用初等数学知识对球体积公式的讲解
8.3.2.2球的体积和表面积+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
“球的体积和表面积”教学设计一、教学内容解析本节课的内容是人教A版《普通高中教科书数学必修第二册》（以下统称“教材”）“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，学习另一种几何体——球体的体积与表面积.研究球的体积方向很多，教材介绍了“分割、求近似值、再由近似求和转化为球体的体积”的极限思想方法，这也是球的体积的教学重点.从知识结构上讲，球是进一步研究空间组合体结构特征的基础，具有承上启下的作用；从思想方法上讲，在球的体积公式的教学中充分运用极限思想，为以后学习导数做好铺垫.这节课在章节、模块甚至数学课程的角度全面整合教材，突出学科知识的系统性和教学的方向性，形成有生命、有灵魂的整体的知识.本节课教学重点：研究球的体积和表面积.二、教学目标设置结合课标要求，本节课制定如下教学目标：1.通过类比研究圆的周长和面积的方法，能得出研究球的体积和面积的方法，发展数学抽象、直观想象等核心素养；2.通过应用祖暅原理，能推导出球的体积公式，提高数学建模、逻辑推理等核心素养；3.通过探究球的体积的过程，发展研究数学问题的思维体系.三、学生学情分析(一)已具备的认知基础1.在学习本节课内容之前，通过柱体、锥体、台体的体积和表面积的探究和学习，学生已具备了一定的空间想像能力、综合分析、归纳总结的能力；2.通过小学研究了圆的周长和面积，已经初步具备了极限、等价转化、分割的思想或方法.（二）可能存在的认知困难对球体的研究已经超越了学生能把握的直观化对象，是教材中学生最难理解的内容之一.极限法怎样分割？应用祖暅原理怎样进行等价转化？因此，本节课难点：极限法的分割方式;应用祖暅原理怎样构造组合体. 四、教学策略分析本节课贯彻以“学生为主体，教师为主导”的理念，采用主动探究、合作交流、“设置问题序列”的方式，引导学生独立思考.利用小组实验、学生讲解等方式，调动学生学习的积极性.本节课倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，完成了对球体积和表面积的研究，以及公式的推导.安排学生在课前查阅资料，类比探究出球的不同切割方法.充分发挥多媒体的优势，生动形象地演示了各种研究球体积的方法，突破了传统教学不好解决的教学重、难点，实现了教学目标.五、教具准备各种球模型（实心球、空心球）、橙子、圆葱、马铃薯、自制圆形切割模板、圆规、多媒体课件、geogebra软件.六、教学过程设计（一）复习引入、提出问题1.复习引入前面我们研究了柱、锥、台体的体积和表面积，这节课我们来研究球的体积和表面积. 我们知道“半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体”. 那么我们能否借鉴研究圆的周长和面积的方法来研究球的体积和表面积呢？2.提出问题问题1：通过前期的学习和查阅资料，发现了有哪些方法可以研究圆的周长？预设回答1：测量法求周长.预设回答2：极限法求周长.【设计意图】1.通过查阅资料，让学生回顾以直代曲，转化的思想，为测量法研究球的体积做铺垫；2.引入极限思想，为极限法研究球的体积做好铺垫.问题2：你们又发现了哪些研究圆面积的方法呢？预设回答：极限法求面积.a) 如图1所示.图1b) 如图2所示.图2c) 如图3所示.图3【设计意图】自主探究圆的不同切割方法，通过对圆的面积无限分割，体现极限思想，为研究球的体积做好铺垫.（二）自主探究、合作交流问题3：刚刚同学们展示了圆的周长和面积的研究方法，那么我们能不能类比研究圆的方法来研究球的体积和表面积呢？下面请同学们分小组讨论.预设回答1：测量法求球的体积.预设回答2：极限法求球体积.a) 如图4所示.图4b) 如图5所示.图5c) 如图6所示.图6【设计意图】1.让学生动手实验，如切割实物马铃薯和橙子及多媒体动画展示，化抽象为具体. 帮助学生提升直观想象的核心素养；2.通过小组合作，培养学生合作交流的能力，增强团队意识.（三）数学建模、公式推导以上有两名同学通过分割的方法，将球的体积等价转化为可求体积的几何体，这种等价转化的方法，我国古代数学家祖暅已经给我们提供了理论依据.祖暅原理告诉我们这样一个事实：幂势既同，则积不容异.如图7所示.图7祖暅给出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年，在欧洲，直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才给出上述结论. 卡瓦列里提出线是由点构成的、面是由线构成的、体是由面构成的无限细分积零为整的概念，并把面积称为体积的不可分量.卡瓦列里原理不难用现代的微积分理论给出严格证明，但是作为一名中学生，还没有学习微积分时，如果作为直观上的显然结果，而承认这个原理，就能解决许多求体积的问题.只用初等数学方法，而不需用微积分方法.师：怎样通过祖暅原理求球的体积？师：根据祖暅原理构造几何体的要点是？师：半球更容易稳定的放置在桌面上，球是关于轴截面对称的几何体，如图8所示，我们研究半球的体积V与半径R的关系，就可以得到球的体积V与半径R的关系.图8问题4：能否用已经学过的几何体组合成一个新的几何体来代替半球的体积？这个新的组合体应该怎样组合？如图9所示.图9师：为什么挖去的倒置圆锥截面圆半径为h？如图10所示.图10师：用动画演示，来更好的理解等高下截面积相等. 如图11所示.图11师：请同学们一起推导球体积与半径的关系，由学生代表到黑板前演示推导过程.生：12V球=V柱−V锥=23πR3，所以V球=43πR3.师：我们运用祖暅原理得到了球体积与半径之间的关系V球=43πR3，通过之前推导出的球体积和表面积的关系，可以得到球表面积S球=4πR2.师：还有哪些构造与球等体积的几何体的方式？可以课下再进行研究. 如图12所示.图12师：我们今天能够推导出球的体积公式，都要归功于祖暅.让我们怀着敬意，一起来回顾祖暅的生平.【设计意图】利用祖暅原理，推导出球的体积公式，进而得到球的表面积公式.介绍祖暅原理蕴含的数学思想方法. 通过介绍中国古代优秀的数学家，增强民族文化自信，激发学生勤奋好学的斗志.（四）知识总结、心得体会1.师生共同进行知识总结2.学生谈体会和收获（五）作业布置、拓广探索1.复习巩固：教材119页练习2,3,4题；2.拓广探索：教材120页9题；3.合作探究：查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式.结束语：学习是无止境的，科学探索的道路是充满艰辛、充满乐趣的，希望同学们能勤于钻研、勇于创新，创造出属于我们更加卓越的未来.。
初三数学公式总结归纳
初三数学公式总结归纳还不清楚初三数学公式有哪些的小伙伴, 赶紧来瞧瞧吧！下面由为你精心准备了“初三数学公式总结归纳”, 本文仅供参考, 持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！初三数学公式总结归纳三角函数的诱导公式诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等设α为任意锐角, 弧度制下的角的表示：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）。
cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）。
tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）。
cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）。
诱导公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系设α为任意角, 弧度制下的角的表示：sin（π+α）=-sinα。
cos（π+α）=-cosα。
tan（π+α）=tanα。
cot（π+α）=cotα。
诱导公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin（-α）=-sinα。
cos（-α）=cosα。
tan（-α）=-tanα。
cot（-α）=-cotα。
诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin（π-α）=sinα。
cos（π-α）=-cosα。
tan（π-α）=-tanα。
cot（π-α）=-cotα。
诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin（2π-α）=-sinα。
cos（2π-α）=cosα。
tan（2π-α）=-tanα。
cot（2π-α）=-cotα。
诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin（π/2+α）=cosα。
cos（π/2+α）=-sinα。
tan（π/2+α）=-cotα。
cot（π/2+α）=-tanα。
sin（π/2-α）=cosα。
cos（π/2-α）=sinα。
tan（π/2-α）=cotα。
cot（π/2-α）=tanα。
sin（3π/2+α）=-cosα。
cos（3π/2+α）=sinα。
高中数学基本知识点
