信号与系统第一章总结

信号与系统第一章总结

1、信号的分类

（1）周期信号和非周期信号

两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。 （2）连续信号和离散信号

连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义。用t 表示连续时间变量。 离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值， 用n 表示。 （3）模拟信号，抽样信号，数字信号 模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。 抽样信号：时间离散，幅值连续的信号。 数字信号：时间和幅值均为离散的信号。 （4）按照信号能量特点分类：

能量受限信号：若信号f (t)的能量有界，即E<∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。

功率受限信号：若信号f(t)的功率有界，即P<∞ ,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = ∞。

PS ：时限信号为能量信号；周期信号属于功率信号。

2、典型的确定性信号

（1）指数信号： ， α=0 直流（常数）

；α<0 指数衰减；α>0指数增长。 通常把

称为指数信号的时间常数，记作τ ,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。

对时间的微分和积分仍然是指数形式

（2）正弦信号：

，振幅K ，周期T=ω

π

2 ,初相

衰减正弦信号：

对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦信号 （3）复指数信号：

α

1

θdt t f E 2)(⎰

∞∞-∆=⎰

-∞→=22

2

|)(|1lim T T T dt t f T P t K t f αe )(=)sin()(θω+=t K t f ()0

sin e )(

>⎩⎨⎧<≥=-αωαt t t K t f t

()()

t K t K t K t f t t st

ωωσσsin e j cos e )( e )(+=∞<<-∞=为复数，称为复频率

j ωσ+=s rad/s

的量纲为 ，/s 1 的量纲为 ωσ振荡衰减增幅等幅⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<≠>≠= 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ⎪⎩

⎪⎨⎧=<=>==衰减指数信号升指数信号直流 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ

（4）抽样信号（重点）： 性质：

1. 偶函数

2. 3. 4.

5. 6.

（5）钟形信号（高斯函数）：

3、信号的平移，反褶，展缩

（1）平移：左加右减（注意符号）

（2）反褶：关于y 轴对称

（3）展缩：f(t)到f(at)，图形变换(1/a)倍

变换方法： 1. 先展缩：a>1，压缩a 倍； a<1

，扩展1/a 倍 2. 后平移：+，左移b/a 单位；－，右移b/a 单位 3. 加上倒置：

4、阶跃信号和冲激信号

（1）单位阶跃信号（通常以u （t ）表示）

门函数：

符号函数：

t

t

t sin )Sa(=

)

Sa(lim ，即1)Sa(

,00

===→t t t t 3,2,1π,0)Sa(=±==n n t t ，⎰

⎰∞∞-∞==πd sin ,2πd sin 0t t t t t t 0)Sa(lim

=±∞→t t ()()t t t ππsin )sinc(=2e )(⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=τt E t

f ()()()[]()

0 >±=±→a a b t a f b at f t f 设()()[]

a b t a f b at f -=±-()[(/)]f t f a t b a →±()()f t f at →210 0100)(点无定义或

⎩⎨⎧><=t t t u ()

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22ττt u t u t f ⎩⎨

⎧<->=0101)sgn(t t t

（2）单位冲激信号：

①定义：狄拉克函数 只在t=0时，函数值不为0；

积分面积为1；

t =0 时，为无界函数。

②定义二： ，面积1，脉宽减，脉冲高度增，集中于t=0处

③性质： 1. 抽样性（筛选性）： 2. 偶函数 3. 冲激偶：冲激函数的微分，将呈现正负极性的一对冲激，称为冲激偶信号，

以)(

t 'δ表示。

性质：

时移：

奇函数

4. 对冲激函数的变换：

5. 对冲激偶函数的变换：

5、信号的分解

（1）直流分量和交流分量

信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率 （2）偶分量和奇分量

信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率

偶分量： 奇分量：

（3）脉冲分量

①矩形窄脉冲序列

()

⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎰

+∞∞-0 0)( 1d )(t t t t δδ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=221)(τττt u t u t p ⎰∞

∞-=)0(d )()(f t t f t δ)()0()()(t f t f t δδ=t

)

0( d )()( f t t f t '-='⎰∞

∞

-δ)( d )()( 00t f t t f t t '-=-'⎰

∞

∞

-δ,0d )( ='⎰

∞

∞

-t t δ()()t a

at δδ1

=()()t a

a at k k k )

()(11δδ⋅=)

()0()()0

()()(t f t f t t f δδδ'-'='[]

)()(21)(e t f t f t f -+=

[]

)()(21

)(o t f t f t f --=(τf ⎰

∞∞

--=τ

τδτd )()()(t f t f