高一数学人教a版必修2试题：学业质量标准检测3含解析
2019-2020学年新导学案同步人教A版数学必修2学业质量标准检测 (3)
第二章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为(D) A．5B．4C．9D．1[解析]由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线(B)A．平行B．垂直C．相交D．异面[解析]当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列结论正确的是(D) A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原结论正确，故D项正确．4．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC 上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部[解析]∵AC⊥AB，AC⊥BC，∴AC⊥平面ABC1，1又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A．5．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有(A)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①[解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有(B)A．1条B．2条C．3条D．4条[解析]如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC ＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．(2018～2019·浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则(C)A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l⊂β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n，故选C．8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为(C)A．30°B．45°C．60°D．90°[解析]如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1．又A1C1∥AC，∴∠A1C1B为异面直线AC与MN所成的角．∵△A1BC1为正三角形，∴∠A1C1B＝60°.故选C．9．(2018·全国卷Ⅱ文，9)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(C)A．22B．32C．52D．72[解析]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD∥AB，所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB，设正方体边长为2a ，则由E 为棱CC 1的中点，可得CE ＝a ，所以BE ＝5a ．则tan ∠EAB ＝BE AB ＝5a 2a ＝52.故选C ．10．(2019·全国卷Ⅲ文，8)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( B )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线[解析] 取CD 的中点F ，DF 的中点G ，连接EF ，FN ，MG ，GB ，BD ，BE ．∵点N 为正方形ABCD 的中心， ∴点N 在BD 上，且为BD 的中点． ∵△ECD 是正三角形， ∴EF ⊥CD ．∵平面ECD ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ．∴EF ⊥FN ．不妨设AB ＝2，则FN ＝1，EF ＝3， ∴EN ＝FN 2＋EF 2＝2．∵EM ＝MD ，DG ＝GF ，∴MG ∥EF ， ∴MG ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥BG ． ∵MG ＝12EF ＝32，BG ＝CG 2＋BC 2＝(32)2＋22＝52， ∴BM ＝MG 2＋BG 2＝7．∴BM ≠EN ．∵BM ，EN 是△DBE 的中线， ∴BM ，EN 必相交．故选B ．11．(2018·邹城一中高一检测)设a ，b 是异面直线，则以下四个结论：①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 对于①，可在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a 有两个平面α，β与直线b 平行，则面α，β相交于直线a ，过直线b 做一平面γ与面α，β相交于两条直线m ，n 都与直线b 平行，可得a 与b 平行，所以假设不成立，所以④正确，故选C ．12．(2018·全国卷Ⅰ理，12) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )A ．334B ．233C ．324D ．32[解析] 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与线AA 1，A 1B 1，A 1D 1所成的角是相等的，所以平面AB 1D 1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面C 1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB 1D 1与C 1BD 中间， 且过棱的中点的正六边形，且边长为22，所以其面积为S ＝6×34·(22)2＝334，故选A ． 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是__直角三角形__．[解析] 如图，过点A 作AE ⊥BD ，E 为垂足． ∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥BC ． 又∵DA ⊥平面ABC ，∴DA ⊥BC ． 又∵AE ∩DA ＝A ，∴BC ⊥平面ABD ， ∴BC ⊥AB ．∴△ABC 为直角三角形．14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于 90° ．[解析]因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN．又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，设m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是__②__.(写出所有满足要求的序号)①m∥D1Q②m∥平面B1D1Q③m⊥B1Q④m⊥平面ABB1A116．(2017·全国卷Ⅰ文，16)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为__36π__．[解析]如图，连接OA，OB．由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC．由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB．设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S－ABC的体积V＝13×(12SC·OB)·OA＝r33，即r33＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·江苏卷，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E．[解析](1)证明：因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED．又因为DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．(2)证明：因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC．因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC．又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE．因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1．因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E．18．(本小题满分12分)(2017·山东文，18)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD 的中点，A1E⊥平面ABCD．(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．[解析](1)证明：取BD1的中点O1，连接CO1，A1O1，1由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1．(2)证明：因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD．又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1．又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM．又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ文，17)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．[解析](1)证明：由已知得BC1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥1EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1．(2)解：由(1)知∠BEB1＝90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°，故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6．如图，作EF ⊥BB 1，垂足为F ，则EF ⊥平面BB 1C 1C ，且EF ＝AB ＝3． 所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积V ＝13×3×6×3＝18．20．(本小题满分12分)(2018·天津文，17)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．[解析] (1)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．(2)取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND .又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326．(3)连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD .所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4． 在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34． 21．(本小题满分12分)(2017·天津文，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；(2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．[解析] (1)解：如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ．在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5，故cos ∠DAP ＝AD AP ＝55． 所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55． (2)证明：由(1)知AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ．又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ，所以PD ⊥平面PBC ．(3)解：过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1．由已知，得CF ＝BC －BF ＝2．又AD ⊥DC ，所以BC ⊥DC ．在Rt △DCF 中，可得DF ＝CD 2＋CF 2＝25，在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝55． 所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55． 22．(本小题满分12分)(2018·集宁一中高一检测)如图，四面体ABCD 中，O ，E 分别为BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2．(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求点E 到平面ACD 的距离．[解析] (1)连结OC ．因为BO ＝DO ，AB ＝AD ，所以AO ⊥BD .因为BO ＝DO ，CB ＝CD ，所以CO ⊥BD ．在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝ 3.而AC ＝2，所以AO 2＋CO 2＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ．因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD ．(2)设点E 到平面ACD 的距离为h .因为V E －ACD ＝V A －CDE ，所以13h ·S △ACD ＝13·AO ·S △CDE ． 在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2，所以S △ACD ＝12×2×22－(22)2＝72． 而AO ＝1，S △CDE ＝12×34×22＝32，所以h ＝AO ·S △CDE S △ACD ＝1×3272＝217． 所以点E 到平面ACD 的距离为217．。
高一数学人教A版必修二 模块质量评估试题 Word版含答案
模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·景德镇期末)已知直线－－＝，则该直线的倾斜角为( )．°．°．°．°解析：直线－－＝的斜率＝，故倾斜角为°，选.答案：．(·濮阳综合高中月考)过点(，)和(，)的直线与＝＋平行，则的值为( )．．．不确定解析：由＝＝，得－＝，即＝＝.故选.答案：．(·葫芦岛期末)在空间直角坐标系中已知点(，)和点(－)，则在轴上到和的距离相等的点坐标是( )．()．()解析：设(，)，则＝，所以＝，解得＝，故选.答案：．若直线(＋)＋＋＝与圆＋－＝相切，则的值为( )．或－．或－．－．解析：圆＋－＝的圆心()，半径为，依题意得＝，即＋＝，平方整理得＝－，故选.答案：．(·中山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形，俯视图是半径为的半圆，则该几何体的体积是( )ππππ解析：由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆锥的半径为，高为，故所求体积为××π××＝π，选.答案：．(·银川一中期末)在空间给出下面四个命题(其中，为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)①⊥α，∥α⇒⊥②∥，∥α⇒∥α③∥，⊥β，∥α⇒α⊥β④∩＝，∥α，∥β，∥α，∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( )．个．个．个．个解析：②中也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选.答案：．直线将圆＋－－＝平分，且与直线＋＝垂直，则直线的方程是( )．－＝．－－＝．－＋＝．＋－＝解析：依题意知直线过圆心()，斜率＝，所以的方程为－＝(－)，即－＝，故选.答案：．(·大连六校联考)若点(－，－)，()到直线：＋＋＝的距离相等，则实数的值为( )．－．－或－或解析：由＝，解得＝－或－，故选.答案：．点在正方形所在平面外，⊥平面，＝，则与所成角的度数为( )．°．°．°．°解析：利用正方体求解，如图所示：与所成的角，即为与所成的角，因为△为等边三角形，所以∠＝°，故与所成角为°，选.答案：．在四面体－中，棱，，两两互相垂直，则顶点在底面上的投影为△的( )．垂心．重心．内心．外心解析：因为⊥，⊥，∩＝，。
高一数学人教A版必修2试题综合学业质量标准检测 Word版含解析
