中正确的个数是（ B）
①.直径是弦
②.半圆是弧
③.平分弦的直径垂直于弦
④.圆是轴对称图形，对称轴是直径
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
1．判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
×
（2）半圆是弧；
√
（3）过圆心的线段是直径；
×
（4）半圆是最长的弧；
×
（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；
×
（6）半径相等的两个半圆是等弧．
√
赵洲桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你 能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
C
EB ·O
B ED ·O
A
双基训练 1.确定一个圆的条件是—圆—心——和—半—径——
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个
一是圆心，
二是半径．
等圆 半径相同，圆心不同
2．合作交流，学习新知
A
r · O
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么 规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
2．合作交流，学习新知
动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端 点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
3.下列说法中正确的个数是（ B）
①.直径是弦
②.半圆是弧
③.平分弦的直径垂直于弦
④.圆是轴对称图形，对称轴是直径
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
1．判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
×
（2）半圆是弧；
√
（3）过圆心的线段是直径；
×
（4）半圆是最长的弧；
×
（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；
×
（6）半径相等的两个半圆是等弧．
√
赵洲桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你 能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
中考数学复习课件：第23课时 与圆有关的计算(共36张PPT)
方法归纳 (1) 若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆 锥的侧面积公式为S侧＝πrl.(2) 圆锥的侧面展开图是扇形，要 注意扇形与圆锥的联系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长．
第23课时 与圆有关的计算
例考7 (点20演16练·泉州)如图，圆锥的底面半径为r cm，母
考点演练
考点五 求阴影部分的面积
例8(2016·深圳)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形 CDEF的顶点C是A⌒B的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，
当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为( A )
A. 2π－4 B. 4π－8 C. 2π－8 D. 4π－4
第23课时 与圆有关的计算
第23课时 与圆有关的计算
考点演练
误区警示 此类问题容易出错的地方是不知道几何体侧面展 开图的形状，以及几何体侧面展开图与几何体各个部分之间的 关联，再有就是没有掌握相关的计算公式．圆锥的侧面展开图 的相关公式：S圆锥侧＝πrl；S圆锥全＝πrl＋πr2.其中r为底面圆的 半径，l为母线长．
第23课时 与圆有关的计算
为2，∠C＝40°，⌒则 AB 的89长 为________．
思路点拨 首先由圆心角是圆周角的 2倍，算出圆心角，再由弧长公式可 直接算出弧长．
第23课时 与圆有关的计算
考点演练
∵ ∠C＝40°，∴ ∠AOB＝80°. ∵ ⊙O的半径为2，
∴ A⌒Bnr802.8
180 180 9
故填 8 . 9
方法归纳 解决正多边形的计算问题时要记住以下内容：正
n边形的每一个内角的度数为 (180 360)，相邻两个顶点与中心的 n
连线均构成顶角为
(360 ) n
第23课时 与圆有关的计算
例考7 (点20演16练·泉州)如图，圆锥的底面半径为r cm，母
考点演练
考点五 求阴影部分的面积
例8(2016·深圳)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形 CDEF的顶点C是A⌒B的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，
当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为( A )
A. 2π－4 B. 4π－8 C. 2π－8 D. 4π－4
第23课时 与圆有关的计算
第23课时 与圆有关的计算
考点演练
误区警示 此类问题容易出错的地方是不知道几何体侧面展 开图的形状，以及几何体侧面展开图与几何体各个部分之间的 关联，再有就是没有掌握相关的计算公式．圆锥的侧面展开图 的相关公式：S圆锥侧＝πrl；S圆锥全＝πrl＋πr2.其中r为底面圆的 半径，l为母线长．
第23课时 与圆有关的计算
为2，∠C＝40°，⌒则 AB 的89长 为________．
思路点拨 首先由圆心角是圆周角的 2倍，算出圆心角，再由弧长公式可 直接算出弧长．
第23课时 与圆有关的计算
考点演练
∵ ∠C＝40°，∴ ∠AOB＝80°. ∵ ⊙O的半径为2，
∴ A⌒Bnr802.8
180 180 9
故填 8 . 9
方法归纳 解决正多边形的计算问题时要记住以下内容：正
n边形的每一个内角的度数为 (180 360)，相邻两个顶点与中心的 n
连线均构成顶角为
(360 ) n
人教版九年级下册数学中考综合复习：第23讲《圆的基本性质》
