宁夏银川一中2020届高三第五次月考 数学(文)

银川一中2020届高三年级第五次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}8,7,6,5,4,3,2,1,0=U ,{}6,4,3,1=A ,{}8,7,5,2,1,0=B ，则=)(B C A U A ．{}6,4,3 B ．{}6,3,1 C ．{}5,4,3 D ．{}6,4,1 2．已知(,)a bi a b +∈R 是ii+1的共轭复数，则bi a += A ．1 B ．21C ．2D ．22 3．下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”C ．命题“p 且q ”为假命题，则命题“p ”和命题“q ”均为假命题D ．已知x R ∈，则“2>x 是4>x ”的充分不必要条件4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆25)5(22=+-y x 的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为A ．x 25－y 220＝1B ．x 225－y 220＝1C ．x 220－y 25＝1D ．x 220－y 225＝1 5．若33)2sin(=+πα，则α2cos = A ．31 B ．32 C ．31- D ．32- 6．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和nS=A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n +D ．2n n +7．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>双曲线222=-y x 的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为A ．181222=+y xB ．221126y x +=C ．221164y x += D ．221205y x += 8．执行如图所示的程序框图，若输入n =10，则输出的S 的值是 A ．910 B ．1011C ．1112D ．9229．已知向量)3,3(=a在向量)1,(n b = 方向上的投影为3，则a 与b 的夹角为A ．300B ．600C ．300或1500D ．600或12010．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为A ．π3B ．π6C ．π9D ．π1211．已知直线)0(02>=+-k k y kx 与抛物线C:x y 82=相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若FB FA 2=,则k =A ．31 B ．32C ．32D ．322 12．已知对任意的[1,e]x ∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln e 0yx y a +-=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 A ．[1,e] B ．1(1,e 1)e++ C ．1(,1e]e+D ．1(1,e]e+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[2,0]x ∈-时，()2xf x =-，则(5)f =______．14．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则y x z 2+=的最大值是_____________．15．过点A (6,1)作直线与双曲线x 2-4y 2=16相交于两点B ,C ,且A 为线段BC 的中点,则直线的方程（表示为一般式）为 ．16．表面积为π20的球面上有四点S ,A ,B ,C 且ABC ∆是边长为32的等边三角形，若平面⊥SAB 平面ABC ，则三棱锥ABC S -体积的最大值是__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：(共60分) 17．(12分）已知函数12cos 2)3cos()(2-+-=xx x f π． （1）求()f x 的最大值并求取得最大值时x 的集合；（2）记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若3)(=B f ，1=b ，3=c ，求a的值． 18．(12分)已知数列{}n a 满足211=a 且131+=+n n a a ． （1）证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列； （2）设数列{}n b 满足11=b ，211+=-+n n n a b b ，求数列{}n b 的通项公式． 19．(12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面PAB ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,△PAB 为等边三角形,E 是PB 中点,平面AED 与棱PC 交于点F ． (1)求证:AD ∥EF ; (2)求证:PB ⊥平面AEFD ;(3)记四棱锥P -AEFD 的体积为V 1,四棱锥P -ABCD 的体积为V 2,直接写出21V V 的值．20．(12分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (l ，0)的距离和它到定直线x ＝4的距离之比是12，设动点P 的轨迹为E 。

(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设过F 的直线交轨迹E 的弦为AB ，过原点的直线交轨迹E 的弦为CD ，若AB //CD ，求证：2CDAB为定值. 21．(12分)设()ln xaf x b x e =-，其中,a b R ∈，函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为12(1)1y x e e=-+++，其中 2.7182e ≈(1)求a 和b 并证明函数f (x )有且仅有一个零点； (2)当x ∈(0，＋∞)时，()kf x ex<恒成立，求最小的整数k 的值.(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为))2,0[(sin 3cos π∈θ⎩⎨⎧θ=θ= y x ，曲线2C的参数方程为122(x t t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)． (1)求曲线1C ，2C 的普通方程；(2)求曲线1C 上一点P 到曲线2C 距离的取值范围． 23．[选修4－5：不等式选讲]已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.银川一中2020届高三年级第五次月考（文科）参考答案一、选择题：二、填空题 13. 21-14. 25 15. 3x-2y-16=0 16.三、解答题 17.