(毕节专版)2019年中考数学复习 专题8 二次函数与几何图形的综合(精讲)试题

专题八二次函数与几何图形的综合毕节中考备考攻略二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函数与线段的长(1)一般设抛物线上点的横坐标为x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；(2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值；(3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决.2.二次函数与图形的面积(1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积.3.二次函数与特殊三角形(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论； (2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论. 4.二次函数与特殊四边形此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.5.二次函数与相似三角形结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破二次函数与线段的长例1 (2018·遂宁中考改编)如图,已知抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4的对称轴是直线x ＝3,且与x 轴相交于A,B 两点(B 点在A 点右侧),与y 轴交于C 点.(1)求抛物线的解析式和A,B 两点的坐标；(2)若M 是抛物线上任意一点,过点M 作y 轴的平行线,交直线BC 于点N,当MN ＝3时,求点M 的坐标. 【解析】(1)由抛物线的对称轴x ＝3,利用二次函数的性质即可得到a 的值,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与x 轴交点的纵坐标为0可求出点A,B 的坐标；(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标.由点B,C 的坐标,利用待定系数法可得直线BC 的解析式.设点M 的横坐标为m,可表示点M 的纵坐标.又由MN∥y 轴,可表示出点N 的横纵坐标,进而可用m 的代数式表示出MN 的长,结合MN ＝3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4的对称轴是直线x ＝3,∴－322a ＝3,解得a ＝－14,∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.当y ＝0时,－14x 2＋32x ＋4＝0,解得x 1＝－2,x 2＝8.∴点A 的坐标为(－2,0),点B 的坐标为(8,0)； (2)当x ＝0时,y ＝－14x 2＋32x ＋4＝4,∴点C 的坐标为(0,4).设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0). 将B(8,0),C(0,4)代入y ＝kx ＋b,得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝4，∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4.设点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－14m 2＋32m ＋4,则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－12m ＋4, ∴MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14m 2＋32m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14m 2＋2m .又∵MN＝3,∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14m 2＋2m ＝3.当－14m 2＋2m≥0,即0≤m≤8时,－14m 2＋2m ＝3,解得m 1＝2,m 2＝6,此时点M 的坐标为(2,6)或(6,4).同理,当－14m 2＋2m ＜0,即m>8或m<0时,点M 的坐标为(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).综上所述,点M 的坐标为(2,6),(6,4),(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).1.(2018·安顺中考改编)如图,已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1,且抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3).(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B,C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标. 解：(1)依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. 令y ＝0,则－x 2－2x ＋3＝0, 解得x 1＝1,x 2＝－3, ∴点B(－3,0).把B(－3,0),C(0,3)代入y ＝mx ＋n,得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0，n ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3；(2)设直线BC 与x ＝－1的交点为M,连接AM. ∵点A,B 关于抛物线的对称轴对称, ∴MA ＝MB,∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC,∴当点M 为直线BC 与x ＝－1的交点时,MA ＋MC 的值最小. 把x ＝－1代入y ＝x ＋3,得y ＝2, ∴M(－1,2).二次函数与图形的面积例2 (2018·达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(72,0).(1)求抛物线的解析式；(2)连接OA,过点A 作AC⊥OA 交抛物线于点C,连接OC,求△AOC 的面积.【解析】(1)设交点式y ＝ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72,然后把A 点坐标代入求出a,即可得到抛物线的解析式； (2)延长CA 交y 轴于点D,易得OA ＝2,∠DOA ＝45°,则可判断△AOD 为等腰直角三角形,由此可求出D 点坐标,利用待定系数法求出直线AD 的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于x 的一元二次方程,解方程可得点C 的坐标,利用三角形面积公式及S △AOC ＝S △COD －S △AOD 进行计算,进而得出△AOC 的面积.