必修5不等式章末整合提升训练

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人教版高中数学必修五课后提升作业二十四34第1课时基本不等式含解析.doc

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课后提升作业二十四基本不等式（45分钟70分）一、选择题（每小题5分，共40分）1 •给出下列条件：①ab>0; （2）ab<0;③a>0, b>0;④a〈0, b<0.其中可使卑22成立的个数是（）a bA. 1个B. 2个C・3个D. 4个■【解析】选C.使b+?$2巴・£二2成立的条件是b, $均为正数，所以只需ab \ s I? a b要a,b同号即可，故①③④正确.2•设a, bER,且aHb, a+b二2,则必有（）A. IWabW主艺B. ab〈l〈竺塑2 2C.ab〈—-〈1D. ^-^<ab<l2 2【解析】选B.因为afb,所以ab〈（¥）】1,又因为------ >—二1,所以ab<1< -------- .V 2 2 23.设0<a<b, A a+b二1,则下列四个数中最大的是（）A.7B. a2+b2C. 2abD. a2【解析】选B.因为0<a<b,所以1二a+b>2a,所以又因为a2+b2^2ab, 所以最大数一定不是a和2ab,又因为1=a+b>2\ib,所以ab〈丄，所以a2+b2= (a+b) 2-2ab= 1-2ab>1—即a2+b2>-,故选B.2 2 2【一题多解】选B.特值检验法：取a=-, b=-,则2ab=-, a2+b2=-,因为3 3 9 9所以a2+b?最犬.9 2 9 34.已知等比数列｛a n｝的各项均为正数，公比qHl,设P二;（logo展+10创.5创），Q=10go.5&S J.d ，?,则P 与Q 的大小关系是（）A.PMQB. P<QC. PWQD. P>Q【解析】选 D. P二;（logo.5a§+logo.5a?）5•设0<a<l<b,则一定有A. log a b+log b a^2C. log a b+log b a^-2D. log u b+log b a>2【解析】选C.因为0〈aC〈b, 所以log a b<0, I og b a<0, -1 og a b>0,所以(T ogab) + (-1 og b a)二(-1 ogab) +1 ) $ 2,所以I ogab+1 og b a W —2.6.（2016 •三明高二检测）设a,b,c e R_,且a+b+c二1,若M二（g_ 1］（右_ 1）（右一1丿’则必有（）所以P>Q.【解析】选D ・因为a+b+c 二1,利用基本不等式a+b^2yab(a,beR_)代换，所以(皆-1)笋-1)(譽-1)二 2丫阮abc当且仅当a 二b 二c 』时等号成立. 7. 不等式『+1 ^2a 中等号成立的条件是( A. a=± 1 C. a=-lD. a=0【解析】选B.由a+l-2a=0得a-1. 8. 在a>0, b>0的条件下，三个结论:竽W 学；②竽w 年；③3!+%2a+b.其中正确的个数为 a+b 2 2 \ 2a b ()【解析】选D .迂竽兰空鼻辿泮二2ab,2 - 2所以竽W 学，故①正确.a+b 2 2ab Wa'+b ；所以 a 2+b 2+2ab^2 (a 2+b 2),a 24b 22所以竽气畔，故②正确;a 2(a-b)+b 2(b-a)aba DCBe 3=1 A. 0B. 1C. 2D. 3汗(a+b)二a s 4b s -a^b-ab 2二4二理竺叱，因为a>0, b>0,ab ab所以MO,故—+—^a+b,故③正确.ab- a b【补偿训练】设a>0, b>0,且a+bW4,则有（）人1 7 “ 1 ClA. —B. -+-^lab 2 a bC. vab^2 D・丄W丄a+b 4【解析】选B・根据题意，由于a>0,b>0,a+bW4,那么根据基本不等式性质可知，一，故可知1成立，而对于A,当a=l, b=3时不成立，排除A,当a二b二1时，选项C错误，选项D错误，故选B.二、填空题（每小题5分，共10分）9.（2016 •厦门高二检测）某市一外贸公司，第一年产值增长率为a,第二年产值增长率为b,这两年的平均增长率为x,那么x与乎的人小关系是【解析】依题意，可得（1+x）J（1+a）（1+b） W（匕呼兰+乎「所以1+xW1+学，即xW寥.答案:x今10.___________________________________________ 若a>l, 0<b<l,则lo/b+logba的取值范围是___________________________ ・【解题指南】首先由a>1,0<b<1可得Iog a b<0, Iog b a<0,利用基本不等式结合对数的运算即可得到范围.【解析】因为a>1,0<b<1, 所以log a b<0, log b a<0, 所以一(I ogab+1 og b a) =(-1 og a b) + (-1 og b a) M2, 所以logab+logbaW-2.答案:-2]三、解答题（每小题10分，共20分）11.（2016 •韶关高二检测）已知a, b, c为不等正实数，且abc=l. 求证：伍〈1+]+丄・a b c【解题指南】在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆分，以便于利用基本不等式.【证明】因为^2 -=2v'c, ｛占二2\玄'+= M2 f—=2VF,a b 、mb b c c a \ ac所以2（g + £ + # $2 （%W+*Vb+#W）,因为a, b, c不全相等，所以Ya+vb+VC<-+r+-.a b c12.已知0<x<l,试比较2+lo/x+最与2-2V6的大小. 【解析】因为0<x<1,所以log2X〈0,£-〈0.所以-log2X>0,-卷>0.2』（-蚯盼）•（-孟）=2、瘩即-2盼十孟沪2屈，当且仅当Tog2X=-£—,即I og2x=—\'6时等号成立, 所以丨og2x+】■W_2t'6,log-2x可得2+1og2x+ J 2-2\5.【能力挑战题】设实数X, y 满足y+x2二0,且0<a<l.求ilE: log a(a x+a y)〈］+log28【证明】因为a x>0, a y>0,所以a x+a y$2\审足又因为0<a<1,所以I oga (a x+a y) W I oga2p护中F二;I og a a x+y+1 og a2 二：(x+y) + loga2, 因为x2+y=0,所以I oga (a x+a y) W； (x-x2) +1 og a2=-g (x - 右)+十+ I Oga2 W+ I Oga2,又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证.关闭Word文档返回原板块。

北京四中数学必修五练习第三章不等式综合之提高篇

【巩固练习】一、选择题1．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[0,4)D ．(0,4) 2. 若a ＞1，则11a a +-的最小值是( ) A ．0B ．2D ．3 3．若关于x 的不等式(1+k 2)x≤k 4+4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（）A ．2∈M ，0∈MB ．2∉M ，0∉MC ．2∈M ，0∉MD ．2∉M ，0∈M4. 在坐标平面上，不等组{13||1y x y x ≥-≤-+所表示的平面区域的面积为（） AB ．32C．2 D ．2 5．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．26．若a ，b ，c ＞0且()4a a b c bc +++=-2a+b+c 的最小值为（）A1 B1 C．2 D．27.在约束条件0,0,,2 4.x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎨+≤⎪+≤⎩下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y 的最大值的变化范围是（）A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]二、填空题8．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________.9.已知06x <<，则(6)x x -的最大值是 .10.若110a b<<，已知下列不等式： ①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④2b a a b +>； ⑤a 2＞b 2；⑥2a ＞2b .其中正确的不等式的序号为________．11．已知点P (x ，y )满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，则k＝________.三、解答题12.不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 13. 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案与解析】1. 【答案】 C【解析】 (1)当k ＝0时，不等式变为1＞0成立；(2)当k ≠0时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则2040k k k >⎧⎨∆=--<⎩即0＜k ＜4，所以0≤k ＜4.2. 【答案】 D【解析】111111a aa a+=-++--∵a＞1，∴a－1＞0∴1112131aa-++≥+=-.当且仅当111aa-=-即a＝2时取等号．3．【答案】A【解析】424|1kM x xk⎧⎫+=≤⎨⎬+⎩⎭，∵44222241551111k kkk k k+-+==-++++2251225221kk=++-≥->+。

高中必修5不等式练习题及答案

［基础训练A组］一、选择题1.若一2/+5兀一2>0,则丁4/-4・丫 + 1+2卜-2|等于（）A. 4x —5B. — 3C. 3D. 5 —4兀2.函数y=log丄（x+古+1）（x > 1）的最大值是（）A. —2B. 2C. —3D. 33人一13.不等式一的解集是（）2—x3 3 3A. {x|—WxW2}B. {x| —Wx V2}C・ {x|x>2 或x W —} D. {x|xV2}4 4 44.设a>l>b>-l,则下列不等式中恒成立的是（）A. — < —B. — > —C・ a>b* D・ £>2ba h a b5.如果实数x，y 满足x2 3+y J=l,则（1—xy）（1+xy）有（）1 3A.最小值一和最大值1B.最大值1和最小值二2 43C.最小值；而无最大值D.最大值1而无最小值46.二次方程/+ （a s+l）x+a-2=0,有一个根比1尢另一个根比一1小,则a的取值范围是（)A・一3 <a<l B. -2<a<0 C. -l<a<0 D. 0<a<2二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）x > -21.不等式组、r的负整数解是______________________O兀>一3■2.一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30,则这个两位数为__________ oV2 +13.不等式一<0的解集是 _______________________ o2-x4.当尤= ____________ 时，函数y =，（2-小）有最_______值，其值是___________ 。

5・若f（n） = V«2+l 一亿g（n）=舁一J宀1,0（〃）=丄⑺已N）,用不等号连结起来为______2n2 不等式---------- ----------- V0的解集为R,求实数m的取值范围。

