线性模型中总平方和分解公式的证明
《计量经济学》补充练习题
《计量经济学》补充练习题一、填空1.运用计量经济学研究经济问题，一般可分为四个步骤：、估计参数、和模型应用。
2.在模型古典假定成立的情况下，多元线性回归模型参数的最小二乘估计具有、和3.经济计量学对模型“线性”含义有两种解释，一种是另一种是通常线性回归更关注第二种解释。
4.写出一元线性回归的总体模型和样本模型：总体模型：样本模型：5.在线性回归中总离差平方和的分解公式为：TSS=RSS+ESS，写出它们的表达式：RSS=ESS=6.一元线性回归模型中，参数估计值b服从分布，写出期望和方差：7.拟合优度与相关系数的关系是8.容易产生异方差的数据是9.计量经济模型四要素分别是10.容易产生自相关的数据是二、单选1.狭义计量经济模型是指（）。
A.投入产出模型B.生产函数模型C.包含随机方程的经济数学模型D.模糊数学模型2.计量经济学模型是（）A.揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述B.揭示经济活动中各个因素之间的定性关系，用随机性的数学方程加以描述C.揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用非随机性的数学方程加以描述D.揭示经济活动中各个因素之间的因果关系，用随机性的数学方程加以描述3.已知某一直线回归方程的可决系数为0.64，则解释变量与被解释变量间的线性相关系数绝对值为（）。
A.0.64B.0.8C.0.4D.0.324.选择模型的数学形式的主要依据是（）A.数理统计理论B.经济统计理论C.经济行为理论D.数学理论5.在有n30的一组样本、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得到多重决定系数为0.8500，则调整后的多重决定系数为（）。
A.0.8603B.0.8389C.0.8655D.0.83276.在回归分析中，定义的变量满足（）。
A.解释变量和被解释变量都是随机变量B.解释变量为非随机变量，被解释变量为随机变量C.解释变量和被解释变量都为非随机变量D.解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量7.考察某地区农作物种植面积与农作物产值的关系，建立一元线性回归模型0.54，对应的标准差Yi01某ii，采用30个样本，根据普通最小二乘法得1)0.045，那么，对应的t统计量为（）。
应用回归分析课后习题参考答案_全部版__何晓群_刘文卿
第一章回归分析概述1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有 a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
1.3回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1一元线性回归有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)=σ2i=1,2, …,nCov(εi,εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(X i, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, σ2) i=1,2, …,n2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
【线性回归】线性回归模型中几个参数的解释
【线性回归】线性回归模型中⼏个参数的解释【线性回归】线性回归模型中⼏个参数的解释R ⽅1. 决定系数/拟合优度类似于⼀元线性回归，构造决定系数。
称为y 关于⾃变量的样本复相关系数。
其中，，有SST=SSR+SSE总离差平⽅和记为SST ，回归平⽅和记为SSR ，残差平⽅和为SSE 。
由公式可见，SSR 是由回归⽅程确定的，即是可以⽤⾃变量x 进⾏解释的波动，⽽SSE 为x 之外的未加控制的因素引起的波动。
这样，总离差平⽅和SST 中能够由⽅程解释的部分为SSR ，不能解释的部分为SSE 。
1. 意义意味着回归⽅程中能被解释的误差占总误差的⽐例。
⼀般来说越⼤，拟合效果越好，⼀般认为超过0.8的模型拟合优度⽐较⾼。
需要注意的是当样本量⼩时，很⼤（例如0.9）也不能肯定⾃变量与因变量之间关系就是线性的。
随着⾃变量的增多，必定会越来越接近于１，但这会导致模型的稳定性变差，即模型⽤来预测训练集之外的数据时，预测波动将会⾮常⼤，这个时候就会对作调整，调整R ⽅可以消除⾃变量增加造成的假象。
F 检验0、预备知识（1）假设检验为了判断与检测X 是否具备对Y 的预测能⼒，⼀般可以通过相关系数、图形等⽅法进⾏衡量，但这只是直观的判断⽅法。
通过对回归参数做假设检验可以为我们提供更严格的数量化分析⽅法。
（2）全模型与简化模型我们称之为全模型（full Model,FM ）通过对某些回归系数进⾏假设，使其取指定的值，把这些指定的值带⼊全模型中，得到的模型称为简化模型（reduced model,RM ）。
常⽤的简化⽅法将在之后介绍。
1、F 检验检验是线性模型的假设检验中最常⽤的⼀种检验，通过值的⼤⼩可以判断提出的假设是否合理，即是否接受简化模型。
1. 为检验我们的假设是否合理，即评估简化模型相对全模型拟合效果是否⼀样好，需要先建⽴对两个模型拟合效果的评价⽅法。
这⾥我们通过计算模型的残差平⽅和（）来衡量模型拟合数据时损失的信息量，也表⽰模型的拟合效果。
多元线性回归公式了解多元线性回归的关键公式
多元线性回归公式了解多元线性回归的关键公式多元线性回归公式是一种常用的统计学方法，用于探究多个自变量与一个连续因变量之间的关系。