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72. 把A(1,1)代入y ＝ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72,可得a ＝－25, ∴抛物线的解析式为y ＝－25x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72,即y ＝－25x 2＋75x ；(2)延长CA 交y 轴于点D. ∵A(1,1),∠OAC ＝90°, ∴OA ＝2,∠DOA ＝45°, ∴△AOD 为等腰直角三角形, ∴OD ＝2OA ＝2,∴D (0,2).由点A(1,1),D(0,2),得直线AD 的解析式为y ＝－x ＋2. 令－25x 2＋75x ＝－x ＋2,解得x 1＝1,x 2＝5.当x ＝5时,y ＝－x ＋2＝－3,∴C(5,－3), ∴S △AOC ＝S △COD －S △AOD ＝12×2×5－12×2×1＝4.2.(2018·眉山中考改编)如图,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l：x＝2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得D(3,0),设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3).把A(0,3)代入y＝a(x－1)(x－3),得3＝3a,解得a＝1,∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)由题意知P(m,m2－4m＋3).∵OE平分∠AOB,∠AOB＝90°,∴∠AOE＝45°,∴△AOE是等腰直角三角形,∴AE＝OA＝3,∴E(3,3).易得OE的解析式为y＝x.过点P作PG∥y轴,交OE于点G,则G(m,m),∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3.∴S 四边形AOPE ＝S △AOE ＋S △PO E ＝12×3×3＋12PG·AE＝92＋12×(－m 2＋5m －3)×3＝－32m 2＋152m＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －522＋758.∵－32＜0,∴当m ＝52时,四边形AOPE 的面积最大,最大值是758.二次函数与特殊三角形例3 (2018·枣庄中考改编)如图,已知二次函数y ＝ax 2＋32x ＋c(a≠0)的图象与y 轴交于点A(0,4),与x 轴交于点B,C,点C 坐标为(8,0),连接AB,AC.(1)求二次函数的表达式；(2)若点N 在x 轴上运动,当以点A,N,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N 的坐标. 【解析】(1)根据待定系数法即可得出答案；(2)分别以A,C 两点为圆心,AC 长为半径画弧,与x 轴交于三个点,由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点,即可求得点N 的坐标.【答案】解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋32x ＋c 的图象与y 轴交于点A(0,4),与x 轴交于点C(8,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，c ＝4，∴二次函数的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4；(2)∵A(0,4),C(8,0), ∴AC ＝42＋82＝4 5.①以点A 为圆心,AC 长为半径作圆,交x 轴于点N,则AN ＝AC,故△NAC 是以NC 为底边的等腰三角形,此时N 点坐标为(－8,0)；②以点C 为圆心,AC 长为半径作圆,交x 轴于点N,则CN ＝CA,故△ACN 是以NA 为底边的等腰三角形,此时N 点坐标为(8－45,0)或(8＋45,0)；③作AC 的垂直平分线,交x 轴于点N,则NA ＝NC,故△ANC 是以AC 为底边的等腰三角形,此时点N 为BC 的中点.令y ＝－14x 2＋32x ＋4＝0,解得x 1＝8,x 2＝－2,此时N 点坐标为(3,0).综上所述,点N 在x 轴上运动,当以点A,N,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点N 的坐标为(－8,0),(8－45,0),(3,0)或(8＋45,0).3.(2018·兰州中考)如图,抛物线y ＝ax 2＋bx －4经过A(－3,0),B(5,－4)两点,与y 轴交于点C,连接AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式； (2)求证：AB 平分∠CAO；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.(1)解：将A(－3,0),B(5,－4)代入y ＝ax 2＋bx －4,得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －4＝0，25a ＋5b －4＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，b ＝－56，∴抛物线的表达式为y ＝16x 2－56x －4；(2)证明：∵AO＝3,OC ＝4, ∴AC ＝5.取D(2,0),则AD ＝AC ＝5.由两点间的距离公式可知BD ＝（5－2）2＋（－4－0）2＝5.∵C(0,－4),B(5,－4),∴BC ＝5. ∴AD ＝AC ＝BD ＝BC. ∴四边形ACBD 是菱形,∴∠CAB ＝∠BAD ,∴AB 平分∠CAO；(3)解：如图,抛物线的对称轴交x 轴与点E,交BC 与点F, 过点A,B 分别作M′A⊥AB ,MB ⊥AB,交对称轴于点M′,M. 抛物线的对称轴为x ＝52,AE ＝115.∵A(－3,0),B(5,－4),∴tan ∠EAB ＝12.∵∠M ′AB ＝90°,∴tan ∠M ′AE ＝2.∴M′E＝2AE ＝11,∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫52，11. 同理,tan ∠MBF ＝2.又∵BF＝52,∴FM ＝5,∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－9.综上所述,抛物线的对称轴上存在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，11 或⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－9,使得△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形.