高一下学期数学4月联考试卷
湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年高一下学期期中联考数学试卷
2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数2iz 13i+=+的虚部是（ ） A ．12−B ．12C ．1i 2−D ．1i 22．下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ）A ．若a b ≠ ，则||||a b ≠B ．若//a b 且||||a b =，则a b =C ．若0a b ⋅=，则0a = 或0b = D ．若a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量3．已知平面向量(1,2)a =，(3,4)b − ，则向量a 在向量b 上的投影向量是（ ）A ．34,2525−B ．68,55 −C ．34,55 −D ．34,55 −4．已知tan 121tan αα−=+，则cos 24πα+的值为（ ）A．B． CD5．在ABC △中，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得10AP =，若54PA mPB m PC =+−（m 为常数），则PD 的长度是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．66．若实数x ，y 满足332x y+=，21133xy n − =+，则n 的最小值为（ ） A ．2B ．8C ．9D ．127．在ABC △中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC △的面积为4，则22BC PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．2B．C ．4D8．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意的1x ，2,4x π∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x −>−，且函数4y f x π=+为奇函数．若锐角ABC △的三个内角为,,A B C ，则（ ）A ．()()0f A fB +>B ．()()0f A f B +<C ．()()0f A f B +=D ．()()f A f B +的符号无法确定二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为()3sin ||62f x x ππϕϕ =+< ，且经过点(2,3)，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期12T =B ．6πϕ=−C ．函数()y f x =在区间(2,8)上单调递减D ．函数(2)y f x =+是奇函数10．已知复数123,,z z z ，则下列结论正确的有（ ） A ．2211z z = B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．若1213z z z z =，且10z ≠，则23z z =11．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，其中(0,)θπ∈，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP a xe ye ==+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在夹角为θ的坐标系xOy 中的坐标，记为()(,)a x y θ=，则下列结论正确的是（ ）A ．若3(1,2)a π= ，则||a =B ．若44,(3,a b ππ==− ，则a b ⊥C ．若对任意的12,5R e e λλ∈−最小值为52，则6πθ= D ．若对任意的(0,)θπ∈，都有1212e e e e λ−≥−恒成立，则实数(][),31,λ∈−∞−+∞三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知sin cos θθ−sin 2θ=__________．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c b −=−，则角A =若I 为ABC △的内心，且AIIC λ=+，则λ=__________． 14．已知平面向量,a b，||2a =，||3b =，若存在平面向量c ，||1c = ，使得()()0a c b c −⋅−=，则||||a b a b −++的最小值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量(1,2)a −，||b = ．（1）若//a b，求b 的坐标；（2）若(5)()a b a b +⊥−，求a 与b 夹角的余弦值．16．（15分）在ABC △中，角A ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b c bc a +−=． （1）求角A 的大小； （2）若2b =，1sin 7C =，求ABC △的面积．17．（15分）已知向量,cos )m x x ωω= ，(cos ,cos )(0,)n x x x ωωω=−>∈R，1()2f x m n =⋅− ，且()y f x =的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若0a >，且函数()y f x =在区间(,2)a a 上单调，求a 的取值范围．18．（17分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为BC 边上一点，已知2b =，4c =，23A π=．（1）若AD 平分BAC ∠，求AD 的长；（2）若D 为BC 边的中点，E ，F 分别为AB 边及AC 边上一点（含端点）．且AE xAB = ，AF y AC =，1x y +=，求DE DF ⋅ 的取值范围． 19．（17分）阅读以下材料并回答问题：①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数n ，满足10n z −=的所有复数22cos isin ()k k z k Z n nππ=+∈称为n 次单位根，其中，满足对任意小于n 的正整数m ，都有1m z ≠，则称这种复数为n 次本原单位根．例如，4n =时，存在四个4次单位根1±，i ±，因为111=，2(1)1−=，因此只有两个4次本原单位根i ±； ②分圆多项式：对于正整数n ，设n 次本原单位根为12,,,m z z z ，则多项式()()()12m x z x z x z −−− 称为n 次分圆多项式，记为()n x Φ；例如24()(i)(i)1x x x x Φ=−+=+；回答以下问题：（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；（2）求出6()x Φ，并计算6321()()()()x x x x ΦΦΦΦ，由此猜想1264321()()()()()()x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ的结果，（将结果表示为1110()nn n n n x a x a xa x a −−Φ=++++ 的形式）（猜想无需证明）； （3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为12,,,m A A A ，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为12,B B ，复平面上一点P 所对应的复数z 满足||z =，求1212m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅的取值范围．。
青海省海东市2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题(含解析)
青海省海东市2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．80m B．502m C．25二、多选题三、双空题13．若复数25i z =-，则z 的虚部为__________，|i |z += _________．四、填空题16．如图，海上一观测站船需要加燃油，观测站人员准备让在商船度为每小时120海里，此时商船观测站30海里的C 五、解答题17．已知向量()7,1a =，()1,3b = .(1)求a 与b夹角的余弦值；(2)若()()2a b a b λ+⊥-，求λ的值.18．(1)在复数范围内解方程26130x x -+=；(2)若复数()()()1i 2i z a a =++∈R 为纯虚数，求z .19．已知函数()f x 为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，当0x >时，()log a f x x =的图象过点(5,2)．(1)求a 的值：(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()223g x f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22．如图，某巡逻艇在A 处发现正东方向π(1)若π6θ=，求sin α；(2)若对任意的π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都可以通过调整参考答案：设AE与BD交于点M，则在平行四边形所以23BM BEDM DA==，则35DM DB=O O由图象可知：当232a -≤≤-时，即若()g x 在π7π,212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则22．(1)14(2)20则221520x FQ x x x ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由题意得()21500400AE x ≥--。
黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知向量()()1,1,,2a m b m =-=r r ，若a b ⊥r r ，则实数=m （ ） A ．2B ．23C ．-1D ．-22．已知向量()a =r ，(2,b =-r ，则向量,a b r r的夹角为（ ）A ．5π6 B ．π4C ．π3D ．6π 3．设e →为单位向量，||2a →=，当,a e r r 的夹角为π3时，a →在e →上的投影向量为（ ）A ．12-B ．e →C ．12e →D e4．已知a r 与b r 为非零向量，,2,OA a b OB a b OC a b λμ=+=-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r，若,,A B C 三点共线，则2λμ+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知向量|||a b =r r ，若,a b rr 间的夹角为34π，则2a b -=r r （ ）AB C D 6．设D 为ABC V 所在平面内一点，且满足3CD BD =u u u ru u u r，则（ ） A ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rB ．3122=+u u u ru u u r u u u r AD AB AC C ．3122AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rD ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r7．在ABC V 中，其内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A a +=，则ABC V 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形8．为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A ，B 分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG ，使得H ，G ，B 三点在同一直线上，在G ，H 两点用测角仪测得A 的仰角分别是α和β，CD a =，测角仪器的高度是h ．由此可计算出建筑物的高度AB ，若75,45αβ=︒=︒，则此建筑物的高度是（ ）Ah + Bh + Ch - Dh -二、多选题9．已知平面向量(1,0)a b ==-r r，则下列结论中正确的是（ ） A．2a b -=r rB ．2a b =r rC ．()a b b +⊥rr rD ．a r 与b r的夹角为π310．设M 是ABC V 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若1122AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，则M 是边BC 的中点B ．若MA MB MC ==，则M 是ABC V 的垂心 C ．若AM BM CM -=-u u u u r u u u u r u u u u r，则M 是ABC V 的重心 D ．若AB AC AM AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u u r u u ur u u u r ，则动点M 过ABC V 的内心 11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ）A ．若sin sin AB <，则A B <B ．若ABC V 是锐角三角形，sin cos A B <恒成立C ．若10a =，9b =，60B =︒，则符合条件的ABC V 只有一个D ．若ABC V 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=三、填空题12．已知向量(1,2)a =r ，(2,2)b =-r ，(1,)c k =r ．若//(2)a b c +r r r，则k =．13．在ABC V 中，若5b =，π4B ∠=，tan 2A =，则=a ；14．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且25sin cos 4A A +=，则角A =，当a =bc 的最大值是.四、解答题15．（1）已知3a =r ，()1,2b =r ，且a r //b r ，求a r的坐标. （2）已知()4,2a =r ，求与a r垂直的单位向量的坐标.16．已知在三角形ABC 中，2AC =，4BC =，30B =o ，且边AB ，BC 上的中线CD ，AE 交于点M . (1)求AB 的长； (2)求cos AMC ∠的值.17．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若向量sin )m A =-v，(,2)n a c =v，且m n ⊥u v v .（1）求C ；（2）若c =6a b +=，求a ，b 的值.18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =． (1)若2c b =，证明：()()sin sin sin sin sin sin AB A B BC +-=； (2)若2a =，求ABC V 周长的最大值．19．在ABC V 中，P 为AB 的中点，O 为边AC 上的中点，BO 交CP 于R ，设AB a u u u r r=，AC b =u u u r r(1)试用a r ，b r表示AR u u u r ；(2)若2a =r ，1b =r ，,60a b =o rr ，求ARB ∠的余弦值(3)若H 在BC 上，且RH BC ⊥，设2a =r ，1b =r ，,a b θ=r r ，若π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求CH CB u u u r u u u r 的范围.。
浙南名校联盟2024年高一下学期4月期中联考数学试卷
2023学年第二学期浙南名校联盟期中联考高一年级数学学科 试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()34i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A ．4−B ．45−C ．4i −D ．4i 5−2．如图，直角梯形O A B C ′′′′满足O A O C ⊥′′′′，2O A A B ′′′′==，3O C ′′=，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是（ ）A ．7B ．5+C ．11+D ．3．已知函数()()ln ,01,31,1,x x f x f x x <≤ =−> 则103f等于（ ） A ．9ln3−B ．9ln3C ．27ln3−D ．27ln34．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ）A ．2πBCD 5．在ABC △中，D 是AB 边上的一点，且CD 平分ACB ∠，若CA a = ，CB b = ，2b = ，1a =，则AD =（ ） A ．1324a b−+B ．1233a b+C ．1133a b−+D ．2133a b +6．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1a c =−，1b c =+，若ABC △为钝角三角形，则c 的取值范围为（ ） A ．()2,4B ．()1,3C ．()0,3D ．()3,47．已知四边形ABCD 内接于圆O ，且满足1AB =，3AD =，2BC CD ==，则圆O 的半径为（ ） ABCD8．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
北京市顺义牛栏山2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷含答案
数学试卷（答案在最后）（120分钟）2024.04第一部分（选择题共24分）一、选择题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题列出的四个选项中.选出符合题目要求的一项.1.sin 585︒的值为（）A.2B.2-C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.【详解】2sin585sin(360225)sin(18045)sin 452︒=︒+︒=︒+︒=-︒=-.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.2.在平面直角坐标系xOy 中，若角α的终边经过点()4,3-，则sin α，cos α分别为（）A.4-，3B.3，4- C.45-，35D.35，45-【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】因为角α的终边经过点()4,3-，所以3sin 5α==，4cos 5α==-.故选：D3.设O ，A ，B ，C 为平面四个不同点，它们满足34OB OC OA +=，则（）A.A ，B ，C 三点共线B.O ，B ，C 三点共线C.A ，O ，C 三点共线D.A ，B ，O 三点共线【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则得到3AB CA =，即可判断.【详解】因为34OB OC OA +=，所以33OB OA OA OC -=-，即()3OB OA OA OC -=- ，所以3AB CA = ，所以//AB CA，所以A ，B ，C 三点共线.故选：A4.下列条件满足ABC V 为直角三角形的个数为（）①()()sin sin A B A B -=+；②sin sin cos cos C B C B =；③22sin sin 1C B +=A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】利用和差角公式判断①②，利用特殊值判断③.【详解】对于①：()()sin sin A B A B -=+，所以sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，所以cos sin 0=A B ，又()0,πB ∈，sin 0B >，所以cos 0A =，又()0,πA ∈，所以π2A =，则ABC V 为直角三角形，故①正确；对于②：sin sin cos cos C B C B =，则cos cos sin sin 0C B C B -=，即()cos 0B C +=，又()0,πB C +∈，所以π2B C +=，则π2A =，即ABC V 为直角三角形，故②正确；对于③：当π6B =，2π3C =，则1sin 2B =，sin 2C =，满足22sin sin 1C B +=，但是ABC V 为钝角三角形，故③错误.故选：C5.已知tan tan αβ>，那么下列命题成立的是（）A.若α，β是第一象限角，则cos cos αβ>B.若α，β是第二象限角，则sin sin αβ>C.若α，β是第三象限角，则cos cos αβ<D.若α，β是第四象限角，则sin sin αβ>【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合三角函数线，以及三角函数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若α，β是第一象限角，且tan tan αβ>，作出三角函数线，如图1所示，则cos ,cos OA OA OPOQαβ==，因为OP OQ >，所以cos cos αβ<，所以A 错误；对于B 中，若α，β是第二象限角，且tan tan αβ>，作出三角函数线得到有向线段11,N N M M ，如图2所示，则11sin ,sin N N M M αβ==，所以sin sin αβ<，所以B 错误；对于C 中，若α，β是第三象限角，且tan tan αβ>，作出三角函数线得到有向线段11,OM ON ，如图3所示，则11cos ,cos OM ON αβ==，所以cos cos αβ>，所以C 错误；对于D 中，若α，β是第四象限角，且tan tan αβ>，作出三角函数线得到有向线段11,M M N N ，如图4所示，则11sin ,cos M M N N αβ==，所以sin sin αβ>，所以D 正确.故选：D.6.函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>图像上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足π6r s -=，则下列结论成立的是（）A.π162f s 骣琪+=琪桫 B.π362f s 骣琪+=琪桫C.π162f s 骣琪-=-琪桫 D.π362f s 骣琪-=-琪桫【答案】B 【解析】【分析】先求出周期，其次根据(),P s t ，()(),0Q r t t >在函数()f x 图象上，根据正弦函数的对称性可得22π2π,Z r s k k j j +++=+Î，再联立π6r s -=得到2s j +值，根据0t >缩小2s j +的取值范围，最后代入π6f s 骣琪+琪桫和π6f s 骣琪-琪桫求值即可.【详解】周期2ππ2T ==，因为函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>图像上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >，所以()()sin 2sin 20s r t jj +=+=>，因为ππ644T r s -=<=，所以0222T r s <-<，故由正弦函数图像的性质可得22π2π,Z r s k k j j +++=+Î，联立22π2π2π6r s k r s ϕ+=+-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得π2π3s k j =+-，则π2π3s k j +=+，又()()sin 2sin 20s r t jj+=+=>，所以11π22π,Z 3s k k j +=+Î，所以πππsin 2sin 2663f s s s j j 轾骣骣骣犏琪琪琪+=++=++琪琪琪犏桫桫桫臌1π2πsin sin 332π2π3k 骣琪=+==琪ø+è，故B 正确；A 错误；πππsin 2sin 2663f s s s j j 轾骣骣骣犏琪琪琪-=-+=-+琪琪琪犏桫桫桫臌1πsin sin 0π2π303k 骣琪==÷桫+-=ç，故C 、D 错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够根据正弦函数的对称性得到22π2π,Z r s k k j j +++=+Î.第二部分（非选择题共126分）二、填空题共9道小题，其中7-10题，每小题4分，共16分，11-15题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.7.两个非零向量()1,1a x =- ，()21,0b x =-共线，则x =______.【答案】1【解析】【分析】根据共线向量的坐标表示可求x 的值.【详解】因为()1,1a x =-，()21,0b x =- 共线，故()()10121x x ⨯=--，故1x =或12x =，而当12x =时，0b = ，与题意不合，舍，故1x =，故答案为：1.8.设1x ，2x 为方程220x x m --=的两个根，且1220x x +=，则m 的值为______.【答案】8【解析】【分析】利用韦达定理计算可得.【详解】因为1x ，2x 为方程220x x m --=的两个根，所以440m ∆=+≥即1m ≥-，且12122x x x x m +=⎧⎨=-⎩，又1220x x +=，所以1224x x =-⎧⎨=⎩，所以24m -=-⨯，解得8m =.故答案为：89.函数()cos f x x =在π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据题意，结合余弦函数的图象与性质，即可求解.【详解】由余弦函数的性质，可得()cos f x x =在π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]0,π上单调递减，所以，当0x =时，()()max 01f x f ==，又因为π1(,(π)132f f -==-，所以函数()f x 的值域为[1,1]-.故答案为：[1,1]-.10.已知)a =，()b =- ，则a与b 的夹角为______．【答案】2π3【解析】【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解.【详解】由题意可知：624,2,4a b a b ⋅=-+=-==r r rr ，可得1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅r r r r r r ，且[],0,πa b ∈ ，所以a与b 的夹角为2π3.故答案为：2π3.11.函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上的点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭向右平移()0s s >个单位后得到P '，若P '落在函数sin 2y x =上，则s 的最小值为______.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先把点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭代入πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭求出12t =，再把π,4P s t 骣¢琪+琪桫代入sin 2y x =，求出s 值，结合0s >求出其最小值即可.