在进行多元线性回归分析时，我们需要理解和掌握以下几个关键公式。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量（被预测变量），X1、X2、...、Xn代表自变量（预测变量），β0、β1、β2、...、βn代表模型的参数，ε代表误差项。
二、回归系数估计公式在多元线性回归分析中，我们需要通过样本数据来估计回归模型的参数。
常用的回归系数估计公式是最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
对于模型中的每个参数βi，其估计值可以通过以下公式计算：βi = (Σ(xi - x i)(yi - ȳ)) / Σ(xi - x i)²其中，xi代表自变量的观测值，x i代表自变量的样本均值，yi代表因变量的观测值，ȳ代表因变量的样本均值。
三、相关系数公式在多元线性回归中，我们通常会计算各个自变量与因变量之间的相关性，可以通过采用皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）来衡量。
相关系数的公式如下：r(Xi, Y) = Σ((xi - x i)(yi - ȳ)) / sqrt(Σ(xi - x i)² * Σ(yi - ȳ)²)其中，r(Xi, Y)代表第i个自变量与因变量之间的相关系数。
四、R平方（R-squared）公式R平方是判断多元线性回归模型拟合程度的重要指标，表示因变量的方差能够被自变量解释的比例。
R平方的计算公式如下：R² = SSR / SST其中，SSR为回归平方和（Sum of Squares Regression），表示自变量对因变量的解释能力。
SST为总平方和（Sum of Squares Total），表示因变量的总变化。
应用回归分析_第2章课后习题参考答案
2.1 一元线性回归模型有哪些基本假定？答：1. 解释变量 1x , ,2x ,p x 是非随机变量，观测值,1i x ,,2 i x ip x 是常数。
2. 等方差及不相关的假定条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠=====j i n j i j i n i E j i i ,0),,2,1,(,),cov(,,2,1,0)(2 σεεε 这个条件称为高斯-马尔柯夫(Gauss-Markov)条件，简称G-M 条件。
在此条件下，便可以得到关于回归系数的最小二乘估计及误差项方差2σ估计的一些重要性质，如回归系数的最小二乘估计是回归系数的最小方差线性无偏估计等。
3. 正态分布的假定条件为⎩⎨⎧=相互独立n i n i N εεεσε,,,,,2,1),,0(~212 在此条件下便可得到关于回归系数的最小二乘估计及2σ估计的进一步结果，如它们分别是回归系数的最及2σ的最小方差无偏估计等，并且可以作回归的显著性检验及区间估计。
4. 通常为了便于数学上的处理，还要求,p n >及样本容量的个数要多于解释变量的个数。
在整个回归分析中，线性回归的统计模型最为重要。
一方面是因为线性回归的应用最广泛；另一方面是只有在回归模型为线性的假设下，才能的到比较深入和一般的结果；再就是有许多非线性的回归模型可以通过适当的转化变为线性回归问题进行处理。
因此，线性回归模型的理论和应用是本书研究的重点。
1. 如何根据样本),,2,1)(;,,,(21n i y x x x i ip i i =求出p ββββ,,,,210 及方差2σ的估计;2. 对回归方程及回归系数的种种假设进行检验；3. 如何根据回归方程进行预测和控制，以及如何进行实际问题的结构分析。
2.2 考虑过原点的线性回归模型 n i x y i i i ,,2,1,1 =+=εβ误差n εεε,,,21 仍满足基本假定。
求1β的最小二乘估计。
答：∑∑==-=-=ni ni i i i x y y E y Q 1121121)())(()(ββ∑∑∑===+-=--=∂∂n i n i ni i i i i i i x y x x x y Q111211122)(2βββ 令,01=∂∂βQ即∑∑===-n i ni i i i x y x 11210β 解得,ˆ1211∑∑===ni ini i i xyx β即1ˆβ的最小二乘估计为.ˆ1211∑∑===ni ini ii xyx β2.3 证明： Q (β，β1)= ∑(y i-β0-β1x i)2因为Q (∧β0,∧β1)=min Q (β0,β1 )而Q (β0,β1) 非负且在R 2上可导,当Q 取得最小值时，有即-2∑(y i -∧β0-∧β1x i )=0 -2∑(y i-∧β0-∧β1x i ) x i=0又∵e i =yi -( ∧β0+∧β1x i )= yi -∧β0-∧β1x i ∴∑e i =0，∑e i x i =0（即残差的期望为0，残差以变量x 的加权平均值为零）2.4 解：参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在εi~N(0, 2 ) i=1,2，……n 的条件下等价。
第一节-方差分析的基本原理与步骤
第一节方差分析的基本原理与步骤方差分析有很多类型，无论简单与否，其基本原理与步骤是相同的。
本节结合单因素试验结果的方差分析介绍其原理与步骤。
一、线性模型与基本假定假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重复，共有nk个观测值。
这类试验资料的数据模式如表6-1所示。