高中数学必修5《不等式》全章复习与巩固(提高)知识点巩固练习

目录《不等式》全章复习与巩固 (1)【学习目标】 (1)【知识网络】 (1)【要点梳理】 (1)【典型例题】 (4)【巩固练习】 (12)《不等式》全章复习与巩固编稿：武小煊审稿：柏兴增【学习目标】1. 了解不等式（组）的实际背景；2. 通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图；3. 能用平面区域表示二元一次不等式组，能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；4. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.【知识网络】不等式不等关系与不等式一元二次不等式及其解法二元一次不等式（组）与平面区域基本不等式最大（小）值问题简单的线性规划【要点梳理】要点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a b b a <⇔>. (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,.(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,.(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0. (5) 乘方法则：0n na b a b >>⇒>(*1)n n ∈>N ，且. (6) 开方法则：0a b >>⇒nn a b >(*1)n n ∈>N ，且.要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二：三个“二次”的关系1. 一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集：设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象方程()200ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R20(0)ax bx c a ++<>的解集{}21x x xx <<∅ ∅2. 解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a >. （2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12,x x （注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解. （3）写出解集.要点诠释：若0a <，可以转化为0a >的情形解决. 要点三：线性规划1. 用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式0Ax By C>++在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点()00x y ，，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++＞表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点）3. 线性规划的有关概念（1）线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．（2）线性目标函数：关于x 、y 的一次式()z ax by a b =+∈R ，是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③ 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．（3）可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x ，y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤（1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；（2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；（4)作答．要点四：基本不等式 1. 两个重要不等式① ,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）② 基本不等式：如果,a b 是正数，那么2a b+≥a b =时取等号“=”）. 2. 算术平均数和几何平均数 ① 算术平均数：2ba +称为,ab 的算术平均数； ② 几何平均数：ab 称为,a b 的几何平均数.要点诠释：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3. 基本不等式的应用① ,(0,)x y ∈+∞，且xy P =（定值），那么当x y =时，x y +有最小值； ② ,(0,)x y ∈+∞，且x y S +=（定值），那么当x y =时，xy 有最大值2S 41. 要点诠释：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件： ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 4. 几个常用变形不等式① 222()2a b a b ++≥（当且仅当a b =时等号成立）；② ()24a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）；③()02>⋅≥+b a abb a ；特别地：()021>≥+a aa ；④ ba ab ab b a b a +≥≥+≥+22222 (),R a b +∈. 【典型例题】类型一：不等式性质的应用例1．已知0,0,a b c >><求证c ca b>. 【思路点拨】利用作差法比较两式大小.【证明】()c b a c c =a b ab因为 0a b >>，所以ab >0， 0b a < ，又因为 0c <，所以 ()0c b a ab> ，即0c ca b> ，于是得c c a b>. 【总结升华】本题中不等号两边式子的符号可以确定，故也可采用作商法给予证明，同学们可以一试. 举一反三：【变式】已知,m n R ∈，则11m n>成立的一个充要条件是（） A.0m n >> B.0n m >> C.()0mn m n -< D.0m n << 【答案】C例2．已知函数2()f x ax c =-，满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，那么(3)f 的取值范围是 . 【解析】利用整体的思想：将(3)f 用()1f 和()2f 表示，再利用不等式的性质写出(3)f 的取值范围. 解法一：方程思想(换元)：由⎩⎨⎧=-=-)2(4)1(f c a f c a ，求得[]1(2)(1)341(1)(2)33a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩∴ )2(38)1(359)3(f f c a f +-=-= 又 340)2(3838,320)1(3535≤≤-≤-≤f f ∴ 20)2(38)1(351≤+-≤-f f ，即20)3(1≤≤-f .解法二：待定系数法设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)5-493()---183m m n m n n ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩下略解法三：数形结合(线性规划)-4(1)-1-4--1-1(2)5-14-5f a c f a c ≤≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤≤≤≤⎩⎩所确定区域如图：设9-z a c =，将边界点(0，1)(3，7)代入即求出.【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.举一反三：【变式】已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围. 【答案】[-3，10]类型二：一元二次不等式的有关问题例3. 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．【解析】令2()28f x x x a =-+-由A B ⊆，及二次函数图象的性质可得(1)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即12809680a a -+-≤⎧⎨-+-≤⎩，解之得95a -≤≤．因此a 的取值范围是95a -≤≤．【总结升华】留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系．举一反三：【变式】若不等式()(1)0x a x ++≥的解集为(-∞，-1] ∪[2，+ ∞），求实数a 的值【答案】由题设知 x=2为方程f(x)=0的根， ∴f(2)=0⇔a=-2 ∴所求实数a=-2例4．不等式2120ax bx ++>的解集为{|12x x -<< }，则a =_______， b =________.【思路点拨】一元二次不等式2120ax bx ++>解集{|12x x -<<}中的端点12x=x=-，就是对于的方程2120ax bx =++的两个根，利用根与系数的关系（韦达定理）列方程组，即可求出a ， b 的值.【解析】由不等式的解集为{x|-1<x<2}知a<0，且方程ax 2+bx+12=0的两根为-1，2.由根与系数关系得12112(1)22baa⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得a =-6， b =6.【总结升华】利用一元二次不等式02ax bx c ++>的解集与一元二次方程02ax bx c ++=的根之间的关系，可使问题简单化.举一反三：【变式】已知关于x 的方程()()21110k x k x k -++++=有两个相异实根，求实数k 的取值范围. 【答案】5(1,1)(1,)3- 例5．若对于任意x ∈R 恒有()223221x x m x x ++>++*()m ∈N ，求m 的值【解析】对任意x ∈R 恒有()223221x x m x x ++>++成立⇔对任意x ∈R 恒()()23220m x m x m -+-+->（）成立. 23m 0(2m)4(3m)(2m)0->⎧∴⎨∆=----<⎩ m 3m 210m 2m 3<⎧⎪⇔⇔<⎨<>⎪⎩或又因m ∈N *，∴m=1.【总结升华】①在含参不等式问题中，二次不等式恒成立的充要条件的理论依据：ax 2+bx+c>0对任何x ∈R 恒成立⇔a>0且Δ=b 2-4ac<0； ax 2+bx+c<0对任何x ∈R 恒成立⇔a<0且Δ=b 2-4ac<0. ②与不等式恒成立相互依存，相互支撑与相互转化的最值命题：μ＜f(x)恒成立⇔μ＜f(x)的最小值； μ＞f(x)恒成立⇔μ＞f(x)的最大值. 举一反三：【变式】在R 上定义运算⊗：x ⊗y=x(1-y)，若不等式（x-a ）⊗(x+a)<1对任意实数x 成立，则（） A ．-1<a<1 B. 0<a<2 C.23a 21<<-D. 21a 23<<-【解析】由所给定义（x-a ）⊗ (x+a)<1对任意x ∈R 成立⇔（x-a ）(1-x-a)<1对x ∈R 恒成立 ⇔x 2-x+(1-a 2+a)>0对x ∈R 恒成立 ⇔Δ=1-4（1-a 2+a ）<0 ⇔4a 2-4a-3<0 ,23a 21<<-⇔ 故应选C. 类型三：二元一次方程（组）与平面区域例6．不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A ．4 B.1 C.5 D.无穷大【思路点拨】本题中可行域为一三角形围成的封闭平面区域，可看作一个大梯形中挖去一个小梯形所得.【答案】B【解析】如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可.【总结升华】正确的画出可行域是解决这类问题的关键. 举一反三：【变式】不等式组000101x y x y x y ->⎧⎪+≥⎪⎨<<⎪⎪<<⎩在xy 平面上的解的集合为（）A ．四边形内部 B. 三角形內部 C.一点 D.空集类型四：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例7．已知点()P x y ，满足条件020.y y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，， (k 为常数)，若+3x y 的最大值为8，则k ＝________.【答案】－6【解析】作出可行域如图所示，作直线030l x y ：＋＝，平移l 0知当l 0过点A 时，x ＋3y 最大，由于A 点坐标为,33k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴83kk --=，从而k ＝－6. 【总结升华】注意线性规划问题的求解步骤，含有参数的问题注意变化的范围，多结合图形解决问题. 举一反三：【变式1】某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件51122,239,211,x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则1010z x y =+的最大值是（） A ．80 B ．85 C ．90 D ．95 【答案】C【变式2】某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元. 现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又最大利润为多少？【解析】设一盒內放入x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为z 元则x ，y 必须满足105030350,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩N ，目标函数为z ＝15x ＋10y在可行区內的顶点附近z ＝f ( x ，y ) 的最大值，( x ，y ) ( 0，10 ) ( 1，9 ) ( 2，8 ) ( 3，6 ) ( 4，5 ) （5，3）（6，1） ( 7，0 )f ( x ，y ) 100 105 110 105 110 105 100 105所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元. 类型五：基本不等式的应用例8．（1）设a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，c 为斜边之长，且4a b c ++=，试求边c 的取值范围；（2）设三个数a b c ，，成等比数列，且1a b c ++=，试求边b 的取值范围.【思路点拨】本题是解三角形与基本不等式的综合应用题型，难点在于利用题设条件与基本不等式将三个参数a b c ，，转化为1个参数（一般是所求取值范围的参数：第（1）题是c ，第（2）题是b ）的过程. 注意直角三角形222c a b =+的应用.【解析】（1）由已知得222c a b =+ ① 4-c=a+b ②a ，b ∈R +且满足2（a 2+b 2）≥(a+b)2 ③ ∴将①，②代入③得2c 2≥(4-c)22c 8c 160c 424⇔+-≥⇔≥- ④∵a+b>c ⇔a+b+c>2c 又a+b+c=4 ∴c <2 ⑤于是由④、⑤得242,c ≤≤ ∴所求的取值范围为)424,2⎡-⎣（2）由已知得b 2=ac ① 1-b=a+c ② 由题设知a 、c 同号（i ）当a ，c 同为正数时，ac 2c a ≥+(当且仅当a=c 时等号成立) ∴由①得a+c≥2|b|∴再由②得1-b≥2|b|⇔2|b|+b≤1 ③∴若b>0，则由③得31b 0≤<；若b<0，则由③得 -1≤b<0∴由③解得-1≤b<0或31b 0≤< (ii)当a ，c 同为负数时，ac 2)c ()a (≥-+-ac 2c a -≤+⇔ ④∴由②、④得1-b≤-2|b|⇔2|b|-b≤-1，无解于是综合（i ）（ii ）得所求b 的取值范围为[-1，0）∪（0， 31]. 【总结升华】基本不等式应用时应注意变量的条件，不符合的要凑出适用条件.举一反三：【高清课堂：不等式综合392606 例2】【变式1】已知关于x 的方程220x ax --=的两根为12,x x ，试问是否存在实数m ，使得不等式21m lm ++≥ 12x x -对任意实数a ∈[－1，1]及l ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．12121212212222||[1,1]||1||[1,1][1,1]13[1,1]20[1,1]x x a x x x x a x x m lm x x a l m lm l m lm l ∈≥∈∈≥∈≥∈【解析】由题意有＋＝，＝－，所以－因为－，所以－要使不等式＋＋－对任意－及－恒成立，当且仅当＋＋对任意－恒成立，即＋－对任意－恒成立． ()222212(2)1201202 2.1||[1,1][1,1](2][2)g l ml m g m m g m m m m m m lm x x a l m ⎧(-)=--≥⎨()=+-≥⎩≤≥≥∈∈∞∞设＝＋－．由，解得－或故存在实数，使得不等式＋＋－对任意实数－及－恒成立，且的取值范围是－，－，＋．【变式2】建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为元.【答案】1760【解析】设水池池底的一边长为xm ，则另一边长为4m x，则总造价y 为：4448080(22)2480320()y x x x x=+⨯+⋅⨯=++480320480320221760≥+=+⨯⨯=（元）当且仅当4x x=即2x =时，y 取最小值为1760, 所以水池的最低造价为1760元. .【巩固练习】一、选择题1．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[0,4)D ．(0,4) 2. 若a ＞1，则11a a +-的最小值是( ) A ．0B ．2D ．3 3．若关于x 的不等式(1+k 2)x≤k 4+4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（）A ．2∈M ，0∈MB ．2∉M ，0∉MC ．2∈M ，0∉MD ．2∉M ，0∈M4. 在坐标平面上，不等组{13||1y x y x ≥-≤-+所表示的平面区域的面积为（） AB ．32C．2 D ．2 5．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 6．若a ，b ，c ＞0且()4a a b c bc +++=-2a+b+c 的最小值为（）A1 B1 C．2 D．27.在约束条件0,0,,2 4.x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎨+≤⎪+≤⎩下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y 的最大值的变化范围是（）A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]二、填空题8．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________.9.已知06x <<，则(6)x x -的最大值是 .10.若110a b<<，已知下列不等式： ①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④2b a a b +>； ⑤a 2＞b 2；⑥2a ＞2b .其中正确的不等式的序号为________．11．已知点P (x ，y )满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.三、解答题12.不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．13. 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案与解析】1. 【答案】 C【解析】 (1)当k ＝0时，不等式变为1＞0成立；(2)当k ≠0时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则2040k k k >⎧⎨∆=--<⎩ 即0＜k ＜4，所以0≤k ＜4.2. 【答案】 D【解析】 111111a a a a +=-++-- ∵a ＞1，∴a －1＞0∴1112131a a -++≥+=-.当且仅当111 aa-=-即a＝2时取等号．3．【答案】A【解析】424|1kM x xk⎧⎫+=≤⎨⎬+⎩⎭，∵44222241551111k kkk k k+-+==-++++2251225221kk=++-≥->+。