高中数学基本知识点高中数学基本知识点空间几何体表面积体积公式：1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高,3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、r-底半径h-高V=πr^2h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)高考数学知识点总结高考数学知识点：参数方程一、坐标系与参数方程：1、坐标系是解析几何的基础。
在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。
为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。
高一数学知识点整理
高一数学知识点整理数学是一门抽象的学科，但却是科技、经济、文化等领域的基础。
对于高中学生来说，数学需要掌握的知识点非常多，不仅要掌握基础知识，还需要学会各种解题方法和技巧。
在高一阶段，学生主要需要学习的数学知识点有以下几个方面。
一、初步代数运算1、整式的四则运算：加减乘除整式就是多项式，其中包含加减乘除四种运算。
在初一、初二阶段，学生已经学过了简单的整式运算，而在高一阶段，需要深入学习，掌握复杂整式的运算方法。
需要注意，在整式的运算过程中，一定要注意化简。
2、分式的四则运算：加减乘除同样的，分式也包含加减乘除四种运算。
在分式的运算中，需要先将分式化为通分分式，再进行运算。
需要注意的是，当分母是一个整式时，需要进行约分。
3、方程和不等式基本性质方程和不等式是初步代数运算中的重要内容，需要学习方程和不等式的基本性质，例如交换律、结合律、分配律等等。
在解题中，需要灵活运用这些性质，快速求解问题。
二、函数与函数图像1、函数的概念与性质在高中数学中，函数是一门非常重要的概念。
学生需要学习函数的概念、性质，以及函数的定义域、值域等基本概念。
同时，还需要学习函数的分类、函数间的关系等内容。
2、基本初等函数基本初等函数包含了多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等内容。
需要掌握这些函数的基本性质、图像以及特殊点和不等式解法等内容。
3、常用函数的图像、性质与应用常用的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、正弦函数和余弦函数。
需要学习它们的图像、性质和应用。
例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的特殊点是顶点，正弦函数和余弦函数的周期都是 $2\pi$。
三、数列与数列极限1、数列的基本概念与特征数列是数学中的一个重要概念，需要掌握数列的概念、特征、通项公式、求和公式等。
同时，还需掌握数列分类的方法以及数列的性质和应用等。
2、数列极限的定义与判定数列极限是数学分析中的重要概念。
需要学习数列极限的定义、判定、性质、极限运算法则等。
初数数学公式如何计算球体的体积和表面积
初数数学公式如何计算球体的体积和表面积球体是一种常见的几何形体，其体积和表面积计算是初等数学里的基础知识。
在初数学中，我们可以通过特定的公式来计算球体的体积和表面积。
一、球体体积的计算公式球体的体积是指球体所包含的三维空间的容积。
假设球体的半径为r，则球体体积的计算公式为V = (4/3)πr³。
其中，V表示球体的体积，π表示圆周率，取近似值3.14159。
例如，如果给定一个半径为5的球体，那么根据公式，可以计算出它的体积为：V = (4/3) × 3.14159 × 5³ = 523.59875。
所以，这个球体的体积约为523.59875立方单位（如立方厘米、立方米等）。
二、球体表面积的计算公式球体的表面积是指球体外表面的总面积。
同样假设球体的半径为r，则球体表面积的计算公式为A = 4πr²。
其中，A表示球体的表面积，π表示圆周率，取近似值3.14159。
以同样的例子，如果给定一个半径为5的球体，那么根据公式，可以计算出它的表面积为：A = 4 × 3.14159 × 5² = 314.159。
所以，这个球体的表面积约为314.159平方单位（如平方厘米、平方米等）。
三、实际应用举例球体的计算公式在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用举例：1. 建筑设计：在建筑设计过程中，工程师需要计算建筑物的圆顶或球形部分的体积和表面积，以便做出合理的设计和规划。
2. 水池容量：当我们想要知道一个圆形或球形水池的容量时，可以利用球体的体积公式进行计算，以便安排合适的供水量或估算储水能力。
3. 行星研究：天文学家可以通过测量行星的半径，使用球体的体积公式来计算其体积，从而更全面地了解行星的特征和组成。
4. 球体物体的购买和制造：当我们购买一个球体物体时，例如定制的篮球、足球等，可以根据球体的表面积公式来估算其需要的材料数量和成本。
高一上册数学知识点全面总结及详细解析2024版
高一上册数学知识点全面总结及详细解析2024版引言高一上册数学是高中数学学习的基础阶段，涵盖了代数、几何、函数等多个方面的知识点。
本文将对这些知识点进行详细总结，帮助学生更好地掌握和应用这些知识。
第一章：集合与函数1. 集合的概念集合的定义与表示方法：集合是指某些确定的、不同的对象的全体。
常用大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合的基本运算（并集、交集、补集）：并集是指两个集合中所有元素的集合，交集是指两个集合中共有元素的集合，补集是指全集中不属于某集合的元素的集合。
子集与全集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则A是B的子集。
全集是指包含所有讨论对象的集合。
2. 函数的概念函数的定义与表示方法：函数是指两个集合之间的一种对应关系，其中每个元素在第一个集合中都有唯一的元素与之对应。
常用符号f(x)表示函数。
函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）：单调性指函数在某区间内是否保持递增或递减，奇偶性指函数是否关于原点对称或关于y轴对称，周期性指函数是否存在一个周期使得函数值重复出现。
反函数与复合函数：反函数是指将原函数的自变量与因变量互换得到的新函数，复合函数是指两个函数的组合。
第二章：基本初等函数1. 一次函数一次函数的定义与图像：一次函数是指形如y=ax+b的函数，其图像是一条直线。
一次函数的性质与应用：一次函数的斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b 决定了直线与y轴的交点。
一次函数广泛应用于实际问题的建模与求解。
2. 二次函数二次函数的定义与图像：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其图像是一条抛物线。
二次函数的性质（顶点、对称轴、开口方向）：二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，对称轴是通过顶点的垂直线，开口方向由系数a的正负决定。
二次函数的应用：二次函数在物理、经济等领域有广泛应用，如抛物运动、利润最大化等问题。
3. 指数函数与对数函数指数函数的定义与性质：指数函数是指形如y=a^x的函数，其图像呈指数增长或衰减。
考研199管综初等数学知识点——几何
第六章平面几何【思维导图】【知识点】1.线、角（1）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；（2）任意对顶角相等（3）角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等（4）垂直平分线（中垂线）：到线段两边的距离相等2.三角形的性质：（1）三角形内角和等于180°.（2）三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.（3）三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. （4）三角形的中位线：三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半（5）三角形的面积公式： = ℎ = a s ，C 为a,b 两边之间的夹角.（6）三角形四心：内心：三条角平分线的交点，三角形的内切圆圆心.外心：三条边的垂直平分线（中垂线）的交点，三角形的外接圆圆心.重心：三条中线的交点，重心将中线分为2:1 的两段.垂心：三条高线的交点.【注】等边三角形四心合一；等腰三角形三线合一.3.三角形的分类（1）按角分a.直角三角形：有一个角是直角.勾股定理：在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，则有2 + 2 = 2.等腰直角三角形：①两直角边相等的直角三角形②边长关系1:1：2③面积公式：S = a2 = c2，a 值为等腰直角三角形的直角边，c 是斜边.有一个角为30°的直角三角形：①30°所对的直角边的边长是斜边边长的一半.②三边边长关系为 1：3：2 任意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.b.锐角三角形：三个角都是锐角.锐角三角形：2 + 2 > 2.c.钝角三角形：有一个角大于90°.钝角三角形：2 + 2 < 2.（2）按边分a.等腰三角形：有两个边的长度相等的三角形或两个内角相等的三角形.b.