【详解】因为点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上，所以ππ1sin 2432t 骣琪=´+=琪桫，由题意可知π,4P s t 骣¢琪+琪桫，又P '落在函数sin 2y x =上，所以ππ1sin 2sin 2cos 2422s s s 轾骣骣犏琪琪´+=+==琪琪犏桫桫臌，解得π22π3s k =+或π2π,Z 3k k -Î，即ππ6s k =+或ππ,Z 6k k -Î，又0s >，所以π6s =，即s 的最小值为π6.故答案为：π6.12.若π3αβ+=，则tan tan tan αβαβ++的值______.【解析】【分析】利用两角和的正切公式计算可得.【详解】因为π3αβ+=，则()πtan tan 3αβ+==，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-所以)tan tan 1tan tan αβαβ+=-所以tan tan tan αβαβ++=13.如图，函数()()()cos 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>>≤<，则ω=______；ϕ=______.【答案】①.π4②.7π4【解析】【分析】由周期的定义结合图象可得π4ω=，代入点()3,0后再结合余弦函数值可得7π4ϕ=.【详解】由图象可知，函数的周期为()718T =--=，所以2ππ4T ω==；根据五点法，当3x =时，ππ32π,Z 42k k ϕ⨯+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=-∈，因为0πϕ≤<2，所以π47ϕ=；故答案为：π4；7π4.14.若()()sin sin 044f x a x b x ab ππ⎛⎫⎛⎫=++-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则有序实数对(),a b 可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．【答案】()1,1（答案不唯一）【解析】【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数a ，b 应该满足的条件，按等式关系选取答案即可.【详解】已知0ab ≠，()sin sin cos cos 442222f x a x b x a x x b x x ππ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭)()sin cos 22a b x a b x =++-，若()f x 是奇函数，则0a b -=即可，可以取1a =，1b =.故答案为：()1,1（答案不唯一）15.在平面直角坐标系xOy 中，()1,0A ，()0,2B .集合{},02,01M P OP OA OB λμλμ==+≤≤≤≤，下列结论正确的是______.①点()3,1C M ∈；②若45AOP ∠=︒，则2λμ=；③若1ON = ，则OP ON ⋅的最小值为-.【答案】②③【解析】【分析】首先求出点P 所在的平面区域，再数形结合即可判断.【详解】对于①，因为()1,0A ，()0,2B ，所以()1,0OA = ，()0,2OB =，又()()()1,00,2,2OP OA OB λμλμλμ=+=+=，因为02λ≤≤，01μ≤≤，所以点P 在边长为2的正方形OBEF 区域内（包括边界上的点），如下图所示：显然()3,1C M ∉，故①错误；对于②，若45AOP ∠=︒，即P 在OE 上，则OP tOE =()01t <≤，又2OE OA OB =+ ，所以2OP tOA tOB =+，又OP OA OB λμ=+ ，OA 、OB不共线所以2t t λμ=⎧⎨=⎩，所以2λμ=，故②正确；对于③，因为1ON =，则N 在以圆点为圆心，半径为1的圆上，由图可知当P 在E 点且N 在EO 的延长线与圆的交点时OP ON ⋅取得最小值，且()()min11OP ON⋅=⨯-=-.故答案为：②③三、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16.函数()()22cos sin 0f x x x ωωω=->的最小正周期为π.（1）求ω；（2）求()f x 的单调递增区间，【答案】（1）1ω=（2）ππ,π,Z 2k k k 轾-Î犏犏臌【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简()cos 2f x x w =，再由周期的定义求出1ω=；（2）由余弦函数的单调递增区间解出即可.【小问1详解】因为()22cossin cos 2f x x x x w w w =-=，所以2ππ12w w=Þ=，【小问2详解】由（1）可知，()cos 2f x x =，所以π2ππ22π,Z ππ,Z 2k x k k k x k k -＃无-＃，所以()f x 的单调递增区间为ππ,π,Z 2k k k 轾-Î犏犏臌.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 对应边长分别为a ，b ，c ，其中4a =，2b =，60A =︒.（1）求c ；（2）求sin B .【答案】（1）1+（2）4【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可（2）利用正弦定理求解即可【小问1详解】由余弦定理得2222cos a c b bc A =+-，即21642c c =+-，解得1c =（负值舍去）.故c 值为1+.【小问2详解】由正弦定理得sin 2sin 60sin 44b A B a ︒⨯===.故sin B 值为34.18.在ABC V 中，角A ，B ，C 对应边长分别为a ，b ，c .（1）设AD ，BE ，CF 是ABC V 的三条中线，用AB ，AC 表示AD ，BE ，CF ；（2）设90A ∠=︒，AD BC ⊥，求证：2AD BD DC =⋅.（用向量方法证明）【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；（2）根据题意，得到,D BD C AD AB AC AD =-=- ，结合向量的数量积的运算公式和数量积的几何意义，即可得证.【小问1详解】解：由AD ，BE ，CF 是ABC V 的三条中线，可得1111()2222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，1122BE AE AB AC AB AB AC =-=-=-+ ，12CF AF AC AB AC =-=-uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r.【小问2详解】证明：在ABC V 中，因为90A ∠=︒，AD BC ⊥，所以0AB AC ⋅= ，可得,D BD C AD AB AC AD =-=-，则()()2BD DC AD AB AC AD AD AC AD AB AC AD AB ⋅=-⋅-=⋅--⋅+⋅ 2AD AC AD AB AD =⋅+⋅- ，因为22cos ,cos AD AC AD AC A CA D AD AB AD A D BA D D B A ⋅=∠=⋅=∠= ，所以2222BD DC AD AD AD AD +-=⋅= ，即2AD BD DC =⋅.19.设00x x y y =⎧⎨=⎩是方程2214x y +=的一组解，计算：（1）000022y y x x ⋅+-；（2）求000022112x y y x ++--的值.【答案】（1）14-（2）4【解析】【分析】（1）依题意可得220014x y +=，即220044x y +=，再将所求式子化简，最后整体代入即可；（2）由a b ab =将所求式子展开，再代入220044x y +=计算可得.【小问1详解】因为00x x y y =⎧⎨=⎩是方程2214x y +=的一组解，所以220014x y +=，即220044x y +=，即220044x y -=-，则220000220000122444y y y y x x x y ⋅===-+---.【小问2详解】因为000022112x y y x ++--000000222122y x y x y x -=-++--()()()200002122y x y x =-+--2200000000004444282y x x y x x y y x y +++-+---=又220044x y +=，所以原式000000008448242y x y x x y y x =----+=+，即0000221412x y y x ++=--.20.已知函数()sin cos f x x x =+，∈.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值并直接写出()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大值并写出取得最大值时x 的集合；（3）定义()()max x g a f x a ∈=-R，a ∈R ，求函数()g a 的最小值.【答案】（1）π2π1632f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最小正周期为π2.（2）()max f x =x 的取值集合为ππ|,Z 42k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.（3）()min 12g a -=【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，而()f x =，故可求()f x =的最小正周期.（2）先求出0sin 21x ≤≤，结合（1）的化简结果可得()f x 何时取何最值.（3）利用（2）的结合可求()g a 的解析式，故可求其最小值.【小问1详解】πππ312π2π2π31sin cos ,sin cos 66623332f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x =，而sin 2y x =的最小正周期为π2，故()f x =的最小正周期为π2.【小问2详解】因为0sin 21x ≤≤，故()1f x ≤≤故()max f x =，此时sin 21x =±即π2π2x k =+即ππ,Z 42k x k =+∈.对应的x 的集合为ππ|,Z 42k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；【小问3详解】由（2）可知，()min 1f x =，()max f x =，当1a ≤时，()()f x a f x a -=-，所以()g a a =；当a ≥()()f x a a f x -=-，所以()1g a a =-；当1a <<时，()}1,12max ,111,2a a g a a a a a +-<≤=-=⎨⎪-<<⎪⎩，综上，()1,211,2a a g a a a +-≤=⎨+⎪->⎪⎩，故()min 12g a -=.21.已知集合(){}{}()12,,,,0,1,1,2,,2n n i S X X x x x x i n n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅≥，对于()12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，()12,,,n n B b b b S =⋅⋅⋅∈，定义A 与B 的差为()1122,,,n n A B a b a b a b -=--⋅⋅⋅-，A 与B 之间的距离为()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）直接写出n S 中元素的个数，并证明：任意,n A B S ∈，有n A B S -∈；（2）证明：任意,,n A B C S ∈，有()()(),,,d A B d A C d B C ++是偶数；（3）证明：,,n A B C S ∀∈，有()()()(),,,,d B C d A B d A C d B C -≤-≤.【答案】（1）n S 中元素的个数为2n ；证明见详解（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意分析可知n S 中元素的个数为2n ，结合定义可得{}0,1i i a b -∈，即可证明结论；（2）分类讨论可知i i i i i i a b a c b c -+-+-为偶数，结合定义分析证明即可；（3）根据题意分析可得i i i i i i i i b c a b a c b c --≤---≤-，进而可得结果.【小问1详解】因为{}0,1,1,2,,,2i x i n n ∈=⋅⋅⋅≥，可知i x 均为2个值可取，所以n S 中元素的个数为2n ，对于任意1212(,,,),(,,,)n n n A a a a B b b b S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈，可知{}0,1,1,2,,,2,i i b a i n n ∈=⋅⋅⋅≥，则i i a b -的结果如下表所示：ia ib 01001110可得{}0,1i i a b -∈，所以n A B S -∈.【小问2详解】设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈，{},,0,1(1,2,,)i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅，对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅，均有i i i i a b b a -=-，则()(),,d A B D B A =，若,,i i i a b c 均为0或,,i i i a b c 均为1，则0i i i i i i a b a c b c -=-=-=，所以0i i i i i i a b a c b c -+-+-=为偶数；若,,i i i a b c 中有1个0，2个1，不妨设,01i i i a b c ===，则1,0i i i i i i a b a c b c -=-=-=，所以2i i i i i i a b a c b c -+-+-=为偶数；若,,i i i a b c 中有2个0，1个1，不妨设,10i i i a b c ===，则1,0i i i i i i a b a c b c -=-=-=，所以2i i i i i i a b a c b c -+-+-=为偶数；综上所述：i i i i i i a b a c b c -+-+-为偶数，所以()()()111,,,n n n i i i i i i i i i d A B d A C d B C a b a c b c ===++=-+-+-∑∑∑()1n i i i i i i i a b a c b c ==-+-+-∑为偶数.【小问3详解】设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n nA a a aB b b bC c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈由（1）可知：,,n A C B C A B S ---∈，由题意知：{},,0,1(1,2,,)i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅，当0i a =时，1,1,00,1,0,1i i i i i i i i i i i i b c a b a c b c b c b c ==⎧⎪---=-==⎨⎪-==⎩；但1,1,00,1,0,1i i i i i i ii b c b c b c b c ==⎧⎪-==⎨⎪==⎩，可得i i i i i i b c b c b c --≤-≤-，即i i i i i i i i b c a b a c b c --≤---≤-；当1i a =时，()()1,1,00,1,0,1i i i i i i i i i i i i i i ii b c a b a c a b a c c b b c b c -==⎧⎪---=---=-==⎨⎪==⎩，但1,1,00,1,0,1i i i i i i ii b c b c b c b c ==⎧⎪-==⎨⎪==⎩，可得i i i i i i b c c b b c --≤-≤-，即i i i i i i i i b c a b a c b c --≤---≤-；综上所述：i i i i i i i i b c a b a c b c --≤---≤-，由i 的任意性可得：1111n n n n i i i i i i i i i i i i b c a b a c b c====--≤---≤-∑∑∑∑，所以()()()(),,,,d B C d A B d A C d B C -≤-≤.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期4月月考试题 数学含答案
滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷（答案在最后）命题人：一､单选题本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.2024- 的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若()π,πx ∈-，使等式()sin πsin 1x =-成立的x 的值是（）A.π2-B.π2 C.π5π,66D.π5π,66--3.函数()21sin 21xf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A. B.C. D.4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆的一部分和以AB 为直径的圆的一部分，若C 是 AB 的中点，2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据：π 1.73≈≈）A.22288mB.25792mC.27312mD.28112m 5.若sin ,cos θθ是方程20x mx m -+=的两根，则m 的值为（）A.1B.1+C.1±D.1-6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，若12π5π2πsin ,cos ,tan 777a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c>> D.c b a>>7.已知函数()()cos sin f x x =，现给出下列四个选项正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的最小正周期为2πC.π2x =是()f x 的一条对称轴D.()f x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增8.定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()()2211,32sin 32cos f x g x x x ==--，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（）A.12 B.23 C.1 D.43二､多选题本题共三道小题，每小题6分，共18分，在每道小题给出的四个选项中，多个选项是符合题目要求的，部分正确得2或3分，有选错的得0分9.下列选项正确的是（）A.函数()()sin 2(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期是πωB.若α是第一象限角，则tan 02α>C.函数()πtan 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是()ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，“sin cos tan 0A B C <”是“ABC 是钝角三角形”的充要条件10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.已知函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()(0)g x f x t t =->有2n 个零点()n N +∈，记为12212,,,,n n x x x x - ，且12212n n x x x x -<<<< ，则下列结论正确的是（）A.()0,2t ∈B.1217,24x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭C.45189,484x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭D.()3452122182n n x x x x x -+++++= 三､填空题本题共三道小题，每小题5分，共15分12.函数()1πlg sin 26f x x =⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的定义域是__________.13.已知函数()22tan sin sin cos 2cos f x x x x x =-+，则()2f =__________.14.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时满足()π16ππ2sin 2,0,6613π,226x x x f x x x -+⎧⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩关于的方程()()2[]230f x af x -+=有且仅有8个不同实根，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题本题共五道小题，其中15题满分13分，16､17题满分各15分，18､19题满分各17分共77分.15.在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点,2P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接圆心O 和P 得到射线OP ，将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-的值；（2）记点B 的横坐标为()f θ，若π164f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求π5πcos cos 36θθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.16.已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭图象上的任意两点，()01f =-，且当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=.（1）求当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的单调递增区间；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标也变为原来的12倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移π8个单位得到()y g x =的图象，若()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，求实数m 的取值范围.17.位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点P ，在乘降点P 处进入座舱后开始开始观光，再次回到乘降点P 时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.（1）甲乙两名游客分别坐在A B ､两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧 AB 的弧长l （单位：米）；（2）设游客从乘降点P 处进舱，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.18.已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，且满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）设()2cos 2sin g x x a x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()123g x f x <+，求实数a 的取值范围；（2）当（1）()2cos 2sin g x x a x =+中12a =时，若[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，()42(0)x xh x m m m =⋅-+>都有()()2140h x g x -≥成立，求实数m 的取值范围.19.若函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭且()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“M 函数”.（1）试判断()4sin3xf x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()3S .滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷答案详解一､单选题1.【答案】B【详解】易知20241366360-=-⨯ ，而136 的终边在第二象限，故1640- 的终边在第二象限.即B 正确.2.【答案】D【详解】由()sin πsin 1x =-得ππsin 2π,2x k k Z =-+∈，所以1sin 2,2x k k Z =-+∈，又[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 2x =-，所以π2π6x k =-+或5π2π,6x k k Z =-+∈，因为()π,πx ∈-，所以π6-或5π6-.故选：D3.【答案】C【详解】()21sin 21x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，由已知()f x 的定义域为R ，又()()()()()221121sin sin sin 212112x x x x xf x x x x f x ---⎛⎫⎛⎫--⎛⎫-=-⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除AB ，当1x =时，()12111sin1sin10213f ⎛⎫=-=> ⎪+⎝⎭，故排除D.故选：C.4.【答案】D【详解】设ABC 的外接圆的半径为r ，圆心为0，如图，因为1π,23BCO BCA OB OC ∠∠===，所以OBC 是等边三角形，120322AB BD ===因为月牙内弧所对的圆心角为2π2π2π233-⨯=，所以内弧的弧长2π12080π3l =⨯=，所以弓形ABC 的面积为11180π120604800π22S =⨯⨯-⨯=-以AB 为直径的半圆的面积为21π5400π2⨯=，所以该月牙泉的面积为(5400π4800π600π188462288112--=+≈+=，故选：D5.【答案】A【详解】由题设2Δ()40m m =--≥，得4m ≥或0m ≤.由韦达定理得sin cos m θθ+=且sin cos m θθ=，所以22(sin cos )12sin cos 12m m θθθθ+=+⇒=+，即2210m m --=，可得12m =±4m ≥或0m ≤，所以故12m =-.故选：A 6.