北京四中2018-2019学年初三上开学测试数学试题及答案

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2023-2024学年北京市第四中学九年级上学期开学考试数学试卷含详解

数学练习学生须知1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试卷用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（每题2分，共16分）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C.D.2.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.5，12，13D.7，24，253.下列化简正确的是（）A.+=B.=C.3=D.3-=4.菱形和平行四边形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分5.在平面直角坐标系xOy 中，点()()122,3,A y B y ，在函数74y x =--的图象上，则（）A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.以上都有可能6.下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）A.甲同学平均分高，成绩波动较小B.甲同学平均分高，成绩波动较大C.乙同学平均分高，成绩波动较小D.乙同学平均分高，成绩波动较大7.一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°的直角三角板长直角边重合于AC ，90B CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点N 在边CD 上运动，点M 在边BC 上运动，连接MN ，AN ，分别作出MN 和AN 边的中点E 和F ，测得EF 的最小值是6cm ，则最长的斜边CD 的长为（）．A.36cmB.82cmC.83cmD.86cm8.图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（每题2分，共16分）9.5x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_________．10.2≈____.414，则8的近似值是____（精确到0.01）．11.一次函数的图象经过（-1,0）且函数值随自变量增大而减小，写出一个符合条件的一次函数解析式__________．12.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：项目演讲内容演讲能力演讲效果成绩908090若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为__________．13.如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为_______．14.如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，EA ＝3，EB ＝5，ED ＝4，则CE 的长是___．15.如图，在ABC 中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且=90AFC ∠︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为________．16.A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W （单位：kg ）=_________（用含123,,x x x 的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求13W ≥，当123,,x x x 的值依次是_________时，这种产品的成本最低．三、解答题（17、18、21、23、25、26、27每题6分，19题4分，20、22、24每题5分，28题7分，共68分）17.计算：()012π--+--．18.已知1x =-，求代数式224x x +-的值．19.下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a ，b ，及90MAN ∠=︒．求作：矩形ABCD ，使AB a =，AD b =．作法：如图2，①在射线AM ，AN 上分别截取AB a =，AD b =；②以B 为圆心，b 长为半径作弧，再以D 为圆心，a 长为半径作弧，两弧在MAN ∠内部交于点C ；③连接BC ，DC ．∴四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明．证明：AB DC a == ，AD =b =，∴四边形ABCD 是平行四边形()(填推理的依据)．90MAN ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形()(填推理的依据)．20.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．（1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A ，过点A 作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使2AB ＝，以原点O 为圆心，OB 为半径作弧，则弧与数轴的交点C 表示的数是；（2）应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB 推至AC 处，它的绳索始终拉直，量得水平距离21CD m DB m ＝，＝，求绳索AC 的长．21.下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法．．．．，完成证明．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点．求证：12CD AB =．方法一方法二证明：如图，延长CD 到点E ，使得DE CD =，连接,AE BE ．证明：如图，取BC 的中点E ，连接DE ．22.在平面直角坐标系xOy 中，点()1A a ，在直线1:3(0)l y kx k k =+->上，直线2:l y x m =+过点()23B ，．（1）求a 的值及直线2l 的表达式；（2）当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y kx k k =+->的值大于函数y x m =+的值，直接写出k 的取值范围．23.如图，在平行四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC 交BD 于点O ，延长BC 到点E ，在DCE ∠的内部作射线CM ，使得15ECM ∠=︒，过点D 作DF CM ⊥于点F ．若70ABC ∠=︒，DF =，求ACD ∠的度数及BD 的长．24.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为()2km y ，慢车离乙地的距离为()1km y ，慢车行驶时间为()h x ，两车之间的距离为()km S ，1y ，2y 与x 的函数关系图象如图1所示，S 与x 的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：（1）图中的=a ______，C 点坐标为_____；（2）当x 何值时两车相遇？（3）当x 何值时两车相距200千米？25.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义()()00a a a a a ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩．阳阳结合上面的学习过程，对函数2y x a =-的图象与性质进行了探究．（1）当1a =时，①化简函数的表达式：当12x ≥时，y =_________，当12x <时，y =_________；②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；（2）函数23y x =-的图象可由21y x =-的图象向_________平移_________个单位得到；（3）对于任意的13x <<都满足关于x 的不等式22x a x -<+，请直接写出实数a 的最大值．26.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 为BC 延长线上一点．连接DE ，在线段DE 上取点F 使12FBE CDE ∠=∠，点G 为FB 与CD 的交点．求证：（1）FD AD =；（2）请写出线段GC CE EF 、、之间的数量关系，并证明．27.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点Q ，给出如下定义：若在直线y x =上存在点P ，使得四边形ABPQ 为平行四边形，则称点Q 为线段AB 的“银杏点”．已知3214A B （，），（，）．（1）在()()()()12341,3,2,6,2,2,4,4Q Q Q Q ----中，线段AB 的“银杏点”是_________；（2）点Q 为直线2y kx =-上一点，若点Q 是线段AB 的“银杏点”且不在第四象限，求k 的取值范围；（3）已知正方形CDEF 边长为1，以()2,T t 为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M ，N 在线段AB 上．若正方形CDEF 上的任意一点都存在线段MN ，使得该点为线段MN 的“银杏点”，直接写出t 的取值范围．数学练习学生须知1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试卷用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（每题2分，共16分）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．【详解】解：A 3=，不是根式，故不符合题意；B C是最简二次根式，故符合题意；D25，可化为故选：C ．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.5，12，13D.7，24，25【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．【详解】解：A 、123+=，不能构成三角形，则此项符合题意；B 、222345+=，能构成直角三角形，则此项不符合题意；C 、22251213+=，能构成直角三角形，则此项不符合题意；D 、22272462525+==，能构成直角三角形，则此项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．3.下列化简正确的是（）A.+=B.=C.3=D.3-=【答案】B【分析】利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可逐一判断结论．【详解】解：A 5=，选项的运算结果不正确，不符合题意；B =，选项的运算结果正确，符合题意；C ．3=-，选项的运算结果不正确，不符合题意；D ．-=故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质及化简，合并同类二次根式，解题的关键是掌握相应的运算法则．4.菱形和平行四边形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分【答案】D 【分析】结合平行四边形和菱形的性质即可求解．【详解】解：A ：菱形与平行四边形的对角线都不具有相等的性质，故A 错误；B ：菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不具有这一性质，故B 错误；C ：菱形的对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不具有这一性质，故C 错误；D ：菱形与平行四边形的对角线都具有互相平分的性质，故D 正确．故选：D【点睛】本题综合考查菱形和平行四边形的性质．熟记相关结论是解题的关键．5.在平面直角坐标系xOy 中，点()()122,3,A y B y ，在函数74y x =--的图象上，则（）A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.以上都有可能【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性即可求解．【详解】解：∵70k =-<∴y 随x 的增大而减小∵23<∴12y y >故选：A【点睛】本题考查一次函数的性质．关键是掌握一次函数的增减性．6.下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）A.甲同学平均分高，成绩波动较小B.甲同学平均分高，成绩波动较大C.乙同学平均分高，成绩波动较小D.乙同学平均分高，成绩波动较大【答案】D 【分析】分别计算甲、乙的平均分以及方差，然后比较即可．【详解】解：100859080958590808580908455x x ++++++++====乙甲，，∴()()()()22222110090859080909590505S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦乙，()()()2222128584908428084145S ⎡⎤=⨯-+-+⨯-=⎣⎦甲，∵9084>，5014>，∴乙的平均分较高，成绩波动较大，甲的平均分较低，成绩波动较小；故选：D ．【点睛】本题考查了算术平均数、方差．解题的关键在于正确的计算．7.一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°的直角三角板长直角边重合于AC ，90B CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点N 在边CD 上运动，点M 在边BC 上运动，连接MN ，AN ，分别作出MN 和AN 边的中点E 和F ，测得EF 的最小值是6cm ，则最长的斜边CD 的长为（）．A. B. C. D.【答案】D【分析】连接AM，根据三角形中位线定理求出AM，根据题意求出AB，解直角三角形得到答案．【详解】解：连接AM，∵点E和F分别为MN和AN边的中点，∴AM＝2EF，∵EF的最小值是6cm，∴AM的最小值是12cm，由题意可知，当点M与点B重合时，AM最小，∴AB＝12cm，∴ACAB＝cm，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，则CD＝cos32ACACD==∠（cm），故答案选：D．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、解直角三角形，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．8.图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】设两个直线关系式，再表示出z ，x 之间的关系式，即可得出图象．【详解】解：根据图像可知y 与x 是一次函数，z 和y 是正比例函数，设关系式为y kx b =+，1z k y =，∴0,0k b <>，10k >，∴<>，1100k k k b ，∴1111()z k y k kx b k kx k b ==+=+，可知z 与x 是一次函数，且图象经过一，二，四象限；∴图像B 符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数图像的判断，表示出各函数关系式是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）9.5x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_________．【答案】5x ≥##5x≤【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案.【详解】解：式子5x -50x -≥，即5x ≥故实数x 的取值范围是5x ≥.故答案为：5x ≥【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键.10.2≈____.414，则8的近似值是____（精确到0.01）．【答案】①.1②.2.83【分析】用“夹逼法”的整数部分即可．【详解】解：∵1<2<4，∴12，≈1.414．=2≈2.83．故答案为：1，2.83．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．11.一次函数的图象经过（-1,0）且函数值随自变量增大而减小，写出一个符合条件的一次函数解析式__________．【答案】y=-x-1，满足()y=ax+a a 0＜即可【分析】根据题意假设解析式，因为函数值随自变量增大而减小，所以解析式需满足a 0＜，再代入（-1,0）求出a 和b 的等量关系即可．【详解】设一次函数解析式()y=ax+b a＜0代入点（-1,0）得0=-a+b ，解得()a=b a 0＜所以()y=ax+a a 0＜我们令a=-1y=-x-1故其中一个符合条件的一次函数解析式是y=-x-1．故答案为：y=-x-1．【点睛】本题考查了一次函数的解析式，根据题意得出a 和b 的等量关系，列出其中一个符合题意的一次函数解析式即可．12.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：项目演讲内容演讲能力演讲效果成绩908090若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为__________．【答案】86【分析】利用加权平均数的计算方法解题即可．【详解】解：选手的综合成绩为9050%8040%9010%86⨯+⨯+⨯=，故答案为：86【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．13.如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为_______．【答案】165【分析】根据图形和三角形的面积公式求出ABC 的面积，根据勾股定理求出AC ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，AE BC ⊥，BD AC ⊥，∴ABC 的面积1144822BC AE =⨯=⨯⨯=，由勾股定理得，5,AC ==则8125BD ⨯⨯=，解得165BD =，故答案为：165【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．14.如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，EA ＝3，EB ＝5，ED ＝4，则CE 的长是___．【答案】5【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD ＝BC ＝EB ＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD ＝AB ＝8，∠EDC ＝90°，根据勾股定理可求CE 的长．【详解】解：∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，∴∠BEC ＝∠DCE ，∴∠BEC ＝∠BCE ，∴BC ＝BE ＝5，∴AD ＝5，∵EA ＝3，ED ＝4，在△AED 中，32+42＝52，即EA 2+ED 2＝AD 2，∴∠AED ＝90°，∴CD ＝AB ＝3+5＝8，∠EDC ＝90°，在Rt △EDC 中，CE 22224845ED DC +=+=故答案为：5【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理及勾股定理等知识，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等．15.如图，在ABC 中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且=90AFC ∠︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为________．【答案】2【分析】根据三角形中线定理求出DE ，再根据直角三角形的性质求出EF ，再进行计算即可．【详解】解：∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE ∴是ABC 的中线，1=2DE BC ∴，12BC = ，=6DE ∴，在Rt AFC 中，=90AFC ∠︒，点E 是AC 的中点，8AC =，1==42EF AC ∴，==64=2DF DE EF ∴--，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．16.A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W （单位：kg ）=_________（用含123,,x x x 的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求13W ≥，当123,,x x x 的值依次是_________时，这种产品的成本最低．【答案】①.12323x x x ++②.1，5，1【分析】根据重量等于单袋重量乘以袋数，列式计算即可；运用不等式的基本性质计算即可．【详解】∵A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），∴12323W x x x =++，故答案为：12323x x x ++；设总成本价为M 元，根据题意，得()()()12313123133252223132M x x x x x x x x x x =++=++≥++++，∵123,,x x x 均为正整数，1231323W x x x ++=≥，∴()132********M x x ≥+≥⨯=++，当且仅当，131x x ==时，成本最低，此时292x ≥，故25x =，故答案为：1，5，1．【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．三、解答题（17、18、21、23、25、26、27每题6分，19题4分，20、22、24每题5分，28题7分，共68分）17.计算：()012π--+--．【答案】1-【分析】根据零指数幂，绝对值的意义，二次根式的性质以及二次根式的加减法则对各项进行计算再从左往右依次计算即可．【详解】解：原式12=-+-1=-．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，绝对值的意义，二次根式的性质以及二次根式的加减法则是解答本题的关键．18.已知1x =-，求代数式224x x +-的值．【答案】2-【分析】根据()222415x x x -++=-，将1x =代入求解即可．【详解】解：∵()222415x x x -++=-，将1x =代入得，)21152-+-=-，∴代数式的值为2-．【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值．解题的关键在于正确的运算．19.下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a ，b ，及90MAN ∠=︒．求作：矩形ABCD ，使AB a =，AD b =．作法：如图2，①在射线AM ，AN 上分别截取AB a =，AD b =；②以B 为圆心，b 长为半径作弧，再以D 为圆心，a 长为半径作弧，两弧在MAN ∠内部交于点C ；③连接BC ，DC ．∴四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明．证明：AB DC a == ，AD =b =，∴四边形ABCD 是平行四边形()(填推理的依据)．90MAN ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形()(填推理的依据)．【答案】（1）见解析（2）BC ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【小问1详解】解：如图，矩形ABCD 即为所求；【小问2详解】证明：∵AB DC a AD BC b ====，，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），90MAN ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：BC ，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了作线段，矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．20.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．（1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A ，过点A 作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使2AB ＝，以原点O 为圆心，OB 为半径作弧，则弧与数轴的交点C 表示的数是；（2）应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB 推至AC 处，它的绳索始终拉直，量得水平距离21CD m DB m ＝，＝，求绳索AC 的长．【答案】（113（2）绳索AC 的长为2.5m【分析】（1）根据勾股定理求出OB ，根据实数与数轴解答即可．（2）设秋千的绳索长为x m ，根据题意可得3AD x m -＝（），利用勾股定理可得22263x x +-＝（），即可得到结论．【小问1详解】在Rt OAB V 中，OB 22OA AB +2232+13，∴13OC ＝，∴点C 13，13；【小问2详解】解：设秋千绳索AC 的长度为xm ，由题意可得AC ＝AB ＝xm ，∵21CD m DB m ＝，＝，∴AD AB BD x m -＝﹣＝（1），在Rt ADC 中，222AD DC AC +＝，∴22212x x +（﹣）＝，解得 2.5x ＝，即AC 的长度为2.5m ，答：绳索AC的长为2.5m．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AD，AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．21.下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法．．．．，完成证明．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在ABC中，90ACB∠=︒，点D是AB的中点．求证：12CD AB=．方法一证明：如图，延长CD到点E，使得DE CD=，连接,AE BE．方法二证明：如图，取BC的中点E，连接DE．【答案】见解析【分析】方法一：证明四边形ACDE为矩形，即可得证；方法二：利用是三角形的中位线定理，推出DE是BC的中垂线，即可得证．【详解】证明：（法一）∵点D是AB的中点，∴AD BD=．∵DE CD=，∴四边形ACBE是平行四边形．∵90ACB∠=︒，∴ACBE是矩形．∴AB CE=．∵12CD CE=，∴12CD AB=．（法二）∵点D 是AB 的中点，∴AD BD =．∵点E 是BC 的中点，∴CE BE =．∴∥DE AC ．∴DEB ACB ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90DEB ∠=︒．∴DE 是BC 的垂直平分线．∴CD DB =．∵12BD AB =，∴12CD AB =．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理以及中垂线的判定和性质．解题的关键是熟练掌握相关判定和性质．22.在平面直角坐标系xOy 中，点()1A a ，在直线1:3(0)l y kx k k =+->上，直线2:l y x m =+过点()23B ，．（1）求a 的值及直线2l 的表达式；（2）当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y kx k k =+->的值大于函数y x m =+的值，直接写出k 的取值范围．【答案】（1）3a =，直线2l 的表达式为1y x =+；（2）312k ≤≤．【分析】（1）点()1A a ，和点()23B ，，分别代入各自的函数表达式，即可求解；（2）求得过点()10-，时，k 的值，再求得两直线平行时k 的值，根据函数图象即可解答．【小问1详解】解：∵点()1A a ，在直线1:3(0)l y kx k k =+->上，∴33a k k =+-=，∵直线2:l y x m =+过点()23B ，，∴32m =+，∴1m =，∴直线2l 的表达式为1y x =+；【小问2详解】解：函数()313y kx k k x =+-=-+，当1x =时，3y =，即直线3y kx k =+-恒过点()13，，当=1x -时，10y x =+=，即直线1y x =+过点()10-，，将点()10-，代入3y kx k =+-，得03k k =-+-，解得32k =，当两直线平行时，1k =，∵当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y kx k k =+->的值大于函数y x m =+的值，如图，∴312k ≤≤．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．23.如图，在平行四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC 交BD 于点O ，延长BC 到点E ，在DCE ∠的内部作射线CM ，使得15ECM ∠=︒，过点D 作DF CM ⊥于点F ．若70ABC ∠=︒，DF =，求ACD ∠的度数及BD 的长．【答案】（1）证明见解析（2）55︒，【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的定义证明ABD ADB ∠=∠，得到AB AD =，即可证明平行四边形ABCD 是菱形；（2）由菱形的性质可得902AB CD DOC BD OD =︒=∥，∠，，进而得到70DCE ∠=︒，110BCD ∠=︒；进一步求出55ACD MCD ==︒∠∠，则由角平分线的性质得到OD DF ==，则2BD OD ==．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴平行四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴902AB CD DOC BD OD =︒=∥，∠，，∴70DCE ABC ∠=∠=︒，180110BCD ABC =︒-=︒∠∠；∵15CEM =︒∠，∴55DCM DCE CEM =-=︒∠∠∠；∵四边形ABCD 是菱形，∴1552ACD BCD ==︒∠∠，∴ACD MCD ∠=∠，又∵OD AC DF CM ⊥⊥，，∴OD DF ==，∴2BD OD ==．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的性质和定义，平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．24.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为()2km y ，慢车离乙地的距离为()1km y ，慢车行驶时间为()h x ，两车之间的距离为()km S ，1y ，2y 与x 的函数关系图象如图1所示，S 与x 的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：（1）图中的=a______，C点坐标为_____；（2）当x何值时两车相遇？（3）当x何值时两车相距200千米？【答案】（1）3，(3,180)（2）15 8（3）58或103【分析】(1)由S与x之间的函数的图象可知3a=，即得快车的速度为100km/h，由慢车5h行驶300km，知慢车的速度为60km/h，即可得快车到达乙地时，慢车行驶了180km，据此即可求得点C的坐标；(2)由15300(10060)(h)8÷+=，可得当x为158时两车相遇；(3)分两种情况：①当两车行驶的路程之和为100km时；②当两车行驶的路程和为500km时，分别计算即可求得【小问1详解】解：由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，∴由此可以得到3a=，∴快车的速度为3003100(km/h)÷=，由图可得，慢车5h行驶300km，∴慢车的速度为300560(km/h)÷=，360180(km)⨯=，∴快车到达乙地时，慢车行驶了180km，即两车相距180km，(3,180)C∴，故答案为：3，(3,180)；【小问2详解】解：由(1)可知，快车的速度为100km/h，慢车的速度为60km/h，∴两车相遇所需时间为15300(10060)(h)8÷+=，∴当x为158时两车相遇；【小问3详解】解：①当两车行驶的路程之和为300200100(km)-=时，两车相距200km ，此时5100(10060)8x =÷+=；②当两车行驶的路程和为300200500(km)+=时，两车相距200km ，3x = 时，快车到达乙地，即快车行驶了300km ，∴当慢车行驶200km 时，两车相距200km ，此时10200603x =÷=，综上所述，x 为58或103时，两车相距200km ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图象准确获取信息是解题的关键，要注意要分情况讨论．25.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义()()00a a a a a ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩．阳阳结合上面的学习过程，对函数2y x a =-的图象与性质进行了探究．（1）当1a =时，①化简函数的表达式：当12x ≥时，y =_________，当12x <时，y =_________；②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；（2）函数23y x =-的图象可由21y x =-的图象向_________平移_________个单位得到；（3）对于任意的13x <<都满足关于x 的不等式22x a x -<+，请直接写出实数a 的最大值．【答案】（1）①21x -，21x -+；②画图见解析（2）右，1（3）5【分析】（1）①根据绝对值的意义化简即可；②描点画出图象即可；（2）画出23y x =-的图象，结合图象即可解答；（3）先解不等式22x a x -<+，得出223a x a -<<+，然后根据题意得出21323a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，最后解不等式即可解答．【小问1详解】解：当1a =时，21y x =-，①当12x ≥时，21y x =-，当12x <时，21y x =-+；②图象如下：【小问2详解】解：当0y =时，230x -=，解得32x =，当32x ≥时，23y x =-，当32x <时，23y x =-+；画图如下：，观察图象，发现：函数23y x =-的图象可由21y x =-的图象向右平移1个单位得到；【小问3详解】解：∵22x a x -<+，∴222x x a x --<-<+，∴223a x a -<<+，∵对于任意的13x <<都满足关于x 的不等式22x a x -<+，∴21323a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得15a ≤≤，∴a 的最大值为5．【点睛】此题主要考查一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．26.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 为BC 延长线上一点．连接DE ，在线段DE 上取点F 使12FBE CDE ∠=∠，点G 为FB 与CD的交点．求证：（1）FD AD =；（2）请写出线段GC CE EF 、、之间的数量关系，并证明．。