本册综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分分．考试时间分钟．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·泰安二中高一检测)直线＝与直线＝＋垂直，则等于( )．－．．．－[解析]由题意，得＝－，∴＝－.．空间中到、两点距离相等的点构成的集合是( )．线段的中垂面．线段的中垂线．一个圆．过中点的一条直线[解析]空间中线段的中垂面上的任意一点到、两点距离相等．．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( )．②④．③④．①②．②③[解析]垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选．．如图，在同一直角坐标系中，表示直线＝与＝＋正确的是( )[解析]当>时，直线＝的斜率＝>，直线＝＋在轴上的截距等于>，此时，选项、、、都不符合；当<时，直线＝的斜率＝<，直线＝＋在轴上的截距等于<，只有选项符合，故选．．已知圆＋＋－＋＝截直线＋＋＝所得弦的长度为，则实数的值是( )．．．．[解析]圆＋＋－＋＝的圆心(－)，半径＝(<)．圆心(－)到直线＋＋＝的距离＝＝，由题意，得＝.．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )[解析]如图所示，由图可知选．．(·天水市高一检测)圆＋－＋＝和圆＋－＝交于、两点，则的垂直平分线的方程是( )．＋＋＝．－－＝．－－＝．－＋＝[解析]圆＋－＋＝的圆心(，－)，圆＋－＝的圆心()，的垂直平分线过圆心、，∴所求直线的斜率＝＝，所求直线方程为＝(－)，即－－＝.．(·南平高一检测)已知直线与直线－＋＝关于直线＝对称，则直线的方程为( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．＋－＝[解析]由(\\(－＋＝＝))，得(\\(＝＝)).由题意可知直线的斜率与直线－＋＝的斜率互为相反数，∴＝－，故直线的方程为－＝－(－)，即＋－＝.．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是( )．．．．[解析]该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积＝××＋×××＝.．(～·郑州高一检测)过点()的直线与圆：(－)＋(－)＝交于，两点，为圆心，当∠最小时，直线的方程是( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．－＋＝[解析]由圆的几何性质知，圆心角∠最小时，弦的长度最短，此时应有⊥.∵＝，。
高一数学人教a版必修二_模块质量评估试题_word版有答案
高一数学人教a 版必修二_模块质量评估试题_word 版有答案(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·景德镇期末)已知直线x －3y －2＝0，则该直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析： 直线x －3y －2＝0的斜率k ＝33，故倾斜角为30°，选A. 答案： A2．(2015·濮阳综合高中月考)过点A (4，a )和B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不确定 解析： 由k AB ＝b －a 5－4＝1，得b －a ＝1，即|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.故选B.答案： B3．(2015·葫芦岛期末)在空间直角坐标系中已知点P (0,0，3)和点C (－1,2,0)，则在y 轴上到P 和C 的距离相等的点M 坐标是( )A ．(0,1,0) B.⎝⎛⎭⎫0，－12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，12，0 D ．(0,2,0)解析： 设M (0，y,0)，则|MP |＝|MC |，所以y 2＋(3)2＝(－1)2＋(2－y )2，解得y ＝12，故选C.答案： C4．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1或－1 B ．2或－2 C ．1D ．－1解析： 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1，故选D. 答案： D5．(2015·中山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433π B.12π C.33π D.36π 解析： 由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆 锥的半径为1，高为3，故所求体积为12×13×π×12×3＝36π，选D. 答案： D6．(2015·银川一中期末)在空间给出下面四个命题(其中m ，n 为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面) ①m ⊥α，n ∥α⇒m ⊥n ②m ∥n ，n ∥α⇒m ∥α ③m ∥n ，n ⊥β，m ∥α⇒α⊥β ④m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析： ②中m 也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C. 答案： C7．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x －y －2＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝0解析： 依题意知直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2，所以l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，故选A. 答案： A8．(2015·大连六校联考)若点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A.79 B ．－13C.79或13 D ．－79或－13解析： 由|－3a －4＋1|a 2＋12＝|6a ＋3＋1|a 2＋12，解得a ＝－79或－13，故选D.答案： D9．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，选C.答案： C10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H是△BCD的垂心．故选A.答案： A11．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0的圆心坐标是(－1，－2)，半径是22，圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为2，∴过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为2的平行线与圆相切，只有一个交点，共有3个交点，故选C.答案： C12．(2014·德州高一期末)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()A.212a3 B.a312C.24a 3 D.a 36解析： 取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ， 又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D －ABC ＝13S △ABC ·DO＝13×12×a 2×22a ＝212a 3.故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．如下图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为________．解析： 由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.故S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×2×22＝2 2.答案： 2 214．已知A (0,8)，B (－4,0)，C (m ，－4)三点共线，则实数m 的值是________． 解析： k AB ＝8－00＋4＝2，k BC ＝0＋4－4－m∵k AB ＝k BC ，∴m ＝－6. 答案： －615．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 解析： 先求弦心距，再求弦长． 圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 故圆心为(3,4)，半径r ＝5. 又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案： 4 516．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析： 本题先求出正四棱锥的高h ，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解． V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫AC 22＝184＋64＝6. ∴S 球＝4πOA 2＝24π. 答案： 24π三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2015·河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．解析： 如图所示，作出轴截面，因为△ABC 是正三角形， 所以CD ＝12AC ＝2，所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23， 因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ， 所以OE AO ＝CD AC. 设OE ＝R ，则AO ＝23－R ， 所以R23－R ＝12，所以R ＝233.所以V 球＝43πR 3＝43π·⎝⎛⎭⎫2333＝323π27.所以球的体积等于323π27. 18．(本小题满分12分)(2015·福建八县一中联考)已知直线l ：kx －y ＋1－2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，且|OA |＝|OB |，求k 的值． 解析： (1)证明： 法一：直线l 的方程可化为y －1＝k (x －2)， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1－2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0－2)k －y 0＋1＝0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2＝0，－y 0＋1＝0解得x 0＝2，y 0＝1，故直线l 总过定点(2,1)． (2)因为直线l 的方程为y ＝kx －2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为1－2k ，在x 轴上的截距为2－1k ，依题意1－2k ＝2－1k ＞0，解得k ＝－1或k ＝12(经检验，不合题意)所以所求k ＝－1.19．(本小题满分12分)(2015·西安一中期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 是底面ABCD 对角线的交点．求证：(1)C 1O ∥平面AB 1D 1； (2)A 1C ⊥平面AB 1D 1. 证明： (1)连接A 1C 1， 设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，连接AO 1，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体， 所以A 1ACC 1是平行四边形， D 1B 1∩AB 1＝B 1，所以A 1C 1∥AC ，且A 1C 1＝AC ， 又O 1，O 分别是A 1C 1，AC 的中点，所以O 1C 1∥AO 且O 1C 1＝AO ， 所以AOC 1O 1是平行四边形，所以C 1O ∥AO 1，AO 1⊂平面AB 1D 1，C 1O ⊄平面AB 1D 1， 所以C 1O ∥平面AB 1D 1， (2)因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1D 1， 又因为A 1C 1⊥B 1D 1， 所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ， 即A 1C ⊥B 1D 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，又D 1B 1∩AB 1＝B 1， 所以A 1C ⊥平面AB 1D 1.20．(本小题满分12分)求圆心在直线y ＝－2x 上，并且经过点A (0,1)，与直线x ＋y ＝1相切的圆的标准方程．解析： 因为圆心在直线y ＝－2x 上，设圆心坐标为(a ，－2a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝r 2， 圆经过点A (0,1)且和直线x ＋y ＝1相切，所以有⎩⎨⎧a 2＋(2a ＋1)2＝r 2，|a －2a －1|2＝r ，解得a ＝－13，r ＝23，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋⎝⎛⎭⎫y －232＝29. 21．(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)求证：AB ⊥平面VAD ；(2)求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的大小． 解析： (1) 证明：∵底面ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD .∵平面VAD ⊥底面ABCD ，平面VAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴AB ⊥平面VAD .(2)取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形， ∴AE ⊥VD ，AE ＝32AD . ∵AB ⊥平面VAD ，VD ⊂平面VAD ，∴AB ⊥VD . 又AB ∩AE ＝A ，∴VD ⊥平面ABE . ∵BE ⊂底面ABE ，∴VD ⊥BE .∴∠ABE 就是平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的平面角． 在Rt △BAE 中，tan ∠BEA ＝BA AE ＝AD 32AD ＝233. ∴平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的正切值为233. 22.(本小题满分13分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解析： (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x p ，y p )由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝xy p ＝5y 4，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25， 即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1整理得x 2－3x －8＝0 ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412∴线段AB 的长度为 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415.。
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(数学2必修）第一章空间几何体[基础训练A组］一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ）A.棱台B。
棱锥 C.棱柱 D。
都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）。
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π B．50π C．125π D．都不对4．正方体的内切球和外接球的半径之比为( ）AB2 C．2: D35．在△ABC中，02, 1.5,120AB BC ABC==∠=,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ )A。
92π B.72π C.52π D。
32π视图6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点,顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱.2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。
3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心,若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
高中数学 综合质量评估(含解析)新人教A版必修2