【答案】B 【详解】根据题意，12π12π2π2πsinsin 2πsin sin 07777⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π2πsin sin 077a f f ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π2π2π2π2πcoscos πcos 0,cos cos 077777b f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-<=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为π2ππ472<<，由三角函数线知2π2πcos sin 77<，所以2π2πcos sin 77->-已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，所以在(),0∞-上是减函数且有()0f x <则0b a <<，已知2πtan 07>，则有2πtan 07c f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以.故选B.7.【答案】C【详解】因为()f x 的定义域为()()()()()R,cos sin cos sin cos sin f x x x x f x ⎡⎤-=-=-==⎣⎦，所以()f x 为偶函数，A 错误；由()()πf x f x =+，可得()f x 的最小正周期为π，B 错误；()ππcos sin cos cos 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()ππcos sin cos cos cos cos 22f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =是()f x 的一条对称轴，C 正确；当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()1,0-，当()1,0x ∈-时，函数cos y x =单调递增，故()f x 在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()0,1，当()0,1x ∈时，函数cos y x =单调递减，故()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 错误.故选：C.8.【答案】A【详解】依题意得()()()(),F x f x F x g x ≥≥，则()()()2F x f x g x ≥+，()()()()2222221111132sin 32cos 32sin 32cos 432sin 32cos f x g x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+=+-+- ⎪⎣⎦----⎝⎭2222132cos 32sin 1221432sin 32cos 4x x x x ⎛⎛⎫--=++≥+= ⎪ --⎝⎭⎝（当且仅当222232cos 32sin 32sin 32cos x x x x --=--，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时，()()1f x g x ==，()()21,F x F x ∴≥∴的最小值为12，故选：A.二､多选题9.【答案】AB【详解】对A ：最小正周期是2ππ2ωω=，故A 正确；对B ：若α是第一象限角，则2α是第一或第三象限角，所以tan 02α>，故B 正确；对C ：令()()ππππ2Z Z 62124k k x k x k +=∈⇒=-+∈，故C 错误；对D ：在ABC 中，由0πA <<知sin 0A >，又由sin cos tan 0A B C <，则有cos 0tan 0B C >⎧⎨<⎩或cos 0tan 0B C <⎧⎨>⎩，所以C 或B 为钝角，满足充分性，而ABC 是钝角三角形，A 为钝角，则有sin cos tan 0A B C >，不满足必要性，故D 错误.故选：AB 10.【答案】ABC【详解】由()01f =-，得1ϕ=-，即sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω∴-=，即得82,k k Z ω=+∈，又02,2ωω<≤∴=，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；()f x 向右平移3π8个单位后得3352228842y f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，()πππ2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()πππ2π482k x k k Z x k Z +=∈⇒=-+∈所以对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,Z 2x k k =+∈，方程()1f x =即()ππππsin 20,2,242444x x m x m ⎛⎫⎛⎫-=∈∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又在()0,m 上有6个根，π19π25π2,444m ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，所以5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故D 错误.故选：ABC.11.【答案】ABD【详解】将函数2log ,(04)y x x =<<的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方，即可得到()()2log ,(40)f x x x =--<<的图象；对于()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤< ⎪⎝⎭，最小正周期为2π6π3T ==，故[)0,24上有4个周期，令ππππ,Z 362x k k +=+∈，则可得()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤<⎪⎝⎭的对称轴为31,0,1,2,3,,7x k k =+= ；由此作出函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象，如图：则()()(0)g x f x t t =->的零点问题即为()f x 的图象与直线y t =的交点问题，由图象可知，当4t >时，()f x 的图象与直线y t =有1个交点，不合题意；当4t =时，()f x 的图象与直线y t =有5个交点，不合题意；当24t ≤<时，()f x 的图象与直线y t =有9个交点，不合题意；当02t <<，即()0,2t ∈时，()f x 的图象与直线y t =有10个交点，符合题意，A 正确；由题意可知1241,10x x -<<--<<，满足()()2122log log x x -=-，则()()2122log log x x -=--，即()()()()2122212log log 0,log 0x x x x -+-=--=，()()()()()1212121,2,x x x x x x ∴--=∴-+->=≠，即122x x +<-，由图像知()0,2t ∈，有2n 个零点()n N +∈，所以()1214,1,1,4x x ⎛⎫∈--∈--⎪⎝⎭，由对勾函数得1217,2,B 4x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭正确；由函数图象可得；4541114,,62x x x ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，故()454518714,48,C 4x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭错误；由图象可知()f x 的图象与直线y t =有10个交点，即5n =，且34,x x 关于直线4x =对称，故348x x +=，同理得455667788991014,20,26,32,38,44x x x x x x x x x x x x +=+=+=+=+=+=，故()()345212345291022n n x x x x x x x x x x -+++++=+++++ 8142026323844182=++++++=，D 正确.故选：ABD三､填空题12.【答案】()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭【详解】由函数定义可知πsin 206πsin 216x x ⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≠ ⎪⎪⎝⎭⎩，可得π2π2π2π6,ππ22π62k x k k Z x k ⎧<+<+⎪⎪∈⎨⎪+≠+⎪⎩，所以定义域是()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭13.【答案】45【详解】因为()22222222sin sin cos 2cos tan tan 2tan sin sin cos 2cos sin cos tan 1x x x x x x f x x x x x x x x -+-+=-+==++，所以()42242415f -+==+.14.【答案】74⎫⎪⎭【详解】因为π06x ≤≤，可得πππ2662x ≤+≤，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，()π01,26f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又由π6x >时，()π161322x f x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为单调递减函数，且π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为函数()f x 是R 上的偶函数，画出函数()f x的图象，如图所示，设()t f x =，则方程()()2[]230f x af x -+=可化为2230t at -+=，由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；当312t <<时，方程()t f x =有2个实数根；当1t =时，方程()t f x =有1个实数根；要使得()()2[]230f x af x -+=有8个不同的根，设12,t t 是方程2230t at -+=的两根12,t t ，设()223g t t at =-+，（1）1212322322t t t t ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪≠⎪⎪⎩，即()2Δ4120322393302424430a a g a g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪=-+>⎩74a <<，综上可得，实数a的取值范围是74⎫⎪⎭.四､解答题15.【答案】（1）1；（2）1514-【详解】（1）由于点P 在单位圆上，且α是锐角，可得12m =，所以1cos 2α=，所以()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-3224cos 2cos 4cos 2cos 122cos cos αααααα++===++（2）由（1）可知1cos 2α=，且α为锐角，可得π3xOP α∠==，根据三角函数定义可得：()πcos 3f θθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为ππ1cos 0664f θθ⎛⎫⎛⎫-=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此ππ0,62θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以π5ππππcos cos cos cos π36626θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππsin cos 66θθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1514-=16.【答案】（1）π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎣⎦⎣⎦；（2）π7π2424m <≤【详解】（1）因为()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，且()()12max 24f x f x A -==，所以2A =依题意可得()02sin 1π02f ϕϕ⎧==-⎪⎨-<<⎪⎩得π6ϕ=-又 当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=，1ππ22T ω∴==，又0ω>，即2ω=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令πππ2π22π,262k x k k Z -+≤-≤+∈得()f x 在R 的单调递增区间为πππ,π,63k k k Z⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦又11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间为π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的12倍得到πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再πsin 46y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移π8个单位得到()πππsin 4sin 4863y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()0,x m ∈，所以πππ4,4333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，所以ππ3π4232m <+≤，解得π7π2424m <≤，17.【答案】（1）35π3米；（2）()π35cos 45,0189H t t t =-+≤≤；（3）3分钟【详解】（1）解：由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，所以两个相邻座舱所对的圆心角为：2ππ3015=，因为甲､乙之间间隔4个座舱，所以劣弧 AB 所对的圆心角为ππ5153⨯=所以π35π3533l r α==⨯=，即劣弧 AB的弧长为35π3米.（单位：米）（2）如图，以摩天轮转轮中心O 为坐标原点，分别以过O 的水平线和坚直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系.不妨设开始转动t 分钟后距离地面的高度()()sin ,(0,0,0)H t A t b A b ωϕω=++>>>（单位：米），由题可知，max min ()80,()807010H t H t ==-=，所以max min()()352H t H t A -==，max min ()()452H t H t b +==，因为2π18T ω==，解得π9ω=，此时()π35sin 45,(0)9H t t ϕω⎛⎫=++>⎪⎝⎭因为()0807010H =-=，代入有：35sin 4510ϕ+=，解得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈故()πππππ35sin 2π4535sin 4535cos 4592929H t t k t t ⎛⎫⎛⎫=-++=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：()π35cos45,0189H t t t =-+≤≤；（t 的范围）（3）因为在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，所以()()62.5,0,18H t t ≥∈，即π35cos 4562.59t -+≥，解得：π1cos92t ≤-甲，即2ππ4π393t ≤≤，解得612t ≤≤甲，所以1266-=分钟，故有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果，因为劣弧AB 所对的圆心角为π3，所以甲乙相隔的时间为π32π18t =乙，解得3t =乙分钟当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果，故甲乙都有最佳视觉效果的时间为633-=分钟.18.【答案】（1）()2,2-；（2）[)3,∞+【详解】（1）因为()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的对称中心为π,012⎛⎫-⎪⎝⎭，所以π6ϕ=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()22π1sin 2,162f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为对任意的12πππ,,0,222x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()123g x f x <+成立，所以()()()121max max max 3,134g x f x g x <+<+=，()22cos 2sin sin 2sin 1g x x a x x a x =+=-++，因为1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]1sin 1,1x ∈-，设[]sin ,1,1t x t =∈-，则有()221t t at ϕ=-++图象开口向下，对称轴为t a =的抛物线，当1a ≥时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递增，所以()max ()12t a ϕϕ==，所以24a <，解得2a <，所以12a ≤<；当1a ≤-时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递减，所以()max ()12t a ϕϕ=-=-，所以24a -<，解得2a >-，故21a -<≤-；当11a -<<时，()2max ()1t a a ϕϕ==+，故214a +<，解得a <<11a -<<，综上所述：实数a 的取值范围为()2,2-.（2）当12a =时，对[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，都有()()21504h x g x -≥成立，则()min max 5()4h x g x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦由（1）可知12a =时，max 5()4g x =，所以()max [4]5g x =.则()5h x ≥在[]0,1x ∈恒成立，即()425xxh x m m =⋅-+≥在[]0,1x ∈恒成立则5241xx m +≥+在[]0,1x ∈恒成立.令[]52,6,7xt t +=∈，则()12126102610t h t t t t t==-++-，因为()22610h t t t =+-在[]6,7t ∈单调递增，所以2min 261()61063h t =+-=，所以()11313h t ≤=，所以3m ≥，综上所述，实数m 的取值范围为[)3,∞+.19.【答案】（1）不是，理由见解析（2）答案见解析（3）()7π,0220π,012330π,240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或【详解】（1）解：()4sin 3xf x =不是为“M 函数”，理由如下：因为()π4π2π444πsin sin ,sin sin2323333x x f x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，()()πR 2f x f x x ⎛⎫+≠-∈⎪⎝⎭，因此，函数()4sin3xf x =不是为“M 函数”.（2）解：函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令3π4x x =+得()3π3π3π444f x fx f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()3π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为3π2T =，因为()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈⎪⎝⎭，则()f x 的一个对称轴为π4x =.①当()3ππ3π,π242k k x k Z ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦时，()3ππ,π24k x k Z ⎡⎤-∈∈⎢⎥⎣⎦，则()()3π3πsin 22k k f x f x x k Z ⎛⎫⎛⎫=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当()3ππ3ππ,Z 2224k k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则()3πππ,Z 224k x k ⎡⎤-∈-∈⎢⎥⎣⎦，则()π3ππ,πZ 224k x k ⎛⎫⎡⎤--∈∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以，()π3ππ3π3πsin cos 22222k k k f x f x x x k Z ⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎭.综上所述，()()()3π3ππ3ππcos ,222243π3ππ3πsin ,π2242k k k x x k Z f x k k k x x k Z ⎧⎛⎫--≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<≤+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以，函数()f x 在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ3π,,π,422⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（3）解：由（2）可得函数()f x 在π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，下面考虑方程()f x a =在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的根之和.①当202a ≤<或1a =时，方程()f x a =有两个实数解，其和为π2；②当22a =时，方程()f x a =有三个实数解，其和为3π4；③当212a <<时，方程()f x a =有四个实数解，其和为π.当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，所以，当0a =时，()()π3π341237π22S =-⨯+⨯++=；当202a <<或1a =时，()()π3π32412320π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当22a =时，()()π3π33412330π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当212a <<时，()()π3π34412340π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦.因此，()7π,0220π,0123230π,2240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或。
福建省福州市八县一中2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题