表6-1k个处理每个处理有n个观测值的数据模式处理观测值合计平均A1 x11 x12 …x1j …x 1nA2 x21 x22 …x2j …x 2n……A i x i1 x i2 …x ij …x in……A k x k1 x k2 …x kj …x kn xk .合计表中表示第i个处理的第j个观测值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；表示第i个处理n 个观测值的和；表示全部观测值的总和；表示第i 个处理的平均数；表示全部观测值的总平均数；可以分解为(6-1)表示第i个处理观测值总体的平均数。
为了看出各处理的影响大小，将再进行分解，令(6-2)(6-3)则(6-4)其中μ表示全试验观测值总体的平均数，是第i个处理的效应（treatmenteffects）表示处理i对试验结果产生的影响。
显然有(6-5)εij是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
（6-4）式叫做单因素试验的线性模型（linearmodel）亦称数学模型。
在这个模型中表示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij之和。
由εij相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k)所属总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi,σ2)。
尽管各总体的均数可以不等或相等，σ2则必须是相等的。
所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性（additivity）、分布的正态性（normality）、方差的同质性（homogeneity）。
这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。
若将表（6-1）中的观测值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的数据结构（模型）用样本符号来表示，则(6-6)与（6-4）式比较可知，、、分别是μ、（μi-μ）=、（xij-）=的估计值。
线性回归计算方法及公式
量重新构建新的方程。
若H0成立，可把Xj从回归方程中剔除，余下变
标准化偏回归系数和确定系数 • 标准化偏回归系数：
在比较各自变量对应变量相对贡献大小时，由 于各自变量的单位不同，不能直接用偏回归系 数的大小作比较，须用标准化偏回归系数。
bj ´ = bj (sj / sy)
确定系数：
简记为R2，即回归平方和SS回归与总离均 差平方和SS总的比例。 R2 ＝ SS回归／ SS总 可用来定量评价在Y的总变异中，由P个 X变量建立的线性回归方程所能解释的比 例。
Logistic回归的参数估计
• Logistic回归模型的参数估计常用最大似然法，最大似 然法的基本思想是先建立似然函数或对数似然函数， 似然函数或对数似然函数达到极大时参数的取值，即 为参数的最大似然估计值。其步骤为对对数似然函数 中的待估参数分别求一阶偏导数，令其为0得一方程组， 然后求解。由于似然函数的偏导数为非线性函数，参 数估计需用非线性方程组的数值法求解。常用的数值 法为Newton-Raphson法。不同研究的设计方案不同， 其似然函数的构造略有差别，故Logistic回归有非条件 Logistic回归与条件Logistic回归两种。
• 逐步引入－剔除法（stepwise selection) 先规定两个阀值F引入和F剔除，当候选变 量中最大F值＞＝F引入时，引入相应变量； 已进入方程的变量最小F＜＝F剔除时，剔 除相应变量。如此交替进行直到无引入 和无剔除为止。（计算复杂）
多元线性回归方程的作用
• 因素分析 • 调整混杂因素的作用 • 统计预测
内 容 安 排
多元线性回归模型与参数估计
• 设有自变量x1,x2,…,xp和因变量Y以及一份由n个个体构 成的随机样本(x1i,x2i,…,xpi,,#43;B1x1+B2x2+…+Bp xp+ (模型）
多元线性回归模型的统计检验
2、t检验
设计原假设与备择假设：
H0：i=0 H1：i0
（i=1,2…k）
给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由
样本求出统计量t的数值，通过
|t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)
来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是
否应包括在模型中。
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以 决定是否作为解释变量被保留在模型中。
这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
1、t统计量
由于
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素，于 是参数估计量的方差为：
其中2为随机误差项的方差，在实际计算时 ，用它的估计量代替:
因此，可构造如下t统计量
给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界值 ：
一元例：F(1,21)=4.32
二元例： F(2,19)=3.52
显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
2、关于拟合优度检验与方程显著性检验 关系的讨论
由 R2 1RS/S(nk1) 与
TS/S(n1)
可推出：
在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中, 给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.093
从回归计算中已得到：