北师版数学高二-必修5学案第三章不等式章末复习提升

1．不等式的基本性质：不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B>0时，①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取到.题型一三个“二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：(1)相应的二次函数图像及与x轴的交点，(2)相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图像及与x轴的交点)．例1设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．解M⊆[1,4]有两种情况：其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，(1)当Δ<0时，－1<a <2，M ＝∅⊆[1,4]；(2)当Δ＝0时，a ＝－1或2；当a ＝－1时，M ＝{－1]} [1,4]；当a ＝2时，M ＝{2}⊆[1,4]．(3)当Δ>0时，a <－1或a >2.设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1≤x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (1)>0，且f (4)>0，1≤a ≤4，且Δ>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋3>0，18－7a >0，1≤a ≤4，a <－1或a >2.解得2<a <187， ∴M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是(－1，187)．跟踪演练1 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.答案 2解析因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，且m >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，1＋m ＝6a ，1·m ＝a ，a ＞0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，a ＝2. 题型二恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下几种：(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．(2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min .若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max .(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化．例2 设不等式2x －1>p (x 2－1)对满足|p |≤2的一切实数p 的取值都成立，求x 的取值范围．解令f (p )＝2x －1－p (x 2－1)＝(1－x 2)p ＋2x －1，p ∈[－2,2]，可看成是一条线段，且使f (p )>0对|p |≤2的一切实数恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)>0，f (－2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－2x －1<0，2x 2＋2x －3>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1－32<x <1＋32，x <－1－72或x >－1＋72.所以7－12<x <3＋12. 跟踪演练2 f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是________．答案 (－4,0]解析 (1)当a ＝0时，f (x )<0恒成立，故a ＝0符合题意；(2)当a ≠0时，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ＝a 2＋4a <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－4<a <0⇔－4<a <0. 综上所述：－4<a ≤0.题型三简单的线性规划问题关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：x －a y －b(斜率)，(x －a )2＋(y －b )2(距离)等．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最大值或最小值时，只需把直线ax ＋by ＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z 随之增大(或减少)(b >0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解步骤为①作出可行域；②作出直线l 0：ax ＋by ＝0；③确定l 0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．例3 已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.求w ＝x 2＋y 2的最大值和最小值．解画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域，如图所示为△ABC (包括边界及其内部)．∵w ＝x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2表示的是可行域内的动点M (x ，y )到原点O (0,0)的距离的平方， ∴当点M 在边AC 上滑动，且OM ⊥AC 时，w 取得最小值，于是w min ＝d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|0＋0－2|22＋122＝45；当点M 滑动到与点B (2,3)重合时，w 取得最大值，即w max ＝((2－0)2＋(3－0)2)2＝13，故w min ＝45，w max ＝13. 跟踪演练3 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张？才能使得总用料面积最小．解设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y≥0，x ，y ∈N .所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线，过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)，∴最优解为x ＝2，y ＝1.∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．题型四利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．例4 设f (x )＝50x x 2＋1. (1)求f (x )在[0，＋∞)上的最大值；(2)求f (x )在[2，＋∞)上的最大值．解 (1)当x >0时，有x ＋1x≥2， ∴f (x )＝50x x 2＋1＝50x ＋1x≤25. 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，所以f (x )在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)因为函数y ＝x ＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，所以f (x )＝50x ＋1x在[2，＋∞)上是减函数，且f (2)＝20. 所以f (x )在[2，＋∞)上的最大值为20.跟踪演练4 设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值．解 ∵1x ＋2y＝3， ∴13(1x ＋2y)＝1. ∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1＝(2x ＋y )×13(1x ＋2y) ＝13(4＋y x ＋4x y) ≥13(4＋2y x ·4x y )＝43＋43＝83. 当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，取“＝”．又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43. ∴2x ＋y 的最小值为83.1.不等式的应用非常广泛，它贯穿于高中数学的始终．在集合、函数、数列、解析几何及实际问题中多有不等式的应用．本章的重点是简单的线性规划问题，基本不等式求最值和一元二次不等式的解法．2．考查角度通常有如下几个方面：(1)对各类不等式解法的考查，其解题关键是对于生疏的，非规范化的题目转化为熟悉的、规范化的问题去求解；(2)对含参数的不等式的解法的考查，解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行求解．(3)与函数、三角函数、向量等知识相结合，以解题工具的面貌出现在解答题中，以求解参数的取值范围为主，并且将更加突出不等式的灵活性、综合性及应用性的考查．。

高中数学必修5不等式训练(含详细答案)

高中数学必修5不等式训练(含详细答案)第三章不等式一、选择题.1. 若 a ∈R ，则下列不等式恒成立的是( )．A. a 2 + 1＞aB.112+a ＜1C. a 2 + 9＞6aD. lg (a 2 +1)＞lg|2a |2. 下列函数中，最小值为 2 是( )．A. y =xx 55+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lg x+x lg 1，1＜x ＜10C. y = 3x + 3-x ，x ∈RD. y = sin x+x sin 1，2π0＜＜x3. 不等式组表示的平面区域的面积等于( )．A. 28B. 16C.439 D. 1214. 不等式 lg x 2＜lg 2x 的解集是( )．x ≤3 x + y ≥0 x - y + 2≥0A. ⎪⎭⎫⎝⎛11001， B. (100，＋∞)C.⎪⎭⎫⎝⎛11001，∪(100，＋∞)D. (0，1)∪(100，＋∞)5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( )．A. x ≥2，或 x ≤-2B. -2≤x ≤2C. x ＜-3，或 x ＞3D. -2＜x ＜2 6. 若 x ，y ∈R ，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )．A. 10B.C.D. 7. 若 x ＞0，y ＞0，且 281x y+=，则 xy 有( )．A. 最大值 64B. 最小值164C. 最小值12D. 最小值648. 若，则目标函数 z = 2x + y 的x ≤2 y ≤2x + y ≥1取值范围是( )．A. [0，6] B . [2，4] C. [3，6] D. [0，5] 9. 若不等式 ax 2 + bx + c ＞0 的解是 0＜α＜x ＜β，则不等式 cx 2 - bx + a ＞0 的解为( )．A. α1＜x ＜β1B. -β1＜x ＜-α1C. -α1＜x ＜-β1D. β1＜x ＜α110. 若 a ＞0，b ＞0 ，且1a b +=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是( )．A. 9B. 8C.7D. 6二、填空题. 1. 函数y 的定义域是．2. 若 x ，y 满足，则x y 的最大值为____________________，最小值x + 2y - 5≤0x ≥1y ≥0 x + 2y - 3≥0为_________________．3. 函数y=的最大值为．4. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是．5. 若集合A = {(x，y)| |x| + |y|≤1}，B = {(x，y)|(y-x)(y+x)≤0}，M = A∩B，则M的面积为___________．6. 若不等式2x - 1＞m(x2 - 1)对满足-2≤m≤2 的所有m都成立，则x的取值范围是．三、解答题．1. 若奇函数f(x)在其定义域(-2，2)上是减函数，且f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，求实数a的取值范围．2. 已知 a ＞b ＞0，求216()a b a b +-的最小值．3. 设实数 x ，y 满足不等式组．（1）作出点(x ，y )所在的平面区域；（2）设 a ＞-1，在（1）所求的区域内，求f (x ，y )= y – ax 的最大值和最小值．1≤x + y ≤4y + 2≥|2x - 3|4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为200 m2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．参考答案一、选择题． 1. A【解析】A ：a 2 - a + 1 = a 2- a +4341+=221⎪⎭⎫ ⎝⎛-a +43＞0. a 2 + 1＞a 恒成立．B ：当 a = 0 时，左 = 右．C ：当 a = 3 时，左 = 右．D ：当 a = ±1 时，左 = 右． 2. C【解析】A ：y 没有最小值． B ：∵ 1＜x ＜10， ∴ 0＜lg x ＜1． ∴ y ≥2．lg x =1，即x =10时，y min = 2．此时不符合1＜x ＜10． C ：∵ 3x ＞0， ∴ y = 3x +x31≥2．x = 0时，y min = 2． D ：∵ 0＜x ＜2π， ∴ sin x ＞0． ∴ y ≥2．当 sin x =xsin 1时，此时 sin x = 1，x =2π，不符合 0＜x ＜2π． 3. B【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）.解两两直线方程组成的方程组，可得 A (3，5)，B (3，-3)， C (-1，1)．∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 21×8×4 = 16． 4. D 【解析】∵∴ x ＞0． ∵ lg x 2＜lg 2x ， ∴ lg 2x - 2lg x ＞0． ∴ lg x ＞2 ，或 lg x ＜0， ∴ x ＞100 ，或 0＜x ＜1． 5. A【解析】∵（x 4 - 4）-（x 2 - 2）≥ 0，∴ x 4 - x 2 - 2≥0，∴（x 2 - 2）（x 2 + 1）≥0.x 2＞0，x ＞0，∴ x 2≥2．∴ x ≥2，或 x ≤-2． 6. D【解析】 3x + 3y ≥2yx33⋅= 2yx +3，∴ 3x + 3y ≥2×9×3= 183，当 x = y =25时，等号成立．7. D 【解析】 yx 82+≥2yx 82⋅= 8xy 1，当yx 82=，即时，8xy1取最大值，即 xy取最小值 64． 8. A【解析】据不等式组画出可行域．易知 A (-1，2)，B (2，2)．将 y = -2x 进行平移，当直线过 A 点时，z min = 0，当直线过 B 点时，z max = 6． 9. Cx = 4， y = 16【解析】由题知，且 a ＜0.∴ b = -a (α + β )， c = a (αβ )．∴ 所求不等式可代为 a (αβ )x 2 + a (α + β )x + a ＞0．∴(αβ )x 2 +(α + β )x + 1＜0． ∴(αx + 1)(βx + 1)＜0． ∵ 0＜α＜β，∴ -α1＜-β1． ∴ -α1＜x ＜-β1． 10. A 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a =22221b a b a --+ 1 =22222)(b a b a b a --++ 1=ab 2+1≥222⎪⎭⎫⎝⎛+b a + 1 = 9．∴ 当 a = b=21时，原式取最小值 9．二、填空题． 1. （-8，8）．【解析】∵ 64 - x 2＞0 ∴ x 2＜64，-8＜xα + β = ab- α β = ac＜8，即(-8，8)．2. 2，0.【解析】据不等式组画出可行域．由图可知，2max=⎪⎭⎫⎝⎛xy ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛m inxy 0．3. 21．【解析】设 x = cos ， ∈[0，π]． ∴ y = cos sin =21sin 2 ． ∵ ∈[0，π]，∴ 2 ∈[0，2π]，∴ y max =21，此时 =4π，x = cos 4π=22． 4. 21-．【解析】如图，r =21-+b a =212-+b a ≤21222-+b a =2122-=212-. 当且仅当 a = b =22时， r max =212-．5. 1．【解析】如图，M 为阴影部分. M 的面积为()2221⨯= 1．6. 271+-＜x ＜231+．【解析】令 f (m )= m (x 2 - 1)-(2x - 1)(x ≠±1)，把它看作关于 m 的一次函数．由于 -2≤m ≤2 时，f (m )＜0 恒成立，x 2 - 1＞0 x 2 - 1＜0 ∴ 或f （2）＜0 f （-2）＜0解得 1＜x ＜231+，或271+-＜x ＜1，又x = 1 时，亦符合题意．∴ 271+-＜x ＜231+．三、解答题．1. 由f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，得 f (1 - a )＜- f (1 - a 2). 又因为函数f （x ）为奇函数，所以- f (1 - a 2) = f (a 2 - 1)．∴ f (1 - a )＜ f (a 2 - 1). 又∵ 函数 f (x ) 在其定义域(-2，2)上是减函数，1 - a ＞a2 – 1 -2＜a ＜1 ∴ -2＜1 - a ＜2 解得 -1＜a ＜3-2＜a 2 - 1＜2 -3＜a ＜3∴ a ∈（-1，1）．2. 由 a ＞b ＞0 知，a - b ＞0，∴ b （a - b ）≤4222a b a b =⎪⎭⎫⎝⎛-+．∴ a 2 +)(16b a b -≥a 2 +264a ≥22264a a ⋅= 16．当且仅当 a 2 =264a，b = a - b ，即当 a = 22，b =2时，a 2 +)(16b a b -取得最小值 16．3. （1）（-3，7）【解析】（2）最大值为7+3a ，最小值为4. 【解】设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为x200m ，水池外圈周壁长2x + 2 · x 200（m ），中间隔墙长2 · x200（m ），池底面积200（m 2）．∴ y = 400⎪⎭⎫⎝⎛+⋅x x 20022+ 248 · x 200 · 2 + 80×200 = 800⎪⎭⎫⎝⎛+x x 324+ 16 000- 1- 2a , -1＜a ≤2 1 - 3a , a ＞2≥1 600xx 324+ 16 000 = 44 800．当且仅当 x =x324，即 x = 18，x 200=9100时，y min = 44 800．答：当污水池长为 18 m ，宽为9100m 时，总造价最低，最低为 44 800元．。