二次函数与四边形例4 (2018·河南中考改编)如图,抛物线y ＝ax 2＋6x ＋c 交x 轴于A,B 两点,交y 轴于点C,直线y ＝x －5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A 的直线交直线BC 于点M,当AM⊥BC 时,过抛物线上一动点P(不与点B,C 重合),作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q,若以点A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标；【解析】(1)利用直线BC 的解析式确定点B,C 的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先利用抛物线的解析式求出A 点坐标,再判断△OCB 为等腰直角三角形,继而得到∠OBC ＝∠OCB＝45°,则△AMB 为等腰直角三角形,进而求出点M 的坐标,根据抛物线和直线BC 的解析式设点P,Q 的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分,即可列出等式方程,解方程即可得到点P 的横坐标.【答案】解：(1)当x ＝0时,y ＝－5,则C(0,－5). 当y ＝0时,y ＝x －5＝0,解得x ＝5,则B(5,0). 把B(5,0),C(0,－5)代入y ＝ax 2＋6x ＋c,得⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋30＋c ＝0，c ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－5， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋6x －5； (2)令y ＝－x 2＋6x －5＝0,解得x 1＝1,x 2＝5, ∴A(1,0).∵B(5,0),C(0,－5),∠BAC ＝90°,∴△OCB 为等腰直角三角形,∴∠OBC ＝∠OCB＝45°. 又∵AM⊥BC ,∴△AMB 为等腰直角三角形, ∴AM ＝22AB ＝22×4＝2 2. ∵以点A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形, ∴AM ∥PQ,∴PQ ＝AM ＝22,PQ ⊥BC.作PD⊥x 轴交直线BC 于点D,则∠PDQ＝45°, ∴PD ＝2PQ ＝2×22＝4. 设P(m,－m 2＋6m －5),则D(m,m －5).当点P 在直线BC 上方时,PD ＝－m 2＋6m －5－(m －5)＝－m 2＋5m ＝4,解得m 1＝1(舍去),m 2＝4； 当点P 在直线BC 下方时,PD ＝m －5－(－m 2＋6m －5)＝m 2－5m ＝4,解得m 3＝5＋412,m 4＝5－412.综上所述,点P 的横坐标为4,5＋412或5－412.4.(2018·济宁中考改编)如图,已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点A(3,0),B(－1,0),C(0,－3).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点Q 在x 轴上,点P 在抛物线上,是否存在以点B ,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求点P 的坐标；若不存在,请说明理由. 解：(1)把A(3,0),B(－1,0),C(0,－3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c,得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3， ∴该抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；(2)存在以点B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形. 设直线BC 的解析式为y ＝kx －3,把B(－1,0)代入,得－k －3＝0,即k ＝－3, ∴直线BC 的解析式为y ＝－3x －3. 设Q(x,0),P(m,m 2－2m －3).当四边形BCQP 为平行四边形时,BC ∥PQ,且BC ＝PQ.由B(－1,0),C(0,－3),得点P 的纵坐标为3,即m 2－2m －3＝3,解得m ＝1±7, 此时P(1＋7,3)或P(1－7,3)；当四边形BCPQ 为平行四边形或四边形是以BC 为对角线的平行四边形时,点P 的纵坐标为－3,即m 2－2m －3＝－3,解得m ＝0或m ＝2,此时P(2,－3).综上所述,存在以点B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形,P 的坐标为(1＋7,3)或(1－7,3),(2,－3).二次函数与相似三角形例5 (2018·德州中考改编)如图,在平面直角坐标系中,直线y ＝x －1与抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 交于A,B 两点,其中A(m,0),B(4,n),该抛物线与y 轴交于点C,与x 轴交于另一点D.(1)求m,n 的值及该抛物线的解析式；(2)连接BD,CD,在线段CD 上是否存在点Q,使得以A,D,Q 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)把点A,B 的坐标代入y ＝x －1求出m 与n 的值,确定点A,B 的坐标,然后代入y ＝－x 2＋bx ＋c 求出b 与c 的值即可；(2)由点C,D 的坐标易得直线BC 的解析式为y ＝x －5,再由直线AB 的解析式易得AB∥CD ,因此∠ADC＝∠BAD.分类讨论：当△DAQ∽△ABD 或△DQA∽△ABD 时,根据对应边成比例求出DQ 的长,即可求出点Q 的坐标.【答案】解：(1)把点A(m,0),B(4,n)代入y ＝x －1,得m ＝1,n ＝3, ∴A(1,0),B(4,3).∵y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A,B 两点,∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝0，－16＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝－5， ∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋6x －5；(2)在线段CD 上存在点Q,使得以A,D,Q 为顶点的三角形与△ABD 相似.由(1)中结果可知C(0,－5),D(5,0), ∴直线CD 的解析式为y ＝x －5. 又∵直线AB 的解析式为y ＝x －1, ∴AB ∥CD,∴∠BAD ＝∠ADC. 设Q(x,x －5)(0≤x<5). 当△ABD∽△DAQ 时,AB DA ＝ADDQ ,即324＝4DQ ,解得DQ ＝823, 由两点间的距离公式,得(x －5)2＋(x －5)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8232,解得x ＝73或x ＝233(舍去),此时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，－83；当△ABD∽△DQA 时,AB DQ ＝ADDA ＝1,即DQ ＝32,∴(x －5)2＋(x －5)2＝(32)2,解得x ＝2或x ＝8(舍去),此时Q(2,－3). 