2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学试卷-含详细解析

2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学试卷副标题题号四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y = -2（x - 3尸一 4的顶点坐标（）B. (—3,—4)2.3.4.5. A. (-3,4)C. (3,-4)如图，在中，ZC = 90°. AB = 10, AC = 8,siM 等于（）A・5D. (3,4)如图,在ZMBC 中，DE//BC,。

£分别与施,AC 相交于点若4D = 4, DB = 2.则 DE ： 8C 的值为（）A -3C.-若为（一4,无），3（—1,无），C （2,），3）为二次函数y = —（x + 2）2 + 3的图象上的三点,则无，光，％小关系是（）A. yi<y 2< 无B. y 3< y 2< yiC. y 3 <y±< y 2D・ y 2<yi< >3如图是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平而直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为10也.此时水面到桥供的距离是4小.则抛物线的表达式为（）B.-C.；D •:6.7.A 25 2A. y = —x^B.y = _%2C.y = _&/如图，己知匕1 =匕2,若再增加一个条件不一定能使结论△ADEdABC 成立，则这个条件是（）A. Z.D = l B B・X c・X 己知函^y = ax 2+bx+c （a*0）的图象如图.给出下列4个结论：①abc > 0: @b 2 > 4ac: @4a + 2b + c > 0:④2Q + b=0只中正确的有（）个・A. 1B. 2C. 3D. y D.48.二次函数y = ax 2 +bx 的图象如图所示，若一元二次方程。

亍+ bx +m-l = 0有两个不相等的实数根，则整数力的最小值为（）A.O D. 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.在AtZk/BC 中，ZC = 90°. BC = 4. tanA =贝UC =10.若当 = ：,则？=11.如图是一位同学设计的用手电简来测量某古城瑙高度的示意图.点户处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，己知CD LBD.测得= 2米.BP = 3米.PD = 12米.那么该古城墙的高度CD 是______米.12.抛物线y = —2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是______13.已知二次函fty = x -x+im- 1的图象与］轴有公共点，则〃，的取值范围是214.如图，抛物线y=a”与直线、=故+。

北京四中2018届上学期初中九年级期中考试数学试卷

北京四中2018届上学期初中九年级期中考试数学试卷时间：120分钟，满分：100分一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 二次函数y=（x+1）2-2的最小值是（）. A. 1B. -1C. 2D. -22. 如果4x=5y （y≠0），那么下列比例式成立的是（）. A.54y x = B. y x 54= C. 54=y x D.45yx = 3. 抛物线y=（x-2）2+1是由抛物线y=x 2平移得到的，下列对于抛物线y=x 2的平移过程叙述正确的是（）.A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 4. 若A （1，y 1），B （2，y 2）两点都在反比例函数y=x1的图象上，则y 1与y 2的大小关系是（）.A. y 1< y 2B. y 1= y 2C. y 1> y 2D. 无法确定5. 如图，D ，E 为△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，若AD ：DB=1：3，AE=2，则AC 的长是（）.A. 10B. 8C. 6D. 46. 如图，若点P 在反比例函数y=xk（k≠0）的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，若矩形PMON 的面积为6，则k 的值是（）.A. -3B. 3C. -6D. 67. 已知正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=xm的图象交于A ，B 两点，若点A 的坐标为（-2，1），则关于x 的方程xm=kx 的两个实数根分别为（）. A. x 1=-1，x 2=1B. x 1=-1，x 2=2C. x 1=-2，x 2=1D. x 1=-2，x 2=28. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（）.A. a>0B. c<0C. b 2-4ac<0D. a+b+c>0二、填空题（本题共8分，每小题2分）9. 抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是__________. 10. 反比例函数y=xk在第一象限的图象如图，请写出一个满足条件的k 值，k=__________.11. “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木?”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，城墙CD长9里，城墙BC长7里，东门所在的点E，南门所在的点F分别是CD，BC的中点，EG⊥CD，EG=15里，FH⊥BC，点C在HG上，问FH等于多少里?答案是FH=________里.12. 我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3.（1）如图l，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是________；（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI 的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形……以此类推，则第n个内接正方形的边长a n=____________. （n为正整数）三、解答题（本题共68分，第13—22题每小题5分，第23—25题每小题6分）13. 已知二次函数y=x2-2x-3.（1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标：（2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标.14. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且满足AB·AD=AE·AC，连接DE. 求证：∠ABC=∠AED.15. 若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，-2）两点，求此二次函数的表达式.16. 如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）若B 为AF 的中点，CB=3，DE=1，求CD 的长.17. 抛物线y=ax 2+bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y ，的对应值如下表：①抛物线与x 轴的交点坐标是_________和_________； ②抛物线经过点（-3，_________）；（2）试确定抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式.18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点B 的坐标为（1，0）.（1）在图l 中画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）在图2中，以点O 为位似中心，将△ABC 放大，使放大后的△A 2B 2C 2与△ABC 的对应边的比为2：1（画出一种即可）. 直接写出点A 的对应点A 2的坐标.19. 已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=xk的图象交于A 、B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）.（1）求反比例函数y=xk的表达式；（2）点C （n ，1）在反比例函数y=xk的图象上，求△AOC 的面积.20. 已知抛物线y=x2-（2m-1）x+m2-m.（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值.21. 青青书店购进了一批进价为每本20元的中华传统文化丛书. 在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-3x+108（20<x<36）. 如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大?最大利润是多少?22. 问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）.解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22.（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，直接写出AD 的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度. （要求：图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等. ）23. 在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：已知：如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一动点，点F 在BC 上，且21=BF CF ，连接DF 交AC 于点E.（1）如图1，当点E 恰为DF 的中点时，请求出ABAD的值；（2）如图2，当a EF DE =（a>0）时，请求出ABAD的值（用含a 的代数式表示）. 思考片刻后，同学们纷纷表达了自己的想法：甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题；乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 延长线于点G ，构造相似三角形解决问题；老师说：“这三位同学的想法都可以”.请参考上面某一种想法，完成第（1）问的求解过程，并直接写出第（2）问ABAD的值.24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+4ax+4a-4（a≠0）的顶点为A. （1）求顶点A 的坐标；（2）过点（0，5）且平行于x 轴的直线l ，与抛物线y=ax 2+4ax+4a-4（a≠0）交于B 、C 两点.①当a=1时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于8时，直接写出a 的取值范围.25. 在平面直角坐标系xOy 中，设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是图形W 上的任意两点. 定义图形W 的测度面积：若|x 1-x 2|的最大值为m ，|y 1-y 2|的最大值为n ，则S=mn 为图形W 的测度面积. 例如，若图形W 是半径为l 的⊙O. 当P ，Q 分别是⊙O 与x 轴的交点时，如图1，|x 1-x 2|取得最大值，且最大值m=2；当P ，Q 分别是⊙O 与y 轴的交点时，如图2，|y 1-y 2|取得最大值，且最大值n=2. 则图形W 的测度而积S=mn=4.（1）若图形W 是抛物线y=-x 2+2x+3和直线y=2x-1围成的封闭图形，则它的测度面积S=___________（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD.①当A，B两点均在x轴上时，它的测度面积S=_________；②此图形测度面积S的最大值为_________；（3）若图形W是一个边长分别为3和6的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共8分，每小题2分） 9. （2，1）. 10. 答案不唯一，如：k=3.11. 1.05 12. 2，132-n n三、解答题（本题共68分） 13. （本题5分）解：（1）∵y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，∴对称轴是x=1，顶点坐标是（1，-4）. …………………2分（2）令y=0，则x 2-2x-3=0，解得x 1=-1，x 2=3；令x=0，则y=-3.∴图象与x 轴交点坐标是（-l ，0）、（3，0），与y 轴的交点坐标是（0，-3）. …5分 14. （本题5分）证明：∵ABAD=AEAC∴ADACAE AB = ……………2分又∵∠A=∠A∴△ABC ∽△AED ……………4分 ∴∠ABC=∠AED …………………5分 15. （本题5分）解：∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过（0，1）和（1，-2）两点，∴⎩⎨⎧++=-=.12,1c b c …………………………2分解得⎩⎨⎧=-=.1,4c b ……………………………………4分∴二次函数的表达式为y=x 2-4x+1. ……………………………5分 16. （本题5分）（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴∠D=∠1=∠2+∠3=90° …1分 ∵CF ⊥CE ∴∠4+∠3=90° ∴∠2=∠4∴△CDE ∽△CBF …2分（2）解：∵四边形ABCD 是矩形 ∴CD=AB ∵B 为AF 的中点 ∴BF=AB∴设CD=BF=x ………3分 ∵△CDE ∽△CBF ∴BFDECB CD = …4分 ∴xx 13= ∵x>0 ∴x=3 ……5分即：CD=3 17. （本题5分）解：（1）①（-2，0），（1，0）；②8； ……3分（2）依题意设抛物线解析式为y=a （x+2）（x-1）.由点（0，-4）在函数图象上，得-4=a （0+2）（0-1）. …4分解得a=2.∴y=2（x+2）（x-1）. …………………5分即所求抛物线解析式为y=2x 2+2x-4. 18. （本题5分）解：（1）正确作图 …………………………………………2分（2）正确作图（画出一种情况即可） …………………………4分此时点A 的对应点A 2的坐标是（-4，-4）或（4，4）（写出一个即可）. …5分 19. （本题5分）解：（1）∵点A （1，m ）在一次函数y=x+2的图象上， ∴m=3.∴点A 的坐标为（1，3）. ……1分 ∵点A （1，3）在反比例函数y=xk的图象上， ∴k=3. ∴反比例函数y=x k 的表达式为y=x3. …2分（2）∵点C （n ，1）在反比例函数y=x3的图象上， ∴n=3. ∴C （3，1）. ∵A （1，3），∴S △AOC =4. ………5分 20. （本题5分）解：（1）证明：∵△=[-（2m-1）]2-4（m 2-m ） ……………………………1分=4m 2-4m+1-4m 2+4m =1>0，∴此抛物线与x 轴必有两个不同的交点. ………………2分（2）解：∵此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y 轴上， ∴m 2-m=-3m+3. …………………………………………3分 ∴m 2+2m-3=0.∴m 1=-3，m 2=1. ……………………………5分 ∴m 的值为-3或1. 21. （本题5分）解：p=（x-20）（-3x+108）=-3x2+168x-2160 ………2分∵20<x<36，且a=-3<0，∴当x=28时，y最大=192. ………4分答：销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元. …5分22. （本题5分）解：（1）在Rt△ADC中，∵AC=22，∠C=45°，∴AD=2. …………1分（2）符合题意的图形如下所示：E为AC中点，BE=10…………3分GH∥BC，GH=22. . . . . 5分23. （本题6分）解：（1）甲同学的想法：过点F作FG∥AB交AC于点G.∴∠GFE=∠ADE，∠FGE=∠DAE∴△AED∽△GEF.∴EFEDGF AD =. …………1分 ∵E 为DF 的中点， ∴ED=EF.∴AD=GF. ………………………2分 ∵FG ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB. ∴CBCFAB GF =. ……………………3分 ∵21=BF CF ， ∴31=CB CF ………………4分 ∴31===CB CF AB GF AB AD .…………………………5分乙同学的想法：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G.∴EFEDAG AD =. …………1分 ∵E 为DF 的中点， ∴ED=EF.∴AD=AG. ………………………2分 ∵FG ∥AC ， ∴CBCFAB AG =. …………………3分 ∵21=BF CF ， ∴31=CB CF ………………………………4分 ∴31===CB CF AB AG AB AD .……………………5分丙同学的想法：过点D 作DG ∥BC 交CA 延长线于点G.∴∠C=∠G ，∠CFE=∠GDE ∴△GDE ∽△CFE. ∴EFEDCF GD =…………………………1分 ∵E 为DF 的中点， ∴ED=EF.∴DG=FC. …………………2分 ∵DG ∥BC ，∴∠C=∠G ，∠B=∠ADG ∴△ADG ∽△ABC. ∴BCDGAB AD = …………………3分 ∵21=BF CF ， ∴31=BC CF . ………………………………………4分 ∴31===BC CF BC DG AB AD . ………………………………5分（2）3aAB AD =. …………………………………………6分 24. （本题6分）解：（1）解法一： ∵y=ax 2+4ax+4a-4 =a （x+2）2-4，∴顶点A 的坐标为（-2，-4）. …………………………………1分解法二：∵224-=-a a ,aa a a 4)4()44(42--⨯=-4， ∴顶点A 的坐标为（-2，-4）。