第23讲《圆的基本性质》要点梳理知识点1：主要概念1.圆:平面上到____的距离等于____的所有点组成的图形叫做圆.____叫做圆心,____叫做半径,以O为圆心的圆记作⊙O.2.弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做___,连接圆上任意两点的线段叫做___,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的___.3.圆心角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆心角.4.圆周角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆周角.5.等弧:在__________中，能够完全____的弧叫做等弧．知识点2：圆的有关性质1.圆的对称性：①圆是______图形，其对称轴是________________．②圆是________图形，对称中心是_____．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．知识点3：垂径定理及推论1.垂径定理：垂直于弦的直径_______，并且____________________．2.垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径_________，并且_____________________；②弦的垂直平分线_______，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．知识点4：弦、弧、圆心角的关系定理及推论①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦______．②推论：在同圆或等圆中，如果两个______、______、_______、__________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点5：圆周角定理及推论1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________．2.圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧______．②半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____．知识点6：点和圆的位置关系①点P在圆上⇔_______；②点P在圆内⇔______；③点P在圆外⇔_______．知识点7：过三点的圆①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边___________的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．知识点8：圆内接四边形圆内接四边形的对角________常见的辅助线(1)有关弦的问题，如图1，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；(2)有关直径的问题，如图2，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．(3)有等弧或证弧相等时，如图3，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心)角．图1 图2 图3命题点1：垂径定理1.(泸州)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E。
精品课件：人教版数学中考复习第23讲《与圆有关的位置关系》
充的条件不正确的是( A )
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD 11． 如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数是( B ) A．10° B．20° C．30° D．40°
例题：
12. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边 长为( B ) A． 2 B． 2 3 C. 3 D． 3
（1）求证：AB为⊙O的切线；
(1) 证明： 过点O作OM⊥AB于M ∵AO平分∠BAC, ∠ACB=90, OM⊥AB ∴OC=OM ∴AB是⊙O的切线 M
例题：
16.如图，ΔABC中，∠ACB=90, ∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1, 以点O为圆心，OC为半径作半圆。 1 （2）如果tan∠CAO= ，求cosB的值． 3 (2) 解： 设OB=x， 则AB=3x ∵∠ACB=90
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC=4,BC=7,点D在
BC上，CD=3,⊙A的半径为3,⊙D与⊙A相交，且点B在
⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ B ） ． A.1<r<4 B.2<r<4 C.1<r<8 D.2<r<8
例题：
4．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B， C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B ) A．点P B．点Q C．点R D．点M
13.如图，AC⊥BC于点C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，⊙O
c＋b－a 与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径等于______ 2 ．
14.2012年7月28日，奥运会五环旗在伦敦高高飘扬，会旗 上的五环(如图)间的位置关系有( C ) A．相交或相切 C．相交或相离 B．相交或内含 D．相切或相离
人教版数学中考复习方案：第23课时 圆的有关计算(共26张PPT)
图23－1
赣考解读
考点聚焦
初中数学 赣考探究
第23课时 圆的有关计算
2．若一个扇形的圆心角为 120°，半径为 3，则这个扇形的面
积为___3_π____(结果保留π )．
赣考解读
考点聚焦
初中数学 赣考探究
第23课时 圆的有关计算
【归纳总结】
nπ r 1．弧长的计算公式：l＝___1_8_0___(r 为圆的半径，n°为弧 所对的圆心角度数)．
赣考解读
考点聚焦
初中数学 赣考探究
第23课时 圆的有关计算
变式题 [2014•黔南州] 如图23－5所示，圆锥的侧面积为15π，底 面圆的半径为3，则该圆锥的高AO为( B ) A．3 B．4 C．5 D．15
赣考解读
考点聚焦
初中数学 赣考探究
图23－5
第23课时 圆的有关计算
1
1
[解析] 因为2×2π ×OC×AC＝15π ，所以2×2π ×3×AC＝15
第23课时 圆的有关计算
探究三 不规则图形面积的有关计算