综上所述,点Q 的坐标为(2,－3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，－83.5.(2018·深圳中考改编) 已知顶点为A 的抛物线y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－2经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.(1)求抛物线的解析式；(2)如图,直线AB 与x 轴相交于点M,与y 轴相交于点E,抛物线与y 轴相交于点F,在直线AB 上有一点P,若∠OPM＝∠MAF ,求△POE 的面积.解：(1)把点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2代入y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－2,解得a ＝1, ∴抛物线的解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－2,即y ＝x 2－x －74；(2)由(1)中结果得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2,F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－74. 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b,由点A,B 的坐标,得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝12k ＋b ，2＝－32k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－1，∴直线AB 的解析式为y ＝－2x －1, ∴OE ＝1,FE ＝34.若∠OPM＝∠MAF ,则当OP∥AF 时,△OPE ∽△FAE,∴OP FA ＝OE FE ＝134＝43,∴OP ＝43FA ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－2＋742＝53.设点P(t,－2t －1),则OP ＝t 2＋（－2t －1）2＝53, 即(15t ＋2)(3t ＋2)＝0,解得t 1＝－215,t 2＝－23.由对称性知,当t 1＝215时,也满足∠OPM＝∠MAF ,∴t 1,t 2的值都满足条件.∵S △POE ＝12OE·|t|,∴当t ＝－215时,S △OPE ＝12×1×215＝115；当t ＝－23时,S △OPE ＝12×1×23＝13.综上所述,△POE 的面积为115或13.毕节中考专题过关1.(2018·自贡中考改编)如图,抛物线y ＝ax 2＋bx －3过A(1,0),B(－3,0)两点,直线AD 交抛物线于点D,点D 的横坐标为－2,点P(m,n)是线段AD 上的动点.(1)求直线AD 及抛物线的解析式；(2)过点P 的直线垂直于x 轴,交抛物线于点Q,求线段PQ 的长度l 与m 的关系式,m 为何值时,PQ 最长？ 解：(1)把(1,0),(－3,0)代入y ＝ax 2＋bx －3,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝0，9a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.当x ＝－2时,y ＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3, 即D(－2,－3).设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b′. 将A(1,0),D(－2,－3)代入,得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b′＝0，－2k ＋b′＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ′＝－1，∴直线AD 的解析式为y ＝x －1；(2)由(1)可得P(m,m －1),Q(m,m 2＋2m －3), ∴l ＝(m －1)－(m 2＋2m －3), 即l ＝－m 2－m ＋2(－2≤m≤1),配方,得l ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122＋94,∴当m ＝－12时,PQ 最长.2.(2018·菏泽中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2＋bx －5交y 轴于点A,交x 轴于点B(－5,0)和点C(1,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点,当点P 运动到某一位置时,△ABP 的面积最大,求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积.解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －5交y 轴于点A,交x 轴于点B(－5,0)和点C(1,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧25a －5b －5＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴该抛物线的解析式为y ＝x 2＋4x －5； (2)设点P 的坐标为(p,p 2＋4p －5),如图.由点A(0,－5),B(－5,0)得直线AB 的解析式为y ＝－x －5. 当x ＝p 时,y ＝－p －5. ∵OB ＝5,∴S △ABP ＝（－p －5）－（p 2＋4p －5）2·5＝－52⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋522－254.∵点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点, ∴－5＜p ＜0,∴当p ＝－52时,S 取得最大值,此时S ＝1258,点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－354,即当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－354时,△ABP 的面积最大,此时△ABP 的面积是1258.3.(2018·泰安中考改编)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A(－4,0),B(2,0),交y 轴于点C(0,6),在y 轴上有一点E(0,－2),连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP 为等腰三角形？