2024北京四中初三(上)开学考数学

数学练习一、选择题（共20分，每小题2分）1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）． AB CD2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）．A ．2，3，4BC ．5，6，7D ．5，12，13 3．如图，在平行四边形ABCD 中，由尺规作图的痕迹，下列结论中不一定成立的是（）． A ．DAE BAE ∠=∠ B ．AD DE = C ．DE BE =D ．BC DE = 4．某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T 恤衫销售情况统计如下：（）． A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．众数5．已知关于x 的一次函数(2)3y m x =−+，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（）．A ．2m <B ．2m >C ．0m >D ．0m < 6．如图所示，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且90AFB ∠=︒，若6AB =，8BC =，则EF 的长为（）．A ．1B ．2C ．1.5D ．2.57．如图，正比例函数11y k x =和反比例函数22ky x=的图象交于(1,2)A −、(1,2)B −两点，若12y y <，则x 的取值范围是（）．A ．1x <−，或1x >B ．1x <−，或01x <<C ．10x −<<，或1x >D ．10x −<<，或01x <<8．若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（）． A ．1k < B ．1k C ．1k <，且0k ≠ D ．1k ，且0k ≠9．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x ，则根据题意列出的方程是（）．A ．100(12)81x −=B ．100(12)81x +=C ．281(1)100x −=D ．281(1)100x +=10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）．A ．当P ＝440W 时，I ＝2AB ．Q 随I 的增大而增大C ．I 每增加1A ，Q 的增加量相同D ．P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题（共16分，每小题2分）11．一次函数(0)y kx b k =+≠中两个变量x ，y 的部分对应值如下表所示：537b 的解集是． 12．若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(,2)A a 和(,2)B b −，则a b +的值为．13．某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分．14．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D '处，则点C 的对应点C '的坐标为． 15．如图，正方形ABCD 的中心在原点O 上，且正方形ABCD 的四个顶点分别位于两个反比例函数3y x=和ny x=的图象上的四个分支上，则n = ． 16．已知实数x ，y 满足2330x x y ++−=．则x y +的最大值为．17．如图，四边形ABHK 是边长为12的正方形，点C 、D 在边AB 上，且2AC DB ==，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长等于．18．甲乙两人玩一个游戏：将(n n 为奇数）个数排成一列，记作1[a ，2a ，⋯，]n a ，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数．甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数．每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．（1）对于[1，2，3，4，5]，被删除一次后可以成为[3，4，5]或[1，4，5]以及一些其他情况，写出未列举的其他情况；（写出一种即可）（2）对于[2，9，1，7，3，4，5，8，6]，最后剩下的数为．三、解答题（共64分，第19、20题每题6分，第21、22、24、26、27题每题8分，第23题7分，第25题5分） 19．解方程：（1）2610x x +−=；（2）2(2)3(2)x x −=−．20．某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个ABC ∆（三边均不相等），以一边的端点B 为顶点在三角形外作角CBF ∠，使其等于这条边另一端点C 为顶点的三角形的内角ACB ∠，射线BF 与这条边上的中线AD 的延长线相交于一点E ，则以A 、B 、C 、E 四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等、平行四边形以及平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空．如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的中点，连接AD ．（1）尺规作图：在BC 下方作射线BF ，使得CBF ACB ∠=∠，且射线BF 交AD 的延长线于点E （不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CE ，求证：四边形ABEC 是平行四边形．（请补全下面的证明过程）证明：点D 为BC 边上的中点，DC DB ∴=.在ADC ∆和EDB ∆中，ACD EBDDC DBADC EDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADC ∴∆≌ ()ASA ， AC ∴= ． CBF ACB ∠=∠，∴ ．∴四边形ABEC 是平行四边形．兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是．21．如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点．连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =．连接AF ，CF ，AD ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）连接BF ，若60ACB ∠=︒，2AF =，求BF 的长．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b=+的图象与x轴交于点(3,0)A−，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图象交点为(,4)C a．（1）求a的值与一次函数y kx b=+的解析式；（2）在y轴上求一点P，使POC∆为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中，函数(0)y kx b k=+≠的图象经过点(1,3)A和(1,1)B−−，与过点(2,0)−且平行于y轴的直线交于点C．（1）求该函数的表达式及点C的坐标；（2）当2x<−时，对于x的每一个值，函数(0)y nx n=≠的值大于函数y kx b=+ (0)k≠的值且小于2−，直接写出n的取值范围．24．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料．（1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长；（2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）25．商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：a ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：售价涨跌幅100%−=⨯当周售价前周售价前周售价，成本涨跌幅100%−=⨯当周成本前周成本前周成本；b ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；c ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：甲商品的成本与售价信息表根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为，中位数为；（2）表中m 的值为，从第三周到第五周，甲商品第周的售价最高；（3）记乙商品这40周售价的方差为21s ，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为22s ，则21s 22s （填“>”，“ =”，或“<” )．26．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：（1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点；（2）当t = s 时，杯中水位最高，是 cm ；（3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为 /cm s；（4）求停止注水时t 的值；（5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s ．27．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BCA =α，点D为线段BC的延长线上一点，将线段BD 绕点D 顺时针旋转2α得到线段ED ．图1 图2（1）如图1，当α=30°，且点B 与点D 关于点C 对称时，求证：EC ⊥BD ；（2）如图2，若点C 关于点D 的对称点为点F ，连结EF ，依题意补全图形，求证：AE ⊥EF ．BA附加题（共10分）28．（3分）有如下的一列等式：00T a =，110T a x a =−，22210T a x a x a =−+，3233210T a x a x a x a =−+−，……，若将0123n T T T T T +++++记为n A ，其中n 为正整数，n T 的各项系数均不为0．那么以下说法正确的是． ①若1x =，则4420A a a a =++；②若44(21)T x =−，那么4T 的所有系数之和为1；③若2221(21)nn n A A x −−=−，那么当5n =时，101086420132a a a a a a ++++++=．29．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点11()P x y ，和22()Q x y ，，我们称01212(,)||||d P Q x x y y =−+−为P 和Q 两点的“亚距离”．进一步，对于平面中的点R 和图形Ф，Ψ，我们给出如下定义：点R 到图形 Ф上各点的最短亚距离为d ，点R 到图形Ψ上各点的最短亚距离为d '，若d =d '，则称点R 为图形Ф，Ψ 的一个“亚等距点”．如图，已知(4,4),(8,0),(4,4),(2,0)A B C D −−−−−，点A 、C 、D 关于y 轴的对称点分别为点A '、C '、D '，将正方形OABC 向上平移4个单位得到正方形AEFG ．（1）① 0(,)d A B = ；②在点1234(2,2),(2,2),(7,8),(5,1)P P P P −−−中，哪个点是点A 和点C '的亚等距点____________；（2）在坐标系中，画出正方形OABC 和正方形AEFG 的亚等距点所组成的图形；（3）已知线段(04)y kx b y =+≤≤上恰好存在3个线段AA '和线段DD '的亚等距点，直接写出k 的取值范围．备用图。

