第二型线积分和面积分
第二型曲线积分、格林公式

∵T
1
{dx, dy,dz} 1 {dx, dy, dz} 。
(dx)2 (dy)2 (dz)2
ds
∴ ATds A{dx, dy, dz} Pdx Qdy Rdz 。
∴第二型曲线积分也可记作
C P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz ,
{P[x(t), y(t), z(t)]x(t) Q[x(t), y(t), z(t)]y(t)
R[x(t), y(t), z(t)]z(t)]}dt
10
第五章 多元函数微分学及其应用
注(1)当 C 是平面曲线,其参数方程为 x x(t), y y(t) 时,
其中 cos , cos , c o s 是 C 上点 ( x, y, z) 处对于所给方向的
单位切向量T 的方向余弦。
15
第五章 多元函数微分学及其应用
二、格林公式
1、单连通区域与复连通区域 若平面区域 D 内任一封闭曲线围成的部分都属于 D,则 D 称为单连通区域,否则称为复连通区域。
t 单调地由 变到 时,动点 M( x, y, z) 描出由点 A 到点 B 的
曲线弧 C。设 A( x, y, z) {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} 在 C 上
连续,则
C A( x, y, z) ds C Pdx Qdy Rdz
把曲线段 C 任意分成 n 个有向小弧段
⌒
Ai-1 Ai
(i
1,2,,
n)
,第
i
段弧
⌒
Ai-1 Ai
A1
二型线面积分

二二型线积分 二二型面面积分
概念
场 物理理意义
数量量场(无无方方向) 向量量场(有方方向,如流场,引力力力场)
3个注
无无几几何意义,dx,dy可正可负,伪二二元,伪三 元
性质
线性,有向性,可加性
对称性(平面面)
普通对称性(结合物理理意义看)
参数方方程
直接化定积分
一一般式
直⻆角 极坐标
定原函数的方方法
线积分(一一个定点,一一个动点) 偏积分
凑微分
两类曲线的关系
直接化成定积分
空间曲线化成参数式
计算(空间)(3种)
stokes公式
两个条件 两个公式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
封闭曲线右手手系
连续,一一阶偏导连续
化成一一型面面(曲面面简单,投影简单,注意这个 曲面面是任意取的)
化成二二型面面(空间曲面面面面积好求)
降维化成平面面二二型线
将z,dz全部换掉 适用用于曲面面交平面面(如柱面面交平面面)
物理理意义
概念
三个注
无无几几何 伪三元
注意如dxdy之间有⻆角度
线性
性质
有向
可加
对称性(普通)
结合物理理意义,分别讨论三个式子子
投影不不能重合(分块,对称性,坐标变换)
直接化成二二重积分(一一投二二代三判断)
判断正负,上,右,前为正
一一个常识——曲面面垂直坐标面面时,出现0
计算 将边界方方程代入入
高高斯公式
两个前提 结论
封闭正向 连续
两个注
补面面,挖洞洞 挖洞洞推论(与挖洞洞用用格林林相似)
转换坐标变量量法
两类曲面面的关系(由此推转换坐标法)
高等数学中五类积分之间的关联

(通联:郑州科技学院基础部)
26 2019 第 3 期 下 (总 第 295 期 )
Z HONG GUO NONG CUN JIAO YU
高等数学中五类积分之间的关联
王 涛 席祥祥
本文针对高等数学教学过程中的定积 分概念,利用密度函数与求不同几何物体的 质量,引入五类不同类型的积分定义与概 念,力求学生易于理解和掌握定积分概念。
一、引言 定积分是高等数学在最重要的基本内 容,但冗长的定义和难以理解的内涵往往 使学生望而生畏。本通过求不同几何物体 的质量,对高等数学中的五类积分的概念 进行分析和阐述,以期使学生易于理解和 掌握五类积分的基本概念和内涵。 二、五类抽象的积分 在高等数学教材中,分别有定积分、重 积分、线积分和面积分。我们通过对不同几 何形状和不同维数的物体求质量的问题, 引入如下问题: 问题 1:设有一直线型构件 ,其 放 在平 面 直 角坐 标 系 的 轴 上 所 占 区 间 为 [a,b],且 其 线 密 度 ρ(x)在 [a,b]上 连 续 ,问 该 构 件 的 质量为多少? 问题 2:(平 面 型构 件 的 质量 )已 知 某平 面型构件在 xoy 面所占区域为 D,且 面 密 度 ρ(x,y)在 D 上连续,问如何求该构件的质量? 问题 3:(空 间 型构 件 的 质量 )已 知 某物 体 在 o-xyz 直 角 坐 标 系 中 所 占 空 间 区 域 为 Ω,且体 密 度 ρ(x,y,z)在 Ω 上 连 续,问 如 何 求该物体的质量? 问题 4:(曲 线 型构 件 的 质量 )已 知 某曲 线型构件在空间直角坐标系中所占空间曲 线为 Γ,且 线 密度 ρ(x,y,z)在 Γ 上 连 续 ,问 如何求该构件的质量? 问题 5: (曲 面 型构 件 的 质量 )已 知 某 曲面型构件在空间直角坐标系中所占空间 曲面为 Σ,且 面 密度 ρ(x,y,z)在 Σ 上 连续 , 问如何求该构件的质量? 分析上述五个问题会发现它们有一个 共同点,均为求物体质量的问题,不同点只 在于物体的形态以及涉及到的密度形式不 同,但质量计算的思想都是一样的(以下三 种形式之一): 质量 = 线密度×长度;质量 = 面密 度×面积;质量 = 体密度×体积。 关于问题 1,学生已知的物理知识是密 度恒定来求质量,如:已知线密度 ρ,则质量 m= ρx(其中代表长度),引导学生如何 用已 知的思想来解决未知的事物。于是提出如 下的四部曲: ① 分 割 [a,b]:a=x0 <x1 <···xn=b,记 Δxi=xi-xi-1 ②近似:(由于 ρ(x)在[a,b]上连续,当 小区间[xi-1,xi]充分小的时候,ρ(x)在该区间
数学分析22-222.2 第二型曲面积分