福建省福州市八县一中2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知,R a b ∈，()2i i i a b -=-，若复数i z a b =+，则z 的实部是（ ） A ．1B ．-2C ．2D ．i2．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“九”在正方体中的对面是（ ）A ．县B ．市C ．联D ．考3．下列说法正确的是（ ）A ．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等B ．直四棱柱是长方体C ．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥D ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形4．在ABC V 中，已知P 在线段BC 上，且13BP BC =u u u r u u u r ，设,CB a CA b ==u u u r u u u r r r ．则AP =u u u r（ ）A ．23a b +r rB ．2133a b +r rC ．23a b -r rD ．1133a b +r r5．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖P 的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为8m ，则树的高度为（ ）A．（m B ．C ．（32mD ．（32m6．已知函数π()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>><（）（）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．π6ϕ=B ．函数()y f x =的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()y f x =在ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦最小值为3-D ．函数()y f x =在ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增7．三个数3sin 2a =，132b =，ln3ln 2c =-的大小顺序是（ ）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a c b <<D ．b<c<a8．已知向量a r 、b r 满足：2a b ==r r ，2a b ?r r ，向量-r r a c 与向量b c -r r 的夹角为π6，则a c-r r 的最大值为（ ）A B ．2C D ．4二、多选题9．如果平面向量()2,0a =r，()1,1b =r ，那么下列结论中正确的是（ ）A ．//a b r rB ．a b⊥r rC ．a r 在 b r 上的投影向量为()1,1D ．a =r10．已知函数 (1)1,0(),0a a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，则以下说法正确的是（ ）A ．若1a =-，则()f x 是R 上的减函数B ．若0a =，则()f x 有最小值C ．若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞ D ．若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-11．如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为线段,AB AD 上的动点，则以下说法正确的是（ ）A ．当P 、Q 分别为线段,AB CD 中点时，cos PCQ ∠的值为45B ．当1AP AQ +=时，tan PCQ ∠的最小值为34C ．当APQ △的周长为2时，π3PCQ ∠=D ．当π3BCP DCQ ∠+∠=时，CP CQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围为⎣三、填空题12．如图，'A B C ''V 是斜二测画法画出的水平放置的ABC V 的直观图，D '是B C ''的中点，且//A D y '''轴，//B C x '''轴，1A D ''=，2B C ''=，则ABC V 的面积为 ．13．如图，在ABC V 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N .设AB =mAM ，AC =nAN ，则41m n+的最小值为.14．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题．当ABC V 的三个内角均小于120︒时，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=o ，则称P 为ABC V 的费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120o 时，最大内角的顶点为费马点．已知ABC V 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，若cos b a C =，设P 为ABC V 的费马点，PB PC t PA +=，则实数t 的最小值为 ．四、解答题15．设复数()121i R ,34i z a a z =-∈=-．(1)在复平面内，复数12z z +对应的点在实轴上，求12z z ； (2)若12z z 是纯虚数，求1z . 16．如图，在平面四边形ABCD 中，3π4ABC ∠=，BC =BAC DAC ∠=∠，24CD AB ==.(1)求线段AC 的长度； (2)求sin ADC ∠的值.17．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：设茶水温度从100℃开始，经过min x 后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型： ①y kx b =+（0k <，0x ≥）；②x y ka b =+（0k >，01a <<，0x ≥）； ③log ()a y x k b =++（1a >，0k >，0x ≥）．(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈．） 18．解决下列问题(1)在平面直角坐标系中，已知(3,1),(2,4)a b ==r r ，a b rr 求与的夹角；(2)如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e u r ，2e u u r分别是x 轴与y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy 中的坐标，记为(),OP x y =u u u r.在斜坐标系xOy 中，①已知(,)a x y =r，求a r ；②已知()sin ,3a θ=r ，()cos ,1b θ=r ，ππθ42⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，求a b -r r 的最大值.19．从①i (sin s n sin sin 2sin )()a b c A B C a B b A +=+⋅++-；②2sin cos sin 2cos a A B b A C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足：______．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． (1)求角C 的大小；(2)若ABC V 为锐角三角形，且2b =，求ABC V 面积的取值范围；(3)若c =ABC V 的内心为I ，求ABI △周长的取值范围．。
四川省高一下学期数学4月联考试卷
四川省高一下学期数学4月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2019高一下·岳阳月考) sin120°的值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·山西期中) 已知向量，若与平行，则（）A . -5B .C . 7D .3. （2分） (2017高一下·安平期末) 已知{an}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A . 12B . 16C . 18D . 244. （2分）函数的图象可由函数的图象（）A . 向左平移个单位长度而得到B . 向右平移个单位长度而得到C . 向左平移个单位长度而得到D . 向右平移个单位长度而得到5. （2分）已知，，，若，则（）A . 2B . 8C . －2D . －86. （2分） (2018高二下·鸡西期末) 在中,角的对边分别为 ,且满足,则的形状为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形7. （2分） (2016高二上·九江期中) 已知等差数列{an}中，a2+a4=16，a1=1，则a5的值是（）A . 15B . 30C . 31D . 648. （2分）已知向量=（2，1），+=（1，k），若∥，则实数k=（）A .B . -2C . -7D . 39. （2分） (2020高一下·南宁期末) 已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分） (2019高一下·南宁期末) 设，向量，，若，则 ________．11. （1分） (2019高一下·合肥期中) 已知数列中，，，则数列的通项公式为________.12. （1分） (2020高一下·忻州月考) 向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是________.13. （1分） (2019高二上·中山月考) 已知数列的前项和，则________.14. （1分） (2018高二上·通辽月考) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、，则＝________.15. （1分） (2020高一下·天津期末) 在中，内角的对边分别是，若，，则 ________.三、解答题 (共4题；共45分)16. （10分） (2016高一下·上海期中) 已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，，b=6，．（1）求c；（2）求的值．17. （10分） (2020高二下·东台期中) 已知数列满足 .（1）求证:数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设，求数列的前项和 .18. （10分）(2018·自贡模拟) 已知向量（1）当时，求的值；（2）已知钝角中，角为钝角，分别为角的对边，且，若函数，求的值．19. （15分） (2017高一下·启东期末) 已知数列{an}满足对任意的n∈N* ，都有a13+a23++an3=（a1+a2++an）2且an＞0．（1）求a1 ， a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若bn= ，记Sn= ，如果Sn＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共45分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：。
辽宁省大连市第八中学、庄河高中2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
辽宁省大连市第八中学、庄河高中2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．若3sin 5α=-，α为第四象限角，则cos α的值为（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．452．已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知扇形的弧长为2π，半径为3，则扇形的面积为（ ） A ．πB ．3π2C ．3πD ．6π4．为了得到函数1sin22y x =的图象，只要把函数1πsin 224y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π8个单位长度 B ．向左平移π8个单位长度 C ．向右平移π4个单位长度D ．向左平移π4个单位长度5．设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有两条对称轴，则ω的取值范围为（ ）A ．713,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．911,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．711,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．59,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．若函数()tan 02xy ωω=≠的最小正周期为1，则函数tan y x ω=图象的对称中心为（ ）A ．,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ZB ．,0,4k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ZC ．π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ZD ．π,0,4k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z8．已知集合{}{}1,2,3,cos i A B i A α==∈∣，若12232π3αααα-=-=且{},B a b =，则22a b +的值为（ ）A ．2B ．32C ．54D ．1二、多选题9．若角α的终边在第三象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．()sin πα- B ．()cos πα+C ．πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()()5f x f x =-B ．()()33f x f x +=--C ．()f x 在区间[]3,5上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移12个单位长度后所得的图象关于原点对称11．已知函数()sin 2cos2xf x x=+，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()1,2x f x ∀∈<R D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增三、填空题12．若()0,πα∈，且1sin cos 3αα⋅=，则sin cos αα+=.13．在ABC V 中，已知25sin cos 224C C +=，则tan 2A B+=. 14．若函数()2cos ln1sin x f x x =+在区间ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=四、解答题15．已知点()()3,0P m m m -≠为角α终边上一点. (1)求πtan 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求sin cos sin cos αααα+-的值；(3)求222sin sin cos 3cos αααα--的值. 16．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(3)若()0,1f x ωω>=在区间[]0,π上有且仅有一个解，求ω的取值范围.17．已知函数()()π2sin 10,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的图象与直线3y =两相邻交点之间的距离为π，且图象关于π3x =对称.将函数()f x 的图象向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象. (1)求()y f x =的解析式； (2)求函数()g x 图象的对称中心； (3)求不等式()2g x ≥的解集.18．函数f x =sin ωx +φ ω>0, φ <π2的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)若()035f x =，求0πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)若()()2ππ,,[]1044x f x mf x ⎡⎤∀∈---≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围.19．已知函数()sin f x x =，()e 1e 1x x g x +=-.(1)求函数()()()22[]31F x f x f x =-+的值域；(2)设函数()()ln G x f x x =+，证明：()y G x =有且只有一个零点0x ，且()0e 1e 1g f x +⎡⎤>⎣⎦-.。
湖北省襄阳市第一中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题
湖北省襄阳市第一中学2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．用一个平面去截正方体，则截面可能是（ ）A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．正方形
D ．正六边形
10．已知向量(3,4)OA =-uuu r ，(6,3)OB =-uuu r ，(53),m m OC =---uuu r ，若ABC Ð为锐角，则
三、填空题
13．已知向量()1,2a =r ，()2,b m =-r ， a b +r r 与a b -r r 垂直，则
m =______.14．已知扇形的周长为6，圆心角为2
，则扇形面积的值是___________.
15．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是______．
四、双空题
16．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古
在三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，
若ABC V 为直角三角形，不妨令90BAC Ð=o ，则222BC AB AC =+，
而222BC OB OC =+，222AB OA OB =+，222AC OC OA =+，
因此220OA =，矛盾，A 错误；
对于B 选项，当截面为下图所示的ABC V 时，截面为等边三角形，B 对；
对于C 选项，当截面与正方形的底面平行时，截面为正方形，如下图所示：
对于D 选项，一个平面与正方体的6个面相交，截面为六边形，此六边形可能是正六边形，。
高一数学下学期4月网上联考试题含解析 试题
2021-2021学年高一数学下学期4月网上联考试题〔含解析〕考生注意：1.本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分.考试时间是是120分钟.2.请将各题答案填写上在答题卡上.3.本套试卷主要考试内容：必修4第一章和第三章.第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.512π=〔 〕 A. 85° B. 80°C. 75°D. 70°【答案】C 【解析】 【分析】 根据180π=代入512π换算，即可得答案； 【详解】180π=，∴75512121805π=⨯=. 应选：C.【点睛】此题考察弧度制与角度制的换算，考察运算求解才能，属于根底题. 2.cos750︒=〔 〕A. 12-B.12C. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可得cos750cos30=，利用特殊角三角函数值，即可得答案；【详解】2cos 750cos(72030)cos303=+==. 应选：D.【点睛】此题考察诱导公式的应用，考察运算求解才能，属于根底题.α的终边过点()cos2,tan 2，那么角α为〔 〕A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据cos20,tan20<<，即可得答案； 【详解】cos20,tan20<<，∴点()cos2,tan 2在第三象限，∴角α为第三象限角.应选：C.【点睛】此题考察三角函数在各个象限的符号，考察运算求解才能，属于根底题.cos3y x =的图象，只需把函数cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象〔 〕A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】比照两个函数中自变量x 的变化情况，再结合“左加右减〞的平移原那么，即可得答案； 【详解】cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移12π单位可得cos 3(cos34)12y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，应选：B.【点睛】此题考察三角函数的平移变换，考察对概念的理解，属于根底题.5.334απ=-,那么角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A. ⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭C. 22⎛-- ⎝⎭D. 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可分析角α的终边与4π-的终边重合,利用三角函数的定义求解即可 【详解】由题,33844πππ-=--,所以角α的终边与4π-的终边重合,因为单位圆的半径为1,那么cos 42y π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,sin 42x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 应选：A【点睛】此题考察终边一样的角的应用,考察三角函数的定义的应用2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为( )A. (),0210k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B. (),0210k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C. (),010k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D. (),010k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图像变换原那么可得新曲线为2sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+求解即可【详解】将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+,得()102k x k Z ππ=-+∈ 应选：A【点睛】此题考察三角函数的图像变换,考察正弦型函数的对称中心AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，假设扇形AOB 的面积为8，那么该扇形的圆心角的弧度数是〔 〕 A.14B.12或者2 C. 1 D.14或者1 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.【详解】解：由题意得212,18,2l r lr =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或者4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或者1l r α==.应选：D【点睛】此题考察弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于根底题. 8.4sin 77πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，那么5cos 14πα⎛⎫-=⎪⎝⎭〔 〕A. 7-C. 47-D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，可求得答案. 【详解】55()71421427ππππππαααα++-=⇒-=-+， ∴54cos cos[()]sin 142777ππππααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.应选：C.【点睛】此题考察诱导公式的应用求值，考察运算求解才能，求解时注意符号的正负.α为第二象限角，以下结论错误的选项是〔 〕A. sin cos αα>B. sin tan αα>C. cos tan 0αα+<D. sin cos 0αα+>【答案】D 【解析】 【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角, 所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α< A,B,C 对,D 不一定正确. 应选:D【点睛】此题考察了三角函数在第二象限的符号,属于根底题.()cos sin xf x x x=-的局部图象大致为〔 〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数和(1)f 的正负，即可得答案； 【详解】()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，且()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，排除B ，D ；cos1(1)01sin1f =>-，排除A ；应选：C.【点睛】此题考察根据函数的解析式选择函数图象，考察数形结合思想，求解时注意函数性质的运用.()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的局部图象如下图,BC ∥x 轴当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,假设不等式()sin 2f x m x -恒成立,那么m 的取值范围是( )A. 3⎫+∞⎪⎪⎣⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 3,)+∞D. [1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据,B C 两点的对称性求得()f x 的一条对称轴方程，由此结合()f x 的周期性求得ω的值，结合π,03⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，进而求得()f x 的解析式，利用别离常数法化简()sin 2f x m x -，结合三角函数值域的求法，求得m 的取值范围.【详解】因为//BC x ,所以()f x 的图像的一条对称轴方程为2723212x πππ+==,71212344ππππω-==⨯,所以2ω=.由于函数()f x 图像过π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，由23k πϕππ⨯+=+,k Z ∈,且0ϕπ<<,得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. ()sin 2f x m x -，等价于()sin 2f x x m -,令()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()sin 2coscos 2sinsin 2cos 2336g x x x x x πππ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭. 由70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()g x 的最大值为32,所以32m . 应选：A【点睛】本小题主要考察根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考察三角函数最值的求法，考察三角恒等变换，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.()()sin f x x ππ=-与()()114g x x =-的图象所有交点的横坐标为12,,,n x x x ，那么12n x x x +++=〔 〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】作出两个函数的图象，利用函数的对称中心为(1,0)，即可得答案； 【详解】作出两个函数的图象，易得一共有7个交点，即127,,,x x x不妨设127x x x <<<，127S x x x =+++，两个函数均以(1,0)为对称中心，∴71625342,2,2,1x x x x x x x +=+=+==，∴3217S =⨯+=.应选：B.【点睛】此题考察利用函数的对称中心求函数零点和，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.5sin 13α=，2παπ<<，那么cos 6tan αα-=______. 【答案】4126【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得cos ,tan αα,代入即可求解.【详解】由同角三角函数关系式,可知因为5sin 13α=,2παπ<<,所以12cos 13α==-,5sin 513tan 12cos 1213ααα===--,所以12541cos 6tan 6131226αα⎛⎫-=--⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为:4126【点睛】此题考察了同角三角函数关系式的应用,属于根底题. 14.()sin10sin3sin80cos1070m ︒︒+︒-=︒，角α的终边经过点()P m ，那么cos α=_________.【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的根本关系可得1m =，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为()22sin10sin370sin80cos10sin 10cos 101m ︒=+-=︒︒+︒︒=︒，2r ==，所以cos α=.故答案为： 【点睛】此题考察了诱导公式、同角三角函数的根本关系以及三角函数的定义，属于根底题. 15.tan 3α=，那么2cos sin 2αα+=__________. 【答案】710【解析】 【分析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用22sin cos αα+代换化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α求值．