等边三角形（正三角形）：三角形的三条边，三个角相等的三角形，面积公式为： = 2.4.三角形的全等和相似（1）三角形全等【定义】即两个三角形的大小和形状完全相等，即对应角，对应边完全相等.【判定定理】判断两个三角形全等的充要条件a.两个三角形有两边及对应的夹角相等：SAS.b.两个三角形有两个角及对应的夹边相等：ASA.c.两个三角形的三条边对应相等：SSS.d.两个三角形有两个角及一条边对应相等：AAS.（2）三角形相似【定义】两个三角形是放大、缩小关系.【性质】a.两个三角形对应的边长成比例，对应的角相等.b.两个相似三角形对应的线段比等于相似比.c.两个三角形的周长比等于相似比.d.两个三角形的面积比等于相似比的平方.【判定定理】a.两个三角形有一个内角对应相等，其两夹边对应成比例.b.两个三角形有2 组内角对应相等.c.两个三角形的3 条边对应成比例.5.四边形（1）平行四边形【定义】两组对边分别平行的四边形.【性质】a.平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.b.一对对边平行且相等的四边形是平行四边形.【公式】a.面积公式： = ℎ.b.周长公式： = 2( + ).a、b 分别是平行四边形的两边长，h 为底边上的高.（2）矩形【定义】四个内角都为直角的四边形.【性质】a.两对角线相等且互相平分.b.矩形的面积等于长乘宽.c.四边相等的矩形为正方形.【公式】a.矩形面积公式： = a.b.矩形周长公式： = 2( + ).a、b 分别是矩形的两边长.c.正方形面积公式：= 2.d.正方形周长公式： = 4.（3）梯形【定义】只有一组对边平行的四边形.【公式】a.梯形的中位线： = ( + ).b.梯形的面积等于高和中位线的乘积：S = ( + )ℎ.（4）等腰梯形【定义】两腰的长度相等（或两底角相等）的梯形.【性质】a.等腰梯形的两腰相等.b.等腰梯形在同一底上的两个底角相等.c.等腰梯形的两条对角线相等.d.等腰梯形中，若两条对角线互相垂直，则该梯形的高与中位线的长度相等. （5）菱形【定义】有一组邻边相等的平行四边形.【性质】a.四条边全部相等.b.菱形的对角线互相垂直且平分.c.菱形的对角线平分对角.【公式】a.菱形面积公式：S = c，c、d 两条对角线的长度.b.菱形的周长公式： = 4，a 是菱形的边长.6.定理（1）燕尾定理：针对任意三角形∆A: ∆ = : ∆A: ∆ = A: ∆: ∆ = A:（2）蝶形定理：针对任意四边形对于任意四边形有：1: 2 = 4: 3，即1: 3 = 2: 4.AO: OC = (1 + 2): (4 + 3). DO: OB= (1 + 4): (2 + 3).对于任意梯形 ABCD，假设上底 AD=a，下底 BC=B，则1: 2: 3: 4 = 2: a: 2: a.（3）共角定理（鸟头定理）共角三角形的面积比等于对应角（相等角或者互补角）两夹边的乘积之比. ∆B: ∆A = (B ∙ A): (A ∙ ).B C B C7.圆【定义】a.圆：与定点 O 距离等于 r 的平面上动点的轨迹，O 为圆心，r 为半径.b.切线（平面几何）：直线与圆只有一个交点，即为圆的切线.c.角的弧度：把圆弧长度和半径的比值.AD EDAE【性质】在圆 O 中，半径为 r，直径为 d=2r，线段 AB 和 AC 是过圆外点 A 的两条切线.a.直径所对的圆周角是直角.b.同一弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半.c.除了直径外，所有的弦长都小于直径（直径是圆中最长的弦）.d.等弧对等角.e.圆的切线在切点处与半径垂直.f.从圆外一点所作圆的两条切线相等.【公式】半径为 r 的圆，a.面积 = 2 = 1c2.4b.周长 = 2 =c.度与弧度的换算关系：1 弧度= 180°.π扇形的弧长： = = ∙ 2，为扇形的弧度，为扇形的角度.360扇形的面积公式： = 2 =，是扇形的弧长，为扇形的角度，是半径.3608.内切圆与外接圆（1）等边三角形的外接圆与内切圆半径：设边长为 a 的等边三角形，其内切圆半径为，其外接圆半径为. 任意直角三角形的内切圆半径为+−，其中 a，b 为直角边，c 为斜边.2（2）正方形的内接圆与外切圆：设正方形的边长为 a，则正方形的内切圆半径 = ，正方形的外接圆半径 =.2第七章立体几何【思维导图】【知识点】1.常见的空间几何体（1）长方体体积： = a表面积： = 2(a + + ) 体对角线： = 2 + 2 + 2 所有棱长和：= 4( + + )【注】当 = = 时为正方体.（2）正方体设正方体的棱长为 a，则体积： = 3表面积： = 62体对角线： =3 所有棱长和：12（3）圆柱设圆柱的底面半径为 r，高为 h，圆柱的轴截面为一个矩形，体积： = 2ℎ 侧面积： = 2ℎ表面积： = 2ℎ + 22 体对角线： =42+ ℎ2（4）球体半径 R 的球体，体积：= 3表面积： = 42（5）半球半径为 R 的半球体，体积：= 3表面积： = 322.内切球，外接球半径设正方体的棱长为 a，球体的半径为 r，则正方体的内切球半径： =2 正方体的外接球半径：= 正方体的外接半球半径： =第八章解析几何【思维导图】【知识点】1.平面直角坐标系平面直角坐标系和象限平面内的点的坐标表示为P(x, y)，其中x 表示横坐标，y 表示纵坐标.2.点点在平面直角坐标系中的表示为(, )，设两点(1, 1)与点(2, 2)，则两点间的距离为： = (1 − 2)2 + (1 − 2)2，特别地，点(, )与坐标原点(0,0)的距离为 = 2 + 2.中点坐标公式：点(1, 1)与点(2, 2)，则线段AB 的中点(3, 3)，3 = 1+22 , 3 = 1+22.3.平面直线的倾斜角和斜率（1）平面直线的倾斜角【定义】直线与 x 轴正方向所成的夹角称之为直线的倾斜角，记为∠A。
圆锥体积V锥=43πr2+h等于13圆柱体积的几何论证
不等式．本文通过等幂和的一个等式证明并改进了
上述不等式的右边， 并且也 给出了 等 幂 和 的 一 个 下
界．最后把主要结果推广到更一般的情况．
引理 １ 对任意的 λ ∈ Ｎ∗，成立
∑ ∑ ∑ ｎ
ｉλ
ｉ＝１
＝
（ｎ ＋ １） λ＋１ λ ＋１
－
æ
ç
èλ
１ ＋
１
＋
λ－１ ｋ＝０
æ
ç
Ｃｋ λ＋１
èλ ＋ １
旋转一周后所形成的两个体积之比值等于两个平面
图形之各自的重心到共同旋转轴的垂直距离之比．
作者简介 邵百成，男，１９３５ 年生，教授级高工。 全国机
械协会旋压学会委员．１９９３ 年获国家政府津贴，获国家发明
四等奖，多项专利、省部级科技进步奖．
关于等幂和一个不等式的注记
山东省滨州市北镇中学 ２５６６００ 宋志敏 滨 州 学 院 数 学 系 ２５６６０３ 尹 枥
文［１］ 作者介绍了等幂和的一些背景与结果，
特别介绍了紧密联系数论的一些结果．文［２］ 利用贝
努里不等式及数学归纳法证明了关于等幂和的一个
猜想．即对于任意的 λ ∈ Ｎ∗，则有
ｎλ ＋１ λ ＋１
＜
１λ
＋ ２λ
＋ … ＋ ｎλ
＜
（
ｎ＋ λ
１） λ ＋１
＋
１
．
文［３］ 作者采用定积分估计的方法重新证明了上述
中学数学杂志 ２０１５ 年第 ３ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
圆锥体积 Ｖ锥
＝
４ π ｒ２
ｈ
１ 等于
圆柱体积的几何论证
３
３
广东省工业技术研究院（ 广州有色金属研究院） ５１０６５１ 邵百成
对新编高中数学教材中球面积、球体积公式处理方案的考虑
一、问题的提出国家教委基础教育司编订的《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》（1996年5月版，以下简称新大纲），在必修课的“直线、平面、简单几何体”部分的教学目标中，列入了“掌握球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
”球是一种基本旋转几何体，它的表面积和体积公式是有广泛应用的基本度量公式。
在现行《高级中学课本立体几何（全一册）》中，是如下处理这两个公式的。
先讲球的表面积公式,后讲球体积公式。
为讲前者，首先证明了预备定理“若球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则圆台的侧面积为”。
然后根据预备定理，利用分割逼近的方法，给出球面积公式。
为讲体积公式，需先引入祖氏原理“夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的两个截面的面积总相等，则这两个几何体的体积相等。
”然后应用祖氏原理，通过比较半球体与内挖圆锥的圆柱体，得出球体积公式。
多年的教学实践证明，在原教材总体系中上述处理方式是比较合理的。
在逻辑上比较周密，教学上也比较自然顺畅。
然而，原立体几何教材体系也存在过于强调内容与体系的完整严密，内容多且旧的问题。
原《立体几何（全一册）》总课时设计为57，其中“直线和平面”部分为28课时，“多面体和旋转体”部分为29课时。
在几何体中包括了棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，球、球冠、球缺等。
对立体几何安排如此多的教学内容和课时，在目前世界各国的中学数学教材中已不多见。
为了精简传统内容，给增加新内容提供课时，以适应21世纪的需要，新大纲对立体几何的教学内容做了必要的调整，以“直线、平面、简单几何体”为标题安排立体几何内容，总课时为36。