计算得参数的置信区间：
0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080)
如何才能缩小置信区间？
•增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大 ，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量 ，还可使样本参数估计量的标准差减小；
总离差平方和回归平方和残差平方和的关系_理论说明
总离差平方和回归平方和残差平方和的关系理论说明1. 引言1.1 概述本篇长文旨在探讨总离差平方和、回归平方和和残差平方和之间的关系，以及它们在回归分析中的含义及意义。
总离差平方和、回归平方和和残差平方和是统计学中常用于衡量数据变异程度的指标，对于了解数据之间的相关性具有重要作用。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：- 引言：概述文章主题与目的；- 总离差平方和、回归平方和和残差平方和的定义：详细介绍每个指标的定义；- 总离差平方和与回归平方和之间的关系：通过推导过程，阐述两者之间的关系；- 回归分析中各部分的含义及意义：深入探讨每个指标在回归分析中所扮演的角色；- 结论：总结主要发现或结果，并讨论研究局限性及未来展望。
1.3 目的本篇长文旨在帮助读者深入理解总离差平方和、回归平方和以及残差平方和在统计学中的应用和意义。
通过对它们的定义及推导过程的分析，读者将能够更好地使用这些指标来分析数据集中的相关性，并进一步应用于回归分析中，为实际问题提供解决方案。
同时，我们也将讨论这些指标的局限性，并展望未来在此领域中可能出现的重要发展方向。
以上就是文章“1. 引言”部分的内容。
2. 总离差平方和、回归平方和和残差平方和的定义本部分将详细介绍总离差平方和、回归平方和和残差平方和的定义。
2.1 总离差平方和的定义：总离差平方和（Total Sum of Squares, SST）用于衡量自变量对因变量整体变化的解释程度。
它是观测值与因变量均值之间的偏离程度的总和，可以被表示为所有观测值与均值之间差异的平方和。
总离差平方和可以通过以下公式计算得到：SST = Σ(yᵢ - ȳ)²其中，yᵢ代表第i个观测值，ȳ代表所有观测值的均值，Σ表示求和运算。
2.2 回归平方和的定义：回归平方和（Regression Sum of Squares, SSR）描述了自变量对因变量造成的波动或变异。
它衡量了自变量对因变量能够解释的部分，并用于评估模型拟合优度。
第2节 一元线性回归效果的显著性检验
Y
yi
yˆ aˆ bˆx
yi yˆ i
yi y
y
yˆ i y
o
xi
X
3
yi y ( yˆ i y) ( yi yˆ i )
由于 aˆ y bˆx , 即 y aˆ bˆx , 因此有
n
n
( yˆ i y)( yi yˆ i ) (aˆ bˆxi y)( yi aˆ bˆxi )
独立的随机变量，且都服从零均值同方差的正态分布，
即 i ~ N (a bxi , 2 ) ( 2 是与 x 无关的未知数)，
可以证明，
E(bˆ) b, E(aˆ) a, E( Q ) 2 ,
n2
即aˆ, bˆ, Q 分别是a, b, 2 的无偏估计量,
n 2
记 S2 Q . n2
12
如 b 0，则Y a , 说明x 对 Y 没有线性影响，
i 1
又 yˆ i 是回归直线上的纵坐标，因此，yˆ1, yˆ 2 , yˆ n 的
分散性来源于 x1 , x2 , xn 的分散性 , 它是通过 x 对 Y
的相关关系引起的，因此 U 称为回归平方和. 6
n
n
U ( yˆ i y)2 , Q ( yi yˆ i )2 , l yy U Q .
税收总额 Y
1
142.08
3.93
2
177.31
5.96
3
204.68
7.85
4
242.88
9.82
5
316.24
12.51
6
341.99
15.55
7
332.69
应用回归分析第四版课后习题答案_全_何晓群_刘文卿
实用回归分析第四版第一章回归分析概述1.3回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1一元线性回归有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)=σ2i=1,2, …,nCov(εi,εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(X i, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, σ2) i=1,2, …,n2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i=0 。
证明：∑∑+-=-=niiiniXYYYQ12121))ˆˆ(()ˆ(ββ其中：即： ∑e i =0 ，∑e i X i =02.5 证明0ˆβ是β0的无偏估计。