【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++.故答案为：710． 【点睛】此题考察正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系．考察“1〞的代换．解题时注意关于sin ,cos αα的齐次式的化简求值方法．()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为____________．【答案】1009 【解析】 【分析】将函数的零点转化为求方程()0f x =的根，再计算根在区间()0,2020π的个数，即可得到答案.【详解】函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间()0,2020π的零点，等价于方程11cos 232x π⎛⎫+=⎪⎝⎭在区间()0,2020π根的个数；∴12233x k πππ+=+或者12233x k πππ+=-， ∴4x k π=或者44,3x k k Z ππ=-∈，当1k =时，14x π=⨯或者4143x ππ=⨯-； 当2k =时，24x π=⨯或者4243x ππ=⨯-；当504k =时，5044x π=⨯或者450443x ππ=⨯-； 当505k =时，450543x ππ=⨯-； ∴函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为504211009⨯+=.故答案为：1009.【点睛】此题考察三角函数的零点个数问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.α为第一象限角，且sin α． 〔1〕求cos tan αα、的值； 〔2〕求()()3sin 2cos cos 2παπαπα--+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)1cos tan 52αα==;(2)7 【解析】 【分析】〔1〕利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；〔2〕利用诱导公式进展化简得到关于sin α，cos α的式子，再转化成关于tan α的式子，即可得答案； 【详解】〔1〕角α为第一象限角，且sin α，∴cos 5α===，∴sin 1tan cos 2ααα==. 〔2〕原式323sin 2cos 3tan 2271sin tan 2ααααα+++====. 【点睛】此题考察同角三角函数根本关系、诱导公式化简求值，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察运算求解才能.18.某同学用“五点法〞画函数()()sin f x A x =+ωϕ在某一个周期内的图象时,列表并填入了局部数据,如下表:(1)请将上表数据补充完好,填写上在相应位置,并求出函数()f x 的解析式;(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,求236g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)见解析,()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)-1 【解析】 【分析】〔1〕由表格中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即可求得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,由sin 22A π=可得2A =,那么()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,进而补全表格即可；〔2〕由图像变换原那么可得()2sin g x x =,进而将236x π=代入求解即可【详解】解:(1)根据表中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,又sin22A π=,所以2A =,所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.数据补全如下表:(2)由(1)知()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,再把得到的图像向左平移3π个单位长度,得到2sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图像,即()2sin g x x =,所以23232sin 2sin 1666g πππ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考察由三角函数性质求解析式,考察三角函数的图像变换,考察运算才能()()sin 0,0f x A x b A ωω=+>>的局部图象如下图．〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕设,MOx NOx αβ∠=∠=，求()sin αβ+的值． 【答案】〔1〕()4sin 18xf x π=-；〔2〕5665. 【解析】【分析】〔1〕观察图象得到b 的值，再利用函数的周期、振幅求得函数的解析式；〔2〕分别求出sin ,cos ,sin ,cos ααββ的值，再代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】〔1〕易得3(5)12b +-==-， ∴3(1)4A =--=，∴()4sin 1f x x ω=-，281628T T ππωω=⇒==⇒=， ∴()4sin 18xf x π=-.〔2〕由图象得：34512sin ,cos ,sin ,cos 551313ααββ====， ∴()3124556sin cos cos sin 51351365sin αβαβαβ+=⨯=+=+⨯.【点睛】此题考察三角函函数的图象与性质、两角和正弦公式的应用，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.()3(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.〔1〕求ω的值； 〔2〕求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及相应的x 的值；〔3〕假设()f x =，求25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】〔1〕2；〔2〕最小值-512x π=；最大值3，0x =；〔3〕1916【解析】 【分析】〔1〕由正弦函数的周期2T ωπ=，代入求解即可；〔2〕由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再求函数的值域即可； 〔3〕由有1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，再结合诱导公式化简求值即可.【详解】解：〔1〕因为函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，由2T ππω==，得2ω=.〔2〕()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.于是，当26x ππ+=，即512x π=时，()f x 获得最小值- 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 获得最大值3.〔3〕因为()262f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 21cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111()44=+-- 1916=. 【点睛】此题考察了三角函数的周期，重点考察了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题.()2sin (sin cos )2f x x x x a =++-的图像经过点π(,1)4.〔1〕求a 的值以及()f x 的单调递减区间； 〔2〕当[,]22x ππ∈-时，求使()1f x <成立的x 的取值集合. 【答案】〔1〕a=1, ()f x 的单调递减区间为37[,],88k k k Z ππππ++∈；〔2〕{|}24x x ππ-<< 【解析】 【分析】〔1〕根据函数f 〔x 〕的图象过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭求出a 的值，再化f 〔x 〕为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2) 由()1f x <，得sin 242x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭,结合正弦函数图像，解三角不等式即可. 【详解】解：〔1〕因为函数()()2sin sin cos 2f x x x x a =++-的图像经过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭，所以122a =+-，解得1a =又()()22sin sin cos 12sin 2sin cos 1f x x x x x x x =+-=+-1cos2sin2124x x x π⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭,由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递减区间为37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔2〕由()1f x <，得sin 24x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭ 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，532444x πππ-≤-≤故52444x πππ-<-<，解得：24x ππ-<< 故使()1f x <成立的x 的取值集合为{|}24x x ππ-<<.【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质的应用问题，也考察了三角恒等变换问题，是根底题．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．〔1〕求()f x 的图象的对称中心；〔2〕假设5,24x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域为[]1,2-，求m 的取值范围； 〔3〕设函数()()2f x g x n =-，假设存在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()03g x ≤≤，求n 的取值范围．【答案】〔1〕(,0),28k k Z ππ-∈;〔2〕11248m ππ≤≤;〔3〕542n -≤≤【解析】 【分析】〔1〕直接解方程sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得到对称中心；〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象如下图，观察图象可得m 的取值范围； 〔3〕将问题转化为()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解问题，求出函数的最值，即可得答案； 【详解】〔1〕sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2,4x k k Z ππ+=∈，即,28k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的图象的对称中心(,0),28k k Z ππ-∈. 〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象如下图，当2sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，∴246B x ππ+=-或者7246Cx ππ+=， 可得524B x π=-，2141C x π=， 当2sin 224x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，∴8G x π=，∴11248m ππ≤≤.〔3〕由题意得：()023f x n ≤-≤在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， ∴()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， 552,22424643x x πππππ⎡⎤∈-⇒-≤+≤⎢⎥⎣⎦，∴()[1,2]f x ∈-，∴()max [2]4f x =，()min 5[23]2f x -=-， ∴542n -≤≤. 【点睛】此题考察三角函的图象与性质、不等式有解问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意借助图形的直观性进展分析.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
甘肃省兰州市高一下学期数学4月联考试卷
甘肃省兰州市高一下学期数学4月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 点是角终边上一点，则的值为（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·济南模拟) 设向量，则实数x的值是（）A . 0B .C . 2D . ±23. （2分）已知等比数列的公比,则等于（）A .B . -3C .D . 34. （2分） (2016高二上·郸城开学考) 将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A .B .C . 0D . -5. （2分）(2018·广元模拟) 向量，向量，若，则实数的值为（）A .B . 1C . 2D . 36. （2分）在中，，，则的面积为（）A .B .C . 或D . 或7. （2分）已知数列{an}满足：，则a2009=（）A .B . 5C .D .8. （2分）已知向量=（1，2），=（x，4），若向量∥，则x=（）A . 2B . -2C . 8D . -89. （2分）已知向量=（﹣2，1），=（﹣2，﹣3），则向量在向量方向上的投影为（）A . -B .C . 0D . 1二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分） (2016高一下·南充期末) 计算：cos215°﹣sin215°=________．11. （1分） (2017高三上·常州开学考) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若Sk=33，Sk+1=﹣63，Sk+2=129，其中k∈N* ，则k的值为________．12. （1分）平面向里=（x，﹣3），=（﹣2，1），=（1，y），若⊥（﹣），∥（+），则在方向的投影为________13. （1分） (2017·汉中模拟) 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn满足n（n+1）Sn2+（n2+n﹣1）Sn﹣1=0（n∈N*），则S1+S2+…+S2017=________．14. （1分） (2017高三上·惠州开学考) 在△ABC中，若A= ，AB=6，AC=3 ，点D在BC的边上且AD=BD，则AD=________．15. （1分）(2018·全国Ⅰ卷文) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+ csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.三、解答题 (共4题；共45分)16. （10分） (2016高一下·姜堰期中) 计算下面各题（1）已知sinα= ，α∈（，π），求sin2α；（2）已知tanα= ，求tan2α的值．17. （10分） (2017高一下·正定期中) 已知数列{an}，满足a1=1，，n∈N* ．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）设，求T2n ．18. （10分） (2018高一下·包头期末) 如图，在三棱柱中，，平面平面，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. （15分）(2017·新课标Ⅲ卷理) 已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值；（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共6题；共6分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共45分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、。
江苏省扬州市高一下学期数学4月联考试卷
江苏省扬州市高一下学期数学4月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2019高一上·南海月考) （）A .B .C .D .2. （2分）已知向量，且，，，则一定共线的三点是（）A . A、C、DB . A、B、DC . A、B、CD . B、C、D3. （2分）设a1 ， a2 ， a3 ， a4成等比数列，其公比为2，则的值为（）A . 1B .C .D .4. （2分）将函数的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）A .B .C .D .5. （2分）已知非零向量与满足（）·=0,且·,则△ABC为（）A . 等腰非等边三角形B . 等边三角形C . 三边均不相等的三角形D . 直角三角形6. （2分）有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°，若AB＝120米，则电视塔的高度为（）．A . 米B . 60米C . 米或60米D . 30米7. （2分）设等差数列的前n项和为，已知，则下列结论中正确的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·黑龙江期中) 已知向量 =（2，1）， =（x，2），若∥ ，则 + 等于（）A . （3，3）B . （6，3）C . （1，3）D . （﹣3，3）9. （2分）已知=（1，-2）=（3，4），则在方向上的投影是（）A . 1B . -1C .D . -二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分）(2019·泸州模拟) 若，则 ________．11. （1分） (2020·金堂模拟) 等比数列中，，，则数列的前8项和等于________.12. （1分） (2018高三上·龙泉驿月考) 、分别为双曲线左、右支上的点，设是平行于轴的单位向量，则的最小值为________．13. （1分） (2016高一下·大同期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1= Sn（n=1，2，3，…）．则数列{an}的通项公式为________．14. （1分）(2017·石家庄模拟) 已知△ABC中，AC=4，BC=2 ，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，则的值为________．15. （1分）(2017·江西模拟) △ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记，则当λ取最大值时，tan∠ACD=________．三、解答题 (共4题；共45分)16. （10分） (2018高一下·威远期中) 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．17. （10分） (2016高一下·台州期末) 已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a1+a2=b4 ，b1+b2=a2 ．（1）求{an}与{bn}的通项公式；（2）记数列{an+bn}的前n项和为Tn，求Tn．18. （10分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．（Ⅰ）证明：b+c=2a；（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．19. （15分）(2017·新课标Ⅲ卷理) 已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值；（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共6题；共6分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共45分) 16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、。
辽宁省高一下学期4月联考数学试题(解析版)
高一下学期4月联考数学试题一、单选题1．已知角的终边经过点，则（ ） α()1,6-cos α=A B ． C D ． 【答案】D【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由题意，得cos α==故选：D.2．已知向量，，且，的夹角为，则（ ）(a =- 1b = a b π42a b -= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】先求出，然后对平方，结合向量数量积的坐标运算即可求解.a r 2ab -【详解】由.(a =- =πcos 24a b a b ⋅=⋅⋅=于是.2a -= 故选：B 3．若，，则是（ ） sin 0tan αα>tan 0cos αα<αA ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】D【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限. cos αsin αα【详解】由，，得，，所以是第四象限角. sin cos 0tan ααα=>2tan sin 0cos cos αααα=<cos 0α>sin 0α<α故选:D.4．（ ） cos54cos 242sin12cos12sin126︒︒+︒︒︒=A ．BCD 12【答案】C【分析】利用诱导公式，二倍角公式和和差公式进行化简求值.【详解】 ()cos54cos 242sin12cos12sin126cos54cos 24sin 24sin 18054︒︒+︒︒︒=︒︒+︒︒-︒()cos54cos 24sin 24sin 54cos 5424cos30=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=故选：C5．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，把得到的图象向左平移tan y x =14个单位长度，再把得到的图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则图象的π12()f x ()f x 对称中心为（ ） A ．B ．()ππ,0124k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()ππ,0128k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．D ．()ππ,2124k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()ππ,2128k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】D【分析】通过正切函数图象变换求出，然后利用整体代换法求解函数的对称()πtan 423f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭中心.【详解】由题意，得，()ππtan 42tan 42123f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由，得， ()ππ432k x k +=∈Z ()ππ128k x k =-+∈Z 所以图象的对称中心为.()f x ()ππ,2128k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：D.6．如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量44⨯A B C D AB与夹角的余弦值为（ ）CDA ．B ．C ．D ．15253545【答案】C【分析】建立合适的坐标系后，使用夹角公式求解即可.【详解】如图，以为原点，为2个单位长度，建立直角坐标系，则，，A AC ()4,2B ()2,0C ，，，()4,1D -()4,2AB =()2,1CD =-所以向量，夹角的余弦值为. AB CD35AB CD AB CD ⋅==故选：C7．若，，，则（ ） 1.2a =sin1.2b =tan1.2c =A ． B ．C ．D ．c a b >>c b a >>a c b >>b c a >>【答案】A【分析】设扇形的面积为，由三角函数线结合得到答案. OBC 1S 1OBC OBD S S S << 【详解】画出的三角函数线，如下：π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，，， sin AC θ=tan AD θ= BC θ=设扇形的面积为，OBC 1S 则，，112S θ=1111sin ,tan 2222OBC OBD S OB AC S OB BD θθ=⋅⋅==⋅⋅= 又，故，1OBC OBD S S S << 111sin tan 222θθθ<<所以，，sin tan <<θθθπ0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，所以.π1.20,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin1.2 1.2tan1.2<<所以. c a b >>故选：A8．某超市2022年从1月到12月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数()f x x ，该超市只有8月份冰激凌的销售数量()()()cos 0,0,π,112,f x A x B A x x ωϕωϕ=++>><≤≤∈N 达到最大值，最大值为8500，只有2月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为500，则该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份共有（ ） A ．4个月 B ．5个月C ．6个月D ．7个月【答案】B【分析】通过最大值与最小值求出，利用最值横坐标之差求出，代入最值，根据，求,A B ωπ<ϕ出值，则得到，列出不等式，求出的范围即可.ϕ()π2π4000cos 450063f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x 【详解】由题意，得，， 850050040002A -==850050045002B +==由，得，所以. 8262T =-=12T =2ππ126ω==因为，()π84000cos 8450085006f ϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以，所以，所以， 4πcos 13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭()4π2π3k k ϕ+=∈Z ()4π2π3k k ϕ=-+∈Z 又，所以当时，，故.