【全程复习方略】2013-2014学年高中数学综合质量评估（含解析）新人教A版必修2(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·南充高二检测)直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在2.(2013·温州高二检测)直线y-2=mx+m经过一定点,则该点的坐标为( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(2,1)3.(2013·南昌高二检测)过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=04.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β5.(2013·长春高二检测)一个圆柱的轴截面为正方形,其体积与一个球的体积之比是3∶2,则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为( )A.1∶1B.1∶C.∶D.3∶26.过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为( )A.6B.C.2D.7.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,那么下列直线中经过圆心的直线的方程为( ) A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0C.2x+y+1=0D.2x+y-1=08.如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( )A.6πB.12πC.18πD.24π9.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36B.18C.6D.510.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,过A,C,D的平面与过D,B1,B的平面的位置关系是( ) A.相交不垂直 B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行11.过点P(-2,4)作圆(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线l1:ax+3y+2a=0与l平行,则l1与l间的距离是( )A. B. C. D.12.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2012·上海高考)一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为.14.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c+e= .15.圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于点A,B,若|AB|=,则该圆的标准方程是.16.若圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1,则半径R的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l过点P(-2,1).(1)当直线l与点B(-5,4),C(3,2)的距离相等时,求直线l的方程.(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时,求直线l的方程.18.(12分)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如图,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)是否不论点E在何位置,都有B D⊥AE?证明你的结论.19.(12分)已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.(1)求圆M的方程.(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.20.(12分)(2013·广州高二检测)如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F 为CD的中点.求证:(1)AF∥平面BCE.(2)平面BCE⊥平面CDE.21.(12分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若平面上有两点A(1,0),B(-1,0),点P是圆C上的动点,求使|AP|2+|BP|2取得最小值时点P的坐标.(2)若Q是x轴上的点,QM,QN分别切圆C于M,N两点,若|MN|=2,求直线QC的方程.22.(12分)(能力挑战题)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若圆E与直线CD相切,求实数a的值.(2)设点P在圆E上,使△PCD的面积等于12的点P有且只有3个,试问这样的圆E是否存在?若存在,求出圆E的标准方程;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选C.由于直线x=1与x轴垂直,故其倾斜角为90°,斜率不存在.2.【解析】选A.将直线方程化为y-2-m(x+1)=0,则当x=-1时,y=2,即直线过定点(-1,2).【拓展提升】揭秘“直线过定点”题含有参数的关于x,y的二元一次方程表示直线时,都经过定点,这个定点的求法可以按如下思路:(1)任取参数的两个值,得到两个直线方程,联立这两个方程,解出方程组的解,就是直线过的定点(对任意的参数都成立,故对特殊的也成立,用到了由一般到特殊的思想).(2)将x,y看成参数的系数,化成A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,因为上式对任意的λ恒成立,所以需由方程组得到的解即为直线过的定点.3.【解析】选A.结合图形可知,所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线,其斜率为-,故所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.4.【解析】选C.对于选项C,因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β,又因为m α,所以α⊥β.5.【解析】选A.设圆柱的高为2,球的半径为r,则V球=πr3=π,解得r=1,故所求比为1∶1.6.【解析】选D.由k AB=1,得b-a=1,所以|AB|===.7.【解析】选C.将圆的方程化为(x-1)2+(y+3)2=2,圆心为(1,-3),而(1,-3)满足2x+y+1=0,所以直线2x+y+1=0过圆心.8.【解析】选B.因为正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是一个圆环,所以该几何体是一个圆台,且圆台的上、下底半径分别为1和2,母线长为4,所以S侧=π(r+r′)l=π·(1+2)×4=12π.9.【解析】选C.x2+y2-4x-4y-10=0化为标准式:(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心(2,2)到直线x+y-14=0的距离d==5,半径r=3,圆上的点到直线的最小距离为d-r,最大距离为d+r,所以最大距离与最小距离的差为2r=6.10.【解析】选C.如图.因为BB1⊥面ABCD,且BB1 面BB1D,所以面ABCD⊥面BB1D,故选C.11. 【解析】选B.直线l1的斜率k=-,l1∥l,又l过P(-2,4),所以l:y-4=-(x+2),即ax+3y+2a-12=0,又直线l与圆相切,所以=5,所以a=-4,所以l1与l的距离为d=.12.【解析】选D.两圆关于直线l对称,则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线,圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心为P(3,-3),则线段OP的中点为Q(,-),其斜率k OP==-1.则直线l的斜率为k=1,故直线l的方程为y-(-)=x-,即x-y-3=0.13.【解析】设圆柱的底面圆的半径为r(r>0),高为h,则2πr=2π,所以r=1,得圆柱的表面积S=2πr2+2πh=2π+4π=6π.答案:6π14.【解析】点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(-4,-2,-3),关于y轴的对称点坐标是(4,-2,-3),从而c+e=1.答案:115.【解析】根据|AB|=,可得圆心到x轴的距离为,故圆心坐标为(1,),故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-)2=1.答案:(x-1)2+(y-)2=116.【解析】圆心到直线的距离为2,又圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1,结合图形可知,半径R的取值范围是1<R<3.答案:(1,3)17.【解析】(1)①当直线l与直线BC平行时,k l=k BC=-,所以直线l的方程为y-1=-(x+2),即x+4y-2=0;②当直线l过线段BC的中点时,线段BC的中点坐标为(-1,3),所以直线l的方程为=,即2x-y+5=0.综合①②,直线l的方程为x+4y-2=0或2x-y+5=0.(2)设直线l的方程为+=1,则解得或所以直线l的方程为x+y+1=0或x+4y-2=0.18.【解析】(1)由已知中的三视图,得:棱锥的底面面积S四边形ABCD=1×1=1,棱锥的高PC=2,故棱锥的体积V=×S四边形ABCD×2=.(2)连接AC,交BD于O,则AC⊥BD,又因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥BD,又因为AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC,又因为AE 平面PAC,所以BD⊥AE,即不论点E在何位置,都有BD⊥AE.19.【解析】(1)设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).根据题意,得解得a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|, 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|==,即S=2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min==3,所以四边形PAMB面积的最小值为S=2=2=2.20.【证明】(1)取CE的中点G,连接FG,BG.因为F为CD的中点,所以GF∥DE且GF=DE.因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE,所以GF∥AB.又因为AB=DE,所以GF=AB.所以四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.因为AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE,所以AF∥平面BCE.(2)因为△ACD为等边三角形,F为CD的中点,所以AF⊥CD,因为DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,所以DE⊥AF.又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.因为BG∥AF,所以BG⊥平面CDE.因为BG 平面BCE,所以平面BCE⊥平面CDE.21.【解析】(1)设P(x,y),则|AP|2+|BP|2=(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2,要使|AP|2+|BP|2取得最小值只要使|OP|最小即可.又P为圆上的点,所以|OP|min=|OC|-r=-2=3, 所以(|AP|2+|BP|2)min=2×32+2=20,此时直线OC:y=x,由解得或(舍去),所以点P的坐标为(,).(2)设Q(x0,0),因为圆C的半径r=2,而|MN|=2,则∠MCN=,又△QCN≌△QCM,∠MC Q=,∠CMQ=,|CM|=2,所以|QC|=4,(x0-3)2+(0-4)2=16,所以x0=3,所求直线QC的方程为:x=3.22.【解析】(1)直线CD的方程为y=x+4,圆E的圆心为E(,),半径为r= a.由题意得=a,解得a=4.(2)因为|CD|==4,所以当△PCD面积为12时,点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值),要使△PCD的面积等于12的点P有且只有3个,需圆E的半径=5,解得a=10,此时,圆E的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50.。
【人教A版】高一数学必修2模块综合测评(三)(Word版,含解析)
模块综合测试一一、选择题（本大题共10个小题；每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下面四个条件中，能确定一个平面的条件是( )A.空间中任意三点B.空间中两条直线C.一条直线和一个点D.两条平行直线解析：由平面的基本性质知，“不共线的三点；两条相交或平行直线；直线和直线外一点”均能确定一个平面.答案：D2已知直线l 和平面α.下面所给命题中,正确命题的个数是( )①若l 垂直α内两条直线，则l ⊥α②若l 垂直α内所有直线，则l ⊥α③若l 垂直α内两条相交直线，则l ⊥α④若l 垂直α内无数条直线，则l ⊥αA.0B.1C.2D.3解析：由线面垂直的定义及判定定理知若l 垂直α内任意直线，则l ⊥α；若l 垂直α内两条相交直线，则l ⊥α.所以①④错，②③正确，应选C.答案：C3一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别是15,10,6r 则这个长方体对角线的长是( )A.6B.10C.23D.30解析：设共一个顶点的三条棱长分别为a,b,c,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.5,3,2,15,10,6c b a bc ac ab 解得 ∴长方体对角线的长为10222=++c b a .答案：B4若A(-2,3),B(3,-2),C(21,b)三点共线，则b 的值为( ) A.21 B.2 C.-2 D.-21 解析：若A 、B 、C 三点共线，则k AB =k AC ， 即)2(21332)2(3---=----b ，得b=21. 答案：A5有下列命题，其中真命题的个数是( )①若两直线平行，则其斜率必相等②若两直线垂直，则其斜率乘积必等于-1 ③过(-1，1)，其斜率为2的直线方程是11+-x y =2 ④同垂直于x 轴的两直线一定都和y 轴平行A.0B.1C.2D.3解析：①错，有可能平行的两直线斜率不存在；②错，若一条直线斜率为0，而另一条斜率不存在，也垂直；③错，直线方程应为y-1=2(x+1)；④错，有可能与y 轴重合，应选A. 答案：A6过点(2，1)的直线中，被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的弦长最大的直线的方程为( )A.3x+y-7=0B.3x-y-5=0C.x+3y-5=0D.x-3y+5=0解析：当过点（2，1）的直线经过圆心（1，-2）时，截得的弦长最大，这时直线方程为212121--=---x y 即，3x-y-5=0. 答案：B7P 为△ABC 所在平面外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，则点P 在平面ABC 内的投影是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心解析：如右图，设O 为P 在平面ABC 内的投影，则PO ⊥面ABC ，连结AO ，∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，∴PA ⊥面PBC ，∴BC ⊥PA.又BC ⊥PO ，∴BC ⊥平面PAO ，∴BC ⊥AO.同理可证CO ⊥AB ，∴O 为△ABC 的垂心.答案：C8点M(-3,-2,4)关于坐标平面xOz 的对称点的坐标为( )A.(3,-2,4)B.(-3,2,4)C.(-3,-2,-4)D.(3,2,-4)解析：点M 关于平面xOz 的对称点与点M 的横、纵坐标不变，而纵坐标互为相反数，应选B.答案：B9直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-9=0的两个交点关于y 轴对称，则k 的值为( )A.-1B.0C.1D.任何实数解析：设直线与圆的两个交点为A 、B ，因为A 、B 关于y 轴对称，所以y 轴过圆心（21,2k -），则2k -=0，∴k=0，应选B. 答案：B10在坐标平面内,与点A （1,2）距离为1,且与点B （3,1）距离为2的直线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条解析：⊙A 的圆心为（1，2），半径为1；⊙B 的圆心为（3，1），半径为2.所求直线即为⊙A 和⊙B 的公切线，有两条. 答案：B二、填空题（本大题共4个小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）11存在着正视图,俯视图,侧视图完全相同的几何体,如(只举一个例子即可)_______________. 