例3 [2014·重庆A卷] 如图23－3所示，在△OAB中，OA＝ OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面 积是___4___3_－__43_π_____(结果保留π )．
赣考解读
考点聚焦
初中数学 赣考探究
图23－3
r r，这个扇形的圆心角为α 度，扇形的母线长为 l，则 α ＝l×360，
S 侧＝π rl，S 全＝π rl＋___π__r_2__．
赣考解读
考点聚焦
初中数学 赣考探究
第23课时 圆的有关计算
赣考探究
探究一 正多边形的有关计算
中考复习第23章 圆(一)
A O DBC A O 中考复习第23章 圆（一） 与圆有关的概念圆的定义有两种表述形式：第一种：由描述圆的形成过程进行定义；定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；第二种：由圆的特性进行定义； 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上；以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”温馨提示1、圆的描述性定义，直观形象地描述了圆的形成过程，由圆的定义可知，确定圆有两个条件：一个是圆心，它确定圆的位置；另一个是圆的半径，它确定圆的大小，两者缺一不可。
2、根据圆的定义可知“圆”指的是“圆周”，即那条封闭的曲线，而不是圆面。
3、圆有以下特性：a 、圆上各点到定点（圆心o ）的距离都等于定长（半径r ）。
b 、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
弦与直径弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径。
温馨提示1、在同一个圆上可以画出无数条弦或直径。
2、直径是弦，但弦不一定是直径。
3、在同一个圆中，直径是最长的弦。
弧、半圆、优弧、劣弧与等弧(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”.(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD.(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母).(4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ⋂ (用三个字母).(5)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
温馨提示1、半圆是弧，但弧不一定是半圆。
2、弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°。
3、在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
中考数学总复习 第六单元 圆 第23课时 与圆有关的位置关系(考点突破)课件
2021/12/9
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
第六单元 圆。①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.。③切线和圆心的距离等于圆的 半径.。（2）过圆心作这条直线的垂线段——证明(zhèngmíng)这条垂线段和半径相等，则该直线
No 为切线.。（3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90°角，由此可展开其他问
例3（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖(fùgài)
的最小圆形纸片的直径是
cm．
2021/12/9
第十三页，共十五页。
归纳 拓展 (guīnà)
解答本考点(kǎo diǎn)的有关题目，关键在于掌握三角形内心和外心的概 念. 注意以下要点：
(1)三角形的内心到三角形三边的距离都相等； (2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离都相等.
2021/12/9
第五页，共十五页。
温馨 提示 (wēn xīn)
与切线有关问题常作的辅助线和解题思路 （1）连接圆心和直线与圆的公共点——证明该半径(bànjìng)与已知直线垂直，则 该直线为切线. （2）过圆心作这条直线的垂线段——证明这条垂线段和半径相等，则该直线为切 线. （3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90°角，由此可展开其他问 题的计算或证明.
第十一页，共十五页。
归纳(guīnà)拓展
解答本考点(kǎo diǎn)的有关题目，关键在于掌握切线的性质和 切线的证明方法. 注意以下要点：
(1)切线的性质；
(2)常用证明方法是连接切点和圆心作直径构造直角三角形来证明 切线与直径垂直.
2021/12/9
第十二页，共十五页。
中考数学复习课件 第23课 圆的有关概念与性质
若 AB＝8，CD＝2，则 EC 的长为
()
A．2 15
B．8
C．2 10
D．2 13
【解析】 连结 BE ，如解图 1. ∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8，
∴A C ＝12A B ＝4. 设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r－2.在 Rt△AOC 中， ∵A C ＝4，OC＝r－2，OA 2＝A C2＋OC2， ∴r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5，∴AE＝2r＝10. ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 中，∵AE＝10，AB＝8， ∴BE ＝ AE2－AB2＝6. 在 Rt△BCE 中，∵BE＝6，BC＝4， ∴CE ＝ BE2＋BC2＝ 62＋42＝2 13. 【答案】 D
点评：(1)本题主要考查圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性 质，难度中等． (2)要注意题目中的隐含条件(半径相等)及分类讨论思想的应用． 解析：(1)连结 OB，OF，如解图 2. ∵A，B，C，D，E，F 是⊙O 的六等分点， ∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°， ∴△AOB，△AOF 均是等边三角形． ∴AB ＝AF＝AO＝OD，∴AB＋AF＝AD. (2)当点 P 在B︵F上时，PB＋PF＝PD；
当点 P 在B︵D上时，PB＋PD＝PF；
当点 P 在D︵F上时，PD＋PF＝PB.
