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浙江省杭州市2015年高考数学二模试卷理(含解析)

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2015届高考数学总复习 第五章 第五节数列的求和课时精练试题 文(含解析)

2015届高考数学总复习 第五章 第五节数列的求和课时精练试题 文(含解析)

1.(2012·佛山二模)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＝10，a 2＝9，那么下列不等式中不成立的是( )A ．a 10＋a 11>0B ．S 21<0C ．a 11＋a 12<0D ．n ＝10时，S n 最大解析：依题意可得d ＝－1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－n ，所以a 10＝1，a 11＝0，a 12＝－1，a 10＋a 11>0，S 21＝21a 11＝0，a 11＋a 12＝－1<0，n ＝10或11时，S n 最大．故选D.答案：D 2．(2013·皖北模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42解析：∵{a n }成等差数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列． ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．即2×(10－2)＝2＋S 6－10.∴S 6＝24. 故选C. 答案：C3．(2013·江南十校联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .故选C.答案：C4．(2013·浙江省五校联盟下学期第一次联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．85B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4得a 3＝2，由a 3＋a 5＝10，得a 4＝5，设公差为d ，则d ＝a 4－a 3＝3，所以a 5＝8，a 6＝11，所以S 10＝a 1＋a 102＝a 5＋a 62＝95.故选C.答案：C5．(2012·北京海淀区模拟)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5a 2n －5＝22n (n ≥3)，得a 2n ＝22n ，a n >0，则a n ＝2n.所以log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n－1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.故选C.答案：C6．(2013·西安模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n－1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1 020，则2n ＋1－2－n >1 020，∴n ≥10. 故选D. 答案：D7．(2013·福州质检)在正项等比数列{a n }中，已知a 3·a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：a 1＋a 7≥2a 1a 7＝2a 3a 5＝264＝16，当且仅当a 3＝a 5＝8时，a 1＋a 7取得最小值16，此时数列{a n }是常数列．答案：C8．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n 4D ．n 2＋n解析：设数列的公差为d ，则根据题意得()2＋2d 2＝2()2＋5d ，解得d ＝12或d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n n －2×12＝n 24＋7n4.故选A.答案：A9．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为________．解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：12010．观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0092.答案：1 00511．(2012·汕头模拟)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为______颗；第n 件工艺品所用的宝石数为______________颗(结果用n 表示)．答案：66 2n 2＋3n ＋112．(2013·苏州模拟)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4. ∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10. 答案：10 4n －213．(2013·佛山一模)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b na n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n，又a 1＝S 1＝21＋1－2＝2，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.b 1＝a 1＝2，设公差为d ，由b 1，b 3，b 11成等比数列，得(2＋2d )2＝2×(2＋10d )，化为d 2－3d ＝0. 解得d ＝0(舍去)或d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可得C n ＝b n a n ＝3n －12n ，则T n ＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ，∴2T n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，两式相减得T n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n ，＝2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .14．(2013·河南六市第二次联考文改编)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列．(1)已知数列{a n }的前6项和为23，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )，所以a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0， 所以a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前6项和为23，可得S 6＝6a 1＋6×52d ＝23，即6a 1＋15d ＝23，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝13(n ＋8)(n ∈N *)．(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 219－1n ＋9＝19－1n ＋9， 所以d 2＝1，即d ＝1或d ＝－1. 15．(2012·东莞一模)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的图象经过点A (2,1)和B (5,2)，记a n ＝3f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若T n ＜m (m ∈Z )对n ∈N *恒成立，求m 的最小值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 3a ＋b ＝1，log 3a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 所以f (x )＝log 3(2x －1)，a n ＝3log 3(2n －1) ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝2n －12n ，所以T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋…＋2n －52n －1＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②得 12T n ＝121＋222＋223＋…＋22n －1＋22n －2n －12n ＋1＝121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋122＋…＋12n －2＋12n －1－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1. 所以T n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，设f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)，则由f n ＋fn ＝2n ＋52n ＋12n ＋32n ＝2n ＋5n ＋＝12＋12n ＋3≤12＋15＜1，得f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)随n 的增大而减小，T n 随n 的增大而增大． 所以当n →＋∞时，T n →3，又T n ＜m (m ∈Z )恒成立，所以m 的最小值为3.。

2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(真题测试)含详解

2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(真题测试)含详解

专题4.2 应用导数研究函数的单调性（真题测试）一、单选题1.（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ） A ．2yxB ．sin y x x =+C ．||2x y =D ．tan y x =2．（2015·陕西·高考真题（文））设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数3．（2016·全国·高考真题（文））函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4.（2009·湖南·高考真题（文））若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2013·全国·高考真题（理））若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞6．（2015·福建·高考真题（理））若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 7．（2011·辽宁·高考真题（文））函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1-B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),-∞+∞8．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤ D ．e e a b b a >二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef >C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()tf x e f x t <+10．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数a ，b ，c 满足1log b ac c b a <<<，则一定有（ ）A ．1a <B ．a b <C ．b c <D ．c a <11．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（ ）A ．()f x 在[]1,2上单调递减 B ．()00f =C ．()20222022f =D ．()20231f '=12．（2021·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数()xf x xe ax =+.则下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，min ()0f x =B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图像相切C ．若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上，()2f x x ≤恒成立，则1a e -≤三、填空题13．（2009·江苏·高考真题）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____.14．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，定义域为(0,)+∞，且满足'()()0xf x f x -<，则不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-恒成立时m 的取值范围为__________.15．（2022·江苏盐城·三模）已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x '->，则不等式()223x f x e +≥的解集为__________．16．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知函数()33x f x ax b =-+，则对任意的x ∈R ，存在a 、b （其中a 、b ∈R 且1a ≥），能使以下式子恒成立的是___________.①()()221f x f x ≤+；②()()2021f x f x +-=；③()()21f x f a -≤+；④()()221a f x f ->-.四、解答题17．（2014·全国·高考真题（文））函数f(x)=ax 3+3x 2+3x(a≠0). （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.18．（2008·四川·高考真题（文））设1x =和2x =是函数()531f x x ax bx =+++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）求()f x 的单调区间19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.20．（2014·山东·高考真题（文））设函数若，求曲线处的切线方程；讨论函数的单调性.21．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．22．（2022·江苏江苏·三模）设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+.(1)当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 在R 上单调递增，求a .专题4.2 应用导数研究函数的单调性（真题测试）一、单选题1.（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ） A ．2yxB ．sin y x x =+C ．||2x y =D ．tan y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案. 【详解】容易判断()3R y x x =∈是奇函数，且在R 上是增函数，而2||,2x y x y ==是偶函数，tan y x =在R 上不是增函数，所以排除A,C,D.对B ，函数()sin R y x x x =+∈是奇函数，且1cos 0y x '=+≥，则函数在R 上是增函数. 故选：B.2．（2015·陕西·高考真题（文））设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B ．3．（2016·全国·高考真题（文））函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.4.（2009·湖南·高考真题（文））若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵函数y=f （x ）的导函数在区间[a ，b]上是增函数，∴对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，有也即在a,x 1,x 2,b 处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，对于B 存在使，对于C 对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，都有，对于D 对任意的x ∈[a ，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A ．5．（2013·全国·高考真题（理））若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由条件知()2120f x x a x -'=+≥在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立． ∵函数212y x x =-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max21123212y <-⨯=⎛⎫⎪⎝⎭, ∴．故选D ．6．（2015·福建·高考真题（理））若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】 【详解】试题分析：令()g()x f x kx =-，则()'()0g x f x k '=->，因此1111g()(0)(0)1111111k k g f f f k k k k k k ⎛⎫⎛⎫>⇒->⇒>-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭，所以选C. 7．（2011·辽宁·高考真题（文））函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()24g x f x x =--，利用导数判断出函数()y g x =在R 上的单调性，将不等式()24f x x >+转化为()()1g x g >-，利用函数()y g x =的单调性即可求解. 【详解】依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()20g x f x ''=->. 所以函数()y g x =在R 上单调递增，又因为()()11240g f -=-+-=. 所以要使()()240g x f x x =-->，即()()1g x g >-，只需要1x >-，故选B. 8．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤ D ．e e a b b a >【答案】D 【解析】 【分析】对于A,B ，构造函数()e ln x f x x =-，利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较()e ln ,()e ln abf a a f b b =-=-，可判断A,B ；对于C,D, 设e g()=x x x,利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较(),()g a g b ，可判断C,D. 【详解】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e xf x x '=-，当01x <<时，1()e xf x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>>故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=，则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增， 由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定， 故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x -'，当01x <<时，()0g x '<，故eg()=xx x单调递减，所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e ea b a b> ，即e e a b b a >，故C 错误，D 正确， 故选：D 二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef >C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()tf x e f x t <+【答案】AD 【解析】 【分析】构造函数()xy e f x =，由已知可得函数单调递增，即可判断选项ABD ，举特例可判断选项C.【详解】由()()0f x f x +'>，得()()0x x e f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()x y e f x =为R 上的增函数，故()()2021202220212022e f e f <，所以()()20212022f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如()12x f x =，显然()x e f x 是增函数，但()f x 是减函数，所以C 不正确；因为函数()x e f x 为增函数，所以0t >时，有()()x x t e f x e f x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确.故选：AD.10．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数a ，b ，c 满足1log b ac c b a <<<，则一定有（ ）A ．1a <B ．a b <C ．b c <D ．c a <【答案】AB 【解析】 【分析】根据1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈，进而判断出1a c <<，A 正确； 构造()ln xf x x=，0x >得到单调性，从而求出a b <，B 正确；CD 选项可以举出反例. 【详解】由正实数a ，b ，c ，以及1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈， 又log 1log c c a c >=，所以1a c <<． 所以b b a c <，又b a c b <，所以b a a b <， 即ln ln b a a b <，等价于ln ln a ba b<， 构造函数()ln xf x x=，0x > ()21ln xf x x -'=， 当()0,1x ∈时，()21ln 0xf x x -'=> 故()ln xf x x=在()0,1上递增，从而a b <． 又取b c =时，原式为1log b ab b b a <<<同样成立，故CD 不正确，故选：AB 11．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（ ）A ．()f x 在[]1,2上单调递减B ．()00f =C ．()20222022f =D ．()20231f '=【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可. 【详解】 方法一：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确， 对于C 和D ，设()()g x f x x =-，则()g x 为R 上可导的奇函数，()00g =，由题意()()1111f x x f x x -+-=+--，得()()11g x g x -=+，()g x 关于直线1x =对称， 易得奇函数()g x 的一个周期为4，()()()2022200g g g ===，故C 正确，由对称性可知，()g x 关于直线1x =-对称，进而可得()10g '-=，（其证明过程见备注） 且()g x '的一个周期为4，所以()()202310g g '='-=，故D 正确．备注：()()11g x g x -=+，即()()11g x g x --=-+，所以()()11g x g x -+=--， 等式两边对x 求导得，()()11g x g x '-+=-'--， 令0x =，得()()11g g '-=-'-，所以()10g '-=． 方法二：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确，对于C ，将()()1120f x f x x --++=中的x 代换为1x +，得()()2220f x f x x --+++=，所以()()222f x f x x ++=+，可得()()4226f x f x x +++=+，两式相减得，()()44f x f x +-=，则()()624f f -=，()()1064f f -=，…，()()202220184f f -=， 叠加得()()202222020f f -=，又由()()222f x f x x ++=+，得()()2022f f =-+=， 所以()()2022220202022f f =+=，故正确，对于D ，将()()1120f x f x x --++=的两边对x 求导，得()()1120f x f x ''---++=， 令0x =得，()11f '=，将()()f x f x --=的两边对x 求导，得()()f x f x '-='，所以()11f '-=， 将()()44f x f x +-=的两边对x 求导，得()()4f x f x ''+=， 所以()()()2023201911f f f '''==⋅⋅⋅=-=，故正确． 故选：BCD12．（2021·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数()xf x xe ax =+.则下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，min ()0f x =B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图像相切C ．若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上，()2f x x ≤恒成立，则1a e -≤【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ：当0a =时，()e xf x x =，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()f x 的单调性，从而求得函数()f x 的最小值；对于B ：当1a =时，()e +xf x x x '=，求导函数，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000e +e +e +1x x x y x x x x x -=-，由切线过原点，求得00x =，继而求得过原点的切线方程；对于C ：问题等价于()+e 0xf x x x a '=+≥在区间[)0,∞+上恒成立，分离参数得e x a x x ≥--在区间[)0,∞+上恒成立，令()e xg x x x =--，求导函数，分析导函数的符号，得函数()g x 的单调性和最值，由此可判断；对于D ：问题等价于2e x x x ax +≤在区间[]0,1上恒成立，0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，分离参数e x a x ≤-，令()e xh x x =-，求导函数，分析()h x '的符号，得函数()h x 的单调性和最值，由此可判断.【详解】对于A ，当0a =时，()()()e ,1e x xf x x f x x ==+'，易知函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，()min 1()1ef x f ∴=-=-，故选项A 不正确；对于B ，当1a =时，()()()()e ,1e 1,02x xf x x x f x x f +''=+=+=，∴函数()f x 在()0,0处的切线方程为2y x =，故选项B 正确；对于C ，()()1e xf x x a =++'，若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()0f x '在[)0,∞+上恒成立，()1e x a x ∴-+，令()()1e ,0x g x x x =-+，则()()2e 0x g x x =-+<'， ∴函数()g x 在[)0,∞+上单调递减，()max ()01a g x g ∴==-，故选项C 错误；对于D ，当0x =时，a ∈R 恒成立；当(]0,1x ∈时，()2f x x 恒成立等价于2e x x ax x +恒成立，即e x a x +，即e x a x -恒成立，设()e ,01x h x x x =-<，则()10e xh x '=-<在(]0,1上恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递减，()min ()11e a h x h ∴==-，故选项D 正确.故选：BD. 三、填空题13．（2009·江苏·高考真题）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____. 【答案】(1,11)- 【解析】 【详解】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜11，所以单调减区间为(－1,11)．14．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，定义域为(0,)+∞，且满足'()()0xf x f x -<，则不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-恒成立时m 的取值范围为__________. 【答案】()2022,2024【解析】 【分析】 设()()f x F x x=，根据题意得到()0F x '<，得出函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，结合不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，得到020222m <-<，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()()0xf x f x '-<，可得2()'()()'0f x xf x f x x x -⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦， 设()()f x F x x=，可得()0F x '<，所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，又由2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，所以20220m ->，且(2022)(2)20222f m f m ->-，则020222m <-<，解得20222024m <<，即m 的取值范围为()2022,2024. 故答案为：()2022,2024.15．（2022·江苏盐城·三模）已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x '->，则不等式()223xf x e +≥的解集为__________． 【答案】[)0,+∞##{|0}x x ≥ 【解析】 【分析】 构造新函数()()22exf xg x +=，利用已知条件()()22f x f x '->，可以判断()g x 单调递增，利用()g x 的单调性即可求出不等式的解集 【详解】设函数()()22e x f x g x +=，则()()()()222221()22222e x x x x f x e e f x f x f x g x e '⋅-⋅⋅+⎡⎤⎣⎦'--'==⎛⎫ ⎪⎝⎭又()()22f x f x '-> ()0g x '∴>所以()g x 在R 上单调递增，又()()0023g f =+=故不等式2()23xf x e +≥ 可化为()(0)g x g ≥ 由()g x 的单调性可得该不等式的解集为[)0,+∞． 故答案为：[)0,+∞16．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知函数()33x f x ax b =-+，则对任意的x ∈R ，存在a 、b （其中a 、b ∈R 且1a ≥），能使以下式子恒成立的是___________.①()()221f x f x ≤+；②()()2021f x f x +-=；③()()21f x f a -≤+；④()()221a f x f ->-.【答案】①②③ 【解析】 【分析】取1a =-，0b =，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断①；取20212=b 可判断②；取1a =-，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断③；分1a ≤-、1a ≥两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断④. 【详解】对于①，取1a =-，0b =，则()33x f x x =+，()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，因为()221210x x x +-=-≥，即221x x ≤+，故()()221f x f x ≤+恒成立，①对；对于②，取1a =-，20212=b ，则()3202132x f x x =++，所以，()()33202120213232x x f x x x --=-+=--+，则()()2021f x f x +-=，②对； 对于③，当1a =-时，()33x f x x b =++，则()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，20x -≤，故()()21f x f a -≤+，③对；对于④，当1a ≥时，()2f x x a '=-.由()0f x '>可得x <x ()0f x '<可得x <此时，函数()f x 的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，所以，函数()f x 的极大值为(f b b =+>，极小值为fb b =<，20x ≥，所以，()2f x fb ≥=，1210a a --≤-<-<，所以，(()()210af f f b f->->=>，则()()221af x f ->-不恒成立；当1a ≤-时，()20f x x a '=->，则()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，211--≥a ，所以，()2f x 、()21af --的大小关系无法确定，④错.故答案为：①②③. 四、解答题17．（2014·全国·高考真题（文））函数f(x)=ax 3+3x 2+3x(a≠0). （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）5[,0)(0,)4-⋃+∞【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使()0f x '>或()0f x '<的解集即可. （2）分类讨论在区间（1，2）上使()0f x '>成立的条件，并求出参数a 的取值范围即可 试题解析：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x ++'==的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x=-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：12x x ==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；若a<0，则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '<，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是减函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '>，故f （x ）在（x 2，x 1）上是增函数；（2）当a>0，x>0时,()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<.综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-⋃+∞.18．（2008·四川·高考真题（文））设1x =和2x =是函数()531f x x ax bx =+++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）求()f x 的单调区间 【答案】（1）25,203a b =-= （2）单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，单调减区间是()()2,1,1,2-- 【解析】 【分析】（1）根据极值点为导函数的零点，且在零点两边导函数符号相反，列出方程组，求出a 和b 的值，代入检验是否符合要求；（2）在第一问的基础上求出导函数，解不等式，求出单调区间. 【详解】（1）因为()4253f x x ax b =++'，由题设知：()1530f a b '=++=()42225230f a b =⨯⨯+'+=，解得：25,203a b =-=，此时()53252013f x x x x +-=+，()()()422252520514f x x x x x =+=-'--，令()0f x '>得：2x <-或11x -<<或2x >，令()0f x '<得：21x -<<-或12x <<，故1x =是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点，满足要求，综上：25,203a b =-=； （2）由（1）知()()()()()()()42245351451212f x x ax b x x x x x x =++=--=++--'当()()(),21,12,x ∈-∞-⋃-⋃+∞时，()0f x '>；当()()2,11,2x ∈--⋃时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，()f x 的单调减区间是()()2,1,1,2-- 19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.（2）3420e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围. 【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当x ∈,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )<0；当x ∈ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )>0.故f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，f (x )取得最小值，最小值为f ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当且仅当a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥0，即0>a ≥342e -时，f (x )≥0. 综上a 的取值范围是[342e -，0]. 20．（2014·山东·高考真题（文））设函数若，求曲线处的切线方程；讨论函数的单调性.【答案】（1）210x y --=.（2）当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+，求切线的斜率，即1(1)2f '=，又(1)0f =，由直线方程的点斜式进一步整理，得到切线方程为210x y --=.（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，根据a 的不同情况，讨论导函数值的正负，以确定函数的单调性.其中0a ≥时，情况较为单一，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，再分12a =-，12a <-，102a -<<等情况加以讨论.试题解析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+， 此时22()(1)f x x ='+，可得1(1)2f '=，又(1)0f =， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=. （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++， 由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+， 当12a =-时，0∆=，221(1)2()0(1)x f x x x --=≤+'，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当12a <-时，0,()0g x ∆<<，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当102a -<<时，0∆>，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则1x =2x =由1x =0=>，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减， 12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，综上可知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.21．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞e e .【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===', 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x -'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,+∞e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=． 当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a g x g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意； 当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 由于1110e1,e 1e ln 0ln aaa a g a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln aa >，即eln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1ax xa=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x a x a=，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意． ②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x g x g x g x xx ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+． 当0011ln y x x x =-+与ln ()x a p x a =为同一直线时有00ln 1,ln 10,a ax x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<． 综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x xx x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==． 因为0x >，由()0f x '=得ln a x a=． 当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln aa >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a<<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减． 因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa a a a aa a a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a a a a a a a a -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->．令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠． 故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题， 方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.22．（2022·江苏江苏·三模）设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+.(1)当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 在R 上单调递增，求a .【答案】(1)在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增 (2)12 【解析】 【分析】（1）求得()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，得到()()e 2sin x g x a x +'=-，得到()y g x =在R 上单调递增，得到()y f x '=在R 上单调递增，结合()00f '=，即可求解；（2）令()e 1xh x x =--，利用导数求得()()00h x h ≥=，得到e 10x x --≥和e 1x x -≥-，令()sin x x x ϕ=-，得出0x ≥时，sin x x ≥；0x ≤，得到sin x x ≤，分0a ≤，102a <<，12a >和12a =，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. (1)解：因为()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+，可得()()e cos 21x f x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，则()()e 2sin xg x a x +'=-所以当0a ≤时，()0g x '>，函数()y g x =在R 上单调递增， 即函数()y f x '=在R 上单调递增，又由()00f '=，所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，所以当0a ≤时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增. (2)解：令()e 1x h x x =--，可得()e 1xh x '=-，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，又由()00h =，所以()()00h x h ≥=，即e 10x x --≥， 所以e 1x x ≥+，所以e 1x x -≥-；令()sin x x x ϕ=-，可得()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以函数()x ϕ单调递增， 因为()00ϕ=，当0x ≥，可得()()00x ϕϕ≥=，即sin 0x x -≥，即sin x x ≥； 当0x ≤，可得()()00x ϕϕ≤=，即sin 0x x -≤，即sin x x ≤， （2.1）当0a ≤时，由（1）知不合题意；（2.2）当102a <<时，若(),0x ∈-∞，()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'()1cos 211a x ax a x≤+--+- 121212111ax x a a ax a x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤+---=--； 当1102x a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意； （2.3）当12a >时，若()0,1x ∈，同理可得()12121ax x a f x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎝⎣'⎥⎭⎦≤-， 当1012x a<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意； （2.4）当12a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，可得()13e cos 22xf x x x =+--'， 设()()g x f x '=，则()1e sin 12xg x x '=--，①当0x >时，()111e sin 11sin 10222xg x x x x x x =-'-≥+--≥->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()f x '在()0,∞+上单调递增， ②当0x >时，若[)1,0x ∈-，()()()1111e sin 11021221xx x g x x x x x +=--≤--=≤--'， 若(],1x ∈-∞-，()111e sin 1102e 2xg x x -≤+'=--<，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，()f x '在(),0∞-上单调递增， 由①②可知，()()00f x f ''≥=，所以()f x 在R 上单调递增， 综上所述，12a =.。