解析：由于正方体的三视图都是正方形.球的三视图都是圆，因此，可以填正方体或球. 答案：正方体或球12点A(4,5)关于直线l 的对称点为B(-2,7),则直线l 的方程为_________.解析：由条件知l 垂直平分线段AB ，∵A （4，5），B （-2，7），∴AB 中点为（1，6）.k AB =31)2(475-=---， ∴l 斜率为3.∴l 方程为y-6=3(x-1)，即3x-y+3=0.答案：3x-y+3=013正三角形ABC 边长为a,PA ⊥平面ABC,PA=AB,过A 作AO ⊥平面PBC,O 为垂足,则AO=___________.解析：∵PA ⊥面ABC ，∴PA ⊥PB ，PA ⊥AC ，又PA=AB=AC=BC=a.∴PB=PC=2a ，取BC 中点D ，连PD 、AD ，则PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，且|PD|=27)21(222=-a a a. AD=23a.由V A —PBC =V P —ABC 知 31·AO·21·BC·PD=31·PA·21·BC·AD. 即AO·a·27a=a·a·23a. ∴AO=721a. 答案：721a 14若圆x 2+y 2-2mx+4y+(m 2-5)=0与圆x 2+y 2+2x-2my+(m 2-3)=0相交，则m 的取值范围是_____. 解析：配方得，（x-m ）2+(y+2)2=9.(x+1)2+(y-m)2=4.则两圆的圆心分别为（m,-2）(-1,m)，半径分别为r 1=3,r 2=2.由1＜22)2()1(+++m m ＜5得-1＜m ＜2或-5＜m ＜-2.答案：-1＜m ＜2或-5＜m ＜-2三、解答题（本大题共4个小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15(本小题满分10分)已知：如图，在空间四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD,求证:AC ⊥BD.证明：取BD 的中点E ，连结AE 、EC,∵AB=AD ，∴AE ⊥BD.又∵BC=DC ，∴CE ⊥BD ，又AE∩EC=E.∴BD ⊥平面AEC.又AC ⊂平面AEC.∴AC ⊥BD.16(本小题满分10分)已知一个圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.解析：由题意，可求得PQ 的中垂线方程为∵所求圆的圆心C 在直线①上，故可设其坐标为(a,a-1).又知圆C 的半径r=|CP|=22)1()4(++-a a ② 又已知圆C 截y 轴所得线段长为34，又圆C 的圆心到y 轴的距离为|a|，∴r 2=a 2+(234)2,代入②式得a 2-6a+5=0， 得a 1=1,a 2=5.∴r 1=13,r 2=37.故所求圆的方程为(x-1)2+y 2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.17(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为h 的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积.(2)若高h 变化,当h 为何值时,圆柱的侧面积最大?解析:圆锥及内接圆柱的轴截面如右图,设所求圆柱底面半径为r.(1)由△SA′O′与△SAO 相似，得H h H R r -=. ∴r=(1-Hh )R. ∴S 圆柱侧=2πr·h=2π·(1-Hh )Rh=H Rh 22π-+2πRh. (2)由题意知，0<h<H.又S 圆柱侧=H Rh 22π-+2πRh=H R π2-(h-2H )2+2RH π≤2RH π, 0<2H <H, ∴当h=2H 时圆柱的侧面积最大，最大值为21πRH. 18(本小题满分12分)已知方程x 2+y 2-2x-4y+m=0，(1)若此方程表示的曲线是圆，求m 的取值范围;(2)若(1)中圆与直线x+2y-4=0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON(O 为原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.解：(1)原方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,欲使其表示圆，需有m<5.(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),∴k OM ·k ON =-1, 即2211x y x y ==-1. ∴x 1x 2+y 1y 2=0.又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2,∴16-8(y 1+y 2)+5y 1y 2=0.又由⎩⎨⎧=+--+-=042,2422m y x y x y x 得5y 2-16y+m+8=0, ∴y 1+y 2=516，y 1y 2=58m +. 代入16-8(y 1+y 2)+5y 1y 2=0,得m=58. (3)以MN 为直径的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0, 即x 2+y 2-(x 1+x 2)x-(y 1+y 2)y=0. 而y 1+y 2=516, x 1+x 2=8-2(y 1+y 2)=58, 故所求圆的方程为x 2+y 2-58x-516y=0.。
2020秋高中数学学业质量标准检测3课时作业含解析新人教A版选修2_2
第三章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(1＋i)20－(1－i)20的值是( C ) A ．－1024 B ．1024 C ．0D ．51.2[解析] (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 故答案为：C ．2．下列各式的运算结果为纯虚数的是( A ) A ．(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．i(1＋i)2D ．i(1＋i)[解析] 由题意，对于A 中，复数(1＋i)2＝2i 为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数i 2·(1－i)＝－1＋i 不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数i·(1＋i)2＝－2不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数i·(1＋i)＝－1＋i 不是纯虚数，所以不正确，故选A ． 3．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( A ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 因为z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i. 4．若a 为实数，且(2＋a i)·(a －2i)＝－4i ，则a ＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] ∵(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解之得a ＝0.5．如果复数z ＝2－1＋i，则( C ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为－1 D ．z 的共轭复数为1＋i[解析] 因为z ＝2－1＋i＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C ．6．若复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i ， ∴z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于第四象限． 7．对于下列四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数；②如果复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝－5i ，z 4＝2－i ，那么这些复数的对应点共圆； ③|cos θ＋isin θ|的最大值是2，最小值为0； ④x 轴是复平面的实数，y 轴是虚轴． 其中正确的有( D ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①正确．因为若z ∈R ，则|z |≥0，若z ＝a ＋b i(b ≠0，a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2>0.②正确．因为|z 1|＝5，|z 2|＝(2)2＋(3)2＝5，|z 3|＝5，|z 4|＝5，这些复数的对应点均在以原点为圆心，5为半径的圆上．③错．因为|cos θ＋isin θ|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．故选D ．8．复数z 1＝(1－i 1＋i )2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是( D )A ．10B ．－3－iC ．1＋iD ．3＋i[解析] ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，∴PQ →对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.故选D ． 二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则有( AD ) A ．a ＋c ＝0 B ．a －c ＝0 C ．b －d ≠0D ．b ＋d ≠0[解析] z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i 为纯虚数，则需a ＋c ＝0且b ＋d ≠0.故选AD ． 10．已知i 为虚数单位，z 为复数，则下列叙述不正确的是( ABC )A ．z －z 为纯虚数B ．任何数的偶数次幂均为非负数C ．i ＋1的共轭复数为i －1D ．2＋3i 的虚部为3[解析] 当z 为实数时，z －z 不为纯虚数，A 错误；由i 2＝－1，知B 错误；由共轭复数的定义，知1＋i 的共轭复数为1－i ，C 错误；D 正确，故选ABC ．11．下列命题是真命题的是( ABC ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 为真命题；②由复数相等的条件z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 为真命题；③令z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如当z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，而z 1≠z 2，故C 为真命题；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D 为假命题．故选ABC ．12．复数z ＝3＋3i 化为三角形式正确的是( AD ) A ．z ＝23(cos π6＋isin π6)B ．z ＝23(cos π6－isin π6)C ．z ＝23(cos 76π＋isin 7π6)D ．z ＝23(cos 136π＋isin 13π6)[解析] z ＝3＋3i ＝23(32＋12i) ＝23(cos π6＋isin π6)＝23(cos 13π6＋isin 13π6)，故选AD ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝__±(7－i)__.[解析] 解法1：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则 (1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意，得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝|z2＋i|＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±5. 故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)．解法2：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0，且k ∈R ，则ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝5 2.∴k ＝±50.故ω＝±(7－i)．14．下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是__①②③__.[解析] ①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否是实数；④若z ＝b i(b ≠0)为纯虚数，则z 2＝－b 2<0，①②③均是错误命题，④是正确的．15．(2020·天津卷)i 是虚数单位，复数8－i 2＋i ＝__3－2i__.[解析] 8－i 2＋i ＝(8－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－10i5＝3－2i.16．复数z ＝2⎝⎛⎭⎫cos π5－isin π5的三角形式是__2⎝⎛⎫cos 9π5＋isin 9π5__. [解析] z ＝2⎝⎛⎭⎫cos π5－isin π5 ＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π－π5＋isin ⎝⎛⎭⎫2π－π5 ＝2⎝⎛⎭⎫cos 9π5＋isin 9π5. 四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i.(1)求复数z .(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．[解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ， 得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝418．(本题满分12分)(1)已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，求z ·z 的值；(2)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6(i 是虚数单位)．[解析] (1) 复数z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝－3＋i4，z ＝－3－i4. ∴z ·z ＝14.(2)(21－i )2016＋(1＋i1－i)6 ＝⎝⎛⎭⎫22(1＋i )2016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i －126 ＝i 1008＋i 6 ＝1－1 ＝0.19．(本题满分12分)已知z ＝a －i1－i，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．[解析] ∵z ＝a －i1－i ，代入ω＝z (z ＋i)，得ω＝a －i 1－i (a －i 1－i ＋i)＝(a －i )(a ＋1)(1－i )2＝(a －i )(a ＋1)－2i ＝(1＋a i )(a ＋1)2＝a ＋12＋a (a ＋1)2i ，∴ω的实部为a ＋12，虚部为a (a ＋1)2，由已知得a (a ＋1)2－a ＋12＝32，解得a 2＝4，∴a ＝±2. 又a >0，故a ＝2. |ω|＝|a ＋12＋a (a ＋1)2i|＝|2＋12＋2(2＋1)2i| ＝|32＋3i|＝352. 20．(本题满分12分)已知复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a 的取值范围．[解析] ∵z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ＝1＋ii ＝1－i ，∴|z |＝ 2.又|ωz |＝|ω||z |≤2，∴|ω|≤2.而ω＝z ＋a i ＝(1－i)＋a i ＝1＋(a －1)i ，(a ∈R )， 则12＋(a －1)2≤2⇒(a －1)2≤3，∴－3≤a －1≤3，1－3≤a ≤1＋ 3.即a 的取值范围为[1－3，1＋3]．21．(本题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．[解析] 依题意得z 1＋z 2为实数，因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.所以a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝(38，－1)，OZ 2→＝(－1,1)．所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.22．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6， 故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果． 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。
(完整版)高中数学学业水平测试必修2练习和答案解析