证明：)1[)ˆ()ˆ(1110∑∑==--=-=ni i xxi n i i Y L X X X Y n E X Y E E ββ )] )(1([])1([1011i i xx i n i i xx i ni X L X X X n E Y L X X X n E εββ++--=--=∑∑==1010)()1(])1([βεβεβ=--+=--+=∑∑==i xx i ni i xx i ni E L X X X nL X X X n E 2.6 证明 证明：)] ()1([])1([)ˆ(102110i i xxi ni ixx i ni X Var L X X X n Y L X X X n Var Var εβββ++--=--=∑∑== 222212]1[])(2)1[(σσxx xx i xx i ni L X n L X X X nL X X X n +=-+--=∑=2.7 证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR证明：2.8 验证三种检验的关系，即验证： （1）21)2(r r n t --=；（2）2221ˆˆ)2/(1/t L n SSE SSR F xx ==-=σβ 01ˆˆˆˆi i i i iY X e Y Y ββ=+=-())1()1()ˆ(222122xx ni iL X n X XX nVar +=-+=∑=σσβ()()∑∑==-+-=-=n i ii i n i i Y Y Y Y Y Y SST 1212]ˆ()ˆ[()()()∑∑∑===-+--+-=ni ii ni i i i ni iY Y Y Y Y Y Y Y 12112)ˆˆ)(ˆ2ˆ()()SSESSR )Y ˆY Y Y ˆn1i 2ii n1i 2i +=-+-=∑∑==0100ˆˆQQββ∂∂==∂∂证明：（1）ˆt======（2）2222201111 1111ˆˆˆˆˆˆ()()(())(()) n n n ni i i i xxi i i iSSR y y x y y x x y x x Lβββββ=====-=+-=+--=-=∑∑∑∑2212ˆ/1ˆ/(2)xxLSSRF tSSE nβσ∴===-2.9 验证（2.63）式：2211σ)L)xx(n()e(Varxxii---=证明：0112222222ˆˆˆvar()var()var()var()2cov(,)ˆˆˆvar()var()2cov(,())()()11[]2[]()1[1]i i i i i i ii i i ii ixx xxixxe y y y y y yy x y y x xx x x xn L n Lx xn Lβββσσσσ=-=+-=++-+---=++-+-=--其中：222221111))(1()(1))(,()()1,())(ˆ,(),())(ˆ,(σσσββxxixxiniixxiiiniiiiiiiiLxxnLxxnyLxxyCovxxynyCovxxyCovyyCovxxyyCov-+=-+=--+=-+=-+∑∑==2.10 用第9题证明是σ2的无偏估计量证明：2221122112211ˆˆ()()()22()111var()[1]221(2)2n ni ii in niii i xxE E y y E en nx xen n n Lnnσσσσ=====-=---==----=-=-∑∑∑∑第三章2ˆ22-=∑neiσ1.一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R 2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？ 答：不能断定这个回归方程理想。
经济计量学第四讲(3)线性回归模型的矩阵方法
2
k
东北财经大学数量经济系
二、计算E(uu’)
E (u u )
u1 u 2 u E 1 u n
u2
E ( u 12 ) E (u 2 u 1 ) un E (u n u 1 )
第四节 判定系数的矩阵表示（1）
一、公式及其推导 总离差平方和分解 TSS： ESS： RSS： 定义：
(Y i Y )
2
y y n Y
2
2 ˆ ˆ (Y i Y ) β X y n Y
2
ˆ ˆ ˆ u u y y β X y
ˆ β X y n Y y y n Y
2 i
ˆ ˆ cov( 1 , k ) ˆ , ) ˆ cov( 2 k ˆ ) var( k
ˆ
u
nk
ˆ ˆ u u nk
东北财经大学数量经济系
三、OLS向量的性质
（一）线性性 （二）无偏性 （三）最小方差性
东北财经大学数量经济系
F
无约束回归中的参数个数
东北财经大学数量经济系
第六节 用复回归做预测的矩阵表述
一、均值预测 二、个值预测
三、均值预测的方差
四、个值预测的方差
东北财经大学数量经济系
一、均值预测
已知
x 1 0 X
02
X
03
X
0k
ˆ Y0
根据
ˆ ˆ Yi x β i
ˆ ˆ (Y 0 x 0 ) x 0 β
r1 k r2 k 1
实验数据分析方法_回归分析
例 试利用40个B型旋涡星系SD的氢含量(MH／MT)、色 指数(B－V)0的资料，求出它们之间的回归关系，并检验 回归结果是否显著。（见书P125）
实验数据分析方法_Chap.6
14
(二) 相关系数检验法
回归平方和U反映了在y的总变化中由于x与y的线
性关系而引起的部分。因此，可以用U在总平方
和lyy中所占的比例大小来衡量回归效果好坏．通
实验数据分析方法_Chap.6
9
6.1.2 回归方程的显著性检验
在前一小节中，我们在两个变量大致成线性关系的假定下，利 用最小二乘法得到了描述这两个变量相关关系的回归直线方程。 就这种数学方法本身而言，可以不加任何条件的约束：对任一
组数据(xk,yk),k＝1-N，都可由回归方程组求出一组b0,b, 从而得
常，用r2表示比值U／lyy，并称 的相关系数。
ra
Fa(为1,Nx与2)y
(N2)Fa(1,N2)
由r的定义可知r＜l。当r的绝对值较大时，说明y与x的线 性相关较密切；r的绝对值较小时，说明y与x的线性相关程 度较弱，这时散点离回归直线较分散；当r＝1时，所有的 点都在回归直线上，表示y与x完全线性相关；而当r＝0时， 则表示y与x毫无线性关系。下图显示了不同线性相关系数
衡量回归效果好坏的标准
在回归分析中，通常把因变量y看作为随机变量，并称某
一次观测的实际观测值yk与它的平均值 y 的差 y k 为y 离差， N次观测的离差平方和称为总平方和，用lyy表示，即:
实验数据分析方法_Chap.6