2018--2019学年度第一学期北京版九年级开学摸底考试数学试卷

2018--2019学年度第一学期北京版九年级开学摸底考试数学试卷考试时间：100分钟；满分120分一、选择题(本大题共10小题，共30分) 1. 若分式23x x －的值为零，则（） A. x=3 B. x=-3 C. x=2 D. x=-22. 如图，在数轴上有A 、B 、C 、D 、E 五个点表示相应的整数，无理数13在两个点所表示的整数之间，这两个整数所对应的点是A. 点A 和点BB. 点B 和点CC. 点C 和点DD. 点D 和点E 3. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（） A. B. C.D.4. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n ．如果m ，n 满足|m-n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（） A.83 B. 85 C. 41 D. 21 5. 关于函数y=-2x+1，下列结论正确的是（）A. 图象必经过点（-2，1）B. 图象经过第一、二、三象限C. 图象与直线y=-2x+3平行D. y 随x 的增大而增大 6. 如右图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°初中数学试卷第2页，共18页7. 王老师对甲、乙两人五次数学成绩进行统计，两人平均成绩均为90分，方差S 甲2=12，S 乙2=51，则下列说法正确的是（）A. 甲、乙两位同学的成绩一样稳定B. 乙同学的成绩更稳定C. 甲同学的成绩更稳定D. 不能确定8. 关于x 的方程x 2+（k 2-4）x+k-1=0的两根互为相反数，则k 的值为（） A. ±2 B. 2 C. -2 D. 不能确定 9. 如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 为垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是（） A. 2 B. 23 C. 4 D. 43 10. 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 为AC 边上一点，作EC ⊥BD 于E ，交BA 的延长线于F ，则有（）A. △ABD ≌△ACFB. △BEF ≌△CAFC. △BEC ≌△BEFD. △ABD ≌△EBC二、填空题(本大题共8小题，共24分)11. 已知a ，b 为两个连续的整数，且，则b a ＝________．12. 已知y-x=3xy ，则代数式的值为______．13. 如图，∠MON 内有一点P ，PP 1、PP 2分别被OM 、ON 垂直平分，P 1P 2与OM 、ON 分别交于点A 、B ．若P 1P 2=10cm ，则△PAB 的周长为______cm ．14. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC 的长，如果设AC=x ，则可列方程为______．15. 在一个不透明的布袋中装有2个白球、8个红球和5个黄球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．如果从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是______． 16. 已知一次函数的图象与直线y=21x+3平行，并且经过点（-2，-4），则这个一次函数的解析式为______．17. 在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为______．18. 若直角三角形有两边长恰好是x 2-14x+48=0的两个不相等的实数根，则此直角三角形的第三条边长是______．三、计算题(本大题共4小题，共24分) 19. 解方程：．20. 先化简，再求值：（23－x x －2x x）xx 42－，再选择一个使原式有意义的x 代入求值．21. 计算：（π-3.14）0+|1-22|8-+（21）-1初中数学试卷第4页，共18页22. 用适当的方法解方程：．四、解答题(本大题共5小题，共42分) 23. 已知：如图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，F 是CD 边上一点，且CE=CF ，连接DE ，BF ．求证：DE=BF ．24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （2，0）的直线l ：与y 轴交于点B ．（1）求直线l 的表达式；（2）若点C 是直线l 与双曲线y=xn的一个公共点，AB=2AC ，直接写出n 的值．25. 如图，在平行四边形ABCD 纸片中，AC ⊥AB ，AC 与BD 交于点O ，把△OAB 沿对角线AC 翻折后，E 与B 对应．（1）试问：四边形ACDE 是什么形状的四边形？为什么？（2）若EO 平分∠AOD ，求证△ODE 为等边三角形．26. 已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k 的值．初中数学试卷第6页，共18页27. 当前，“校园ipad 现象已经受到社会的广泛关注，某教学兴趣小组对”“是否赞成中学生带手机进校园”的问题进行了社会调查．小文将调查数据作出如下不完整的整理：频数分布表看法频数频率赞成 5 ______ 无所谓 ______ 0.1 反对400.8（1）请求出共调查了多少人；并把小文整理的图表补充完整；（2）小丽要将调查数据绘制成扇形统计图，则扇形图中“赞成”的圆心角是多少度？（3）若该校有3000名学生，请您估计该校持“反对”态度的学生人数．…○…………外…………○…………装……………订…………学校:___________姓名：__：___________考号：________…○…………内…………○…………装……………订…………2019--2019学年度第一学期北京版九年级开学摸底考试数学试卷【答案】1. D2. C3. C4. B5. C6. C7. C8. C9. B 10. A11. 912. 4 13. 10 14. x 2+32=（10-x ）215.16. y=-3 17. 42° 18. 10或219.解：去分母，得：3x-（x-2）=3，去括号，得：3x-x+2=3，整理，得：2x=1，解得：经检验是原方程的解，∴原分式方程的解是.20. 解：原式=[-]•=•=•=2（x+4）初中数学试卷第8页，共18页○…………外…………○…………装…………○……………………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内○…………内…………○…………装…………○……………………线…………○……=2x+8， ∵（x+2）（x-2）≠0且x≠0， ∴x≠±2且x≠0，则取x=1，原式=2+8=10． 21. 解：（π-3.14）0+|1-2|-+（）-1，=1+2-1-2+2，=2． 22. 解：x²+4x -1=0， x²+4x=1， x²+4x+4=5，（x+2）²=5，∴，∴，.23. 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC=DC，∠BCD=90° ∵E 为BC 延长线上的点， ∴∠DCE=90°， ∴∠BCD=∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，，∴△BCF≌△DCE（SAS ）， ∴DE=BF． 24.解：（1）∵直线l ：y=mx-3过点A （2，0）， ∴0=2m -3． ∴，∴直线l 的表达式为；（2）当x=0时，y=-3， ∴点B （0，-3），…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……如图1，当点C 在BA 延长线上时，作CD⊥y 轴于点D ，则△BAO∽△BCD，∴，即，解得：CD=3，OD=， ∴点C，则；如图2，当点C 在线段AB 上时，作CE⊥y 轴于点E ，则△BAO∽△BCE，∴，即，解得：CE=1，BE=3，初中数学试卷第10页，共18页…○…………外……………………线…………○………○…………内……………………线…………○……∴OE=BO-BE=，∴点C的坐标为，则，综上，n的值为或.25. （1）解：四边形ACDE是矩形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD；又∵AB⊥AC，∴∠BAC=∠DCA=90°；∵把△OAB沿对角线AC翻折后，E与B对应，∴AE=AB，∠EAO=∠BAO=90°，∴AE∥CD，AE=CD，且∠EAC=90°，∴四边形ACDE是矩形；（2）证明：∵把△OAB沿对角线AC翻折后，E与B对应，∴∠AOE=∠AOB，OE=OB．∵在平行四边形ABCD中，OD=OB，∴OE=OD．∵EO平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE，∴∠AOE=∠DOE=∠AOB．∵∠AOE+∠DOE+∠AOB=180°，∴∠AOE=∠DOE=∠AOB=60°，∴△ODE为等边三角形．26.（1）证明：，=，=，=1＞0．∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程有一个根为1，∴12-(2k+1)+k2+k=0，…○…………外……○…………装……○………学校:___________姓名：__班级：_____…○…………内……○…………装……○………即k 2-k=0，解得：k 1=0，k 2=1．即k 的值为0或1．27. 0.1；5 【解析】1.解：由题意得：x+2=0，且x-3≠0，解得：x=-2，故选：D ．根据分式值为零的条件可得x+2=0，且x-3≠0，再解即可．此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 2. 【分析】本题主要考查了无理数的估算，运用夹逼法是解答此题的关键．由9＜13＜16可得，可得结果．【解答】解：∵9＜13＜16，∴，∴，∴ 无理数在点C 和点D 之间.故选Ｃ. 3.解：根据题意，得：．故选C ．关键描述语：单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；可列等量关系为：所用B 型包装箱的数量=所用A 型包装箱的数量-6，由此可得到所求的方程．考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：包装箱的个数=课外书的总本数÷每个包装箱装的课外书本数．初中数学试卷第12页，共18页…○…………线…………○…※※…○…………线…………○…4.解：画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m-n|≤1的有10种结果， ∴两人“心领神会”的概率是=，故选：B ．画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．5.解：A 、当x=-2，y=-2x+1=-2×（-2）+1=5，则点（-2，1）不在函数y=-2x+1图象上，故本选项错误；B 、由于k=-2＜0，则函数y=-2x+1的图象必过第二、四象限，b=1＞0，图象与y 轴的交点在x 的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误；C 、由于直线y=-2x+1与直线y=-2x+3的倾斜角相等且与y 轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确；D 、由于k=-2＜0，则y 随x 增大而减小，故本选项错误；故选：C ．根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．本题考查了一次函数y=kx+b （k≠0）的性质：当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 增大而减小；当b ＞0，图象与y 轴的交点在x 的上方；当b=0，图象经过原点；当b ＜0，图象与y 轴的交点在x 的下方． 6. 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．【解答】解：（5-2）•180°=540°．故选C ．7.解：∵S 2甲=12、S 2乙=51， ∴S 2甲＜S 2乙，∴甲比乙的成绩稳定；故选：C ．先根据甲的方差比乙的方差小，再根据方差越大，波动就越大，数据越不稳定，方差越小，波动越小，数据越稳定即可得出答案．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布……○…………外………○…………装………学校:___________姓名：_____……○…………内………○…………装………比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8.解：设原方程的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=4-k 2；由题意，得4-k 2=0； ∴k 1=2，k 2=-2；又∵△=（k 2-4）2-4（k-1）=-4（k-1）， ∴当k 1=2时，△=-4＜0，原方程无实根；当k 2=-2时，△=12＞0，原方程有实根． ∴k=-2．故选：C ．若方程的两根互为相反数，则两根的和为0；可用含k 的代数式表示出两根的和，即可列出关于k 的方程，解方程求出k 的值，再把所求的k 的值代入判别式△进行检验，使△＜0的值应舍去．此题考查了一元二次方程根与系数的关系定理及相反数的定义．能够根据两根互为相反数的条件列出关于k 的方程，是解答此题的关键；注意根与系数的关系定理适用的条件是判别式△≥0，这是本题容易出错的地方． 9.解：∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠ACB=180°-30°-90°=60°， ∵DE 垂直平分斜边AC ， ∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°， ∵BD=1， ∴CD=AD=2， ∴AB=1+2=3，在Rt△BCD 中，由勾股定理得：CB=，在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC==2，故选：B ．求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD ，求出∠ACD、∠DCB，求出CD 、AD 、AB ，由勾股定理求出BC ，再求出AC 即可．本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中． 10.解：∵∠BAC=∠DEC=90°， ∠ADB=∠EDC， ∴∠DBA=∠FCA，在△ABD 与△ACF 中，∴△ABD≌△ACF（ASA ）故选（A ）根据全等三角形的判定即可得出答案．本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定，本题属于中等初中数学试卷第14页，共18页…装…………○……订…………○…线………※※要※※在※※装※※订※※内※※答※题※※…装…………○……订…………○…线………题型． 11. 【分析】此题主要考查了无理数的大小的比较有关知识，由于，由此即可找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可求解. 【解答】解：∵4＜5＜9，∴，∴a=2，b=3，∴.故答案为9. 12.解：∵y -x=3xy ， ∴x -y=-3xy ，则原式====4．故答案是：4．把已知的式子化成x-y=-3xy 的形式，然后代入所求的式子，进行化简即可求解．本题考查了分式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．13.解：∵PP 1、PP 2分别被OM 、ON 垂直平分， ∴PA=AP 1，PB=BP 2；又∵P 1P 2=P 1A+AB+BP 2=PA+AB+PB=10cm ∴△PAB 的周长为10cm ．故答案为10．根据轴对称的性质1的全等关系进行等量代换，便可知P 1P 2与△PAB 的周长是相等的．本题考查了线段的垂直平分线的性质，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 14.解：设AC=x ， ∵AC+AB=10， ∴AB=10-x ．∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∴AC 2+BC 2=AB 2，即x 2+32=（10-x ）2．故答案为：x 2+32=（10-x ）2．………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线……学校:_________姓名：___________班级：___________考号：_________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线……设AC=x ，可知AB=10-x ，再根据勾股定理即可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 15.解：∵布袋中共有15个球，其中黄球有5个， ∴从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是=，故答案为：．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=．16.解：∵一次函数的图象与直线y=x+3平行，∴设一次函数的解析式为y=x+b ，∵一次函数经过点（-2，-4）， ∴×（-2）+b=-4，解得b=-3，所以这个一次函数的表达式是：y=x-3．故答案为y=x-3．根据互相平行的两直线解析式的k 值相等设出一次函数的解析式，再把点（-2，-4）的坐标代入解析式求解即可．本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的k 值相等设出一次函数解析式是解题的关键． 17.解：正方形的一个内角的度数==90°，正五边形的一个内角的度数==108°，正六边形的一个内角的度数==120°，则∠1的度数=360°-90°-108°-120°=42°，故答案为：42°．分别求出正方形、正五边形和正六边形的每个内角的度数，计算即可．本题考查的是正多边形与圆，掌握正多边形的内角的计算公式是解题的关键． 18.解：∵x 2-14x+48=0， ∴x=6和x=8，初中数学试卷第16页，共18页……线…………○…………线…………○……当长是8的边是直角边时，第三边是=10；当长是8的边是斜边时，第三边是=2．故答案为10或2．先解出方程x 2-14x+48=0的两个根为6和8，再分长是8的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求得第三边的长．本题考查了一元二次方程-因式分解法，以及勾股定理的应用，能够理解分两种情况进行讨论是解题的关键．19.本题考查了分式方程的解法的知识点，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.观察可得最简公分母是x （x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，最后进行检验，即可解答.20.先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定x 的值，代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．21.本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点．22.本题主要考查一元二次方程的解法，利用配方法解答本题，根据配方法解方程的步骤即可解得x 的值.23.根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，BC=CD 、∠BCF=∠DCE=90°，又CE=CF ，根据边角边定理△BCF 和△DCE 全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明．本题主要考查正方形的四条边都相等和四个角都是直角的性质以及三角形全等的判定和全等三角形对应边相等的性质．24.本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）将点A 坐标代入直线解析式求得m 即可；（2）先求出点B 坐标，再分点C 在BA 延长线上和点C 在线段AB 上两种情况，利用相似三角形的判定与性质求出点C 的坐标即可． 25.……○…………外…………○…………装………………○…学校:___________姓名：____号：___________……○…………内…………○…………装………………○… （1）首先根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD ；又AB⊥AC，得出∠BAC=∠DCA=90°；再根据折叠的性质得出AE=AB ，∠EAO=∠BAO=90°，那么AE∥CD，AE=CD ，且∠EAC=90°，从而得到四边形ACDE 为矩形；（2）根据平行四边形与折叠的性质得出OE=OD ，再证明∠AOB=∠AOE=∠EOD=60°，从而证明△ODE 为等边三角形．本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、矩形的判定以及等边三角形的判定；解题的关键是牢固掌握平行四边形的性质、翻折变换的性质等知识点．26.本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解和解法．解题的关键是熟练掌握根的判别式，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键.（1）套入数据求出的值，再与0作比较，由于△=1＞0，从而证出方程有两个不相等的实数根；（2）将x=１代入原方程，得出关于k 的一元二次方程，解方程即可求出k 的值． 27. 解：（1）观察统计表知道：反对的频数为40，频率为0.8，故调查的人数为：40÷0.8=50人；无所谓的频数为：50-5-40=5人，赞成的频率为：1-0.1-0.8=0.1；看法频数频率赞成 5 0.1 无所谓 5 0.1 反对400.8统计图为：故答案为：5.0.1；（2）∵赞成的频率为：0.1，∴扇形图中“赞成”的圆心角是360°×0.1=36°；（3）0.8×3000=2400人，答：该校持“反对”态度的学生人数是2400人．（1）首先用反对的频数除以反对的频率得到调查的总人数，然后求无所谓的人数和赞成的频率即可；（2）赞成的圆心角等于赞成的频率乘以360°即可；（3）根据题意列式计算即可．本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息初中数学试卷第18页，共18页是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．。

北京四中九年级考数学试题及答案

1E DCBA初三数学统练试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1. 长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米.将6700 000用科学记数法表示应为（）A. 610×67B. 610×7.6C. 710×7.6D. 610×67.02. 如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n 与q 互为相反数，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（）A ．pB ．qC ．mD ．n3. 如左图是一个几何体的三视图，那么这几何体的展开图可以是（）4. 如图，△ABC 中，∠A =90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1=35°，则∠B 的度数为（）A . 25° B. 35° C. 55° D. 65°正左俯5.已知y x=3,则22yxyx的值为（）6. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）7. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的可估计为（）A．3000条 B．2200条 C．1200条 D．600条8. 若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30° B．60° C．90°D．120°9. 李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y (单位：米)与时间t (单位：分)的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是(用P点表示李阿姨家的位置) （）A． B． C． D．y/米t/分OPPP PA． B． C．D．10. 为了测量被池塘隔开的A, B两点之间的距离, 根据实际情况,作出如图图形, 其中AB⊥BE, EF⊥BE, AF交BE于D, C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：① BC, ∠ACB；② CD, ∠ACB,∠ADB；③ EF, DE, BD；④ DE, DC, BC．能根据所测数据, 求出A, B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.分解因式：2 x3-8 x = ．12．分式x−1x+1有意义的条件是___________.13．写出一个过点（1，-1），且当自变量0x 时y随x的增大而增大的函数表达式_____．14．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC=50cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为 cm.15．居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行B AO阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为元．16. 在数学课上，老师提出如下问题：小云的作法如下：老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是__三、解答题（本题共72 分，第17—26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）17. 计算：10)21(345cos 2)5(-+--︒+-π．18．已知2410x x +-=，求代数式22(2)(2)(2)x x x x +-+-+的值.19．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，点D 在BC 上，且BD =AC ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点B 作CB 的垂线，交DE 的延长线于点F ．求证：AB =DF ．20．已知关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.EDB OCA21.如图，一次函数y 1=﹣x +2的图象与反比例函数y 2=xk 的图象相交于A ，B 两点，点B 的坐标为（2m ，-m ）．（1）求出m 值并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x ＜m 时，y 2的取值范围．22. 列方程（组）解应用题：为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对地下污水排放设施进行改造．某施工队承担铺设地下排污管道任务共2200米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多10%，结果提前两天完成任务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．23.如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E .（1）求证：四边形ODEC 是矩形；（2）当∠ADB=60°，AD=时，求tan∠EAD的值.24. “世界那么大，我想去看看”是现代很多人追求的生活方式之一．根据北京市旅游发展委员会发布的信息显示， 2012——2015年连续四年，我市国内旅游市场保持了稳定向好的态势.2012年，旅游总人数约亿人次，同比增长%；2013年，旅游总人数约亿人次，同比增长9%；2014年，旅游总人数约亿人次，同比增长%；2015年，旅游总人数亿人次，同比增长%；预计2016年旅游总人数与2015年同比增长5%.旅游不仅是亲近自然的好时机，同时也是和家人朋友沟通的好时机，调查显示，中秋国庆黄金假期成为人们选择旅游最佳时期，《2015年中秋国庆长假出游趋势报告》显示，人们出行的方式可以归纳为四种，即乘火车、乘汽车、坐飞机、其他.其中选择乘火车出行的人数约占47%，选择乘汽车出行的人数约占28%，选择坐飞机出行的人数约占17%.根据以上信息解答下列问题：（1）预计2016年北京市旅游总人数约亿人次（保留两位小数）；（2）选择其他出行方式的人数约占；（3）请用统计图或统计表，将2012——2015年北京市旅游总人数表示出来.25．如图，CE是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交CE延长线于点A，连接DE，过点O作OB ED∥，交AD的延长线于点B，连接BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若2=AE，tan∠DEO=，求AO的长．26．探究活动：利用函数(1)(2)y x x=--的图象(如图1)和性质，探究函数y=质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x的取值范围是___________；（2）如图2，小东列表描出了函数y=-1 O 1 2 3 4 x y21图2O1212y x图1（31(1)(2)04x x x b ---=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <．若12b <<1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为（用“<”连接）．27．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．28.在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC、PE．如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记ACBC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形（请直接写出k的值，不必说明理由）29. 我们规定：平面内点x 到图形x 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离x ，点x 到图形x 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离x ，定义点x 到图形x 的距离跨度为R =x −x 。