解析：（1）)3sin(3)(π+=x x f .....................................................2分 最大值为3，此时z k k x ∈+=+,223πππ.......................................4分故取得最大值时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z k k x x ,26|ππ............................6分 （2）因为3)(=B f 所以1)3sin(=+πB由π<<B 0得6π=B .......................................................8分又因为B ac c a b cos 2222-+=所以0232=+-a a ..................................................... 10分 所以21==a a 或..........................................................12分 18.解析：（1） 131+=+n n a a∴)21(3211+=++n n a a ......................................................2分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是首项为1公比为3的等比数列...................................4分 （2） 由（1）可知1321-=+n n a ..................................................................6分 所以2131-=-n n a因为211+=-+n n n a b b 所以113-+=-n n n b b ..........................................8分 2,3......3321123012≥=-=-=---n b b b b b b n n n所以2213...3311-++++=-n n b ...............................................10分2131+=-n n b ......................................................................12分 19.(1)证明 因为ABCD 为正方形,所以AD∥BC.因为AD ⊄平面PBC,BC ⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC............................................................2分 因为AD ⊂平面AEFD,平面AEFD∩平面PBC=EF,所以AD∥EF.....................................................................4分 (2)证明 因为四边形ABCD 是正方形,所以AD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AD ⊂平面ABCD, 所以AD⊥平面PAB.因为PB ⊂平面PAB,所以AD⊥PB............................................6分因为△PAB 为等边三角形,E 是PB 中点,所以PB⊥AE. 因为AE ⊂平面AEFD,AD ⊂平面AEFD,AE∩AD=A,所以PB⊥平面AEFD........................................................8分 (3)解 由(1)知,V 1=V C-AEFD ,V E-ABC =V F-ADC =V C-AEFD =V 1,.................................10分∴V BC-AEFD =V 1,则V P-ABCD =V 1+V 1=V 1, ∴................................................12分21.（1）'()x a b f x e x =--，所以'1(1)(1)a f b e e=--=-+ ……2分 当1x =时，1y e =，即1(1)a f e e==，解得1a b == ……4分 '11()0x f x e x=--<，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调减 由于1(1)0f e => 1()10e f e e=-< 则函数()f x 有且仅有一个零点．……6分 （利用趋势或者极限思想说明也可给7分，仅说明单调性给5分） （2）一方面，当1=x 时，1(1)kf e e=<，由此2k ≥； 当2k =时，下证：2()f x ex<，在(0,)x ∈+∞时恒成立， 2122()ln ln x x x f x x x x ex e ex e e<⇔-<⇔-< ……8分 记函数()x x g x e =，'1()xx g x e -=，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减 1()(1)g x g e≤=； ……10分 记函数()ln h x x x =，'()1ln h x x =+，()h x 在)1,0(e上单调减，在1(,+)e∞上单调减11()()h x h e e ≥=-，即1()h x e-≤-；112ln ()(())x x x x g x h x e e e e-=+-≤+=，成立 又因为g(x)和h(x)不能同时在同一处取到最大值， 所以当(0,)x ∈+∞时，exx f 2)(<恒成立 所以最小整数2k =． ……12分（此题用其他方法证明也可酌情给分）22.解：由题意，cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），则cos sin 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，平方相加，即可得1C ：22y x 19+=， ……2分由122(2x t t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），消去参数，得2C：)y x 2=+，y 0++=. ……4分 （2）设()P cos α,3sin α，P 到2C的距离d ==……6分 ∵[)α0,2π∈，当πsin α16⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即πα3=，max d = 当πsin α16⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即4πα3=，min d 0=. ……8分∴取值范围为0,⎡⎣. ……10分23.解：（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<； ……2分 当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞； ……5分（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意； ……7分 当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意； ……9分综上，a 的取值范围是[1,)+∞. ……10分。