(高考题 模拟题)高考数学 基础巩固练(二)理(含解析)-人教版高三全册数学试题

(高考题 模拟题)高考数学 基础巩固练(二)理(含解析)-人教版高三全册数学试题

基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝( )A. 3B. 5 C．3 D．5答案 D解析解法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.解法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|2＝5.故选D.2．(2019·某某高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁U A＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.3．(2019·某某二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 B解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．4．(2019·某某呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为 ( )A ．9B ．27C ．54D ．81 答案 B解析 根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若2a 2为3a 1和a 3的等差中项，则有2×2a 2＝3a 1＋a 3，变形可得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3；又a 2－a 1＝2，即a 1(q －1)＝2，则q ＝3，a 1＝1，则a n ＝3n －1，则有a 4＝33＝27.故选B.5．(2019·某某市适应性试卷)函数f (x )＝(x 3－x )ln |x |的图象是( )答案 C解析 因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－(x 3－x )ln |x |＝－f (x )，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，函数的定义域为{x |x ≠0}，由f (x )＝0，得(x 3－x )ln |x |＝0，即(x 2－1)ln |x |＝0，即x ＝±1，即函数f (x )有两个零点，排除D ，f (2)＝6ln 2>0，排除A.故选C.6．(2019·某某省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S ＝110，则判断框处为( )A ．k <10?B ．k ≥11? C．k ≤10? D．k >11? 答案 C解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝k (2＋2k )2＝k (k ＋1)，由S ＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.7．(2019·某某二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3)答案 B解析 如题图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，又∵△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.8．(2019·某某一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，则MP →·NP →的最小值为( )A.25B.425 C ．－19625 D ．－ 5 答案 C解析 由点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，作出可行域如图中阴影部分，则MP →·NP →＝(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为点A (－2,2)到直线3x －4y ＋12＝0的距离的平方再减8，由d ＝|3×(－2)－4×2＋12|5＝25，可得(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为－19625.故选C.9．(2019·某某一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得asin A＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝cos B cos π6－sin B sin π6＝32cos B －12sin B ，∴tan B ＝33，又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.∵在△ABC 中，a ＝3，c ＝23，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝ 3.故选C. 10．(2019·某某某某高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23B.34C.43D.32 答案 A解析 ∵0≤x ≤π，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，而f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，发现f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，∴π2≤ωπ－π6≤7π6，整理得23≤ω≤43.则ω的最小值为23.故选A.11．(2019·某某模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝13|AF 2|，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.655C.355D ．3 答案 B解析 因|BF 1|＝13|AF 2|，设|AF 2|＝3t ，则|BF 1|＝t ，t >0，由双曲线的定义可得|BF 2|＝|BF 1|＋2a ＝t ＋2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝3t ＋2a ， 则|AB |＝|AF 1|－|BF 1|＝2t ＋2a ，由AF 2⊥BF 2，可得(2a ＋2t )2＝(3t )2＋(t ＋2a )2，解得t ＝23a ，则在直角三角形ABF 2中，cos A ＝3t 2t ＋2a ＝2a 103a ＝35，在△AF 1F 2中，可得cos A ＝(3t )2＋(3t ＋2a )2－(2c )22·3t ·(3t ＋2a )＝4a 2＋16a 2－4c 216a 2＝35，化为c 2＝135a 2，则e ＝c a＝135＝655.故选B. 12．(2019·高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·某某一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．答案 3解析 ∵(a －x )(2＋x )5＝(a －x )(32＋80x ＋80x 2＋40x 3＋10x 4＋x 5)的展开式中x 3的系数为40a －80＝40，∴a ＝3.14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．答案 x －y －1＝0解析 由f (x )＝sin x －cos x ，得f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴x ＋π4＝π4，即x ＝0.∴切点为(0，－1)，切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.15．(2019·某某一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．答案 2π解析 如图，∵AB ＝BC ＝1，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AD ⊥CD ，∴AC 的中点即为外接球的球心，外接球的半径为22，∴S 球＝4π×12＝2π.16．(2019·某某省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e3x＋1)．答案 ①②解析 对于①，y ＝e x(x ≤0)的反函数为y ＝ln x (0<x ≤1)，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)关于直线y ＝x 对称，故①是“旋转对称函数”．对于②，令y ＝f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ，则f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－x 1＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 1＋x 1－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ＝f (x )，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x 是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故②是“旋转对称函数”．对于③，y ＝ln (e 3x＋1)>ln e 3x＝3x ，当x →＋∞时，y →3x ，则函数y ＝ln(e3x＋1)的图象只可能关于直线y ＝3x 对称，又y ＝ln (e3x＋1)>ln 1＝0，当x →－∞时，y →0，这与函数y ＝ln (e 3x＋1)的图象关于直线y ＝3x 对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·某某某某高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n－a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，由于a n －a n －1＝2n －1，a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2， 又a 1＝1满足上式，故a n ＝n 2(n ∈N *)． (2)b n ＝14a n －1＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．(本小题满分12分)(2019·某某质量检测)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC .(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)若∠ABB 1＝60°，∠CBA ＝∠CBB 1，AC ⊥B 1C ，求二面角B －AC －A 1的余弦值． 解 (1)证明：因为侧面ABB 1A 1为菱形， 所以A 1B ⊥AB 1，记A 1B ∩AB 1＝O ，连接CO ， 因为A 1C ＝BC ，BO ＝A 1O ， 所以A 1B ⊥CO ，又AB 1∩CO ＝O ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C .(2)解法一：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ，所以△CBA ≌△CBB 1，所以AC ＝B 1C . 又O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又A 1B ⊥CO ，A 1B ∩AB 1＝O ， 所以CO ⊥平面ABB 1A 1.令BB 1＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，AC ⊥B 1C ，O 为AB 1的中点， 所以CO ＝1.如图，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OB 1所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,0,1)，A 1(－3，0,0)， 所以AB →＝(3，1,0)，AC →＝(0,1,1)，AA 1→＝(－3，1,0)，A 1C →＝(3，0,1)． 设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，－3，3)，同理可得平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，3，－3)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－57，由图知二面角B －AC －A 1为钝角， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.解法二：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ， 所以△CBA ≌△CBB 1， 所以AC ＝B 1C .设AB ＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，所以AA 1＝AB 1＝2，OA ＝OB 1＝1，OB ＝OA 1＝ 3.又AC ⊥B 1C ，所以CO ＝1，AB ＝B 1C ＝2，又A 1C ＝BC ，O 为A 1B 的中点，所以BC ＝A 1C ＝2，所以△ABC 为等腰三角形，△A 1AC 为等腰三角形．如图，取AC 的中点M ，连接BM ，A 1M ，则∠BMA 1为二面角B －AC －A 1的平面角．在△BMA 1中，可得BM ＝A 1M ＝142，A 1B ＝23， 所以cos ∠BMA 1＝BM 2＋A 1M 2－A 1B 22BM ·A 1M ＝－57，所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.19．(本小题满分12分)(2019·某某一模)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝4于点M .证明：直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．解 (1)因为点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2，设椭圆C 的左焦点为E ，连接EP ，则|EF |＝2c ＝4，|PF |＝2，在Rt △EFP 中，|PE |2＝|PF |2＋|EF |2＝18，所以|PE |＝3 2.所以2a ＝|PE |＋|PF |＝42，a ＝22， 又b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 令x ＝4，得M 的坐标为(4,2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k (x －2)得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8(k 2－1)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8(k 2－1)2k 2＋1. ①记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 从而k 1＝y 1－2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2，k 3＝2k －24－2＝k －22. 因为直线l 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－2＋y 2－2x 2－2＝y1x1－2＋y2x2－2－2⎝⎛⎭⎪⎫1x1－2＋1x2－2＝2k－2·x1＋x2－4x1x2－2(x1＋x2)＋4. ②①代入②，得k1＋k2＝2k－2·8k22k2＋1－48(k2－1)2k2＋1－16k22k2＋1＋4＝2k－2，又k3＝k－22，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．20．(本小题满分12分)(2019·某某一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.解 (1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．(ⅰ)∵P (x ＞μ－σ)＝12＋0.68272≈0.8414，∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元．(ⅱ)由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (1000，p )，其中p ＝0.9773.于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P (ξ＝k )＝C k1000p k(1－p )1000－k，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1001－k )×pk (1－p )＞1，得k ＜1001p ，而1001p ＝978.233，∴当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )， 当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. 21．(本小题满分12分)(2019·某某三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x＋a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x2，①当a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增．(2)∵x ＝2是f (x )的极值点， ∴由(1)可知2a＝2，∴a ＝1.设在P (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋ln x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 21＋1x 1(x －x 1)，在Q (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋ln x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 22＋1x 2(x －x 2)，∵这两条切线互相平行， ∴－2x 21＋1x 1＝－2x 22＋1x 2，∴1x 1＋1x 2＝12. ∵1x 2＝12－1x 1，且0<x 1<x 2<6， ∴16<12－1x 1<1x 1，∴14<1x 1<13，∴x 1∈(3,4)． 令x ＝0，则b 1＝4x 1＋ln x 1－1，同理，b 2＝4x 2＋ln x 2－1.解法一：∵1x 2＝12－1x 1，∴b 1－b 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－12－ln 1x 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫12－1x1.设g (x )＝8x －2－ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13，∴g ′(x )＝8－1x －112－x ＝16x 2－8x ＋12x 2－x ＝(4x －1)22x 2－x<0， ∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递减， ∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， 即b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法二：∵x 2＝2x 1x 1－2， ∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝8x 1－2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－1. 令g (x )＝8x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2，其中x ∈(3,4)，∴g ′(x )＝－8x 2＋1x －2＝x 2－8x ＋16x 2(x －2)＝(x －4)2x 2(x －2)>0，∴函数g (x )在区间(3,4)上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法三：∵x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，∴b 1－b 2＝4x 1－4x 2＋ln x 1－ln x 2＝4(x 2－x 1)x 1x 2＋ln x 1x 2＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1x 21＋x 1x 2＋ln x 1x 2.设g (x )＝2(1－x )1＋x ＋ln x ，则g ′(x )＝－4(1＋x )2＋1x ＝(1－x )2x (1＋x )2.∵x 1x 2＝x 12－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴g ′(x )>0， ∴函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·某某模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θsin 2θ化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线．(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π4，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4＝－22t ，y ＝1＋t sin 3π4＝1＋22t (t 为参数)．将其代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－62)2－4×2＝8.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝ |x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)某某数m 的取值X 围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b ＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．解 (1)∵函数的定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即函数g (x )的最小值为4，∴m ≤4. (2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b ≥ 14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号．∴7a ＋4b 的最小值为94.。

2015年闵行区高考数学二模试卷含答案

2015年闵行区高考数学二模试卷含答案

2015年闵行区高考数学二模含答案（满分150分，时间120分钟一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．用列举法将方程33log log (2)1x x ++=的解集表示为 ． 2．若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（其中i 为虚数单位），则1z += ．3．双曲线221412x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为 .4．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α= ． 5．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .6．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++L = .7. 设二项式(31)nx +的展开式的二项式系数的和为p ，各项系数的和为q ，且1264p q +=，则n 的值为 .8． m 是从集合{}1,0,1,2,3-中随机抽取的一个元素,记随机变量ξcos()3m π=⋅,则ξ的数学期望E ξ= .9．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，能使12()()f x f x <成立的条件的序号是 ． 10．已知数列{}n a满足11()n a n *+=∈N ，则使不等式20152015a >成立的所有正整数1a 的集合为 ．11的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b+=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .12．函数2()log (1)8a f x x a x =++-在区间()0,1内无零点，则实数a 的范围是 .13．如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O e ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围为 ．14．已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()ln(2)()1x g x a x a x =++∈+R ，若对任意的{}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( )(A) 2a ab <. (B) 2ab b -<-. (C)11a b <. (D) b a a b>. 16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种. 17．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是( )(A) π. (B) 34π. (C) 35π. (D) π2.18． 如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △ 中，2,2,BC AC AB ===P 是边AC 上的动点. 该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +u u u r u u u r的最大值为 ( )(A)2. (B)(C) 1+ (D)三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧»AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：(1) 角C 的范围；(2) 2ac的取值范围．ABlCαNPO21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为*0,116,)y p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=u u u r u u u r．(1) 求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM △面积S 的最大值． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有(2,)m m m *≥∈N 项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在n *∈N ，使不等式 1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+成立，求实数λ的范围．闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准（理科）一. 填空题 1．{}1； 23．3π； 4．13； 5． 6．323； 7．4； 8．110； 9．④；10．{}|2015,n n n *≥∈N； 11．12．(]1,2； 13．⎡⎣； 14．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．二. 选择题 15． B ； 16． D ； 17．B ； 18． C ． 三. 解答题19．[解] 取OA 的中点M ,连接PM ,又点P 为母线SA 的中点所以//PM OS ，故MPQ ∠为PQ 与SO 所成的角． (2)在Rt MPQ △中，4MPQ π∠=，PM QM =，………………………4分由点Q 为半圆弧»AB 的中点知 OQ AB ⊥， 在Rt MOQ △中，10,5OQ OM MQ ==⇒=故PM =，所以OS =SA ………………………8分 所以2S 100r ππ==底，10S r SA ππ=⋅=⨯⨯=侧………………10分100100(1S S S ππ=+=+=全底侧．…………………………………12分20．[解] （1）因为23A C π+=，23A C π=- …………………………………2分 由0,022C A ππ<≤<≤得：62C ππ≤≤…………………………………4分（2）24sin sin 2sin sin a R A A c R C C == …………………………………6分 2sin()1sin B C C +===+62C ππ≤≤）……………10分当2C π=时，211sin a Cc C=+= 当62C ππ≤<时，(]211,4tan a c C=+∈ …………………………………12分 所以2ac[]11,4=+. …………………………………14分21．[解](1)由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）． …………………………………6分（2）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立 ………………………8分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤+⎪⎩N 恒成立 ………………………10分t=，则：114t≤≤221010111420101m t ttm t t⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立，由221711010110()1224m t t t t⎛⎫≥-++=--+≤≤⎪⎝⎭恒成立得72m≥（4x=时取等号）………………………12分212010114m t t t⎛⎫≤++≤≤⎪⎝⎭恒成立得194m≤（16x=时取等号）所以71924m≤≤．………………………14分22．[解]（1）设两动圆的公共点为Q，则有：12124()QF QF F F+=>．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，2,a c==C的方程是：2214xy+=．…4分（2）证法一：由题意可知：(0,1)M，设11(,)A x y，22(,)B x y,当AB的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB⋅=u u u r u u u r的直线AB为：0x=过定点3(0,)5N-………………………6分当AB的斜率存在时，设直线AB：y kx m=+，联立方程组：2214xyy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m+++-=……………8分122814kmx xk-+=+③，21224414mx xk-⋅=+④，因为0MA MB⋅=u u u r u u u r，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m+⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m mk k--++-+-=++，（有公因式m-1）继续化简得：(1)(53)0m m--=，35m-=或1m=（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点3(0,)5N-．………………………10分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r；………………………8分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--u u u r u u u r21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分（3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第(2)小题的③④代入，整理得：2322514S k =⋅+……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t ≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ……………………………14分Q 92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)． 所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分23． [解] （1）当1n =时，由1112(1)S b b =+得11b = …………1分当2n ≥时，由2(1)n n n S b b =+，1112(1)n n n S b b ---=+得111()()n n n n n n b b b b b b ---+-=+因数列{}n b 的各项均为正数，所以11n n b b --= ………………………………3分 所以数列{}n b 是首相与公差均为1等差数列所以数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………………………………4分（2）数列{}n a 的通项公式为2nn a = ……………………5分当21(2,)m k k k *=-≥∈N 时，数列{}n c 共有(21)12(22)(21)k k k k -++++-=-L 项，其所有项的和为22122222(21)(222)[1234(23)(22)]k k k S k k --=++++-+-+---+-L L2122(21)[37(45)]22(21)(1)k k k k k -=-++++-=-+--L11(1)222m m m +=-+- ………………………………8分 当2()m k k *=∈N 时，数列{}n c 共有212(21)(21)k k k k ++++-=+L 项，其所有项的和为22(21)(21)2(21)k k k k k S S k +-=+--2222122(21)(1)2(21)2(21)2k k k k k k k k +=-+--+--=---11(1)222m m m +=--+- ……………………………11分（3）由1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+得 2111,1,2,3,1(1)n n n n n λ+≤≤+=++L ……………………………13分记211,1,1,2,3,1(1)n n n n A B n n n +==+=++L 由12,(1)(2)n n nA A n n n +--=++211(1)n B n =++递减（或12223(1)(2)n n n B B n n ++-=++）………………………15分得123,A A A >= 345A A A <<<L ，123B B B >>>L所以实数λ的范围为[]21,A B ,即55,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………………18分。