2018-2019学年度北京四中新高一新生入学分班考试数学试卷-含解析

2018-2019学年北京四中新高一入学分班考试数学试题一、选择题（每题2分，共30分）1.如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主=a2，S左=a2+a，则S俯=()A. a2+aB. 2a2C. a2+2a+1D. 2a2+a第1题图第2题图2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为()A. 85°B. 75°C. 65°D. 60°3.如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP.射线BP即为所求．下列正确的是()DE的长A. a，b均无限制B. a>0，b>12DE的长C. a有最小限制，b无限制D. a≥0，b<12=8×10×12，则k=()4.若(92−1)(112−1)kA. 12B. 10C. 8D. 65. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )A. 1，4，5B. 2，3，5C. 3，4，5D. 2，2，4第5题图第6题图6. 如图，现要在抛物线y =x(4−x)上找点P(a,b)，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲：若b =5，则点P 的个数为0；乙：若b =4，则点P 的个数为1；丙：若b =3，则点P 的个数为1．下列判断正确的是( )A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对7. 已知P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)是抛物线y =ax 2−2ax 上的点，下列命题正确的是( )A. 若|x 1−1|>|x 2−1|，则y 1>y 2B. 若|x 1−1|>|x 2−1|，则y 1<y 2C. 若|x 1−1|=|x 2−1|，则y 1=y 2D. 若y 1=y 2，则x 1=x 28. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是x =1，下列结论：①abc >0；②b 2−4ac >0；③8a +c <0；④5a +b +2c >0，正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9. 如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )A. π×(82)2x =π×(62)2×(x −5)B. π×(82)2x =π×(62)2×(x +5) C. π×82x =π×62×(x +5) D. π×82x =π×62×510.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0，c>1)经过点(2,0)，其对称轴是直线x=12.有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；③a<−12．其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 311.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为()A. 1013√13 B. 913√13 C. 813√13 D. 713√13第11题图第12题图第13题图12.如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为()A. B. C. D.13.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为()A. 6B. 12C. 18D. 2414.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为()A. 2√5B. 5C. 4√5D. 1015.如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°.点D为弦AC的中点，点E为BC⏜上任意一点．则∠CED的大小可能是()A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°二、填空题（每题2分，共28分）16.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：(1)阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；(2)阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；(3)阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为______．17.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．18.如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F.若∠ABD=∠ACD=30°，AD=1，则EF⏜的长为______(结果保留π)．19.如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作T m(m为1～8的整(x<0)的图象为曲线L．数).函数y=kx(1)若L过点T1，则k=______；(2)若L过点T4，则它必定还过另一点T m，则m=______；(3)若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有______个．第19题图第20题图20.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．21.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)22.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．第22题图第23题图23.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．24.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB=5．3(Ⅰ)线段AC的长等于______．(Ⅱ)以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明)______．25.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC⏜于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为______．第25题图第26题图26.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R 处．请完成下列探究：(1)∠PAQ的大小为______°；(2)当四边形APCD是平行四边形时，AB的值为______．QR27.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的2，则摆摊的营业额将达到75，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份月份总营业额的720总营业额之比是______．28.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为______．第28题图第29题图29.我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A(2,1)到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为______．三、解答题（本大题共8小题，共42分）30.已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2.以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线心，以12BC交O1O2于点C．(1)求证：BC是⊙O2的切线；(2)若r1=2，r2=1，O1O2=6，求阴影部分的面积．31.如图(1)放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B=∠E=30°)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图(2)，AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC=DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？32.如图，甲、乙两人(看成点)分别在数轴−3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．(1)经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；(2)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；(3)从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．33.已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数；(2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．34.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．35.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．(1)求证：∠BAC=2∠ABD；(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；(3)当AD=2，CD=3时，求边BC的长．36.已知抛物线y=ax2−2ax−3+2a2(a≠0)．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；(3)设点P(m,y1)，Q(3,y2)在抛物线上，若y1<y2，求m的取值范围．37.如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．(1)求证：AF=EF；(2)求MN+NG的最小值；(3)当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵S主=a2=a⋅a,S左=a2+a=a(a+1)，∴俯视图的长为a+1，宽为a，=a⋅(a+1)=a2+a，∴S俯故选：A．由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．2.【答案】B【解析】解：如图所示，∵∠BCD=60°，∠BCA=45°，∴∠ACD=∠BCD−∠BCA=60°−45°=15°，∠α=180°−∠D−∠ACD=180°−90°−15°=75°，故选：B．先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3.【答案】B【解析】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于1DE，否则没有交点，2故选：B．根据角平分线的画法判断即可．本题考查作图−基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．4.【答案】B【解析】解：方程两边都乘以k，得(92−1)(112−1)=8×10×12k，∴(9+1)(9−1)(11+1)(11−1)=8×10×12k，∴80×120=8×10×12k，∴k=10．经检验k=10是原方程的解．故选：B．根据平方差公式和分式方程的解法，即可得到k的值．此题考查了平方差公式和解分式方程，熟练掌握平方差公式和解分式方程的方法是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是√1×√42=√42，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是√2×√32=√62；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是√2×√22=√42，∵√62>√42，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．根据题意可知，三块三角形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．6.【答案】C【解析】解：y=x(4−x)=−x2+4x=−(x−2)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(2,4)，∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C．求出抛物线的顶点坐标为(2,4)，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；=1，可得b=−2a，∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，∴4a−2×(−2a)+c<0，即8a+c<0，故③正确；由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．9.【答案】B【解析】解：依题意，得：π×(82)2x =π×(62)2×(x +5)．故选：B ．根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10.【答案】C【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x =12，而点(2,0)关于直线x =12的对称点的坐标为(−1,0)，∵c >1，∵抛物线开口向下，∴a <0，∵抛物线对称轴为直线x =12，∴−b 2a =12，∴b =−a >0，∴abc <0，故①错误；∵抛物线开口向下，与x 轴有两个交点，∴顶点在x 轴的上方，∵a <0，∴抛物线与直线y =a 有两个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c =a 有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(2,0)，∴4a +2b +c =0，∵b =−a ，∴4a −2a +c =0，即2a +c =0，∴−2a =c ，∵c >1，∴−2a>1，∴a<−12，故③正确，故选：C．由题意得到抛物线的开口向下，对称轴−b2a =12，b=−a，判断a，b与0的关系，得到abc<0，即可判断①；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0)以及b=−a，得到4a−2a+c=0，即可判断③．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点．11.【答案】D【解析】解：由勾股定理得：AC=√22+32=√13，∵S△ABC=3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，∴12AC⋅BD=72，∴√13⋅BD=7，∴BD=7√1313，故选：D．根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：如图1所示：当0<x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH=√32EJ=√32x，∴y=12EJ⋅GH=√34x2．当x=2时，y=√3，且抛物线的开口向上．如图2所示：2<x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y=12FJ⋅GH=√34(4−x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．分为0<x≤2、2<x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．13.【答案】B【解析】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．∵AN//FM，AF=FE，∴MN=ME，∴FM=12AN，∵A，F在反比例函数的图象上，∴S△AON=S△FOM=k2，∴12⋅ON⋅AN=12⋅OM⋅FM，∴ON=12OM，∴ON=MN=EM，∴ME=13OE，∴S△FME=13S△FOE，∵AD平分∠OAE，∴∠OAD=∠EAD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，∴AE//BD，∴S△ABE=S△AOE，∴S△AOE=18，∵AF=EF，∴S△EOF=12S△AOE=9，∴S△FME=13S△EOF=3，∴S△FOM=S△FOE−S△FME=9−3=6=k2，∴k=12．故选：B．如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.证明BD//AE，推出S△ABE=S△AOE=18，推出S△EOF=12S△AOE=9，可得S△FME=13S△EOF=3，由此即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD//AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14.【答案】A【解析】解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE//BC，∴AE=CE，∴DE=12BC，∵DF⊥BC，∴DF//AH，DF⊥DE，∴BF=HF，∴DF=12AH，∵△DFE的面积为1，∴12DE⋅DF=1，∴DE⋅DF=2，∴BC⋅AH=2DE⋅2DF=4×2=8，∴AB⋅AC=8，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=12AC，∴AB⋅2AB=8，∴AB=2(负值舍去)，∴AC=4，∴BC=√AB2+AC2=2√5．故选：A．过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=12BC，求得DF=12AH，根据三角形的面积公式得到DE⋅DF=2，得到AB⋅AC=8，求得AB=2(负值舍去)，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15.【答案】C【解析】解：连接OD、OE，∵OC=OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦的中点，∴∠DOC=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°−x，∠DOE=100°−x+40°，∵OC=OE，∠COE=100°−x，∴∠OEC=∠OCE=40°+12x，∵OD<OE，∠DOE=100°−x+40°=140°−x，∴∠OED<20°+12x，∴∠CED=∠OEC−∠OED=(40°+12x)−(20°+12x)>20°，∵∠CED<∠ABC=40°，∴20°<∠CED<40°故选：C．连接OD、OE，设∠BOE=x，则∠COE=100°−x，∠DOE=100°−x+40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DEO和∠CEO，即可求出答案．本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠OEC和∠OED的度数是解此题的关键．16.【答案】6【解析】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，依题意，得：{a>bb>4 a<8，∵a，b均为整数∴4<b<7，∴b最大可以取6．故答案为：6．设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．17.【答案】27【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，∵(b−a)2=3a2−2ab+b2=3，∴15−2ab=32ab=12，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27，故答案为：27．根据题意得出a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，然后利用完全平方公式的变形求出(a+b)2即可．本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．18.【答案】12π【解析】解：在△ABD与△CBD中，{AB=CB AD=CD BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠CDB，CD=AD=1，∴∠ABC=60°，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，∴BD⊥AC，且AO=CO，∴∠ACB=90°−30°=60°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°，∴BD=2CD=2，在Rt△COD中，∵∠ACD=30°，∴OD=12CD=12，∴OB=BD−OD=2−12=32，∴EF⏜的长为：60π⋅3 2180=12π，故答案为12π．利用SSS证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可得出∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠CDB，CD=AD=1，即可求得∠ABC=60°，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD⊥AC，且AO=CO，进一步求得∠ACB=60°，即可求得∠BCD=90°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得OB，然后根据弧长公式求得即可．本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键．19.【答案】−16 5 7【解析】解：(1)∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1(−16,1)，T2(−14,2)，T3(−12,3)，T4(−10,4)，T5(−8,5)，T6(−6,6)，T7(−4,7)，T8(−2,8)，∵L过点T1，∴k=−16×1=−16，故答案为：−16；(2)∵L过点T4，∴k=−10×4=−40，∴反比例函数解析式为：y=−40x，当x=−8时，y=5，∴T5在反比例函数图象上，∴m=5，故答案为：5；(3)若曲线L过点T1(−16,1)，T8(−2,8)时，k=−16，若曲线L过点T2(−14,2)，T7(−4,7)时，k=−14×2=−28，若曲线L过点T3(−12,3)，T5(−8,5)时，k=−12×3=−36，若曲线L过点T4(−10,4)，T5(−8,5)时，k=−40，∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴−36<k<−28，∴整数k=−35，−34，−33，−32，−31，−30，−29共7个，∴答案为：7．(1)由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；(2)将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解；(3)由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．20.【答案】4√33厘米或4√3厘米或8−4√3【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√33；②当∠AEB=30°时，AE=ABtan30∘=√33=4√3；③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=xsin60∘=2√3x3，∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√33，∴x+2√3x3=4√33，∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．21.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】30=120°，【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6所以∠ABC=120°−90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．23.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，MN=2，∴BE=12∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】√13取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求【解析】解：(Ⅰ)线段AC的长等于√32+22=√13；(Ⅱ)如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．(Ⅰ)利用网格根据勾股定理即可求出线段AC的长；(Ⅱ)取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，即可得点P，Q．本题考查了作图−复杂作图、勾股定理、圆周角定理、轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．25.【答案】6√2+π3【解析】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C=CD′，由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，∴∠COD′=90°，∴CD′=√OC2+OD′2=√22+22=2√2，CD⏜的长l=30π×2180=π3，∴阴影部分周长的最小值为2√2+π3=6√2+π3．故答案为：6√2+π3．利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．26.【答案】30 √3【解析】解：(1)由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，∵∠QRA+∠QRP=180°，∴∠D+∠C=180°，∴AD//BC，∴∠B+∠DAB=180°，∵∠DQR+∠CQR=180°，∴∠DQA+∠CQP=90°，∴∠AQP=90°，∴∠B=∠AQP=90°，∴∠DAB=90°，∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，故答案为：30；(2)由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR，∵四边形APCD是平行四边形，∴AD=PC，∴AR=PR，又∵∠AQP=90°，AP，∴QR=12∵∠PAB=30°，∠B=90°，∴AP=2PB，AB=√3PB，∴PB=QR，=√3，∴ABQR故答案为：√3．(1)由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD//BC，由平行线的性质可得∠DAB= 90°，即可求解；(2)由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB=√3PB，即可求解．。

2018年10用北京四中初三上月考数学试题及答案

（5）直接写出关于 x 的不等式 x2 + mx + 3 0 的解集．
20. （5 分）2014 年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016 年建成，现已成为青岛北部一个重要的旅游景点，为了测量古城“潮海”门的高度，在数学课外实践活动中，小明分别在如图所示的 A，B 两点处，利用测角仪对“潮海” 门的最高点 C 进行了测量，测得∠A=30°，∠CBD=45°，若 AB=22 米，求“潮海”门的最高点 C 到地面的高度为多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：
3 （第 7 题图）
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2018-2019 学年度第一学期北京四中初三数学统一练习（一）
7. 二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) 的图象如图所示，给出下列结论：
① abc 0 ； ② 2a + b = 0 ； ③ a − b + c 0 ；④ b2 − 4ac 0 ．
（1）求这个二次函数的解析式．（2）连接 BC，求线段 BC 的长．（3）若点 P 在 x 轴上，且△PBC 为等腰三角形，
请直接写出符合条件的所有点 P 的坐标．
23. （10 分）抛物线 y = − 1 x2 + 2 x +1 的顶点为 D，它与 x 轴交于 A，B 两点（点 33
A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．（1）求点 A,B,C,D 的坐标；（2）求直线 BC 的解析式；（3）求△BCD 的面积；（4）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使△PBC 面积为 1？若存在，
m 的取值范围是（
A． − 25 m 3 4
C． −2 m 3
）
B． − 25 m 2 4

北京四中2019-2020学年初三上开学测试数学试题及答案

北京四中2019-2020学年初三上开学测试数学试题及答案（考试时间为100分钟，试卷满分为120分）班级学号_________ 姓名分数________A 卷（共100分）一、选择题（本题共24分，每小题3分）1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）. A ．2,3,2 B ．6,8,10 C ．4,5,6 D ．5,10,12 B2. 在□ABCD 中，如果∠A +∠C ＝140°，那么∠C 等于（）. A. 20° B. 40° C. 60° D. 70°D3．用配方法解方程0242=+-x x ，下列变形正确的是（）. A ．2)2(2=-x B ．2)4(2=-x C ．0)2(2=-x D ．1)4(2=-x A4. 由下面条件不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是( ). A ．AB ∥CD ，AD =BC B ．AB =CD ，AB ∥CD C ．AB ∥CD ，AD ∥BC D ．AB =CD ，AD =BCA5. 如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，BD =AB ，BM ⊥AD 于点M ，N 是AC 的中点，连接MN ，若AB =5，BC =8，则MN 的长为( ). A ．6 B ．3 C ．1.5 D ．1 C6. 某排球队12名队员的年龄情况如下：则这12NMD CB AA.19，20B.20，20C.20，20.5D.23，20.5 B7．如图，△ABC 为等腰三角形，如果把它沿底边BC 翻折后，得到△DBC ，那么四边形ABDC 为( ).A ．一般平行四边形B ．正方形C ．矩形D ．菱形D8. 已知，一次函数b kx y +=的图象如右，下列结论正确的是（）. A. 0>k ，0>b B . 0>k ，0<b C. 0<k ，0>b D. 0<k ，0<b B二、填空题（本题共25分，第9～15题每小题3分，第16题49．一元二次方程022=-x x 的根是 . 0,210.已知菱形的两条对角线长分别是10和12，则菱形的面积是 . 6011．如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，如果四边形ABCD 的面积为8，那么BE 的长为 .12.如图，矩形ABCD 的对角线AC 的长为6，∠AOD =120°，则AB 的长为 . 313.受冷空气影响，今年我市入春时间晚于常年，据气象部门观测，4月1日到4月5日这五天，每天的平均气温（单位：℃）依次为：10，9，10，8，ABCDABC DbODCB A8，则这组数据的方差为 . 0.814.如图，在矩形ABCD 中，E 是DC 上一点，AE =AB ，AB =2AD ，则∠EBC 的度数是．15°15．已知整数x 满足y 1=x+1，y 2= -2x+4,对任意一个x ，m 都取y 1 、y 2中的最大值，则m 的最小值是． 216. 在平面直角坐标系xOy 中, 正方形A 1B 1C 1O 、 A 2B 2C 2B 1、A 3B 3C 3B 2, …,按右图所示的方式放置. 点A 1、A 2、A 3, …和 B 1、B 2、B 3, …分别在直线y =kx +b 和x 轴上. 已知C 1C 2(23,27-), 则点A 3的坐标是 ;点A n 的坐标是 . 17. 解方程 0262=--x x .解： 262=-x x ………………………1分2223236+=+-x x()1132=-x ………………………3分113±=-x …………………4分 113±=x∴1131+=x ，1132-=x ． …………5分18. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边BC AD 上的点，且12∠=∠.求证：AE=CF .-----------------------------------6分-----------------------------------5分 -----------------------------------2分证明：∵□ABCD ∴AB=CD ，∠B=∠D 在△ABE 和△DCF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AB 21D B∴△ABE ≅△DCF ∴AE=CF19. 已知25140m m --=，求()()()212111m m m ---++的值．解：()()()212111m m m ---++=22221(21)1m m m m m --+-+++ ………………………2分 =22221211m m m m m --+---+ ………………… 3分 =251m m -+． ………………………………… 4分当2514m m -=时，原式=2(5)114115m m -+=+=. …………… 6分20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处.(1)求AB 的长和点C 的坐标； (2)求直线CD 的解析式．解：(1)根据题意得(6,0)A ，(0,8)B .在Rt △OAB 中，∠AOB =90︒，OA =6，OB =8， ∴10AB .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分∵ △DAB 沿直线AD 折叠后的对应三角形为△DAC ， ∴ AC=AB=10.∴ 16OC OA AC OA AB =+=+=. ∵ 点C 在x 轴的正半轴上，∴ 点C 的坐标为(16,0)C .﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 (2)设点D 的坐标为(0,)D y .（y <0）由题意可知CD=BD ，22CD BD =.由勾股定理得22216(8)y y +=-. 解得12y =-.∴ 点D 的坐标为(0,12)D -.﹍﹍﹍﹍﹍4分可设直线CD 的解析式为 12y kx =-.（k ≠ 0）∵ 点(16,0)C 在直线12y kx =-上，∴ 16120k -=. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分解得34k =.∴ 直线CD 的解析式为3124y x =-.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分 21.已知ABC △的两边AB 、AC 的长分别是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5. （1）当k 为何值时，ABC △是直角三角形；（2）当k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求出ABC △的周长. 解：（1）解方程22(23)320x k x k k -++++=， ∵1∆=，∴无论k 取何值，方程均有实数根11x k =+，22x k =+.………2分不妨设12AB k AC k =+=+， ∵第三边5BC =，∴当ABC △为直角三角形时，分两种情况： ①当5BC =是斜边时，有222AB AC BC +=，即22(1)(2)25k k +++=。