(S)xy ( )xy 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
其中cos0也就是()xy0的情形
类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投 影(S)yz及(S)zx
实例 流向曲面一侧的流量. 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
D
前者可正可负,是 (Si )xy 的象征,后者恒正,是 i 的
象征.
一个规定:如果是分片光滑的有向曲面 我们规 定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片 光滑曲面上对坐标的曲面积分之和
对坐标的曲面积分的性质:
1(. 曲面可加性)
Hale Waihona Puke Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )xz
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们 的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
2
2(. 方向性)设是有向曲面,-表示与取相反侧的 有向曲面,则
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
对坐标的曲面积分的性质:
y, z)dzdx
lim
0
Q(i ,i , i )(Si )zx
i1
定义 设 是空间内一个光滑的曲面 n(cos cos cos)是其
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘 要: 本文主要利用化为参数的定积分法,格林公式,积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目;以及利用曲面积分的联系,分面投影法,合一投影法,高斯公式解答第二型曲面积分的题目.关键词: 曲面积分;曲线积分1 引 言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节,是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度,给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析,并结合具体实例以及教材总结出其特点,得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2 第二型曲线积分例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰,其中a ,b 为正的常数,L 为从点A (2a ,0)沿曲线o (0,0) 的弧.方法一:利用格林公式法L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰,P(x ,y),Q (x ,y )以及它们的一阶偏导数在D 上连续,L 是域D 的边界曲线,L 是按正向取定的.解:添加从点o (0,0)沿y=0到点A (2a,0)的有向直线段1L ,()()()()()()11sin cos sin cos xxLL xxL I e y b x y dx e y ax dye y b x y dx e y ax dy=-++---++-⎰⎰记为12I I I =- ,则由格林公式得:()1cos cos x xD DQ P I dxdy e y a e y b dxdy x y ⎛⎫∂∂⎡⎤=-=---- ⎪⎣⎦∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰()()22Db a dxdy a b a π=-=-⎰⎰其中D 为1L L 所围成的半圆域,直接计算2I ,因为在1L 时,0y =,所以dy =0因而:()222I bx dx a b =-=-⎰ ,从而()22231222222I I I a b a a b a b a πππ⎛⎫=-=-+=+- ⎪⎝⎭方法二:应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解(1) 若 P Q y x∂∂=∂∂(与路径无关的条件), 则 ()()()()1111000,01,,,A x y x y B x y x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰⎰(2) ()(),x t y t φϕ==()()()()()()()()'',,AB Pdx Qdy P t t t Q t t t dt βαφϕφφϕϕ⎡⎤+=+⎣⎦⎰⎰ α是起点 β是终点解: ()()()sin cos x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰()sin cos x x LLe ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰记为12I I I =- ,对于1I ,积分与路径无关,所以()()0,02,0sin cos sin 0x x xa e ydx e ydy e y+==⎰对于2I ,取L 的参数方程sin sin x a a ty a t=+⎧⎨=⎩,t 从0到π,得()()22223230223sin sin cos sincos cos 11222Lb x y dx axdy a b t a b t t a b t a t a t dt a b a a πππ++=---++=--+⎰⎰从而 23222I a b a ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭对于空间第二曲线一般的解题过程为:LPdx Qdy Rdz ++⎰若L 闭合,P,Q,R 对各元偏导数连续Ldydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q R∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰若L 非闭,其参数方程为()()()()()()()()()()()()()()(),,',,',,'P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dtβα⎡⎤++⎣⎦⎰其中: ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩α,β分别为L 的起点,终点参数值.例2 计算空间曲线积分I=()()()y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰,其中曲线L为圆柱面222x y a +=与平面1x za h+=的交线()0,0a h >>,从X 轴正向看,曲线是逆时针方向.方法一:化为参数的定积分计算,对于这种封闭的曲线要充分利用[]0,2π上三角函数的正交性.解: 令 cos ,sin x a t y a t ==, 则()cos 111cos x a t z h h h t a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是I=()()()(){}()sin 1cos sin 1cos cos cos cos sin sin 2a t h t a t h t a t a t a t a t h t dt a a h π--⋅-+--⋅+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+⎰方法二:解 :2dydzdzdx dxdyI dydz dzdx dxdy x y z y zz xx y∑∑∂∂∂==-++∂∂∂---⎰⎰⎰⎰ {}()21,1,1,0,1212xy D D h h dxdy dxdy a h a a a π⎧⎫⎛⎫=-⋅=-+=-+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰3 第二型曲面积分例 3 计算曲面积分()2z x dydz zdxdy +-∑⎰⎰,其中∑为旋转抛物面()2212z x y =+ 介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.方法一:利用两类曲面积分的联系()cos cos cos Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds αβγ++=++⎰⎰⎰⎰ ()1其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑上点(x ,y ,z )处的法向量的方向余弦. 解: {},,1n x y =-,{}cos ,cos ,cos n αβγ=⎧⎫= ()()22z x dydz zdxdy z x z ds ∑∑⎡⎤+-=+-⎢⎢⎣⎰⎰⎰⎰222∑∑==()2221Dx x y ++=()22212D x x y dxdy ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 22220cos 82r d rdr πθθπ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰方法二:分面投影法如果∑由(),z z x y =给出,则()(),,,,,xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()2如果∑由(),x x y z =给出,则()(),,,,,yzD P x y z dydz P x y z y z dydz =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()3 如果∑由(),y y z x =给出,则()(),.,,,zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()4 等式右端的符号这样规定:如果积分曲面∑是由方程()()()(),,,,x x z y y y x z z z x y ===所给出的曲面上(前,右)侧,应取“+”,否则取“-”. 解:()()22z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑∑∑+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()222z x dydz z x dydz z x dydz∑∑∑=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前((22yzyzD D z dydz z dydz =--⎰⎰⎰⎰20244yzD dy π===⎰()2212xyD zdxdy x y dxdy ∑=-+⎰⎰⎰⎰22300142d r dr πθπ=-=-⎰⎰所以()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰方法三 :合一投影法前面我们看到,按分面投影发计算曲面积分时,对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示,然后转化为不同坐标面上的二重积分,这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.事实上,如果∑的方程(),z z x y =, (),xy x y D ∈,(xy D 是∑在xoy 面上的投影区域),函数,,P Q R 在∑上连续时,则单位法向量为 n e ={}cos ,cos ,cos αβγZ ⎧⎫-=± 由于投影元素 cos dydz ds α=, cos dzdx ds β=,cos dxdy ds γ=,于是得到cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x y dydz ds ds dxdy Z dxdy dzdx ds ds dxdy Z dxdyαααγγγβββγγγ====-====-所以()()()()()()()(){}()(),,,,,,,,,,,,,,,,,xyxyx y D x y D P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdyP x y z x y Z x y Q x y z x y Z x y R x y z x y dxdy P Z Q Z R dxdy∑++⎡⎤=±⋅-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=±⋅-+⋅-+⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 等式右端的符号这样确定:如果∑是由方程所给出的曲面上侧,取“+”,否则取“-”. 当∑可用显示方程(),y y z x =或(),x x y z =表示时,只需注意到此时∑的法向 量为{},1,x x y y y ---或{}1,,y z x x --,可得相应公式. 上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分,故名为合一投影法.解:()2212z x y =+,∑在xoy 面上的投影区域:xy D =(){}22,4x y x y +≤,又∑的下侧,x z x =,故由上式可得:()()()()()2222222222222200114212cos 82xy xy D D z x dydz zdxdy x y x x x y dxdyx x y dxdyr d r rdr πθθπ∑⎧⎫⎡⎤+-=-++--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法四:高斯公式,,P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰解:曲面不是封闭曲面,不能直接利用高斯公式,应补面12z =∑的上侧,则用高斯公式()1200zx dydz zdxdy dv Ω++-==∑∑⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()()122z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy +-=-+-∑∑⎰⎰⎰⎰又()112028xyD zx dydz zdxdy zdxdy dxdy π+-=--=-∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰4 小结从以上对试题的分析,发现不同年份的命题,多次考到相同的知识点,并且吻合于通用教材教学中的难点重点,虽然考试题目千变万化,但教材的内容相对稳定,因此只有吃透教材,抓住重点难点,克服盲点复习,达到以静制动.过本文的分析,希望对大家有一定的指导作用. (指导教师:吕国亮)参考文献[1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M],第三版. 高等教育出版社,2001,224-231. [2] 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M],第四版. 高等教育出版社,2003, 375-388. [3] 林源渠,方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社,2001,338-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社,2000,276-287.[5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社,2002,175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社,2001. 204-212. [7] 孙一生. 第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科学学报》,1989,5(2):106-112.[8] 陈少元. 第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息(学术版),2007(1):12-15.。
计算第二型曲线积分的基本方法(一)