人教A版数学必修5章末整合提升3

用不等式的性质，通过对不等式变形得证．
对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可
考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符
号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
(4)求代数式的取值范围也是常见题型．解题时可借助性质、基本不等式、
数函数值域等知识综合考虑，特别注意限制条件．
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第一章解三角形
『规律总结』作差法是比较两式大小最常用的方法，作商法是必要的补充，无论是作差还是作商，都要进行合理地变形，以利于比较．
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第一章解三角形
专题二 ⇨一元二次不等式的应用
(1)直接求解一元二次不等式常与集合运算相结合． (2)抓住三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键． (3)含参数的一元二次不等与恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类．构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向． (4)高次不等式、分式不等式要等价转化．
a＋ ba＋b－ ab ab a＋ b
＝a＋b－ ab
ab＝
a－
b2＋ ab
ab＝1＋
a－ ab
b2≥1．
当且仅当a＝b时，等号成立．
数学
又∵
a＋ b
ba>0，
a＋
b>0，∴
a＋ b
b≥ a
a＋
b．
必
修 ⑤
『规律总结』作差法是比较两式大小最常用的方法，作商法是必要的补
人
教充，无论是作差还是作商，都要进行合理地变形，以利于比较．
数学必修 ⑤ 人教 A 版

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高二数学必修5第三章不等式章末训练题精选（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧，则a的取值范围是( )A.a2B.0答案 B2.若不等式ax2+bx-2>0的解集为x|-2A.-18B.8C.-13D.1答案 C解析∵-2和-14是ax2+bx-2=0的两根.∴-2+-14=-ba-2×-14=-2a，∴a=-4b=-9.∴a+b=-13.3.如果a∈R，且a2+aA.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>aC.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a2答案 B解析∵a2+a∴-1a2>-a2>a.4.不等式1xA.(-∞，2) B.(2，+∞)C.(0,2)D.(-∞，0)∪(2，+∞)答案 D解析1xx-22x>0x2.5.设变量x，y满足约束条件x+y≤3，x-y≥-1，y≥1，则目标函数z=4x+2y的值为( )A.12B.10C.8D.2答案 B解析画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=4x+2y可转化为y=-2x+z2，作出直线y=-2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2.解方程组x+y=3，y=1得A(2,1)，∴zmax=10.6.已知a、b、c满足cA.ab>acB.c(b-a)>0C.ab2>cb2D.ac(a-c)答案 C解析∵c0，c而b与0的大小不确定，在选项C中，若b=0，则ab2>cb2不成立.7.已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-6>0}，则M∩N为( )A.{x|-4≤xB.{x|-4C.{x|x≤-2或x>3}D.{x|x答案 A解析∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7}，N={x|x2-x-6>0}={x|x3}，∴M∩N={x|-4≤x8.在R上定义运算：xy=x(1-y)，若不等式(x-a)(x+a)A.-1答案 C解析(x-a)(x+a)=(x-a)(1-x-a)Δ=1+4(a2-a-1)9.在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A.y=x+1xB.y=cos x+1cos x (0C.y=x2+3x2+2D.y=ex+4ex-2答案 D解析选项A中，x>0时，y≥2，x选项B中，cos x≠1，故最小值不等于2;选项C中，x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2，当x=0时，ymin=322.选项D中，ex+4ex-2>2ex4ex-2=2，当且仅当ex=2，即x=ln 2时，ymin=2，适合.10.若x，y满足约束条件x+y≥1x-y≥-12x-y≤2，目标函数z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)答案 B解析作出可行域如图所示，直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知-1即-411.若x，y∈R+，且2x+8y-xy=0，则x+y的最小值为( )A.12B.14C.16D.18答案 D解析由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x，∵x>0，y>0，∴x-8>0，得到y=2xx-8，则μ=x+y=x+2xx-8=x+2x-16+16x-8=(x-8)+16x-8+10≥2x-816x-8+10=18，当且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时取“=”.12.若实数x，y满足x-y+1≤0，x>0，则yx-1的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)D.[1，+∞)答案 B解析可行域如图阴影，yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx-1>1或yx-1二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.若A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，则A、B的大小关系为________.答案 A14.不等式x-1x2-x-30>0的解集是___________________________________________________________ _____________.答案{x|-56}15.如果a>b，给出下列不等式：①1ab3;③a2>b2;④2ac2>2bc2;⑤ab>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是________.答案②⑥解析①若a>0，b1b，故①不成立;②∵y=x3在x∈R上单调递增，且a>b.∴a3>b3，故②成立;③取a=0，b=-1，知③不成立;④当c=0时，ac2=bc2=0,2ac2=2bc2，故④不成立;⑤取a=1，b=-1，知⑤不成立;⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)=12[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0，∴a2+b2+1>ab+a+b，故⑥成立.16.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于v202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时.答案8解析这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t=400+16v202v=400v+16v400≥2 400v×16v400=8(小时)，当且仅当400v=16v400，即v=100时等号成立，此时t=8小时.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R.解(1)由题意知1-a∴1-a∴不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0，解得x32.∴所求不等式的解集为x|x32.(2)ax2+bx+3≥0，即为3x2+bx+3≥0，若此不等式解集为R，则b2-4×3×3≤0，∴-6≤b≤6.18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)即x+a7x-a8①当-a70时，-a7②当-a7=a8，即a=0时，原不等式解集为;③当-a7>a8，即a综上知，当a>0时，原不等式的解集为x|-a7当a=0时，原不等式的解集为;当a19.(12分)证明不等式：a，b，c∈R，a4+b4+c4≥abc(a+b+c).证明∵a4+b4≥2a2b2，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2c2a2，∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c2≥2ab2c，b2c2+c2a2≥2abc2，c2a2+a2b2≥2a2bc.∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc)，即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).20.(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的盈利率分别为100%和50%，可能的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利?解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x+y≤10，0.3x+0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域.作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组x+y=10，0.3x+0.1y=1.8，得x=4，y=6，此时z=1×4+0.5×6=7(万元).∵7>0，∴当x=4，y=6时，z取得值.答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利.21.(12分)设a∈R，关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1，x2，且0解设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.因为x1，x2是方程f(x)=0的两个实根，且0所以f0>0，f10a2-a-2>0，7-a+13+a2-a-20a2-a-2>0，a2-2a-80a2，-23-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用?写出你的结论，并说明理由.解(1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分36x 批，每批价值20x.由题意f(x)=36x4+k20x，由x=4时，y=52，得k=1680=15.∴f(x)=144x+4x (0(2)由(1)知f(x)=144x+4x (0∴f(x)≥2144x4x=48(元).当且仅当144x=4x，即x=6时，上式等号成立. 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.。

高中数学人教B版必修5第3章《不等式》章末归纳提升课件

当 Δ>0，即 4－4a>0 时，0<a<1 此时方程 ax2＋2x＋1＝0
的两根
x1＝－1－a
1－a，x2＝－1＋a
1－a .
又 x1<x2，∴原不等式的解集为{x|x<x1 或 x>x2}．
综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为{x|x<－1－a 1－a或
－1＋ x> a
1－a}，
当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠－1}，
【解】首先看判别式 Δ＝4－4a，当 Δ<0 时，4－4a<0，此时 a>1，二次项系数已经大于 0. 而此时二次方程 ax2＋2x＋1＝0 无实根， ∴不等式的解集为 R.
当 Δ＝0 时，4－4a＝0，此时 a＝1，原不等式变为 x2＋
2x＋1&gx≠－1，
∴不等式的解集为{x|x≠－1}，
不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0 对一切实数 x 恒成立，求 m 的取值范围．
【思路点拨】先讨论二次项系数为零时是否符合题意，对于二次项系数不为零时，用其等价不等式组求 m 的范围．
【规范解答】当 m2－2m－3＝0 时，m＝－1 或 3. 而 m＝3 时，－1<0 符合题意，所以 m＝3；当 m2－2m－3≠0 时，应有
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0. 【思路点拨】二次项系数中含有参数 a，需要对 a 的符号进行分类讨论．【规范解答】若 a＝0，原不等式变为－x＋1<0，即 x>1. 若 a<0，原不等式变为(x－1a)(x－1)>0，此时对应方程(x－1a)(x－1)＝0 的两根为 x1＝1a， x2＝1， ∴不等式的解集为{x|x<1a或 x>1}．