WORD 格式 . 整理版高中数学学业水平测试系列训练之模块二一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每题 5 分，共 50 分）．1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（） A ．圆锥B ．正四棱锥C ．正三棱锥D ．正三棱台2．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（）A ．1B ． 1C ． 2D ． 323．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ） A ．α∥β B ．α与β订交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β订交4．以下四个说法① // α，bα , 则 //b② a ∩α＝ P ，b α，则 a 与 b 不平行aa③ a α，则 a // α ④a // α， b // α，则 a // b此中错误的说法的个数是（ ）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个5．经过点 P( 2, m) 和 Q (m,4) 的直线的斜率等于 1，则 m 的值是 （）A ． 4B ． 1C ． 1 或 3D ． 1 或 4 6．直线 kx － y ＋ 1＝3k ，当 k 改动时，全部直线都经过定点（）A ． (0 ， 0)B ． (0 ， 1)C ． (3 ， 1)D ． (2 ， 1)7．圆 x 2y 2 2x 2 y 0 的周长是（ ）A ． 2 2B ． 2C ． 2D ． 48．直线 x － y+3=0 被圆（ x） 2 （ y － ） 2=2 截得的弦长等于（）+2+2A ．6B ． 3C ． 23D ． 629．假如实数 x, y 知足等式 ( x 2)2y23 ，那么 y的最大值是（）xA ．1B ． 3C ． 3D ． 323210．在空间直角坐标系中，已知点 P （ x ， y ， z ），给出以下 4 条表达：① 点 P 对于 x 轴的对称点的坐标是（ x ，－ y ， z ）② 点 P 对于 yOz 平面的对称点的坐标是（ x ，－ y ，－ z ） ③ 点 P 对于 y 轴的对称点的坐标是（ x ，－ y ， z ） ④ 点 P 对于原点的对称点的坐标是（－ x ，－ y ，－ z ）此中正确的个数是（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0优良 .参照 .资料WORD 格式 . 整理版11 x2 y22x 4 y 20 0，则x2y2 的最小值．．已知实数 x，y 知足关系：12．向来线过点（－ 3，4），而且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是 _____ _____ ．13．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为 88cm2，则它的体积为 ___________．14．在棱长为a的正方体 ABCD－ A B C D 中， D 到 B C 的1 1 1 1 1 1距离为 _________， A 到 A1C 的距离为 _______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76分)．15．已知：一个圆锥的底面半径为R，高为 H，在此中有一个高为x 的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面积；（2）x为什么值时，圆柱的侧面积最大．16．以下图，四棱锥P－ ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA⊥平面 ABCD， M、 N 分别是 AB、PC的中点， PA＝ AD＝a．（1）求证： MN∥平面 PAD；（2）求证：平面 PMC⊥平面 PCD．17．过点5， 4 作向来线l，使它与两坐标轴订交且与两轴所围成的三角形面积为5．18．（ 12 分）已知一圆经过点A（2，－3）和 B（－2，－5），且圆心 C在直线 l ：x 2 y 30 上，求此圆的标准方程．19．（ 12 分）一束光芒l 自 A（－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙ C： x2＋ y2－4x－4y＋7＝0上．（1）求反射线经过圆心C时，光芒l的方程；（2）求在x轴上，反射点M的范围．20．（ 14 分）如图，在正方体ABCD A1 B1C1 D1中， E、 F分别是 BB1、 CD 的中点（1）证明：AD D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明：面AED面A1FD1．高中数学学业水平测试系列训练之模块二（参照答案）一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每题5 分，共 50 分）．CDDCB CADBC二、填空题：请把答案填在题中横线上（每题6 分，共 24 分）．11． 3010 5；12． x 3y 9 0 或 4x y 160 ；13． 48cm 3；14． 6a ，6a ；23三、解 答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76分)．15． 解：（ 1）设内接圆柱底面半径为 r .S 圆柱侧 2 r x ①r H xrR (Hx) ②RHH② 代入 ①S 圆柱侧2 xR( H x) 2 R x 2 Hx (0 x H ) H H22 （ 2） S 圆柱侧2 R x 2Hx2 R x HHHH2 4x H 时S圆柱侧最大RH2216．证明：如答图所示， ⑴ 设 PD 的中点为 E ，连接 AE 、NE ，由 N 为 PD 的中点知 EN //1DC ，2又 ABCD 是矩形，∴ DC // AB ，∴ EN //1AB2又 M 是 AB 的中点，∴ EN // AN ，∴AMNE 是平行四边形∴MN ∥AE ，而 AE 平面 PAD ， NM 平面 PAD∴MN ∥平面 PAD证明： ⑵ ∵PA ＝AD ，∴ AE ⊥ PD ，又∵ PA ⊥平面 ABCD ，CD 平面 ABCD ，∴ C D ⊥PA ，而 CD ⊥AD ，∴ CD ⊥平面 PAD∴ C D ⊥AE ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴ AE ⊥平面PCD ，∵MN ∥AE ，∴ MN ⊥平面 PCD ，又 MN 平面 PMC ，∴平面 PMC ⊥平面 PCD.PNEDCAMBWORD 格式 . 整理版17．剖析：直线 l 应知足的两个条件是（ 1）直线 l 过点（－ 5,－4）；（ 2）直线 l 与两坐标轴订交且与两轴所围成的三角形面积为5.假如设 a ，b 分别表示 l 在 x 轴， y 轴上的截距，则有1 b5 .a2这样就有以下两种不一样的解题思路：第一，利用条件（ 1）设出直线 l 的方程（点斜式），利用条件（ 2）确立 k ； 第二，利用条件（ 2）设出直线 l 的方程（截距式），联合条件（ 1）确立 a ， b 的值 .解法一：设直线 l 的方程为 y 4k x 5 分别令 y0， x 0 ，得 l 在 x 轴， y 轴上的截距为：a5k4，b5k 4k由条件（ 2）得 ab105k 4 5k 410k得 25k 230 k 16 0 无实数解；或 25k250k16 0，解得 k 18， k 2 25 5故所求的直线方程为：8x 5y20 0 或2x 5y10 0解法二：设 l 的方程为x y 1，由于 l 经过点5， 4，则有：ab5 4 1 ①又ab10 ②ab5 b1a5 a5联立 ① 、② ，得方程组ab解得2或b4 b2ab10所以，所求直线方程为：8x 5y 20 0 或2x 5y 10 0 .18．解：由于 A （ 2，－ 3），B （－ 2，－ 5） ，所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 （ 0，－ 4），y又k AB5 ( 3)1，所以线段 AB 的垂直x-2y-3=02 22O x均分线的方程是y2x 4 ．A联立方程组 x2 y 3，解得 x 1 ．By 2 x 4y 2所以，圆心坐标为C （－ 1，－ 2），半径r| CA |(2 1)2( 3 2) 2 10 ，所以，此圆的标准方程是(x1)2 ( y 2) 2 10 ．19．解： ⊙ C ： ( x － 2) 2＋ ( y －2) 2＝ 1（Ⅰ） C 对于 x 轴的对称点 ′(2，－ 2) ，过 ， ′的方程 ： x ＋ y ＝ 0 为光芒 l 的方程．CAC优良 .参照 .资料WORD 格式 . 整理版切时，有 2 k 2 3k 3 1 k 4 或k31 k234 ∴过 A′，⊙ C 的两条切线为y 3 4(x 3), y 33(x 3) 令y＝0，得3 , x2 3 4x1 14∴反射点M x轴上的活动范围是3 ,1在420．（ 1）AC1是正方体AD 面 DC 1 , 又 D1F 面 DC1 , AD D1 F （2）取AB中点G，连接A1G，FG , F是 CD中点GF / / AD 又 A1 D1 / / ADGF // A1 D1 GFD1 A1是平行四边形A1G // D1 F设 A1 G AE H则 AHA1是 AE与 D1 F所成的角E是BB1的中点Rt A1 AG Rt ABE GA1 A GAH A1 HA 90 即直线 AE 与D1 F所成角是直角（3）AD D1 F（ (1)中已证）AE D1 F ,又 AD AE A, D1 F 面AED ,又 D1 F 面 A1 FD 1 ,面 AED 面 A1 FD1。
人教新课标版数学高一-高中数学必修2 阶段质量检测3
第三章(时间90分钟，满分120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1.如图，直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则有( )A ．α1＜α2＜α3B ．α1＜α3＜α2C ．α3＜α2＜α1D ．α2＜α1＜α3答案：B2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．135° 答案：D3．点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1 B ．2 C.22D ． 2 答案：C4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案：B5．已知P (－1,0)在直线l ：ax ＋by ＋c ＝0上的射影是点Q (－2，3)，则直线l 的倾斜角是( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．90°答案：B6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1答案：D7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0答案：A8．若点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9答案：D9．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)答案：A10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk ≥34，或k ≤－4B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫k －4≤k ≤34C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k －34≤k ≤4D ．以上都不对答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．不论a 为何实数，直线(a ＋3)x ＋(2a －1)y ＋7＝0恒过定点________． 答案：(－2,1)12．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________． 答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如右图所示，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分14分)如右图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1).得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．。
人教版数学高一-2016数学人教A版必修2习题 评估验收卷(三)
评估验收卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.答案：A2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．2解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，所以8－00－（－4）＝8－（－4）－m，所以m ＝－6. 答案：C3．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0 解析：由斜截式可得直线方程为y ＝－x －1，化为一般式即为x ＋y ＋1＝0.答案：D4．已知点A (0，4)，B (4，0)在直线l 上，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －4＝0B ．x －y －4＝0C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝0解析：由截距式方程可得l 的方程为x 4＋y 4＝1，即x ＋y －4＝0. 答案：A5．已知直线l 1：(a －1)x ＋(a ＋1)y －2＝0和直线l 2：(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：因为l 1⊥l 2，所以(a －1)(a ＋1)＋2a ＋2＝0，所以a 2＋2a ＋1＝0，即a ＝－1.答案：A6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．5x ＋4y ＋1＝0B ．5x ＋4y －1＝0C ．－5x ＋4y －1＝0D ．－5x ＋4y ＋1＝0解析：设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x ＋4y ＋1＝0，故所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0.答案：A7．已知A (2，4)与B (3，3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0解析：由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段AB 中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －52，化简得x －y ＋1＝0.答案：D8．直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：因为过点A 的直线l 与点B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线l ，直线l 的斜率为－3，由点斜式可得直线l 的方程为3x ＋y －13＝0.答案：C9．过点(3，－6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋y ＋3＝0或2x ＋y ＝0解析：当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－6)代入得k ＝－2，此时直线方程为2x ＋y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，将(3，－6)代入得a ＝－3，此时直线方程为x ＋y ＋3＝0.答案：D10．设点A (3，－5)，B (－2，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥1或k ≤－3B ．－3≤k ≤1C ．－1≤k ≤3D ．以上都不对解析：如图所示，直线PB ，PA 的斜率分别为k PB ＝1，k PA ＝－3，结合图形可知k ≥1或k ≤－3.答案：A11．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 解析：采用赋值法，令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点．答案：B12．如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A．210 B．6C．3 3 D．2 5解析：易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A′(－2，0)两点间的距离．于是|A1A′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为________．解析：直线的斜率k＝2m2－5m＋2m2－4＝1，解得m＝2或m＝3.但当m＝2时，m2－4＝0，直线的斜率不存在，此时倾斜角为90°舍去．所以m＝3.答案：314．已知斜率为2的直线经过点A(3，5)，B(a，7)，C(－1，b)三点，则a ，b 的值分别为________．解析：由题意得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2， 解得a ＝4，b ＝－3.