计算第二型曲线积分的基本方法(一)计算第二型曲线积分的基本1. 什么是第二型曲线积分?第二型曲线积分是微积分中的一个重要概念,用于计算沿曲线的矢量场在曲线上的积分值。
它可以帮助我们理解和计算流体力学、电磁学等领域的相关问题。
2. 常用的计算方法参数方程法第一种常用的计算第二型曲线积分的方法是使用参数方程。
首先,我们需要将曲线表示为参数方程的形式,即x和y的函数关系。
然后,将矢量场的函数表达式中的x和y替换为参数方程的形式。
接下来,对参数t进行积分,计算得到曲线上的积分值。
标量场的方法第二种常用的计算方法是使用标量场。
将矢量场的函数表达式转化为标量字段的形式,再计算该标量场沿曲线的曲线积分。
这种方法常用于计算与位移、功率等有关的问题。
Green公式Green公式是计算第二型曲线积分的重要工具。
它将曲线积分转化为对曲线所围成的区域上的面积分。
利用这个公式,我们可以将曲线积分转化为更容易计算的面积分,进而求得答案。
Stokes公式Stokes公式是计算第二型曲线积分的另一个重要工具。
它将曲线积分转化为对曲线所围成的曲面上的面积分。
通过应用Stokes公式,我们可以将曲线积分转化为更容易计算的面积分问题。
3. 注意事项参数方程的选取在使用参数方程法计算第二型曲线积分时,需要选择一个合适的参数方程。
参数方程选取不当可能导致计算复杂度增加或无法得到正确的结果。
曲线的方向第二型曲线积分对曲线的方向敏感。
因此,在计算过程中要注意曲线的方向,并根据具体问题选择合适的曲线方向。
曲线的闭合性若曲线是闭合的,则可以利用Green公式或Stokes公式将曲线积分转化为面积分。
若曲线不闭合,则需要通过参数方程法或其他方法进行计算。
4. 总结第二型曲线积分是微积分中的重要概念,应用于多个领域中。
我们可以利用参数方程法、标量场的方法、Green公式和Stokes公式等多种方法对第二型曲线积分进行计算。
在实际计算过程中,需要注意参数方程的选取、曲线的方向和曲线的闭合性等因素。
第二型曲面积分

正侧, 内侧作为负侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的 计 算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy
高数 第二型线积分与面积分

0 1
y x2
4 x 3 dx
0
1
A(1,0 )
圆电流的磁感应场
2
函数 z sin xy 图形及其等高线图形.
曲 面 的 等 高 线 场
3
小 木 屋 附 近 的 温 度 场
场: 一般地,我们把分布着某种物理量的平面或
空间区域称为场。 数量场:如果场中的量可用 数量值函数确切表示。如温 度场,高度场,电位场等。 用 M , M G R3 表示。
y
F i ,i
B
Wi F i ,i M i1 M i ,
即 Wi P ( i ,i )xi Q( i ,i )yi . o
n
L
A
M2 M1
M i 1 xi
yi
M i M n 1
x
3.和 W Wi
i 1n i 1源自近似值 [ P ( i , i ) xi Q( i , i ) yi ].
t , t 在以及为端点的闭区间上具有一阶连
续导数, 且 2 t 2 t 0.
(在此为什么不表示 闭区间???)
则曲线积分 L P x , y dx Q x , y dy存在 ,
且 L P x , y dx Q x , y dy P t , t t Q t , t t dt
x
W F AB. (即为力向量F与 AB 的数量积) 实例: 变力沿曲线所作的功 1.分 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
7
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .
线积分与面积分

第四章 線積分與面積分4.1 線積分在基本微積分中,我們知道單變數積分的幾何意義就是求單變數函數圖形與X 軸之間的面積,其做法為將圖形下的區域沿著X 軸切割成許多的長方條(元素),然後將這些長方條的面積沿著X 方向累加而形成所謂的Riemann sum 並取其極限值後,即定義所謂的定積分。
換言之,我們過去所學的積分概念是針對單變數函數沿著直線座標軸X(或Y)來求面積。
而接下來所要介紹的線積分(line integral )是針對雙變數函數沿XY 平面上一曲線方向的積分。
在幾何上,雙變數函數代表空間中的一個曲面,故線積分就是要求該曲面與XY 平面上之曲線間所包圍之區域的面積。
所以線積分可以說是前述單變數定積分之一般化的結果。
從數學上的幾何觀點定義線積分假設C 為XY 平面上之曲線,並以參數表示為:x g t y h t t b ==≤≤(),(), a且雙變數函數f 為x 、y 之函數,表空間中一曲面。
現若將曲線C 切割成許多段的小弧,且各弧長為∆S i ,則曲面與曲線間所包圍的區域面積可表為:lim(,)(,)∆∆S i i i iC i f x y S f x y dS →∑⎰=0此式稱為f 沿曲線C 之線積分。
YC Y X X由上圖可知,當∆x i 很小時,∆S i 近似一直線,故由畢氏定理可知∆∆∆S x y i i i =+22又由均值定理可得:∆∆∆∆x x x x c t t g c t c t t y y y y c t t h c t c t t i i i k k k k k i i i k k k k k =-='-='∈=-=''-='''∈------111111()()(),[,]()()(),[,]所以∆∆S g c h c t i k ='+''()()22當∆t k →0,dS g t h t dt ='+'()()22,故線積分的參數公式可寫為:f x y dS fg th t g t h t dt C (,)((),())()()⎰⎰='+'22特例1若C 為X 軸上的一直線區間,則∆S i =∆x i ,則線積分還原為一般定積分:f x y dS f x dx C (,)()⎰⎰=特例2若C 為XY 平面上平行X 軸或Y 軸上的線段,則線積分分別有下列兩種情形:∆∆∆∆S x f x y dS f x y dx S y f x y dS f x y dyi i C C i i C C=⇒==⇒=⎰⎰⎰⎰(,)(,)(,)(,)f x y =(,)如上圖所示,一曲面對兩線段之組合路徑做線積分時的結果為:f x y dS f x y dx f x y dy C C C C CC(,)(,)(,),⎰⎰⎰=+=⋃1212若有兩個不同之連續函數M (x ,y )及N (x ,y )分別對同一路徑做線積分時,其結果可合併為:M x y dx N x y dy M x y dx N x y dy C C C (,)(,)(,)(,)⎰⎰⎰+=+以上的線積分公式可推廣至對空間曲線之線積分公式,假設C 為空間中之曲線,並以參數表示為:x g t y h t z k t t b ===≤≤(),(),(), a則線積分公式為:f x y z dS fg th t k t g t h t k t dt C (,,)((),(),())()()()⎰⎰='+'+'222● 線積分的計算方法:1. 當曲線C 以參數方式表示為:x g t y h t t b ==≤≤(),(), a 時,則將積分式中的x 與y 均以g (t )及h (t )代換,並令dx g t dt dy h t dt ='='(),(),且以a 及b 為上下限。
斯托克斯公式化为第二型曲面积分

一、引言斯托克斯公式是向量分析中的重要定理之一,它将曲面积分和线积分联系了起来,为解决许多物理、工程、数学等领域的问题提供了重要的数学工具。
斯托克斯公式最初是由苏格兰数学家乔治·斯托克斯在19世纪提出的,它的第一型形式和第二型形式都有着重要的应用价值。
本文将重点讨论斯托克斯定理的第二型形式的推导和应用。
二、斯托克斯定理的第二型形式1. 斯托克斯定理的表述斯托克斯定理是向量分析中的基本定理之一,它建立了曲面积分和线积分之间的联系。
用数学语言描述,斯托克斯定理的第二型形式可以表述为:设M是一个分片光滑的有向曲面,边界为C,f是定义在M 上的有连续偏导数的向量场,则有∮c f·dr=∬s curl f ·n dS其中C为曲面M的边界,f是定义在M上的向量场,curl f是f的旋度,n是曲面M的单位法向量,dS表示曲面元素面积。
2. 斯托克斯公式的推导斯托克斯定理的第二型形式可以通过对曲面积分和线积分的定义以及向量场的旋度的概念进行推导得出。
通过对曲面积分和线积分的定义进行推演,可以得出斯托克斯公式的第二型形式。
在推导的过程中,需要运用高等数学中的向量分析、曲面积分和线积分等知识,并进行一系列的变量替换和积分运算,并且需要注意符号的处理和积分路径的选择。
3. 斯托克斯公式的应用斯托克斯公式的第二型形式在物理学、工程学、地球科学等领域有着广泛的应用。
例如在电磁学中,可以利用斯托克斯公式将曲面积分转化为线积分,从而更方便地求解电场的分布情况。
在流体力学中,斯托克斯公式也可以用来分析流体在曲面上的旋转情况,对于解决流体运动问题具有重要意义。
斯托克斯公式也为工程计算、地质勘探等领域提供了重要的数学工具。
三、结论斯托克斯公式的第二型形式是向量分析中的重要定理,它建立了曲面积分和线积分之间的联系,为解决许多物理、工程、数学等领域的问题提供了重要的数学工具。
通过对斯托克斯公式的第二型形式进行推导和应用,可以更深入地理解向量分析和曲面积分等数学知识,并且可以更灵活地运用这些知识解决实际问题。
计算第二型曲线积分的基本方法