高三数学必修5第三章不等式章末练习题

2019届高三数学必修5第三章不等式章末练习题数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

小编准备了高三数学必修5第三章不等式章末练习题，具体请看以下内容。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.若a0，-1A.aab2B.ab2aC.abab2D.aba2.已知x1，y1，且14ln x，14，ln y成等比数列，则xy()A.有最大值eB.有最大值eC.有最小值eD.有最小值e3.设M=2a(a-2)，N=(a+1)(a-3)，则()A.MB.MNC.M4.不等式x2-ax-12a20(其中a0)的解集为()A.(-3a，4a)B.(4a，-3a)C.(-3，4)D.(2a，6a)5.已知a，bR，且ab，则下列不等式中恒成立的是()A.a2B.(12)a(12)bC.lg(a-b)D.ab16.当x1时，不等式x+1x-1a恒成立，则实数a的取值范围是()A.(-，2]B.[2，+)C.[3，+)D.(-，3]7.已知函数f(x)=x+2，x0-x+2，0，则不等式f(x)x2的解集是()A.[-1，1]B.[-2，2]C.[-2，1]D.[-1，2]8.若a0，b0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是()A.1abB.1a+1b1C.abD.1a2+b2189.设变量x，y满足约束条件x-y0，2x+y2，y+20，则目标函数z=|x+3y|的最大值为()A.4B.6C.8D.1010.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A.甲先到教室B.乙先到教室C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定11.设M=1a-11b-11c-1，且a+b+c=1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是()A.0，18B.18，1C.[1，8)D.[8，+)12.函数f(x)=x2-2x+1x2-2x+1，x(0，3)，则()A.f(x)有最大值74B.f(x)有最小值-1C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知t0，则函数y=t2-4t+1t的最小值为___________________________________________________ _____________________.14.对任意实数x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-40恒成立，则实数a的取值范围是________.15.若不等式组x-y+50，ya，02表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________.16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________吨.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知a0，b0，且ab，比较a2b+b2a与a+b的大小.18.(12分)已知a，b，c(0，+).求证：(aa+b)(bb+c)(cc+a)18.19.(12分)若a1，解关于x的不等式axx-21.20.(12分)求函数y=x+22x+5的最大值.21.(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.22.(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：产品消耗量资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t)94360电力(kw h)45200劳动力(个)310300利润(万元)612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大?第三章不等式章末检测答案(B)1.D [∵a0，-1ab0，ab20.aba，abab2.∵a-ab2=a(1-b2)=a(1+b)(1-b)0，a2.C3.A [∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=(2a2-4a)-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+20.MN.]4.B [∵x2-ax-12a20)(x-4a)(x+3a)04a5.B [取a=0，b=-1，否定A、C、D选项. 故选B.]6.D [∵x1，x+1x-1=(x-1)+1x-1+12x-11x-1+1=3.a3.]7.A [f(x)xx2或x0-x+2x20x2-x-20或x0x2+x-200-12或xx1x0或0x1.]8.D [取a=1，b=3，可验证A、B、C均不正确，故选D.]9.C [可行域如阴影，当直线u=x+3y过A(-2，-2)时，u有最小值(-2)+(-2)过B(23，23)时u有最大值23+323=83. u=x+3y[-8，83].z=|u|=|x+3y|[0，8].故选C.]10.B [设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T=s2a+s2b=s2a+s2b=sa+b2ab，ta+tb=s2t=2sa+b，T-2t=sa+b2ab-2sa+b=sa+b2-4ab2aba+b=sa-b22aba+b0，故选B.]11.D [M=1a-11b-11c-1=a+b+ca-1a+b+cb-1a+b+cc-1=ba+caab+cbac+bc2baca2abcb2acbc=8.M8，当a=b=c=13时取=.]12.D [∵x(0，3)，x-1(-1，2)，(x-1)2[0，4)，f(x)=(x-1)2+1x-12-12x-121x-12-1=2-1=1.当且仅当(x-1)2=1x-12，且x(0，3)，即x=2时取等号，当x=2时，函数f(x)有最小值1.]13.-2解析∵t0，y=t2-4t+1t=t+1t-42-4=-2.14.-2解析当a=2时，-40恒成立，a=2符合.当a-20时，则a应满足：a-2=4a-22+16a-20解得-2综上所述，-215.57解析先画出x-y+50和02表示的区域，再确定ya表示的区域.由图知：57.16.20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x4+4x)万元，400x4+4x160，当1 600x=4x即x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.17.解∵(a2b+b2a)-(a+b)=a2b-b+b2a-a=a2-b2b+b2-a2a=(a2-b2)(1b-1a)=(a2-b2)a-bab=a-b2a+bab又∵a0，b0，ab，(a-b)20，a-b0，ab0，(a2b+b2a)-(a+b)0，a2b+b2aa+b.18.证明∵a，b，c(0，+)，a+b0，b+c0，c+a0，(a+b)(b+c)(c+a)0.abca+bb+cc+a18即(aa+b)(bb+c)(cc+a)18.当且仅当a=b=c时，取到=.19.解不等式axx-21可化为a-1x+2x-20. ∵a1，a-10，故原不等式可化为x-21-ax-20.故当0{x|2当a0时，原不等式的解集为{x|21-a当a=0时，原不等式的解集为.20.解设t=x+2，从而x=t2-2(t0)，则y=t2t2+1.当t=0时，y=0；当t0时，y=12t+1t12 2t1t=24.当且仅当2t=1t，即t=22时等号成立.即当x=-32时，ymax=24.21.解(1)设DN的长为x(x0)米，则AN=(x+2)米.∵DNAN=DCAM，AM=3x+2x，SAMPN=ANAM=3x+22x，由SAMPN32，得3x+22x32.又x0，得3x2-20x+120，解得：06，即DN长的取值范围是(0，23)(6，+).(2)矩形花坛AMPN的面积为y=3x+22x=3x2+12x+12x=3x+12x+1223x12x+12=24，当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米.22.解设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元.依题意可得约束条件：9x+4y3604x+5y2019x+10y0y0作出可行域如图.利润目标函数z=6x+12y，由几何意义知，当直线l：z=6x+12y经过可行域上的点M时，z=6x+12y取最大值.解方程组3x+10y=3004x+5y=200，得x=20，y=24，即M(20，24).答生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。

人教版高中数学必修五优化练习：第三章章末优化总结

章末检测(三) 不等式时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式(x ＋3)2<1的解集是( ) A ．{x |x >－2} B ．{x |x <－4} C ．{x |－4<x <－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}解析：原不等式可化为x 2＋6x ＋8<0，解得－4<x <－2. 答案：C2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b ＋c B ．ac >bc C.c 2a －b>0 D.c 2a －b≥0 解析：∵a >b ，∴a －b >0，c 2≥0 ∴c 2a －b ≥0. 答案：D3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N 解析：因为M －N ＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以M >N ，故选A. 答案：A4．已知关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}，所以－7，－1是方程mx 2＋8mx ＋28＝0的两个根，且m >0，所以⎩⎨⎧－7－1＝－8mm，－7×－＝28m，∴m ＝4.答案：D5．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4xy ≥9，当且仅当y ＝2x 等号成立，选B. 答案：B6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：可行域为如图所示的阴影部分，可知z ＝x －y 在点A (0，3)处取得最小值，∴z 最小值＝－3.答案：A7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x －，x 2＋7x ＋12≤0的解集为( )A ．[－4，－3]B ．[－4，－2]C ．[－3，－2]D ．∅解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x －x 2＋7x ＋12≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3<－5x ＋x ＋≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－2－4≤x ≤－3⇒－4≤x ≤－3. 答案：A8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1解析：∵x 2y 2≤⎝⎛⎭⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34.∴x 2y 2≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1.答案：B9．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－4 B ．a ≥－4 C ．a ≥－12D ．a ≤－12解析：令y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)，则y ＝2x 2－8x －4在x ＝4时取得最大值－4，∴当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 在1≤x ≤4内有解．答案：A10．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．8解析：∵a ，b 是实数， ∴2a >0,2b >0，于是2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝223＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.答案：B11．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：积(单位：亩)分别为( ) A ．50,0 B ．30,20 C ．20,30D ．0,50解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y . 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.表示的可行域如图，易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，可知当直线经过点B (30,20)，即x ＝30，y ＝20时，z 取得最大值，且z max ＝48.故选B. 答案：B12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x >0，y >0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94 C ．1D ．4解析：作出可行域如图阴影部分所示(不包括坐标轴边界上的点)．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋1b z .因为a >0，b >0，所以－a b <0，作直线l 0：y ＝－abx 并向上平移，数形结合知，当l 0平移至过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －y ＋2＝0得点A 的坐标为(8,10)，即z max ＝8a ＋10b ＝40，得a 5＋b4＝1，于是⎝⎛⎭⎫5a ＋1b ⎝⎛⎭⎫a 5＋b 4＝54＋⎝⎛⎭⎫5b 4a ＋a 5b ≥54＋214＝94⎝⎛⎭⎫当且仅当5b 4a ＝a 5b 时取“＝”.∴⎝⎛⎭⎫5a ＋1b min ＝94.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．函数y ＝2－x －4x (x >0)的值域为________．解析：当x >0时，y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－2x ×4x＝－2. 当且仅当x ＝4x ，x ＝2时取等号．答案：(－∞，－2]14．不等式x ＋1x ≤3的解集为________．解析：x ＋1x ≤3⇔x ＋1－3x x ≤0，即2x －1x ≥0，∴x ＜0或x ≥12.答案：(－∞，0)∪[12，＋∞)15．已知不等式x 2－ax －b <0的解集为(2,3)，则不等式bx 2－ax －1>0的解集为________．解析：方程x 2－ax －b ＝0的根为2,3. 根据韦达定理得：a ＝5，b ＝－6，所以不等式为6x 2＋5x ＋1<0，解得解集为⎝⎛⎭⎫－12，－13. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，－13 16. 设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥3，0≤x ≤4，y ≥1表示的平面区域，则D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．解析：画出可行域，由图知最优解为A (1,1)，故A 到x ＋y ＝10的距离为d＝4 2.答案：4 2三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知f (x )＝x 2＋2x ＋2a －a 2，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2x .因为f (x )>0，所以x 2＋2x >a 2－2a .只要使g (x )在[1，＋∞)上的最小值大于a 2－2a 即可．因为g (x )＝x 2＋2x 在[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝3.所以a 2－2a <3，解此一元二次不等式，得－1<a <3. 所以实数a 的取值范围是(－1,3)． 18．(12分)已知f (x )＝x 2－(a ＋1a )x ＋1，(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a ＞0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解析：(1)当a ＝12时，有不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，∴(x －12)(x －2)≤0，∴不等式的解集为{x |12≤x ≤2}．(2)∵不等式f (x )＝(x －1a )(x －a )≤0，当0＜a ＜1时，有1a ＞a ，不等式的解集为{x |a ≤x ≤1a}；当a ＞1时，有1a ＜a ，不等式的解集为{x |1a ≤x ≤a }；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}．19．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？解析：设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B (1.5,0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大． 20．(12分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．解析：(1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－×－＝6，－3＋－＝2k ，解得k ＝－25. (2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66. 所以k <－66. 即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－66.21．(13分)某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和．(注：f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额) (1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂； ②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案最合算？为什么？解析：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，则f (n )＝50n －⎣⎡⎦⎤12n ＋n n －2×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获利就是要求f (n )>0，所以－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利． (2)①年平均利润＝f nn ＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ≤16. 当且仅当n ＝6时取等号，故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2(n －10)2＋128. 当n ＝10时，f (n )max ＝128.故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)．故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案． 22．(13分)设函数f (x )＝x ＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值．解析：(1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋ax ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时，f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋ax ＋1－1. 若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)，因此，上式等号取不到．设x 1>x 2≥0，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋1－x 2－a x 2＋1＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤1－a x 1＋1x 2＋1，∵x 1>x 2≥0，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>1，x 2＋1≥1. ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>1，而0<a <1. ∴a x 1＋1x 2＋1<1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (0)＝a .。