N
lyy ( yk y)2,10 k 1
将总平方和进行分解，有: ly y(y k y )2 (y k y ˆk) (y ˆk y )2
生物统计：方差分析
方差分析第五章所介绍的t 检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。
这时，若仍采用t 检验法就不适宜了。
这是因为：1、检验过程烦琐 例如，一试验包含5个处理，采用t 检验法要进行25C =10次两两平均数的差异显著性检验；若有k 个处理，则要作k (k-1)/2次类似的检验。
2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。
若用t 检验法作两两比较，由于每次比较需计算一个21x x S ，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。
例如，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。
进行t 检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。
可见，在用t 检法进行检验时，由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。
3、推断的可靠性低，检验的I 型错误率大 即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t 检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I 型错误的概率，降低推断的可靠性。
由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t 检验，须采用方差分析法。
方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家R.A.Fisher 于1923年提出的。
这种方法是将k 个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。
平方和分解式sst=ssr+sse证明
平方和分解式是统计学中常用的一种分析方法，它可以将总的平方和拆分为回归平方和和误差平方和两部分，从而帮助我们更好地理解数据的变化和解释模型的拟合程度。
在实际应用中，平方和分解式也是评价回归模型拟合优度和进行方差分析的重要工具之一。
一、平方和分解式在一元线性回归模型中，我们通常使用最小二乘法拟合直线，得到回归方程y = β0 + β1x其中，β0为截距，β1为斜率，表示因变量y随自变量x的变化而变化的程度。
当我们得到回归方程后，需要衡量拟合程度，这时就需要用到平方和分解式。
平方和分解式的一般形式为SST = SSR + SSE其中，SST为总的平方和，SSR为回归平方和，SSE为误差平方和。
下面我们来逐步证明这一平方和分解式。
二、总的平方和SST总的平方和SST表示因变量y的变化总和，是衡量因变量y离其均值的距离总和的平方。
其计算公式为SST = ∑(yi - ȳ)²其中，yi为第i个观测值，ȳ为因变量y的均值。
SST衡量了所有观测值相对于均值的总离差量，反映了因变量y的变异程度。
三、回归平方和SSR回归平方和SSR表示回归方程对因变量y的解释能力，是由回归方程所解释的因变量y的变异程度。
其计算公式为SSR = ∑(ŷi - ȳ)²其中，ŷi为第i个观测值的拟合值，ȳ为因变量y的均值。
SSR衡量了回归方程对因变量y变异的解释程度，反映了回归方程对数据变化的解释能力。
四、误差平方和SSE误差平方和SSE表示回归方程无法解释的因变量y的变异程度，是由回归方程无法解释的因变量y的变异程度。
其计算公式为SSE = ∑(yi - ŷi)²其中，yi为第i个观测值，ŷi为第i个观测值的拟合值。
SSE衡量了回归方程无法解释的因变量y的变异程度，反映了数据中未被回归方程解释的部分。
五、平方和分解式证明现在我们来证明平方和分解式SST = SSR + SSE。
根据SST、SSR和SSE的定义，我们可以得到下面的推导过程：1. 我们知道SST = ∑(yi - ȳ)² = ∑(yi - ȳ + ŷi - ŷi)²2. 展开得到SST = ∑(yi - ȳ)² + ∑(ŷi - ȳ)² + 2∑(yi - ȳ)(ŷi - ȳ)3. 注意到回归方程的拟合值为ŷi = β0 + β1xi，代入第二个求和式得到SST = ∑(yi - ȳ)² + ∑(β0 + β1xi - ȳ)² + 2∑(yi - ȳ)(β0 + β1xi - ȳ)4. 继续化简可得SST = ∑(yi - ȳ)² + ∑(β0 - ȳ)² + 2β1∑(xi - xȳ)(yi - ȳ)5. 注意到∑(yi - ȳ)² = SST，∑(β0 - ȳ)² = nβ0² 和2β1∑(xi - xȳ)(yi - ȳ) = 2β1xy。
r方等于r方证明
r方等于r方证明要证明r方等于r方，我们可以使用线性回归模型的相关公式来推导。
首先，我们假设有一个线性回归模型：y = β0 + β1 * x + ε其中，y是因变量，x是自变量，β0和β1是待估计的系数，ε是误差项。
我们知道，线性回归模型的目标是最小化误差项的平方和（SSE）。
SSE的公式如下：SSE = Σ(y - ŷ)²其中，y是观测到的因变量值，ŷ是根据线性回归模型预测的因变量值。
我们可以将ŷ代入SSE的公式：SSE = Σ(y - (β0 + β1 * x))²为了最小化SSE，我们需要找到使得SSE达到最小值的β0和β1。
我们可以通过最小二乘法来求解。