计算第二型曲线积分的基本方法计算第二型曲线积分的基本方法1. 引言第二型曲线积分是数学中的一项重要概念,应用广泛。
本文将详细介绍关于计算第二型曲线积分的基本方法,包括以下几种常见的方法:•参数法•直接法•Green公式2. 参数法参数法是计算曲线积分的一种常用方法。
具体步骤如下:1.将曲线用参数方程表示,即x=f(t)和y=g(t)。
2.求出曲线的切向量T=drdt3.将被积函数中的x和y用参数变量t表示。
4.计算被积函数与切向量的数量积,即F⋅drdt5.对上述数量积进行积分得到结果。
参数法是一种直观简单的计算方法,适用于曲线参数方程已知的情况。
3. 直接法直接法是计算曲线积分的另一种常用方法,适用于被积函数直接依赖于曲线上的点坐标。
具体步骤如下:1.将曲线方程改写为y=f(x)的形式。
2.计算曲线的切线斜率k。
3.将被积函数中的x表达式替换为x,dy替换为f′(x)dx。
4.将被积函数化简后进行积分得到结果。
直接法适用于被积函数能够直接与曲线方程对应起来的情况,并且在处理部分曲线积分问题时更加简便。
4. Green公式Green公式是计算曲线积分的一种常用方法,适用于曲线围成的区域为简单闭区域的情况。
具体步骤如下:1.根据Green公式,将曲线积分转化为面积分。
2.计算曲线围成的区域的面积分,即∬(∂Q∂x −∂P∂y)Ddxdy,其中P和Q为被积函数中的两个变量。
3.得到结果后,根据曲线的方向确定正负符号。
Green公式能够将曲线积分简化为面积分,适用于求解围成曲线的面积等问题。
5. 总结以上介绍了计算第二型曲线积分的三种基本方法:参数法、直接法和Green公式。
这些方法在不同的情况下有各自的适用性,掌握它们能够帮助我们更高效地解决曲线积分的计算问题。
希望本文能够对读者有所帮助。
计算第二型曲线积分的基本方法1. 引言第二型曲线积分是数学中的一项重要概念,应用广泛。
本文将详细介绍关于计算第二型曲线积分的基本方法,包括以下几种常见的方法:•参数法•直接法•Green公式2. 参数法参数法是计算曲线积分的一种常用方法。
第二型曲面积分的计算方法

第二型曲面积分的计算方法“同学们,今天咱们来好好讲讲第二型曲面积分的计算方法。
”我站在讲台上对着学生们说道。
那什么是第二型曲面积分呢?简单来说,它就是与曲面的定向有关的积分。
那怎么计算呢?这可是有不少方法和技巧的哦。
先来说说利用高斯公式来计算。
就拿这样一个例子来说吧,有一个曲面是由方程 z = x^2 + y^2 所确定的,上半球面,我们要求它上面的第二型曲面积分。
这时候我们就可以通过构建一个封闭的立体区域,然后应用高斯公式,把曲面积分转化为三重积分来计算,这样往往会让计算变得简单很多。
还有一种方法是利用投影法。
比如有一个曲面是一个斜着的圆柱面,我们要计算它上面的第二型曲面积分。
我们就可以把这个曲面投影到某个坐标平面上,然后根据投影的形状和相关的计算公式来进行计算。
再比如说参数法,这也是很常用的。
假设我们有一个复杂的曲面,它可以用一组参数方程来表示,那么我们就可以根据参数方程来计算第二型曲面积分。
就像有一个螺旋面,通过合适的参数化,就能很好地利用参数法来计算积分。
当然啦,在实际计算中,可能会遇到各种复杂的情况,这就需要我们灵活运用这些方法,有时候可能还需要结合其他的数学知识和技巧。
比如曾经有一道题,是求一个很不规则的曲面的第二型曲面积分,这个曲面既有弯曲的部分,又有一些特殊的边界条件。
那我们就综合运用了高斯公式和投影法,先利用高斯公式把它转化为一个相对简单的三重积分,然后再通过仔细分析投影的情况,确定积分的上下限,最终成功计算出了结果。
同学们,第二型曲面积分的计算方法是很重要的,它在很多领域都有广泛的应用,比如流体力学、电磁学等等。
大家一定要好好掌握这些方法,多做一些练习题,这样才能在遇到实际问题时游刃有余。
“好了,下面大家自己动手做几道练习题试试吧,有什么问题随时问我。
”我看着学生们说道。
曲线积分与曲面积分知识点

曲线积分与曲面积分知识点【篇一:曲线积分与曲面积分知识点】曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容,数二数三考生不要求掌握,老师以高数教程为例,分章节归纳所要求掌握的内容要点,希望对2016 考研人有所帮助。
9.1 第一类曲线积分内容要点:(1)第一类曲线积分的概念和性质;(2)第一类曲线积分计算测试点:计算第一类曲线积分(包含平面曲线和空间曲线)9.2 第二类曲线积分内容要点:(1)第二类曲线积分的概念和性质;(2)第二类曲线积分计算;(3)两类曲线积分之间的关系测试点:计算第二类曲线积分9.3 格林公式,平面曲线积分与路径无关的条件内容要点:(1)格林公式;(2)平面曲线积分与路径无关的条件;(3)全微分法则;(4)全微分方程测试点:(1)格林公式;(2)计算曲线积分;(3)全微分方程的求解9.4 第一类曲面积分内容要点:(1)第一类曲面积分的概念和性质;(2)第一类曲面积分计算测试点:计算第一类曲面积分9.5 第二类曲面积分内容要点:(1)第二类曲面积分的概念和性质;(2)第二类曲面积分计算;(3)两类曲面积分之间的关系测试点:(1)直接计算第二类曲面积分(2)通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分9.6 高斯公式与散度内容要点:(1)高斯公式;(2)散度测试点:(1)高斯公式(熟练掌握);(2)散度(记住公式即可)9.7 斯托克斯公式与旋度内容要点:(1)斯托克斯公式;(2)旋度测试点:(1)斯托克斯公式(熟练掌握);(2)旋度(记住公式即可)9.8 综合例题针对本章所学内容复习巩固,每个例题独立求解,然和和答案对比,对自己所学情况进行简单的测评。
老师以高数教程为基础,把曲线积分和曲面积分所要求掌握的知识点落实到每一章的某一节,希望考生在复习的过程中复习全面,不要出现遗漏知识点的现象。
【篇二:曲线积分与曲面积分知识点】第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解,把对坐标的曲面积分化成二重积分,利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分,及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。
二型曲面积分三合一公式