在保留原来的“直线和平面”部分主要内容的基础上，简化了几何体部分，重点讲棱柱、棱锥、正多面体和球。
对于圆柱、圆锥、棱台和圆台，则不作为教学内容列出。
从中学数学课程和教材的全局来看，以上调整是必要的，也是比较合理的。
第一，这样做保留了三维空间几何的最基础的内容，即空间的线线、线面、面面关系。
高一数学公式知识点大全
高一数学公式知识点大全一、初等数论公式：1. 两个整数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积：a *b = gcd(a, b) * lcm(a, b)2. 费马小定理：如果 p 是一个质数，a 是任意整数且 a 不是 p 的倍数，那么：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)3. 埃拉托斯特尼筛法：利用筛法可以快速求解小于等于 n 的所有质数。
首先创建一个长度为 n+1 的布尔数组，然后将数组中的所有元素初始化为 true。
从 2 开始，如果该数为质数，则将其所有倍数标记为非质数。
最后，遍历布尔数组，所有仍然标记为 true 的数字即为质数。
二、代数公式：1. 二次方程求根公式：对于 ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2. 二次根式的乘法公式：(√a + √b)(√a - √b) = a - b3. 二次根式的加减法公式：(√a ± √b)^2 = a± 2√ab + b4. 二项式的展开公式：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n-1)a b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
三、三角函数公式：1. 三角函数的和差化简公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))2. 三角函数的平方和差化简公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1sin^2(x) - cos^2(x) = sin(2x)cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)3. 三角函数的倍角化简公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))四、几何公式：1. 圆的面积公式：S = πr^22. 球的体积公式：V = (4/3)πr^33. 直角三角形的勾股定理：a^2 + b^2 = c^2其中，c 表示直角边长，a 和 b 表示另外两个边长。
初等数学中的常用公式
二、几何
1．圆（设半径为 r，直径为 d=2r） 周长：L=2πr=πd；
面积：S r 2
1 2 d 4
2．扇形（设半径为 r，圆心角为θ） 弧长：L=rθ
面积：S
1 1 rL r 2 2 2
3．圆柱（设底面半径为 r，高为 h） 2 底面面积：S 底=πr 侧面积：S 侧=2πrh 2 体积：V=πr h 4．圆锥（设底面半径为 r，母线长为 l，高为 h） 2 底面面积：S 底=πr 侧面积：S 侧=πrl
n Pnm n! m m! m!(n m)! n n m 注： m 也记为C n ，并规定 0 1 n n n 1 n n 组合公式： k n k ， m m m 1
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 )
b b 2 4ac 求根公式：x 2a
4．指数
a 正整数指数幂：a n a a a
n个
负整数指数幂：a n 零指数幂：a 0 1 运算法则：
1 an
(a m ) n a mn； a m a n a m n； am a n an mn (ab) a b ； n a (a 0)； ( ) n； b a b
7．求和号∑及其运算
2， ，n并将它们全部加起来，即 k 表示依次取k 1，
k 1 n
n
k 1 2 3 n
k 1 n n n k 1 n k 1 k 1
n(1 n) 2
(ak bk ) ak bk ca
k 1 n k 1 k
Pnm n(n 1)(n 2) (n m 1)
初等数学常用公式.
数 学 公 式 初等数学常用公式一、 代数 1．绝对值 （1）定义：,0||,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩（2）性质：||||||||||||||(0)||(0)||a a a a ab a b b a A A a A A b b =-==≠≤⇔-≤≤≥||||||||||||a b a b a b a b ±≤+±≥-2．指数 （1）nmm na a a+= （2）mm n n a a a-= （3）()m m b ab a b =（4）m na=（5）1m ma a -= （6）01(0)a a =≠3．对数设0,0,a a >≠则 （1）log log log a a a xy x y =+ （2）log log log aa a xx y y=- （3）log log b a a a b x = （4）log log log b a b xx a= （5）log log 10log 1a x a a a x a ===4．乘法公式与因式分解（1）2()()()x a x b x b a x ab ++=+++ （2）222()2a b a ab b ±=±+ （3）33223()33a b a a b ab b ±=±+± （4）22()()a b a b a b -=+- （5）3322()()a b a b a ab b -=±+5.二项式定理122(1)(1)(1)()2!!n n n n n k kn n n n n n k a b a na b a b a b b k ------++=++++++6．两数n 次方的和与差（1）无论n 为奇数或偶数，1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++（3）当n 为奇数时，1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+7．数列的和 （1）21(1)11n n a q a aq aqaqq q--++++=≠- （3）2135(21)n n ++++-=（2）1123(1)2n n n ++++=+ （4）22221123(1)(21)6n n n n ++++=++（5）23333(1)1232n n n +⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦二、几何1．圆 周长2C r π=，面积2S r π=，r 为半径。
初等数学常用公式3篇
初等数学常用公式第一篇：初等数学常用公式（一）1.勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
2.等腰三角形面积公式：面积=（底边×高）÷2。
3.正方形面积公式：面积=边长×边长。
4.长方形面积公式：面积=长×宽。
5.平行四边形面积公式：面积=底边×高。
6.圆的面积公式：面积=π×半径²。
7.圆的周长公式：周长=2×π×半径。
8.球的表面积公式：表面积=4×π×半径²。
9.球的体积公式：体积=（4÷3）×π×半径³。
10.立方体的体积公式：体积=边长³。
11.棱柱的体积公式：体积=底面积×高。
12.棱锥的体积公式：体积=（底面积×高）÷3。
13.圆锥的体积公式：体积=（底面积×高）÷3。
14.扇形的面积公式：面积=（弧长×半径）÷2。
15.三角形面积公式：面积=（底边×高）÷2。
以上是初等数学常用公式，掌握这些公式可以更轻松地解决各种数学问题。
第二篇：初等数学常用公式（二）16.两点间距离公式：d=√（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²。
17.点到直线距离公式：d=│Ax₁+By₁+C│÷√（A²+B²）。
18.两点连线斜率公式：k=y₂-y₁÷x₂-x₁。
19.一次函数公式：y = kx + b。
20.平移变换公式：（x,y）→（x+a,y+b）。
21.旋转变换公式：（x,y）→（xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ）。
22.对称变换公式：（x,y）→（2a-x,y）。
23.四则运算规则：加减法可交换，乘除法可结合，加法与乘法遵循“分配律”。
初等几何图形定义与计算公式大全(平面图形、立体图形等)+适合小学初中高中中及数学爱好者