【预测演练 1－1】 下列四个命题：①直径是弦；②经过 三个点一定可以作圆；③一个圆中最长的弦是直径；
④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的命题有
A．4 个 C．2 个
B．3 个 D．1 个
()
解析：其中②应该是经过不在同一直线上的三个点才可以
2．用垂径定理进行计算或证明时，常需连结半径或作出 圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再 利用圆的半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形 来求解．
中考数学复习 第6章 圆 第23讲 与圆有关的计算课件
∴∠AOC＝60 °，∠COB＝120 °.
∵OD⊥EF，∠F＝30 °，∴∠DOF＝60 °.
∠COD＝180 °－∠AOC－∠DOF＝60 °.
∵∠CAD＝∠ADO， ∴CD∥AB.∴S△ACD＝S△COD.
第十八页，共二十二页。
5．[2013·潍坊，23,12分]为了改善市民的生活环境，我市在某河滨 空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△ABC内修建矩形水 池DEFG，使顶点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分 别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)， 两弯新月部分栽植(zāizhí)花草；其余空地铺设地砖．其中，AB＝24 米，∠BAC＝60°.设EF＝x米，DE＝y米．3
2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一 平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E，点F，且EF＝2(EF
与AB在圆心(yuánxīn)O1和O2的同侧)，则由
AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于
.
第二十一页，共二十二页。
内容(nèiróng)总结
第六章 圆。设圆柱的高为h，底面半径为R，则有：。技法点拨►解决此类问题时要紧紧抓住两 者之间的对应关系：(1)圆锥的母线长等于(děngyú)侧面展开图的扇形半径。(2)圆锥的底面周长等于 (děngyú)侧面展开图的扇形弧长．。解：(1)证明：如图，连接OD.。(2)如图，连接OC，CD.。最大面积 是多少
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩 形DEFG的面积等于两弯新月面积的 ?
1 3
∵OD⊥EF，∠F＝30 °，∴∠DOF＝60 °.
∠COD＝180 °－∠AOC－∠DOF＝60 °.
∵∠CAD＝∠ADO， ∴CD∥AB.∴S△ACD＝S△COD.
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5．[2013·潍坊，23,12分]为了改善市民的生活环境，我市在某河滨 空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△ABC内修建矩形水 池DEFG，使顶点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分 别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)， 两弯新月部分栽植(zāizhí)花草；其余空地铺设地砖．其中，AB＝24 米，∠BAC＝60°.设EF＝x米，DE＝y米．3
2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一 平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E，点F，且EF＝2(EF
与AB在圆心(yuánxīn)O1和O2的同侧)，则由
AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于
.
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内容(nèiróng)总结
第六章 圆。设圆柱的高为h，底面半径为R，则有：。技法点拨►解决此类问题时要紧紧抓住两 者之间的对应关系：(1)圆锥的母线长等于(děngyú)侧面展开图的扇形半径。(2)圆锥的底面周长等于 (děngyú)侧面展开图的扇形弧长．。解：(1)证明：如图，连接OD.。(2)如图，连接OC，CD.。最大面积 是多少
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩 形DEFG的面积等于两弯新月面积的 ?
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人教版九年级上册数学第二十三章圆课件PPT(2)
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
C
（1）如何证明？
试一试
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A
O
B
D
C
A
D
B
C
O
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
D
A
B
E
O
A
DB
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
练习 1.如图所示:
C
A M└
B
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
●O
则 AM=BM 、A⌒D=B⌒D
⌒⌒ 、AC=BC
.
(2)若AM=MB, CD是直径,
D
则 CD⊥AB 、 A⌒D=B⌒D 、A⌒C=B⌒C .
绕它固定的一个端点O旋转一
周，另一个端点所形成的图
形叫做圆（circle）．
小练习
如何在操场上画一个半径是5m的圆？
[中考冲刺]人教版2016年初中数学中考复习课件 第23章 与圆有关的计算问题(共28张PPT)
![[中考冲刺]人教版2016年初中数学中考复习课件 第23章 与圆有关的计算问题(共28张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/cecd1688dd3383c4bb4cd2d3.png)
【例3】（2015•广州）已知圆的半径是2√3，则 该圆的内接正六边形的面积是（ C ） A.3√3 B.9√3 C.18√3 D.36√3
7.（2015•包头）已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为（ B ） A.2√3 B.3√3 C.4√3 D.6√3 8.（2015•达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为 2 √3cm，则正六边形的半径为 cm.