浙江省高考数学二模试卷(理科)含答案解析

浙江省高考数学二模试卷(理科)含答案解析

浙江省高考数学二模试卷（理科）（解析版）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6）D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．984．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2]B．C．D．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A． B．3 C． D．58．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）（浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为．10．（6分）（浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=； =．11．（6分）（浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a的值为．12．（6分）（浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为；表面积为．13．（4分）（浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为．14．（4分）（浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．15．（4分）（浙江二模）已知函数，若函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（浙江二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，试求边b的最小值．17．（15分）（浙江二模）如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分别为DE，AD中点．（1）证明：平面MNC⊥平面BCDE；（2）若EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，求棱AB的长度．18．（15分）（浙江二模）已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|﹣1＜x＜4}，且f（6）=28．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数在区间上是单调递增函数，试求函数g （x）在该区间上的最大值的取值范围．19．（15分）（浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设A，B，M是椭圆C上的三点，且满足，其中O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：△OAB的面积是一个常数．20．（15分）（浙江二模）已知数列{a n}满足a n+1=ca n2+1﹣c，n∈N*，其中常数c∈（0，）．（1）若a2＞a1，求a1的取值范围；（2）若a1∈（0，1），求证：对任意n∈N*，都有a n∈（0，1）；（3）若a1∈（0，1），设数列{a n2}的前n项和为S n，S n＞n﹣．浙江省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6）D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）【分析】可进行补集、交集的运算求出∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}，从而便可根据A⊗B的定义进行⊗的运算即可．【解答】解：∵∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，B={x|5＜x＜7}，∴（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}；∴（∁U A）⊗B={x|x∈∁U A或x∈B且x∉（∁U A）∩B}={x|1＜x≤2，或5＜x＜6，或7≤x ＜10}=（1，2]∪（5，6）∪[7，10）．故选：B．【点评】考查描述法表示集合，区间表示集合，以及补集、交集的运算，理解集合A⊗B的定义．2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．B．根据含有量词的命题的否定进行判断．C．根据复合命题真假关系进行判断．D．根据否命题的定义进行判断．【解答】解：A．由a2＞9得a＞3或a＜﹣3，则“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故A 错误，B．“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，sinx+＜2”，故B 错误，C．若A∧B是假命题，则A，B至少有一个为假命题，当A假，B真时，满足A∧B是假命题，但A∨B是真命题，故C错误，D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”，正确，故D 正确故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．98【分析】由递推公式化简可得a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，…，从而求和．【解答】解：由题意，a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，a4=2a3+1=11，a5=a4+4=15，a6=2a5+1=31，a7=a6+6=37；故和为1+3+5+11+15+31+37=103，故选：A．【点评】本题考查了数列的递推公式的应用及前n项和的求法．4．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．若m∥n，n⊂α，则m∥α或n⊂α，故A错误，B．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥β不成立，故B错误，C．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥β或n∥β或n⊂β，故C错误，D．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l成立，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2]B．C．D．【分析】求出f（x）的表达式，从而求出f（x）在闭区间上的值域问题．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，∴函数的周期是π，ω=2，由f（﹣）=0，，得：，解得A=，φ=，∴f（x）=sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[0，π]，显然x=时，f（x）最大，x=π时，f（x）最小，则函数f（x）在上的值域为[﹣，]，故选：B．【点评】本题考查了求三角函数的表达式问题，考查三角函数的值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．【分析】根据进行数量积的运算可得到，而配方即可求得，从而便可得出的最小值．【解答】解：根据条件：=4m2+2m（2﹣4m）+（2﹣4m）2=12m2﹣12m+4=；∴；∴的最小值为1．故选B．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，掌握本题要求的最小值，而求的范围的方法，不等式的性质，以及配方求二次函数最值的方法．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A． B．3 C． D．5【分析】设左焦点F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且n=，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】确定M到AC1的距离为，利用AC1与平面ABC所成角为45°，可得动点M 的轨迹．【解答】解：由题意，AC1=2，∵△AC1M的面积为1，∴M到AC1的距离为，∴M在以AC1为旋转轴，半径为的圆柱上，∵AC1与平面ABC所成角为45°∴动点M的轨迹为椭圆．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查圆柱与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）（浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=2；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为（﹣1，0）．【分析】根据分段函数的表达式利用代入法即可求f（3），解不等式即可得到结论．【解答】解：由分段函数的表达式得f（3）=f（1）=22﹣1=2，当x＜0时，由f（x）＜2得＜2，即2x2﹣1＜1，即2x2＜2，x2＜1，得﹣1＜x＜1，此时﹣1＜x＜0，即不等式的解集是（﹣1，0），故答案为：2，（﹣1，0）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用代入法和直接法是解决本题的关键．比较基础．10．（6分）（浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=； =2+．【分析】直接利用周期公式T=，求出实数ω的值，利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：因为函数的最小正周期为2π，所以=2π，解得：ω=．=tan（×+）===2+．故答案为：，2+．【点评】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，是常考题型，属于基础题．11．（6分）（浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为27；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a 的值为1．【分析】由题意作出其平面区域，求出三个点的坐标，从而求三角形的面积，再结合函数图象求目标函数Z=2x﹣y的最小值．【解答】解：由题意作出实数x，y满足不等式组，实数平面区域，x=1，y=4﹣x，x=2y﹣4两两联立解得，A（1，3），B（1，﹣），C（4，0）；故S△ABC=×3×（3+）=27；目标函数z=4x+3y的最大值为15，可知，解得，即：C（3，1），C满足ax﹣y﹣2=0，3a﹣1﹣2=0，解得a=1．故答案为：27；1．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了直线交点的求法及三角形的面积公式应用，属于中档题．12．（6分）（浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4；表面积为．【分析】由三视图知用平面DEGF截棱长为2的正方体所得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是：用平面DEGF截棱长为2的正方体所得到的几何体，如图：E、F分别是中点，其中四边形DEGF是棱形，边长为，对角线EF=、DG=，∴几何体的体积：V=V正方体﹣V D﹣ABGE﹣V D﹣BCGF=2×2×2﹣﹣=4，几何体的表面积：S=+2×2++=故答案为：4；．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图结合正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13．（4分）（浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．【分析】求出B点的坐标，得到BC的中点E的坐标，从而求出直线AE的斜率，得到其垂线的斜率，求出线段AE的中点坐标，进而求出折线的方程即可．【解答】解：由题意得：A（2，1），B（2，﹣3），C（6，﹣3），D（6，1），则BC的中点E（4，﹣3），∴K AE=﹣2，AE的垂线的斜率是：，AE的中点是（3，﹣1），故折线的方程是：x﹣2y﹣5=0．故答案为：x﹣2y﹣5=0．【点评】本题考查了垂直直线的斜率问题，考查求直线方程问题，是一道基础题．14．（4分）（浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．【分析】由题意化简可得原式=++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数3x+4y+5z=6，∴+=+=+=++≥2+=当且仅当=时，取等号故答案为：【点评】本题考查基本不等式，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．15．（4分）（浙江二模）已知函数，若函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5．【分析】先求出f（x）的零点，然后求出f（x）﹣a的值，作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及排除法进行求解即可．【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：当x≤0时，由f（x）=0得=0，得x=0，当x＞0时，由f（x）=0得﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，由y=f[f（x）﹣a]=0得f（x）﹣a=0或f（x）﹣a=1，或f（x）﹣a=5，即f（x）=a，f（x）=a+1，f（x）=a+5，a=﹣1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有1个根，此时共有6个根a=﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根若a＞4，则f（x）=a有0个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有0个根若a=4，则f（x）=a有1个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有1根若4＞a＞3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有2个根若a=3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有1个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有3个根若3＞a＞1，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根若a=1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有4个根若1＞a＞0，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；若a=0，则f（x）=0有3个根，f（x）=1有2个根，f（x）=5有0个根，此时共有5个根；﹣1＜a＜0时，f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；若﹣4＜a≤﹣1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；若a=﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；若﹣5≤a＜﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有3个根，此时共有7个根；a＜﹣5，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根故﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5，函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点故答案为：﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（浙江二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，试求边b的最小值．【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，利用两角和公式整理可求得tanB的值，结合角的范围，进而求得B．（2）根据三角形面积求得ac的值，利用余弦定理，基本不等式即可解得边b的最小值．【解答】解：（1）∵．∴sinBcosC+=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴由sinC≠0，求得tanB=，∴由B∈（0，π），可得：B=．（2）S=acsinB=ac=，∴ac=4，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c时等号成立），∴边b的最小值为2．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，正弦定理，余弦定理的在解三角形中的应用．解题的关键是利用正弦定理对边和角的问题进行转换，属于中档题．17．（15分）（浙江二模）如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分别为DE，AD中点．（1）证明：平面MNC⊥平面BCDE；（2）若EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，求棱AB的长度．【分析】（1）连结BM，ON，推导出ON∥AB，AB⊥平面BCDE，从而ON⊥平面BCDE，由此能证明平面MNC⊥平面BCDE．（2）以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱AB的长度．【解答】证明：（1）连结BM，ON，由题意四边形BMDC是菱形，∴O是BD中点，∵N是AD中点，∴ON∥AB，∵AB⊥BC，平面ABC⊥平面BCDE，∴AB⊥平面BCDE，∴ON⊥平面BCDE，∵ON⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCDE．解：（2）以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设A（，﹣1，t），（t＞0）由题意D（0，2，0），P（，0，），E（2，0，0），D（0，2，0），M（），B（，0），C（0，0，0），=（，0，），=（），=（），=（），设平面PMC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，﹣3，﹣），设平面ABC的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（，0），∵平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得t=3．∴棱AB的长度为3．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（15分）（浙江二模）已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|﹣1＜x＜4}，且f（6）=28．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数在区间上是单调递增函数，试求函数g （x）在该区间上的最大值的取值范围．【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，结合f（6）=28，求出f（x）的解析式；（2）由f（x）的解析式，求出f（x﹣m），根据g（x）的解析式求出g（x）在[8，16]上单调递增的条件，求出m的取值范围，再求出函数g（x）在[8，16]上的最大值g（16）的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是二次函数，且不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，4），∴﹣1，4是方程f（x）=0的两个根，且抛物线开口向上，设f（x）=a（x+1）（x﹣4），a＞0．f（6）=a（6+1）（6﹣4）=28，解得a=2，∴f（x）=2（x+1）（x﹣4）；（2）由f（x）=2（x+1）（x﹣4），得f（x﹣m）=2（x﹣m+1）（x﹣m﹣4），g（x）===2[x+﹣（2m+3）]；当m＞1时，m2+3m﹣4＞0恒成立，∴当x≥时，g（x）是单调增函数，x≤﹣时，g（x）是单调减函数；又g（x）在[8，16]上是单调增函数，∴≥8；化简得m2+3m﹣196≥0，解得m≥或m≤（不合题意，舍去）；又函数g（x）在区间上是单调递增函数，∴函数g（x）在该区间上的最大值为g（16）==（17﹣m）（12﹣m）=（m﹣17）（m﹣12）；由m≥知，12＜＜13，且（m﹣17）（m﹣12）的对称轴为m=14.5，所以（m﹣17）（m﹣12）有最小值﹣，它的取值范围是[﹣，+∞）．故所求的取值范围是[﹣，+∞）．【点评】本题考查了二次函数与对应不等式的应用问题，也求函数的取值范围的应用问题，是难题．19．（15分）（浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设A，B，M是椭圆C上的三点，且满足，其中O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：△OAB的面积是一个常数．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解得a=2，b=1，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n），可得x12+4y12=4，x22+4y22=4，m2+4n2=4，由向量的坐标表示，求得m，n，再平方相加，可得x1x2+4y1y2=0，再由椭圆的参数方程，结合两角差的正弦和余弦公式，化简整理，即可得到常数1．【解答】解：（1）由题意可得e==，将点代入椭圆方程，可得+=1，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n），可得x12+4y12=4，x22+4y22=4，m2+4n2=4，由，可得（m，n）=cosα（x1，y1）+sinα（x2，y2），即有m=cosαx1+sinαx2，n=cosαy1+sinαy2，可得m2+4n2=cos2α（x12+4y12）+sin2α（x22+4y22）+2cosαsinα（x1x2+4y1y2）=4cos2α+4sin2α+sin2α（x1x2+4y1y2），即有sin2α（x1x2+4y1y2）=0，由α∈（0，），可得x1x2+4y1y2=0，又S△ABO=|OA||OB|sin∠AOB===|x1y2﹣x2y1|，由x1=2cosβ，y1=sinβ，x2=2cosγ，y2=sinγ，x1x2+4y1y2=0，即为4（cosβcosγ+sinβsinγ）=0，即cos（β﹣γ）=0，又S△ABO=|x1y2﹣x2y1|=|2cosβsinγ﹣2cosγsinβ|=|sin（β﹣γ）|=1．则△OAB的面积是一个常数1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积为常数，注意点在椭圆上满足椭圆方程，以及平方相加，同时结合椭圆的参数方程和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．20．（15分）（浙江二模）已知数列{a n}满足a n+1=ca n2+1﹣c，n∈N*，其中常数c∈（0，）．（1）若a2＞a1，求a1的取值范围；（2）若a1∈（0，1），求证：对任意n∈N*，都有a n∈（0，1）；（3）若a1∈（0，1），设数列{a n2}的前n项和为S n，S n＞n﹣．【分析】（1）令n=2，由a2＞a1，结合条件c∈（0，），由二次不等式的解法即可得到；（2）运用数学归纳法，结合不等式的性质，即可得证；（3）先证n=1成立；再证当n≥2时，由a n+1=ca n2+1﹣c，可得a n＞1﹣（2c）n﹣1＞0，运用不等式的性质和等比数列的求和公式，即可得证．【解答】解：（1）由a n+1=ca n2+1﹣c，可得a2=ca12+1﹣c，由a2＞a1，可得（a1﹣1）（a1+1﹣）＞0，由c∈（0，），可得＞2，则a1＞﹣1或a1＜1；（2）证明：对n∈N*用数学归纳法证明a n∈（0，1），当n=1时，a1∈（0，1）．假设a k∈（0，1）（k≥1）则a k+1=ca k2+1﹣c＜c+1﹣c=1，且a k+1=ca k2+1﹣c＞1﹣c＞0，∴a k+1∈（0，1），由数学归纳法知a n∈（0，1）对所有n∈N*成立；（3）证明：由于0＜c＜，当n=1时，a12＞1﹣=，结论成立；当n≥2时，a n+1=ca n2+1﹣c，即有1﹣a n+1=c（1﹣a n）（1+a n）＜2c（1﹣a n），）＜…＜（2c）n﹣1，即1﹣a n＜2c（1﹣a n﹣1a n＞1﹣（2c）n﹣1＞0∴a n2＞（1﹣（2c）n﹣1）2=1﹣2（2c）n﹣1+（2c）2（n﹣1）＞1﹣2（2c）n﹣1∴a12+a22+…+a n2=a22+…+a n2＞n﹣1﹣2[2c+（2c）2+…+（2c）n﹣1]=n﹣1﹣2=n﹣1﹣2=n+1﹣2＞n+1﹣＞n﹣．故S n＞n﹣成立．【点评】本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用证明方法．。

浙江省杭州市高考数学二模试卷解析版

浙江省杭州市高考数学二模试卷解析版

高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x＞1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A. （1，2）B. （1，2]C. （0，2]D. （1，+∞）2.已知复数z=1+i（i是虚数单位），则=（）A. iB. -iC. 1+iD. 1-i3.二项式的展开式的常数项为（）A. 20B. -20C. 160D. -1604.设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于（）A. 3B. 5C. 6D. 126.函数y=（x-1）2（x-2）e x（其中e为自然对数的底数）的图象可能是（）A. B.C. D.7.已知a≠c，随机变量ξ，η的分布列如表所示．ξ123P a b cη123P c b a命题p：Eξ=Eη，命题q：Dξ=Dη，则（）A. p真q真B. p真q假C. p假q真D. p假q假8.设函数，则函数y=f（f（x））（）A. 是偶函数也是周期函数B. 是偶函数但不是周期函数C. 不是偶函数是周期函数D. 既不是偶函数也不是周期函数9.已知数列{a n}满足2a n≤a n-1+a n+1（n∈N*，n≥2），则（）A. a5≤4a2-3a1B. a2+a7≤a3+a6C. 3（a7-a6）≥a6-a3D. a2+a3≥a6+a710.已知椭圆，直线x+y=1与椭圆Γ交于M，N两点，以线段MN为直径的圆经过原点，若椭圆Γ的离心率不大于，则a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.双曲线的焦距为______；渐近线方程为______．12.设函数，若，则实数a=______，f（f（2））=______．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则sin C=______；当a=2，2sin A=sin C时，则b=______．14.设实数x，y满足不等式组则x+2y的最小值是______；设d=x2+y2，则d的最小值等于______．15.已知集合A={1，3，5}，B={0，2，4}，分别从A，B中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是______（用数字作答）．16.已知向量，平面向量满足，则的最小值等于______．17.如图，已知矩形ABCD，，AD=1，AF⊥平面ABC，且AF=3．E为线段DC上一点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M-BCF体积的最小值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当时，求函数f（x）的值域．19.如图，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=1，点P在线段DF上．（1）证明：AF⊥平面ABCD．（2）若二面角DF-AP-C的余弦值为，求PF的长度．20.设等差数列{a n}前n项和为A n，等比数列{b n}前n项和为B n．若B n+3=8B n+7，a1=b2，a4=b4．（1）求b n和A n；（2）求数列{b n-A n}的最小项．21.如图，已知P（1，1）为抛物线y=x2上一点，斜率分别为k，-k（k＞2）的直线PA，PB分别交抛物线于点A，B（不与点P重合）．（1）证明：直线AB的斜率为定值；（2）若△ABP的内切圆半径为，（i）求△ABP的周长（用k表示）；（ii）求直线AB的方程．22.已知函数f（x）=（x-1）e x．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若方程f（x）=ax+b（a，b∈R）有非负实数解，求a2+4b的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={x|-2≤x≤2}；∴A∩B=（1，2]．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：∵z=1+i，∴===i．故选：A．把z=1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】D【解析】解：二项式（2x-）6的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•26-r•x6-2r，令6-2r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项是-8•=-160，故选：D．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立；②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为-a•a＞-b•b，即a2＜b2，此时成立；③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞-b•b，即a2＞-b2，此时成立，即充分性成立；若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a-b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a-b＞0，即a＞b；②当a＞0，b＜0时，a＞b；③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a-b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a-b＞0，即a＞b，即必要性成立.综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由已知中的三视图，可知该几何体是组合体，由一个三棱柱和两个相同的四棱锥构成，分别求出体积累加得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=×3×1×2=3，四棱锥的体积V2=×1×3×1=1，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴此刍甍的体积V=V1+2V2=5（立方丈），故选B．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合特殊值的符号的对应性是解决本题的关键．利用特殊值以及函数零点，函数值的符号的对应性进行判断即可．【解答】解：由y=0得x=2或x=1，当x=3时，y=4e3>0，排除C，D，且当1＜x＜2时，y＜0，排除B，故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了离散型随机变量的分布列，期望与方差，抓住a+b+c=1，是解决问题的关键，属于难题．根据题意分别计算出ξ，η的期望与方差，比较即可得到结果．【解答】解：依题意Eξ=a+2b+3c，Eη=c+2b+3a，Eξ-Eη=2c-2a，a≠c，故Eξ-Eη≠0，即p为假命题．E（ξ2）=a+4b+9c，所以D（ξ）=E（ξ2）-E2（ξ）=a+4b+9c-（a+2b+3c）2．同理：D（η）=c+4b+9a-（c+2b+3a）2，∴D（ξ）-D（η）=8（c-a）+（2a-2c）（4a+4b+4c）因为a+b+c=1，所以D（ξ）-D（η）=8（c-a）-8（c-a）=0，即D（ξ）=D（η），故q真．综上p假q真，故选C．8.【答案】A【解析】解：根据题意，f（x）==，则有f（-x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，则f（f（-x））=f（f（x）），即函数y=f （f（x））为偶函数；又由f（x）==，当x＜-1时，f（x）=2-2x+1，有-＜f（x）＜，当-1≤x≤1时，f（x）=-，当x＞1时，f（x）=2-（）x-1，有-＜f（x）＜，综合可得：-＜f（x）＜，则f（f（x））=-，其函数值为常数，y=f（f（x））为周期函数；故y=f（f（x））为偶函数且是周期函数；故选：A．根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式，分析可得f（x）为偶函数，进而分析f（x）的值域，由此可得f（f（x））=-，其函数值为常数，即可得y=f（f（x））为周期函数；综合即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及函数奇偶性与单调性的综合应用，属于综合题．9.【答案】C【解析】解：∵2a n≤a n-1+a n+1（n∈N*，n≥2），∴a n-a n-1≤a n+1-a n，∴a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6，∴a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），即3（a7-a6）≥a6-a3，故选：C．由已知可得a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6，则a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），答案可求．本题考查数列递推式，考查不等式的性质，是中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题.由题意可得a＞1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为x1x2+y1y2=0，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a的范围．【解答】解：椭圆，直线x+y=1与椭圆Γ交于M，N两点，可得a＞1，由x+y=1联立椭圆方程可得（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，线段MN为直径的圆经过原点，可得OM⊥ON，即有x1x2+y1y2=0，可得x1x2+（1-x1）（1-x2）=0，化为2x1x2+1-（x1+x2）=0，则2•+1-=0，化为a2+b2=2a2b2，由e≤，可得1-≤，即b2≥a2，可得≥a2，即有2a2-1≤4，解得a≤，可得1＜a≤，故选：D．11.【答案】；y=【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题.由双曲线方程求得a，b，c的值，则其焦距与渐近线方程可求．【解答】解：由题知，a2=4，b2=1，故c2=a2+b2=5，∴双曲线的焦距为：，渐近线方程为：．故答案为；．12.【答案】；【解析】解：函数，若，可得，解得a=；f（2）==-．f（f（2））=f（-）===．故答案为：；．利用分段函数的解析式通过，求解a的值，利用分段函数逐步求解f（f（2））即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法函数解析式的求法，考查计算能力．13.【答案】或2【解析】解：因为cos2C=1-2sin2C=-，及0＜C＜π，所以解得：sin C=．当a=2，2sin A=sin C时，由正弦定理，解得：c==4．由cos2C=2cos2C-1=-，及0＜C＜π得cos C=±．由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，得b2±b-12=0，解得b=，或b=2．故答案为：，或2．根据角C的范围，利用二倍角公式求得sin C的值；利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cos C，用余弦定理解方程求边长b．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】5 10【解析】解：依题意作出实数x，y满足不等式组可行性区域如图，目标函数z=x+2y在点（3，1）处取到最小值：5．d=x2+y2，由图形可知，A到原点的距离最小，则d的最小值等于：10故答案为：5；10．先画出实数x，y满足不等式组的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入x+2y中，求出x+2y的最小值．判断最优解A然后求解d=x2+y2，则d的最小值．在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.【答案】32【解析】【分析】本题主要考查排列组合的应用，结合能被3整除的四位偶数的数字规律进行讨论是解决本题的关键．根据能被3整除的四位数相加是3的倍数，结合偶数进行讨论求解即可．【解答】解：若A选1，3，则B中只能选0，2，若个位是0，则有A=6；若个位是2，则有C A=4种，此时有6+4=10种；若A选1，5，则B中只能选4，2，此时偶数有C A=12种；若A选3，5，则B中只能选0，4，若个位是0，则有A=6；若个位是4，则有C A=4种，此时有6+4=10种，综上共有10+12+10=32种，故答案为32．16.【答案】20【解析】【分析】本题考查向量的数量积的性质，考查二次函数的最值求法，属于基础题．由向量的数量积的性质，可得•=||-10，再由二次函数的最值求法，可得最小值．【解答】解：向量，平面向量满足，可得22+•=10+•=||，可得•=||-10，则=2-4•=||2-4||+40=（||-2）2+20，当||=2，可得的最小值为20．故答案为20.17.【答案】【解析】解：选固定点E，可知D′在圆上运动，现E在线段DC上运动，且AD′=1，∴D′的运动轨迹为以A为球心，半径为AD′=1的球面的一部分，∵S△BCF===，∴求三棱锥M-BCF体积的最小值只需求M到面BCF的距离d1的最小值，即求D′到面BCF的距离d的最小值，过A作BF的垂线，垂足为H，当D′为AH与球面的交点G时，D′到面BCF的距离最小，此时点E在DC上，d=AF-1=，d1==，∴三棱锥M-BCF体积的最小值为：V min=S△BCF×d1=．故答案为：．选固定点E，可知D′在圆上运动，现E在线段DC上运动，且AD′=1，从而D′的运动轨迹为以A为球心，半径为AD′=1的球面的一部分，求出S△BCF==，从而求三棱锥M-BCF体积的最小值只需求M到面BCF的距离d1的最小值，即求D′到面BCF的距离d的最小值，过A作BF的垂线，垂足为H，当D′为AH与球面的交点G时，D′到面BCF的距离最小，由此能求出三棱锥M-BCF体积的最小值．本题考查三棱锥的体积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】（本题满分为14分）解：（1）∵=2sin（2x-）+1，…5分∴2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，k∈Z，…9分（2）因为，∴2x-∈[-，]，∴sin（2x-）∈[-1，]，∴函数f（x）的值域为：[-1，2]．…14分【解析】（1）利用两角差的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-）+1，利用正弦函数的单调性即可得解．（2）由，可求2x-∈[-，]，利用正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的值域．本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．19.【答案】（I）证明：∵∠BAF=90°，∴AB⊥AF．又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AF⊂平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD．（II）解：以A为原点，以AB，AD，AF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示，则B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），∵AB⊥平面ADF，∴=（1，0，0）为平面ADF的一个法向量，设=λ，则P（0，2λ，1-λ），∴=（0，2λ，1-λ），=（1，2，0）．设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（-2，1，），∴|cos＜＞|=||=||=，解得λ=，∴PF=．【解析】（I）根据面面垂直的性质即可得出AF⊥平面ABCD；（II）建立空间坐标系，设=λ，求出平面PAD和平面APC的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于求出λ．本题考查了面面垂直的性质，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，等比数列的公比设为q，B n+3=8B n+7，可得b1+b2+b3+（b4+…+b n+3）=b1+b2+b3+q3B n=8B n+7，则q3=8，b1+b2+b3=7，解得q=2，b1=1，则b n=2n-1；a1=b2=2，a4=b4=8，可得d==2，A n=2n+•2•n（n-1）=n2+n；（2）设c n=b n-A n=2n-1-n2-n，c n+1-c n=2n-（n+1）2-n-1-（2n-1-n2-n）=2n-1-2（n+1），当n≤4时，c n+1＜c n；当n≥5时，c n+1＞c n，可得数列{b n-A n}的最小项为c5=-14．【解析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，等比数列的公比设为q，运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，可得所求；由等差数列的通项公式和求和公式，可得所求；（2）设c n=b n-A n=2n-1-n2-n，判断单调性，可得最小值为c5．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的单调性的判断和运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】证明：（1）设直线PA的方程为y=k（x-1）+1，与抛物线联立可得x2-kx+k-1=0，易知A（k-1，（k-1）2），B（-k-1，（k+1）2），∴直线AB的斜率k AB==-2为定值．（2）由（1）可得直线AB的方程为y=-2（x-k+1）+（k-1）2，∴点P到直线AB的距离d=，|AP|=•（k-2），|BP|=（k+2），|AB|=2k，（i）△ABP的周长l=2k+2k，（ii）设△ABP的内切圆半径为r，则r=-，即r===-，即-=-，解得k=5，∴直线AB的方程为y=-2x+24．【解析】（1）设直线PA的方程为y=k（x-1）+1，求出点A，B的坐标，即可证明，（2）（i）由（1）可得直线AB的方程为y=-2（x-k+1）+（k-1）2，根据点到直线的距离，弦长公式，即可求出三角形的周长，（ii）设△ABP的内切圆半径为r，可得-=-，解得即可．本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由f（x）=（x-1）e x，的f′（x）=xe x，由f′（x）=xe x＞0，得x＞0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（2）设g（x）=（x-1）e x-ax-b，则g′（x）=xe x-a．当a≤0时，g′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，可得g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（0）=-1-b≤0，得b≥-1，故a2+4b≥-4；当a＞0时，存在x0＞0，使g′（x0）=0，即，且g（x）在[0，x0]上单调递减，在[x0，+∞）上单调递增．∴≤0，解得．因此，．设h（x）=x2e2x-4（x2-x+1）e x，则h′（x）=2（x2+x）e x（e x-2）．∴h（x）在[0，ln2]上单调递减，在[ln2，+∞）上单调递增．∴h（ln2）＜h（0）=-4，h（x）≥h（ln2）=-4ln22+8ln2-8．∴当a=2ln2，b=-2ln22+2ln2-2时，a2+4b取到最小值-4（ln2-1）2，此时方程f（x）=ax+b有非负实数解ln2．综上所述，a2+4b的最小值为-4．【解析】（1）求出原函数的导函数，由导函数大于0可得原函数的单调增区间；（2）设g（x）=（x-1）e x-ax-b，则g′（x）=xe x-a．当a≤0时，由导数得到g（x）在[0，+∞）上单调递增，结合g（0）=-1-b≤0，得b≥-1，故a2+4b≥-4；当a＞0时，存在x0＞0，使g′（x0）=0，即，且g（x）在[0，x0]上单调递减，在[x0，+∞）上单调递增．由g（x0）≤0得到，可得．设h（x）=x2e2x-4（x2-x+1）e x，利用导数求其最小值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。