2018-2019学年北京市第四中学初三第一学期统一练习(二) 数学试卷(含答案)

北京四中2018-2019 学年度第一学期初三数学统一练习（二）数学试卷一、选择题（每小题2分，满分16分）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．23．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣4，﹣4）D．（﹣3，﹣4）4．如图，AC是⊙O的直径，B，D是圆上两点，连接AB，BC，AD，BD．若∠CAB＝55°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°5．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．16．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟8．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB 上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7二、填空题（每题2分，共16分）9．已知锐角α满足tanα＝，则α＝°．10．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是．11．请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣1）的二次函数表达式．12．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为．13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐那么BC＝．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题17．（5分）计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．18．（5分）如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，求tan C 的值．19．（5分）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与y轴的交点坐标是，顶点坐标是．2y的取值范围是．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF，请画出△DEF．（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为，点B的对应点E的坐标为．21．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．22．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB＝6，AC＝，BD＝2，求AE的长．23．（5分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．（5分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．25．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE＝∠PEC；（2）若AB＝10，ED＝，sin A＝，求PC的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；（3）若抛物线C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．（8分）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段P A绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．（1）当α＝90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的一个三角形是，∠ACQ＝°．（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q 两点即为同族点．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，为点A的同族点的是；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为；（2）直线l：y＝x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x＝n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题1．解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴对称轴为直线x＝1，故选：A．2．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，∴AC＝＝2；∴tan A＝＝；故选：C．3．解：由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3），故选A．4．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠ACB＝35°，∴∠ADB＝∠ACB＝35°．故选：C．5．解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．6．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：C．7．解：根据题意，将（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p＝at2+bt+c，得：，解得：，即p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，当t＝﹣＝3.75时，p取得最大值，故选：B．8．解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），故点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．二、填空题（每题2分，共16分）9．解：∵tanα＝，∴α＝30°．故答案为：30．10．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠DCE＝75°，∴∠BAD＝∠DCE＝75°，故答案为：75°．11．解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣1），∴a＜0，c＝﹣1，∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x﹣1（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2x﹣1（答案不唯一）．12．解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为1：16，故答案为：1：16．13．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠F AE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．14．解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，图象开口向下，函数与x轴的一个交点式（﹣1，0），由对称轴x＝1，推出函数与x轴另外一个交点为（3，0），当y＞0时，x的取值范围是为﹣3＜x＜1，故答案是﹣3＜x＜1．15．解：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN＝2.5，∴BC＝2MN＝5．故答案为5．16．解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠P AB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠P AN＝90°，∴∠ABM＝∠P AN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1三、解答题17．解：原式＝×﹣4×（）2+×＝﹣3+＝．18．解：∵△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AB＝2BD，∴BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝15﹣6＝9，∴AD＝，∴tan C＝．即tan C的值是．19．解：（1）令x＝0，则y＝﹣3．所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交点的坐标为（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（0，﹣3），（1，﹣4）；2；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．故答案为：当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．20．解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；（2）由（1）得：点A的对应点D的坐标为：（1，3），点B的对应点E的坐标为：（2，1）．故答案为：（1，3），（2，1）．21．解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．22．（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED．∵∠AEC+∠CED＝180°＝∠BDA+∠CDE，∴∠AEC＝∠BDA．又∵∠DAC＝∠B，∴△ABD∽△CAE．（2）∵△ABD∽△CAE，∴＝，∴AE＝•BD＝×2＝．23．解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x ＝150，∴AD ＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD 约为240米． 24．解：（1）本题答案不唯一，如：以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图所示． ∴A （﹣4，0），B （4，0），C （0，6）．设这条抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣4）（x +4）． ∵抛物线经过点C ， ∴﹣16a ＝6．∴a ＝﹣∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+6，（﹣4≤x ≤4）．（2）当x ＝1时，y ＝，∵4.4+0.5＝4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．25．解：（1）∵PC 是圆O 的切线， ∴∠PCA ＝∠B ．∵AB 是圆O 的直径， ∴∠ACB ＝90°． ∴∠A +∠B ＝90°． ∵PD ⊥AB ，∴∠A +∠AED ＝90°． ∴∠AED ＝∠B ． ∵∠PEC ＝∠AED ， ∴∠PCE ＝∠PEC ．（2）如图所示，过点P 作PF ⊥AC ，垂足为F ．∵AB ＝10，sin A ＝，∴BC ＝AB •＝6．∴AC ＝＝8．∵DE ＝，sin A ＝，∴AE ＝．∴EC ＝AC ﹣AE ＝8﹣＝．∵PC ＝PE ，PF ⊥EC ，∴EF ＝．∵∠AED ＝∠PEF ，∠EDA ＝∠EFP ， ∴△AED ∽△PEF ．∴，．解得：EP ＝．∴PC ＝．26．解：（1）把A （0，3）代入y ＝mx 2﹣2mx +m +4得m +4＝3，解得m ＝﹣1，所以抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）当y ＝0时，﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，所以B （﹣1，0）；（3）抛物线C 2：y ＝a （x ﹣1）2﹣1（a ≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），因为抛物线C 2与线段AB 恰有一个公共点，则开口向上，当抛物线C 2与线段AB 的公共点为B 点时，a 最小，把B （﹣1，0）代入y ＝a （x ﹣1）2﹣1得4a ﹣1＝0，解得a ＝；当抛物线C 2与线段AB 的公共点为A 点时，a 最大，把A （0，3）代入y ＝a （x ﹣1）2﹣1得a ﹣1＝3，解得a ＝4，所以a的取值范围为≤a≤4．27．【解答】解：（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF＝∠BFP＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，∴AF＝CP，由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，∴∠QPC＝45°﹣∠APF，又∵∠P AF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，∴∠P AF＝∠QPC，∴△APF≌△PQC（SAS）∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，又∵∠ACB＝45°，∴∠ACQ＝90°，故答案为：△PQC，90；（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，又∵AB＝BC，∴AF＝CP，又∵∠F AP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，∴∠F AP＝∠CPQ，由旋转可得，P A＝PQ，∴△AFP≌△PCQ（SAS），∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，∴∴；（3）如图，当P在CB的延长线上时，∵∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC（SAS），∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，∴QC＝AC＝BC＝2；如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQ P，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠AP A，∴AC＝PC，且AQ＝PQ，CQ＝CQ∴△ACQ≌△PCQ（SSS）∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．综上所述，线段CQ的长为2或8．28．解：（1）①∵点A的坐标为（﹣3，1），∴3+1＝4，点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，0+4＝4，2+2＝4，2+3＝5，∴点A的同族点的是R，S；故答案为：R，S；②∵点B在x轴上，∴点B的纵坐标为0，设B（x，0），则|x|＝4，∴x＝±4，∴B（﹣4，0）或（4，0）；故答案为：（﹣4，0）或（4，0）；（2）①由题意，直线y＝x﹣3与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，﹣3）．点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），则有：x≥0，y≤0，且y＝x﹣3．点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，则|x|+|y|＝x﹣y＝3．∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．即点N在右图中所示的正方形CDEF上．∵点E的坐标为（﹣3，0），点N在直线x＝n上，∴﹣3≤n≤3．②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，∵PN＝，∠PCN＝∠CPN＝45°，∴PC＝2，∴OP＝1，观察图形可知，当m≥1时，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N 两点为同族点，再根据对称性可知，m≤﹣1也满足条件，∴满足条件的m的范围：m≤﹣1或m≥1．。

2018-2019学年北京四中九年级(上)期中数学试卷(二)

位于（）
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、四象限
D．第三、四象限
3．（3 分）已知点 A（x﹣2，3）与点 B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则 yx 的值
是（）
A．2
B．
C．4
D．8
4．（3 分）若 x=﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x2+ ax﹣a2=0 的一个根，则 a 的值
为（）
B．2 月至 12 月
C．1 月
D．1 月、2 月和 12 月
9．（3 分）关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0 有两个不相等
的正实数根，则 m 的取值范围是（）
A．m＞
B．m＞且 m≠2 C．﹣ ＜m＜2 D．＜m＜2
10．（4 分）抛物线 y=﹣2（x﹣1）2 的图象上有三个点 A（﹣1，y1），B（1，y2），
（1）小明发现 DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG
坐标是
．
16．（3 分）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为 y=﹣ x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上
距水面 AB 高为 8 米的点 E，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离Fra bibliotekEF 是
米．（精确到 1 米）
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三、简答题（共 8 个题，共 78 分） 17．（8 分）解方程（1）x2﹣2x﹣8=0（用因式分解法）（2）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2． 18．（8 分）.已知抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且过点 C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）证明：该抛物线恒在直线 y=﹣2x+1 上方． 19．（8 分）已知二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的图象经过 A（2，0），B（0，﹣6）两

2018-2019学年北京四中九年级(上)期中数学模拟试卷(一)含答案解析

2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学模拟试卷（一）一、选择题1．（3分）（2018秋•开封期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x25B．3x2+4xy﹣y2＝0C．ax2+bx+c＝0D．2x2+x+1＝02．（3分）（2018秋•西城区校级期中）已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4＝0的一个解，则a 的值是（）A．1B．2C．3D．43．（3分）（2019•赤峰一模）如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞B．a C．a且a≠0D．a＞且a≠0 4．（3分）（2007•内江）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6 5．（4分）（2018秋•西城区校级期中）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（）A．﹣4B．0C．4D．26．（3分）（2010•河南）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A 的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a．﹣b﹣1）C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）7．（4分）（2017•曾都区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，且∠OBC＝45°，则下列各式成立的是（）A．b﹣c﹣1＝0B．b+c﹣1＝0C．b﹣c+1＝0D．b+c+1＝08．（3分）（2014•重庆）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是（）A．22B．24C．26D．289．（3分）（2017秋•武昌区期中）如图，△ABD内接于圆O，∠BAD＝60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB＝2，PD＝4，则AD的长为（）A．2B．2C．2D．410．（3分）（2017秋•武昌区期中）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，将AB绕着点A逆时针旋转m°（0＜m＜360）至AD，连BD，CD，且△DBC为等腰三角形，设△DBC的面积为s，则s的值有（）个．A．2B．3C．4．D．5二、填空题11．（3分）（2016秋•揭西县期末）如果x：y＝2：3，那么．12．（3分）（2018秋•西城区校级期中）有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是．13．（3分）（2016秋•南开区期末）在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）弧AC的长为（结果保留π）；（2）点B与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的连线所对应的格点的坐标为．14．（4分）（2013春•崇川区校级期末）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得．15．（4分）（2015秋•平武县期末）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是．16．（4分）（2018秋•西城区校级期中）当x＝时，代数式2x2+8x﹣3的最（“大”或者“小”）值为．三、解答题17．（8分）（2016秋•吴江区期末）解方程：x2﹣2x＝8．18．（8分）（2018秋•富顺县期中）.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且过点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）证明：该抛物线恒在直线y＝﹣2x+1上方．19．（8分）（2014•南宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使△P AB的周长最小，请画出△P AB，并直接写出P的坐标．20．（11分）（2011•怀化）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB＝5cm，CD＝10cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积．21．（12分）（2018秋•西城区校级期中）已知⊙O的半径为5，EF是长为8的弦，OG⊥EF 于点G，点A在GO的延长线上，且AO＝13．弦EF从图1的位置开始绕点O逆时针旋转，在旋转过程中始终保持OG⊥EF，如图2．[发现]在旋转过程中，（1）AG的最小值是，最大值是．（2）当EF∥AO时，旋转角α＝．[探究]若EF绕点O逆时针旋转120°，如图3，求AG的长．[拓展]如图4，当AE切⊙O于点E，AG交EO于点C，GH⊥AE于H．（1）求AE的长．（2）此时EH＝，EC＝．2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2018秋•开封期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x25B．3x2+4xy﹣y2＝0C．ax2+bx+c＝0D．2x2+x+1＝0【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项错误；B、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程中当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误；D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选：D．2．（3分）（2018秋•西城区校级期中）已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4＝0的一个解，则a 的值是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣2ax+4＝0的一个根，∴4﹣4a+4＝0，解得a＝2．故选：B．3．（3分）（2019•赤峰一模）如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞B．a C．a且a≠0D．a＞且a≠0【解答】解：依题意列方程组，解得a且a≠0．故选C．4．（3分）（2007•内江）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，配方得（x﹣2）2＝2．故选：A．5．（4分）（2018秋•西城区校级期中）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（）A．﹣4B．0C．4D．2【解答】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，∴α+β＝﹣1，α•β＝﹣2，∴（α﹣2）（β﹣2）＝α•β﹣2（α+β）+4＝﹣2﹣2×（﹣1）+4＝4．故选：C．6．（3分）（2010•河南）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A 的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a．﹣b﹣1）C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）【解答】解：把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为（a，b+1）．因A1、A2关于原点对称，所以A′对应点A2（﹣a，﹣b﹣1）．∴A′（﹣a，﹣b﹣2）．故选：D．7．（4分）（2017•曾都区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，且∠OBC＝45°，则下列各式成立的是（）A．b﹣c﹣1＝0B．b+c﹣1＝0C．b﹣c+1＝0D．b+c+1＝0【解答】解：∵∠OBC＝45°，∴OB＝OC，∴点C，B的坐标为（0，c），（c，0）；把点B（c，0）代入二次函数y＝x2+bx+c，得c2+bc+c＝0，即c（c+b+1）＝0，∵c≠0，∴b+c+1＝0．故选：D．8．（3分）（2014•重庆）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是（）A．22B．24C．26D．28【解答】解：第一个图形有2+6×0＝2个三角形；第二个图形有2+6×1＝8个三角形；第三个图形有2+6×2＝14个三角形；…第五个图形有2+6×4＝26个三角形；故选：C．9．（3分）（2017秋•武昌区期中）如图，△ABD内接于圆O，∠BAD＝60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB＝2，PD＝4，则AD的长为（）A．2B．2C．2D．4【解答】解：连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∵∠BED＝∠BAD＝60°，∴∠EDB＝30°，∴DE＝2BE，∵PB＝2，PD＝4，则BD＝6，sin60°，∴DE＝4，则OA＝OD＝2，∵，，∴，又∵∠ODP＝∠BDE，∴△ODP∽△BDE，∴∠POD＝∠PBE＝90°，∴AD2＝OA2+OD2＝24，∴AD＝2，故选：B．10．（3分）（2017秋•武昌区期中）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，将AB绕着点A逆时针旋转m°（0＜m＜360）至AD，连BD，CD，且△DBC为等腰三角形，设△DBC的面积为s，则s的值有（）个．A．2B．3C．4．D．5【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣30°）＝75°．如图：分四种情况，由图可知m的取值为：30°，120°，210°，300°．故△DBC的面积s的值有3个，故选：B．二、填空题11．（3分）（2016秋•揭西县期末）如果x：y＝2：3，那么．【解答】解：∵x：y＝2：3，∴设x＝2k，y＝3k（k≠0），则．故答案为：．12．（3分）（2018秋•西城区校级期中）有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是2．【解答】解：∵边长为4的正方形，∴正方形的对角线长为4，∴要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是2，故答案为：213．（3分）（2016秋•南开区期末）在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）弧AC的长为π（结果保留π）；（2）点B与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的连线所对应的格点的坐标为（5，1）或（1，3）或（7，0）．【解答】解：（1）根据过格点A，B，C作一圆弧，由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∴半径DB，连接AD，CD，则∠ADC＝90°，∴弧AC的长π，故答案为：π；（2）∵由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∴只有∠O′BF＝∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF＝BD＝2，∴F点的坐标为：（5，1）或（1，3）或（7，0），则点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（5，1）或（1，3）或（7，0），共3个．故答案为：（5，1）或（1，3）或（7，0）．14．（4分）（2013春•崇川区校级期末）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得x（x﹣1）＝45．【解答】解：由题意列方程得，x（x﹣1）＝45．故答案为：x（x﹣1）＝45．15．（4分）（2015秋•平武县期末）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2．【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2．故答案为：y＝3（x﹣1）2﹣2．16．（4分）（2018秋•西城区校级期中）当x＝2时，代数式2x2+8x﹣3的最小（“大”或者“小”）值为﹣11．【解答】解：∵2x2+8x﹣3＝2（x+2）2﹣11∴当x＝2时，代数式2x2+8x﹣3的最小值为﹣11故答案为：2，小，﹣11三、解答题17．（8分）（2016秋•吴江区期末）解方程：x2﹣2x＝8．【解答】解：方程整理得：x2﹣2x﹣8＝0，因式分解得：（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2．18．（8分）（2018秋•富顺县期中）.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且过点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）证明：该抛物线恒在直线y＝﹣2x+1上方．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，∴2，得，b＝﹣4，∵抛物线y＝x2+bx+c过点C（0，3），∴c＝3，∴此抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）证明：设y1＝x2﹣4x+3，y2＝﹣2x+1，则y1﹣y2＝（x2﹣4x+3）﹣（﹣2x+1）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，∴y1＞y2，∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x+1上方．19．（8分）（2014•南宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使△P AB的周长最小，请画出△P AB，并直接写出P的坐标．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）△P AB如图所示，P（2，0）．20．（11分）（2011•怀化）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB＝5cm，CD＝10cm，设OE＝x，求x值及阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC又∵OF⊥AC∴OF∥BC（2）证明：∵AB⊥CD∴∴∠CAB＝∠BCD又∵∠AFO＝∠CEB＝90°，OF＝BE，∴△AFO≌△CEB（3）解：连接DO．设OE＝x，∵AB⊥CD∴CE CD＝5cm．在△OCB中，OC＝OB＝x+5（cm），根据勾股定理可得：（x+5）2＝（5）2+x2解得：x＝5，即OE＝5cm，∴tan∠COE，∴∠COE＝60°∴∠COD＝120°，∴扇形COD的面积是：cm2△COD的面积是：CD•OE105＝25cm2∴阴影部分的面积是：（25）cm2．21．（12分）（2018秋•西城区校级期中）已知⊙O的半径为5，EF是长为8的弦，OG⊥EF 于点G，点A在GO的延长线上，且AO＝13．弦EF从图1的位置开始绕点O逆时针旋转，在旋转过程中始终保持OG⊥EF，如图2．[发现]在旋转过程中，（1）AG的最小值是10，最大值是16．（2）当EF∥AO时，旋转角α＝90°或270°．[探究]若EF绕点O逆时针旋转120°，如图3，求AG的长．[拓展]如图4，当AE切⊙O于点E，AG交EO于点C，GH⊥AE于H．（1）求AE的长．（2）此时EH＝，EC＝．【解答】解：发现：（1）如图1，连接OE，∵OG⊥EF，∴EG EF＝4，在Rt△EOG中，OE＝5，根据勾股定理得，OG＝3，由旋转知，点G的轨迹是以点O为圆心，OG＝3为半径的圆，∴AG最大＝OA+OG＝13+3＝16，AG最小＝OA﹣OG＝13﹣3＝10，故答案为：10，16；（2）∵OG⊥EF，EF∥OA，∴OG⊥OA，∴旋转角α＝90°或270°，故答案为90°或270°；探究：如图3，过点G作GQ⊥OA于Q，在Rt△OQG中，∠GOQ＝180°﹣120°＝60°，OG＝3，∴OQ，GQ，∴AQ＝OA﹣OQ＝13，在Rt△AQG中，AG；拓展：（1）∵AE切⊙O于E，∴∠OEA＝90°，在Rt△AEO中，AE12；（2）如图4，过点G作GP⊥OE于P，∵HG⊥AE，OE⊥AE，∴四边形EHGP是矩形，∴HG＝EP，EH＝PG，∵∠OGE＝∠OPG＝90°，∠GOE＝∠POG，∴△OGE∽△OPG，∴∴，∴OP，PG，∴EH，HG＝PE＝OE﹣OP＝5，∵OE⊥AE，HG⊥AE，∴CE∥HG，∴△AEC∽△AHG，∴，∴，∴CE，故答案为：，．。