二型曲面积分三合一公式曲面积分是数学中的重要概念,在物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
在曲面积分的计算中,二型曲面积分三合一公式是一种常用的方法。
该公式结合了高斯定理、斯托克斯定理和格林公式,可以用于简化曲面积分的计算过程。
首先,我们来看一下高斯定理。
高斯定理将曲面积分与体积积分联系起来。
它表达了曲面积分与该曲面所包围的空间区域内的体积积分之间的关系。
根据高斯定理,我们可以将曲面积分转化为体积积分来计算。
接下来是斯托克斯定理。
斯托克斯定理描述了曲线积分与曲面积分之间的关系。
它指出,在一个封闭曲面上进行的曲面积分等于该曲面上的边界曲线上进行的曲线积分。
斯托克斯定理为我们提供了一种将曲面积分转化为曲线积分进行计算的方法。
最后是格林公式。
格林公式描述了平面曲线积分与曲线环绕的面积之间的关系。
根据格林公式,我们可以将平面曲线积分转化为面积积分进行计算。
综上所述,二型曲面积分三合一公式将高斯定理、斯托克斯定理和格林公式相结合,可以在曲面积分计算中进行灵活的转化。
通过利用这个公式,我们可以简化曲面积分的计算过程,并提高计算的效率。
这对于曲面积分在物理学和工程学等领域的应用具有重要意义。
需要注意的是,在使用二型曲面积分三合一公式时,我们需要根据具体问题的要求选择合适的定理进行转化。
同时,我们还需要熟练掌握高斯定理、斯托克斯定理和格林公式的条件和推导过程,以确保计算的准确性。
总之,二型曲面积分三合一公式是一种在曲面积分计算中常用的方法,它将高斯定理、斯托克斯定理和格林公式相结合。
通过灵活运用这个公式,我们可以简化曲面积分的计算过程,并提高计算的效率。
这对于曲面积分在物理学和工程学等领域的应用具有重要意义。
6.7第二型线积分与面积分

2
或
u u ( M ) u ( x , y , z ),
( x, y, z) D R
3
相应的二元函数或三元函数可以分别通过等值线或等值面 来几何表示。
例7.1 高度场的等高线.
例7.2 电位场的等值面. 设有带电量为q的点电荷,则在空间形成一个电位场。 若建立坐标系,并将此点电荷放在坐标原点,则电位场可 以表示为
u q 4 r (r 0)
其中是介电系数,r
x y z .
2 2 2
电 位 场 的 等 值 面 u C为
x y z R
2 2 2 2
(R
q 4 C
)
它是一族以坐标原点为球心的球面。因此,在每 一 球 面 上 电 位 u均 相 同 , 而 且 半 径 R越 大 , 球 面 上 的 电 位 的 值 C越 小 。
A ( x , y ) d s
C
A ( x , y ) d s
C1
A ( x , y ) d s .
C2
其 中 C , C 1, C 2 或 者 都 取 正 向 , 或 者 都 取 负 向 。
闭 曲 线 C的 正 向 如 下 确 定 :
A ( Pk ) M k 1 M k , ( i 1, 2 , , n ; M 0 A , M n B )
将各小弧段所对应的点积相加得和式
n
A ( Pk ) M k 1 M k
k 0
如 果 无 论 L 被 怎 样 划 分 , 点 Pk 在 k 1 M k 上 被 怎 样 选 取 , 极 限 M
积分定积分曲线积分二重积分三重积分曲面积分

设各分点对应参数为 对应参数为
ti t i 1
点 ( i , i ) 即 ( i ,i ) ( ( i ), ( i ))
si
2 2 (t ) (t ) d t
2 2 ( i ) ( i ) t i ,
2 2 2 a k M d s L的质量 L
设重心坐标为 ( x , y , z )
有
2 1 2 2 a a k cos t d t 0 0 M
2 1 2 2 a a k sin t d t 0 0 M 2 1 2 2 k a k t d t 0 M
4R 2 2 R cos R d l 0 3
z
i k
i
c
i 1
k
f i ( x , y ) d s ci f i ( x , y ) d s
i 1 L
2. 若曲线 L 由曲线段 L1 , L2, …, Lk首尾相接而成,
且
Li
f ( x , y ) d s i = 1, 2, …, k 都存在,则 L f ( x , y ) d s
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t f ( x, y ) ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
b
• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x, y)ds
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
x
0 1
y
y x2
B(1 , 1)
二类型曲线积分——对坐标的线积分

R
0
R Rx 2 2 R2 x dx R 4 2 2x
2 2 故:I I 1 I 2 R 2
x
y
L1
本节结束
其它的自学!
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x z R从A出发经第一卦限到 B再经第四卦限回到 A点 解:设L位于第一卦限内的部分 为L1 , 位于第四卦限内的部分
I1
0
R 2 x 2 x( R x) ( R x) x dx R 2 x ( R x )
R Rx 2 R 2 x dx R R 4 2 2x
二、二型线积分的计算
x x(t ) t — 起点参数值 定 设有平面光滑曲线 L: ;如果P( x, y )、 理 y y (t ) t — 终点参数值 1 (t )、y (t )在与之间连续,则: Q( x, y )在L上连续且x Pdx Qdy
第二节
二类(型)曲线积分 ——对坐标的线积分
一、二型线积分的概念与性质 1. 概念 F {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 引例 设在XOY平面内有一变力: L 弧AB从A将物体移至 B,求变力F沿曲线L所作的功W。 解: (1) 已知常力 F0沿直线 l 所作的功 W F l ;
Γ
Γ
Q( x, y, z ) cos ds Q( x, y, z )dy
Γ
Γ
R( x, y, z ) cosds R( x, y, z )dz
Γ
分别叫做对X、Y、Z坐标的二型曲线积分
Γ
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz
空间曲线积分与曲面积分的计算方法