人教A版高中数学高二版必修5第三章不等式章末综合能力测试

量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点P (5,12)时，有最小值z min ＝36800(元)．答案：C12．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析：在平面直角坐标系下作出函数y ＝|log 2x |的图象如图所示，不妨设点A (x 1，m )，B (x 2，m )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，82m ＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4，82m ＋1，则0<x 1<1<x 2，0<x 3<1<x 4，此时有：－log 2x 1＝m ，log 2x 2＝m ，－log 2x 3＝82m ＋1，log 2x 4＝82m ＋1，得x 1＝⎝⎛⎭⎫12m ，x 2＝2m，x 3＝⎝⎛⎭⎫12821m +，x 4＝2821m +，线段AC与BD在x轴上的投影长度分别为a ＝|x 1－x 3|＝，b ＝|x 2－x 4|＝|2m－2821m +|，则b a＝＝28m+21m +，令t ＝m ＋82m ＋1(m >0)，则t ＝m ＋4m ＋12＝。

人教课标版高中数学必修5《基本不等式》提升训练

《基本不等式》提升训练一.选择题（每小题5分，共45分）1. (2017江苏无锡期末，★☆☆)已知a b + = t(0,0a b >>) ,t 为常数,且ab 的最大值为2,则t =（） A.2 B.4C.D.2. ( 2017安徽庐江期末，★ ☆ ☆)下列函数中，最小值为4的是( ) A.4y x x=+B.()4sin 0sin y x x xπ=+<< C.4x x y e e -=+D.y =3.( 2017山东临沂期末，★ ★ ☆)已知正项等比数列| a n |满足321a a a =+，若存在两项,m n a a 14a =，则14m n+的最小值为（） A.32 B.58 C.256 D.不存在4.(2017山东潍坊期末，★ ★ ☆)若正数a,b 满足11a b += 1，1911a b +--的最小值为（）A.1B.6C.9D.165.(2018广西南宁模拟，★ ☆ ☆)若函数在()()122f x x x x =+--在x a =处取最小值，则a =（）A.1+B.1+C.3D.46.( 2018江西南昌模拟，★ ☆ ☆)已知正数,x y 满足2x y xy +-= 0，则2x y +的最小值为（）A.8B.4C.2D.07.(2018安徽合肥模拟，★☆☆)若22x y += 1,则x y +的取值范围是（） A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2, + oo ) D.(-oo ,-2]8.( 2018山东烟台模拟，★ ☆ ☆)若a,b 都是正数，则41.1b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（） A.7 B.8 C.9 D.109.( 2018广东惠州模拟，★ ☆ ☆)设等差数列| a n |的公差是d,其前n 项和是n s 若11a d ==，则8n ns a +的最小值是（）A.92B.72C.12D.12二、填空题（每小题5分，共15分）10.(2017贵州遵义月考，★ ★ ☆)已知实数x,y 均大于零，且2x y + = 4，则22log log x y +的最大值为.11.( 2016湖南师大附中月考，★ ☆ ☆)已知关于x 的不等式17x x a+≥-在(),x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为.12.(2018江苏无锡模拟，★ ☆ ☆)若对任意x ≥1,不等式11x a x +≥+恒成立，则实数a 的取值范围是. 三、解答题（15分）13.(2017山东临沂期末，★★☆)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少 2 000件，要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入16()2600x -万元作为技改费用，投人50万元作为固定宣传费用，投人5x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收人不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.参考答案一、选择题1.C 因为()22,0,0,44a b t a b t a b ab ++=>>≤=因为所以，当且仅当.22t a b ab ==时取等号因为的最大值为，所以222,8,4t t t ===所以2C.44y x x x=+∴中可取负值，其最小值不可能为；由于0<,0sin 1,sin x x y x π<∴<≤∴=+44,sin x >=其最小值大于4；由于x e >0,44,x x y e e -∴=+≥=当且仅当2,4x e =∴时取等号其最小值为；211,x +≥y ∴=≥当且仅当1x =±∴时取等号，其最小值为 3.A{}2233111111:=2,2,n a a a a a q a q a q a q a +∴===+正项等比数列满足即22,q q =+解得()12q q =-=舍或，1,4,m n a a a =存在()()2112111116,2216,m n m n a a a a a a --∴=∴⋅⋅⋅=22211216,6m n a a m n +-∴⋅=+=所以，()1414114566n m m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭135,62⎛≥+= ⎝ 当且仅当4143,.2n m m n m n =+时取等号所以的最小值是4.B 1111,1,1,1,11,a ba b a b a b a b ab++=∴>>+==正数满足且变形为,0,ab a b ab a b ∴=+∴--=()()1111,1,1a b a b ∴--=∴-=-()19110,916,111a a a b a ∴->∴+=+-≥=--- 当且仅当()11491,1"",1,,133a a a a a =-=±===-即时取由于故取 19611a b ∴+--的最小值为，故选B5.C ()()11222,22f x x x x x =+=-++≥--当且仅当12,132x x x x -===-即（舍）或时，上式取等号，故选C. 6.A2120,1,0,0.x y xy x y x y+-=+=>>由得又()22x y x y ∴+=+⨯2144448y x x y x y⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当4y xx y =时，等号成立.7.D因为212221,1,22,4x y x y x y +-+≥+=≤≤=所以所以因为2,2,x y x y =+≤-单调递增所以1,x y ==-当且仅当时等号成立(],2.x y +∈-∞-，即 8.C44,,11559,b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭都是正数20b a =>当且仅当时取等号，故选C9.A 易知()()()1181821.s ,2n n n n n n n n s a a n d n a n++++=+-==∴==8199,4,222n n s n a ⎛+== ⎝当且仅当时取等号因此的最小值为二、填空题 10.答案1 解析,0,24,42,x y x y xy >+=∴≥≤实数且化为当且仅当22x y ==时取等号.()2222log log log log 21x y xy ∴+=≤=因此22log log x y +的最大值是1 11.答案解析(),,0,x a x a ∈+∞∴->()112,x x a a a x a x a∴+=-++≥+-- 当且仅当1,x a =+时等号成立.27, 5.a a ∴+≥≥即12.答案 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦解析因为函数()[)111,f x x x=+-+∞在上单调递增，所以函数()[)1120,1g x x x =++-+∞+在上单调递增，所以函数()[)()111,1,1121x g x g x a x +∞=∀≥+-≥+在上的最小值为因为不等式恒成立，所以()11,,.22a g x a ⎛⎤≤=-∞ ⎥⎝⎦最小值故实数的取值范围是三、解答题13.解析（1)设每件定价为t 元,依题意得2580.2258,1t t -⎛⎫-⨯≥⨯ ⎪⎝⎭整理得26510000,2540t t t -+≤≤≤解得，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.(2)依题意得当x >25时,不等式()2112585060065ax x x ≥⨯++-+有解等价于当x >25时，1501165a x x ≥++有解.由于150110,6x x +≥= 当且仅当150,30,10.26xx a x ==≥即时等号成立所以故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收人与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.。

高一数学人教A版必修5学案：第3章不等式章末综合提升【含解析】

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]一元二次不等式的解法 [探究问题]1．当a >0时，若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？[提示] 借助函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，不等式的解集为{x |x <α或x >β}．2．若[探究1]中的a <0，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？ [提示] 解集为{x |α<x <β}．3．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac <0，则ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？[提示] 当a >0时，不等式的解集为R ；当a <0时，不等式的解集为∅. 【例1】若不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2>0，2x 2＋（2k ＋5）x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围．思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．[解] 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2.对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉(－k ，－52).(2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅. (3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－52<x <－k .∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k ，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定． ∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的范围是－3≤k <2.（变条件，变结论）若将例题改为“已知a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0”．[解] （1）若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}．（2）若a >0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2a ，x 2＝1＋1－a 2a， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ． ②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅. ③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅. （3）若a <0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a ．②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式可化为（x ＋1）2>0，∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}．③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a ；当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当a <－1时，原不等式的解集为R .不等式的解法(1)一元二次不等式的解法①将不等式化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式；②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集．(2)含参数的一元二次不等式解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的．不等式恒成立问题【例2】已知不等式mx 2－mx －1<0.(1)若x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若满足|m |≤2的一切m 的值能使不等式恒成立，求实数x 的取值范围．思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题． [解] (1)①若m ＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；②若m ≠0，则不等式mx 2－mx －1<0 恒成立⇔⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0.综上可知，实数m 的取值范围是(－4，0]. (2)令f (x )＝mx 2－mx －1，①当m ＝0时，f (x )＝－1<0显然恒成立；②当m >0时，若对于x ∈[1，3]不等式恒成立，只需⎩⎨⎧f （1）<0，f （3）<0即可，∴⎩⎨⎧f （1）＝－1<0，f （3）＝9m －3m －1<0，解得m <16，∴0<m <16.③当m <0时，函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝12，若x ∈[1，3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f (1)<0即可，解得m ∈R ，∴m <0符合题意．综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，16). (3)令g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，若对满足|m |≤2的一切m 的值不等式恒成立，则只需⎩⎨⎧g （－2）<0，g （2）<0，即⎩⎨⎧－2（x 2－x ）－1<0，2（x 2－x ）－1<0，解得1－32<x <1＋32. ∴实数x 的取值范围是(1－32，1＋32).对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种： (1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元． (2)分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . (3)数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．[跟进训练]1．设f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，(1)若对于m ∈[－2，2]，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围； (2)若对于x ∈[1，3]，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)依题意，设g (m )＝(x 2－x ＋1)m －6，则g (m )为关于m 的一次函数，且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以g (m )在[－2，2]上递增，所以欲使f (x )<0恒成立，需g (m )max ＝g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6<0，解得－1<x <2. (2)法一：要使f (x )＝m (x 2－x ＋1)－6<0在[1，3]上恒成立，则有m <6x 2－x ＋1在[1，3]上恒成立，而当x ∈[1，3]时，6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67，所以m <⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1min ＝67，因此m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.法二：①当m ＝0时，f (x )＝－6<0对x ∈[1，3]恒成立，所以m ＝0.②当m ≠0时f (x )的图象的对称轴为x ＝12，若m >0，则f (x )在[1，3]上单调递增，要使f (x )<0对x ∈[1，3]恒成立，只需f (3)<0即7m －6<0，所以0<m <67.若m <0，则f (x )在[1，3]上单调递减，要使f (x )<0对x ∈[1，3]恒成立，只需f (1)<0即m <6，所以m <0.综上可知m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.线性规划问题【例3】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝．思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m ，故需讨论m 的值，再结合可行域，数形结合确定满足题意的m 的值.1 [作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m ≠0，目标函数z ＝x ＋my 可看作动直线y ＝－1m x ＋zm ，若m <0，则－1m >0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m>0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－1m＝－1，则m＝1.综上可知，m＝1.]1．线性规划在实际中的类型主要有(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．[跟进训练]2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解] 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目．由题意，知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y . 画出可行域如图中阴影部分．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝6，即M (4，6). 此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元).∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．利用基本不等式求最值【例4】设函数f (x )＝x ＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞). (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值．思路探究：(1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解．[解] (1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋a x ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取等号，此时f (x )min ＝22－1.(2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋ax ＋1－1 若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)，因此，上式等号取不到． f (x )在[0，＋∞)上单调递增． ∴f (x )min ＝f (0)＝a .基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．(1)基本不等式通常用来求最值，一般用a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)解“积定和最小”问题，用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22解“和定积最大”问题． (2)在实际运用中，经常涉及函数f (x )＝x ＋kx (k >0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．[跟进训练]3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入16(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．[解](1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解，等价于x>25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．。