2018-2019学年北京四中九年级(上)第二次月考数学试卷(解析版)

2018-2019学年北京四中九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．23．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣4，﹣4）D．（﹣3，﹣4）4．如图，AC是⊙O的直径，B，D是圆上两点，连接AB，BC，AD，BD．若∠CAB＝55°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°5．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．16．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟8．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7二、填空题（每题2分，共16分）9．已知锐角α满足tanα＝，则α＝°．10．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD 的度数是．11．请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣1）的二次函数表达式．12．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为．13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB ＝4，AD＝3，则CF的长为．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么当y＞0时，x的取值范围是．15．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN＝2.5，那么BC＝．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．18．如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，求tan C的值．19．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与y轴的交点坐标是，顶点坐标是．（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF，请画出△DEF．（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为，点B的对应点E的坐标为．21．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．22．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB＝6，AC＝，BD＝2，求AE的长．23．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE＝∠PEC；（2）若AB＝10，ED＝，sin A＝，求PC的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；（3）若抛物线C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．（1）当α＝90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的一个三角形是，∠ACQ＝°．（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ 的长．28．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q 两点即为同族点．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，为点A的同族点的是；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为；（2）直线l：y＝x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x＝n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．2018-2019学年北京四中九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴对称轴为直线x＝1，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．2【分析】首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tan A 的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，∴AC＝＝2；∴tan A＝＝；故选：C．【点评】本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．3．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣4，﹣4）D．（﹣3，﹣4）【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．【解答】解：由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3），故选A．【点评】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．4．如图，AC是⊙O的直径，B，D是圆上两点，连接AB，BC，AD，BD．若∠CAB＝55°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°【分析】根据直径得出∠ABC＝90°，求出∠ACB的度数，由圆周角定理即可推出∠ADB 的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠ACB＝35°，∴∠ADB＝∠ACB＝35°．故选：C．【点评】本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角．5．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【分析】根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可得．【解答】解：根据题意，将（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p＝at2+bt+c，得：，解得：，即p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，当t＝﹣＝3.75时，p取得最大值，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．8．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．【解答】解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），故点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．二、填空题（每题2分，共16分）9．已知锐角α满足tanα＝，则α＝30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴α＝30°．故答案为：30．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD 的度数是75°．【分析】直接利用圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解可得．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠DCE＝75°，∴∠BAD＝∠DCE＝75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．11．请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣1）的二次函数表达式y ＝﹣x2+2x﹣1（答案不唯一）．【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式．【解答】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣1），∴a＜0，c＝﹣1，∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x﹣1（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2x﹣1（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c＝﹣1是解题关键．12．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为1：16．【分析】根据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答即可．【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为1：16，故答案为：1：16．【点评】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答．13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF＝•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠FAE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF＝2AF是解题的关键．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．【分析】从表格看出，函数的对称轴为x＝1，图象开口向下，函数与x轴的一个交点式（﹣1，0），由对称轴x＝1，推出函数与x轴另外一个交点为（3，0）即可求解．【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，图象开口向下，函数与x轴的一个交点式（﹣1，0），由对称轴x＝1，推出函数与x轴另外一个交点为（3，0），当y＞0时，x的取值范围是为﹣3＜x＜1，故答案是﹣3＜x＜1．【点评】本题考查的是函数与坐标轴的交点，此类题目首先要找到对称轴的位置，再找到与x轴的交点，即可求解．15．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN＝2.5，那么BC＝5．【分析】只要证明MN为三角形ABC中位线，利用中位线定理求出BC的长即可．【解答】解：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN＝2.5，∴BC＝2MN＝5．故答案为5．【点评】此题考查了垂径定理，以及三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB ⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为1．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．【解答】解：原式＝×﹣4×（）2+×＝﹣3+＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．18．如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，求tan C的值．【分析】根据在△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tan C的值．【解答】解：∵△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AB＝2BD，∴BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝15﹣6＝9，∴AD＝，∴tan C＝．即tan C的值是．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．19．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与y轴的交点坐标是（0，﹣3），顶点坐标是（1，﹣4）．（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．【分析】（1）令x＝0，根据y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与y轴的交点，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣3．所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交点的坐标为（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（0，﹣3），（1，﹣4）；（2）列表：图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．故答案为：当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF，请画出△DEF．（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为（1，3），点B的对应点E的坐标为（2，1）．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出答案；（2）利用（1）中所画图形得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；（2）由（1）得：点A的对应点D的坐标为：（1，3），点B的对应点E的坐标为：（2，1）．故答案为：（1，3），（2，1）．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．21．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．22．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB＝6，AC＝，BD＝2，求AE的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得出∠CDE＝∠CED，由等角的补角相等可得出∠AEC＝∠BDA，结合∠DAC＝∠B，即可证出△ABD∽△CAE；（2）根据相似三角形的性质可得出＝，代入AB、AC、BD的值即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED．∵∠AEC+∠CED＝180°＝∠BDA+∠CDE，∴∠AEC＝∠BDA．又∵∠DAC＝∠B，∴△ABD∽△CAE．（2）∵△ABD∽△CAE，∴＝，∴AE＝•BD＝×2＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ABD ∽△CAE是解题的关键．23．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】根据已知条件求出BD＝AD，设DC＝x，得出AD＝90+x，再根据tan58°＝，求出x的值，即可得出AD的值．【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x＝150，∴AD＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．24．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．（1）求出x＝1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．设这条抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）（x+4）．∵抛物线经过点C，∴﹣16a＝6．∴a＝﹣∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．（2）当x＝1时，y＝，∵4.4+0.5＝4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．【点评】本题考查二次函数的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE＝∠PEC；（2）若AB＝10，ED＝，sin A＝，求PC的长．【分析】（1）由弦切角定理可知∠PCA＝∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB＝90°．由同角的余角相等可知∠AED＝∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE＝∠PEC；（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC＝8，AE＝，由等腰三角形三线合一的性质可知EF＝，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．【解答】解：（1）∵PC是圆O的切线，∴∠PCA＝∠B．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠A+∠B＝90°．∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED＝90°．∴∠AED＝∠B．∵∠PEC＝∠AED，∴∠PCE＝∠PEC．（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．∵AB＝10，sin A＝，∴BC＝AB•＝6．∴AC ＝＝8．∵DE ＝，sin A ＝，∴AE ＝．∴EC ＝AC ﹣AE ＝8﹣＝．∵PC ＝PE ，PF ⊥EC ，∴EF ＝． ∵∠AED ＝∠PEF ，∠EDA ＝∠EFP ，∴△AED ∽△PEF ．∴，．解得：EP ＝．∴PC ＝．【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△AED ∽△PEF 是解题的关键．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y ＝mx 2﹣2mx +m +4与y 轴交于点A （0，3），与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 左侧）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点B 的坐标；（3）若抛物线C 2：y ＝a （x ﹣1）2﹣1（a ≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【分析】（1）直接把点A的坐标代入y＝mx2﹣2mx+m+4得m+4＝3，然后求出m的值即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2+2x+3＝0可得到B点坐标；（3）抛物线y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），则开口向上，根据二次函数的性质，抛物线C2与线段AB的公共点为B点时，a最小；当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时，a最大，然后把A、B两点的坐标分别代入计算出对应的a的值，从而可确定a的取值范围．【解答】解：（1）把A（0，3）代入y＝mx2﹣2mx+m+4得m+4＝3，解得m＝﹣1，所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以B（﹣1，0）；（3）抛物线C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），因为抛物线C2与线段AB恰有一个公共点，则开口向上，当抛物线C2与线段AB的公共点为B点时，a最小，把B（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得4a﹣1＝0，解得a＝；当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时，a最大，把A（0，3）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得a﹣1＝3，解得a＝4，所以a的取值范围为≤a≤4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．27．在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．（1）当α＝90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的一个三角形是△PQC，∠ACQ＝90°．（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ 的长．【分析】（1）依据条件判定△APF≌△PQC，可得∠PCQ＝∠AFP＝135°，依据∠ACB ＝45°，可得∠ACQ＝90°；（2）过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，判定△AFP≌△PCQ，可得FP＝CQ，再根据△ABC∽△FBP，可得，进而得出；（3）分两种情况进行讨论：点P在CB的延长线上，点P在BC的延长线上，分别依据全等三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，即可得到线段CQ的长．【解答】解：（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF＝∠BFP＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，∴AF＝CP，由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，∴∠QPC＝45°﹣∠APF，又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，∴∠PAF＝∠QPC，∴△APF≌△PQC（SAS）∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，又∵∠ACB＝45°，∴∠ACQ＝90°，故答案为：△PQC，90；（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，又∵AB＝BC，∴AF＝CP，又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，∴∠FAP＝∠CPQ，由旋转可得，PA＝PQ，∴△AFP≌△PCQ（SAS），∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，∴∴；（3）如图，当P在CB的延长线上时，∵∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC（SAS），∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，∴QC＝AC＝BC＝2；如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠APA，∴AC＝PC，且AQ＝PQ，CQ＝CQ∴△ACQ≌△PCQ（SSS）∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．综上所述，线段CQ的长为2或8．【点评】本题考查了三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算．28．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q 两点即为同族点．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，为点A的同族点的是R，S；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为（﹣4，0）或（4，0）；（2）直线l：y＝x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x＝n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．【分析】（1）①把各点的横纵坐标的绝对值相加，得4，则是A的同族点；②因为点B在x轴上，所以设B（x，0），则|x|＝4，可得结论；（2）①首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值3，然后画出图形即可解决问题；②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，求出此时P的坐标，即可判断；【解答】解：（1）①∵点A的坐标为（﹣3，1），∴3+1＝4，点R（0，4），S（2，2），T（2，﹣3）中，0+4＝4，2+2＝4，2+3＝5，∴点A的同族点的是R，S；故答案为：R，S；②∵点B在x轴上，∴点B的纵坐标为0，设B（x，0），则|x|＝4，∴x＝±4，∴B（﹣4，0）或（4，0）；故答案为：（﹣4，0）或（4，0）；（2）①由题意，直线y＝x﹣3与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，﹣3）．点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），。