几何图形定义与计算公式大全重点介绍两类常用的几何图形：一是平面图形，如三角形、四边形、正多边形以及与圆有关的各种图形；另一是空间立体图形，如正方体、长方体、球体、锥体、圆柱体以及各种正多面体.这里较详细地收集了它们的面积、体积、侧面积、表面积、重心和转动惯量等计算公式.另外，还介绍了一些图形（如正多边形）的作图方法，对于生产实践中常用的椭圆作图法和圆弧放样法也作了简要的说明.同时，明确指出了在百余年前已经严格证明了的所谓“几何三大问题”不能用尺规作图.§1 三角形与四边形一、 三角形各元素的计算1. 三角形各元素图 2.1 图 2.2a,b,c 为三角形三边 R 为外接圆半径 A,B,C 为三个角 r 为内切圆半径AD 为a 边上的高 H 为垂心（三条高的交点） AF 为A 角的平分线 G 为重心（三条中线的交点）AE ()a m =为a 边上的中线 为内心（三条角平分线的交点）p 为半周长 为外心（三条垂直平分线的交点） S 为ABC ∆的面积2. 三角形各元素计算公式[高][中线] Abc c b a c b m a cos 221)(22122222++=-+=)180( =++C B A )(a h =)(a t =内O ⎪⎭⎫⎝⎛++=)(21c b a p 外O 222222sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-==a c b a b C b h a[角分线][面积][外接圆半径][内切圆半径] 2sin 2sin 2sin 4222))()((C B A R C tg B tg A p tg p c p b p a p p S r ==---==二、 三角形和四边形的面积、几何重心、转动惯量计算公式图形表中m 为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五. 2cos 2])[(122Ac b bc a c b bc c b t a +=-++=Rabcrp ah C B A R c p b p a p p C ab S a 421sin sin sin 2))()((sin 212====---==S abc C c B b A a R 4sin 2sin 2sin 2====*[任意三角形]a,b,c 为三边,为a 边上的高[等腰三角形]b 为两腰,a 为底边,为a 边上高a h a ha,b 为邻边,d 为对角线, 为对角线的夹角a 为边长,为顶角,为两对角线ϕα21,d d图形面积S 、几何重心G 与转动惯量J a,b 为邻边,h 为对边距,为顶角,为两对角线,为两对角线夹角a,b 为上下底,h 为高,l 为两腰中点连线a,b,c,d 为四边长,为两对角线,为两对角线夹角 面积重心 G 在对角线交点上面积重心转动惯量转轴通过重心,且平行于上下底 (图(a ))当a=b 时(平行四边形)面积()()()()α2cos abcd d p c p b p a p -----=或α21,d d ϕ21,d d ϕαsin ab bh S ==ϕsin 2121d d =lh h b a S =+=)(21)(2sin 3b a ba h GQ ++=αb a ba h GP ++=2sin 3α),,,(AB CF CD AE QD CQ PB AP ====)(36)4(223b a b ab a h J +++=m h a h J 121223==)(21sin 2121221h h d d d S +==ϕ)(21d c b a p +++=)(21C A ∠+∠=α)(21D B ∠+∠=§2 圆与正多边形一、 与圆有关的各量计算公式⌒AMB BCA BAT 21=∠=∠=α式中⌒AMB 表示AMB 弧所对应的圆心角∠AOB 的角度（下同），C 为ANB 弧上的任意点.[两割线及其夹角γ])(21⌒⌒AC BD -=γAE ·BE= CE ·DE=ET 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∠=⌒⌒BD AC AEC 21βAE ·BE= CE ·DE=r 2-OE 2 式中r 为圆的半径.)(21''⌒⌒TAT TBT -=δ [圆内接四边形面积S ]O为圆心,r为半径,d为直径O为圆心,r为半径,d为直径r 为半径,b 为弦长,为弧s 所对应的圆心角的度数,为其弧度数,O 为圆心θα图形r 为半径,b 为弦长(b=2a ),h 为拱高,为圆心角度数,为圆心角弧度数,s 为弧长,O 为圆心R 为外半径,r 为内半径,D 为外直径,d 为内直径,O 为圆心 θα同前,为所对应的圆心角的度数,为其弧度数r 为半径,d 为直径,l 为圆心距,O O ',为新月形张开角度,为其弧度数 面积重心转动惯量 转轴与GO 重合(图(a ))面积 式中重心0.10.2 0.3 0.4 0.399 0.795 1.182 1.5560.5 0.6 0.7 0.8 0.91.9132.2472.5512.8153.024三、 正多边形各量换算公式与比例系数表n 为边数 R 为外接圆半径 R t r R ,,,θαθαR t r R S 180)(36022πθπθ=-=t R α=22sin322233ααr R r R GO --=22sin197.382233θθr R r R --≈)sin (844αα--=r R J m r R )sin (422ααα-+=)sin 180(2θπθπ+-=r S )sin (2ααπ+-=r η2r =θπθπηsin 180+-=l GO ηηπ23-=l GO ηηπ2'-=d l ηdl η为圆心角 S 为多边形面积重心G 与外接圆心O 重合正三角形 正方形 正五边形 正六边形正n 边形2233RRa2tan2αnr2cot 2αa正多边形各量比例系数表α⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n 360α243a 2433R 233r R 3a 33a 632a 22R 24r R 2a 22a 2125102541a +R 521021-a 5521021+a 552521+2233a 232r a 23αsin 22R n 2sin2αR 2sin2αa§3 实用几何作图一、 正多边形作图[已知边长作正三角形] 已知AB 等于边长.分别以A,B 为圆心，AB 为半径画弧交于C ,连接AC ，BC ，即为所求正三角形（图2.3）.[已知边长作正方形] 已知AB 等于边长.以AB 外任一点O 为圆心，OA 为半径画圆交AB 于E .连接EO 并延长交圆于F ,连接AF 并延长截取AD=AB .分别以B ，D 为圆心，AB 为半径画弧交于C ，连接BC ，DC ，□ABCD 即为所求正方形(图2.4).[已知外接圆作正五边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ，CD ，平分OB 于E ，以E 为圆心，EC 为半径画弧交OA 于F ，以CF 为半径在圆周上顺次截段并连接各点，即为所求正五边形(图 2.5).也可参考正十边形作法(见图 2.11中的虚线).[已知边长作正五边形] 已知AB 等于边长.以A ，B 为圆心，AB 为半径画两圆交于C ，D ，连接CD .以D 为圆心，AB 为半径画圆，交CD 于E ，交A 圆于F ，交B 圆于G ，连接FE ，GE ，并延长交B ，A 圆于H ，I .分别以H ，I 为圆心，AB 为半径画弧交于J ，连接JI ，IA ，BH ，HJ ，连同AB 即为所求正五边形(图2.6).[已知外接圆作正六边形] 以外接圆半径在其圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正六边形(图2.7). ABC[已知边长作正六边形] 已知AB 等于边长，分别以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于O ，以O 为圆心，AB 为半径画圆.再按上法可作出所求正六边形(图2.8).[已知外接圆作正七边形(近似作法)] 以圆周上任一点A 为圆心，以同圆半径为半径画弧交圆周于B ，C ，连接BC ，AO ，交于D .以BD 为半径(作图时应略大于BD )在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正七边形(图2.9).[已知外接圆作正八边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ，CD .分别以A ，B ，D 为圆心，任意长为半径画弧交于E ，F ，连接EO ，FO ，并延长交圆于G ，H ，I ，J ，顺次连接八点，即为所求正八边形(图2.10).[已知外接圆作正十边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ，CD ，以OB 为直径画圆E ，连接EC 交E 圆于F .以CF 为半径在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正十边形(图2.11).[已知外接圆作任意正多边形(近似作法)] 将直径AB n 等分(n 为边数),以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于C ，连接C 与第二个分点E ，并延长交圆于D ，以AD 为半径在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正n 边形(图2.12中为正九边形).二、 椭圆作图已知长短轴(2a,2b )作椭圆，其方法如下：[轨迹法] 作长轴AB =2a ，短轴CD =2b ,相互垂直平分交于O ，以D 为圆心，a 为半径画弧交AB 于.在两点钉上,F F ,F F线，移动铅笔所画出的曲线即为椭圆(图2.13).[焦点法] 同轨迹法一样，先画出点，将AB 8等分，中间各点为.分别以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两两相交于和.再将这些交点连同A ，B 一起用光滑曲线顺次连接，即近似于所求椭圆(图2.14).[压缩法] 用长短轴为直径画出两个同心圆，并将圆周12等分(小圆分点1～12，大圆分点对应为21~1'').