空间曲线积分与曲面积分的计算方法空间曲线积分与曲面积分是《数学分析》中的重要内容之一,但由于它计算的复杂性及灵活多变性,使我们在学习时感到很难掌握,缺乏必要而行之有效的方法,因此,本文将给出空间曲线积分与曲面积分的一些典型计算方法,为这部分的学习提供参考.1 空间曲线积分与曲面积分的定义及性质定义1.1[]()1981P 设L 为空间可求长度的曲线段,(),,f x y z 为定义在L 上的函数,对曲线L 作分割T ,它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L ()1,2,,i n =,i L 的弧长记为i s ∆,分割T 的细度为1max i i nT s ≤≤=∆,在i L 上任取一点()(),,1,2,,i i i i n ξης=,若有极限()01lim ,,ni i i i T i f s J ξης→=∆=∑ 且J 的值与分割T 与点(),,i i i ξης的取法无关,则称此极限为(),,f x y z 在L 上的第一型曲线积分,记作()⎰Lds z y x f ,,.第一型曲线积分具有和定积分类似的性质,略.定义1.2[]()2031P 设函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 为定义在空间有向可求长度曲线L :弧AB 上.对L 的任一分割T ,它把L 分成n 个小曲线段弧i i M M 1-()1,2,,i n =,其中0,n M A M B ==,记各小曲线段弧i i M M 1-的弧长为i s ∆,分割T 的细度为1max i i nT s ≤≤=∆,又设T的分点i M 的坐标为(),,i i i x y z ,并记111,,i i i i i i i i i x x x y y y z z z ---∆=-∆=-∆=-()1,2,,i n =.在每个小曲线段弧i i M M 1-上任取一点(),,i i i ξης()1,2,,i n =,若极限()()()0111lim ,,lim ,,lim ,,nnni i i i i i i i i i i i T T T i i i P x Q y R z ξηςξηςξης→→→===∆+∆+∆∑∑∑存在且与分割T 与点(),,i i i ξης的取法无关,则称此极限为函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分,记为()()(),,,,,,LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰或 ()()(),,,,,,ABP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰.常简写成LPdx Qdy Rdz ++⎰或⎰++ABRdz Qdy Pdx .第二型曲线积分具有线性性质和积分区域的可加性.定义1.3[]()2801P 设S 是空间中可求面积的曲面,(),,f x y z 为定义在S 上的函数,对曲面S 作分割T ,它把S 分成n 个小曲面块i S ()1,2,,i n =,以i S ∆记小曲面块i S 的面积,分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ,在i S 上任取一点(),,i i i ξης()1,2,,i n =,若极限()01lim ,,ni i i i T i f s ξης→=∆∑存在,且与分割T 与(),,i i i ξης()1,2,,i n =的取法无关,则称此极限为(),,f x y z 在S 上的第一型曲面积分,记作(),,Sf x y z ds ⎰⎰.第一型曲面积分具有和定积分类似的性质,略.定义1.4[]()2841P 设,,P Q R 为定义在双侧曲面S 上的函数,在S 所指定的一侧作分割T ,它把S 分成n 个小曲面块12,,,n S S S ,分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ,以,,yz zx xy i i i S S S ∆∆∆分别表示i S 在三个坐标面上的投影区域上的面积,它们的符号由i S 的方向来确定,若i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时,i S 在xy 平面的投影区域面积xyi S ∆为正,反之,若i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时,它在xy 平面的投影区域面积xy i S ∆为负.在各个小曲面块i S 上任取一点()(),,1,2,,i i i i n ξης=,若()()(),0111lim ,lim ,,lim ,,yz zx xy nnni i i i i i i i i i i i T T T i i i P S Q S R S ξηςξηςξης→→→===∆+∆+∆∑∑∑存在,且与曲面S 的分割T 和(),,i i i ξης在i S 上的取法无关,则称此极限为函数,,P Q R 在曲面S 所指定一侧上的第二型曲面积分,记作()()(),,,,,,SP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰.第二型曲面积分具有线性性质和区域可加性.2 三个重要定理定理2.1(Green 公式)[]()2241P 若函数()()y x Q y x P ,,, 在闭区域D 上连续,且有连续的一阶偏导数,则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D L Qdy Pdx d y P x Q σ,这里L 为区域D 的边界曲线,并取正方向.定理 2.2(Gauss 公式)[]()2901P 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成.若函数R Q P ,,在V 上连续,且有一阶连续偏导数,则⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V SRdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ,其中S 取外侧.定理2.3(Stokes 公式)[]()2921P 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线,若函数P 、Q 、R 在S ()L 连同上连续,且有一阶连续偏导数,则⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S L Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R , 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.定理3.2'(Stokes 公式)[]()9922P (1)设S 是3R 中的分片光滑曲面,(2)设S 的边界是有限条封闭光滑曲线L ,(3)设函数P 、Q 、R 是在曲面S 及其附近有定义,在S 直到L 上有连续的偏导数,则⎰⎰⎰++∂∂∂∂∂∂=++LS dS R Q P z y x Rdz Qdy Pdx γβαcos cos cos⎰⎰∂∂∂∂∂∂=sRQPz y x dxdy dzdx dydz, 其中+S 与+L 呈右手关系(即站在+S 的法线上看,+L 为逆时针方向),αcos ,βcos ,γcos 为+S 的法线方向余弦.3 空间曲线积分的计算方法3.1 对称法对称方法是数学中的一种重要方法,在曲线积分的计算(证明)中注意到被积式与积分区域的对称性,运用对称性质计算,能够起到化繁为简的作用.例1 设L 为对称于坐标轴的光滑闭曲线,证明()()⎰=-+++Ly y dy y xe xy dx e y x0233.证明 设L 为正向闭曲线,其包围的区域为D ,由Green 公式得()()⎰-+++Ly y dy y xe xy dx e y x233=()33Dy x dxdy -⎰⎰=33DDy dxdy x dxdy -⎰⎰⎰⎰因为L 是对称于坐标轴的光滑曲线,所以区域D 关于坐标轴对称.因为3y 是变量y 的奇函数,从而30Dy dxdy =⎰⎰,同理30Dx dxdy =⎰⎰,所以33D Dy dxdy x dxdy -⎰⎰⎰⎰0=. 故()()⎰=-+++Ly y dy y xe xy dx e y x0233.除了上述对称性之外,还可利用轮换对称性. 例2 计算积分2Lx ds ⎰,其中02222=++=++z y x a z y x L 与为的交线.解 积分曲线L 关于,,x y z 有轮换对称性,因此2Lx ds ⎰=2Ly ds ⎰=2Lz ds ⎰=()22213Lx y z ds ++⎰ 22133L L a a ds ds ==⎰⎰232233a a a ππ==. 3.2 参数法根据积分路径或被积函数的特点选用适当的参数表示,化第二型曲线积分为定积分,有时多采用极坐标,或广义极坐标. 例3 计算()⎰++L ds z y x222,其中L 是球面29222=++z y x 与平面1=+z x 的交线. 解 将L 的两个方程式联立,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++129222z x z y x ,消去z ,得141212122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x .令θρθρsin 2,cos 221==-y x ,代入可知1=ρ, 从而L 的参数方程为().πθθθθ20cos 221,sin 2,cos 221≤≤-==+=z y x ()()()θθθθθd d ds 2sin 2cos 2sin 2222=++-=所以()πθπ1822920222=⋅=++⎰⎰d ds z y xL.例4[]()9252P 计算曲线积分Lydx zdy xdz ++⎰.其中L 是曲线0,0,0,1,1222222≥≥≥=+=++z y x c z a x c z b y a x (1)(0,0,0>>>c b a 为常数)从点)0,0,(a 到),0,0(c .解 方法一 如图1所示(利用坐标面上的投影椭圆)在式(1)中消去z ,得2222212a x y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 这是xy 平面上,以,02a ⎛⎫⎪⎝⎭为中心,以2a 为半轴的椭圆,从而可改写成参数方程cos ,22a a x y θθ=+=,代入1x z a c +=,得cos 22c cz θ=-. 因0x y z θπ≥≤≤、、,故0.则Lydx zdy xdz ++⎰θθθθθθθπd ca abc c a b ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=sin 2cos 22cos 2cos 22sin 2sin 2 ⎰⎰⎰+--=20202022sin 2cos 2sin 2πππθθθθθθd ac d bcd ab()c a bac +-=242π.图1方法二 (在截平面上引用极坐标)令,,x ax y by z cz ===, 则L 变成2221,1x y z x z ++=+=, 作旋转变换,令,,22x z x zu y v ω+-===, 这时L 变成2221,u v v ω++==,在v =L 是圆周222112u ω+=-=,引用极坐标,u ωθθ==, 于是可得L 的参数方程()()()1cos 2221cos 22v ax ax aby bybu c cz czv ωθθωθ+===+=====-=-其余同方法一.方法三(因为曲线上,y z 都可写成x 的函数)令x at=,则()1,z c t y =-=点1t =,终点0t =.