答案：4，－3 15．已知直线l 在y 轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为______________________________．解析：设所求的直线方程为x a ＋y －3＝1，则此直线与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，－3)，由两点间的距离公式解得a ＝±4，故所求的直线方程为x ±4＋y －3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝0.答案：3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝016．已知直线l 1：mx ＋4y －2＝0与l 2：2x －5y ＋n ＝0相互垂直，且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为________．解析：因为l 1⊥l 2，所以2m ＋4×(－5)＝0，解得m ＝10；又因为点(1，p )在l 1上，所以10＋4p －2＝0，即p ＝－2；又因为点(1，p )也在l 2上，所以2－5×(－2)＋n ＝0，即n ＝－12.所以m －n ＋p ＝20.答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0，(1)若b ＝0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．解：(1)当b ＝0时，直线l 1的方程为ax ＋1＝0，由l 1⊥l 2，知a －2＝0，解得a ＝2.(2)当b ＝3时，直线l 1的方程为ax ＋3y ＋1＝0，当l 1∥l 2时，有⎩⎨⎧a －3（a －2）＝0，3a －1≠0，解得a ＝3， 此时，直线l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，直线l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0.故所求距离为d ＝|1－9|9＋9＝423. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得点A 的坐标为(－1，0)． 又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－6，即顶点C 的坐标为(5，－6)．19.(本小题满分12分)如图所示，已知点A (2，3)，B (4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，所以E (3，2)，且k CE ＝－1k AB＝1， 所以CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0得C (4，3)，所以|AC |＝|BC |＝2， AC ⊥BC ，所以S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.20．(本小题满分12分)已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线方程．(2)求过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)当斜率不存在时，方程x＝2符合题意；当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由题意，得|2k＋1|k2＋1＝2.解得k＝34.所以直线方程为3x－4y－10＝0.所以适合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P，且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线，易求其方程为2x－y－5＝0，且最大距离d＝ 5.(3)由于原点到过点P(2，－1)的直线的最大距离为5，而3>5，故不存在这样的直线．21．(本小题满分12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；(2)证明：不论a为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；(3)证明：不论a为何值，直线恒过第四象限．(1)解：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎨⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎨⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，成立． 所以a ≤－1，故所求a 的取值范围为a ≤－1.(2)证明：方程可整理成a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0，当x ＝1，y ＝－3时方程a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0对a ∈R 恒成立，因此，直线恒过点(1，－3)．(3)证明：由(2)知，直线恒过第四象限内的点(1，－3)，因此，不论a 为何值，直线恒过第四象限．22．(本小题满分12分)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大；(2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：如图①所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；如图②所示，设点C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．图① 图②对于(1)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |－|P ′B |＝|P ′A |－|P ′B ′|<|AB ′|＝|PA |－|PB ′|＝|PA |－|PB |；对于(2)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C |>|AC ′|＝|PA |＋|PC ′|＝|PA |＋|PC |.(1)设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3×b －4a＝－1，所以a ＋3b －12＝0①. 又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，b ＋42，且中点在直线上， 所以3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0②. 联立①②得，a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)．于是直线AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎨⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5，即此时所求点P 的坐标为(2，5)．(2)设点C 关于l 的对称点为C ′，同理可求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. 所以直线AC ′的方程为19x ＋17y －93＝0，解⎩⎨⎧3x －y －1＝019x ＋17y －93＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝267，故此时所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。
高一教学质量检测数学试题课标A数学必修2 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高一教学质量检测数学试题100分，考试时间是是90分钟.第一卷〔选择题一共40分〕本卷须知：12．每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上.3．在考试完毕之后，监考人将本套试卷和答题卡上一并收回.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1．)225sin(-的值是〔〕A ．22B ．22-C ．21 D ．23 2．数据99，100，102，99，100，100的HY 差为〔〕A ．0B ．1C ．2D ．63．为了得到函数)42sin(π-=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点〔〕A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度C ．向左平移8π个单位长度D ．向右平移8π个单位长度4．某客运公司为了理解客车的耗油情况，现采用系统抽样方法按1:10的比例抽取一个样本进展检测，将所有200辆客车依次编号为1，2，…，200，那么其中抽取的4辆客车的编号可能是〔〕A ．3，23，63，102B ．31，61，87，127C ．103，133，153，193D ．57，68，98，1085．以下函数中，最小正周期是),2(πππ且在区间上是增函数的是〔〕A ．x y 2sin =B ．x y sin = C ．2tanxy = D ．x y 2cos =6．点A 〔1，0，2〕，B 〔1，－3，1〕，点M 在z 轴上且到A 、B 两点的间隔相等，那么点M 的坐标为〔〕A ．〔－3，0，0〕B ．〔0，－3，0〕C ．〔0，0，－3〕D ．〔0，0，3〕7．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且s r AC s AB r CD DB CD ++==则,,3的值是〔〕A ．32B ．34 C ．－3D ．0 8．直线402322=+=-+y x y x 截圆得到的劣弧所对的圆周角为〔〕A ．6π B ．4π C ．3π D ．32π 9．根据下面的算法，可知输出的结果S 为〔〕S1i=1； S2假设32,2,10+=+=<i S i i i那么，重复S2；S3输出S.A ．19B ．21C ．25D ．2710．在区间[－1，1]上随机地任取两个数x ，y ，那么满足4122<+y x 的概率是 〔〕A ．16π B ．8π C ．4π D ．2π11．e 1，e 2是夹角为120°的两个单位向量，那么a =2e 1+e 2和b =e 2－2e 1的夹角的余弦值是〔〕A ．721-B ．721 C ．1421D ．53-12．为理解学生遵守HY 交通平安法情况，调查部门在某进展了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：①你的学号是奇数吗？②在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员掷一枚硬币，假设出现正面就答复第①个问题，否那么答复第②个问题.被调查者不必告诉调查人员自己答复的是哪一个问题，只需答复“是〞或者““是〞.由此估计在这600人中闯过红灯的人数大约为〔〕A ．30B ．60C ．120D ．150第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[)170,150内的学生约有人.14．一只口袋内装有大小一样的5只球，其中3只白球， 2只黑球，从中一次摸出两只球，那么摸出的两只球 颜色不同的概率是. 15．圆086:1:222221=+--+=+F y x y x C y x C 与圆相内切，那么F =.16．在以下结论中： ①函数)sin(x k y -=π〔k ∈Z 〕为奇函数；②函数)0,12()62tan(ππ的图象关于点+=x y 对称；③函数ππ32)32cos(-=+=x x y 的图象的一条对称轴为；④假设.51cos ,2)tan(2==-x x 则π其中正确结论的序号为〔把所有正确结论的序号都．填上〕. 三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 17．〔本小题总分值是12分〕画出计算100991541431321⨯++⨯+⨯+⨯ 的算法的程序框图. 18．〔本小题总分值是12分〕 向量a =(－1,2)，b =(1,1)，t ∈R . 〔I 〕求<a ，b >；〔II 〕求|a +t b |的最小值及相应的t 值. 19．〔本小题总分值是12分〕做投掷2颗骰子试验，用〔x ，y 〕表示点P 的坐标，其中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数.〔I 〕求点P 在直线y =x 上的概率； 〔II 〕求点P 不在直线y =x +1上的概率； 〔III 〕求点P 的坐标〔x ，y 〕满足251622≤+<y x 的概率.20．〔本小题总分值是12分〕a =(2+sin x ，1)，b =(2，－2)，c =(sin x －3，1)，d =(1，k )(x ∈R ，k ∈R ). 〔I 〕假设]2,2[ππ-∈x ，且a //(b +c )，求x 的值；〔II 〕是否存在实数k 和x ，使〔a +d 〕⊥〔b +c 〕？假设存在，求出k 的取值范围；假设不存在，请说明理由. 21．〔本小题总分值是12分〕设x ∈R ，函数.23)4(,)02,0)(cos()(=<<->+=ππϕπωϕωf x x f 且的最小正周期为 〔I 〕求ϕω和的值； 〔II 〕在给定坐标系中作出函数],0[)(π在x f 上的图象；〔III 〕假设x x f 求,22)(>的取值范围. 22．〔本小题总分值是14分〕圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=+-y x 与圆C 相切.〔I 〕求圆C 的方程；〔II 〕过点Q 〔0，－3〕的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，当3=⋅OBOA 〔O 为坐标原点〕时，求△AOB的面积.参考答案一、选择题：此题考察根本知识和根本运算，每一小题5分，一共60分.ABDCDCDCCAAB二、填空题：此题考察根本知识和根本运算，每一小题4分，一共16分. 13．2014．5315．－1116．①③④ 三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分. 17．〔本小题总分值是12分〕 解：程序框图如下： …………3分 …………6分 …………10分…………12分18．〔本小题总分值是12分〕解：〔I 〕1010101114121||||cos ==+⋅++-=⋅⋅>⋅<b a b a b a …………2分 1010arccos,>=<b a…………4分〔II 〕||b a t +29)21(22++=t ，…………10分当.22329||,21=+-=取最小值时b a t t…………12分19．〔本小题总分值是12分〕解：每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以根本领件总数为6×6=36个. 〔I 〕记“点P 在直线y =x 上〞为事件A ，那么事件A 有6个根本领件，即A={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，.61366)(==∴A P…………4分〔II 〕记“点P 在直线y =x +1上〞为事件B ，那么“点P 在直线y =x +1上〞为事件B ，其中事件B 有5个根本领件. 即)}6,5(),5,4(),4,3(),3,2(),2,1{(=B，.36313651)(1)(=-=-=∴B P B P…………8分〔III 〕记“点P 坐标满足251622≤+<y x 〞为事件C ，那么事件C 有7个根本领件.即C={(1,4)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，.367)(=∴C P…………12分20．〔本小题总分值是12分〕解：〔I 〕)1,1(sin --=+x c b ，∵a ∥(b +c )，1sin )sin 2(-=+-∴x x ，…………2分 .6π-=∴x…………5分 〔II 〕)1,1(sin ),1,sin 3(--=+++=+x k x c b d a…………6分假设〔a +d 〕⊥〔b +c 〕，那么〔a +d 〕·〔b +c 〕=0， 即0)1()1)(sin sin 3(=+--+k x x ，5)1(sin 4sin 2sin 22-+=-+=x x x k ，…………9分x ∈R ，存在).()(]1,5[c b d a +⊥+--∈使k…………12分21．〔本小题总分值是12分〕解：〔I 〕周期πωπ==2T ，2=∴ω， …………2分 .3πϕ-=∴…………4分〔II 〕)32cos()(π-=x x f，列表如下：32π-x3π-2π ππ23 π35 x6π π125 π32 π1211 πf (x )21 1－121 图象如图：…………8分〔III 〕22)32cos(>-πx ，423242πππππ+<-<-∴k x k…………10分ππππ12722122+<<+k x k ， Z ∈+<<+k k x k ,24724πππ，…………11分 }.,24724|{Z ∈+<<+∴k k x k x x ππππ的范围是 …………12分22．〔本小题总分值是14分〕解：〔I 〕设圆心为4)(),0)(0,(22=+->y a x C aa C 的方程为则圆，…………1分因为圆C 与0443=+-y x 相切，所以10|43|,243|43|22=+=++a a 即，解得3142-==a a 或〔舍去〕， …………3分 所以圆C 的方程为.4)2(22=+-y x…………4分〔II 〕显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3-=kx y ，由09)64()1(4)2(32222=++-+⎩⎨⎧=+--=x k x k y x kx y 得，…………5分∵直线l 与圆相交于不同两点125,09)1(4)64(22>>⨯+-+=∆∴k k k 解得， …………6分设),(),,(2211y x B y x A ，那么22122119,164k x x k k x x +=++=+，①9)(3)3)(3(212122121++-=--=x x k x x k kx kx y y ，…………8分将①代入并整理得0542=-+k k，解得k=1或者k=－5〔舍去〕， 所以直线l 的方程为.3-=x y…………10分圆心C 到l 的间隔222|32|=-=d ，.2732231421||21=⋅⋅=⋅=∴∆h AB S AOB (14)。