（1）∵AD∥BC，∠C=60°， ∴弧AB=CD. ∴∠ABC=∠C=60°. 如图-2，连接OA，OD. ∵OC=OD=3，∠C=60°， ∴△OCD是等边三角形. 同理可得，△OAB与△OAD均为等边三角形. ∴AD=AB=CD=3. ∴四边形ABCD的周长=BC+CD+AD+AB=6+3+3+3=15.
第23章 与圆有关的计算问题
考题分析 巩固双基 热点剖析 中考冲刺
考题分析
广东试题研究：求弧长、扇形的面积、圆锥 的侧面积和正多边形的有关计算是中考高频考点 ，广东试题还喜欢在填空题中出一道求阴影面积 的题目，该题往往与圆的有关计算相关联.
巩固双基
1.弧长公式：l=nπ r/180，其中，n为弧所对的圆 心角的度数，r为半径. 2.扇形面积公式：S=nπ r2/360，其中，n为扇形 所对的圆心角的度数，r为半径. 另一条公式：S=1/2 lr，其中，l为弧长，r为半 径. 3.圆柱的侧面积公式：S侧=2π rl，其中，r为底 面半径，l为母线长.
19.如图-13，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系 中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为（-1， 0），则点C的坐标为 (1/2，-√3/2) .
三、解答题 20.如图-14，点A，B，C在⊙O上，且四边形OABC 是平行四边形. （1）求∠AOC的度数； （2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
精选-中考数学总复习第六单元圆第23课时与圆有关的位置关系课件
A.20°
B.25°
C.40°
D.50°
图 23-5
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9
高频考向探究
探究一 切线的判定
例 1 [2018·聊城] 如图 23-6,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,作 ED⊥EB 交 AB 于点 D,☉O 是
△ BED 的外接圆.
(1)求证:AC 是☉O 的切线;
第 23 课时 与圆有关的位置关系
最新
精选中小学课件
1
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 点和圆的位置关系
若☉O 的半径为 r,r>OA⇔点 A 在圆① 内 ;r=OA⇔点 A 在圆② 上 ;r<OA⇔点 A 在圆③ 外 .
最新
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2
课前双基巩固
考点二 直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系(设 r 为圆的半径,d 为圆心到直线的距离):
直线和圆的位置关系
相交
相切
d 与 r 的大小关系
d<r
④ d>r
直线与圆的公共点个数
⑥2 个
1个
相离
⑤ d=r
0个
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精选中小学课件
3
课前双基巩固
考点三 切线的性质和判定
切线的判定
(1)与圆有⑦ 唯一 公共点的直线是圆的切线(定义); (2)到圆心的距离等于⑧ 半径 的直线是圆的切线; (3)过半径外端点且⑨ 垂直于 半径的直线是圆的切线
由(1)知∠CBE=∠OBE,∴△ BCE∽△BED,∴������������=������������.
������������ ��������4,∴������4������=2×42.5,∴BC=156.
中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第六单元 圆 第23讲 与圆有关的位置关系课件
(1)定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点
到圆的切线长.
(2)切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 ,这一点和圆心
的连线平分两条切线的夹角.
12/10/2021
第四页，共二十八页。
(kǎo
diǎn)一
考点
考点(kǎo
diǎn)二
考点三
考点三三角形的外接圆与内切圆
函数图象大致是( D )
12/10/2021
第七页，共二十八页。
命题(mìng
命题(mìng
tí)点1
tí)点2
命题点3
解析 ∵AB与☉O相切,∴∠BAP=90°,
∵OP=x,AP=2-x,∠APB=60°,
∴AB= 3(2-x),
3
∴△APB 的面积 y= 2 (2-x)2(0≤x≤2).
观察各选项,只有D项符合.
设BD=x,则CD=8-x,则有h2=52-x2=72-(8-x)2,
5
5 3
2
2
解得 x= ,从而 h=
,
1
1
∴三角形面积=2h·8=2r·(5+7+8),
∴r= 3,故选 C.