北京四中2018-2019 学年度第一学期初三数学统一练习(一) 数学试卷

数学试卷（满分：100 分时间：120 分钟）姓名：班级：一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，AC =8，则 sin A等于（）．A ． 3 5B ． 4 5C ． 3 4D ．4 32. 已知∠A 是锐角，且cos A = 1，那么∠A 的度数为（）．2A ．60°B ．45°C ．30°D ．无法确定 3. 抛物线 y = 2(x +1)2 - 3 的顶点坐标为（）．A ． (1, 3)B ． (1，-3)C ． (-1，-3) D ． (-1, 3)4. 二次函数 y = x 2 - 2x +1与 x 轴的公共点个数是（）．A ．0B ．1C ．2D ．35. 把抛物线 y = x 2 +1向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线解析式为（）．A ． y = (x + 3)2-1 C ． y = (x - 3)2-1 B ． y = (x + 3)2+ 3 D ． y = (x - 3)2 + 36. 某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C 观测水平雪道一端 A 处的俯角为，另一端 B 处的俯角为．若直升机镜头 C 处的高度 CD 为 300 米，点 A ,D ,B 在同一直线上，则雪道 AB 的长度为（）．A ．300 米B ．150 米C ．900 米D ． (300 3+300) 米（第 6 题图）（第7 题图） x =1327. 二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，给出下列结论：① abc > 0 ； ② 2a + b = 0 ； ③ a - b + c > 0 ；④ b 2 - 4ac > 0 ．其中正确结论的个数是（）． A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个8. 已知二次函数 y = -x 2 + x + 6 及一次函数 y = -x + m ，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线 y = -x + m 与新图象有 4 个交点时， m 的取值范围是（）A ． - 25 < m < 34 C ． -2 < m < 3B ． -25< m < 2 4 D ． -6 < m < -2二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9. 在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AB =2，则 BC 的长为．10.在 Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A = 4，则 tan A = ．511.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则 tan ∠AOB 的值为．12.已知函数满足下列两个条件：①当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大；②它的图象经过点(0, 2) ．请写出一个符合上述条件的函数的表达式 .14.已知：二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表格所示，那么它的图象与 x 轴另一个交点的坐标是．15.如图所示的抛物线是二次函数 y = ax 2 - 3x + a 2 -1的图象，那么a 的值是．（第 16 题图）16.如图，在四边形 ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，tan A = 43CD = ．三、解答题17. （5分）计算： 2cos 60 + 4sin 60 ⋅ tan 30-cos 45 .18. （5分）如图，已知在△ABC 中，∠B =45°，19. （10 分）抛物线 y = x 2 + mx + 3 经过点 P (-1, 0)．（1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）画出该抛物线的图象；（4）直接写出关于 x 的方程 x 2 + mx + 3=0 的两个根；（5）直接写出关于 x 的不等式 x 2 + mx + 3 > 0 的解集．20. （5 分）2014 年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016 年建成，现已成为青岛北部一个重要的旅游景点，为了测量古城“潮海”门的高度，在数学课外实践活动中，小明分别在如图所示的 A ，B 两点处，利用测角仪对“潮海” 门的最高点 C 进行了测量，测得∠A =30°，∠CBD =45°，若 AB =22 米，求“潮海”门的最高点 C 到地面的高度为多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：≈1.7）3 D21. （5 分）已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，点 D 在边 AC 上，若∠ADB =45°，tan C = 1，AD =10．2(1)求 CD 的长；(2)求 tan ∠DBC 的值．22. （8分）如图，二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与x 轴交于A ,B 两点（点A 在点B的右侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(2, 0) ，点C 的坐标为(0, 4) ，它的对称轴是直线 x = -1．（1）求这个二次函数的解析式．（2）连接 BC ，求线段 BC 的长．（3）若点 P 在 x 轴上，且△PBC 为等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点 P 的坐标．23. （10 分）抛物线 y = - 1 x 2 + 2x +1 的顶点为 D ，它与 x 轴交于 A ，B 两点（点3 3A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点C ．（1）求点 A ,B ,C ,D 的坐标；（2）求直线 BC 的解析式；（3）求△BCD 的面积；（4）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 P ，使△PBC 面积为 1？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图，在平面直角坐标系x Oy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）；25.（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =1x2 -x + 2 与y 轴交于点A，2顶点为点B，点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称．(1)求直线BC 的解析式；(2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D）记为图象G，若图象G 向下平移t（t > 0 ）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．26.（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE =α，点B关于CE的对称点为点D，连接AD,BD,CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M,N.（1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM,CN 之间的数量关系，并证明．。

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数学试卷（考试时间为100分钟，试卷满分为120分）班级学号_________ 姓名分数________A 卷（共100分）一、选择题（本题共24分，每小题3分）1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）.A ．2,3,2B ．6,8,10C ．4,5,6D ．5,10,12 B2. 在□ABCD 中，如果∠A +∠C ＝140°，那么∠C 等于（）. A. 20° B. 40° C. 60° D. 70° D3．用配方法解方程0242=+-x x ，下列变形正确的是（）. A ．2)2(2=-x B ．2)4(2=-x C ．0)2(2=-x D ．1)4(2=-x A4. 由下面条件不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是( ). A ．AB ∥CD ，AD =BC B ．AB =CD ，AB ∥CD C ．AB ∥CD ，AD ∥BC D ．AB =CD ，AD =BC A5. 如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，BD =AB ，BM ⊥AD 于点M ，N 是AC 的中点，连接MN ，若AB =5，BC =8，则MN 的长为( ). A ．6 B ．3 C ．1.5 D ．1 C6. 某排球队12名队员的年龄情况如下：则这12名队员年龄的众数和中位数是( ).A.19，20B.20，20C.20，20.5D.23，20.5NMDCBA7．如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为( ).A．一般平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形D8. 已知，一次函数bkxy+=A. 0>k，0>b B. 0>k，0<bC. 0<k，0>b D. 0<k，0<bB二、填空题（本题共25分，第9～15题每小题3分，第16题4分）9．一元二次方程022=-xx的根是.0,210.已知菱形的两条对角线长分别是10和12，则菱形的面积是.6011．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，如果四边形ABCD的面积为8，那么BE的长为.12.如图，矩形ABCD的对角线AC的长为6，∠AOD=120°，则AB的长为.313.受冷空气影响，今年我市入春时间晚于常年，据气象部门观测，4月1日到4月5日这五天，北京每天的平均气温（单位：℃）依次为：10，9，10，8，8，则这组数据的方差为.ABCDABCDEbODCBA14.如图，在矩形ABCD 中，E 是DC 上一点，AE =AB ，AB =2AD ，则∠EBC 的度数是．15°15．已知整数x 满足y 1=x+1，y 2= -2x+4,对任意一个x ，m 都取y 1 、y 2中的最大值，则m 的最小值是． 216. 在平面直角坐标系xOy 中, 正方形A 1B 1C 1O 、 A 2B 2C 2B 1、A 3B 3C 3B 2, …,按右图所示的方式放置. 点A 1、A 2、A 3, …和 B 1、B 2、B 3分别在直线y =kx +b 和x 轴上. 已知C 1 C 2(23,27-), 则点A 3的坐标是 ;点A n 的坐标是 . 17. 解方程 0262=--x x . 解： 262=-x x ………………………1分2223236+=+-x x()1132=-x ………………………3分113±=-x …………………4分 113±=x∴1131+=x ，1132-=x ． …………5分18. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边AD 上的点，且12∠=∠.求证：AE=CF .-----------------------------------6分-----------------------------------5分 -----------------------------------2分证明：∵□ABCD∴AB=CD ，∠B=∠D 在△ABE 和△DCF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AB 21D B∴△ABE ≅△DCF ∴AE=CF19. 已知25140m m --=，求()()()212111m m m ---++的值．解：()()()212111m m m ---++=22221(21)1m m m m m --+-+++ ………………………2分 =22221211m m m m m --+---+ ………………… 3分 =251m m -+． ………………………………… 4分当2514m m -=时，原式=2(5)114115m m -+=+=. …………… 6分20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处.(1)求AB 的长和点C 的坐标； (2)求直线CD 的解析式．解：(1)根据题意得(6,0)A ，(0,8)B .在Rt △OAB 中，∠AOB =90︒，OA =6，OB =8， ∴10AB =.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分∵ △DAB 沿直线AD 折叠后的对应三角形为△DAC ， ∴ AC=AB=10.∴ 16OC OA AC OA AB =+=+=. ∵ 点C 在x 轴的正半轴上，∴ 点C 的坐标为(16,0)C .﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 (2)设点D 的坐标为(0,)D y .（y <0）由题意可知CD=BD ，22CD BD =.由勾股定理得22216(8)y y +=-. 解得12y =-.∴ 点D 的坐标为(0,12)D -.﹍﹍﹍﹍﹍4分可设直线CD 的解析式为 12y kx =-.（k ≠ 0）∵ 点(16,0)C 在直线12y kx =-上，∴ 16120k -=. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分解得34k =.∴ 直线CD 的解析式为3124y x =-.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分 21.已知ABC △的两边AB 、AC 的长分别是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5. （1）当k 为何值时，ABC △是直角三角形；（2）当k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求出ABC △的周长. 解：（1）解方程22(23)320x k x k k -++++=， ∵1∆=，∴无论k 取何值，方程均有实数根11x k =+，22x k =+.………2分不妨设12AB k AC k =+=+，∵第三边5BC =，∴当ABC △为直角三角形时，分两种情况：①当5BC =是斜边时，有222AB AC BC +=，即22(1)(2)25k k +++=。

解得1225k k ==-，（舍去）.………………………3分②当AC 为斜边时，有222AB BC AC += 即22(1)5(2)k k 2++=+.解得11k =.……………………………………4分所以，当2k =和11时，ABC △为直角三角形。

……5分（2）∵12AB k AC k =+=+，，5BC = ∴当ABC △是等腰三角形时，有两种情况 ①5AC BC ==时，25k +=，∴3k =∴ABC △的周长为55114k +++=……………………………6分②5AB BC ==时，15k +=，∴4k =.∴ABC △的周长为55216k +++=.……………7分故当3k =和4时，ABC △是等腰三角形， ABC △的周长分别是14和16.……………8分四、解答题（本题5分）22. 如图，正方形ABCD 的两条对角线把正方形ABCD 分割成四个全等的等腰直角三角形，将它们分别沿正方形ABCD 的边翻折，可得到一个面积是原正方形ABCD 面积2倍的新正方形EFGH .请你仿照示例在图1，图2，图3中完成：将矩形分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，分别得到面积是原矩形面积2倍的三个新的四边形：菱形、矩形、一般的平行四边形.22.解：如图所示，图1为得到的是菱形. …………………1分图2为得到的是矩形. …………………3分图3为得到的是一般的平行四边形. …5分图3图2图1五、解答题（本题共15分，23题7分，24题8分）23. 如图①，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .（1）求证：DE －BF ＝EF ；（2）若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）；（3）若AB =2a ，点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论.解：（1）证明：O C D F EH GBA 图1图2图3∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AG ，DE ⊥AG ∴DA=AB ，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90° ∴∠BAF=∠ADE 1分 ∴△ABF ≌△DAE 2分 ∴BF=AE ，AF=DE ∴DE-BF=AF-AE=EF 3分（2）如图②，DE+BF=EF 5分（3）EF=2FG∵AB=2a ，点G 为BC 边中点 ∴BG=a由勾股定理可求a AG 5= 又∵AB ⊥BC ，BF ⊥AC ∴由等积法可求a BF 552=由勾股定理可求a FG 55=，a AF 554= a BF AE 552== a EF 552=∴ ∴EF=2FG 7分24 如图，在平面直角坐标系中，直线1(0)2y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B、两点．点(40)C ，、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2C F C D =．设矩形CDEF 与ABO △重叠部分的面积为S ．（1）求点E 、F 的坐标；（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线1(0)2y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC∠等于90，请直接．．写出b 的取值范围．解：（1）∵(40)C ，，(80)D ，， ∴(8)E ，2，(4)F ，2．………………………2分（2）由题意，可知(2)A b ，0，(0)B b ，图1图3图4①当0<b ≤2时，如图1，0S =．……………………………………………3分 ②当2<b ≤4时，如图2，设AB 交CF 于G ，24AC b =-，2CG b =-． ∴()()12422S b b =--，即244S b b =-+，……………………………5分③当4<b ≤6时，如图3，4DH b =-，6EH b =-，122EG b =-， ∴()()12412262S b b =⨯---，即21228S b b =-+-，……………6分 ④当b >6时，如图4，8S =．………………………………………………7分（3）0b <1+． ………………………………………………………8分B 卷（共20分）一、填空题（本题6分）1．如图，正方形ABCO 放在平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，A 、C 两点分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（-4，4）．已知点E 、点F 分别从点A 、B 同时出发，点E 以每秒2个单位长度的速度在线段AB 上来回运动．点F 沿B →C →O 方向，以每秒1个单位长度的速度向点O 运动，当点F 到达点O 时，E 、F 两点都停止运动．在E 、F 的运动过程中，存在某个时刻，使得△OEF 的面积为6．则点E 的坐标为 . ．解：设时间为t 秒①当0＜t≤2时，AE=2t ，BE=4-2t ，BF=t ，FC=4-t ，CD=4，s △OEF=s 正方形OABC-S △AEO-S △BEF-S △OCF=16-4t-2（4-t ）-t （2-t ）=t2-4t+8，∵s △OEF=6，即t2-4t+8=6，解得0＜t≤2，∴此时，点E 的坐标为（-4，4-2）；②当2＜t≤4时，AE=8-2t ，BE=2t-4，BF=t ，FC=4-t ，CD=4，s △OEF=s 正方形OABC-S △AEO-S △BEF-S △OCF=16-4（4-t ）-2（4-t ）-t （t-2）=-t2+8t-8，∵s △OEF=6，即-t2+8t-8=6，解得或，又∵2＜t≤4，∴．此时，点E 的坐标为（-4，）；③当4＜t ＜8时，FC=t-4，OF=8-t ， s △OEF=2×(8−t)=16-2t ，∵s △OEF=6，即16-2t=6，解得t=5，此时，点E 的坐标为（-4，2）；故点E 的坐标为（-4，），（-4，2），（-4，2）．二、解答题（本题14分，每题7分）2.在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED 的长．解：（1）猜想：EA 1=FC 证法一：∵AB=BC ∴∠A=∠C由旋转可知，AB=BC 1，∠A=∠C 1，∠ABE=∠C1BF ∴△AABE ≌△ClBF （ASA ） ∴BE=BF 又∵BA 1=BC ∴BA 1-BE=BC-BF 即EA 1=FC ；（2）四边形BC 1DA 是菱形ADBECF 1A1CADBECF 1A1CABCOxyA BCOxy y xOPDCBA证明：∵∠A 1=∠ABA 1=30° ∴A 1C 1∥AB 同理AC//BC 1∴四边形BC 1DA 是平行四边形又∴AB=BC l∴四边形BC 1DA 是菱形；（3）过点E 作EGG ．则AG=BG=1 在RtAEG 中，由（2）知四边形BC l DA 是菱形∴AD=AB=2∴； 3. 如图，矩形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，点B 的坐标是)1,3(，点D 是AB 边上一个动点（与点A 不重合），沿OD 将△OAD 翻折，点A 落在点 P 处．（1）若点P 在一次函数21y x =-的图象上，求点P 的坐标；（2）若点P 满足△PCB 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）当线段OD 与PC 所在直线垂直时，在PC 所在直线上作出一点M ，使DM+BM 最小，并求出这个最小值．（第3题图）（第3题备用图1）（第3题备用图2）解：（1） ∵∴BC=OA=OP=1，∵点P 在一次函数y=2x-1的图象上， ∴设P （x ，2x-1），如图（1），过P 作PH ⊥x 轴于H ，在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1，∴x2+（2x-1）2 =1，解得x1=4/5，x2=0（不合题意，舍去）∴P（4/5，3/5）；（2）连接P、PC，①若PB=PC，则P在BC中垂线y=1/2上，∴设P（x，1/2），如图（2），过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=1/2，OH=x，OP=1，∴x2+=1解得∴②若BP=BC，则BP=1，连接OB，∵OP=1，∴OP+PB=2，∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB=∴OP+PB=OB，∴O、P、B三点共线，P为OB中点，③若CP=CB，则CP=1，∴PO=PC，则P在OC中垂线上，∴设，过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，∴y2+=1，解得：y1=1/2，y2=-1/2 时，∴当点时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意，（3）如图（3），∵△OAD沿OD翻折，点A落在点P处，∴OD垂直平分AP，∵PC⊥OD，∴A、P、C三点共线，在Rt△AOD中，∠OAD=90°，OA=1，又可得：∠AOD=30°，∴AD=AO ·tan30°=，∴作点B关于直线AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于点N，连接DB′，DB′与AC交点为M，此点为所求点，∵∠ACB′- ∠ACB=60°，∠ACO=30°，∴∠B′CO=30°，∵B′C=BC=1，∴在Rt△B′ND中，∠B′ND=90°，B′N=3/2，DN=AN-AD =∴∴DM+ BM的最小值为。