高中数学人教A版必修二 章末综合测评3 Word版含答案.doc
章末综合测评(三) 直线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·吉林高一检测)在直角坐标系中，直线3x －y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 直线的斜率k ＝3，倾斜角为60°. 【答案】 B2．(2015·许昌高一检测)若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2【解析】 由－2－33－(－2)＝m ＋212－3，得m ＝12.【答案】 A3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )【解析】 当a >0时，A ，B ，C ，D 均不成立；当a <0时，只有C 成立． 【答案】 C4．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( )【导学号：09960125】A.213B.113C.126D.526【解析】 5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得d ＝|6－5|102＋242＝126.【答案】 C5．(2015·大连高一检测)直线l 1：(3－a )x ＋(2a －1)y ＋7＝0与直线l 2：(2a ＋1)x ＋(a ＋5)y －6＝0互相垂直，则a 的值是( )A ．－13 B.17 C.12D.15【解析】 因为l 1⊥l 2，所以(3－a )(2a ＋1)＋(2a －1)(a ＋5)＝0，解得a ＝17. 【答案】 B6．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)D ．(2,1)【解析】 由kx －y ＋1－3k ＝0，得k (x －3)－(y －1)＝0， ∴x ＝3，y ＝1，即过定点(3,1)． 【答案】 C7．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0 D ．x －y ＋1＝0【解析】 k AB ＝4－32－3＝－1，故直线l 的斜率为1， AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，故l 的方程为y －72＝x －52， 即x －y ＋1＝0. 【答案】 D8．已知直线l 过点(1,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为( )A ．x ＋2y －5＝0B ．x ＋2y ＋5＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －5＝0D ．2x －y ＝0或x －2y ＋3＝0【解析】 当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，把点(1,2)代入方程，得2＝k ，即k ＝2，所以直线的方程为2x －y ＝0；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为x 2b ＋y b ＝1，把点(1,2)代入方程，得12b ＋2b ＝1，即b ＝52，所以直线的方程为x ＋2y －5＝0.故选C.【答案】 C9．直线y ＝x ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点在第一象限，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(0,1)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，1 【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3k －2，y ＝－14x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(1－k )5，y ＝3k ＋25，所以直线y ＝x ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12(1－k )5，3k ＋25.要使交点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧12(1－k )5>0，3k ＋25>0，解得－23<k <1.所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.【答案】 A10．经过点(2,1)的直线l 到A (1,1)、B (3,5)两点的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．x ＝2C ．2x －y －3＝0或x ＝2D ．以上都不对【解析】 满足条件的直线l 有两种情况：①过线段AB 的中点；②与直线AB 平行．由A (1,1)，B (3,5)可知线段AB 的中点坐标为(2,3)， 所以直线x ＝2满足条件．由题意知k AB ＝5－13－1＝2. 所以直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0， 综上可知，直线l 的方程为x ＝2或2x －y －3＝0，故选C. 【答案】 C11．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)【解析】 设B 点坐标为(x ，y )， 根据题意知⎩⎨⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎨⎧3－43－0×y －3x －3＝1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解之，得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝6.【答案】 A12．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0【解析】 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，1a ＋3b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6.∴x 2＋y6＝1.化为一般式为3x ＋y －6＝0. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________.【解析】 令x ＝0，得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，∴a ＝83. 【答案】 8314．已知点(m,3)到直线x ＋y －4＝0的距离等于2，则m 的值为________.【导学号：09960126】【解析】 由点到直线的距离得|m ＋3－4|2＝ 2. 解得m ＝－1，或m ＝3. 【答案】 －1或315．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．【解析】 由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.【答案】 2x ＋3y －2＝016．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为________．【解析】 直线2x －y ＝0的斜率为2， x ＋ay ＝0的斜率为－1a . 因为两直线垂直， 所以－1a ＝－12，所以a ＝2.所以直线方程为x ＋2y ＝0，线段AB 的中点P (0,5)． 设坐标原点为O ，则|OP |＝5，在直角三角形中斜边的长度|AB |＝2|OP |＝2×5＝10， 所以线段AB 的长为10. 【答案】 10三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合．【解】 当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m ，得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．18．(本小题满分12分)若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线为l ，求l 的方程．【解】 直线x －2y ＋5＝0与x 轴交点为P (－5,0)，反射光线经过点P .又入射角等于反射角，可知两直线倾斜角互补．∵k 1＝12，∴所求直线斜率k 2＝－12， 故所求方程为y －0＝－12(x ＋5)， 即x ＋2y ＋5＝0.19．(本小题满分12分)(2016·连云港高一检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0，k ∈R .(1)若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为1，求坐标原点O 到直线l 的距离； (2)若直线l 与直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0分别相交于A ，B 两点，点P (0,2)到A 、B 两点的距离相等，求k 的值．【解】 (1)令x ＝0时，纵截距y 0＝2； 令y ＝0时，横截距x 0＝k －3； 则有k －3＋2＝1⇒k ＝2， 所以直线方程为2x －y ＋2＝0， 所以原点O 到直线l 的距离d ＝|2|12＋22＝255. (2)由于点P (0,2)在直线l 上，点P 到A 、B 的距离相等， 所以点P 为线段AB 的中点．设直线l 与2x －y －2＝0的交点为A (x ，y )，则直线l 与x ＋y ＋3＝0的交点B (－x,4－y )，由方程组⎩⎨⎧2x －y －2＝0，－x ＋4－y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝4，即A (3,4)，又点A 在直线l 上，所以有2×3＋(k －3)×4－2×k ＋6＝0，即k ＝0.20．(本小题满分12分)如图1所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．求：图1(1)AD边所在直线的方程；(2)DC边所在直线的方程．【导学号：09960127】【解】(1)由题意知ABCD为矩形，则AB⊥AD，又AB边所在直线方程为x－3y－6＝0，∴AD边所在的直线的斜率k AD＝－3，而点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0.(2)∵M为矩形ABCD两条对角线的交点，∴点M到直线AB和直线DC的距离相等．又DC∥AB，∴可令DC的直线方程为x－3y＋m＝0(m≠－6)．而M到直线AB的距离d＝410＝2510.∴M到直线DC的距离为2 510，即|2＋m|10＝2510⇒m＝2或－6，又m≠－6，∴m＝2，∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.21．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上高线CE所在直线的方程为x－3y－1＝0，BC边上中线AD所在的直线方程为8x＋9y－3＝0.(1)求点A的坐标；(2)求直线AC的方程．【解】(1)设点A(x，y)，则⎩⎨⎧8x ＋9y －3＝0，y ＋3x ＋1·13＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝3.故点A 的坐标为(－3,3)． (2)设点C (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧m －3n －1＝0，8·m －12＋9·n －32－3＝0，解得m ＝4，n ＝1，故C (4,1)， 又因为A (－3,3)， 所以直线AC 的方程为y －13－1＝x －4－3－4， 即2x ＋7y －15＝0.22．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，直线l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是710 5.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求出P 点坐标；若不能，说明理由．【解】 (1)l 2即2x －y －12＝0， ∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72，∵a >0，∴a ＝3.(2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋C ＝0上， 且|C －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪C ＋125，即C ＝132或C ＝116，∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，应舍去．由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．。
2020-2021高中数学人教版2-3练习：综合学业质量标准自测含解析
2020-2021学年高中数学人教A版选修2-3练习：综合学业质量标准自测含解析综合学业质量标准自测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点随机抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2的观测值χ2＝99，根据这一数据分析，下列说法正确的是(C）A．有99％的人认为该栏目优秀B．有99%的人认为栏目是否优秀与改革有关C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．以上说法都不对［解析］当χ2＞6.635时有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．故选C．2．若（2x＋错误!）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3)2的值是(A)A．1B．－1C．0D．2［解析］令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝（2＋错误!）4，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋错误!)4．所以（a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3）2＝（2＋错误!)4（－2＋错误!)4＝1．3．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选1人参加某项活动，则不同选法的种数为（B)A．60B．12C．15D．5［解析］由计数原理可得，从中任选1人参加某项活动有3＋5＋4＝12种选法．4．某工厂生产的100件产品中有90件一等品，10件二等品,现从这批产品中抽取4件，则其中恰好有一件二等品的概率为（D）A．1－错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析]从这批产品中抽取4件，则事件总数为C4，100个，其中恰好有一件二等品的事件有C110C错误!个．所以恰好有一件二等品的概率为错误!．5．（2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1，2,3，4出现的频率分别为p1,p2，p3，p4，且错误!i＝1，则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(B)A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：第三章 单元质量测评 Word版含解析