高中数学必修五第三章不等式基础达标提升练

第三章不等式3.1 不等关系与不等式双基达标(限时20分钟)1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y ≥380z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析 “不低于”即≥，“高于”即>，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 答案 D2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )．A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析由a ＋b >0知a >－b ， ∴－a 0，∴a >－b >b >－a . 答案 C3．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( )．A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>ax解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>xa >a 2. 答案 B4．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5， ∴－1≤a －b ≤6. 答案 [－1,6]5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， ∴f (x )>g (x )．答案 f (x )>g (x )6．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．解 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4.上面两式相加得：－π2<α＋β2<π2.∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4，∴－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0，故－π2≤α－β2<0.综合提高(限时25分钟)7．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )．A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2解析由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A. 答案 A8．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )．A ．a 0，∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b . 答案 C9．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.解析变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．答案a ＋mb ＋m >ab10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B . 答案 A >B11．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明 ∵b 2a ＋a 2b－a －b＝(a －b )⎝⎛⎭⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ， ∵(a －b )2≥0恒成立，且a >0，b >0， ∴a ＋b >0，ab >0. ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 12．(创新拓展)已知f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5.求f (3)的取值范围．解由⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f (1)，4a －c ＝f (2).得⎩⎨⎧a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝－43f (1)＋13f (2).∴f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)．∵－1≤f (2)≤5， ∴－83≤83f (2)≤403.∵－4≤f (1)≤－1，∴⎝⎛⎭⎫－53×(－1)≤－53f (1)≤⎝⎛⎭⎫－53×(－4)． ∴－83＋53≤83f (2)－53f (1)≤403＋203，即－1≤f (3)≤20.即f (3)的取值范围是[－1,20]．3.2 一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法双基达标(限时20分钟) 1．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是( )．A ．{x |x ≤－2或x ≥1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅解析－x 2－x ＋2≥0⇔x 2＋x －2≤0⇔(x ＋2)(x －1)≤0⇔－2≤x ≤1. 答案 C2．设集合S ＝{x ||x |<5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( )．A ．{x |－7<x <－5}B ．{x |3<x <5}C ．{x |－5<x <3}D ．{x |－7<x <5}解析 ∵S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |－7<x <3}， ∴S ∩T ＝{x |－5<x <3}．答案 C3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为 ( )．A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴t <1t .∴(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0⇔t <x <1t . 答案 D4．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7}，则A ∩Z 中有________个元素．解析 (x －1)2<3x ＋7⇔x 2－5x －6<0⇔－1<x <6， ∴A ＝{x |－1<x <6}，∴A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}， ∴A ∩Z 中有6个元素．答案 6 5．下列不等式中：①－x 2＋x －1<0；②4x 2＋4x ＋1≥0；③x 2－5x ＋6>0；④(a 2＋1)x 2＋ax －1>0. 其中解集是R 的是________(把正确的序号全填上)．解析 ①⇔x 2－x ＋1>0，Δ＝1－4<0， ∴①的解集为R ； ②⇔(2x ＋1)2≥0⇔x ∈R ； ③Δ＝25－4×6＝1>0. ∴③的解集不是R .④Δ＝a 2－4(a 2＋1)×(－1)＝5a 2＋4>0， ∴④的解集不是R ，故填①②. 答案 ①② 6．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3>0.解 (1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0， ∴(2x ＋1)(x －2)<0.故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0， ∴(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥1. (3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，故原不等式的解集是R .综合提高(限时25分钟)7．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )．A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}解析由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2. 答案 D8．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，且a >0.∴－7×(－1)＝21a ，a＝3. 答案 C9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式解析将点(0，－6)，(1，－6)，(2，－4)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－6，a ＋b ＋c ＝－6，4a ＋2b ＋c ＝－4.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝－6.不等式化为x 2－x －6>0，即(x －3)(x ＋2)>0. 故不等式的解集为{x |x <－2或x >3}．答案 {x |x <－2或x >3}10．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________．解析由已知k 2－6k ＋8≥0⇔(k －2)(k －4)≥0⇔k ≤2或k ≥4. 又k ≠0，∴k <0或0<k ≤2或k ≥4. 答案 (－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞) 11．解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.解方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式解集为{x |a <x <－1}； (2)当a ＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a >－1时，原不等式解集为{x |－1<x <a }． 12．(创新拓展)解关于x 的不等式：x 2－2ax ＋2≤0.解 ∵Δ＝4a 2－8，∴当Δ<0，即－2<a <2时，原不等式对应的方程无实根，原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式对应的方程有两个相等实根．当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－2}；当Δ>0，即a ＞2或a ＜－2时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x 1＝ a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1<x 2，∴原不等式的解集为{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．第2课时一元二次不等式的应用双基达标(限时20分钟)1．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( )．A ．M ∩NB ．M ∪NC ．∁R (M ∩N )D ．∁R (M ∪N )解析x ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．答案 D2．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )．A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0， ∴x 2＋50x －30 000≥0，x ≥150. 答案 C3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( )．A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析若a ＝0时符合题意，a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D. 答案 D4．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是________．解析由题意⎩⎨⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1x 2＝m ＞0，解得0＜m ≤1. 答案 (0,1]5．关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3>0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________．解析当a ≠0时，由题意得⎩⎨⎧a >0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04a 2－4a (2a ＋3)<0，解得a >0.当a ＝0时，恒有3>0，不等式也成立．故a 的取值范围是[0，＋∞)．答案 [0，＋∞) 6．解不等式 (1)x －1x －2≥0； (2)2x －13－4x>1. 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0x －2≠0，解得x ≤1或x >2，∴原不等式的解集为{x |x ≤1或x >2}．(2)原不等式可改写为2x －14x －3＋1<0，即6x －44x －3<0，∴(6x －4)(4x －3)<0，∴23<x <34.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <34. 综合提高(限时25分钟)7．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )．A ．1B ．－1C ．－3D ．3解析由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 答案 C8．(2011·泰安高二检测)在R 上定义运算：AB ＝A (1－B )，若不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立．则实数a 的取值范围为( )．A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析 (x －a )(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，∴－x 2＋x ＋a 2－a <1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立． ∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0， ∴(2a －3)(2a ＋1)<0，即－12<a <32.答案 C9．(2011·济南高二检测)不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为∅， ∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)<0， ∴a 2－2a －3<0，∴－1<a <3. 答案 (－1,3)10．关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的两根满足(x 1－1)(x 2－1)<0，则a 的取值范围是________．解析 (x 1－1)(x 2－1)<0⇔一根大于1，一根小于1. 令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，则f (1)<0⇒－2<a <1. 答案－2<a <111．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k 应怎样确定？解设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.因此，当2≤k ≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元． 12．(创新拓展)已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0.∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1. (2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0. ∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1，于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1.3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域双基达标(限时20分钟)1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( )．A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,2)D ．(2,0)解析将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内，故选D. 答案 D2．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( )． A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x －2y －a ＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a ]×[3×4－2×(－6)－a ]<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24，故选B. 答案 B3.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是 ( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6>0x <0 B.⎩⎪⎨⎪⎧ y >－23x －2y ＋6≥0x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6>0x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6<0x <0解析观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2上方，且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y >－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0,0)在阴影部分，故可得不等式3x －2y ＋6>0.观察选项可知选C. 答案 C4．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．解析如图直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)．直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0，直线BC 的方程为x －y ＋2＝0，把(0,0)代入2x ＋y －5＝－5<0， ∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2.表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，0≤x ≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于x 轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则a 的取值范围是5≤a <7. 答案 [5,7)6．(1)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >0，x ≤2表示的平面区域；(2)画出不等式(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域．解 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >0，x ≤2表示的平面区域如图(1)中阴影部分所示．(2)不等式(x －y )(x －y －1)≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x －y －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0.而不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0无解，故(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域如图(2)(阴影部分)．综合提高 (限时25分钟)7．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2≤0表示的平面区域是( )．解析原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C. 答案 C8．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4.所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A.73B.37C.43D.34解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以求得点A ，B ，C 的坐标分别为(1,1)，(0,4)，⎝⎛⎭⎫0，43. 由直线y ＝kx ＋43恒过点C ⎝⎛⎭⎫0，43，且平面区域被此直线分为面积相等的两部分，观察图象可知，当直线y ＝kx ＋43与直线3x ＋y ＝4的交点D 的横坐标为点A 的横坐标的一半时，可满足要求．因此x D ＝12，代入直线3x ＋y ＝4，可得y D ＝52，故点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，代入直线y ＝kx ＋43，即52＝k ×12＋ 43，解得k ＝73，故选A. 答案 A9．不等式|x |＋|y |≤1所表示的平面区域的面积为________．解析原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，x －y ≥－1，x ≤0，y ≥0，x ＋y ≥－1，x ≤0，y ≤0.其表示的平面区域如图中阴影部分．∴S ＝(2)2＝2. 答案 210．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数m 的值为________．解析由点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离d ＝|4m －9＋1|5＝4，得m ＝7或m ＝－3.又点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，当m ＝－3时，点P 的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m ＝7时，点P 的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．综上，m ＝－3. 答案－311．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －1)≥0，－2≤x ≤0表示的平面区域的面积．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －1)≥0，－2≤x ≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，－2≤x ≤0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≤0，－2≤x ≤0，②分别作出以上两个不等式组所表示的平面区域，可以发现不等式组①表示一个点A ，不等式组②表示的平面区域如图所示．因此原不等式组表示的平面区域就是图中阴影部分，其中点A (0,1)，B (－2,3)，C (－2，－1)，于是平面区域的面积为12×2×|3－(－1)|＝4.12．(创新拓展)设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线x ＋y ＝0对称，求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0，y ≥0，kx －my ≤0表示的平面区域的面积．解 ∵M ，N 关于直线x ＋y ＝0对称， ∴直线y ＝kx ＋1垂直于直线x ＋y ＝0， ∴k ＝1，∴圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，－m2在x ＋y ＝0上， ∴－k 2－m2＝0，即m ＝－1，∴原不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ≥0，x ＋y ≤0.作出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，即△ABO . 易得△ABO 为等腰直角三角形，且OA ＝1，故阴影部分的面积为14.3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2双基达标(限时20分钟)1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )．A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy≥1 解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 答案 B2．下列各函数中，最小值为2的是( )．A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x解析对于A ：不能保证x >0，对于B ：不能保证sin x ＝1sin x ，对于C ：不能保证x 2＋2＝1x 2＋2，对于D ：y ＝x ＋1x≥2.答案 D3．若0<a 2，则a ＋1a －2的最小值是________．解析 ∵a >2，∴a －2>0.∴a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4.当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，等号成立．答案 45．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)6．已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y的最小值．解法一由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2，所以⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝5x ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5时等号成立．法二由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得： x >0，y >0，且xy ＝10， 2x ＋5y≥2 2x ·5y＝2 1010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.时取等号)．综合提高 (限时25分钟)7．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )．A ．8B ．4C ．1D.14解析因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1， 1a ＋1b＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立，故选B.答案 B8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )．A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 答案 C9．(2011·潍坊高二检测)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60，又1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (4x ＋9y )60＝160⎝⎛⎭⎫13＋4x y ＋9y x ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9yx ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6，y ＝4时，等号成立．答案 6 410．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．解析函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，2m ＋n ＝1，m ，n >0， 1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ·(2m ＋n ) ＝4＋n m ＋4m n≥4＋2n m ·4mn＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1n m ＝4m n ，即⎩⎨⎧m ＝14n ＝12时等号成立．答案 811．求函数y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1的值域．解函数的定义域为R ， y ＝(x 2＋1)＋6x x 2＋1＝1＋6x x 2＋1.(1)当x ＝0时，y ＝1；(2)当x >0时，y ＝1＋6x ＋1x ≤1＋62＝4.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，y max ＝4；(3)当x <0时，y ＝1＋6x ＋1x＝1－6(－x )＋1(－x )≥1－62＝－2.当且仅当－x ＝－1x 时，即x ＝－1时，y min ＝－2.综上所述：－2≤y ≤4，即函数的值域是[－2,4]．12．(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得 f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N )，f (x )＝50x ＋20 000x ＋3 000≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x ，即x ＝20时上式取“＝”因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2双基达标(限时20分钟)1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )．A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy≥1 解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 答案 B2．下列各函数中，最小值为2的是( )．A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x解析对于A ：不能保证x >0，对于B ：不能保证sin x ＝1sin x，对于C ：不能保证x 2＋2＝1x 2＋2，对于D ：y ＝x ＋1x≥2. 答案 D3．若0<a 2，则a ＋1a －2的最小值是________．解析 ∵a >2，∴a －2>0.∴a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4.当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，等号成立．答案 45．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)6．已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y的最小值．解法一由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2，所以⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝5x ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5时等号成立．法二由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得： x >0，y >0，且xy ＝10，2x ＋5y ≥2 2x ·5y＝2 1010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.时取等号)．综合提高 (限时25分钟)7．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )．A ．8B ．4C ．1D.14解析因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1， 1a ＋1b＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立，故选B.答案 B8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )．A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 答案 C9．(2011·潍坊高二检测)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60，又1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (4x ＋9y )60＝160⎝⎛⎭⎫13＋4x y ＋9y x ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9yx ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6，y ＝4时，等号成立．答案 6 410．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．解析函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，2m ＋n ＝1，m ，n >0， 1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ·(2m ＋n ) ＝4＋n m ＋4m n≥4＋2n m ·4mn＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1n m ＝4m n ，即⎩⎨⎧m ＝14n ＝12时等号成立．答案 811．求函数y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1的值域．解函数的定义域为R ， y ＝(x 2＋1)＋6x x 2＋1＝1＋6x x 2＋1. (1)当x ＝0时，y ＝1；(2)当x >0时，y ＝1＋6x ＋1x ≤1＋62＝4.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，y max ＝4；(3)当x <0时，y ＝1＋6x ＋1x＝1－6(－x )＋1(－x )≥1－62＝－2.当且仅当－x ＝－1x 时，即x ＝－1时，y min ＝－2.综上所述：－2≤y ≤4，即函数的值域是[－2,4]．12．(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x ＋3 000(x ≥12，x ∈N )，f (x )＝50x ＋20 000x ＋3 000≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x ，即x ＝20时上式取“＝”因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．章末质量评估(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·石家庄高二检测)设，a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是 ( )． A ．ac >bdB ．a －c >b －dC ．a ＋c >b ＋dD.a d >bc解析 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 答案 C2．不等式1x <12的解集是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)解析由1x <12，得1x －12＝2－x2x <0，即x (2－x )<0，解得x >2或x <0，故选D. 答案 D3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( )．A ．M >NB ．M ≥NC ．M <ND ．M ≤N解析 ∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3) ＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0. ∴M >N . 答案 A4．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( )．A ．3x 0＋2y 0>0B ．3x 0＋2y 0<0C ．3x 0＋2y 0<8D ．3x 0＋2y 0>8解析设f (x ，y )＝3x ＋2y －8，则由题意，得f (x 0，y 0)·f (1,2)<0，得3x 0＋2y 0－8>0. 答案 D5．(2011·江西卷)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )．A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．答案 B6．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( )．A ．(－5，－4]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4]解析令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，－m －22>2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16，m >－5⇒－5<m ≤－4m <－2.，故选A.答案 A7．如果log 3m ＋log 3n ≥4，那么m ＋n 的最小值为 ( )．A ．4B ．4 3C ．9D ．18解析 ∵log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ≥4， ∴mn ≥34，又由已知条件隐含着m >0，n >0.故m ＋n ≥2mn ≥234＝18，当且仅当m ＝n ＝9时取到最小值．所以m ＋n 的最小值为18. 答案 D8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 ( )．A ．6B ．7C ．8D ．23解析作出可行域如图所示：由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点 A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 答案 B9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0.则不等式f (x )≥x 2的解集是( )．A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析 f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0－x ＋2≥x 2 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2－x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1 ⇔－1≤x ≤1. 答案 A10．(2011·福建卷)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )．A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]解析作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y . 设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0 ＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．(2011·汕头高二检测)若1a ＜1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b . 其中正确的不等式的序号为________．解析 ∵1a <1b <0.∴b <a <0，故③错，又b <a <0，可得|a |<|b |，a 2<b 2，故②⑤错．答案 ①④⑥12．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为∅， ∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)<0， ∴a 2－2a －3<0， ∴－1<a <3. 答案 (－1,3)13．已知0<x <6，则(6－x )·x 的最大值是________．解析 ∵0<x <6，∴6－x >0. ∴(6－x )·x ≤⎝⎛⎭⎫6－x ＋x 22＝9.当且仅当6－x ＝x ，即x ＝3时，取等号．答案 914．若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析作出可行域如图所示，作出直线l ：x ＋y ＝0，由图可知当l 平移到A 点时，z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝58，y ＝158，∴A (58，158)，∴z max ＝58＋158＝208＝52.答案 52三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解 (1)由题意，知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a ＝－261－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >32.(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.16．(10分)(1)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值；(2)已知：x >0，y >0且3x ＋4y ＝12.求lg x ＋lg y 的最大值及相应的x ，y 值．解 (1)∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋5＝9.当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为9.(2)∵x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12. ∴xy ＝112(3x )·(4y )≤112⎝⎛⎭⎫3x ＋4y 22＝3.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 3.当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时等号成立．∴当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 取最大值lg 3.17．(10分)(2011·唐山高二检测)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A 、B 两种设备每月有效使用台数分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大？解设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4002x ＋y ≤500x ≥0，y ≥0，目标函数是f ＝3x ＋2y ，要求出适当的x ，y 使f ＝3x ＋2y 取得最大值．作出可行域，如图．设3x ＋2y ＝a ，a 是参数，将它变形为y ＝－32x＋a 2，这是斜率为－32，随a 变化的一组直线．当直线与可行域相交且截距a2最大时，目标函数f 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝500得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝100.因此，甲、乙两种产品的每月产品分别为200,100件时，可得最大收入800千元． 18．(12分)一服装厂生产某种风衣，月产量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本总数R ＝500＋30x (元)，假设生产的风衣当月全部售出，试问该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1 300元？解设该厂月获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )·x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0<x <80)．由题意，知－2x 2＋130x －500≥1 300，解得：20≤x ≤45，所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得的利润不少于1 300元．19．(12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解 (1)设休闲区的宽B 1C 1为a 米，则其长A 1B 1为ax 米，∴a 2x ＝4 000⇒a ＝2010x，∴S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)S ≥1 600＋4 160＝5 760(米2)(当且仅当2x ＝5x⇒x ＝2.5)，即当x ＝2.5时，公园所占面积最小．此时a ＝40，ax ＝100，即休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米，宽为40米．。