2024年浙江省宁波第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷(含答案详解)

2024年浙江省宁波第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷(含答案详解)

宁波市2023~2024学年第二学期高考模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足()2i 5z +=，则z =（）A B C ．2D2．若α为锐角，4sin 5α=，则πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D 3．已知平面,,,l αβγαβ⋂=，则“l γ⊥”是“αγ⊥且βγ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线:10l x y -+=与圆22:20C x y x m +--=相离，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <B ．11m -<<C ．1m >D ．1m >-5．某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高()cm y 与父亲身高()cm x 之间的关系，抽样调查后得出y与x 线性相关，且经验回归方程为ˆ0.8529.5yx =+.调查所得的部分样本数据如下：父亲身高()cm x 164166170173173174180儿子身高()cm y 165168176170172176178则下列说法正确的是（）A ．儿子身高()cm y 是关于父亲身高()cm x 的函数B ．当父亲身高增加1cm 时，儿子身高增加0.85cmC ．儿子身高为172cm 时，父亲身高一定为173cmD ．父亲身高为170cm 时，儿子身高的均值为174cm6．已知数列{}n a 满足2n a n n λ=-，对任意{}1,2,3n ∈都有1n n a a +>，且对任意{}7,N n n n n ∈≥∈都有1n n a a +<，则实数λ的取值范围是（）A ．11,148⎡⎤⎢⎣⎦B ．11,147⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,157⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,158⎛⎤ ⎥⎝⎦7．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,===AB A B AA O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（）A ．9πB ．16πC ．25πD ．36π8．已知集合(){4,|20240P x y x ax =+-=且}2024xy =，若P 中的点均在直线2024y x =的同一侧，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),20232023,-∞-+∞B ．()2023,+∞C ．()(),20242024,-∞-+∞ D ．()2024,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2015届高考数学总复习 第三章 第五节三角函数的图象与性质课时精练试题 文(含解析)

2015届高考数学总复习 第三章 第五节三角函数的图象与性质课时精练试题 文(含解析)

1．下列函数中，周期为π2的是()A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：利用公式 T ＝2πω即可得到答案D.答案：D2．(2013·潮州二模)下列函数中，周期为1的奇函数是( )A ．y ＝1－2sin 2πx B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3C ．y ＝tan π2x D ．y ＝sin πx cos πx解析：因为y ＝1－2sin 2πx ＝cos 2πx ，为偶函数，排除A.因为对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2πx ＋π3≠－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，不是奇函数，排除B.对于y ＝tan π2x ，T ＝ππ2＝2≠1，排除C.对于y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx ，为奇函数，且T ＝2π2π＝1，满足条件．故选D.答案：D3．(2013·广州一模)函数y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )是( )A ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增B ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增C ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增解析：y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，可见它是偶函数，并且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增的．答案：C4．(2013·肇庆二模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(A ＞0，ω＞0，x ∈R )的最小正周期为2，且f (0)＝3，则函数f (3)＝( )A ．－ 3 B. 3 C ．－2 D ．2解析：由题意可得：函数的最小正周期T ＝2πω＝2，解得ω＝π，又f (0)＝A sin π6＝12A ＝3，可得A ＝23，故函数的解析式为：f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.故f (3)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－23sin π6＝－23×12＝－ 3.故选A. 答案：A5．(2013·东莞二模)已知函数y ＝sin x ＋cos x ，则下列结论正确的是( )A ．此函数的图象关于直线x ＝－π4对称B ．此函数的最大值为1C ．此函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上是增函数 D ．此函数的最小正周期为π解析：因为函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ＝－π4时函数值为0，函数不能取得最值，所以A 不正确；函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ＝π4时函数取得最大值为2，B 不正确；因为函数x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，即x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上函数是增函数，所以函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上是增函数，C 正确．函数的周期是2π，D 不正确；故选C. 答案：C6．“φ＝π”是“函数f (x )＝sin(x ＋φ)是奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A7．(2013·惠州模拟)如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )解析：如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2sin θ，又l ＝2θR ＝2θ，所以d ＝2sin l2，根据正弦函数的图象知，选项C 中的图象符合解析式．故选C.答案：C8．(2013·太原模拟)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：因为T ＝πk ，所以1<πk <2，即π2<k <π，而k 为自然数，所以k ＝2或3.答案：2或39．(2013·苏州模拟)函数y ＝sin x ＋16－x 2的定义域为________．解析：因为sin x ≥0，所以2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，因为16－x 2≥0，所以－4≤x ≤4， 取交集得[－4，－π]∪[0，π]． 答案：[－4，－π]∪[0，π]10. (2012·广东两校联考)设M cos πx 3＋cos πx 5，sin πx 3＋sin πx5(x ∈R )为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )＝|OM |，当x 变化时，函数f (x )的最小正周期是__________．解析：∵f (x )＝|OM |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos πx 3＋cos πx 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin πx 3＋sin πx 52＝2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－πx 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2πx 15＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos πx 15， 画图易知函数f (x )的最小正周期为15. 答案：1511．函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的单调递增区间是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π4，k π2(k ∈Z )(开区间也可)12．(2013·潮州二模)已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求f (x )的值域和单调递增区间．解析：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x＝－3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]． ∵当y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3递减时，f (x )递增． ∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3. 故f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3.13．(2013·南通质检)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解析：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 又∵a >0，－5≤f (x )≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2a ＋b ＝－5，a ＋2a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.(2)f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤32π＋2k π，得π6＋k π≤x ≤23π＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，23π＋k π(k ∈Z )， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．14．已知向量a ＝(sin x ，cos x ), b ＝(sin x ，sin x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π3，求向量a 与c 的夹角θ；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π4，函数f (x )＝λa ·b 的最大值为12，求实数λ的值．解析：(1)当x ＝π3时，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以 cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×1＝－32.因而θ＝5π6.(2)f (x )＝λ(sin 2x ＋sin x cos x ) ＝λ2(1－cos 2x ＋sin 2x ) ＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π4，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π4.当λ>0时，f (x )max ＝λ2()1＋1＝12，即λ＝12.当λ<0时，f (x )max ＝λ2()1－2＝12，即λ＝－1－ 2.所以λ＝12或λ＝－1－ 2.。

黑龙江省哈尔滨三中高三数学二模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

黑龙江省哈尔滨三中高三数学二模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

某某省某某三中2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．cos240°=( )A．B．C．D．2．“x＞0”是“x≠0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知i是虚数单位，则=( )A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i4．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=( )A．44B．45C．（46﹣1）D．（45﹣1）5．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是( ) A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣216．如果执行下面的框图，运行结果为( )A．B．3 C．D．47．设a＞b＞0，则a++的最小值为( )A．2 B．3 C．4 D．3+28．过双曲线﹣=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值X围是( )A．（1，）B．（1，+1）C．（+1，）D．（，）9．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( )A．B．C．D．10．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为( )A．B．C．3D．311．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=3|FB|，则k=( )A．B．C．D．12．若一个函数存在定义域和值域相同的区间，则称这个函数为这个区间上的一个“保城函数”，给出下列四个函数：①f（x）=﹣x3；②f（x）=3x；③f（x）=sin；④f（x）=2ln3x﹣3．其中可以找到一个区间使其成为保城函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．某产品的广告费用x（单位：万元）的统计数据如下表：广告费用x（单位：万元） 2 3 4 5利润y（单位：万元）26 ●49 54根据上表可得线性回归方程=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为__________．14．哈三中3名同学经过层层闯关，最终获得了中国谜语大会银奖，赛后主办方为同行的一位老师、两位家长及这三名同学合影留念，六人站成一排，则这三名同学相邻且老师不站两端的排法有__________种（结果用数字作答）．15．抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0所围成的封闭图形的面积为__________．16．在四面体ABCD中，AD⊥A B，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于__________．三、解答题（共5小题，07分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=．（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值．18．春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为（2）若群主在只抢到2元以下的几人中随机选择3人拜年，则选中的三人中抢到钱数在1元以下的人数为X，试求X的分布列及期望．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D为AC的中点．（1）求证：AB1∥面BDC1；（2）若二面角A﹣B1D﹣A1大小为45°，求直线AC1与平面AB1D所成角的大小．20．已知F1（﹣2，0）、F2（2，0）是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上的点，且•的最大值为2．（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点的直线l交椭圆于M、N两点，且||•||sinθ=cosθ，求l的方程（其中∠MON=θ，O为坐标原点）21．已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=时，求f（x）在定义域上的单调区间；（2）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值X围，并在此X围下讨论关于x的方程f（x）=x2﹣2x+3的解的个数．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin （θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值X围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．24．已知函数f（x）=|2x+a|+x．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含，某某数a的取值X围．某某省某某三中2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．cos240°=( )A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．2．“x＞0”是“x≠0”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由题意看命题“x＞0”与命题“x≠0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：对于“x＞0”⇒“x≠0”；反之不一定成立，因此“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件，故选A．点评：本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．3．已知i是虚数单位，则=( )A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．解答：解：故选D点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．4．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=( ) A．44B．45C．（46﹣1）D．（45﹣1）考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由a n+1=3S n（n∈N*），可得S n+1﹣S n=3S n，S n+1=4S n，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n+1=3S n（n∈N*），∴S n+1﹣S n=3S n，∴S n+1=4S n，S1=1，S2=3+1=4．∴数列{S n}是等比数列，首项为1，公比为4．∴S n=4n﹣1．∴S6=45．故选：B．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是( ) A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：给二项式中的x赋值﹣1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数．解答：解：令x=1得展开式的各项系数之和2n，∴2n=128，解得n=7．∴展开式的通项为，令，解得r=6．所以展开式中的系数是3C76=21．故选C点评：本题考查通过给二项式中的x赋值求展开式的系数和、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．如果执行下面的框图，运行结果为( )A．B．3 C．D．4考点：循环结构．专题：计算题．分析：先由流程图判断其作用，即求数列=的前9项和，再对数列进行裂项求和即可解答：解：本框图的作用即求s=1++++…+=1+（﹣1）+（﹣）+…+（）==3故选B点评：本题考察了算法的表示方法，程序框图的认识和意义，循环结构的流程规则7．设a＞b＞0，则a++的最小值为( )A．2 B．3 C．4 D．3+2考点：基本不等式．专题：不等式．分析：由题意可得a﹣b＞0，a++=（a﹣b）+++b，由基本不等式可得．解答：解：解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a++=（a﹣b）+++b≥4=4当且即当（a﹣b）===b即a=2且b=1时取等号，∴a++的最小值为：4故选：C．点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．8．过双曲线﹣=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值X围是( )A．（1，）B．（1，+1）C．（+1，）D．（，）考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的渐近线斜率2＜＜3，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值X围．解答：解：由题意可得双曲线的渐近线斜率的X围为：2＜＜3，∵===，∴＜e＜，∴双曲线离心率的取值X围为（，）．故选D．点评：本题考查双曲线的性质：渐近线方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是运用离心率公式和渐近线斜率间的关系，属于中档题．9．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率．解答：解：区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=∴所求概率为P=故选：D．点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离小于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．10．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为( )A．B．C．3D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，所得的组合体，其截面是一个梯形，上底长为=，下底边长为=2，高为：=，故截面的面积S=（+2）×=，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=3|FB|，则k=( )A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=3|FB|，推断出|AM|=3|BN|，进而求得点B的坐标，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．解答：解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=3|FB|，则|AM|=3|BN|，设B（x1，y1），A（x2，y2），则x2+2=3（x1+2），y2=3y1，∴x1=∴点B的坐标为（，），∴k==．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，是中档题，解题要注意抛物线的基础知识的灵活运用．12．若一个函数存在定义域和值域相同的区间，则称这个函数为这个区间上的一个“保城函数”，给出下列四个函数：①f（x）=﹣x3；②f（x）=3x；③f（x）=sin；④f（x）=2ln3x﹣3．其中可以找到一个区间使其成为保城函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据“等值区间”的定义，要想说明函数存在“等值区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“等值区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：①对于函数f（x）=﹣x3存在“等值区间”，如 x∈时，f（x）=﹣x3∈．②对于函数f（x）=3x，若存在“等值区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有3a=a，3b=b，即方程3x=x有两个解，即y=3x和y=x的图象有两个交点，这与y=3x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在“等值区间”．③对于函数f（x）=sin，存在“等值区间”，如 x∈时，f（x）=sin∈；④对于f（x）=2ln3x﹣3，由于函数是定义域内的增函数，故有2ln3x﹣3=x有两个解，不成立，所以不存在“等值区间”．故选：B．点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，考查了函数的值域，在说明一个函数没有“等值区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于创新题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．某产品的广告费用x（单位：万元）的统计数据如下表：广告费用x（单位：万元） 2 3 4 5利润y（单位：万元）26 ●49 54根据上表可得线性回归方程=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为49．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：设●为a，求出=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，即可求得a的值．解答：解：设●为a，则由题意，=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，∴a=49故答案为：49．点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．14．哈三中3名同学经过层层闯关，最终获得了中国谜语大会银奖，赛后主办方为同行的一位老师、两位家长及这三名同学合影留念，六人站成一排，则这三名同学相邻且老师不站两端的排法有72种（结果用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意，三名同学相邻用捆绑法，老师不站两端，有2种选择，再考虑三名同学之间的排法，利用乘法原理，即可得出结论．解答：解：由题意，三名同学相邻用捆绑法，则可理解为四个人排队，老师不站两端，有2种选择，其余=6种方法，三名同学之间有=6种方法，故共有2×6×6=72种方法．故答案为：72．点评：本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于相邻的问题，一般采用捆绑法来解．15．抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0所围成的封闭图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4﹣x的交点坐标，积分时以y作为积分变量，计算出两曲线所围成的图形的面积．解答：解：由抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0解得，y=﹣1或3．故两个交点纵坐标分别为﹣1，3，则围成的平面图形面积S===．故答案为：．点评：本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，解题的难度是不一样的．16．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．解答：解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．三、解答题（共5小题，07分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=．（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，结合同角的基本关系式，化简整理，即可得到A；（2）运用三角形的内角和定理和正弦定理，结合同角的商数关系，化简整理，即可得到所求值．解答：解：（1）由正弦定理可得，sinAsinB+sinAcosB=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即有sinAsinB=cosAsinB，即tanA==，0＜A＜π，则A=；（2）由A=，则B+C=，由正弦定理，可得c=3b，即为sinC=3sinB，即sinC=3sin（﹣C）=3（cosC+sinC），即有﹣sinC=3cosC，则tanC==﹣3．点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查三角函数的化简和求值，运用两角和差的正弦公式和诱导公式是解题的关键．18．春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为则椭圆方程为+=1；（2）椭圆的左焦点为F1（﹣2，0），则直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，∵•==||•||c osθ≠0，∴||•||sinθ=，即S△OMN=，∵|MN|=•|x1﹣x2|=，原点O到m的距离d=，则S△OMN=|MN|•d=••=，解得k=±，∴l的方程为y=±（x+2）．点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21．已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=时，求f（x）在定义域上的单调区间；（2）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值X围，并在此X围下讨论关于x的方程f（x）=x2﹣2x+3的解的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=时，求出f（x），然后求f′（x），根据该导数的符号判断函数f（x）的单调区间即可；（2）求f′（x）=，从而得到x2+（2﹣a）x+1≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，根据判别式的取值情况并结合二次函数的图象即可求出a的X围．而判断方程f（x）=x2﹣2x+3解的个数，就是判断函数f（x）和函数x2﹣2x+3的交点个数，容易发现函数f（x）递增的速度小于lnx递增的速度，从而通过函数f（x）和x2﹣2x+3的图象即可找到原方程解的个数．解答：解：（1）a=时，f（x）=，f′（x）=；∴x时，f′（x）＞0；x时，f′（x）＜0；∴f（x）在定义域上的单调增区间为（0，），（2，+∞），单调减区间为；（2）f′（x）=；f（x）在（0，+∞）上为增函数；∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；∴x2+（2﹣a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立；设g（x）=x2+（2﹣a）x+1，则：①若△=（2﹣a）2﹣4≤0，即0≤a≤4时，满足g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；②若△＞0，即a＜0，或a＞4时，∵g（0）=1＞0，∴a还需满足：；∴a＜2；∴此种情况下a＜0；综上得a的取值X围为（﹣∞，4]；由于当x趋向0时，lnx趋向负无穷；x趋向正无穷时，lnx+趋向正无穷，所以画出函数y=lnx+和y=x2﹣2x+3的图象如下：只要a≤4，函数f（_x）=lnx+递增的速度都小于lnx递增的速度；∴y=ln x的图象会在直线y=x的下方，而y=x2﹣2x+3的图象在y=x的上方；∴函数y=lnx+和y=x2﹣2x+3的图象没有交点；∴原方程无解．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据导数求函数单调区间的方法和过程，当二次函数在区间（0，+∞）上恒大于0时，能够限制函数中的系数，熟悉并能画出二次函数图象，以及根据递增速度画函数图象，以及根据图象求方程解的方法．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（I）先证明△BCD∽△CED，可得，从而问题得证；（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O 的半径．解答：（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠EC D∵∠BDC=∠EDC∴△BCD∽△CED∴∴CD2=DE•DB．（II）解：设⊙O的半径为R∵D是弧AC的中点∴OD⊥AC，设垂足为F在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴∴R2﹣R﹣6=0∴（R﹣3）（R+2）=0∴R=3点评：本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin （θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值X围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：（1）把曲线M的参数方程化为 y=x2﹣1，把曲线N的极坐标方程化为 x+y﹣t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的X围．（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=﹣，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．解答：解：（1）曲线M （θ为参数），即 x2=1+y，即 y=x2﹣1，其中，x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈．把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=（其中t为常数）化为直角坐标方程为 x+y﹣t=0．由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个公共点，则有直线N过点A（，1）时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点B（﹣，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以﹣+1＜t≤+1满足要求，当直线和曲线M相切时，由有唯一解，即 x2+x﹣1﹣t=0 有唯一解，故有△=1+4+4t=0，解得t=﹣．综上可得，要求的t的X围为（﹣+1，+1]∪{﹣}．（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=﹣．故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，为=．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|2x+a|+x．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含，某某数a的取值X围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用绝对值的含义，对x讨论，分当x≥1时，当x＜1时，最后取各部分解集的并集即可；（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含，等价于f（x）≤|x+3|在内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤|x+3|的解集与区间的关系．解答：解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）≤2x+1即为|2x﹣2|≤x+1，当x≥1时，不等式即为2x﹣2≤x+1，解得1≤x≤3；当x＜1时，不等式即为2﹣2x≤2x+1，解得≤x＜1．即有原不等式的解集为；（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含，等价于f（x）≤|x+3|在内恒成立，从而原不等式可化为|2x+a|+x≤x+3，即|2x+a|≤3，∴当x∈时，﹣a﹣3≤2x≤﹣a+3恒成立，∴﹣a﹣3≤2且﹣a+3≥4，解得﹣5≤a≤﹣1，故a的取值X围是．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法，一般有根据绝对值的含义和零点分段法，函数图象法等．同时考查不等式恒成立问题，注意由条件去掉一个绝对值符号，是解题的关键．。

2015届高考数学总复习 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练试题 文(含解析)