π<ϕ1k =2π3ϕ=()π2π4000cos 450063f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由，得，π2π4000cos 4500650063x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭π2π1cos 632x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭则，所以， ()ππ2ππ2π2π3633k x k k -+≤+≤+∈Z ()612212k x k k -+≤≤-+∈Z 当时，，又，所以，7，8，9，10， 1k =610x ≤≤x ∈N 6x =即该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份数是5. 故选：B.二、多选题9．已知某时钟的分针长4cm ，将快了5分钟的该时钟校准后，则（ ） A ．时针转过的角为36πB ．分针转过的角为6πC ．分针扫过的扇形的弧长为 2cm 3πD ．分针扫过的扇形的面积为28cm 3π【答案】BC【分析】根据分针转一圈为60分，时针转一圈为12小时，分别求得其圆周角，再利用弧长公式和面积公式求解.【详解】由题意，得时针转过的角为，分针转过的角为， 52601276ππ⨯=52606ππ⨯=分针扫过的扇形的弧长为，面积为. 24cm 63ππ⨯=21416cm 263ππ⨯⨯=故选：BC.10．已知点，，，，则（ ）()3,2A -()10B ,()4,1C ()2,4D -A ． B ．()4,2AB =-AB AD ⊥ C ．D ．四边形为直角梯形AB DC ∥ ABCD 【答案】BCD【分析】由向量的坐标表示逐一计算即可.【详解】由题意得，故A 错误；()4,2AB =-，因为，所以，故B 正确；()1,2AD = 41220AB AD ⋅=⨯-⨯= AB AD ⊥，而，所以，且, ()6,3DC =- 23AB DC = AB DC ∥AB DC ≠结合，可得四边形为直角梯形，故CD 正确.AB AD ⊥ABCD 故选：BCD.11．已知函数，且，在上的图像()()5ππ2sin cos 01212f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()π3f =()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭与直线2个交点，则的值可能是（ ） y =ωA ． B ． C ．D ． 12412125121261212812【答案】AC【分析】先利用诱导公式将化简为，利用条件，得到()f x ()π3cos 12f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π3f =，再利用在上的图像与直线2个交点，从而求出的12π(Z)12k k ω=+∈()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭y =ω范围，得到结果.【详解】，()5ππ2sin cos 1212f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又因为，()ππππ2sin ()cos 3cos 1221212f x x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭()π3f =，即.ππ2π(Z)12k k ω∴-=∈()12Z 12k k ω=+∈又在上的图像与直线2个交点， ()f x π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭y =由，得到π3cos 12x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 12x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或，得到或， ππ2π126x k ω-=-+ππ2π(Z)126x k k ω-=+∈π2π12k x ω-+=π2π4(Z)k x k ω+=∈，当取1时，由，得到， 0ω> k π2π12k x ω-+=23π12x ω=当取0，1时，由，得到，， k π2π4(Z)k x k ω+=∈π4x ω=9π4x ω=所以且，即， 23ππ1212ω<9ππ412ω≥2327ω<≤故或. 12412ω=12612ω=故选：AC12．若，则的值可能为（ ） cos10tan 8sin 70cos10sin10α︒=︒︒-︒αA ．B ．C ．D ．3π23π43π53π【答案】AC【分析】利用三角函数诱导公式和恒等变换求解.【详解】因为， 2cos102cos 10tan 8sin 70cos108cos 20cos10sin102sin10cos10α︒︒=︒︒-=︒︒-︒︒︒，4sin 20cos 20cos102sin 40cos102cos102cos10sin 20sin 20︒︒-︒︒-︒=︒⨯=︒⨯︒︒()2sin 3010cos102cos102cos10sin 20︒+︒-︒=︒⨯=︒===所以，由选项可知，AC 符合.()3k k παπ=+∈Z 故选：AC.三、填空题13．若，则______，______tan 2α=-tan2α=πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】437-【分析】利用正切的和角及倍角公式，再利用条件即可求出结果. 【详解】因为，所以，tan 2α=-222tan 2(2)4tan21tan 1(2)3ααα⨯-===---所以. 41πtan 213tan 27441tan 213ααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-故答案为：，. 437-14．LED （发光二极管）是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件，它可以直接把电转化为光.LED 灯的抗震性能非常好，被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图，小明同学发现家里的LED 灯是正六边形形状的，其平面图可简化为正六边形，若向量在向量ABCDEF AC方向上的投影为，则______.EDaED =a【答案】32【分析】根据投影向量的定义即可计算.【详解】如图，，过点作垂直于直线，垂足为，因为，所以ED AB = C CG AB G 2π3ABC ∠=，则，在方向上的投影为.π3CBG ∠=1122BG BC AB ==AC AB3322AG AB ED ==故答案为：3215．若，则的取值范围是______. 212sin cos 11αα+>()cos α-【答案】11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】将化简得到求解. 212sin cos 11αα+>11cos 43α-<<【详解】解：由，()2212sin cos 121cos cos 11αααα+=-+>得，()212cos cos 14cos 1ααα--=+()3cos 10α-<得， 11cos 43α-<<因为，()cos cos αα-=所以的取值范围是.()cos α-11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭16．在正方形中，，，分别为线段，上的动点，且，则ABCD 2AB =E F CD BC π6EAF ∠=的取值范围为______.AE AF ⋅【答案】 -【分析】设，确定，由正弦定理表示出的长，根据数量积定义求得DAE α∠=ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,AE AF 的表达式，结合三角恒等变换以及正弦函数性质，即可求得答案. AE AF ⋅【详解】设，则，，DAE α∠=ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,π3BAF α∠=-得，， 2cos cos AD AE αα==22πcos cos 3AF BAF α==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22cos πcos cos 3AE AF AE AF EAF αα⋅=⋅∠=⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭====由，得，得，ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,ππ2π2,633α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πsin 26α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦所以, AE AF ⋅=-故答案为： -四、解答题17．已知. ()()5πsin πsin 23π2sin sin π2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(1)求的值；tan α(2)求的值.24sin cos 2cos ααα+【答案】(1)7tan 4α=-(2) 1613-【分析】（1）先根据诱导公式将题干条件化简，然后所得分式的分子分母同时除以，得到cos α的方程后进行求解；tan α（2）待求表达式补上一个分母：，然后分子分母同时除以即可.22sin cos αα+2cos α【详解】（1）依题意得，，解得()()5πsin πsin sin cos 2π2cos sin 2sin sin π2αααααααα⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭=--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭tan 132tan αα+==--7tan 4α=-（2）. 22224sin cos 2cos 4sin cos 2cos sin cos αααααααα++=+24tan 2tan 1αα+=+1613=-18．已知点，，，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点. ()2,0A ()8,3B ()6,1C -D BC E AB B (1)求，的坐标.D E (2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答. ADE V BDE 问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由. （注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分）【答案】(1)的坐标为，的坐标为 D ()7,1E ()6,2(2)答案见解析【分析】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，先得到，从而得到点的坐D ()24,23AE AB ==E 标；（2）根据数量积的正负判断角的类型，得到三角形的形状. 【详解】（1）因为，故的坐标为， 86317,122+-==D ()7,1，故，()6,3AB =()24,23AE AB == 所以，即的坐标为；()6,2OE OA AE =+=E ()6,2（2）选①，为钝角三角形，ADE V 理由如下：由（1）可知，，，()4,2AE = ()5,1AD = ()1,1DE =-因为，所以为锐角.4521220AE AD ⋅=⨯+⨯=>DAE ∠易得，因为，所以为锐角. ()5,1DA =-- 5140DA DE ⋅=-=>ADE ∠因为，所以为钝角.4220EA ED AE DE ⋅=⋅=-+=-<AED ∠故为钝角三角形.ADE V选②，为锐角三角形.BDE 理由如下：由（1）可知，，，()1,2BD =-- ()2,1BE =-- ()1,1DE =- 因为，所以为锐角.2240BD BE ⋅=+=> DBE ∠易得，因为，所以为锐角. ()1,2DB = 1210DB DE ⋅=-+=> BDE ∠因为，所以为锐角.2110EB ED BE DE ⋅=⋅=-=> AED ∠故为锐角三角形.BDE 19．已知向量，，函数.()sin ,0a x = ()cos ,sin b x x = ()2f x a b a =⋅+ (1)求的单调递减区间；()f x (2)若，，是的三个内角，且，求的取值范围. A B C ABC 12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f B 【答案】(1)递减区间为 ()3π7ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2) ⎛ ⎝【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示、二倍角正余弦公式、辅助角公式化简得()f x，根据正弦型函数的性质求减区间； π1242x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）根据已知可得，再确定的范围，利用正弦型函数的性质求范围. π2A =B ()f B 【详解】（1）()2sin cos sin f x x x x =+11cos 2111sin 2sin 2cos 222222x x x x -=+=-+， π1242x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由，得：， ()ππ3π2π22πZ 242k x k k +≤-≤+∈()3π7πππZ 88k x k k +≤≤+∈故的单调递减区间为. ()f x ()3π7ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由，得， π11242A f A ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πA <<所以或，即或（舍去）， ππ44A -=π3π44A -=π2A =π因为，所以，则， πAB +<π02B <<ππ3π2444B -<-<则，故，πsin 214B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭π10242B ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭所以的取值范围为. ()fB ⎛ ⎝20．在平行四边形中，点和点关于点对称，.ABCD E B D 3AF FC = (1)用，表示，；AB AD AE AF (2)若为线段上一点，且，求.G EF AG xAB y AD =+57x y +【答案】(1)， 2AE AB AD =-+ 3344AF AB AD =+ (2)579x y +=【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法、数乘运算求解即可；（2）由向量的运算得出，再由，得出的值. 751244AG AB AD λλ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ AG xAB y AD =+ 57x y +【详解】（1）由题意，可得， ()222AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=-+ . ()33334444AF AC AB AD AB AD ==+=+ （2）设，， EG EF λ= []0,1λ∈则 ()()1AG AE EG AE EF AE AF AE AE AF λλλλ=+=+=+-=-+ ， ()()337512124444AB AD AB AD AB AD λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为，所以 AG xAB y AD =+ 71,452,4x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以.579x y +=21．已知，，. π03<<αππ-23β-<<πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 63αβ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(1)求；sin α(2)求.()cos 3αβ-【答案】(2)【分析】（1）根据两角和差公式用已知角表示未知角求解即可；（2）应用同角三角函数关系结合两角和差公式求解即可.【详解】（1）由，得， π03α<<πππ662α<+<因为， πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭则 ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 12=-=（2）由，得，得， ππ23β-<<-ππ32β<-<πππ26αβ<-+<得πcos 6αβ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭由，得， π03α<<ππ2π33α<+<因为， 2ππ1cos 22cos 1363αα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 πsin 23α⎛⎫+== ⎪⎝⎭故 ()ππcos 3sin 3sin 2236παβαβααβ⎛⎫⎛⎫-=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin 2cos cos 2sin 3636ααβααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．若函数满足，且，，则称为“型()f x ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()f a x f x a -=+a ∈R ()f x M a 函数”.(1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由； πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭M 3π8(2)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当()g x R 0x >()ln g x x =()h x M π6时，，若函数在上的零点个数为ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()2cos 2h x x =()()()()F x g h x m m =-∈R 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9，求的取值范围.m 【答案】(1)函数是“型函数”，理由见解析 πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭M 3π8(2)()1,2【分析】（1）判断出关于直线对称，且最小正周期为，由定义可判断出πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π8x =π答案；（2）由题意得到的零点为，0，1，即或或，由对称性和周期性画出()g x 1-()1h x m =-m 1m +在上的图象，数形结合求出. ()h x 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12m <<【详解】（1）由，得，所以的周期为， ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()πf x f x =+()f x π由，，得的图象关于直线对称，()()f a x f x a -=+a ∈R ()f x x a =因为，所以的图象关于直线对称， 32842πππ⨯-=πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π8x =又的最小正周期为，所以函数是“型函数”. πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππ2=πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭M 3π8（2）令，得，因为是定义域为的奇函数，所以的零点为，0，1. ()ln 0g x x ==1x =()g x R ()g x 1-令，所以或0或1，即或或.()()()0F x g h x m =-=()1h x m -=-()1h x m =-m 1m +画出在上的图象，由的图象关于直线对称， ()h x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()h x π6x =可画出在上的图象.由的最小正周期为， ()h x π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()h x π可画出在上的图象. ()h x 5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故在上的图象如图所示， ()h x 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以函数在上的零点个数等于在上的图象与直线，()F x 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()h x 5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1y m =+y m =，的交点个数之和.1y m =-当，即时，在上的图象与直线，，的011m <-<12m <<()h x 5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1y m =+y m =1y m =-交点个数之和为9.故的取值范围为m ()1,2【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.。
高一下学期理数4月联考试卷真题
高一下学期理数4月联考试卷一、单选题1. 数列的通项公式为，则的第5项是（）A . 13B .C .D . 152. 在中，，则与的大小关系为（）A .B .C .D . 不确定3. 在等差数列中，已知，则（）A . 40B . 43C . 42D . 454. 下列各式中，值为的是（）A .B .C .D .5. 下列命题中正确的是（）A .B .C .D .6. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第个图形的边长为，则数列的通项公式为（）A .B .C .D .7. 已知，则为（）A .B .C .D .8. 在等比数列中，，若，则（）A . 11B . 9C . 7D . 129. 在中，内角的对边分别是，若，则一定是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 直角三角形10. 若，则的值为（）A . 或1B .C . 1D .11. 设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（）A . 1007B . 1008C . 1009D . 101012. 设数列满足，且，若表不不超过的最大整数，则（）A . 2015B . 2016C . 2017D . 2018二、填空题13. 在中，内角的对边分别是，且，则________．14. 在等比数列中，，则________．15. 若，则________．16. 在中，，是上一点，，且，则________．三、解答题17. 已知数列是等差数列，且 .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .18. 已知函数 .（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）讨论函数在区间上的单调性.19. 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为，距离为15海里的处，并测得渔船正沿方位角为的方向，以15海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向.20. 在中，内角所对的边分别为，向量，且 .（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.21. 已知数列的前项和是，满足.（1）求数列的通项及前项和；（2）若数列满足，求数列的前项和；（3）对（2）中的，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.22. 已知数列中，，且（且）.（1）求的值；（2）求通项公式；（3）设数列的前项和为，试比较与的大小关系.。