方法总结圆与三角形有着密不可分的关系,任意一个三角形都有一个外
接圆和内切圆.求三角形内切圆的半径一般是通过三角形的面积分解来求
正
D 定理得∠BCP=90°;点 P 是AB的中点时,CP 是直径,得∠
确
CBP=90°,△BPC 是直角三角形
12/10/2021
第十页，共二十八页。
考法2
考法1
考法3
考法1与圆有关的位置(wèi zhi)关系
例1(2018·黑龙江大庆(dàqìng))已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,-5),将直线向上
到圆的切线长.
(2)切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 ,这一点和圆心
的连线平分两条切线的夹角.
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(kǎo
diǎn)一
考点
考点(kǎo
diǎn)二
考点三
考点三三角形的外接圆与内切圆
函数图象大致是( D )
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命题(mìng
命题(mìng
tí)点1
tí)点2
命题点3
解析 ∵AB与☉O相切,∴∠BAP=90°,
∵OP=x,AP=2-x,∠APB=60°,
∴AB= 3(2-x),
3
∴△APB 的面积 y= 2 (2-x)2(0≤x≤2).
观察各选项,只有D项符合.
设BD=x,则CD=8-x,则有h2=52-x2=72-(8-x)2,
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解得 x= ,从而 h=
,
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∴三角形面积=2h·8=2r·(5+7+8),
∴r= 3,故选 C.
方法总结圆与三角形有着密不可分的关系,任意一个三角形都有一个外
接圆和内切圆.求三角形内切圆的半径一般是通过三角形的面积分解来求
正
D 定理得∠BCP=90°;点 P 是AB的中点时,CP 是直径,得∠
确
CBP=90°,△BPC 是直角三角形
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考法2
考法1
考法3
考法1与圆有关的位置(wèi zhi)关系
例1(2018·黑龙江大庆(dàqìng))已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,-5),将直线向上
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（1）∵AD∥BC，∠C=60°， ∴弧AB=CD. ∴∠ABC=∠C=60°. 如图-2，连接OA，OD. ∵OC=OD=3，∠C=60°， ∴△OCD是等边三角形. 同理可得，△OAB与△OAD均为等边三角形. ∴AD=AB=CD=3. ∴四边形ABCD的周长=BC+CD+AD+AB=6+3+3+3=15.
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（2）如图-2，设OA与BD相交于点E. 由（1）知AD=AB=OB=OD=3. ∴四边形ABOD是菱形. ∴AE=OE，BE=DE. 又∵∠AEB=∠OED， ∴△ABE≌△ODE（SAS）. ∴S阴影=S扇形AOD=60π ×32/360=3/2π .
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例2：（2015•广东）如图-1，某数学
兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框 ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇 形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形 D DAB的面积为（ ） A.6 B.7C，D均在半径 为3的⊙O上，AD∥BC，BD平分∠ABC， ∠C=60°. （1）求四边形ABCD的周长； （2）求图中阴影部分的面积（结果保 留π）.
第18讲
与圆有关的计算问题
考题分析 巩固双基 热点剖析
考题分析
甘南州试题研究：求弧长、扇形的面积、
圆锥的侧面积和正多边形的有关计算是中考 高频考点，同时还喜欢在填空题中出一道求 阴影面积的题目，该题往往与圆的有关计算 相关联.
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巩固双基
1.弧长公式：L=nπr/180，其中，n为 弧所对的圆心角的度数，r为半径. 2.扇形面积公式：S=nπr2/360，其中 ，n为扇形所对的圆心角的度数，r为半 径. 另一条公式：S=1/2 Lr，其中，L为弧 长，r为半径.
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3.圆锥的侧面积公式：S侧=πrL，其中 ，r为底面半径，L为母线长. 4.正多边形的有关的计算，总是归结为 一个直角三角形的有关计算，它的三边 分别是边长的一半、半径、边心距，其 中，隐含的条件是中心角的一半 α=180°/n.
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考点训练
例1：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B=135°，则弧AC的长（ B ) A.2π B.π C.π/2 D.π/3 练习：如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A 为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE 的长为（ ） C A.π B.1.5π C.2π D.3π 首页 末页