连接018,117,42,51'-''-''-''-'和1－11,2－10,4－8,5－7,并延长，将51'-'与1－11,5－7;42'-'与2－10,4－8;117'-'与1－11,5－7;018'-'与2－10,4－8的交点(共8个)，连同四个顶点一起，用光滑曲线顺次连接，即近似于所求椭圆(图2.15).[圆弧法] 作长轴AB=2a ,短轴CD=2b ，相互垂直平分交于O ，作OE=OA ，以C 为圆心，CE 为半径画弧交AC 于F ，作AF 的垂直平分线交AB 于G ，交CD 延长线于I .作OH=OG ，OJ=OI .分别以I ，J 为圆心，IC 为半径画弧，又分别以G ，H 为圆心，GA 为半径画弧，则四段弧相连即近似于所求椭圆(图2.16).三、 圆弧放样法在土木建筑工程中，由于受各种施工条件的限制，不能用圆规一转就画出圆弧，可采用下面方法在施工现场直接放大样.这种方法可在有限平面内放出任意大半径的圆弧实样，又便于工人同志掌握.[已知弦长和拱高作圆弧] 方法作AB 等于弦长，作CO 垂直平分AB ，并使CO 等于拱高，连接BC ，作BC 的中垂线DE .作的平分线交DE 于E ，在ED 延长线上取DF=DE ，则F 为的分点.由对称性，F 的对称点也是的分点.重复上述步骤，可得的各分点，将各分点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧(图2.17).此方法概念明确，步骤较少，占地最少.方法作AB 等于弦长，作CO 垂直平分AB ，并使CO 等于拱高.作BC 的中垂线DF ，截OE=CD .过E 作AB 的垂线交DF 于F ，则F21,F F i K )71(≤≤i 1F i AK 2F i BK i M i N )62(≤≤i ︒1ABC ∠41'F 41,321,161,81︒211述步骤，可得的各分点，将各分点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧(图2.18).此方法步骤最少.[已知弦长和圆弧上任一点作圆弧] 已知AB 为弦长，C 为已知圆弧上一点.以BC 为边作角()ABC CAB CBB ∠<<∠=∠αα1.再以AC 为边按相同方向作角α=∠1CAA .上的点.当取a 为一系列值时，便得到圆弧上一系列点，将各点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧(图 2.19).此方法最适于采用经纬仪、罗盘仪来测放半径很大的圆弧.四、 几何作图问题所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积. 三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积. 后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.,321,161,81为交于1111,,C C BB AA ︒1︒2︒3§4 立体图形的体积、表面积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式一、 立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式图形体积V 、表面积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量*Ja 为棱长，d 为对角线a,b,h 分别为长,宽,高,d 为对角线体 积 3a V = 表面积 侧面积 对角线重 心 G 在对角线交点上体 积表面积 侧面积对角线重 心 G 在对角线交点上 转动惯量取长方体中心为坐标原点,坐标 轴分别平行三个棱边(当时,即为正方体的情况)表中m 为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五.26a S =24a M =a d 3=2aGQ =abh V =)(2bh ah ab S ++=)(2b a h M +=222h b a d ++=2h GQ =m h b J x )(12122+=m h a J y )(12122+=m b a J z )(12122+=m h b a J o )(121222++=h b a ==*a,b,c为边长,h为高a为底边长,h为高,d为对角线n为棱数,a为底边长,h为高,g为斜高a,b,c,p,q,r为棱长h为高a’,a分别为上下底边长,n为棱数,h为高,g为斜高重心(P为顶点,Q为底面的重心)体积式中分别为上下底面积重心(P,Q分别为上下底重心)体积表面积侧面积gaanM)'(2+=式中分别为上下底面积重心(P、Q分别为上下底重心)1111111128812222222222222cbacpqbpraqrV=PQGQ41=)''(3FFFFhV++=FF,''''3'24FFFFFFFFPQGQ++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++=2''13aaaahFVFFMS++='FF,'2222'''3'24aaaaaaaahGQ++++=两底为矩形,a’,b’,a,b分别为上下底边长,h为a为截头棱长高,1底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长r为半径[半球体]r为半径,O为球心r为球半径,a为弓形底圆半径,h为拱高,α为锥角(弧度)r为球半径,a为拱底圆半径,h为拱高[球台]r为球半径,a',a分别为上下底圆的半径,h为高R为中心半径,D为中心直径,r为圆截面半径,d为圆截面直径[圆柱体]r为底面半径,h为高R为外半径,r为内半径,h为高r为底圆半径,h,H分别为最小,最大高度,α为截角,D为截头椭圆轴h为截段最大高度,b为底面拱高,2a为底面弦长,r为底面半径,α2为弧所对圆心角(弧度) a,b,c为半轴r为底圆半径,h为高,l为母线r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线F为上下底平行,F',F分别为上,下底面积,中截面面积,h为高d为上,下底圆直径,D为中截面直径,h为高二、多面体[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体]4 8 12 20[欧拉公式] 一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e,它们之间满足ke-f+=2。
应用高等数学观点求解初等数学问题实例
应用高等数学观点求解初等数学问题实例高等数学作为一门数学学科，可以帮助我们更深入地理解初等数学中的一些概念，同时也能为我们解决初等数学中一些看似棘手的问题提供有力的帮助。
下面，我将通过几个实例来说明如何应用高等数学观点求解初等数学问题。
一、利用导数解决极值问题在初等数学中，我们常常需要求解一些函数的最大值或最小值，这些问题被称为极值问题。
如果函数是一个简单的多项式函数，我们可以直接求出函数的导数，并通过求解导数的根来确定函数的极值点。
例如，我们要求解函数$f(x)=2x^{3}-3x^{2}$在区间$[0,1]$上的最大值，可以这样做：首先，求出$f(x)$的导数：$f'(x)=6x^{2}-6x$然后，我们将导数等于零，得到$6x^{2}-6x=0$解方程得到$x=0$或$x=1$。
此时，我们将$x=0$和$x=1$代入原函数，得到$f(0)=0$，$f(1)=-1$。
因此，最大值为$f(0)=0$，最小值为$f(1)=-1$。
二、利用微积分求解面积和体积问题面积和体积问题是初等数学中常见的一类问题。
例如，我们要求解一个具有半径$r$的球体的体积，可以直接应用球体的体积公式$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$来计算。
然而，如果我们要求解一个复杂的几何图形的体积或面积，就需要运用微积分的知识来求解。
例如，我们要求解图形$y=x^{2}$从$x=0$到$x=1$所围成的曲边梯形的面积，可以这样做：我们将曲边梯形分成无数个矩形，每个矩形的宽度为一个极小的数$\Delta x$。
然后，我们用矩形的面积公式$A=\Delta x \cdot y$来计算每个矩形的面积。
最后，我们将所有矩形的面积加起来，得到曲边梯形的面积：$A=\sum_{i=1}^{n}(\Delta x \cdot y_{i})$当$\Delta x$极小的时候，上式可以表示为积分的形式：$A=\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}$类似地，我们还可以利用微积分来求解球体的表面积以及其他形状的体积和面积问题，方法也大致相同。
小学数学知识点认识和使用长方体和正方体
小学数学知识点认识和使用长方体和正方体小学数学知识点：认识和使用长方体和正方体在初等数学中，学生们学习了不同几何体的基本形状和特征。
长方体和正方体是两个常见的几何体，它们在我们日常生活和学习中起着重要的作用。
本文将介绍小学数学中认识和使用长方体和正方体的知识点。
一、长方体的认识和特征长方体是一个由六个矩形面构成的立体图形。
它的特征如下：1. 面：长方体有三对相等的矩形面，共六个面。
这些面通过共享边界相连接。
2. 边：长方体有12条边，每一对相对的边都是相等的。
3. 顶点：长方体有8个顶点，每个顶点都是三条边的交点。
长方体的体积可以通过计算底面积与高度相乘得到。
具体公式为：体积 = 底面积 ×高度。
例如，一个长方体的底面积为10平方厘米，高度为5厘米，那么它的体积为50立方厘米。
在日常生活中，长方体的应用非常广泛。