高一数学4月联考试题含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校一中、二中等湘东六校二零二零—二零二壹高一4月联考数学试题总分：150分时量：120分钟一、选择题〔本大题一一共102小题，每一小题5分，一共60分〕，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的运算，直接可写出结果.【详解】因为集合，，所以.应选B【点睛】此题主要考察集合的交集，熟记交集的概念即可，属于根底题型.与直线互相垂直,那么等于( )A.1B.-1C.±1D.-2【答案】C【解析】【分析】分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用互相垂直的直线斜率之间的关系即可．【详解】解：①当时，利用直线的方程分别化为：，，此时两条直线互相垂直．②假设，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；③，当时，此两条直线的斜率分别为，．两条直线互相垂直，，化为，综上可知：．应选：．【点睛】此题考察了互相垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于根底题．，那么的值是〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，所以考点：本小题主要考察分段函数的求值，考察学生的运算求解才能.点评：对于分段函数求值问题，只要将未知数分别代入各自的表达式中即可.上任一点，那么P与点的间隔的最小值是〔〕A.1B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】先确定点在圆外，因此圆上的点到点的间隔的最小值即等于圆心与的间隔减去半径，进而可得出结果.【详解】因为在圆外，且圆心与的间隔等于，又P为圆上任一点，所以P与点的间隔的最小值等于圆心与的间隔减去半径，因此最小值为.应选B【点睛】此题主要考察定点到圆上的动点的间隔问题，结合圆的的性质以及点到直线间隔公式即可求解，属于根底题型.的零点所在的大致区间是()A.〔1,2〕B.〔e，3〕C.〔2，e〕D.〔e，+∞〕【答案】C【解析】解：函数的定义域为：〔0，+∞〕，有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f(2)="ln2-1"=ln2-1＜0，f(e)=lne-2e=1-2e＞0，∴f〔2〕•f〔e〕＜0，∴函数f〔x〕="Inx-2"x的零点所在的大致区间是〔2，e〕．应选C平面，直线平面；②；③；④．〕A.①③B.②③④C.②④D.①②③【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的断定与性质可判断①；利用线面、面面平行与垂直的断定与性质可判断②；利用线面、面面垂直的断定与性质可判断③；利用线面、面面平行与垂直的断定与性质可判断④.【详解】①中，因为直线平面，，所以直线平面，又直线平面，所以；故①正确；②中，因为直线平面，，所以或者，又直线平面，所以与可能平行、重合或者异面，故②错；③因为直线平面，，所以平面，又直线平面，所以，故③正确；④中，因为直线平面，，所以或者，又直线平面，所以与平行或者相交，所以④错；应选A【点睛】此题主要考察线面、面面平行或者垂直的断定与性质，熟记定理即可，属于常考题型.，那么()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题中条件分别判断出的范围，进而可得出结果.【详解】因为，，，所以.应选A【点睛】此题主要考察指数函数与对数函数的性质，熟记性质即可比较大小，属于根底题型.千米的汽车拉力赛中，名参赛选手的成绩全部介于分钟到分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如下列图，假设成绩在之间的选手可获奖，那么这名选手中获奖的人数为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由频率分布直方图得到成绩在内的频率，然后用50乘以两组的频率和可得该班在这次百米测试中成绩良好的人数；【详解】由频率分布直方图知，成绩在内的频率为：，所以，成绩在内的人数为：〔人〕，所以该班成绩良好的人数为11人．应选D.【点睛】此题考察了频率分布直方图计算频数，属根底题.9.如下列图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，那么点H在〔〕A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部【答案】B【解析】试题分析：作，因为∠A＝90°，且BC1⊥AC，所以AC⊥平面，所以平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上考点：线面垂直的断定和性质10.消费一定数量商品的全部费用称为消费本钱，某企业一个月消费某种商品万件时的消费本钱为〔万元〕，商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润收入本钱)，该企业一个月应消费该商品数量为〔〕A.万件B.万件C.万件D.万件【答案】B【分析】根据题中条件，结合利润收入本钱，列出利润的表达式，再由配方法即可得出结果.【详解】由题意可得，获得最大利润时的收入是万元，本钱是，所以此时的利润为，当且仅当时，取最大值.应选B【点睛】此题主要考察函数的应用，根据题意列出函数的表达式，进而可求出结果，属于根底题型.11.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚刚所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，假设，就称甲乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀〞的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出根本领件的总数，再求出两人“心有灵犀〞所包含的根本领件个数，进而可求出结果.【详解】先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚刚所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，所以根本领件总数为；因为，就称甲乙“心有灵犀〞，所以任意找两人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀〞包含的根本领件有：，一共16个根本领件，所以任意找两人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀〞的概率为.【点睛】此题主要考察古典概型，熟记概率计算公式即可，属于根底题型.，假设关于的方程恰有5个不同的实数解，那么()A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先令，那么方程可化为，因此原方程有5个不同实数解转化为与直线一共有5个交点，结合函数的图像，可求出的范围，再由函数的对称性，即可得出结果.【详解】令，那么方程可化为，因为关于的方程恰有5个不同的实数解，由的图像可知，与直线最多有3个交点，所以关于关于的方程有两个不等式实根，不妨令与曲线有三个交点，那么与曲线有两个交点，因此，；又因为关于直线对称，所以，因此.应选D【点睛】此题主要考察函数零点问题，方程的根可转化曲线的交点，根据数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.二、填空题〔此题一共4道小题，每一小题5分，一共20分〕13.求函数y=的定义域.【答案】{x|x≥2}试题分析：因为所以定义域为.求函数定义域、值域，及解不等式时，需明确最后结果应是解集的形式.列不等式时要分清是否含有等号,这是解题的易错点.解对数不等式时不仅要注意不等号的方向，而且要注意真数大于零这一隐含条件.考点：解对数不等式且的图象恒过定点，在幂函数的图象上，那么___________．【答案】27【解析】试题分析：利用y=log a1=0可得定点P，代入幂函数f〔x〕=xα即可．解：对于函数y=log a〔x﹣1〕+8，令x﹣1=1，解得x=2，此时y=8，因此函数y=log a〔x﹣1〕+8的图象恒过定点P〔2，8〕．设幂函数f〔x〕=xα，∵P在幂函数f〔x〕的图象上，∴8=2α，解得α=3．∴f〔x〕=x3．∴f〔3〕=33=27．故答案为27．考点：对数函数的图象与性质．与直线相交于A，B两点，假设｜AB|=,那么=_______.【答案】【解析】【分析】先由勾股定理求出圆心到直线的间隔，再由点到直线的间隔公式列方程求解，即可得出结果.【详解】因为圆的半径为又弦长，所以圆心到直线的间隔为；又由点到直线的间隔公式可得，所以，解得.故答案为【点睛】此题主要考察点到直线的间隔公式以及直线与圆相交的问题，熟记弦长公式以及点到直线的间隔公式即可，属于根底题型.的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，那么此棱锥的体积为_______.【答案】【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为，过ABC三点的小圆的圆心为，那么平面ABC，延长交球于点D，那么平面ABC.∵，∴，∴高，∵是边长为1的正三角形，∴，∴.考点：棱锥的体积.三、解答题〔此题一共6道小题，一共70分〕17.计算〔1〕；〔2〕【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】由对数的运算法那么以及指数幂的运算，即可求出结果.【详解】〔1〕；〔2〕【点睛】此题主要考察对数运算以及指数幂运算，熟记运算法那么即可，属于根底题型.18.全集U=R，集合.〔Ⅰ〕求集合；〔Ⅱ〕假设，务实数a的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔0,6〕〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔Ⅰ〕由x2﹣6x≥0，得P={x|x≤0或者x≥6}，由此能求出C U P．〔Ⅱ〕由C U P={x|0＜x＜6}．M={x|a＜x＜2a+4}，M⊆∁U P，得到当M=∅时，a≥2a+4，当M≠∅时，a＞﹣4，且0≤a＜2a+4≤6，由此能求出a的取值范围．【详解】〔1〕由得所以P==〔0,6〕〔2〕当时，符合题意当时，且，解得综上：的取值范围为【点睛】此题考察补集的求法，考察实数取值范围的求法，考察补集、子集的定义、不等式的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．19.如图，某甲、乙两班一共有25名学生报名参加了一项测试．这25位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了〔这里暂用x来表示〕，但他清楚地记得两班学生成绩的中位数一样．〔Ⅰ〕求这两个班学生成绩的中位数及x的值；〔Ⅱ〕假设以上，包括175分〕和“过关〞，假设再从这两个班获得“优秀〞成绩的考生中选出3名代表参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．【答案】〔1〕x=7；〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕中位数是数据由小到大排列后位于正中间的一个数或者两个数的平均数〔Ⅱ〕考察的是古典概型概率，求解时需要找到所有根本领件总数种与满足题意要求的根本领件种数一共7中，所以概率为试题解析：〔Ⅰ〕甲班学生成绩的中位数为．乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7；．．4分〔Ⅱ〕用A表示事件“甲班至多有1人入选〞．设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3．那么从5人中选出3人的所有方法种数为：〔A，B，1〕，〔A，B，2〕，〔A，B，3〕，〔A，1，2〕，〔A，1，3〕，〔A，2，3〕，〔B，1，2〕，〔B，1，3〕，〔B，2，3〕，〔1，2，3〕一共10种情况，．8分其中至多1名甲班同学的情况一共〔A，1，2〕，〔A，1，3〕，〔A，2，3〕，〔B，1，2〕，〔B，1，3〕，〔B，2，3〕，〔1，2，3〕7种．．．10分由古典概型概率计算公式可得P〔A〕=．．．12分考点：1．中位数；2．古典概型概率20.如图，在三棱锥中,是边长为4的正三角形,是中点，平面平面,,分别是的中点.(1)求证:.(2)求三棱锥的体积.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕由线面垂直的断定定理先证明平面，进而可得出；〔2〕先求出到平面的间隔，再由三棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】(1)因为,,所以且,所以平面.又平面,所以.(2)因为,平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,是的中点,所以,到平面的间隔为,又.所以.【点睛】此题主要考察线线垂直以及三棱锥的体积公式，由线面垂直的断定定理即可证明线线垂直；熟记棱锥体积公式即可求出体积，属于常考题型.为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点。
浙江培优联盟2024年高一4月联考数学试题+答案
浙江培优联盟2023学年第二学期高一4月数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册第六、七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B = （ ）A ．{5,8}B ．{4,5,6,8}C ．{3,5,7,8}D ．{3,4,5,6,7,8}2．若复数1(1)()z m m i m Z =++−∈对应的点在第四象限，则m 的值为（ ） A ．1−B ．0C ．1D ．1±3．已知:,p x y 为无理数，:q xy 为无理数，则p 是q 的（ ） A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知|||1a b =，且a b − 与2a b + 互相垂直，则a 与b的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．若将函数()sin cos f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A ．8πB ．4πC ．38π D ．54π6．已知ABC 的重心为O ，若向量BO xAB y AC =+，则x y +=（ ） A ．23B ．13C ．23−D ．13−7．近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量C （单位：A h ⋅），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式为n tC I=，其中23log 2n =．在电池容量不变的条件下，当放电电流8A I =时，放电时间108h t =，则当放电电流12A I =时，放电时间为（ ）A ．27hB ．36hC ．54hD ．81h8．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B ′位置，AB ′交DC 于点P ．研究发现当ADP 的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54 B C ．32D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．若a 与b都是单位向量，则a b = B ．只有零向量的模长等于0C ．若a 与b是平行向量，则a b =D ．向量a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量10．下面四个命题中的真命题为（ ） A ．复数z 是实数的充要条件是z z = B ．若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈ C ．复数12,z z 满足1212z z z z =D ．若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =11．已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +为偶函数，(2)f x −+为奇函数，且()f x 在[0,2]上单调递增，则（ ） A ．(2)0f =B ．4x =为函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[4,6]上单调递增D ．函数()f x 是周期函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．求值：11ii−=+_______．13．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足sin cos ,b A B ABC = b =_______．14．定义min{,}x y 表示,x y 中的最小者，设函数{}2()min 33,3|3|f x x x x =−+−−，若()1f x >，则x 的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）向量(2,4),(,2),(2,),()a b x c x a a b =−=−=+∥． （1）求|2|a b −；（2）若2,(0)m a b n ta c t =+=+> ，向量,m n的夹角为4π，求t 的值．16．（15分）已知向量()2),cos ,2cos m x nx x =，函数()f x m n =⋅− ．（1）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若()f A =，求A ；（2）在（1）条件下，2,a c ==，求ABC 的面积．17．（15分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x −=−，则称()f x 为“Ω函数”． （1）已知函数()23x f x =−，试判断()f x 是否为“Ω函数”，并说明理由； （2）若()423x x f x m =−⋅−为定义域在R 上的“Ω函数”，求实数m 的取值范围．18．（17分）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元．．，每生产x 千台．．空调，需另投入成本()f x 万元．．，当年产量不足30千台．．时，2()550f x x x =+，当年产量不小于30千台．．时，3600()3013150f x x x=+−．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完． （1）写出年利润()W x （万元．．）关于年产量x （千台．．）的函数解析式． （2）年产量为多少千台．．时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．19．（17分）cos sin ix e x i x =+被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：111i z re θ=()()211122222cos sin ,cos sin i r i z r e r i θθθθθ=+==+，则我们可以简化复数乘法()()()121212121212cos sin i z z r r e r r i θθθθθθ+==+++ ．（1）已知123cossin,2cos sin 26633z i z i ππππ=+=+，求12z z ； （2）已知O 为坐标原点，12,1z i z i ==−，且复数12,z z 在复平面上对应的点分别为,A B ，点C 在AB 上，且2AC CB =，求||OC ；（3）利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：()2(2)222cos 2sin 2(cos sin )cos sin 2sin cos i x ix x i x e e x i x x x i x x +===+=−+⋅，所以22cos 2cos sin ,sin 22sin cos x x x x x x =−=．类比上述过程，求出sin 3,cos3x x ．（将sin 3x 表示成sin x 的式子，将cos3x 表示成cos x 的式子）（参考公式：33223()33a b a a b ab b +=+++）浙江培优联盟2023学年第二学期高一4月数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．B3．D4．D5．B6．D7．C8．B1．解：{4,5,6,8}{3,5,7,8}{5,8}A B == ，选A ．2．解：由10,10m m +>−<，得11m −<<，又m 为整数，所以0m =，选B ． 32=，所以p q ⇒/．又由于1不全是无理数，所以q p ⇒/．选D ．4．解：因为a b − 与2a b +互相垂直，所以()(2)0a b a b −⋅+= ， 即2220a a b b +⋅−=．又因为2222||2,||1aa b b ==== ， 所以2222120a b b a ⋅=−=×−= ．因为,a b 是非零向量，所以a b ⊥，所以a 与b的夹角为90°，选D ．5．解：()sin cos 4f x x x x π=++，将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后所得图象对应的函数为4yx πϕ++，且该函数为偶函数，故()42k k Z ππϕπ++∈，所以ϕ的最小正值为4π．选B ．6．解：设E 是AC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以22()33BO BE AE AB ==×−=21213233AC AB AB AC ×−=−+．13x y +=−，选D ． 7．解：由题意得1088n C =，当12A I =时，则108812n nt =，所以2log 2310882221233nnn t====，所以54t =，选C ．8．解：如图，设AB x =，由矩形()ABCD AB AD >的周长为4，可知(2)AD x =−． 设PC a =，则()DP x a =−．,90,APD CPB ADP CB P AD CB ′′′∠=∠∠=∠=°= ， ,Rt ADP Rt CB P AP PC a ′∴∴== ≌．在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD DP AP +=，即（222(2)()x x a a −+−=，解得222x x a x−+=，所以22x DP x a x−=−=． 所以ADP 的面积11222(2)322x S AD DP x x x x −=⋅=−⋅=−+．所以33S −=−当且仅当2x x=时，即当x =时，ADP 的面积最大，面积的最大值为3−，选B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．BD 10．AC 11．ABD9．解：A ．两个向量的模长相等，但是方向不一定相同，错误； B ．只有零向量的模长等于0，正确；C ．a 与b是平行向量，但,a b 的模不一定相等，所以a b = 不成立，错误；D ．0与任何向量都是共线向量，正确． 故选BD ．10．解：A ．由a bi a bi +=−得0b =，正确；B ．复数z i =满足21z R =−∈，但z R ∉，故B 为假命题，错误； C ．12,z a bi z c di =+=+，满足1212z z z z =，正确；D ．若复数12,2z i z i ==满足21222z z i R ==−∈，但12z z ≠，错误． 故选AC ．11．解：(2)f x −+为奇函数，(2)(2)f x f x −+=−+，令0x =，可得(2)0f =，正确； B ．由于(4)f x +为偶函数，(4)(4)f x f x −+=+，所以()f x 的图象关于直线4x =对称，正确；C ．(2)f x −+为奇函数，(2)(2)f x f x −+=−+，由((2)4)(2)f x f x −++=−+，以x 替换2,(4)()x f x f x +−=−，所以()f x 关于(2,0)对称，()f x 在[0,2]上单调递增，所以在[2,4]上单调递增，又关于直线4x =对称，所以在[4,6]上单调递减，错误；D ．由(4)(4)()f x f x f x +=−=−，所以(8)(44)(4)()f x f x f x f x +=++=−+=，所以()f x 是周期为8的周期函数，正确． 故选ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．i − 13．314．25x <<12．解：1(1)(1)21(1)(1)2i i i ii i i i −−−−===−++−．13．解：由已知sin cos b A B =，利用正弦定理，可得sin sin cos B A A B =．因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B B =，所以sin B B =，又因为0B π<<，所以3B π=．从而sin B =，又ABC ，所以由正弦定理得2sin 23b R B ===． 14．解：当1x 或3x 时，()3|3|f x x =−−， 当13x <<时，2()33f x x x =−+． 令3|3|1x −−=，解得1,5x x ==， 令2331x x −+=，解得1,2x x ==， 由()1f x >，可得25x <<．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）(2,4),(,2),(2,4)(,2)(2,2)a b x a b x x =−=−∴+=−+−=−，……2分又22//(),24x a a b −+∴=−，解得1x =，……4分(1,2),2(2,4)2(1,2)(4,8),|2|b a b a b ∴=−−=−−−=−−=……6分（2）(2,1),2(3,6),(22,41)c m a b n ta c t t ==+=−=+=−++，……8分cos,||||m nm nm n⋅〈〉==，……11分解得12t=±，又因为0t>，所以12t=，……13分16．解：（1）由向量()2),cos,2cosm x n x x=，函数()f x m n=⋅，得2()2sin cos cos2)sin2sin22f x x x x x x x x=+++−=2sin23xπ+．……4分()2sin23f A Aπ=+=sin23Aπ+，……6分因为(0,)Aπ∈，所以72,333Aπππ+∈，……8分从而2233Aππ+=，解得6Aπ=．……9分（2）由余弦定理2222cosa b c bc A=+−得222433b b b=+−，……11分则24b=，则2b=．所以c=，……13分所以ABC的面积111sin2222S bc A==××=．……15分17．解：（1）当()23xf x=−时，()()0f x f x+−=，即2260x x−+−=，……2分令2xt=，则2610t t−+=，解得30t=±>．……5分从而2260x x−+−=有解，函数()23xf x=−是“Ω函数”．……6分（2）当()423x xf x m=−⋅−时，()()0f x f x+−=，即4234230x x x xm m−−−⋅−+−⋅−=，化简得()442260x x x xm−−+−⋅+−=．……9分令22x xt−=+，则22,442x xt t−+=−，……11分从而280t mt−−=在[2,)+∞上有解，即8m tt=−在[2,)+∞上有解，……13分令8()g t tt=−，则()g t为[2,)+∞上的增函数，所以()[2,)g t∈−+∞，从而2m−．……15分18．解：（1）当030x <<时，22()(0.31000)2005505250200W x x x x x x =×−−−=−+−，……3分 当30x 时，36003600()(0.31000)20030131502950W x x x x x x=×−−−+=−−，……6分 所以25250200,030,()36002950,30.x x x W x x x x −+−<<= −−……8分 （2）当030x <<时，2()5(25)2925W x x =−−+，当25x =时，()W x 取得最大值2925万元；……11分当30x 时，3600()2950W x x x=−+．因为3600120x x += ，当且仅当60x =时，等号成立， 所以当60x =时，()W x 取得最大值2830万元．……14分因为29252830>，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元．……17分 19．解：（1）123cos sin 2cos sin 26633z z i i ππππ=+×+32cos sin 2636i πππ=×++……3分 3cos sin 22i ππ+3i =．……6分（2）由12,1z i z i ==−，则点(0,1),(1,1)A B −，2221(0,1)(1,2),3333OC OA AC OA AB=+=+=+−=− ，……8分所以222215||339OC =+−=，从而||OC = ．……10分 （3）cos3sin 3x i x +()3(3)i x ix e e =3(cos isin )x x +……13分3223cos 3cos (sin )3cos ( sin )( sin )x x i x x i x i x =+++()3223cos 3cos sin i 3cos sin sin x x x x x x =−+− ()()3223cos 3cos 1cos 31sin sin sin x x x i x x x =−−+−−()334cos 3cos 3sin 4sin x x i x x −+−，……15分所以33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos x x x x x x =−=−．……17分。
浙江省台州市十校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题含答案