2015届高考数学总复习 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练试题 文(含解析)

1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B.答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D ．－1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案：D4．(2012·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．(2012·重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝＋－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79答案：C 7．(2012·山西省考前适应性训练)已知α，β都是锐角， cos 2α＝－725，cos (α＋β)＝513，则sin β＝( )A.1665B.1365C.5665D.3365解析：∵cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝－725，又α为锐角，∴cos α＝35， sin α＝45.∵cos (α＋β)＝513，∴(α＋β)为锐角，sin (α＋β)＝1213.∴sin β＝sin []α＋β－α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝1213×35－513×45＝1665.故选A. 答案：A8．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.解析： cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－799．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2.答案：π210．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________.解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．(2013·广州二模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin α＝__________.解析：因为α为锐角，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：21012．(2013·江门一模)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)若点P (－3,4)在角α的终边上，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8的值．解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最大值为 2.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2α， P (－3,4)在角α的终边上，cos α＝－35.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＝22cos 2α－2＝－7225.13．(2013·梅州二模)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解析：(1)函数f (x )＝2cos 2＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴函数的最小正周期为2π2＝π.(2)∵f (C )＝2，∴2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＝12， ∵0＜C ＜π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6，∴2C ＋π6＝5π6，C ＝π3；∵2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2 sin A sin C ， ∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，即：sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，即：tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sinπ3sin π3－cos π3＝3232－12＝3＋32.。

浙江省杭州市高考数学二模试卷

浙江省杭州市高考数学二模试卷

浙江省杭州市高考数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共15分)1. （1分） (2017高一上·高邮期中) 函数的定义域为________．2. （1分） (2013·天津理) 已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=________．3. （1分）若a是集合{1，2，3，4，5，6，7}中任意选取的一个元素，则圆C：x2+（y﹣2）2=1与圆O：x2+y2=a2内含的概率为________．4. （1分）(2012·天津理) 某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18 所学校，中学中抽取________所学校．5. （1分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是________6. （1分）(2018·河北模拟) 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为________．7. （2分）函数的最小正周期和最大值分别为________；要得到函数y= cosx的图象，只需将函数y= sin （2x+ ）的图象上所有的点的________．8. （1分） (2016高二下·南阳开学考) 已知抛物线C：y2=8x与点M（﹣2，2），过C的焦点，且斜率为k 的直线与C交于A，B两点，若• =0，则k=________．9. （1分）方程的解集为________．10. （1分） (2017高二上·常熟期中) 已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有________．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．11. （1分） (2019高二下·上海月考) 若、为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则到轴的距离为________12. （1分）(2017·枣庄模拟) 已知min{{a，b}= f（x）=min{|x|，|x+t|}，函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称；若“∀x∈[1，+∞），ex＞2mex”是真命题（这里e是自然对数的底数），则当实数m＞0时，函数g（x）=f（x）﹣m零点的个数为________．13. （1分） (2018高一下·合肥期末) 如图，在中，，是的重心，则 ________．14. （1分） (2019高三上·广东月考) 已知不等式恒成立，则的取值范围是________.二、解答题： (共12题；共120分)15. （10分） (2018高二下·邯郸期末) 在中，，，的对边分别为，，，若，（1）求的大小；（2）若，，求，的值.16. （15分）如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；（2）证明：BD∥面PEC；（3）求该几何体的体积．17. （10分） (2017高三上·武进期中) 某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．18. （10分） (2020高三上·天津期末) 设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.（1）若，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.①求椭圆的方程；②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.19. （10分）(2017·邵阳模拟) 已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．20. （15分） (2018高二下·长春月考) 在数列中，且 .（1）求出a2，a3，a4；（2）归纳猜想出数列的通项公式；（3）证明通项公式 .21. （5分）(2017·东台模拟) 在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．22. （5分）(2012·福建) （1）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A= （a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1．（Ⅰ）求实数a，b的值．（Ⅱ）求A2的逆矩阵．23. （5分）(2017·葫芦岛模拟) 已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24. （10分）(2017·南海模拟) 函数f（x）=|x+3|+|x﹣1|，其最小值为t．（1）求t的值；（2）若正实数a，b满足a+b=4，求证．25. （10分） (2018高二上·黑龙江期末) 如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，， .（1）求证：平面 .（2）求证：平面 .26. （15分） (2017高二上·新余期末) 已知首项为1的正项数列{an}满足ak+1=ak+ai（i≤k，k=1，2，…，n﹣1），数列{an}的前n项和为Sn ．（1）比较ai与1的大小关系，并说明理由；（2）若数列{an}是等比数列，求的值；（3）求证：．参考答案一、填空题： (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9、答案：略10-1、11、答案：略12-1、13、答案：略14-1、二、解答题： (共12题；共120分)15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17、答案：略18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、。

2023年浙江省杭州市高考数学二模试卷【答案版】

2023年浙江省杭州市高考数学二模试卷【答案版】

2023年浙江省杭州市高考数学二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x ∈N *|x 2≤4x }，B ={x|y =√x −3}，则A ∩∁R B ＝（ ） A ．[0，3]B ．[1，3]C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．设复数z 满足z （1+i ）＝﹣2+i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ）A ．√102B ．54C ．52D ．√523．在数列{a n }中，“数列{a n }是等比数列”是“a 22=a 1a 3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知平面向量a →=(1，3)，|b →|=2，且|a →−b →|=√10，则(2a →+b →)⋅(a →−b →)=（ ） A ．1B ．14C ．√14D ．√105．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D （10，2）后，下列说法正确的是（ ）A ．相关系数r 变小B ．决定系数R 2变小C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强6．已知a ＞1，b ＞1，且log 2√a =log b 4，则ab 的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN ∥平面ABC 的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）满足f(π4)=1，f(53π)=0且f （x ）在(π4，5π6)上单调，则ω的最大值为（ ） A ．127B ．1817C ．617D ．3017二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若直线y ＝kx +1与圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的长度可能等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数f （x ）（x ∈R ）是奇函数，f （x +2）＝f （﹣x ）且f （1）＝2，f '（x ）是f （x ）的导函数，则（ ） A ．f （2023）＝2 B ．f '（x ）的周期是4C ．f '（x ）是偶函数D ．f '（1）＝111．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A ．事件A 1，A 2为互斥事件 B ．事件B ，C 为独立事件C ．P(B)=25D ．P(C|A 2)=3412．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O 1，O 2为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径r ＝2，则（ ）A ．球与圆柱的体积之比为2：3B ．四面体CDEF 的体积的取值范围为（0，32]C ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为4π5D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE +PF 的取值范围为[2+2√5，4√3] 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在(x −1√x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数为 ． 14．已知sin θ+cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β，则4cos 22α﹣cos 22β＝ ．15．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（F 1，F 2为焦点）上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2.已知双曲线C ：x 24−y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P(3，√102)处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则|OM |＝ ．16．已知函数f （x ）＝e 2x ﹣2e x +2x 在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为l ：y ＝g （x ），若对任意x ∈R ，都有（x ﹣x 0）（f （x ）﹣g （x ））≥0成立，则x 0＝ ． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB +sin A+C2=0． （1）求角B 的大小；（2）若a ：c ＝3：5，且AC 边上的高为15√314，求△ABC 的周长． 18．（12分）设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 32=a 2a 5．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，b n +b n+1=(√2)a n ，求数列{b 2n }的前n 项和T n ．19．（12分）在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠SAB ＝∠SCB ＝∠ABC ＝90°． （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB =2，SC =2√2，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，左，右顶点分别为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两点，△P AB 面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP，QB的斜率分别为k1，k2，且3k1＝5k2．（i）求证：直线PQ经过定点．（ii）设△PQB和△PQA的面积分别为S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．（12分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，X t﹣2，X t﹣1，X t，X t+1，…，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P（X t+1|…，X t﹣2，X t﹣1，X t）＝P（X t+1|X t）．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A（A∈N*，A＜B），赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）时，最终输光的概率为P（n），请回答下列问题：（1）请直接写出P（0）与P（B）的数值．（2）证明{P（n）}是一个等差数列，并写出公差d．（3）当A＝100时，分别计算B＝200，B＝1000时，P（A）的数值，并结合实际，解释当B→∞时，P （A）的统计含义．22．（12分）已知函数f（x）＝e x−a（a∈R）．x（1）讨论函数f（x）零点个数；（2）若|f（x）|＞alnx﹣a恒成立，求a的取值范围．2023年浙江省杭州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x ∈N *|x 2≤4x }，B ={x|y =√x −3}，则A ∩∁R B ＝（ ） A ．[0，3]B ．[1，3]C ．{1，2}D ．{1，2，3}解：集合A ＝{x ∈N *|x 2≤4x }＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x ﹣3≥0}＝[3，+∞）． ∁R B ＝（﹣∞，3），则A ∩（∁R B ）＝{1，2}． 故选：C ．2．设复数z 满足z （1+i ）＝﹣2+i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√102B ．54C ．52D ．√52解：z （1+i ）＝﹣2+i （i 是虚数单位），则z =−2+i 1+i =(−2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3i−12=−12+32i ， 则|z |=√(−12)2+(32)2=√102． 故选：A ．3．在数列{a n }中，“数列{a n }是等比数列”是“a 22=a 1a 3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：数列{a n }是等比数列，得a 22=a 1a 3，若数列{a n }中a 22=a 1a 3，则数列{a n }不一定是等比数列，如数列1，2，4，6，8，10，12，14，⋯， 所以反之不成立，则“数列{a n }是等比数列”是“a 22=a 1a 3”的充分不必要条件．故选：A ．4．已知平面向量a →=(1，3)，|b →|=2，且|a →−b →|=√10，则(2a →+b →)⋅(a →−b →)=（ ） A ．1B ．14C ．√14D ．√10解：因为|a →−b →|2=a →2−2a →⋅b →+b →2=10，|a →|=√10，|b →|=2，所以10﹣2a →⋅b →+4＝10，a →⋅b →=2，所以(2a →+b →)⋅(a →−b →)=2a →2−b →2−a →⋅b →=20−4−2=14． 故选：B ．5．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉D （10，2）后，下列说法正确的是（ ）A ．相关系数r 变小B ．决定系数R 2变小C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强解：由散点图知，去掉点D （10，2）后，y 与x 的线性相关性加强， 则相关系数r 变大，∴A 错误， 决定系数R 2变大，∴B 错误， 残差平方和变小，∴C 错误，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，∴D 正确． 故选：D ．6．已知a ＞1，b ＞1，且log 2√a =log b 4，则ab 的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32解：∵log 2√a =log b 4⇒12log 2a ＝2log b 2=2log 2b⇒log 2a •log 2b ＝4， ∵a ＞1，b ＞1，∴log 2a ＞0，log 2b ＞0，∴log 2（ab ）＝log 2a +log 2b ≥2√log 2a ⋅log 2b =4，则ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝4时，等号成立， ∴ab 的最小值为16， 故选：C ．7．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN ∥平面ABC 的是（ ）A ．B ．C．D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，如图，，A、B、C分别是三个棱的中点，可得平面MGNH∥平面ABC，必有MN∥平面BC；对于B，如图，，连接EF，易得MN∥EF，又由EF∥AB，则有MN∥AB，而AB在平面ABC上，必有MN∥平面ABC；对于C，如图：，G为所在棱的中点，则有MN∥CG，而CG在平面ABC内，则直线MN∥平面ABC；对于D，如图：MN在平面ABC内，不满足直线MN∥平面ABC．故选：D．8．已知f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）满足f(π4)=1，f(53π)=0且f （x ）在(π4，5π6)上单调，则ω的最大值为（ ） A ．127B ．1817C ．617D ．3017解：∵f （x ）＝sin （ωx +Φ）（ω＞0）满足f(π4)=1，f(53π)=0， ∴53π−π4=T 4+nT 2，即T =17π3+6n (n ∈N ∗)，∴ω=6+12n17(n ∈N ∗)， ∵f （x ）在(π4，5π6)上单调，∴5π6−π4=7π12≤T 2=2π2ω，即ω≤127， ∴当n ＝1时ω最大，最大值为1817，故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若直线y ＝kx +1与圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的长度可能等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5解：由圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝9，可得圆心C （2，0），半径r ＝3， 由直线l 方程y ＝kx +1，可知直线l 过定点D （0，1）， 由（0﹣2）2+12＝5＜9，∴点D 在圆内， ∴当CD 垂直直线l 时，|AB |的长最短，又|CD |=√22+12=√5，∴|AB |min ＝2√9−5=4， 直线l 过圆心时，|AB |的最大值为圆的直径2r ＝6， ∴|AB |的长度的取值范围为[4，6]． 故选：CD ．10．已知函数f （x ）（x ∈R ）是奇函数，f （x +2）＝f （﹣x ）且f （1）＝2，f '（x ）是f （x ）的导函数，则（ ） A ．f （2023）＝2 B ．f '（x ）的周期是4C ．f '（x ）是偶函数D ．f '（1）＝1解：根据题意，函数满足f （x +2）＝f （﹣x ），则f （x +4）＝f （﹣x ﹣2）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数，B 正确；而函数f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则f （2023）＝f （﹣1+2024）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2，A 错误； f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），等式两边同时求导，可得﹣f ′（﹣x ）＝﹣f ′（x ），即f ′（﹣x ）＝f ′（x ），f '（x ）是偶函数，C 正确；f （x +2）＝f （﹣x ），则有f （x +2）＝﹣f （x ），等式两边同时求导，可得f ′（x +2）＝﹣f ′（x ），令x ＝﹣1可得，f ′（1）＝﹣f ′（﹣1），又由f ′（x ）为偶函数，则f ′（1）＝f ′（﹣1），综合可得f ′（1）＝0，D 错误； 故选：BC ．11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A ．事件A 1，A 2为互斥事件 B ．事件B ，C 为独立事件C ．P(B)=25D ．P(C|A 2)=34解：根据题意，依次分析选项：对于A ，事件A 1，A 2不会同时发生，则两个事件是互斥事件，A 正确；对于B ，事件B 发生或不发生时，事件C 的概率不一样，则事件B ，C 不是独立事件，B 错误； 对于C ，P （B ）＝P （A 1）P （B |A 1）＝P （A 2）P （B |A 2）=35×24+25×14=820=25，C 正确； 对于D ，若事件A 2发生，即第一次取出的是白球，此时袋中有3个红球和1个白球，若事件C 发生，第二次必须为红球，则P （C |A 2）=P(A 2C)P(A 2)=25×3425=34．故选：ACD ．12．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O 1，O 2为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径r ＝2，则（ ）A ．球与圆柱的体积之比为2：3B ．四面体CDEF 的体积的取值范围为（0，32]C ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为4π5D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE +PF 的取值范围为[2+2√5，4√3] 解：球的半径为r ＝2，可知圆柱的底面半径r ＝2，圆柱的高为2r ＝4， 则球的体积为43π×23=32π3，圆柱的体积为π×22×4＝16π，则球与圆柱的体积之比为2：3，故A 正确；由题可知四面体CDEF 的体积等于2V E−DCO 1，点E 到平面DCO 1的距离d ∈（0，4]， 又S △DCO 1=12×4×4＝8，∴2V E−DCO 1=23×8d ∈（0，323]，故B 错误；过O 作OG ⊥DO 1于G ，则由题可得OG =12×2×425=2√55，设O 到平面DEF 的距离为d 1，平面DEF 截得球的截面圆的半径为r 1， 则d 1≤OG ，r 12=r 2−d 12=4−d 12≥4−45=165， ∴平面DEF 截得球的截面面积最小值为16π5，故C 错误；由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '，则PP ′＝2，PE =√P′E 2+4，PF =√P′F 2+4，P ′E 2+P ′F 2＝16， 设t ＝P 'E 2，则t ∈[0，42]，PE +PF =√t +4+√16+4−t ，可得(PE +PF)2=24+2√−t 2+16t +80 ＝24+2√−(t −8)2+144∈[24+8√5，48]， ∴PE +PF ∈2+2√5，4√3]，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在(x −1√x )n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数为 70 ．解：由只有第5项的二项式系数最大可得：n ＝8， ∴通项公式T r+1=C 8r x 8−r√x )r=(−1)r C 8r x 8−32r，令8−32r =2，解得r ＝4，∴展开式中含x 2项的系数为(−1)4C 84=70．故答案为：70．14．已知sin θ+cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β，则4cos 22α﹣cos 22β＝ 0 ． 解：∵sin 2θ+cos 2θ＝1，则（sin θ+cos θ）2＝1+2sin θcos θ， ∵sin θ+cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β， ∴4sin 2α＝1+2sin 2β，∵cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2β＝1﹣2sin 2β，∴2cos2α＝﹣cos2β，两边同时平方可得，4cos 22α＝cos 22β， 故4cos 22α﹣cos 22β＝0． 故答案为：0．15．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（F 1，F 2为焦点）上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2.已知双曲线C ：x 24−y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P(3，√102)处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则|OM |＝ 2 ．解：延长F 1M ，PF 2交于点Q ，由题意可得△PF 1M ≌△PMQ ，即|PF 1|＝|PQ |，且M 为F 1Q 的中点， 由双曲线的定义可得|F 2Q |＝|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝4， 又∵O 为F 1F 2的中点，∴|OM|=|F 2Q|2=2． 故答案为：2．16．已知函数f （x ）＝e 2x ﹣2e x +2x 在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为l ：y ＝g （x ），若对任意x ∈R ，都有（x ﹣x 0）（f （x ）﹣g （x ））≥0成立，则x 0＝ ﹣ln 2 ． 解：因为f （x ）＝e 2x ﹣2e x +2x ，所以f ′（x ）＝2e 2x ﹣2e x +2，f ′（x 0）＝2e 2x 0−2e x 0+2，所以g （x ）＝（2e 2x 0−2e x 0+2）（x ﹣x 0）+e 2x 0−2e x 0+2x 0， 令h （x ）＝f （x ）﹣g （x ），则h （x ）＝e 2x ﹣2e x +2x ﹣[（2e 2x 0−2e x 0+2）（x ﹣x 0）+e 2x 0−2e x 0+2x 0]， 则h （x 0）＝0，h ′（x ）＝2e 2x ﹣2e x ﹣（2e 2x 0−2e x 0），令φ（x ）＝2e 2x ﹣2e x ，则φ′（x ）＝4e 2x ﹣2e x ， 令φ′（x ）＝0，得x ＝﹣ln 2，所以x ∈（﹣∞，﹣ln 2）时，φ′（x ）＜0，φ（x ）单调递减， x ∈（﹣ln 2，+∞）时，φ′（x ）＞0，φ（x ）单调递增， 当x 0∈（﹣ln 2，+∞），x ≥x 0时，φ（x ）＞φ（x 0）， 则h ′（x ）＝φ（x ）﹣φ（x 0）＞0，h （x ）单调递增， h （x ）≥h （x 0）＝0，即f （x ）≥g （x ），所以当x ∈（﹣ln 2，+∞），x ＜x 0时，（x ﹣x 0）（f （x ）﹣g （x ））≥0成立， 当x 0∈（﹣∞，﹣ln 2），x ＜x 0时，φ（x ）＞φ（x 0）， 则h ′（x ）＝φ（x ）﹣φ（x 0）＞0，h （x ）单调递增， h （x ）＜h （x 0）＝0，即f （x ）＜g （x ），所以当x 0∈（﹣∞，﹣ln 2），x ＜x 0时，（x ﹣x 0）（f （x ）﹣g （x ））＞0成立， 综上所述，x 0＝﹣ln 2． 故答案为：﹣ln 2． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB +sin A+C2=0． （1）求角B 的大小；（2）若a ：c ＝3：5，且AC 边上的高为15√314，求△ABC 的周长． 解：（1）因为sin A+C2=sin π−B2=sin(π2−B2)=cos B2， 所以由cosB +sinA+C 2=0得cosB +cos B2=0， 所以2cos 2B2+cos B2−1=0，解得cos B2=12或cos B2=−1， 因为0＜B ＜2π，所以0＜B 2＜π2，则cos B 2＞0，故cos B 2=12，则B 2=π3，解得B =2π3；（2）因为c ：a ＝5：3，令c ＝5m （m ＞0），则a ＝3m ， 由三角形面积公式可得12acsinB =12b ×15√314，则15b ＝7ac ＝7×15m 2，故b ＝7m 2， 由余弦定理可得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，则49m 4＝49m 2，解得m ＝1， 从而a ＝3，c ＝5，b ＝7， 故△ABC 的周长为a +b +c ＝15．18．（12分）设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 32=a 2a 5．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，b n +b n+1=(√2)a n ，求数列{b 2n }的前n 项和T n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ≠0，∵S 5＝20，a 32=a 2a 5，∴5a 1+5×42d ＝20，(a 1+2d)2=（a 1+d ）（a 1+4d ），d ≠0， 联立解得a 1＝0，d ＝2， ∴a n ＝2（n ﹣1）．（2）数列{b n }满足b 1＝1，b n +b n+1=(√2)a n =2n ﹣1，∴b 2n +b 2n +1＝22n ﹣1，b 2n +1+b 2n +2＝22n ，∴b 2n +2﹣b 2n =12×4n ， n ＝1时，1+b 2＝1，b 2＝0，∴b 2n ＝（b 2n ﹣b 2n ﹣2）+（b 2n ﹣2﹣b 2n ﹣4）+…+（b 4﹣b 2）+b 2=12（4n ﹣1+4n ﹣2+…+4）+0=12×4×(4n−1−1)4−1=2(4n−1−1)3．∴数列{b 2n }的前n 项和T n =23×4n−14−1−2n 3=2×4n−6n−29．19．（12分）在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠SAB ＝∠SCB ＝∠ABC ＝90°． （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB =2，SC =2√2，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．（1）证明：取AC 的中点为E ，连结SE ，BE ， 易得BE ⊥AC ，又∠SAB ＝∠SCB ＝90°，AB ＝BC ，SB ＝SB ，∴△SCB ≅△SAB ，则SA ＝SC 且E 为AC 的中点， ∴SE ⊥AC ，∵SE ∩BE ＝E ，∴AC ⊥面SBE ， ∵SB ⊂面SBE ，∴AC ⊥SB ；（2）解：过S 作SD ⊥面ABC ，垂足为D ，连接AD ，CD ， ∴SD ⊥AB ，∵AB ⊥SA ，AB ⊥SD ，SA ∩AD ＝A ，AB ⊥平面SAD ， ∴AB ⊥AD ，同理可证BC ⊥CD ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AB =2，SC =2√2， ∴四边形ABCD 为正方形且边长为2． 建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，则A （2，0，0），S （0，0，2），C （0，2，0），B （2，2，0）， ∴SC →=(0，2，−2)，AC →=(−2，2，0)，BC →=(−2，0，0)，设平面SAC 的法向量n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅SC →=2y 1−2z 1=0n →⋅AC →=−2x 1+2y 1=0，解得x ＝y ＝z ，取x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝1，∴n →=(1，1，1)，设平面SBC 的法向量m →=(x 2，y 2，z 2)，则{m →⋅SC →=2y 2−2z 2=0m →⋅BC →=−2x 2=0，解得{x =0y =z，取y 2＝1，则x 1＝0，z 1＝1，∴m →=(0，1，1)，设平面SAC 与平面SBC 夹角为θ，∴cosθ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=23×2=√63，故平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值为√63． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，左，右顶点分别为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两点，△P AB 面积的最大值为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AP ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，且3k 1＝5k 2． （i ）求证：直线PQ 经过定点．（ii ）设△PQB 和△PQA 的面积分别为S 1，S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值． 解：（1）当点P 为椭圆C 短轴顶点时，△P AB 的面积取最大值， 且最大值为12|AB|⋅b =12×2ab =ab =2，由题意可得{c a=√32ab =2c 2=a 2−b 2，解得{a =2b =1c =√3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）（i ）证明：设点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则k 1＝﹣k 2，不合乎题意； 设直线PQ 的方程为x ＝ty +n ，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则n ≠±2， 联立{x =ty +n x 2+4y 2=4，消去x 可得（t 2+4）y 2+2tny +n 2﹣4＝0， Δ＝4t 2n 2﹣4（t 2+4）（n 2﹣4）＝16（t 2+4﹣n 2）＞0，可得n 2＜t 2+4， 由韦达定理可得y 1+y 2=−2tn t 2+4，y 1y 2=n 2−4t 2+4， 则ty 1y 2=4−n 22n (y 1+y 2)，所以，k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2−2y 2=(ty 2+n−2)y 1(ty 1+n+2)y 2=ty 1y 2+(n−2)y 1ty 1y 2+(n+2)y 2=4−n 22n (y 1+y 2)+(n−2)y 14−n 22n(y 1+y 2)+(n+2)y 2=4−n 22n (y 1+y 2)+(n−2)y 14−n 22n(y 1+y 2)+(n+2)y 2=2−n 2+n ⋅(2+n)(y 1+y 2)−2ny 1(2−n)(y 1+y 2)+2ny 2=2−n 2+n=53，解得n =−12，即直线PQ 的方程为x =ty −12，故直线PQ 过定点M(−12，0)．（ii ）由韦达定理可得y 1+y 2=t t 2+4，y 1y 2=−154(t 2+1)， 所以，|S 1−S 2|=12||AM|−|BM||⋅|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√(tt 2+4)2+15t 2+4=√4t 2+15t 2+4=4√4t 2+15(4t 2+15)+1=4√4t +15+1√4t +15，∵t 2≥0，则√4t 2+15≥√15，因为函数f(x)=x +1x 在[√15，+∞)上单调递增，故√4t 2+15+1√4t +15≥√15+1√15=16√1515， 所以，|S 1−S 2|≤16√1515=√154，当且仅当t ＝0时，等号成立，因此，|S 1﹣S 2|的最大值为√154． 21．（12分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，X t ﹣2，X t ﹣1，X t ，X t +1，…，那么X t +1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t ，即P （X t +1|…，X t ﹣2，X t ﹣1，X t ）＝P （X t +1|X t ）．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A （A ∈N *，A ＜B ），赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n 元（0≤n ≤B ，n ∈N ）时，最终输光的概率为P （n ），请回答下列问题： （1）请直接写出P （0）与P （B ）的数值． （2）证明{P （n ）}是一个等差数列，并写出公差d ．（3）当A ＝100时，分别计算B ＝200，B ＝1000时，P （A ）的数值，并结合实际，解释当B →∞时，P （A ）的统计含义．解：（1）当n ＝0时，赌徒已经输光了，因此P （0）＝1．当n ＝B 时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P （B ）＝0． （2）证明：记M ：赌徒有n 元最后输光的事件，N ：赌徒有n 元下一场赢的事件，P(M)=P(N)P(M|N)+P(N)P(M|N)，即P(n)=12P(n−1)+12P(n+1)，所以P（n）﹣P（n﹣1）＝P（n+1）﹣P（n），所以{P（n）}是一个等差数列，设P（n）﹣P（n﹣1）＝d，则P（n﹣1）﹣P（n﹣2）＝d，⋯，P（1）﹣P（0）＝d，累加得P（n）﹣P（0）＝nd，故P（B）﹣P（0）＝Bd，得d=−1B ；（3）A＝100，由P（n）﹣P（0）＝nd得P（A）﹣P（0）＝Ad，即P(A)=1−A B ，当B＝200时，P（A）＝50%，当B＝1000时，P（A）＝90%，当B→∞时，P（A）→1，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光．22．（12分）已知函数f（x）＝e x−ax（a∈R）．（1）讨论函数f（x）零点个数；（2）若|f（x）|＞alnx﹣a恒成立，求a的取值范围．解：（1）令函数f（x）＝e x−ax=0，得xe x＝a，其中x≠0，设g（x）＝xe x，则g′（x）＝（1+x）e x，令g′（x）＝0，解得x＝﹣1，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞﹣1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；所以x＝﹣1时，g（x）取得极小值，也是最小值，所以g（x）min＝g（﹣1）＝﹣e﹣1=−1e；又因为x＝0时，g（x）＝0，所以x≠0时，g（x）≠0，画出函数g（x）＝xe x的图象，如图所示：所以，当a＜−1e或a＝0时，f（x）无零点；当a=−1e或a＞0时，f（x）有1个零点；当−1e＜a＜0时，f（x）有2个零点．（2）a＝0时，不等式|f（x）|＞alnx﹣a化为e x＞0，不等式恒成立，满足题意；当a＜0时，由|f（x）|＞alnx﹣a，可得x＞0，则e x−ax＞0，所以|f（x）|＝f（x）＝e x−ax，所以不等式化为e x−ax＞alnx﹣a，即e x＞（1x+lnx﹣1）a恒成立，设h（x）=1x+lnx﹣1，x＞0，则h′（x）=−1x2+1x=x−1x2，令h′（x）＝0，解得x＝1，所以0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；所以x＝1时，h（x）取到极小值，也是最小值，所以h（x）≥h（1）＝0；所以当a＜0时，e x＞0≥（1x+lnx﹣1）a，即|f（x）|＞alnx﹣a恒成立，即a＜0满足题意；当a＞0时，由（1）知，g（x）﹣a＝xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，又g（0）﹣a＝﹣a＜0，g（a）﹣a＝a（e a﹣1）＞0，所以存在x0∈（0，a），使得g（x0）﹣a＝x0e x0−a ＝0；①当x∈（0，x0）时，xe x﹣a＜0，即e x−a x＜0，设m（x）=ax−e x﹣alnx+a，则m′（x）=−ax2−e x−ax＜0，所以m（x）在（0，x0）上单调递减，所以当x∈（0，x0）时，m（x）＞m（x0）＝﹣alnx0+a；②当x∈（x0，+∞）时，xe x﹣a＞0，即e x−a x＞0，设n（x）＝e x−a x−alnx+a，则n′（x）＝e x+ax2−ax=x2e x−ax+ax2，设p（x）＝x2e x﹣ax+a，x∈（x0，+∞），则p′（x）＝（x2+2x）e x﹣a，设q（x）＝（x2+2x）e x﹣a，x∈（x0，+∞），则q′（x）＝（x2+4x+2）e x＞0，所以q（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以p（x）≥p（x0）=x02e x0−ax0+a＝a＞0，所以n′（x）=p(x)x2＞0，所以n（x）在（x0，+∞）上单调递增；所以当x∈（x0，+∞）时，n（x）≥n（x0）＝﹣alnx0+a，又因为x∈（0，x0）时，m（x）＞m（x0）＝﹣alnx0+a，所以当a＞0时，|f（x）|＞alnx﹣a，﹣alnx0+a＞0，解得0＜x0＜e，由此知，a＝x0e x0，g（x）＝xe x在（0，+∞）上单调递增，此时0＜a＜e e+1，所以a的取值范围是（﹣∞，e e+1）．。