首先，我们对β0和β1分别求偏导数，并令其等于0：∂SSE/∂β0 = -2Σ(y - (β0 + β1 * x)) = 0∂SSE/∂β1 = -2Σx(y - (β0 + β1 * x)) = 0解上述方程组，可以得到β0和β1的估计值。
将估计值代入线性回归模型，可以得到最终的预测值ŷ。
接下来，我们定义总平方和（SST）和回归平方和（SSR）的概念：SST = Σ(y - ȳ)²SSR = Σ(ŷ - ȳ)²其中，ȳ是因变量y的均值。
根据统计学的定义，我们可以得到以下关系：SST = SSR + SSE将SSE的表达式代入上述等式，可以得到：SST = SSR + Σ(y - (β0 + β1 * x))²我们可以进一步将SSR和SST分别除以总平方和的标准差（SSTO）：SSR/SSTO = SSR/SST = 1 - SSE/SST定义R方（coefficient of determination）为SSR/SST，即：R² = SSR/SST = 1 - SSE/SST因此，我们可以得出结论：r方等于r方，即R² =SSR/SST = 1 - SSE/SST。
回归平方和和残差平方和计算公式
回归平方和和残差平方和是统计学中常用的两个概念，它们在回归分析和方差分析中起着至关重要的作用。
在进行统计建模和分析时，我们经常需要计算回归平方和和残差平方和，以评估模型拟合的好坏程度以及分析变量间的关系。
一、回归平方和的计算公式回归平方和（SSR）是用来衡量回归模型的拟合程度的统计量。
它表示了因变量的变异中被自变量或自变量的线性组合解释的部分。
回归平方和的计算公式如下：SSR = Σ(ŷi - Ȳ)²其中，ŷi表示第i个观测值的预测值，Ȳ表示因变量的均值，Σ表示求和运算。
回归平方和衡量了因变量的变异中被回归模型解释的部分，它越大表示模型的拟合程度越好。
二、残差平方和的计算公式残差平方和（SSE）是用来衡量回归模型的拟合程度的另一个统计量。
它表示了因变量的变异中不能被自变量或自变量的线性组合解释的部分。
残差平方和的计算公式如下：SSE = Σ(yi - ŷi)²其中，yi表示实际观测值，ŷi表示对应观测值的预测值，Σ表示求和运算。
残差平方和衡量了因变量的变异中不能被回归模型解释的部分，它越小表示模型的拟合程度越好。
三、回归平方和和残差平方和的关系在回归分析中，回归平方和和残差平方和有着密切的关系。
回归平方和与残差平方和之和等于因变量的总变异，即：SSR + SSE = SST其中，SST表示因变量的总变异，是因变量观测值与均值之差的平方和。
这个公式可以用几何直观的方式理解，即总变异等于模型解释的部分加上模型不能解释的部分。
通过计算回归平方和和残差平方和，我们可以得到关于模型拟合程度的丰富信息。
四、回归平方和和残差平方和的应用回归平方和和残差平方和在统计分析中有着广泛的应用。
在回归分析中，我们经常使用这两个统计量来评价回归模型的拟合程度。
如果回归平方和较大，残差平方和较小，那么说明回归模型能够较好地解释因变量的变异，模型拟合较好；反之，则需要重新考虑模型的适用性。
在方差分析中，回归平方和和残差平方和也被用于计算F统计量，以检验因子对因变量的影响是否显著。
一元与多元线性回归模型的主要计算公式
⼀元与多元线性回归模型的主要计算公式⼀元与多元线性回归模型的主要计算公式公式名称计算公式
序
号
1真实的回归模型y t = β0 + β1 x t + u t
2估计的回归模型
y t =+x t +
3真实的回归函数E(y t) = β0 + β1 x t
4估计的回归函数
=+x t
5最⼩⼆乘估计公
式
6
和的⽅差
7σ2的⽆偏估计
量= s2 =
8
和估计的
⽅差
9总平⽅和
∑(y t -) 2
10回归平⽅和
∑(-) 2
11误差平⽅和
∑(y t -)2 = ∑()2
12可决系数（确定
系数）
13检验β0，β1 是否
为零的t统计量
14β1的置信区间
-tα(T-2) ≤β1≤+tα(T-2) 15单个y T+1的点预
测=+x T+1
16E(y
T+1
)的区间预
测
17单个y
T+1
的区间
预测
18样本相关系数
1真实的回归模
型
Y= X β+ u
= X
= (X 'X)-1X 'Y
= s2 ='/ (T - k)
() =(X 'X)-1
T
+
s
是控制z t不变条件下的x t, y t的简单相关系数。
是y t与的简单相关系数。
其中是y t对x t1,x t2,…x tk–1。
【分析】应用回归分析课后习题参考答案全部版何晓群刘文卿
【关键字】分析第一章回归分析概述1.2 返回分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有返回分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有a.在返回分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在返回分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而返回分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由返回方程进行预测和控制。
1.3 返回模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性返回模型的基本假设是什么？答：线性返回模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip 是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.第二章一元线性返回分析思考与练习参考答案2.1 一元线性返回有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)= 2 i=1,2, …,nCov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, 2 ) i=1,2, …,n2.3 证明（2.27式），ei =0 ，eiXi=0 。