姓名，年级：时间：第三章单元质量测评对应学生用书P77 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是（）A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90°C．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180°答案B解析∵k＝2＞1，即tanα＞1，∴45°＜α＜90°．2．在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( )A．y＝－x＋2 B．y＝－x－2C．y＝x＋2 D．y＝x－2答案 A解析由题可知直线方程为y＝tan135°·（x－2），即y＝－x＋2．3．若三点A（4，3），B（5,a),C（6,b）共线，则下列结论正确的是（)A．2a－b＝3 B．b－a＝1C．a＝3，b＝5 D．a－2b＝3答案A解析由k AB＝k AC可得2a－b＝3，故选A．4．若实数m，n满足2m－n＝1,则直线mx－3y＋n＝0必过定点（）A．错误! B．错误!C．错误! D．错误!答案D解析由已知得n＝2m－1，代入直线mx－3y＋n＝0得mx－3y＋2m－1＝0，即(x＋2）m＋（－3y－1)＝0，由错误!解得错误!所以此直线必过定点错误!，故选D．5．设点A（－2，3)，B（3，2），若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a 的取值范围是（)A．错误!∪错误!B．错误!C．错误!D．错误!∪错误!答案B解析直线ax＋y＋2＝0过定点C（0，－2）,k AC＝－52,k BC＝错误!．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a的取值范围为－错误!＜－a＜错误!，解得a∈错误!．6．和直线5x－4y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为( ）A．5x＋4y＋1＝0 B．5x＋4y－1＝0C．－5x＋4y－1＝0 D．－5x＋4y＋1＝0答案A解析设所求直线上的任一点为（x′,y′)，则此点关于x轴对称的点的坐标为（x′，－y′)．因为点(x′，－y′）在直线5x－4y＋1＝0上，所以5x′＋4y′＋1＝0，即所求直线方程为5x＋4y＋1＝0．7．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD（）A．平行 B．垂直 C．不确定 D．相交答案D解析易知A(2，1)，B(4,2)，原点O(0，0)，∴k OA＝k OB＝错误!，∴直线AB过原点，同理，C（2，lg 2）,D（4,2lg 2），k OC＝k OD＝错误!≠错误!,∴直线CD过原点，且与AB相交．8．过点M（1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P,Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为 ( )A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0答案B解析设P（x0，0），Q（0，y0）．∵M（1，－2)为线段PQ的中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为错误!＋错误!＝1，即2x－y－4＝0．故选B．9．若三条直线y＝2x,x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n）到原点的距离的最小值为( )A．错误! B．错误! C．2错误! D．2错误!答案A解析由错误!解得错误!把（1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0,∴m＝－5－2n，∴点(m，n)到原点的距离d＝错误!＝错误!＝错误!≥错误!，当n＝－2时等号成立，此时m＝－1．∴点（m,n)到原点的距离的最小值为错误!．故选A．10．点F(错误!，0)到直线错误!x－错误!y＝0的距离为( ）A．错误! B．错误!m C．3 D．3m答案A解析由点到直线的距离公式得点F(错误!，0)到直线错误!x－错误!y＝0的距离为错误!＝错误!．11．若直线l经过点A(1，2)，且在x轴上的截距的取值范围是(－3，3），则其斜率的取值范围是（）A．错误!B．错误!∪（1，＋∞）C．（－∞，－1）∪错误!D．(－∞,－1）∪错误!答案D解析在平面直角坐标系中作出点A(1,2)，B(－3，0),C(3,0），过点A,B作直线AB,过点A，C作直线AC,如图所示，则直线AB在x轴上的截距为－3，直线AC在x 轴上的截距为3．因为k AB＝错误!＝错误!,k AC＝错误!＝－1，所以直线l的斜率的取值范围为（－∞，－1）∪错误!．12．已知△ABC的边AB所在的直线方程是x＋y－3＝0，边AC所在的直线方程是x－2y＋3＝0，边BC所在的直线方程是2x－y－3＝0．若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ）A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!答案B解析联立直线方程，易得A(1，2），B（2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为－1,所以线段AB的长度就是过A,B两点的平行直线间的距离，易得|AB｜＝错误!，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分)13．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P（3,3），则直线l的方程为________．答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l的倾斜角是已知直线y ＝x＋1的倾斜角的2倍，所以直线l的倾斜角为90°，直线l的斜率不存在，所以直线l的方程为x＝3．14．直线错误!＋错误!＝t被两坐标轴截得的线段长度为1，则t＝________．答案±错误!解析直线与x，y轴的交点分别为(3t，0）和（0，4t),所以线段长为3t2＋4t2＝1，解得t＝±错误!．15．已知点A（2，4),B(6,－4)，点P在直线3x－4y＋3＝0上,若满足｜PA｜2＋｜PB|2＝λ的点P有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案58解析设点P的坐标为（a，b)．∵A（2，4)，B(6，－4）,∴|PA｜2＋｜PB|2＝［（a－2）2＋（b－4)2]＋［(a－6)2＋（b＋4)2］＝λ，即2a2＋2b2－16a＋72＝λ．又∵点P在直线3x－4y＋3＝0上,∴3a－4b＋3＝0,∴错误!b2－错误!b＋90＝λ．又∵满足｜PA|2＋｜PB｜2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝错误!2－4×错误!×(90－λ)＝0,解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝｜x－a｜－1的图象只有一个交点，则a的值为________．答案－错误!解析因为y＝|x－a｜－1＝错误!所以该函数的大致图象如图所示．又直线y＝2a与函数y＝｜x－a｜－1的图象只有一个交点，则2a＝－1，即a＝－错误!．三、解答题（本大题共6小题,共70分）17．(本小题满分10分）已知Rt△ABC的顶点坐标A（－3，0），直角顶点B（－1，－2错误!),顶点C在x轴上．（1)求点C的坐标；(2）求斜边所在直线的方程．解（1)解法一：依题意，Rt△ABC的直角顶点坐标为B（－1，－22),∴AB⊥BC,∴k AB·k BC＝－1．又∵A(－3，0)，∴k AB＝错误!＝－错误!，∴k BC＝－错误!＝错误!，∴边BC所在的直线的方程为y＋22＝错误!（x＋1），即x－错误!y－3＝0．∵直线BC的方程为x－错误!y－3＝0，点C在x轴上，由y＝0，得x＝3，即C(3，0)．解法二：设点C（c，0），由已知可得k AB·k BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，解得c＝3,所以点C的坐标为(3，0)．（2)由B为直角顶点，知AC为直角三角形ABC的斜边．∵A（－3,0），C（3，0）,∴斜边所在直线的方程为y＝0．18．(本小题满分12分)点M(x1，y1）在函数y＝－2x＋8的图象上，当x1∈[2，5］时，求错误!的取值范围．解错误!＝错误!的几何意义是过M(x1，y1），N（－1，－1)两点的直线的斜率．点M在直线y＝－2x＋8的线段AB上运动，其中A（2,4),B(5，－2)．∵k NA＝错误!，k NB＝－错误!,∴－错误!≤错误!≤错误!，∴错误!的取值范围为错误!．19．(本小题满分12分）已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P,且垂直于直线x－2y－1＝0．(1）求直线l的方程;（2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．解(1）联立两直线方程错误!解得错误!则两直线的交点为P（－2，2)．∵直线x－2y－1＝0的斜率为k1＝错误!,所求直线垂直于直线x－2y－1＝0，那么所求直线的斜率k＝－错误!＝－2，∴所求直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0．（2)对于方程2x＋y＋2＝0，令y＝0则x＝－1，则直线与x轴交点坐标A(－1,0),令x＝0则y＝－2，则直线与y轴交点坐标B（0，－2)，直线l与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB，∴S＝错误!｜OA｜|OB|＝错误!×1×2＝1．20．（本小题满分12分）一条光线经过点P（2，3）射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q（1，1），求：(1)入射光线所在直线的方程；（2)这条光线从P到Q所经路线的长度．解(1）设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M．∵k l＝－1，∴k QQ′＝1，∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1·(x－1),即x－y＝0．由错误!解得错误!∴交点M错误!，∴错误!解得错误!∴Q′（－2，－2）．设入射光线与l交于点N，则P,N，Q′三点共线，又∵P(2,3），Q′(－2,－2)，∴入射光线所在直线的方程为错误!＝错误!，即5x－4y＋2＝0．（2）|PN|＋|NQ｜＝|PN|＋|NQ′｜＝|PQ′｜＝错误!＝错误!,即这条光线从P到Q所经路线的长度为错误!．21．(本小题满分12分)设直线l经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l1:x＋2y －1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．解设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点分别为C（x C，y C）,D(x D，y D)，则错误!解得错误!∴C（1，0)错误!解得错误!∴D错误!．则C,D的中点坐标为错误!，即直线l经过点错误!．又直线l经过点（－1，1），由两点式得直线l的方程为错误!＝错误!，即2x＋7y－5＝0．22．(本小题满分12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0（a＞0）;l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0,且l1与l2间的距离是错误!．(1)求a的值；（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12;③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是错误!∶错误!．若能,求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 （1)直线l 2的方程等价于2x －y －错误!＝0,所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝错误!＝错误!,即错误!＝错误!．又因为a ＞0，解得a ＝3．（2）假设存在点P ，设点P （x 0，y 0)，若点P 满足条件②,则点P 在与l 1，l 2平行的直线l′:2x－y ＋c ＝0上,且错误!＝错误!·错误!，解得c ＝错误!或错误!，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0．若P 点满足条件③,由点到直线的距离公式， 得错误!＝错误!·错误!，即｜2x 0－y 0＋3｜＝｜x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0．若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组错误!得错误!不符合点P 在第一象限，舍去． 解方程组错误!得错误!符合条件①． 所以存在点P 错误!同时满足三个条件．。
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第三章 学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知直线经过点A(0,3)和点B(－1,2)，则直线AB 的斜率为导学号 09024864( B )
A ．－1
B ．1
C ．－1
2
D ．1
2
[解析] 由斜率公式，得k AB ＝2－3
－1－0
＝1.
2．直线l ：x －y ＋1＝0关于y 辆对称的直线方程为导学号 09024865( A )
A ．x ＋y －1＝0
B ．x －y ＋1
＝0
C ．x ＋y ＋1＝0
D ．x －y －1
＝0
[解析] 用－x 替换方程x －y ＋1＝0中的x ，得－x －y ＋1＝0，即x ＋y －1＝0，故选A ．
3．直线l 过点M(1，－2)，倾斜角为30°.则直线l 的方程为导学号 09024866( C )
A ．x ＋3y －23－1＝0
B ．x ＋3y ＋23－1＝0
C ．x －
3y －2
3－1＝0
D ．x －
3y ＋2
3－1＝0
[解析] ∵直线l 的倾斜角为30°， ∴直线l 的斜率k ＝tan30°＝33，
由点斜式方程，得直线l 的方程为 y ＋2＝3
3(x －1)，
即x －
3y －2
3－1＝0.
4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是导学号 09024867( A )
A ．－3
2
B ．－2
3
C ．2
5
D ．2
[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，
则x ＝－3
2
，
∴直线在x 轴上的截距为－3
2
，故选A ．
5．已知点A(3,2)、B(－2，a)、C(8,12)在同一条直线上，则a 的值是导学号 09024868( C )
A ．0
B ．－4
C ．－8
D ．4
[解析] 根据题意可知k AC ＝k AB ，即12－28－3＝a －2
－2－3
，解得a ＝－8.
6．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k)y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是导学号 09024869( C )
A ．1或3
B ．1或5
C ．3或5
D ．1或2
[解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k ＝2(k －3)
2
.解得k ＝5，故选C ．
7．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过导学号 09024870( D )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[解析] Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A
B x －
C B ，由AB<0，BC<0，得－A
B >0，
－C
B
>0，故直线Ax ＋By ＋C ＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 8．已知点A(1，－2)、B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是导学号 09024871( C )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点(1＋m
2，0)在直线x ＋2y －2＝0上，
把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3.
9．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是导学号 09024872( C )
A ．19x －9y ＝0
B ．9x ＋19y ＝0
C ．3x ＋19y
＝0 D ．19x －3y ＝0
[解析] 解⎩⎪⎨
⎪⎧
x －3y ＋4＝0
2x ＋y ＋5＝0
，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－19
7
y ＝3
7
，即直线l 1、l 2的交点是(－19
7
，
37
)，由两点式可得所求直线的方程是3x ＋19y ＝0.
10．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过
定点导学号 09024873( C )
A ．(0,0)
B ．(17，27
)
C ．(2
7，1
7)
D ．(1
7，1
14
)
[解析] 直线方程变形为k(3x ＋y －1)＋(2y －x)＝0，则直线通过定点(27，1
7)．
11．直线(m ＋2)x ＋my ＋1＝0与直线(m －1)x ＋(m －4)y ＋2＝0互相垂直，则m 的值为导学号 09024874( C )
A ．1
2
B ．－2
C ．－1
2或2
D ．－2或1
2
[解析] 由题意，得(m ＋2)(m －1)＋m(m －4)＝0，
解得m ＝－1
2
或2.
12．已知点M(1,0)和N(－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为导学号 09024875( A )。