高考数学二模试题卷(理科)-Word版含解析

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高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．24．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种B．14种C．20种D．24种5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．1267．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C．D．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2） B．（9，0，1，0） C．（8，0，1，1） D．（7，0，1，2）10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是．16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．18．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．19．（12分）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8998993899201042111010（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．20．（12分）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数，，其中a≥1．（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m的取值范围．2017年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4}B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】分别让x取﹣1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可．【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故选D．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，元素与集合的关系，对数式的运算，以及交集的运算．2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．则|z|==．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．2【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的几何表示．【分析】根据|+|2=，而，均为单位向量，它们的夹角为，再结合向量数量积的公式可得答案．【解答】解：由题意可得：|+|2=，∵，均为单位向量，它们的夹角为，∴|+|2==1+1+2×1×1×cos=3，∴|+|=，故选C．【点评】本题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式，解决此类问题的关键是熟练记忆公式并且细心认真的运算即可得到全分．属于基础题．4．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种 B．14种 C．20种 D．24种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，按照分配在甲单位的人数分3种情况讨论：即①、甲单位1人而乙单位3人，②、甲乙单位各2人，③、甲单位3人而乙单位1人，由组合数公式求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，分3种情况讨论：①、甲单位1人而乙单位3人，在4人中任选1个安排在甲单位，剩余3人安排在甲乙单位即可，有C41=4种安排方法；②、甲乙单位各2人，在4人中任选2个安排在甲单位，剩余2人安排在甲乙单位即可，有C42=6种安排方法；③、甲单位3人而乙单位1人，在4人中任选3个安排在甲单位，剩余1人安排在甲乙单位即可，有C43=4种安排方法；则一共有4+6+4=14种分配方案；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意根据题意进行分类讨论时，一定要做到不重不漏．5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y z 是否继续循环循环前 1 1 0第一圈 1 3 7 是第二圈 3 7 17 否则输出的结果为．故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．126【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得a1+4d=a5=7，从而利用数列{a n}的前9项和S9=，能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，∴2（a1+6d）=a1+8d+7，∴a1+4d=a5=7，∴数列{a n}的前9项和S9==63．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，由此，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，∴4c2﹣4a2=2mn=4，∴b2=c2﹣a2=1，∴b=1，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取BC中点M，连结FM，HM，推导出平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，设PA=AB=a，则S梯形EFMH==，求出a=2，由此能求出四棱锥P﹣ABCD 的体积．【解答】解：取BC中点M，连结FM，HM，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，∴EF∥AB∥MH，∴EF⊥EH，MH⊥EH，平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，设PA=AB=a，∵过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，∴S梯形EFMH===，解得a=2，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V===．故选：A．【点评】本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2）B．（9，0，1，0）C．（8，0，1，1）D．（7，0，1，2）【考点】进行简单的合情推理．【分析】若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可得结论．【解答】解：根据若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可知①号的最佳分配方案是（9，0，1，0），故选B．【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2，2，故斜边长为2，过斜边的侧面与底面垂直，且为高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为R，则，解得：R=2，故它的外接球表面积S=4πR2=16π，故选：B【点评】本题考查的知识点是球的表面积和体积，球内接多面体，空间几何体的三视图，难度中档．11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）【考点】数列的函数特性．【分析】由已知求出a n利用为单调递减数列，可得a n＞a n+1，化简解出即可得出【解答】解：∵s n=3n（λ﹣n）﹣6，①∴s n﹣1=3n﹣1（λ﹣n+1）﹣6，n＞1，②①﹣②得数列a n=3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）（n＞1，n∈N*）为单调递减数列，∴a n＞a n+1，且a1＞a2∴﹣3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）＞3n（2λ﹣2n﹣3），且λ＜2化为λ＜n+，（n＞1），且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是（﹣∞，2）．故选：A．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力．12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过（0，1），（2，0）求出ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；根据函数解析式之间的关系判断各选项即可得结论．【解答】解：根据图象可知，f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的图象过（0，1），（2，0）可得：f（0）=cos（φ）=1，解得：φ=+2kπ或φ=﹣+2kπ，（k∈Z）f（2）=cos（2ω+）=0，解得ω=+kπ或ω=+kπ．当k=﹣1时，|ω|为：，周期T==．故A对．此时可得f（x）=cos（）．函数g（x）=x的图象图象向右平移个单位可得：=cos（）．故B对．当x=﹣时，函数f（）=cos（）．==1，故C不对．由f（x）=cos（）=cos（）．令0+2kπ≤）≤π+2kπ，可得：，（k∈Z）当k=2时，可得是单调递减．故D对．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为6．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为．【解答】解：由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为=6．故答案为：6．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为10．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+3y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（1，3），代入目标函数z=x+3y得z=1+3×3=10故答案为：10．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是[﹣1，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，，得=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设P（x，y），∵，，∴=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范围是：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数的图象，求出x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果．【解答】解：函数f（x）=，图象如图，函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，即方程f（x）=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞0时，f（x）=，因为x+≥2（x＞0），所以f（x），当且仅当x=1时取得最大值．当y=时，x1=﹣2；x2=x3=1，此时﹣=，由=t（0），可得=0，∴x2+x3=，x2x3=1∴+=＞2，∴﹣=t+∵0，∴﹣的取值范围是．故答案为．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•永州二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化，即可求出sinC的值，从而求出C；（Ⅱ）根据图形设BC=x，利用余弦定理求出x的值，再求出AB的值，利用正弦定理求出sinA，再计算△ACD的面积．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，，由正弦定理得，，∴，又c＜b，∴；…（6分）（Ⅱ）如图所示，设BC=x，则AB=5﹣x，在△ABC中，由余弦定理得，求得，即，所以，…（8分）在△ABC中，由正弦定理得，∴，…（10分）∴△ACD的面积为=．…（12分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．18．（12分）（2017•永州二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，推导出B1O⊥AB，B1D⊥AB，从而AB⊥面B1OD，进而AB⊥OD，再求出AC⊥AB，由此能证明AC⊥面ABB1A1．（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，△B1BO中，AB=2，B1B=2，∠B1BA=60°，故△AB1B是等边三角形，∴B1O⊥AB，又B1D⊥AB，而B1O与B1D相交于B1，∴AB⊥面B1OD，故AB⊥OD，又OD∥AC，所以AC⊥AB，又∵侧面ABB1A1⊥底面ABC于AB，AC在底面ABC内，∴AC⊥面ABB1A1．…（6分）解：（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，C（﹣1，2，0），A（﹣1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B1（0，0，），∴，，，，设面ADC1的法向量为，依题意有：，令x=1，则y=﹣1，，∴，…（9分）又面ADC的法向量为，…（10分）∴，∴二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•永州二模）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8 9 9 8 9 9 3 8 9 92 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天的销售量都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，推导出X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）求出甲厂家的日平均销售量，从而得到甲厂家的日平均返利，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额，由此推荐该商场选择乙厂家长期销售．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，则．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则当a=38时，X=38×4=152；当a=39时，X=39×4=156；当a=40时，X=40×4=160；当a=41时，X=40×4+1×6=166；当a=42时，X=40×4+2×6=172；∴X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，∴X的分布列为X 152 156 160 166 172p∴．…（9分）（ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5，∴甲厂家的日平均返利额为：70+39.5×2=149元，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（＞149元），∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．20．（12分）（2017•永州二模）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设AB直线方程，与抛物线C：y2=4x联立，利用韦达定理，求出直线l的方程，即可求点Q的坐标；（Ⅱ）（方法一）A，B，C，D四点共圆，有，即可求直线l的方程．（方法二）利用参数方程求．【解答】解：（Ⅰ）易知AB不与x轴垂直，设AB直线方程为：y=k（x﹣2）+t，与抛物线C：y2=4x联立，消去y得：k2x2+（2tk﹣4k2﹣4）x+（t﹣2k）2=0，∴△=（4k2+4﹣2tk）2﹣4k2×（t﹣2k）2＞0（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程两根，∴x1+x2=，即tk=2，代入（i）中，求得且t≠0，∴直线l的方程为：y﹣t=（x﹣2），令y=0，得x=4，知定点坐标为（4，0）；…（Ⅱ）（方法一）|AB|===，…（7分）CD直线：，与抛物线y2=4x联立，消去y得：t2x2﹣（8t2+16）x+16t2=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=，x3x4=16，…（8分）设CD的中点为M（x0，y0），∴x0=，y0=，|PM|=，∴|CD|====，∴A，B，C，D四点共圆，有，代入并整理得t4﹣12t2+32=0，求得t2=4或t2=8（舍去），t=±2．∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）（方法二）利用参数方程求：设AB直线的参数方程为：，代入抛物线C：y2=4x得，sin2θm2+2sinθmt﹣4cosθm+t2﹣8=0，，，则直线CD的参数方程为：，或有，，sin2β=cos2θ，依题意有：|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，sin2θ=cos2θ，则有或，∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）【点评】本题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2017•永州二模）已知函数，，其中a ≥1．（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（a+1）x+a，令f′（x）=0得x1=1，x2=a，由题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，即可求a的取值范围；（Ⅱ）不妨设2≤x1＜x2≤3，由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f（x1）﹣f（x2）|=f（x1）﹣f（x2），分类讨论，构造函数，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（a+1）x+a，令f′（x）=0得x1=1，x2=a，…（1分）依题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，知1≤a＜2，…（3分），，f（0）=﹣1，，（i）若a=1，函数f（x）在区间（0，2）上恒单调递增，显然符合题意；…（4分）（ii）若1＜a＜2时，有，即，，得；综上有．…（6分）（Ⅱ）不妨设2≤x1＜x2≤3，由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f（x1）﹣f（x2）|=f（x1）﹣f（x2），…（7分）（i）若3≤a≤4时，在区间[2，3]上恒单调递减，|g（x1）﹣g（x2）|=g（x1）﹣g （x2），则|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），由F（x1）＞F（x2）知F（x）在区间[2，3]上单调递减，F′（x）=x2﹣（a+1）x+a﹣（a﹣4）x=x2﹣（2a ﹣3）x+a，当a≥3时，x2﹣（2a﹣3）x+a≤0，即，求得；…（10分）（ii）若a＞4时，单调递增，|g（x1）﹣g（x2）|=g（x2）﹣g（x1），则|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令函数G（x）=f（x）+g（x），由G（x1）＞G（x2）知G（x）在区间[2，3]上单调递减，有G′（x）=x2﹣（a+1）x+a+（a﹣4）x=x2﹣5x+a≤0，故当2≤x≤3时，x2﹣5x+a≤0，即，求得4＜a≤6，由（i）（ii）得．…（12分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，有难度．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•永州二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C 的极坐标方程．（Ⅱ）利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：，普通方程为（x﹣1）2+y2=7，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0；（Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则有，解得ρ1=3，θ1=，即P（3，）．设Q（ρ2，θ2），则有，解得ρ2=1，θ2=，即Q（1，），所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用以及极坐标的意义，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•永州二模）已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论k的范围，求出不等式的解集，从而求出k的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1），根据h（x）的单调性求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）显然k≠0，k＞0时，f（x）≤3的解集是[﹣，]，∴﹣=﹣2且=1，但k无解，k＜0时，f（x）≤3的解集是[，﹣]，∴=﹣2且﹣=1，解得：k=﹣2，综上，k=﹣2；（Ⅱ）k=1时，令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1）=，由此可得，h（x）在（﹣∞，0]上递增，在[0，+∞）递减，∴x=0时，h（x）取最大值1，由题意得：1≤3﹣2m，解得：m的范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．。

高中高考数学二模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

高中高考数学二模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．23．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或05．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．56．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=17．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．3010．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．212．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为_______．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_______．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_______．16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 520．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出+z，再求出其模即可．【解答】解：∵z=1+i，∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2，故|+z|=2，故选：A．3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＞a等价于x＞a或x＜﹣a，最后求并集即可．【解答】解：当x+2＞0时，不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，故x的X围为x＞3或x＜﹣故选：B．4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（+x）=f（﹣x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），∴x=是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）=±2，故选：B5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2kπ+，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得c﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为d==b=，又c2﹣a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：A．7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．【考点】几何概型．【分析】若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．【解答】解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（﹣）]= +，故|OM|≤2的概率为．故选：D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解答】解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．10．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的X围即可得解．【解答】解：∵α为△ABC最大内角，∴3α＞π，即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），则由余弦定理可得，cosα===2﹣=2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，∴cosα=2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π），可得：α∈（，π）．故选：B．11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据分段函数，分别讨论x的X围，求出函数的最小值，根据题意得出不等式a2＜a+2，求解即可．【解答】解：∵f（x）=，当x≤0时，f（x）的最小值为a2，当x＞0时，f（x）的最小值为2+a，∵在x=0处取得最小值，∴a2＜a+2，∴﹣1≤a≤2，故选D．12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）e x﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）e x﹣2，h′（x）=xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）e x﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．故选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为存在x0≤0，都有．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；故答案为：存在x0≤0，都有；14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，得到ab的值．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20，∴ab=1．故答案为：1．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．【考点】三角形的形状判断；函数的值．【分析】不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的X围，进而可求M的X围，即可求解【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴M2≥2∴故答案为：16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于 3 ．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相比可得： =3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，可得b n=a•2n．利用b1=1，解得a，即可得出．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），∴a1=5，a2=3，a3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n．∵点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，∴b n=a•2n．∵b1=1，∴1=a×21，解得a=．∴b n=2n﹣1．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．∴数列{}的前n项和S n=5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．∴2S n=5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，∴﹣S n=5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n=5﹣﹣（7﹣2n）•2n=9﹣（9﹣2n）•2n，∴S n=（9﹣2n）•2n﹣9．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．（2）利用四点共面， =x+y，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4），设平面AEF的法向量为=（x，y，z）则令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，即=（﹣1，﹣2，1），平面ABC的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），∵=，∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），=+=（λ，λ，6﹣6λ）∵A，E，F，H四点共面，∴设=x+y，即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得λ=，x=y=，故λ的值为．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 5【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得；（2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得．【解答】解：（1）依题意，解x=4，由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B（3，），，其k=0、1、2、3．所以变ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E 的方程（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点（，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式：则有∴（x﹣2）2=x2﹣7x+y2+4，整理可得y2=3x∴曲线E的方程为y2=3x．（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tc osα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0由韦达定理得，，==═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n=0，，此时为定值故存在．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值满足该不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：x （0，x0）x0（x0，a）g'（x）+ 0 ﹣g（x）↗↘∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C 在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，分别代入和，可得|OA|，|OB|，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，故△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2=0，联立方程，解得x=2，y=0，或，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）若a=﹣1，不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可某某数a的取值X围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，综上，原不等式的解集为…（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…。