例如，我们常常用长方体形状的书包、液晶电视和立柜等物品。
通过认识和理解长方体的特征，我们可以更好地使用这些物品，也能更好地理解与其相关的数学问题。
二、正方体的认识和特征正方体是一个由六个正方形面构成的立体图形。
它的特征如下：1. 面：正方体的六个面都是正方形，它们的边长相等。
2. 边：正方体有12条边，每个边都与其他边相连。
3. 顶点：正方体有8个顶点，每个顶点都是三条边的交点。
正方体的体积计算与长方体类似，同样可以通过计算底面积与高度相乘得到。
由于正方体的六个面都是正方形，所以底面积可以直接通过边长的平方得到。
具体公式为：体积 = 边长 ×边长 ×边长 = 边长的立方。
例如，一个边长为5厘米的正方体的体积为125立方厘米。
正方体在数学中的应用也非常广泛。
例如，计算三维空间中的物体体积、解决与形状和空间相关的问题等。
通过熟悉正方体的特征和性质，我们可以更好地理解和解决这些数学问题。
三、长方体和正方体的区别与联系长方体和正方体在形状和特征上存在一些区别和联系。
求椭圆面积周长及椭球体积的初等数学方法
求椭圆面积周长及椭球体积的初等数学方法
李睿
【期刊名称】《大观周刊》
【年(卷),期】2010(000)037
【摘要】本文试用初等数学的方法,即高中数学知识推导出椭圆面积、椭周长,椭球体积的计算公式.
【总页数】2页(P185-186)
【作者】李睿
【作者单位】贵州大学,贵州,贵阳,550025
【正文语种】中文
【中图分类】O18
【相关文献】
1.求椭圆面积周长及椭球体积的初等数学方法 [J], 李睿
2.探索椭圆周长和椭球表面积的近似初等公式 [J], 周园钞;
3.用形数结合的方法求作正交椭球与椭圆锥相贯线的投影 [J], 邓东芳
4.用初等数学方法推证弓形面积的近似公式 [J], 张江礼;
5.论高中阶段如何用初等数学方法求特殊数列的前n项和 [J], 杜怡萱
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高中数学基础与解法全集
高中数学基础与解法全集球的定义：第一定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体，简称球。
半圆的圆心叫作球的球心，半圆的半径叫作球的半径，半圆的直径叫作球的直径。
第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。
球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体(solid sphere)，简称球。
专题一：子集考点1:集合的基本运算考点2：子集之间的关系专题二：函数考点3：函数及其则表示考点4：函数的基本性质考点5：一次函数与二次函数.考点6：指数与指数函数考点7：对数与对数函数考点8：幂函数考点9：函数的图像考点10：函数的值域与最值考点11：函数的应用领域专题三：立体几何初步考点12：空间几何体的结构、三视图和看著图考点13：空间几何体的表面积和体积考点14：点、线、面的边线关系考点15：直线、平面平行的性质与判定考点16：直线、平面横向的认定及其性质考点17：空间中的角考点18：空间向量1. 高中数学新增内容命题走向追加内容：向量的基础知识和应用领域、概率与统计数据的基础知识和应用领域、初等函数的导数和应用领域。
命题走向：试卷尽量覆盖新增内容;难度控制与中学教改的深化同步，逐步提高要求;注意体现新增内容在解题中的独特功能。
(1)导数试题的三个层次第一层次：导数的概念、求导的公式和求导的法则;第二层次：导数的直观应用领域，包含求函数的极值、单调区间，证明函数的多寡性等;第三层次：综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等结合在一起。
(2)平面向量的考查建议a.考查平面向量的性质和运算法则及基本运算技能。
要求考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算。
b.考查向量的座标则表示，向量的线性运算。
c.和其他数学内容结合在一起，如可和函数、曲线、数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力。
高二的数学知识点总结(优选7篇)
高二的数学知识点总结第1篇1、学会三视图的分析：2、斜二测画法应注意的地方：(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。
画直观图时，把它画成对应轴o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°(或135°)。
(2)平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半。
(3)直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图一定不是90度。
3、表(侧)面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h：⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=⑷球体：①表面积：S=;②体积：V=4、位置关系的证明(主要方法)：注意立体几何证明的书写(1)直线与平面平行：①线线平行线面平行;②面面平行线面平行。
(2)平面与平面平行：①线面平行面面平行。
(3)垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。
核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线。
5、求角：(步骤：Ⅰ、找或作角;Ⅱ、求角)⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形。
⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角。
高二的数学知识点总结第2篇1、在中学我们只研直圆柱、直圆锥和直圆台。
所以对圆柱、圆锥、圆台的旋转定义、实际上是直圆柱、直圆锥、直圆台的定义。
这样定义直观形象，便于理解，而且对它们的性质也易推导。
对于球的定义中，要注意区分球和球面的概念，球是实心的。
等边圆柱和等边圆锥是特殊圆柱和圆锥，它是由其轴截面来定义的，在实践中运用较广，要注意与一般圆柱、圆锥的区分。
2、圆柱、圆锥、圆和球的性质(1)圆柱的性质，要强调两点：一是连心线垂直圆柱的底面;二是三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆;轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形;平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形。
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、
棱 锥 顶 点 ) 继 续 切上 它
。
5千 刀
。
那 时 候 的小 锥 体就 非 常 非 常 的 小
。
而 底 面 再 也 没 有 曲面 之 感 了
1 3s h = 1
到 这 般情 景 小 锥体 的高 和 棱 长 几 乎无 法 区 分开 了
,
可
, 知 棱 长就 是 球半 径 R 而 此 时 棱 锥 的 高 h 与 棱 长 R 之 比 就 无 长短 之 分
但 这 往 往 使学 生 记 忆 不 牢
,
,
印 象不 深
,
。
如果 一 个 公 式 在 交 待 给学 生 之 前 能 作 一 个 简
单 的 比 拟 性 的讲 解
根 据课 本 安 排
可 以 使 学 生 便 于 掌握
。
,
在讲 述 球 体 之 前
。
已 经 讲 过 了 棱 锥 体 积 公 式 V 一 1 / 3 s h 和 球表 面 公
R
“
,
这 样就 推导 出球 体 积 V 球 二 4 /
,
的
公式了
这就 是 选 取 一 定的生 活 实 践 知 识 和 所 学 过 的初等 数 学 知 识
。
用 可 信 可 理 解 的方
演示 讲 解 了 球体 积 公 式
199 4年
冀 东学 刊
第5 期
浅 谈 无 机 化学 理论在 有 机 化 学 中 的 应用 赵淑珍
即 R= h
。
这个 小
锥体 的体 积 是 V 锥 一
/
3 R /s
。
。
s
表 示 每个 小 棱 锥 体 的 底 面 积
,
,
那 么被 切 了一 万 五
千 刀 之 后 成 的小 锥体 的 底 面 是 S
那么
在 切 这 一 万 五 千 刀 之 前的 那 么 多 小 锥 体底 面 积
R
。
之 和又 是 什么 呢 ? 就 是 球 的表 面 积 S =
。
H
:
色 色 B一 H
+
。
反 应 是符合 亲 电 加成 反 应 历 程 的
符合 马 氏 规 则 C H
。
3
` 色 飞色 CH 、 CH
:
+ H
:
入十
一
H
6
。 一, C H
一
CH
一
CH
B H
:
ZC H
3
C H = CH
么
查
( CH
3
}
CH
Z
CH
Z
)
3
B
,
在 讲述 这 个 反 应 之 前
可 收 到 很好 的 效果
, ,
式S二
4二 R
Z
。
于 是 笔者 就 想 利 用 这 些 知 识 再 结合 生 活 实 践 知识 对 学 生 给 以 必 要 的 启 示 并 我 们 可 以 找 到 一 个 特 别 像 球 体 的大西 瓜
,
对 公 式 给以 简 单推 演 经 过 球 心 把 它 切开
1 万刀 !
