第二型线积分和面积分

简记为

P i Q j Rk
y
x
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2009年5月
第二型曲线积分的概念
1. 问题的提出 变力沿曲线所作的功
设一质点在变力 F ( M ) 作用下, 从点A 点B,
沿光滑曲线L
L
B
求变力 F ( M )对质点所作的功W. 处理办法 分割
→近似代替
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t (
,
)
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类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是

AB
F dr

AB
Pdx Qdy Rdz
AB
P cos Q cos R cos d s
其中 t 0 (cos , cos , cos )为与AB方向一致
AB
n
被积函数 第二类曲线积分（坐标形式） 当 AB为空间曲线时， 单独形式 n F ( MP ) (x ,y ,, z ) lim P( x, P y,, x , y,, ( xF ,y )d x (z)i, Q )( x , z ) j R( x, y,, z )k ,
若以 r0 表示 OM 上的单位向量, 则有
m m 2 r0 . r r
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它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量 的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. m 这说明了引力场是数量场 的梯度场, 因此常称 r m 为引力势(gravitational potential ). r
南京航空航天大学 理学院 数学系132. 定义
设向量函数 F ( M )在以点A为起点，点B为终点的
有向光滑曲线 AB上有定义且有界，若
lim F ( M i ) r i lim [ P ( i ,i )xi Q( i ,i )yi ]
d 0
i 1 d 0 i 1
等于给定了一个数量函数 u( x , y , z ), 在以下讨论中
总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每
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个向量场都与某个向量函数
A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
L
M i 1
M2
B Mn
M i M n 1
, M n1 , M n B
A M0
M1
设 M i 1 M i的长度为si ,
任意取一点M i M i 1 M i ,
Wi F ( M i ) r i
( 3 ) 求和
n
令d max{s1 , s2
n
sn }
C
M i 1
M2
B Mn
M i M n 1
yi
xi
A M0
M1
o
x
F ( M i ) r i P ( i ,i )xi Q( i ,i ) yi
lim [ P ( i ,i )xi Q( i ,i )yi ]
d 0
2009年5月
n
i 1
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因为数量场 u( x , y , z ) 的等值面 u( x , y , z ) c 的法线
u u u 方向为 , , , 所以 grad u 恒与 u 的等值面 x y z 正交.
引进符号向量
, , , x y z
x
设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线
方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
dx dy dz , P Q R 则称曲线 L 为向量场 A 的向量场线. 例如电力线、
磁力线等都是向量场线.
注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来
向量函数 F ( M ) P ( M )i Q( M ) j 在曲线 C 上连 续，则
F ( M ) d r P ( x , y )d x Q( x , y )d y
C C
一定存在, 且
F ( M ) d r P ( x , y )d x Q( x , y )d y [ P ( x , y )cos Q ( x , y )cos ]d s
A
→求和 →取极限
常力沿直线所作的功
F
A 2009年5月

W F AB F AB cos
B 南京航空航天大学 理学院 数学系
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（1）分割
F ( Mi )
将 AB任意分成n个小弧段 M i 1 M i ,
分点A M0 , M1 ,
（2）近似代替
设 M i 1 M i r i ( i 1,2,..., n)
2 d s A xx t ), dr d (d y2 t AB : t B ( t ) 0 y dx dy

F t ds AB Ft ds
( P cos Q cos )ds AB
2009年5月
t dt (d s'( td )dt s , '( t )dt) ( dx , dy (cos ,cos )) d r 与积分路径方向一致.
第二类曲线积分必须注意积分路径的方向 !
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两类曲线积分的联系
F(M) （P( x, y), Q( x, y))
y
F (M )
dr
dy
B
记 dr （dx,dy)
— AB弧在点M 处与曲线方向 一致的切向量
C
A
dx
o
x

AB
F dr
0
AB
AB

Pdx Qdy
进行计算和研究它的性质.
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梯度场
我们已经介绍了梯度的概念, 它 是由数量函数 u( x , y , z ) 所定义的向量函数 u u u grad u i j k. x y z grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 梯度场. 由前面知道, grad u 的方向就是使方向导 数 u l 达到最大值的方向, grad u 就是在这个方 方向上的方向导数.
C C C
其中 cos ， cos （或sin ）是点 M ( x , y ) C 处 与积分路径 C 方向一致的切向量的方向余弦.
A A
B
L BA
F ( M ) 是向量 其大小和方向都随点M变化 z F ( M ) F ( x, y, z )
( P ( x, y, z ) , Q ( x, y, z ) , R ( x, y, z ) )
F (M )
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
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对坐标的曲线积分
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第二类曲线积分的概念 两类曲线积分的联系 第二类曲线积分的计算
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预备知识
有向曲线 指定了方向的曲线.
～～～～～～～～～～～～
B
L AB
通常指出起点，终点来表明. 向量函数
n 0 i 1 i i
i
Q( i , i )yi ]
R( x , y , z )dz x 的曲线积分; P ( x, y, z )dx Q( x , y, z )dy称为对坐标 Q( x , y )d y lim Q( , )y , lim [ P ( , , )x Q( , , )y R( , , )z ,]
(向量形式),
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AB
(坐标形式)
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即

AB
AB
F ( M ) d r lim F ( M i ) r i
0
n
第二类曲线积分（向量形式）
i 1
P ( x , y )dx Q( x , y )dy lim [ P ( , )x 积分路径
场的概念 对坐标的曲线积分 对坐标的曲面积分
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场的概念
若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个 数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
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例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点 位于 M ( x , y , z ), 记
r OM x 2 y 2 z 2 ,
m 试求 的梯度 . r m x y z m 2 , , . 解 r r r r r
在点M ( x, y, z )处的切线的方向余弦
简记为 F ( M ) F
简记为 ( P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )) ( P , Q, R)
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