数学_2012年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)(含答案)

数学_2012年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2012年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，C U P ={4, 5}，则集合P 可以是（ ）A {x ∈N ∗||x|<4}B {x ∈N ∗|x <6}C {x ∈N ∗|x 2≤16}D {x ∈N ∗|1≤x ≤4} 2. 已知复数z =i ⋅tanθ−1（i 是虚数单位），则“θ=π”是“z 为实数”的( )A 充要条件B 必要不充分条件C 充分不必要条件D 既不充分也不必要条件3. 用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩（成绩为两位整数），现乙还有一次不小于90分的成绩未记录．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A 25B 710C 45D 124. 设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是（ ）A 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB 如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βC 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，那么l ⊥γD 如果α⊥β，l 与α，β都相交，则l 与α，β所成的角互余5.已知函数f(x)=ax 3+12x 2在x =−1处取得极大值，记g(x)1f′(x)．某程序框图如图所示，若输出的结果S >20112012，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是（ ）A n ≤2011？B n ≤2012？C n >2011？D n >2012？6. 设定义在区间(−b, b)上的函数f(x)=lg 1+ax1−2x 是奇函数(a ，b ∈R ，且a ≠−2)，则a b 的取值范围是（ ）A (1,√2]B [√22，√2] C (1,√2) D (0,√2)7. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2 // PF 2，则双曲线的离心率是( )A √5B 2C √3D √28. 正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n (m, n ∈N ∗)使得√a m a n =4a 1，且a 7＝a 6+2a 5，则1m +5n 的最小值是（ ）A 74B 1+√53 C 256 D 2√539. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →=mOA →+nOB →，则m +n 的取值范围是（ ） A (0, 1) B (1, +∞) C (−∞, −1) D (−1, 0)10. 用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B),当C(A)≥C(B)C(B)−C(A),当C(A)<C(B)，若A ={x|x 2−ax −1=0, a ∈R}，B ={x||x 2+bx +1|=1, b ∈R}，设S ={b|A ∗B =1}，则 C(S)等于（ ）A 4B 3C 2D 1二、填空题：（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 11. (x −√3x)10的展开式中，x 6的系数是________（用数字作答）． 12. 已知正三棱柱ABC −A′B′C′的正视图和侧视图如图所示．设△ABC ，△A′B′C′的中心分别是O ，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S ，则S 的最大值为________．13. 函数f(x)=sin(x +π2)cosx(x +π6)的单调递减区间是________．14. 设整数m 是从不等式x 2−2x −8≤0的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m 2，则ξ的数学期望Eξ=________．15. 已知动点P 在直线 x +2y −1=0上，动点Q 在直线 x +2y +3=0上，线段PQ 中点 M(x 0, y 0)满足不等式{y 0≤x03+2y 0≤−x 0+2，则√x 02+y 02的取值范围是________．16. 数列{a n }中，a 1=2，a n +a n+1=(15)n (n ∈N ∗)，S n =a 1+5a 2+52a 3+...+5n−1a n ，则6S n −5n a nn=________．17. 设定义域为(0, +∞)的单调函数f(x)，对任意的x ∈(0, +∞)，都有f[f(x)−log 2x]＝6，若x 0是方程f(x)−f′(x)＝4的一个解，且x 0∈(a, a +1)(a ∈N ∗)，则实数a ＝________．三、解答题：（本大题有5小题，共72分） 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m →=(a, 12)，n →=(cosC, c −2b)，且m →⊥n →．（1）求角A 的大小；（2）若a =1，求△ABC 的周长l 的取值范围．19. 设数列{a n }与数列{b n }满足a 1=b 1=1，b n a n=1a 1+1a 2+⋯+1an−1(n ≥2且n ∈N ∗)．（1）求证：b n+1b n+1=a nan+1(n ≥2)；（2）设(1+1b 1)(1+1b 2) (1)1b n)=λ(1a 1+1a 2…+1a n)(n ∈N ∗)，求实数λ的值．20. 已知四棱锥 P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC =90∘，AD // BC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，G 为△PAC 的重心，E 为PB 的中点，点F 在BC 上，且CF =2FB ． （1）求证：FG ⊥AC ；（2）当二面角 P −CD −A 的正切值为多少时，FG ⊥平面AEC ；并求此时直线FG 与平面PBC 所成角的正弦值．21. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上任一点P 到两个焦点的距离的和为2√3，P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为−23．设直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．（1）若OA →⋅OB →=4tan∠AOB （O 为坐标原点），求|y 1−y 2|的值；（2）当直线l 与两坐标轴都不垂直时，在x 轴上是否总存在点Q ，使得直线QA 、QB 的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数f(x)=lnx ，g(x)=12x 2．（1）设函数F(x)=f(x)−ag(x)，若x ∈(0, 2)，函数F(x)不存在极值，求实数a 的取值范围；（2）设函数G(x)=(x−1)[f 2(x)+g(x)]g(x)，如果对于任意实数x ∈(1, t]，都有不等式tG(x)−xG(t)≤G(x)−G(t)成立，求实数t 的最大值．2012年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. C3. C4. D5. B6. A7. B8. A9. D10. B11. 13512. 813. [kπ−π12，kπ+5π12](k∈Z)14. 515. [√55，√34]16. n+1n17. 118. 解：（1）由题意m→⊥n→．可知：m→⋅n→=0，即acosC+12c=b，得sinAcosC+12sinC=sinB．又sinB=sin(A+C)=sinAcosB+cosAsinC．∴ 12sinC=cosAsinC，∵ sinC≠0，∴ cosA=12．又0<A<π∴ A=π3．（2）由正弦定理得：b=asinBsinA =√3，c=√3，l=a+b+c=1+√3+sinC)=1√3+sin(A+B))=1+2(√32sinB+12cosB)=1+2sin(B+π6)．∵ A=π3．∴ B∈(0,2π3)，∴ B+π6∈(π6，5π6)，∴ sin(B+π6)∈(12，1]．故△ABC的周长l的范围为(2, 3]．19. 证明：（1）n≥2时，∵ b n a n=1a 1+1a 2+...+1an−1(n ≥2且n ∈N ∗)， ∴b n+1a n+1=1a 1+1a 2+...+1a n−1+1a n，∴ bn+1a n+1=bn a n+1a n，∴ b n+1a n −(b n +1)a n+1=0(n ≥2且n ∈N ∗)， 所以b n +1b n+1=a n a n+1(n ≥2且n ∈N ∗)．（2）由（1）知b n+1b n+1=a nan+1，b 2=a 2，∴ (1+1b 1)(1+1b 2)…(1+1b n)=b 1+1b 1⋅b 2+1b 2...b n +1b n=1b 1⋅b 1+1b 2⋅b 2+1b 3...b n−1+1b n⋅b n +1b n+1⋅b n+1=1b 1⋅b 1+1b 2⋅a 2a 3⋅a 3a 4...a n−1a n ⋅a n a n+1⋅b n+1=2⋅b n+1a n+1=2(1a 1+1a 2+...+1a n−1+1a n)，故(1+1b 1)(1+1b 2)…(1+1b n )1a 1+1a 2+⋯+1a n=2，即 λ=2．20. （1）证明：连接CG 并延长交PA 于H ，连接BH ，∵ G 是△PAC 的重心，∴ CG:GH =2:1，∵ CF:FB =2:1，∴ CG:GH =CF:FB ，∴ FG // BH ． ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥AC ，∴ AC ⊥平面PAB ， ∴ AC ⊥BH ，∴ FG ⊥AC ．（2）解：∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥CD ， ∵ CD ⊥AD ，∴ CD ⊥平面PAD ，∴ CD ⊥PD ，∴ ∠PDA 为二面角P −CD −A 的平面角． 如图所示，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系 ∵ AB =AC =2且AB ⊥AC ，∴ ∠ACB =45∘，在直角梯形ABCD 中，∵ ∠BCD =90∘，∴ ∠ACD =45∘， ∵ AC =2，∴ AD =CD =√2．∴ A(0, 0, 0)，C(√2, √2, 0)，D(0, √2, 0)，B(√2, −√2, 0)， 设P(0, 0, a)，∴ H(0, 0, a2)，E(√22, −√22, a2)， ∵ FG ⊥平面AEC∴ FG ⊥AE∵ FG // BH∴ BH ⊥AE ∴ BH →=(−√2, √2, a2)，AE →=(√22, −√22, a2)，∴ BH→⋅AE →=0，∴ a =2√2，∴ PA =2√2，∴ tan∠PDA =2．∴ 当二面角P −CD −A 的正切值为2时，FG ⊥平面AEC ．∵ BH // FG ，∴ FG 与平面PBC 所成的角等于BH 与平面PBC 所成的角． ∵ BH →=(−√2, √2, √2)，BC →=(0, 2√2, 0)，PC →=(√2, √2, −2√2)， 设平面PBC 的法向量n →=(x, y, z)，∴ {n →⋅PC →=0˙，∴ {y =0x =2z，令z =1，∴ n →=(2, 0, 1)． ∴ cos <BH →，n →>=|BH →|⋅|n →|˙=−√1515． 设直线FG 与平面PBC 所成的角为θ， ∴ sinθ=|cos <BH →，n →>|=√1515， ∴ 直线FG 与平面PBC 所成的角的正弦值为√1515． 21. 解：（1）由椭圆的定义知a =√3，又−b 2a2=−23，∴ b 2=2，c 2=a 2−b 2=1．∴ 椭圆P(x 0, y 0)的方程是x 23+y 22=1．∵ OA →⋅OB →=4tan∠AOB ，∴ |OA →|⋅|OB →|cos∠AOB =4tan∠AOB ， ∴ |OA →|⋅|OB →|sin∠AOB =4，∴ S △AOB =12|OA →|⋅|OB →|sin∠AOB =2，又S △AOB =12|y 1−y 2|×1，故|y 1−y 2|=4．（2）假设存在一点Q(m, 0)，使得直线QA 、QB 的倾斜角互为补角， 依题意可知直线l 、QA 、QB 斜率存在且不为零．设直线l 的方程为y =k(x −1)代入椭圆的方程消去y 得(3k 2+2)x 2−6k 2x +3k 2−6=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)则x 1+x 2=6k 23k 2+2，x 1⋅x 2=3k 2−63k 2+2 ∵ 直线QA 、QB 的倾斜角互为补角， ∴ k QA +k QB =0，∴y 1x 1−m+y 2x 2−m=0．又y 1=k(x 1−1)，y 2=k(x 2−1)，代入上式可得2x 1x 2+2m −(m +1)(x 1+x 2)=0， ∴ 2×3k 2−63k 2+2+2m −(m +1)×6k 23k 2+2=0，化为2m −6=0，解得m =3，∴ 存在Q(3, 0)使得直线QA 、QB 的倾斜角互为补角． 22. 解：（1）由F(x)=lnx −12ax 2，得F′(x)=1x −ax =1−ax 2x(x >0)，当a≤0时，F′(x)>0(x>0)，此时F(x)在(0, 2)上无极值，当a>0时，所以F(x)在区间√a )上递增，在区间(√a+∞)上递减，所以要使得F(x)在(0, 2)上不存在极值，只要√a ≥2，即0<a≤14，综合以上两种情况可得a≤14．（2）不等式tG(x)−xG(t)≤G(x)−G(t)等价于(t−1)G(x)≤(x−1)G(t)，等价于G(x)x−1≤G(t)t−1，即f2(x)g(x)≤f2(t)g(t)…设函数ℎ(x)=f 2(x)g(x)，问题等价于ℎ(x)≤ℎ(t)在(1, t]上恒成立，即ℎ(t)为ℎ(x)的最大值，而ℎ(x)=f 2(x)g(x)=2ln2xx2，所以ℎ′(x)=4lnx(1−lnx)x3(x>0)，故ℎ(x)在区间(e, +∞)上单调递减，在区间(1, e)上单调递增，因此t≤e，即实数t的最大值为e．。

2015年高考试卷(新课标全国二卷)各科分析

2015年高考试卷(新课标全国二卷)各科分析

2015年高考全国II卷试卷分析科目云南报纸（云南信息报、春城晚报）内蒙古报纸（呼和浩特晚报）语文滇池中学高级教师舒银敏：作文题目立意多元，便于考生各抒己见滇池中学有着多年语文教学经验的高级教师舒银敏认为，“当代风采人物评选”这一素材，能够让审题立意呈现出丰富的角度，立意可以多元，便于考生畅所欲言。

“关于‘时代风采’的思考其实可以仁者见仁，三个候选人无论是‘笃学敏思、矢志创新’，还是‘爱岗敬业’成就行业佼佼者，还是‘捕捉美景’予人感悟世间真善美的行为，都呈现了一份值得肯定的人生追求。

考生只要从三个角度中选出一个自己认为最能体现‘当代风采’的内容进行立意写作就行。

”但舒老师也指出，写作时要注意避免同时从三个角度进行分析，大包大揽，“考生需要注意写作要求中的字词限制：‘谁，更具风采’深挖一个角度。

”呼和浩特市第二中学李璐一、论述类文本阅读今年的论述类文本阅读是关于“接受美学”的，是属于西方文艺理论的范畴，高中的孩子阅读这样的文章显然有一种“距离感”，阅读理解文章的难度相对大一些。

但是一般而言，文章比较难的话，后面三道选择题的设置就会比较简单。

所以，考生只要静下心来认真解题，就不会有上来就给个“下马威”的感觉。

二、古代诗文阅读1、古文阅读古文选段出自唐人李延寿所著的《北史》，熟悉《隋唐演义》的考生对选段的主人公来护儿应该不陌生，内容难度上基本与去年持平，但是设题上难度有所下降。

以前一直考的文言实词解释题删去了，这就意味着难度降低了很多。

因为大纲要求学生掌握120个常用实词的义项，所以在备考复习时会花费大量的时间、精力来积累实词。

因此，删去实词题会让备考轻松许多。

加入的新题型，是考文学文化常识，这个题型在去年的全国大纲卷中已经出现过，而且在今年的考试说明中也有体现，加上考的内容非常简单，所以考生很容易得分。

翻译题中规中矩，没有什么变化。

2、诗歌鉴赏题诗歌选择的是晚唐诗人韩偓的一首《残春旅舍》，内容上比较浅显，注释的暗示性很强，所以学生理解诗意是没有问题的，而且题目的设置也很常规，一道“炼句”题，一道“情感”题。

2015届高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课时精练试题 文(含解析)

2015届高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课时精练试题 文(含解析)

第二节 一元二次不等式及其解法1．(2012·南昌调研)不等式1x≤1的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：1x ≤1⇔1－1x ＝x －1x≥0，解得x <0或x ≥1.故选C.答案：C2．(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}解析：A ＝[0，＋∞)，B ＝[2,4]，∴A ∩∁R B ＝[0,2)∪(4，＋∞)．故选C. 答案：C3．(2012·青岛模拟)关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大的充要条件是( )A ．－1＜a ＜1B ．a ＜－1或a ＞1C ．－2＜a ＜1D ．a ＜－2或a ＞1解析：设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，由题意知f (1)＜0，∴1＋a 2－1＋a －2＜0. ∴a 2＋a －2＜0.∴－2＜a ＜1.故选C. 答案：C4．(2012·天津六校联考)已知集合M ＝{x |log 2x ≤1}，N ＝{x |x 2－2x ≤0}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为M ＝{x |0<x ≤2}，N ＝{x |0≤x ≤2}，由a ∈M 可推得a ∈N ，但由a ∈N 推不出a ∈M .故选A.答案：A5．(2013·常州质检)已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－35或a ＞1B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ＜1C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1或a ＝－1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立， 故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立， ∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＜0，Δ＝a －2＋a 2－＜0. 解得－35<a <1.综合①②③可知，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35<a ≤1. 答案：D6．设二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，满足f (x ＋3)＝f (3－x )，则使f (x )＞c －8的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)D ．(－∞，2)∪(4，＋∞)解析：∵f (x ＋3)＝f (3－x )， ∴x ＝3是y ＝f (x )的对称轴，∴－b2＝3，解得b ＝－6，∴f (x )＝x 2－6x ＋c ，∴f (x )＞c －8，即x 2－6x ＋8＞0， 解得x ＜2或x ＞4.故选D. 答案：D7．(2013·云南昆明一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x ＜1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)解析：f (x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1.⇔x 0≥1或x 0<－1.答案：B8．(2013·潮州二模)已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相同，则a ＋b 的值为________．解析：不等式|x －2|＞1，得x －2＞1或x －2＜－1，即x ＜1或x ＞3，∴不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞3}，则方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－a ，1×3＝b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3， ∴a ＋b ＝－4＋3＝－1. 答案：－19．(2013·南京师大附中月考)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≤0，x 2－9≥0或x 2－9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ≤－3或x ≥3或x ＝±3，即x ≤－3或x ＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}10．(2013·四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＜5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，x 2＋4x ＜5，得－5<x <0，即f (x )<5的解为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．答案：{x |－7<x <3}11．(2013·珠海一模)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．解析：(1)A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3＝{x |－3＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}；(2)由题意及(1)知－3,1是方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1＝－2，b 2＝－3×1＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.12．已知f (x )是R 上的单调函数，且对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立，若f (－3)＝2.(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式f ⎝⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.解析：(1)f (x )为R 上的减函数．理由如下： ∵对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立， ∴f (x )是R 上的奇函数． ∴f (0)＝0.∵f (x )是R 上的单调函数，f (0)＜f (－3)＝2， ∴f (x )为R 上的减函数．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )＜0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＜－f (m )＝f (－m )， 结合(1)得m －xx＞－m ， 整理得－m x －mx＜0.当m ＞1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞0或x ＜m1－m ； 当m ＝1时，{}x |x ＞0；当0＜m ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜m1－m .。

数学_2011年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)(含答案)

