江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：导数及其应用

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编

导数及其应用

一、填空题

1、（常州市2015届高三）曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫

⎪⎝⎭

，处的切线方程为 ▲

二、解答题

1、（常州市2015届高三）已知a b ，为实数，函数1

()f x b x a

=

++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；

（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x = 定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，

求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．

2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）已知函数x ax x x f +-

=2

2

1ln )(，a R ∈． (1)若2a =，求函数()f x 的单调递减区间；

(2)若关于x 的不等式()1f x ax -≤恒成立，求整数a 的最小值；

(3)若2a =-，1x ，2x 是两个不相等的正数，且1212()()0f x f x x x ++=，

求证：12x x +．

3、（南京市、盐城市2015届高三）已知函数()x

f x e =，()

g x mx n =+. （1）设()()()

h x f x g x =-.

① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；

② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围； （2）设函数1()()()

nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.

4、（南通市2015届高三）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.

已知函数3

()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈

()1当0a =时，求()f x 的极值； ()2若()f x 在区间1

(,

)e e

上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.

5、（苏州市2015届高三上期末）已知函数()(1)x

f x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数.

（1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；

（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值.

6、（泰州市2015届高三上期末）已知函数1

()ln f x x x

=-

，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1

()ln f x x x

=-

图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 2

2e >．

（取e 为2.8，取ln 2为0.7为1.4）

7、（无锡市2015届高三上期末）设函数()22ln -+f x x x ax b =在点()()

0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+. (1)求实数a 及0x 的值； (2)求证：对任意实数，函数()f x 有且仅有两个零点.

8、（扬州市2015届高三上期末）已知函数2

(),()x

f x e

g x ax bx c ==++。

（1）若f （x ）的图象与g （x ）的图象所在两条曲线的一个公共点在y 轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b 和c 的值。

（2）若a ＝c ＝1，b ＝0，试比较f （x ）与g （x ）的大小，并说明理由；

（3）若b ＝c ＝0，证明：对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当x (,)m ∈+∞时， 恒有f （x ）＞g （x ）成立。

9、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4km ．地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的△BEF 作为健身场所．设点P 到边AD 的距离为t （单位：km ），△BEF 的面积为S （单位：2km ）．

(1)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域；

(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ？并说明理由．

参考答案

一、填空题

1、202

x y p

--= 二、解答题 1、解：（1）1

()ln F x x x

=

+， 21

()x F x x

-'=，令()0F x '=，得1x =． ………………………1分 列表：

（第17题）

所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值． ………………………4分 （2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则11

()(

)ln 1

G x b x x =+-≥在(0,1)(1,)x ∈+∞上恒成立． ………………………5分

1）当(0,1)x ∈时， 1

()(

)ln 11

G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*）

则(1)0H =，1()ln 1b

H x b x b x

-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2

(1)1

()b x Q x x +-'=

． ①12b ≤

时，因为11

(1)1(1)121022

b x x +-+-<⨯-=≤， 故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=，

即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故()(1)0H x H <=，所以（*） 成立，满足题意； ………………………7分

②当12

b >时，22

1

[(1)]

(1)1()b x b x b Q x x x --+-'==， 因为12b >

，所以111b -<，记1110,1I b =-（，）（），则当x I ∈时，1

(1)0x b

-->， 故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=，

即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以()(1)0H x H >=，此时（*）不成立； 所以当(0,1)x ∈，1()(

)ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，1

2b ≤； ………………9分 2）当(1,)x ∈+∞时，1

()(

)ln 11

G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**）

则(1)0H =，1()ln 1b

H x b x b x

-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=+

+-，则2

(1)1

()b x Q x x +-'=

．