二面角的概念及求法

BD=4，AC 6 ．试求 A - BD - C 的余弦值． AD DC 4 ，
A D
C B
题型二 用三垂线定理作二面角 【例题 2】如图，ABCD－A1 B1 C1 D1 是正方体，E 是 CC1 的中点，求二面 D1 C1 角 B －B1E － D 的余弦 A 1 B1 E 值。 D A B C
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设 n = (x,y,z) 是平面 DB1E 的 一个法向量，
z B1
C1 E C y
n·→ DE = 0 由 → n· DB1 = 0
2ay + az = 0 得 2ax + 2ay + 2az = 0
令 y = 1 z = －2，x = 1 ∴ n = (1,1,－2) 显然 m = (0,1,0) 平面 BB1E 的一个法向量 设二面角 B－B1E－D 为 ，显然 为锐角， ∴ m ·n 1 6 cos = = = 6 | m |·| n | 6
∵ ∴ ∴
△B1C1E∽△CFE，设正方体的棱长为 a B1C1· CE 5 CF = = a B1E 5 CD tan∠DFC = = CF 6 cos∠DFC = 6 a = 5 a 5 5
∴
6 即二面角 B－B1E－D 的余弦值为 6
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【解析 2】以 D 为原点，AD 为 x 轴，CD 为 y 轴，DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系， 设 AB = 2a， 则 B1(2a,2a,2a)， D(0,0,0)，E(0,2a,a) ∴ → → DB1 = (2a,2a,2a)， DE = (0,2a,a) D1 A1 D A x B
9－8 二面角的概念及求法
相关概念：
1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
2.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角
A O⊥ l ，B O⊥ l
O
A
l
B
二面角的平面角的三个特征: 1.点在棱上 2.边在面内 3.边与棱垂直
二面角的大小的范围:
0 180
直二面角:
90
找二面角的方法：
1、定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内 分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就是 此二面角的平面角。 2、三垂线法: 在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB ，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O ，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面 ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 A a
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义(垂直于棱)； பைடு நூலகம்3）计算.
典例与变式
题型一 用全等图形作二面角
【例题1】已知正四棱锥的底面边长为10， 侧棱长为13，则相邻两侧面所成二面角的 V 余弦是 。
H D O A B C M
AB BC 6， 练习1：如图，已知空间四边形 ABCD ，
O
B A
A

C a O a O B



B
4、向量法：
(1)方向向量法:
将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内垂 直于二面角的棱且指向该面方向 的向量）所成的角。
D

B
l
C
A

二面角 l 中, B、C l , AB , CD , 且 AB l , CD l，二面角的大小等于 BA, CD cos BA, CD BA CD BA CD
【解析 1】由题意可得直线 DC ⊥平面 BEB1，且 垂足为 C，过 C 作 CF ⊥B1E 于 F (如图，F 在 B1E 的延长线上)，连 DF， 则由三垂线定理得 DF⊥B1E ∴ ∠DFC 即二面角的平面角。 D1 C1 B1 A1 B1 C1 E F E F D C B C A B
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解答
练习2：如图， Rt△ABC所在平面外一点P在面ABC上 的射影是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点 O ，若 PB=AB=1 ， BC= 2 ，求二面角P-AB-C的正切值。
P
A O
B C
小结：
找二面角的方法： 1.定义法 2.三垂线法 3.垂面法 4.向量法 求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平 面角； （2）证明其符合定义(垂直 于棱)； （3）计算.
6 即所求二面角 A1－BD－C1 的余弦为 6
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(2)法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 如图，向量 n ，m 则二面角 l 的大小 m,n m ,n
m
n
注意法向量的方向： 同进同出，二面角等 于法向量夹角的补角 ；一进一出，二面角 等于法向量夹角
l
求二面角大小的步骤为：