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章末整合提升
专题一：解不等式
例1：已知集合{}045|2≤+-=x x x A 与{}022|2≤++-=a ax x x B ，若A B ⊆，求a 的取值范围。

解：{}41|,41,0)1)(4(452≤≤=∴≤≤≤--=+-x x A x x x x x 设 222
++-=a ax x y （*）
当=B Ø，即方程（*）无解，显然A B ⊆成立，由0<∆得 0)2(442
<+-a a ，解得)1(21 <<-a
当≠B Ø，且A B ⊆成立，即：{}{}41||21≤≤⊆≤≤x x x x x x 根据图像得出： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-≥++-4
221024*24021*2122
a
a a a a ，解得)2(7181 ≤≤a
综合（1）（2）两式，得a 的取值范围为(]7/18,1-
1－1.(2011年广东理9)不等式130x x +--≥的解集是______. 1-2. (2011年上海文6)不等式
11x
<的解为 1－3.（2011上海理4）不等式
13x x
+≤的解为 .
专题二：线性规划
例2：某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤300
500x ＋200y ≤90 000x ≥0，y ≥0
，目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y . 二元一次不等式组等价于 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤3005x ＋2y ≤900x ≥0，y ≥0
，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图1.
图1
作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.
平移直线l ，从图1可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝3005x ＋2y ＝900，
解得x ＝100，y ＝200. ∴点M 坐标为(100,200)．
∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司收益最大，最大收益为70万元．
2－1.（2011天津文2）设变量,x y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪≥⎩
则目标函数42z x y =+的最大
值为（）．
Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．2
2－2. （全国Ⅱ文4）若变量,x y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪
-≤-⎨⎪≥⎩
，则23z x y =+的最小值为
（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3
专题三：基本不等式的应用
例3：迎世博，要设计如图2的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm)，能使整个矩形广告面积最小．
图2
解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，
则ab ＝20 000，∴b ＝20 000
a
，
广告的高为a ＋20，宽为3b ＋30(其中a >0，b >0)．广告的面积
S ＝(a ＋20)(3b ＋30) ＝30(a ＋2b )＋60 600
＝30⎝⎛⎭
⎫
a ＋40 000a ＋60 600
≥30×2 a ×40 000
a
＋60 600
＝12 000＋60 600＝72 600.
当且仅当a ＝40 000
a
a ＝200时，取等号，
此时b ＝100.
故当广告的高为200 cm ，宽为100 cm 时，可使广告的面积最小．
3－1. （江西理15（2））对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 .
3－2.(2010年安徽)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab ≤1； ②a ＋b ≤2； ③a 2＋b 2≥2；
④a 3＋b 3
≥3； ⑤1a ＋1b
≥2.
真题演练
1－1.[1,)+∞{x|－1<x<2}
2
2
:130(1)(3),[1,).x x x x +--≥⇔+≥-∴+∞解析原不等式的解集为
1－2. 0x <或1x > 1－3. 0x <或12
x ≥
2－1.B 解析：画出可行域如图22，直线42z x y =+经过()2,1B 时，目标函数取得最大值，所以m ax 422110z =⨯+⨯=．故选Ｂ．
图22
2－2.C 解析：作出可行域，分析可知当1,1x y ==，m in 5z = 3－1. 5 解析：
5
22212
)2(2)1(2)2(2)1(12=+-+-≤+---≤----=+-y x y x y x y x
3－2.①③⑤ 解析：令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确；
a 2＋
b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确．。