于是 原积分=1112t t act dt ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 2θt 令=2220cos cos cos sin 2222ac d πθθθθθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ ()224ac c a b++-=π.3.3 Stokes 公式法在空间曲线积分的参数方程不易求得时,用Stokes 公式将第二型曲线积分化为曲面积分,常可使计算简单.例5 求曲线积分⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222,其中L 为球面在第一卦限部分的边界线,从球的外侧看去L 的方向为逆时针方向.解 如图2所示 不妨设球面在第一卦限部分为S ,其边界为L , 根据右手法则,S 取外法向,由Stokes 公式得⎰⎰+-+-+-=Sdxdy y x dzdx x z dydz z y I )(2)(2)(2.设S 三个坐标平面上的投影区分别为,,yz zx xy D D D ,则()()()222yzzxxyD D D I y z dydz z x dzdx x y =-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰由坐标的轮换对称性,得41212)(62101-=-=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-x D D xdy dx xdxdy dxdy y x I xyxy. 图2例6 求⎰++=Lxdz zdy ydx I ,其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩,且从z 轴正向看去圆周L的方向为逆时针方向.解 不妨设S 为平面0x y z ++=上以L 为边界的部分,其法向量为{}11,1,13n =. 根据Stokes 公式得{}{}dSdxdy dzdx dydz I SS1,1,1311,1,1⎰⎰⎰⎰⋅---=---=233a dS Sπ-=-=⎰⎰.3.4 曲线积分与路径无关法当曲线积分与路径无关时,选择特殊的路径,例如选平行于坐标轴的直线段或折线段来计算曲线积分,会使计算变得容易.例7 求⎰-+-+-=Ldz xy z dy xz y dx yz xI )()()(222,其中L 是沿螺旋线,cos θa x =()πθπθθ202,sin ≤≤==h z a y 从点(),0,0A a 到(),0,B a h 的有向曲线. 解 这里()()()222,,,,,,,,P x y z x yz Q x y z y xz R x y z z xy =-=-=-. 因为,,R Q P R Q P x y z y z z x x y∂∂∂∂∂∂==-==-==-∂∂∂∂∂∂, 所以曲线积分与积分路径无关.分路径为有向线段AB :()h t t z y a x ≤≤===0,0,,则⎰-+-+-=Ldz xy z dy xz y dx yz x I )()()(222⎰-+⋅-+⋅-=ABdt t a )0(0)00(0)0(2230231h dt t h ==⎰. 例8 验证:()()22cos sin y y xe dx x e z dy y z dz --+-++-是全微分,并求它的一个原函数. 解 这里()()()2,,2,,,cos ,,,sin y y P x y z xe Q x y z x e z R x y z y z --==-+=-,则sin ,0,2y R Q P R Q Pz xe y z z x x y-∂∂∂∂∂∂==-====-∂∂∂∂∂∂, 所以()()22cos sin y y xe dx x e z dy y z dz --+-++-是全微分.设所求的原函数为()z y x I ,,,点()()()12,0,0,,,0,,,,M x M x y M x y z 取积分路径为折线段12OM M M 得()z y x I ,,()()()()⎰-++-+=--z y x y y dz z y dy z e x dx xe ..0,0,02sin cos 2()()dz z y dy z e x dx xe y y MM M M OM sin cos 2)(22211-++-+++=--⎰⎰⎰()⎰⎰⎰-++-+=-zyvxwdw y dv ex udu 020sin 12z y e x ycos 2+=-.4 曲面积分的计算方法4.1 对称法 例9 计算()⎰⎰+Sdydz z yx 22,其中S 为2222R z y x =++的外侧.解 设V 为球:2222R z y x ≤++,则由Gauss 公式及对称性,得()⎰⎰+Sdydz z y x 22()⎰⎰⎰+=Vdxdydz z y 22⎰⎰⎰=Vdxdydz z 22()⎰⎰⎰++=Vdxdydz z y x 22232 523983432R R R ππ=⋅⋅=. 例10 设()f z 为奇函数,试求积分()()()22;;SSSI f z dS J f z dS K yf z dS ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中S 为锥面22z xy =位于球面2222x y z a ++=内的部分.解 如图3所示 22z xy =是以原点为顶点的双叶锥面,对称轴是xy 平面上1、3象限的分角线. S 关于xy 平面上、下对称,在对称点上()f z 的大小相等,符号相反,因此积分()0sI f z dS ==⎰⎰.又由于S 在1、3卦限内的部分与它在7、5卦限内的部分关于原点对称,在对称点上()2yf z 的大小相等,符号相反,所以积分()20SK yf z dS ==⎰⎰. 除了上、下对称,原点对称之外,S 还关于y x =平面(前后)对称.在对称点上()z f 2大小相等符号相同,因此()128S J f z dS =⎰⎰,其中1S 表示S 位于第一卦限内夹于0y y x ==与之间的部分.图34.2 直接使用公式法可以选择适当的坐标平面,利用直角坐标方程求解曲面积分,也可利用参数方程把曲面积分化为二重积分求解曲面积分.例11 计算曲面积分⎰⎰+++=Sa z y x dS I 222)(,其中S 为以原点为中心,()0a a >为半径的上半球面.解 上半球面ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos cos :a z a y a x S === ,0,022πϕθπ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭因此⎰⎰++++=Saaz z y x dSI 2222220202πϕθπ≤≤≤≤=⎰⎰202aππϕ=⎰22ππ=-(22a π=.例12 计算积分()⎰⎰+=Szds y xI 22,S 是上半球面()02222≥=++z R z y x ,含在柱面Rx y x =+22的内部.解 S :222y x R z --=在xy 平面上的投影D :Rx y x ≤+22,222221yx R R y z x z --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+()⎰⎰--⋅--⋅+=Ddxdy yx R R y x R y x I 22222222()⎰⎰+=Ddxdy y xR22(令θcos r x =,θsin r y =)52244cos 0322323cos 41R d R R dr r d RR πθθθππθππ===⎰⎰⎰--. 4.3 Gauss 公式法利用Gauss 公式将曲面积分化为三重积分,使被积函数简化,从而使计算简单化. 例13 试证:若S 为封闭的光滑曲面,l 为任意固定的已知方向,则()⎰⎰=SdS l n 0,cos ,式中n为曲面的外法线向量.证明 设),,(1c b a l = 为l 方向的单位向量,1n 是外法线的单位向量:()γβαcos ,cos ,cos 1=n, 则()γβαcos cos cos ,cos 11c b a n l l n ++=⋅=.应用Gauss 公式()()⎰⎰⎰⎰++=SsdS c b a dS l n γβαcos cos cos ,cos ⎰⎰++=Scdxdy bdzdx adydz00V Va b c dxdydz dv x y z ⎛⎫∂∂∂=++== ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 例14 记()ϕθ,r r =为分片光滑封闭曲面S 的球面坐标方程.试证明S 所围的有界区域V 的体积⎰⎰=SdS r V φcos 31,其中φ为曲面S 在动点的外法线方向与向径所成的夹角.证明 ()z y x r ,,=表示动点的径向量,则模222z y x r ++=,()γβαcos ,cos ,cos =n表示S 的外法线单位向量,则γβαφcos cos cos cos rzr y r x n r r ++=⋅=因此()⎰⎰⎰⎰++=S S dS z y x dS r γβαφcos cos cos 31cos 31⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz 31 V dxdydz V==⎰⎰⎰所以原题得证.5 空间曲线积分与曲面积分之间的关系Stokes 公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系.例15 试计算积分()⎰+-+-+-=L dz x y dy z x dx y z I )()(,其中L +是从(),0,0A a 经 ()0,,0B a 到()0,0,C a 回到(),0,0A a 的三角形.解 方法一 如图4所示+S 表示ABC ∆所围平面块之上侧,则⎰⎰+---∂∂∂∂∂∂=S xy zx yz z y x dxdydzdx dydz I ⎰⎰+++=S dxdy dzdx dydz 2 轮换对称⎰⎰∆=⋅ABCa dxdy 3332.图4方法二 ()().1,1,1,,,0:='''=-++≡z y x F F F a z y x F S , 因此法线方向余弦()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31,31,31cos ,cos ,cos γβα, 23323323cos cos cos a S dS dS xy zx yz z y x I ABC S S=⋅=⋅=---∂∂∂∂∂∂=∆⎰⎰⎰⎰γβα. 例16 计算积分⎰+++=L xdz zdy ydx I ,其中+L为圆周0,0,2222=++>=++z y x a a z y x从z 轴正方向看为逆时针方向.解 方法一 如图5所示(用Stokes 公式化为第一型曲面积分)+S 表示L 所围成的平面圆块(上侧),())1,1,1(,,,0:='''=++≡+z y x F F F z y x F S ,()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31,31,31cos ,cos ,cos γβα, 故dS xzyz y x I S ⎰⎰+∂∂∂∂∂∂=313131()⎰⎰+⋅-⋅=S dS 3113 233a dS S π-=-=⎰⎰+.图5方法二 (用Stokes 公式化为第二型曲面积分) +S 表示L 所围成的平面圆块(上侧),⎰⎰+∂∂∂∂∂∂=S xzy z y x dxdy dzdx dydz I ⎰⎰+---=S dxdy dzdx dydz轮换对称性⎰⎰⎰⎰∆-=-+dxdy dxdy S 33,其中∆是+S 在xy 平面的投影区域:2222a xy y x ≤++.令2,2ηξηξ+=-=y x ,则121212121=-=J ,(){}2223:,a ≤+=∆'ηξηξ , 故 ππ2233133a a S I -=⋅-=⋅-=∆'.通过上面讨论,总结归纳了一些空间曲线积分与曲面积分的典型计算方法,希望本文对学习《数学分析》的同学提供参考和帮助.。
多元微积分、微分方程小结