浙江省台州市十校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若(1i)i z -=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z 的代数形式，然后可确定复数z 在复平面内对应的点的位置.【详解】()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+.复数z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限.故选：B.2.已知三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若5,8,60a b C === ，则CA CB ⋅=A.-B.20- C.20D.【答案】C 【解析】【分析】由数量积的定义计算．【详解】cos cos 6020CA CB CA CB C ab ⋅===故选：C ．3.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π1,6a c B ===，则ABC 的面积为（）A.2B.4C.D.【答案】B 【解析】【分析】直接由面积公式计算可得.【详解】依题意可得1113sin 12224ABC S ac B ==⨯=.故选：B4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c === ，且(23)a b c -⊥，则实数k =A.92-B.0C.3D.152【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，23(23,6),(2,1)a b k c -=--=，因为(23)a b c -⊥，所以(23)4660a b c k -⋅=--=，解得3k =，故选C.考点：向量的坐标运算.5.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6cm O A ''=，2cm C D ''=，则原图形OABC 的面积是（）2cm .A.12B.C.6D.【答案】D 【解析】【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.【详解】因为2cm C D ''=，由斜二测画法可知45D O A '''∠=o ，则45C O D '''∠= ，故O C D ''' 为等腰直角三角形，故2cm O C ''=，故矩形O A B C ''''的面积为26212(cm )S O A O C '''''=⨯=⨯=，所以原图形OABC的面积是212)4S ===，故选：D6.）A.12πB.9πC.3πD.43π3【答案】C 【解析】【分析】由圆锥侧面展开图得圆锥母线，高，再由体积公式计算．【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l =，所以2l r =，所以圆锥的高h ==，圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=.故选：C7.窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，,A B 是中间正方形的两个相邻的顶点，P 是外框正八边形上的一点，则AB AP ⋅的最大值是（）A.16+B.8C.8D.16【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义，结合线段长即可得解.【详解】记正八边形右下角的两个顶点分别为,C D ，连接,BC BD ，由题意易得BCD △是等腰直角三角形，4CD =，则BC =不妨设,AP AB θ=，由于题目要求AB AP ⋅的最大值，故只考虑090θ︒≤<︒的情况，过P 作PE AB ⊥，垂足为E ，则cos AP AE θ=，又4AB =，所以cos 4AB AP AB AP AB AE AE θ⋅=== ，显然，当点P 与点C 重合时，AE取得最大值4AB BC +=+，所以AB AP ⋅的最大值为(4416⨯+=+.故选：A.8.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，则2c a b+的取值范围是（）A. B.(6, C. D.2)【答案】D 【解析】【分析】由222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，结合正余弦定理求得角C ，继而由sin sin cos cos3sin B C A CA a c=+结合正余弦定理求出c =，再表示出4sin a A =，4sin b B =，利用三角函数的性质求得a b +的范围，即可求得答案.【详解】由222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，由正弦定理得222a b c ab +-=,即有2221cos 22a b c C ab +-==，而0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3C π=，又sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，由正弦定理､余弦定理得，22222232223b c a a b c b bc ab a a c+-+-⋅=+，化简得：c =，由正弦定理有：4sin sin sin a b c A B C ====，即4sin a A =，4sin b B =，ABC 是锐角三角形且3C π=，有0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，20,32B A ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，解得,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，因此24(sin sin )4sin sin 3⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a b A B A Aπ14sin cos sin 22⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭A AA 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得：2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,162A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以2122)6=∈+⎛⎫+ ⎪⎝⎭c a bA π.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在复平面内，下列说法正确的是（）A.2i 1-= B.2(i)1-=C.若a b >，则i i a b +>+ D.若复数z 满足20z <，则z 是纯虚数【答案】AD 【解析】【分析】利用复数的运算和性质判断ABD ；虚数无法比较大小判断C.【详解】对于A ，()()2i 111-=-⨯-=，故A 正确；对于B ，()222(i)1i 1-=-⨯=-，故B 不正确；对于C ，两个虚数不能比较大小，故C 不正确；对于D ，设()i ,R z a b a b =+∈，则()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，20z <Q ，则22020a b ab ⎧-<⎨=⎩，解得00a b =⎧⎨≠⎩，故i z b =是虚数，故D 正确；故选：AD10.设ABC 的内角A,,B C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是（）A.若2,3a b c ===，则32BA AC ⋅=B.若A B >，则sin sin A B >C .若45a b B ︒===，则60A ︒=D.若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形或直角三角形【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，由余弦定理与数量积的定义计算；B 选项，由大角对大边和正弦定理判断；C 选项，由正弦定理解三角形；D 选项，由正弦定理与二倍角公式化简后判断．【详解】对于A ，2221cos 24b c a A bc +-==，而()3cos π2BA AC c b A ⋅=⋅⋅-=- ，故A 选项错误，对于B ，ABC 中，若A B >，则a b >，由正弦定理得：2sin 2sin R A R B >（R 为ABC 的外接圆半径），故sin sin A B >，B 选项正确，对于C ，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a B Ab ==，由a b >，则60A ︒=或120A =o ，C 选项错误对于D ，若cos cos a A b B =，则sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =，得22A B =或2π2A B =-，故A B =或π2A B +=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，D 选项正确.故选：BD11.在正四面体ABCD 中，若2AB =，M 为BC 的中点，下列结论正确的是（）A.正四面体的体积为212B.正四面体外接球的表面积为6πC.如果点P 在线段DM 上，则()2AP CP +的最小值为43+D.正四面体ABCD 内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面BCD 上，上底圆面与面ABD 、面ABC 、面ACD 均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为2π3【答案】BCD 【解析】【分析】由正四棱锥的结构特征，应用棱锥的体积公式求体积，并确定外接球的半径求表面积，展开侧面，要使()2AP CP +最小，只需,,A P C 共线，结合余弦定理求其最小值，根据正四面体ABCD 内接一个圆柱底面圆与其中截面正三角形关系求半径、体高，应用二次函数性质求侧面积最大值.【详解】由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图示，O 为底面中心，则,,D O M 共线，AO为体高，故2323BO BD =⨯⋅=，所以263AO ===，故正四面体的体积为111261322sin 6043233223AO BC BD ⋅⋅⋅⋅⋅︒=⨯⨯⨯⨯=，A 错误；由题设，外接球球心E 在AO 上，且半径r EA EB ==，所以222()r AO r BO =-+，则22843322AO BO r AO ++==，故外接球的表面积为234π4π6π2r =⨯=，B 正确；由题意知：将面AMD 与面CMD 沿MD 翻折，使它们在同一个平面，如下图示，所以2AD CD ==且cos 3DO BO ADM AD AD ∠===，sin 3AO ADM AD ∠==，又30CDM ∠=︒，而13cos cos()32326ADC ADM CDM ∠=∠+∠=⨯-⨯=，要使()2AP CP +最小，只需,,A P C 共线，则()2222min 2cos AP CP AC AD CD AD CD ADC +==+-⋅∠，所以()2min34(38(1)63AP CP -++=-=，C 正确；如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体ABCD 内接一个圆柱的上底面，若截面所成正三角形边长为(0,2)x ∈，则圆柱体的高)(1)23xx h AO -=⋅-=，圆柱底面半径为133326=⨯=r x x ，所以其侧面积2)(2)1)2π2π6333x x x S rh x ---==⨯⨯==，故当1x =时，max 3S =，D 正确.故选：BCD非选择题部分三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分（12題第一空2分第二空3分）．12.平面向量,a b 中，已知()4,3a =- ，1= b ，且5a b ⋅= ，则a 与b 的夹角为______，向量b 的坐标为______.【答案】①.0##0︒②.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】首先求出a ，设a 与b的夹角为θ，根据数量积的定义求出cos θ，从而确定θ，则b 为a 方向上的单位向量，从而得到ab a = ，即可得解.【详解】因为()4,3a =- ，所以5a = ，又1= b ，且5a b ⋅= ，设a 与b 的夹角为θ，则cos 15cos 5a b a b θθ⋅==⨯=，解得cos 1θ=，又[]0,πθ∈，所以0θ=，即a与b的夹角为0，所以a 与b共线同向，又1= b ，所以b 为a 方向上的单位向量，即()1434,3,555a b a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.故答案为：0；43,55⎛⎫-⎪⎝⎭13.若i 为虚数单位，复数z满足11i z ≤++≤1i z --的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数z满足11z i ≤++≤()11i z ≤---≤即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值||||AP CP ==故答案为：3214.若G 为ABC 的重心，BG CG ⊥，则cos A 的最小值为_______.【答案】45【解析】【分析】根据BG CG ⊥，利用向量的数量积运算可得22225cos 0c b bc A +-=，再由均值不等式即可求出cos A 的最小值.【详解】如图，CG BG ⊥ ,CD BE ∴⊥,11()()22CD BE CA CB BA BC ⋅=+⋅+ ()()(2)(2)AC AB AC AB AC AB AB AC AB AC =-+-⋅-+-=--⋅- ()225AB AB AC AC AB AC=-⋅+⋅-⋅ ()22225cos c b bc A=-+-22225cos 0c b bc A ∴+-=222222224cos 555c b c b A bc bc +⋅∴=≥=,当且仅当b c =时，等号成立，cos A ∴的最小值为45.故答案为：45四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数.（1）若()202112i 44i i z +=+-，求复数z 和z ；（2）若复数()()221563i z m m m m =-++-是纯虚数，求实数m 的值.【答案】（1）2i z=+，z =（2）2【解析】【分析】（1）先化简，再求出复数z ，再求出模长；（2）由纯虚数的实部为零，虚部不为零求出结果即可.【小问1详解】因为20212020i i i i=⨯=由()202112i 44i i z +=+-.得()()()()43i 12i 43i 105i 2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-.所以2i z =+，z ==【小问2详解】因为()()221563i z m m m m =-++-是纯虚数，所以2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =.16.已知向量()2,1a =r ，(),3b x = ，(),2c y = ，且//a b ，a c ⊥ ．（1）求b 与c ；（2）若2m a b =- ，n a c =+ ，求向量m 与n的夹角的大小．【答案】（1）()6,3b = ，()1,2c =-r ；（2）3π4.【解析】【分析】（1）利用平行、垂直的坐标表示列方程，由此求得,x y ，进而求得b 与c.（2）利用向量夹角公式计算出cos ,m n ，进而求得向量m 与n 的夹角的大小.【详解】（1）由//a b r r 得，2310x ⨯-⨯=，所以6x =，即()6,3b = ，由a c ⊥得，2120y ⨯+⨯=，所以1y =-，即()1,2c =-r .（2）由（1）得()()()222,16,32,1m a b =-=-=-- ，()()()2,11,21,3n a c =+=+-= ，所以()()21135m n ⋅=-⨯+-⨯=- ，m ==n ==所以[]2cos ,0,2m n m n x m n π⋅===-∈ ，所以向量m ，n 的夹角为3π4.17.如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，（1）求该圆柱的表面积；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【答案】（1）75π2（2）15π【解析】【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；（2）ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可【小问1详解】由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==，可得圆柱的底面圆的半径为52R =，则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯=所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=．【小问2详解】由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，所以以ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=．18.在ABC 中，设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b C B =.（1）求C 的大小；（2）若2a b +=，求边长c 的取值范围；（3）若4c =，求ABC 面积S 的最大值．【答案】（1）π3；（2）[1,2)（3）【解析】【分析】（1）已知条件由正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式化简得tan C =，可得C 的大小；（2）由三角形两边之和大于第三边和余弦定理结合基本不等式，可得边长c 的取值范围；（3）由余弦定理和重要不等式得16ab ≤，代入面积公式求S 的最大值.【小问1详解】在ABC 中，sin cos b C B =，由正弦定理得：sin sin cos B C A C B =-，因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，所以sin sin cos B C A C B =-可化为sin sin cos sin cos sin cos )B C B C C B C B =+-，即sin sin cos B C B C =．因为(0,π)B ∈，所以sin 0B ≠，所以tan C =因为(0,π)C ∈，所以π3C =．【小问2详解】由三角形两边之和大于第三边可得：2c a b <+=，即2c <．由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即2222()3c a b ab a b ab =+-=+-．由基本不等式可得：a b +≥，所以22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即22()14a b c +≥=，所以1c ≥．综上所述：12c ≤<．所以边长c 的取值范围为[1,2)．【小问3详解】由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，由重要不等式得2162c ab ab ab =≥-=，当且仅当4a b ==时取等号，1sin 24S ab C ab ∴==≤即S 最大值为19.如图，点P ，Q 分别是矩形ABCD 的边DC ，BC 上的两点，3AB =，2AD =．（1）若DP DC λ= ，CQ CB λ= ，01λ≤≤，求AP AQ ⋅ 的范围；（2）若π4PAQ ∠=，求AP AQ ⋅ 的最小值；（3）若2DP PC =，连接AP 交BC 的延长线于点T ，Q 为BC 的中点，试探究线段AB 上是否存在一点H ，使得THQ ∠最大．若存在，求BH 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）[]4,9（2）12（3）存在，BH =【解析】【分析】（1）借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得；（2）建立平面直角坐标系后借助三角函数与基本不等式计算即可得（3）建立平面直角坐标系后，将THQ ∠最大转化为tan THQ ∠最大，借助()tan tan tan tan 1tan tan THB QHB THQ THB QHB THB QHB∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠计算即可得.【小问1详解】由3AB =，2AD =，故3DP DC λλ== ，2CQ CB λλ== ，则22BQ λ=- ，()()AP AQ AD DP AB BQ AD AB AD BQ DP AB DP BQ ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ ()022233054λλλ=+-+⨯+=+，由01λ≤≤，故[]4,9AP AQ ⋅∈ ；【小问2详解】如图所示，以A 点为坐标原点，AB 为x轴，建立直角坐标系，设π0,4QAB α⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，20tan 3α≤≤，则()3,3tan Q α，π2tan ,24P α⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π1tan 6tan 6tan 66tan 41tan AP AQ ααααα-⎛⎫⋅=-+=⨯+ ⎪+⎝⎭1226tan 66tan 1121tan 1tan αααα⎛⎫=+-=++- ⎪++⎝⎭1212≥-=-，当且仅当2tan 11tan αα=++，即tan 1α=-时，等号成立，即AP AQ ⋅的最小值为12；【小问3详解】如图所示，以A 点为坐标原点，AB 为x 轴，建立直角坐标系，由题意可得()2,2P ，()3,1Q ，112TC AD ==，()3,1Q 即()3,3T ，假设存在点H ，使得THQ ∠最大，由π0,2THQ ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，即有tan THQ ∠最大，设BH a =，当0a =时，角度为0，此时THQ ∠不可能最大，故0a ≠，则()()2tan tan tan tan 1tan tan 1TB QB BH TB QB THB QHB BH BH THQ THB QHB TB QB THB QHB BH TB QB BH BH-⋅-∠-∠∠=∠-∠===+∠⋅∠+⋅+⋅()223122333133a a a a a a ⋅-===≤+⨯++，当且仅当3a a=，即a =即存在，且BH =【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是引入变量BH ，结合建系法，再通过两角差的正切公式再结合基本不等式求出角度最大情况.。
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高一下学期数学4月联考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共9题；共18分)
1. （2分）已知，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高一下·沈阳期中) 向量，并且，则实数的值为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2018·榆林模拟) 在等比数列中，，，则（）
A .
B .
C . 或
D . 或
4. （2分）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）
A . 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)
B . 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)
C . 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)"
D . 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)"
5. （2分）已知平面向量，，且，则x的值为（）
A . －3
B . -1
C . 1
D . 3
6. （2分）在中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，.若,则（）
A .
B . 3
C . 或3
D . 3或
7. （2分）设数列{an}中，a1=1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，则a2014=（）
A . 2011
B . 2012
C . 2013
D . 2014
8. （2分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 6
9. （2分）已知向量满足，且，则在方向上的投影为（）
A . 3
B . -3
C .
D .
二、填空题 (共6题；共6分)
10. （1分）(2020·漳州模拟) 若，则 ________.
11. （1分） (2017高三上·常州开学考) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若Sk=33，Sk+1=﹣63，Sk+2=129，其中k∈N* ，则k的值为________．
12. （1分）已知||=3，||=5，•=12，则在方向上的投影为________
13. （1分） (2017高三上·古县开学考) 已知正项数列{an}满足an+1（an+1﹣2an）=9﹣a ，若a1=1，则a10=________．
14. （1分） (2017高一下·嘉兴期末) 在△ABC中，∠A．∠B．∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，，∠A=30°，则△ABC的面积是________．
15. （1分）(2017·邢台模拟) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，若a2+c2=4ac，则 =________．
三、解答题 (共4题；共45分)
16. （10分）已知sinα=，α∈（，π）．
（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；
（Ⅱ）求tan2α的值．
17. （10分） (2016高三上·浙江期中) 数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn=2n﹣an ，
（1）求a1，an；
（2）若数列{bn}中，bn=n（2﹣n）（an﹣2），且对任意正整数n，都有，求t的取值范围．
18. （10分） (2016高一下·宝坻期末) 已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a，b，c，若有2acosC=2b+c成立．
（1）求A的大小；
（2）若，b+c=4，求三角形ABC的面积．
19. （15分） (2017·新课标Ⅲ卷理) 已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值；
（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
参考答案一、单选题 (共9题；共18分)
1-1、答案：略
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、答案：略
7-1、答案：略
8-1、答案：略
9-1、答案：略
二、填空题 (共6题；共6分)
10-1、答案：略
11-1、
12-1、答案：略
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共4题；共45分)
16-1、答案：略17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略
19-1、。