,
并 认 为是 球 体
“ 使 学生 建立 起 了 S P
,
、
SP
S P
杂 化轨 道 的 空 间 立 体 形 象
,
并 对 简 单 的有机 物 分 子 的 构 型 进 行 了描 述
分 子 轨 道 理 论 与价 键 理 论 不 同
。
为 学 有 机化 学 中
。
的分 子 结 构 内容 打 下 了基 础 机 化 学对 H
释
。
,
它 是从 分 子 的整 体 出 发 去
C.
2
。
一
s
2 7 x 1 0一
3 “
C
·
m
(
介
p
3
) (
c 犷
:
P
“
)
3
.
O C十
一 ( )
s
8 4 X 1 0一
“
o
C
·
扭
)
4
。
血
h 十 C
一) (
s
吸 n
C,
9 4 X 10一
3 “
C
·
m
p
Z
(
s
p
)
。
在 有 机 化学 中
三
、
,
在 许 多 的 反 应 中 都 涉 及 到 由于 成 键 原 子 电 负 性 不 同引 起的 电 子 云 沿 键 链
,
。
,
用刀
切上 它
之后
。
用 同 样 的 方法
,
,
即 每 一 刀 都要 经 过 球 心 继 续 切 下 去
。
西 瓜瓣 越 切越 小
每 一 块 小 西 瓜瓣 ( 小棱 锥 体 ) 就 很 小 很 小 了
,
它 的 底 面 (球
面 的 一 部分
感
了
,
那 就 再— 过 球心
曲 面 ) 就 更 小 了 与平 面 就 很 接 近 了 如果 说
内 容是 在无 机 化 学 讲 授 的 基 础 上 延 伸 的
,
董玉 环
。
无 机 化 学和 有机 化 学 是 专科 化 学 专 业 的 两大 基 础学 科
有 机 化 合 物 的 结构 中 的 基 本
,
只 有学 好无 机 化学 中的 有 关 理 论 内 容
才 能奠
定 学 习 有机 化 学 的 基 础
。
,
有 机 化 学 中用 的是 键能
。
共 价 键 的 极 性 可 以 用 键 矩 来衡 量 分 子 的 极性 做 了 比 较 详 细 的论 述 键 的极 性 相 互 抵 消 的原 因
,
分 子的 偶 极 矩 是 分 子 中 各 键 矩 矢 量 和
`
。
无 机 化 学 中对
对 C C L 这 样 的有 机 物分 子通 过 它 的 空 间 构 型 说 明 了
大 键
二
。
许 多 有 机 化 合物 的 性 质 与 离 域 键 有关 系
离 出H 后
十 ,
二
。
例如
。
:
苯酚 和 叛 酸 呈 酸 性 是因 为它 们 电
酸根 中 离 域 范 围 扩 大 了
+
,
能稳 定 存 在
1
冷 沙
R一 C
、
o 。
2
,
一
ù
( 雹
, 上 劝 ` 工
兀
仁卜
。
补
(
孔
今 )
图 (三)
苯 胺 和 酞胺分 子 中 有 离 域 键存 在
有机 物 分 子 中 相 同 类 型 的键 角 在 不 同分 子 中略 有变 有 机物
。
原 因 是 有 机 物 分 子 组 成 复杂
, ,
,
原 子 或 基 团 间 的 相 互 影 响 导 致 了 键角 的 变 化
,
分 子 中 不 存在 双 原 子分 子
离 解 能不 能 应 用 在有 机 物分 子 中
研 究分 子 中每 一 个 电 子 的 运 动状 态
+
、
认 为形 成 化 学 键 的 电 子 是在 整 个 分 子 中 运 动 的
,
无
。
0
2
分 子 这 些 用 价 键 理 论 不 能解 释 的分 子 结 构 用 分 子 轨 道 理 论 进 行 了 解
无 机化 学 课 中较 详 细 地 讲 述 了 对 共 价 键 本 质 解 释 的 两 种 理 论
,
义 货 醚甲 一甲
、
。 。
;
申
Z N H
,
按 一 定方 向 偏 移 的 效 应
即诱 导 效 应
·
共 撮 论 在 无 机 化 学 和 有机 化 学 中 的 应 用
, ,
、
、
a u in g 在 1 9 3 1一 1 9 3 3 年提 出 来 的 在此 之 前 一 直 认 为 分 共 振 论 是美 国 化学 家 L P l 子 中 的价 电 子 定 域 在化 学键 中 只 承 认 单 双 叁 键 不 承 认 有 离 域 键 二但 某 些 化合 物
冀 东 学刊
1 9 9 4年
第 5期
用 初 等 数 学 知 识
对 球 体 积 公 式 的 讲 解
阎振凯
球体 积 公 式 的 推导 是在 学 了 高 等 数 学 定 积 分 之 后 才 可 以 掌 握
,
而 在 中专 立 体 几 何旋
转体 一 节 中 需 要 讲 述 这个 问 题
的
,
。
怎 么 办 呢 ? 当 然 把 球 体 积 公 式 直 接写 在 黑 板 上 也 是 可 以
4二
Z ,
我 们 把 那 么 多 的 小 锥 体 再 合 拢 起 来就 是 球
4二 R
“ ,
体
,
而 那 么 多 锥 体 底 面 积 之 和 就 是球 面 积
,
所 以 球 面积 公式 S 一
二
代 入 到 锥体 积 公
3o R“
式中
法
,
即V =
。
1
/ 35 1
:
二 1
/
3 火 4二
R
“
·
R ~ 4 /3
3 一 J 二 烯 和 苯的 分 子 结 构
,
这 两 个有 机 物 分 子 是 平 面 构
, ,
型 的共 辘 体 系