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Ｙ２ — 。Ｙ
● ● ●
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１ Ｙ ＝ Ｙ—
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因为 彳 为幂等阵， 即ｒ ＝． ｒ ， Ｔ＝ ， 所以有
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…
其 中 Ｙ＝（ Ｙ ， Ｙ ， …， Ｙ ） 是 观 察 值 向量 ； ＝
（ ２ 一 ， 面 ） Ｊ ＝１ ， ２ ， …， ｍ 由试 验设 计来 确 定 ；
ｙ
在线性统计模型中总平方和Ｓ Ｓ ： ∑ （ ｙ 一
１ 预备 知识
在 一个 试 验 设 计 中 ， 当 被 考 虑 因子 （ 包 括 交 互 作用） 个 数 多到使 得 需 估 计参 数 的个 数 达到 可 估 计
参数 的最大个数时 ， 这样的试验设计称为饱和设计． 当一个饱 和设 计 又 为 一个 正 交 设 计 时 ， 称 为 正 交 饱
…
） ｎ × 中 ＝ 南 一 籍 ＿ １ ， ２ ，
，
ｍ， 特 别地 ， 当Ｐ 。：Ｐ ：＝ …Ｐ ＝Ｐ时 ， 可取 ＝
误差平方和等于零 ， 从而使总平方和 ｓ ｓ 与各列 的 效 应平 方和 之 间有 如 下总平 方 和分 解公 式
Ｓ Ｓ ｒ＝Ｓ Ｓ １ ＋Ｓ Ｓ ２＋… ＋ｓ Ｓ ， ｆ Ｔ＝ ＋ 十… ＋ 成 立．
第３ ５卷第 １ 期
２ ０ １ ４年 ２月
通 化 师 范 学 院 学 报 （自然科 学）
Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬ ＯＦ Ｔ ＯＮ ＧＨＵＡ ＮＯＲ ＭＡＬ Ｕ ＮＩ ＶＥＲ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖｏ １ ． ３ ５ Ｎｏ １ Ｆ ｅ ｂ．２０１ ４
线 性 模 型 中 总 平 方 和 分 解 公 式 的 证 明
（ Ⅱ ） ＝ （ 。 — １ ） ‘ 三 ＿ 『 一 １ 为 正 交 表 Ｈ 的 元 素 的
正交化 变 化． 具体的， 当Ｐ ＝２时 ， ＝一１ ， ｌ ； 当Ｐ ：
３ 时， ＝ 一 １ ， ０ ， １ ； 当 ｐ＝ ４ 时， ＝ 一 １ ， 一 每， 专， １ ．
和设 计 ． 对 于给 定 的正交 设计 Ｈ ＝Ｌ （ Ｐ ， Ｐ ： ， …， Ｐ ）＝
） ， 其 自 由 度 ＝ ｎ 一 １ ， 寺 ） ， ＝ 一 ： ｌ ， ；
５ ＝ ０ ∑（ 五 一 ） Ｙ ￣ｊ Ｙ Ｏ （ 或因 子 ） 的 效 应平 方
Ｅ ｈ
．
Ｉ
２ 主要研究结果及证 明
由 于Ｓ Ｓ ＝∑ （ ｙ 一 ） ＝（ ｙ ｔ 一 ， 一 ， …，
ｉ ＝ｌ
１
Ｏ ０ Ｏ ０ ｌ ０
３
ｙ１一 ｙ
—
Ｙｌ — 。Ｙ
—
ｙｌ
Ｙ ２— —Ｙ
，
● ● ●
其 中
矩阵 Ｘ ＝（ 。 ， ， …， ）为上述 正 交表 所 对应 的 设计阵； 卢 ＝（ ／ ３ ｏ ， ） Ｂ ｌ ， …， 卢 ） ’ ； ＝（ ｓ ｊ ， ２ ， …， ）
是误 差 向量 ， 且 （ ｉ： １ ， ２ ， …， ｎ ）是 相 互独 立 同分
布 的随机 变 量 ， 且 有 占 ～Ｎ（ ０ ， ｏ ｒ ， ） ． 由于模 型 （ １ ） 是基 于正交饱和设计 ， 故 此 时 的
故 ｙ ｒ （ ￣ｄ ｉ ａ ｇ （ Ｐ ３ ， Ｐ ， ， Ｐ ３ ） 一Ｐ ） Ｙ＝
Ｙｌ
０ ０ ０ ０ ０ ０
—
Ｐ ， ） Ｙ＝ ， ｜ ｓ ． ｓ ｒ＝ （ 丁 ｙ ） ｒ ｒ Ｙ＝ｙ Ｔ 下 Ｔ Ｙ ： ｙ 丁 ｙ
（ ｙ １ ， Ｙ ２ ９ ｏ ｏ ｏ ， Ｙ ９ ） ｒ ２ ｄ ｉ ａ ｇ （ Ｐ ３ ， Ｐ ３ ， Ｐ ３ ）
王剑 红 ， 杨素芳
（ 山西药科职业学院 基础部 ， 山西 太原 ０ ３ ０ ０ ３ １ ）
对 于 正交饱 和 设 计 问题 ， 通 常 可用 如下 的线 性 统 计模 型来 描述
Ｙ＝卢 ｏ １ ＋卢 ｌ 戈 ｌ＋… ＋ 卢 ｍ ｍ＋ ＝ ＋占 （ １ ）
（ ａ ） ， 其中 Ｉ ｔ为 行 数 ， ｍ 为列 数 （ 因子 个数 ） ， Ｐ ｊ （ ｊ＝ １ ， ２ ， …， ｍ）为第 列 的水 平 数 ， 各个 Ｐ 可 以
和， ＝ｐ ， 一１ 为 第ｊ Ｎ 平方 和 的 自由度 ， Ｊ＝１ ， ２ ， …，
｝ 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４—０ ｌ一 ０ ５
作者简介 ： 王剑红（ １ ９ ７ １一） ， 山西汾阳人 ， 硕士 ， 讲师
・
３ ２・
ｔ ｎ ．
：＿ 『
‘
１∑ ｙ ．
，
ｎ ， ｊ＝ １ ， ２ ， ３ ， …， ｍ． 其中 ， 完 全正 交 设 计 是 指 上
述正交 设计 满 足 如 下 的 等 式 ． Ｉ ｔ一１ ＝ （ Ｐ 。一 １ ）＋
（ Ｐ ２—１ ）＋… ＋（ ｐ 一１ ） ． 相应 于 此正 交设 计 Ｈ ＝ （ ａ ， ａ ２ ， ａ ， …， ａ ）＝ （ ａ ） ， 取设计 阵为 Ｘ ＝
令Ｉ ｎ ： 表示 阶单位 矩 阵 ； １ ： 表示 元素 全 为 １ 的
这篇 文 章我们 给 出了总平 方 和 ． ｓ 与各列 的效 应平 方 和 ｓ ｓ ｊ 之 间的矩 阵证 明方 法 ， 优 化 了文 献 ［ １ ］
中对 其 的证 明．
ｎ 维 列 向 量； Ｐ ＝ ÷ ｌ ｌ ．