若存在,请求出所有P 点坐标；若不存在,请说明理由. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－4,0),B(2,0),C(0,6),∴⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝－32，c ＝6， ∴二次函数的表达式为y ＝－34x 2－32x ＋6； (2)在抛物线对称轴上存在点P,使△AEP 为等腰三角形. ∵抛物线y ＝－34x 2－32x ＋6的对称轴为x ＝－1,∴设P(－1,n). 又∵E(0,－2),A(－4,0), ∴PA ＝9＋n 2,PE ＝1＋（n ＋2）2,AE ＝16＋4＝2 5.当PA ＝PE 时,9＋n 2＝1＋（n ＋2）2,解得n ＝1,此时P(－1,1)；当PA ＝AE 时,9＋n 2＝25,解得n ＝±11,此时P(－1,±11)；当PE ＝AE 时,1＋（n ＋2）2＝25,解得n ＝－2±19,此时P (－1,－2±19).综上所述,点P 的坐标为(－1,1),(－1,±11)或(－1,－2±19).4.(2018·上海中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点A(－1,0)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52,顶点为C,点D 在其对称轴上且位于点C 下方,将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°,点C 落在抛物线上的点P 处.(1)求这条抛物线的表达式；(2)求线段CD 的长；(3)将抛物线平移,使其顶点C 移到原点O 的位置,这时点P 落在点E 的位置,如果点M 在y 轴上,且以O,D,E,M 为顶点的四边形面积为8,求点M 的坐标.解：(1)把A(－1,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52代入y ＝－12x 2＋bx ＋c,得 ⎩⎪⎨⎪⎧－12－b ＋c ＝0，c ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝52， ∴这条抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋52； (2)∵y＝－12(x －2)2＋92, ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，92,抛物线的对称轴为直线x ＝2.如图,设CD ＝t,则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，92－t . 由题意,得∠PDC＝90°,DP ＝DC ＝t,∴P ⎝⎛⎭⎪⎫2＋t ，92－t . 把P ⎝⎛⎭⎪⎫2＋t ，92－t 代入y ＝－12x 2＋2x ＋52,可得 t 1＝0(舍去),t 2＝2.∴线段CD 的长为2；(3)由(2)易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52. ∴平移后,E 点坐标为(2,－2).设M(0,m),则12·⎝⎛⎭⎪⎫|m|＋52＋2·2＝8, ∴m ＝±72, ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝⎛⎭⎪⎫0，－72.5.(2018·绵阳中考改编)如图,已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a≠0)过点A(3,－3)和点B(33,0).过点A 作直线AC∥x 轴,交y 轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P,过点P 作直线AC 的垂线,垂足为点D.连接OA,使得以A,D,P 为顶点的三角形与△AOC 相似,求出对应点P 的坐标.解：(1)把点A(3,－3),B(33,0)代入y ＝ax 2＋bx,得⎩⎨⎧3a ＋3b ＝－3，27a ＋33b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－332.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－332x ；(2)设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2－332x .①若点P 在直线AD 上方,则AD ＝x －3,PD ＝12x 2－332x ＋3.当△OCA∽△ADP 时,OCAD ＝CADP , 即3x －3＝312x 2－332x ＋3,∴x ＝833或x ＝3(舍去),此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫833，－43；当△OCA∽△P DA 时,OCPD ＝CADA , 即312x 2－332x ＋3＝3x －3,∴x ＝43或x ＝3(舍去),此时P(43,6)；②若P 在直线AD 下方,同理可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫433，－103.综上所述,点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫833，－43,(43,6)或⎝ ⎛⎭⎪⎫433，－103.6.如图,在⊙C 的内接△AOB 中,AB ＝AO ＝4,tan ∠AOB ＝34,抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点A(4,0),(－2,6). (1)求抛物线的函数解析式；(2)直线m 与⊙C 相切于点A,交y 轴于点D.动点P 在线段OB 上,从点O 出发向点B 运动；同时动点Q 在线段DA 上,从点D 出发向点A 运动；点P 的速度为每秒1个单位长度,点Q 的速度为每秒2个单位长度.当PQ⊥AD 时,求运动时间t 的值.解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点A(4,0),(－2,6), ∴⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＝0，4a －2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x.(2)连接AC 交OB 于点E,由垂径定理得AC⊥OB.∵AD 为⊙C 的切线,∴AC ⊥AD.∴AD ∥OB.∴∠AOB ＝∠OAD.∵tan ∠AOB ＝34,∴tan ∠OAD ＝34. ∴OD ＝OA tan ∠OAD ＝4×34＝3.当PQ ⊥AD 时,OP ＝t,DQ ＝2t.过点O 作OF⊥AD 于点F,则四边形OFQP 是矩形. ∴DF ＝DQ －FQ ＝DQ －OP ＝2t －t ＝t.∵∠DOF ＋∠AOF＝∠OAF＋∠AOF＝90°, ∴∠DOF ＝∠OAF.∴tan ∠DOF ＝DFOF ＝tan ∠OAD ＝34.∴OF ＝43DF.在Rt △ODF 中,OD ＝3,OF ＝43DF,OD 2＝OF 2＋DF 2,∴32＝(DF)2＋DF 2.∴DF ＝1.8.∴t＝1.8(s ).。