多元函数及多元微分学一 内容1.主要概念及其关系:●主要概念:多元函数,函数的极限,函数在一点连续,偏导数,可微,方向导数,梯度向量 设 2),(),,(R D y x y x f ⊂∈ 二重极限:A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00累次极限:),(lim lim 00y x f x x y y →→,),(lim lim 00y x f y y x x →→连续:),(),(l i m00),(),(00y x f y x f y x y x =→偏导数:xy x f y x x f xf x M ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim00000yy x f y y x f yf y M ∆-∆+=∂∂→∆),(),(l i m 000000可微: )(ρo y b x a f +∆+∆=∆,其中 22)()(y x ∆+∆=ρ全微分 bdy adx df +=,其中 x f a ∂∂=,yfb ∂∂= 方向导数:tM f tv M f vft M )()(lim000-+=∂∂→, T v v v ),(21=是单位向量设),,(z y x f 可微,单位向量 T v )cos ,cos ,(cos γβα=γβαcos cos cos zf y f x f v f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 梯度向量: 设),(y x f 可微,0),(),(00M Tyf x f y x gradf ∂∂∂∂=●各概念之间的关系:逻辑关系,数量关系。
2.微分法:复合函数微分法,隐函数微分法 3.二元函数的泰勒公式4.曲面的切平面,法向量;曲线的切向量,法平面。
5.极值与条件极值二 典型问题1. 研究某个函数在某点的可微性,连续性等。
2. 求初等函数的导数,微分,方向导数,梯度,泰勒展开3. 抽象函数求导数:复合函数微分法,隐函数微分法的运用。
例如 求 22,dxu d dx du ,其中 0),,(,0),,(),,,(===z y x h z y x g z y x f u4.求曲面的切平面,法向量;曲线的切向量,法平面,以及相关问题。
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P i Q j Rk
y
x
南京航空航天大学 理学院 数学系 10
2009年5月
第二型曲线积分的概念
1. 问题的提出 变力沿曲线所作的功
设一质点在变力 F ( M ) 作用下, 从点A 点B,
沿光滑曲线L
L
B
求变力 F ( M )对质点所作的功W. 处理办法 分割
→近似代替
18
t (
,
)
南京航空航天大学 理学院 数学系
类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
AB
F dr
AB
Pdx Qdy Rdz
AB
P cos Q cos R cos d s
其中 t 0 (cos , cos , cos )为与AB方向一致
AB
n
被积函数 第二类曲线积分(坐标形式) 当 AB为空间曲线时, 单独形式 n F ( MP ) (x ,y ,, z ) lim P( x, P y,, x , y,, ( xF ,y )d x (z)i, Q )( x , z ) j R( x, y,, z )k ,
若以 r0 表示 OM 上的单位向量, 则有
m m 2 r0 . r r
2009年5月 南京航空航天大学 理学院 数学系 7
它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量 的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. m 这说明了引力场是数量场 的梯度场, 因此常称 r m 为引力势(gravitational potential ). r
南京航空航天大学 理学院 数学系132. 定义
设向量函数 F ( M )在以点A为起点,点B为终点的
有向光滑曲线 AB上有定义且有界,若
lim F ( M i ) r i lim [ P ( i ,i )xi Q( i ,i )yi ]
d 0
i 1 d 0 i 1
等于给定了一个数量函数 u( x , y , z ), 在以下讨论中
总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每
2009年5月 南京航空航天大学 理学院 数学系 2
个向量场都与某个向量函数
A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
L
M i 1
M2
B Mn
M i M n 1
, M n1 , M n B
A M0
M1
设 M i 1 M i的长度为si ,
任意取一点M i M i 1 M i ,
Wi F ( M i ) r i
( 3 ) 求和
n
令d max{s1 , s2
n
sn }
C
M i 1
M2
B Mn
M i M n 1
yi
xi
A M0
M1
o
x
F ( M i ) r i P ( i ,i )xi Q( i ,i ) yi
lim [ P ( i ,i )xi Q( i ,i )yi ]
d 0
2009年5月
n
i 1
2009年5月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
因为数量场 u( x , y , z ) 的等值面 u( x , y , z ) c 的法线
u u u 方向为 , , , 所以 grad u 恒与 u 的等值面 x y z 正交.
引进符号向量
, , , x y z
x
设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线
方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
dx dy dz , P Q R 则称曲线 L 为向量场 A 的向量场线. 例如电力线、
磁力线等都是向量场线.
注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来
向量函数 F ( M ) P ( M )i Q( M ) j 在曲线 C 上连 续,则
F ( M ) d r P ( x , y )d x Q( x , y )d y
C C
一定存在, 且
F ( M ) d r P ( x , y )d x Q( x , y )d y [ P ( x , y )cos Q ( x , y )cos ]d s
A
→求和 →取极限
常力沿直线所作的功
F
A 2009年5月
W F AB F AB cos
B 南京航空航天大学 理学院 数学系
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(1)分割
F ( Mi )
将 AB任意分成n个小弧段 M i 1 M i ,
分点A M0 , M1 ,
(2)近似代替
设 M i 1 M i r i ( i 1,2,..., n)
2 d s A xx t ), dr d (d y2 t AB : t B ( t ) 0 y dx dy
F t ds AB Ft ds
( P cos Q cos )ds AB
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t dt (d s'( td )dt s , '( t )dt) ( dx , dy (cos ,cos )) d r 与积分路径方向一致.
第二类曲线积分必须注意积分路径的方向 !
南京航空航天大学 理学院 数学系 17
两类曲线积分的联系
F(M) (P( x, y), Q( x, y))
y
F (M )
dr
dy
B
记 dr (dx,dy)
— AB弧在点M 处与曲线方向 一致的切向量
C
A
dx
o
x
AB
F dr
0
AB
AB
Pdx Qdy
进行计算和研究它的性质.
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梯度场
我们已经介绍了梯度的概念, 它 是由数量函数 u( x , y , z ) 所定义的向量函数 u u u grad u i j k. x y z grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 梯度场. 由前面知道, grad u 的方向就是使方向导 数 u l 达到最大值的方向, grad u 就是在这个方 方向上的方向导数.
C C C
其中 cos , cos (或sin )是点 M ( x , y ) C 处 与积分路径 C 方向一致的切向量的方向余弦.
A A
B
L BA
F ( M ) 是向量 其大小和方向都随点M变化 z F ( M ) F ( x, y, z )
( P ( x, y, z ) , Q ( x, y, z ) , R ( x, y, z ) )
F (M )
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
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对坐标的曲线积分
1 2 3
第二类曲线积分的概念 两类曲线积分的联系 第二类曲线积分的计算
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预备知识
有向曲线 指定了方向的曲线.
~~~~~~~~~~~~
B
L AB
通常指出起点,终点来表明. 向量函数
n 0 i 1 i i
i
Q( i , i )yi ]
R( x , y , z )dz x 的曲线积分; P ( x, y, z )dx Q( x , y, z )dy称为对坐标 Q( x , y )d y lim Q( , )y , lim [ P ( , , )x Q( , , )y R( , , )z ,]
(向量形式),
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AB
(坐标形式)
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即
AB
AB
F ( M ) d r lim F ( M i ) r i
0
n
第二类曲线积分(向量形式)
i 1
P ( x , y )dx Q( x , y )dy lim [ P ( , )x 积分路径
场的概念 对坐标的曲线积分 对坐标的曲面积分
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场的概念
若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个 数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
2009年5月 南京航空航天大学 理学院 数学系 6
例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点 位于 M ( x , y , z ), 记
r OM x 2 y 2 z 2 ,
m 试求 的梯度 . r m x y z m 2 , , . 解 r r r r r
在点M ( x, y, z )处的切线的方向余弦
简记为 F ( M ) F
简记为 ( P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )) ( P , Q, R)
2009年5月 南京航空航天大学 理学院 数学系 19