数学_2011年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2011年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 设函数f(x)={√x ，x ≥0√−x ，x <0，若f(a)+f(−1)=2，则a =( )A −3B ±3C −1D ±12. 设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件为（ ）A a ⊥c ，b ⊥cB α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC a ⊥α，b // αD a ⊥α，b ⊥α3. 6名同学安排到3个社区A ，B ，C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为（ ） A 12 B 9 C 6 D 54. 已知非零向量a →、b →满足|a →+b →|=|a →−b →|=2√33|a →|，则a →+b →与a →−b →的夹角为（ ）A 30∘B 60∘C 120∘D 150∘5. 若正实数a ，b 满足a +b =1，则（ ）A 1a +1b 有最大值4B ab 有最小值14C √a +√b 有最大值√2D a 2+b 2有最小值√22 6. 已知tan(α+π4)=12，且−π2<α<0，则2sin 2α+sin2αcos(α−π4)等于( )A −2√55 B −3√510 C −3√1010 D 2√557. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是（ ）A（30,42］B（42,56］C（56,72］D（30,72）8. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)>1.75，则p 的取值范围是（ ）A (0, 712) B (712, 1) C (0, 12) D (12, 1)9. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A √2 B √3 C 2 D 310. 已知函数f(x)=x 3−3x +1，x ∈R ，A ={x|t ≤x ≤t +1}，B ={x||f(x)|≥1}，集合A ∩B 只含有一个元素，则实数t 的取值范围是（ ） A {0,√3−1} B [0,√3−1] C (0,√3−1] D (0,√3−1)二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分） 11. 已知i 是虚数单位，z =√3+i1−√3i，则|z|=________．12. 如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是________．13. 设(2x −1)5+(x +2)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则|a 0|+|a 2|+|a 4|=________．14. 如果以抛物线y 2=4x 过焦点的弦为直径的圆截y 轴所得的弦长为4，那么该圆的方程是________．15. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．16. 设实数x ，y 满足不等式组{2x −y −1≥04x −y −6≤02x +y −k −2≥0，且4x 2+y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是________．17. 由数字1，2，3，4，5，6，7组成一个无重复数字的七位正整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于2的概率等于1380．三、解答题（共5小题，满分72分）18. 已知函数f(x)=cos 2ωx +2√3cosωxsinωx −sin 2ωx(ω>0, x ∈R)图象的两相邻对称轴间的距离为π2． （1）求ω的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=√3，f(A)=1，求b+c的最大值．19. 已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=10，a2=15．(1)求证：数列{√b n}是等差数列；(2)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(3)设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n<2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．20. 如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60∘，且AB=a的菱形，ADD′′A1和CD D′C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D1．设直线l 过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．(I)设二面角E−AC−D1的大小为θ，若π4≤θ≤π3，求线段BE长的取值范围；(II)在线段D1E上存在点P，使平面PA1C1 // 平面EAC，求D1PPE与BE之间满足的关系式，并证明：当0<BE<a时，恒有D1PPE<1．21. 已知直线(1+3m)x−(3−2m)y−(1+3m)=0(m∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若125≤|FA|⋅|FB|≤187，求直线l的斜率的取值范围．22. 已知函数f(x)=12x2+(a−3)x+lnx．（1）若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；（2）在函数f(x)的图象上是否存在不同两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，线段AB的中点的横坐标为x0，直线AB的斜率为k，有k=f′(x0)成立？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．2011年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. C3. B4. B5. C6. A7. B8. C9. A 10. D 11. 1 12. 64 13. 11014. (x −32)2+(y ±1)2=25415.289π416. [√17−2，5] 17. 136018. 解：（1）f(x)=cos 2ωx +2√3cosωxsinωx −sin 2ωx =cos2ωx +√3sin2ωx =2sin(2ωx +π6)．∵ f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，∴ f(x)的最小正周期T =π．∴ 2π2ω=π．∴ ω=1． （2）由f(A)=2sin(2A +π6)=1，得sin(2A +π6)=12． ∵ 0<A <π，∴ π6<2A +π6<13π6．∴ 2A +π6=5π6．∴ A =π3．由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，因此，3=b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc ≥(b +c)2−34(b +c)2=14(b +c)2．∴ (b +c)2≤12．于是，当b =c 即△ABC 为正三角形时，b +c 的最大值为2√3．19. (1)证明：由已知，得2b n =a n +a n+1①，a n+12=b n ⋅b n+1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N ∗，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√b n =√b n−1+√b n+1． ∴ {√b n }是等差数列．(2)解：设数列{√b n }的公差为d ，由a 1=10，a 2=15．经计算，得b 1=252,b 2=18．∴ √b 1=52√2,d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴ √b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴ b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．(3)解：由(1)得1a n=2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴ S n =2[(14−15)+(15−16)+⋯+(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)． 不等式2aS n <2−b n a n化为4a(14−1n+4)<2−n+4n+3．即(a −1)n 2+(3a −6)n −8<0．设f(n)=(a −1)n 2+(3a −6)n −8，则f(n)<0对任意正整数n 恒成立． 当a −1>0，即a >1时，不满足条件； 当a −1=0，即a =1时，满足条件；当a −1<0，即a <1时，f(n)的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)<0，f(n)关于n 递减，因此，只需f(1)=4a −15<0．解得a <154，∴ a <1． 综上，a ≤1．20. 解：设菱形ABCD 的中心为O ，以O 为原点，对角线AC ，BD 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系如图． 设BE =t(t >0)．(I)A(√32a ，0，0)，C(−√32a,0,0)，D 1(0,−a 2,a)，E(0,a 2,t)．AD 1→=(−√32a,−a 2,a)，AC→=(−√3a,0,0)，设平面D 1AC 的法向量为n 1→=(x 1,y 1,1)，则{n 1→⋅AC →=0˙⇒{−√32ax 1−a2y 1+a =0−√3ax 1=0⇒{x 1=0y 1=2∴ n 1→=(0,2,1)． AE →=(−√32a,a 2,t)， 设平面EAC 的法向量为n 2→=(x 2,y 2,−1)，则{n 2→⋅AC →=0˙⇒{−√32ax 2+a2y 2−t =0−√3ax 2=0⇒{x 2=0y 2=2t a∴ n 2→=(0,2t a,−1)．设二面角E −AC −D 1的大小为θ，则cosθ=|n 1→||n 2→|˙=√20t 2+5a 2，∵ cosθ∈[12，√22]，∴ 12≤√20t 2+5a2≤√22，解得8+5√322a ≤t ≤3a 2．所以BE 的取值范围是[8+5√322a, 3a2]． (II)设D 1P →=λPE →，则P(0,a2⋅λ−1λ+1，λt+a1+λ)．∵ A 1(√32a,0,a)，∴ A 1P →=(−√32a,a 2⋅λ−1λ+1,λt−aλ1+λ)．由平面PA 1C 1 // 平面EAC ，得A 1P // 平面EAC ，∴ A 1P →⋅n 2→=0．∴ t ⋅λ−1λ+1−λt−aλ1+λ=0，化简得：λ=ta(t ≠a)，即所求关系式：D 1P PE=BE a(BE ≠a)．∴ 当0<t <a 时，D 1PPE <1．即：当0<BE <a 时，恒有D 1PPE <1．21. 解：（1）由(1+3m)x −(3−2m)y −(1+3m)=0得(x −3y −1)+m(3x +2y −3)=0，由{x −3y −1=03x +2y −3=0，解得F(1, 0)． 设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则{c =1a +c =3a 2=b 2+c 2解得a =2,b =√3，c =1， 从而椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2） 过F 的直线l 的方程为y =k(x −1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，因点F 在椭圆内部必有△>0， 有{x 1+x 2=8k 23+4k 2x 1x 2=4k 2−123+4k 2， ∴ |FA|⋅|FB|=(1+k 2)|(x 1−1)(x 2−1)|=(1+k 2)|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|=9(1+k 2)3+4k 2由125≤9(1+k 2)3+4k 2≤187，得1≤k 2≤3，解得−√3≤k ≤−1或1≤k ≤√3，∴ 直线l 的斜率的取值范围为[−√3，−1]∪[1,√3]． 22. 解：（1）f /(x)=x +a −3+1x (x >0)． 若函数f(x)在(0, +∞)上递增，则f′(x)≥0对x >0恒成立，即a ≥−(x +1x )+3对x >0恒成立，而当x >0时，−(x +1x )+3≤−2+3=1． ∴ a ≥1．若函数f(x)在(0, +∞)上递减，则f′(x)≤0对x >0恒成立，即a ≤−(x +1x )+3对x >0恒成立，这是不可能的． 综上，a ≥1． a 的最小值为1．（2）假设存在，不妨设0<x 1<x 2.k =f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=12x 12+(a−3)x 1+lnx 1−12x 22−(a−3)x 2−lnx 2x 1−x 2=x 0+(a −3)+lnx 1x 2x1−x 2．f /(x 0)=x 0+(a −3)+1x 0．若k =f′(x 0)，则lnx 1x 2x 1−x 2=1x 0，即lnx 1x 2x1−x 2=2x1+x 2，即ln x 1x 2=2x 1x 2−2x 1x 2+1．(∗)令t =x 1x 2，u(t)=lnt −2t−2t+1(0<t <1)，则u′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0．∴ u(t)在0<t <1上是增函数，∴ u(t)<u(1)=0，∴ (∗)式不成立，与假设矛盾．∴ k ≠f′(x 0)． 因此，满足条件的x 0不存在．。

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2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A． B． y=cosx C． y=e x D． y=ln|x|2．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x＜0 D．对任意的x∈R，2x＞03．设等比数列{a n}的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（）A． 24 B． 8 C． 8 D． 164．设函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A． B． C．D．6．已知ABC﹣A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是（）A．在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°B．在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°C．在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行D．在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直7．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）A．ab B． C．ab D．8．设f0（x）=|x|﹣10，f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1（n∈N*），则函数y=f20（x）的零点个数为（）A． 19 B． 20 C． 21 D． 22二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）9．设集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}所表示的区域为A，过原点O的直线l将A 分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为，此时直线l落在区域A内的线段长为．10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于，体积等于．11．设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，则p= ；已知Q，M分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|MF|= ．12．设非负实数x，y满足（m＜0），则不等式所表示的区域的面积等于（用m表示）；若z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，则实数m= ．13．在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．15．已知单位正方形的四个顶点A（0，0），B（1，0），C（1，1）和D（0，1），从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA﹣sinC=sin（A﹣B）．（Ⅰ）若b=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），点D（0，b），直线DF的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，过点P（﹣4c，0）作与直线AB的倾斜角互补的直线l，交椭圆C于M，N两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由．20．设a＞0，b＞0，函数f（x）=ax2﹣bx﹣a+b．（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1）的解集；（ii）若f（x）在[0，1]上的最大值为b﹣a，求的取值范围；（Ⅱ）当x∈[0，m]时，对任意的正实数a，b，不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|恒成立，求实数m的最大值．2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A． B． y=cosx C． y=e x D． y=ln|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性、奇偶性的定义逐项判断即可．解答：解：y=在（0，+∞）上递增，但不具有奇偶性，排除A；y=cosx为偶函数，但在（0，+∞）上不单调，排除B；y=e x在（0，+∞）上递增，但不具有奇偶性，排除C；y=ln|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且ln|﹣x|=ln|x|，故y=ln|x|为偶函数，当x＞0时，y=ln|x|=lnx，在（0，+∞）上递增，故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决问题的基本方法．2．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x＜0 D．对任意的x∈R，2x＞0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：对任意的x∈R，2x＞0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．设等比数列{a n}的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（） A． 24 B． 8 C． 8 D． 16考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵+=+，∴，∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴a1a2=4，同理可得：a3a4=16．∴q4=4，解得，．则a1a5==4q3=8．故选：C．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．4．设函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A． B． C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据条件求出a、b的范围，可得函数y=log a（x+b）的单调性以及图象经过的定点，结合所给的选项得出结论．解答：解：有函数的图象可得0＜b＜1，=＞2π﹣π，∴0＜a＜1．故函数y=log a（x+b）为减函数，且图象经过点（1﹣b，0），（0，log a b），log a b＞0．结合所给的选项，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，对数函数的图象和性质，属于基础题．5．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（）A． 8 B． 12 C． 12 D． 15考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果解答：解：根据题意，设A（m，n），B（x0，log2x0），C（x0，2+log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n﹣2，∴4m=2n；又x0﹣m=，∴m=x0﹣，∴x0=m+；又2+log2x0﹣n=1，∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1=；∴m+=；2m+2=2n=4m，∴m=，2n=4；∴m•2n=×4=12；故选：B点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目．6．已知ABC﹣A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是（）A．在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°B．在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°C．在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行D．在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意画出图形，如图所示，连接A1M，AM，根据直三棱柱得到侧棱与底面垂直，在直角三角形AA1M中，利用锐角三角函数定义求出tan∠AM A1的值，判断出∠AMA1与45°大小判断即可．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，连接A1M，AM，由题意得到AA1⊥面A1B1C1，∴AA1⊥A1M，在Rt△AA1M中，设AA1=1，则有A1B1=A1C1=B1C1=1，A1M=，∴tan∠AMA1==＞1，∴∠AMA1＞45°，则在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°，故选：B．点评：此题考查了棱柱的结构特征，直线与面垂直的性质，锐角三角函数定义，以及正弦函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．7．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）A．ab B． C．ab D．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定A，B的坐标，根据=λ+μ，确定坐标之间的关系，可得4λμ=1，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：由题意，设P（x，y），则∵=λ+μ，∴x=（λ+μ）a，y=（λ﹣μ）b∵P为双曲线C右支上的任意一点，∴（λ+μ）2﹣（λ﹣μ）2=1∴4λμ=1∴λ2+μ2≥2λμ=∴λ2+μ2的最小值为．故选：D．点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．8．设f0（x）=|x|﹣10，f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1（n∈N*），则函数y=f20（x）的零点个数为（）A． 19 B． 20 C． 21 D． 22考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：令f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1=0，则|f n﹣1（x）|=1，问题转化为方程|f n﹣1（x）|=1的根的个数，依次递推下去即得结果．解答：解：令f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1=0，则|f n﹣1（x）|=1，即方程f n（x）=0有两个解f n﹣1（x）=±1；又∵f n﹣1（x）=|f n﹣2（x）|﹣1=±1，∴|f n﹣2（x）|=0或者2，所以方程f n（x）=0有3个解：f n﹣2（x）=0或±2；又∵f n﹣2（x）=|f n﹣3（x）|﹣1=0或±2，∴|f n﹣3（x）|=1或3，所以方程f n（x）=0有4个解：f n﹣3（x）=±1或±3；又∵f n﹣3（x）=|f n﹣4（x）|﹣1=±1或±3，∴方程f n（x）=0有5个解：f n﹣4（x）=0，±2或±4；又∵f n﹣4（x）=|f n﹣5（x）|﹣1=0，±2或±4，∴方程f n（x）=0有6个解：f n﹣5（x）=±1，±3或±5；又∵f n﹣5（x）=|f n﹣6（x）|﹣1=±1，±3或±5，∴方程f n（x）=0有7个解：f n﹣6（x）=0，±2，±4或±6；…类似地，最终得出方程f n（x）=0有n+1个解，从而函数y=f20（x）=0有21个解，故选：C．点评：本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）9．设集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}所表示的区域为A，过原点O的直线l将A 分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为2x﹣y=0 ；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为x+2y=0 ，此时直线l落在区域A内的线段长为2．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：作出集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}表示的区域A，再结合直线与圆的位置关系确定直线的方程，并求线段的长度即可．解答：解：集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}表示的区域A如下，故过圆心E（1，2）时，两部分面积相等；此时直线l的方程为y=x，即2x﹣y=0；当直线l与OE垂直时，两部分面积之差最大；此时直线l的方程为y=﹣x；即x+2y=0；此时与圆相交于C、D两点，CO==；故CD=2；故答案为：2x﹣y=0，x+2y=0，2．点评：本题考查了学生的作图能力，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于，体积等于．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：可以得出空间几何体是如下图：面PAD⊥面ABCD，PA⊥面ABCD，DC⊥AD，是四棱锥，运用空间几何体的性质，求解边长，面积体积，计算准确，可以得出答案．解答：解：某几何体的三视图如图所示可以得出空间几何体是如下图：面PAD⊥面ABCD，PA⊥面ABCD，DC⊥AD，PA=4，AD=1，DC=4，运用三视图得出：AC==，AB=，根据这个几何体得出：PB==，PC==，PD==，∴这个几何体中最长的棱长等于，底面积为：4×2=5体积为：（4×2×1×2）×4=故答案为：，．点评：本题考查了运用几何体的三视图求解棱长，体积，属于计算题，关键是运用三视图恢复空间几何体的原图．11．设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，则p= 2 ；已知Q，M分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|MF|= 4 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线方程求出直线所过定点的坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；作出抛物线图形，数形结合得到|MF|=2p，则答案可求．解答：解：∵直线l：y=kx+1过定点（0，1），即抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F为（0，1），∴，则p=2；则抛物线方程为x2=4y，如图，∵=2，∴|MQ|=2|QE|，则∠EMQ=30°，∴|MF|=2p=4．故答案为：2；4．点评：本题考查了抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．设非负实数x，y满足（m＜0），则不等式所表示的区域的面积等于（用m表示）；若z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，则实数m= ﹣10 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：当y=0时，x=﹣m，由，解得，即A（，﹣），则三角形OAB的面积S=（﹣m）（﹣）=，由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（，﹣）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．即最小值z=2×（）﹣（﹣）=，当直线y=2x﹣z经过点B（﹣m，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，即最大值z=﹣2m，∵z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，∴﹣2m+=19，即m=﹣10．故答案为：，﹣10．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出相应的交点坐标是解决本题的关键．13．在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是[] ．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：首先①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，进一步利用解三角形知识利用余弦定理求出角的余弦值．②当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，直接在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，求出夹角的余弦值．最后求出角的余弦值的范围．解答：解：在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，则：①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，设：正四面体的边长为2，取AD的中点，连接MN、NG，利用勾股定理得：CM=，M、G是AB和AD的中点，所以：MG=1，同理解得：CG=，在△CMG中，利用余弦定理得：，即：所成角的余弦值最小为．②当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，连接DM，在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，所以：cos，即所成角的余弦值最大为．所以：cosα的范围为：[]．故答案为：[]点评：本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的应用能力和空间想象能力．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：在△ABC的顶点A作边BC的垂线BO，垂足为O，这样可表示出cosB=，cosC=，从而得到，而根据已知条件及中线向量的表示即可得到，所以便得出O是BC的中点，即M，O重合．所以在Rt△ABM中可以求出sinB，所以根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积．解答：解：如图所示，过A作边BC的垂线，垂足为O，则：cosB=，cosC=；∴；根据题意知λ≠0；∴；∴；∴；即O是边BC的中点，M与O重合；∴在Rt△ABM中，；∴；∴．故答案为：．点评：考查余弦函数的定义，向量加法的平行四边形法则，以及直角三角形三边的关系，三角形的面积公式：S=．15．已知单位正方形的四个顶点A（0，0），B（1，0），C（1，1）和D（0，1），从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为 5 ．分析：由题意，画出图形，根据入射光线和反射光线的对称性以及正方形的性质得到I，J 的坐标，利用两点之间的距离公式可得．解答：解：从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，经过各边发射后最后由B点射出，如图，因为已知是单位正方形，这束光线在正方形内经过的路程如图，由对称性可以得到OP=FI=HE=FJ=，所以这束光线在正方形内经过的路程的长度为=5；故答案为：5．点评：本题考查了点关于直线的对称以及两点之间的距离公式的运用；关键是画出图形．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA﹣sinC=sin（A﹣B）．（Ⅰ）若b=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵sinA﹣sinC=sin（A﹣B），∴sinA=sinC+sin（A﹣B）=sin（A+B）+sin（A﹣B）=sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB﹣cosAsinB=2sinAcosB，∴cosB=，由余弦定理可得（2）2=a2+62﹣12acos，即a2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4．当a=2时，△ABC的面积S=acsinB=×2×6sin=3；当a=4时，△ABC的面积S=acsinB=×4×6sin=6；…8分（Ⅱ）当a=3∈[1，6]时，sinC=1，当a=1时，b2=a2+c2﹣2accosB=1+36﹣2×=31，∴b=，于是，从而：sinC=，当a=6时，△ABC为等边三角形，则sinC=，因为，从而得到sinC的取值范围是：[，1]…15分．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），点D（0，b），直线DF的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，过点P（﹣4c，0）作与直线AB的倾斜角互补的直线l，交椭圆C于M，N两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由．分析：（Ⅰ）运用直线的斜率公式和离心率公式，结合a，b，c的关系，即可得到；（Ⅱ）设直线AB：x=ty﹣c，直线MN：x=﹣ty﹣4c，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将直线方程分别代入椭圆方程，运用韦达定理，再由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，k DF==，a==2c，则椭圆的离心率为e==；（Ⅱ）设直线AB：x=ty﹣c，直线MN：x=﹣ty﹣4c，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将直线x=ty﹣c代入椭圆方程+=1，可得（3t2+4）y2﹣6tcy﹣9c2=0，则y1y2=﹣，再将直线x=﹣ty﹣4c代入椭圆方程+=1，可得（3t2+4）y2+24tcy+36c2=0，则y3y4=，即有====．故为定值．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两点的距离公式的运用，正确设出直线方程是解题的关键．19．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k﹣1≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k﹣1＞b k，求n的最大值（用a，b表示）．（Ⅱ）分情况计算b k﹣a k，得{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，从而可得S n；（Ⅲ）由b k﹣1＞b k，数列{a n}与{b n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，结合（Ⅱ）知，解之即可．解答：解：（Ⅰ）a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；（Ⅱ）∵=，=，∴无论是a k﹣1+b k﹣1≥0，还是a k﹣1+b k﹣1＜0，都有b k﹣a k=，即{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，所以S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n）=；（Ⅲ）∵b k﹣1＞b k，及数列{a n}与{b n}满足的关系，∴a k﹣1+b k﹣1≥0，∴a k=a k﹣1，即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，由（Ⅱ）知b k﹣a k=，∴b k=a+，所以a k﹣1+b k﹣1=，解得，所以n的最大值为不超过的最大整数．20．设a＞0，b＞0，函数f（x）=ax2﹣bx﹣a+b．（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1）的解集；（ii）若f（x）在[0，1]上的最大值为b﹣a，求的取值范围；（Ⅱ）当x ∈[0，m]时，对任意的正实数a ，b ，不等式f （x ）≤（x+1）|2b ﹣a|恒成立，求实数m 的最大值．分析： （Ⅰ）（i ）（x ﹣1）（ax+a ﹣b ）＜0，分类讨论得出：当b ＞2a 时，解集为（1，），当b ＜2a 时，解集为（，1），当b=2a 时，解集为∅（ii ）分类得出①当0时，②当时，≥1，判断结果是不是符合题意．（Ⅱ）把不等式f （x ）≤（x+1）|2b ﹣a|，得ax 2﹣（b+|2b ﹣a|）x ﹣a+b ﹣|2b ﹣a|≤0，即x 2﹣（+|2﹣1|）x ﹣1﹣|2﹣1|≤0，令t=，则x 2﹣（t+|2t ﹣1|）xt ﹣1﹣|2t ﹣1|≤0，当△=（t+|2t ﹣1|）2﹣4（t ﹣1﹣|2t ﹣1|）＞0，时，求解不等式，分类讨论即可． （1）当t时，只需m≤恒成立．即m≤12）当0时，只需要m≤=恒成立，转化为函数最值即可．解答： 解：（Ⅰ）（i ）求不等式f （x ）＜f （1），即f （x ）＜0， 即（x ﹣1）（ax+a ﹣b ）＜0， 当b ＞2a 时，解集为（1，） 当b ＜2a 时，解集为（，1），当b=2a 时，解集为∅（ii ）∵a＞0，b ＞0，∴＞0，①当0时，即0＜b ＜a 时，f （0）=b ﹣a ＜0=f （1），不符合题意，②当时，即b≥a 时，f （0）=b ﹣a≥0=f（1），符合题意，≥1，∴的取值范围：[1，∞）（Ⅱ）由不等式f （x ）≤（x+1）|2b ﹣a|，得ax 2﹣（b+|2b ﹣a|）x ﹣a+b ﹣|2b ﹣a|≤0， 则x 2﹣（+|2﹣1|）x﹣1﹣|2﹣1|≤0，令t=，则x 2﹣（t+|2t ﹣1|）x+t ﹣1﹣|2t ﹣1|≤0， 当△=（t+|2t ﹣1|）2﹣4（t ﹣1﹣|2t ﹣1|）＞0，时， 解得≤x≤，（1）当t时，≤x≤，又因为＜0，≥1，只需m≤恒成立．即m≤1（2）当0时，≤x≤，显然＜0，且y==在（0，）上递减，所以＞1，所以只需要m≤=恒成立，即m≤1，综上，m的最大值为1．点评：本题综合考查了函数的性质，不等式的求解，分类讨论，利用好方程的根，与不等式解集的关系，难度较大，属于难题，关键是确定根，写解集．。

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