2020年4月高考数学大数据精选模拟卷02(上海卷)(解析版)
2020年4月普通高考数学(上海卷)全真模拟卷(2)(解析版)
2020年4月普通高考（上海卷）全真模拟卷（2）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共12个小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{}|22xB x =<，则A B =I ________.【答案】(0,1) 【解析】由()2x f x =在R 上为增函数，所以122221x x x <⇒<⇒<， ∴{}|22xB x =<＝{x |x <1}， ∴A B =I (0,1)， 故答案为：(0,1)． 2．复数21iz =+（i 为虚数单位），则||z =________.【解析】 由题意可得,()()()2121111i z i i i i -===-++-, 由共轭复数定义知,1z i =+, 所以由复数模的定义知,z ==故答案为3．已知7(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于280，则实数a =________. 【答案】2 【解析】∵（1+ax ）７的展开式为 T r +1rC =７•（ax ）r ，令r ＝3，可得含x 3项的系数等于a 3•3C =７280， 解得 a ＝2， 故答案为：2．4．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________． 【答案】18 【解析】根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为2112333318.C C C C +=故答案为：18.5．设1m >，当实数,x y 满足不等式组{21y xy x x y ≥≤+≤时，目标函数z x my =+的最大值等于3，则m 的值是__________． 【答案】4 【解析】画出不等式组{21y xy x x y ≥≤+≤表示的平面区域如上图，结合图形可以看出：当动直线11y x z m m=-+经过点12(,)33P 时，在y 轴上的截距1z m 最大，其最大值为max 12333z m =+=，解之得4m =，应填答案4。
2020年上海市松江区高考数学(4月份)模拟测试试卷 含解析
2020年高考数学卷（4月份）模拟试卷一、选择题（共21小题）1．若复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．5D．52．已知向量＝（1，m），＝（2，5）若⊥，则实数m＝（）A．1B．C．D．﹣3．已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥1D．a≤14．已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．25．已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（）A．最小值是2B．最小值是C．最大值是2D．最大值是6．“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（）A．1B．2C．4D．9．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A．y＝﹣x﹣1B．y＝C．y＝x|x|D．y＝2x+2﹣x10．给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A．0B．1C．2D．311．已知（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．12．下列命题中是假命题的是（）A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβD．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减13．函数的大致图象为（）A．B．C．D．14．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（）A．2（km）B．（km）C．（km）D．3（km）15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+12＝2S n+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为T n，则＝（）A．0B．C．1D．216．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（）A．4B．8C．10D．1617．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜…＜x n，则x1+2x2+…+2x n﹣1+x n＝（）A．2πB．πC．4πD．π18．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（）A．﹣2B．0C．2D．419．已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f （2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣11B．k≥﹣11C．k≤1D．k≥1120．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（）A．B．1C．2D．﹣221．若数列{b n}的每一项都是数列{a n}中的项，则称{b n}是{a n}的子数列．已知两个无穷数列{a n}、{b n}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{b n}是{a n}的子数列，则满足条件的数列{b n}的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个参考答案一.本试卷共21题，第1～15题每题6分，第16～21题每题10分，满分150分1．若复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．5D．5【分析】先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．解：∵复数z＝＝＝2+i；∴|z|＝＝；故选：B．2．已知向量＝（1，m），＝（2，5）若⊥，则实数m＝（）A．1B．C．D．﹣【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量＝（1，m），＝（2，5），⊥，∴＝2+5m＝0，解得实数m＝﹣．故选：D．3．已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥1D．a≤1【分析】根据A∪B＝{x|x≤2}即可得出B＝{x|a≤x≤2}，进而得出a≤1．解：∵，A∪B＝{x|x≤2}，∴B＝{x|a≤x≤2}，∴a≤1．故选：D．4．已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．2【分析】有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．解：有题意可得：a＝2，且+＝1，可得：a2＝4，b2＝1，c2＝a2﹣b2＝4﹣1＝3，所以c＝，所以焦距2c＝2，故选：C．5．已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（）A．最小值是2B．最小值是C．最大值是2D．最大值是【分析】由实数a＞0，b＞0，且ab＝2，得到＝a+b≥，由此能求出行列式的最小值．解：∵实数a＞0，b＞0，且ab＝2，∴＝a+b≥＝2，当且仅当a＝b时，取等号，∴行列式的最小值是2．故选：B．6．“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由k2﹣1＝0，解得k，即可判断出关系．解：由k2﹣1＝0，解得k＝±1．经过验证，k＝±1都满足条件．∴“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，，∴，得∠BAC1＝60°．即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．故选：C．8．样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（）A．1B．2C．4D．【分析】根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．解：数据a，1，2，3，4的平均数是×（a+1+2+3+4）＝2，解得a＝0；所以该组数据的方差是s2＝×[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，标准差是s＝．故选：D．9．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A．y＝﹣x﹣1B．y＝C．y＝x|x|D．y＝2x+2﹣x【分析】结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．解：A：y＝﹣x﹣1在定义域内（0，+∞）∪（﹣∞，0）内不单调，不符合题意；B：y＝在定义域R上先减后增，不符合题意；C：y＝x|x|＝在定义域R上单调递增，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f （x），为奇函数，符合题意；D：因为y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意．故选：C．10．给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．解：①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；②依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；④垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．11．已知（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】先根据条件得到a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．解：因为（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：＝21种；所取的两数之和为偶数的有：+＝9；∴所取的两数之和为偶数的概率为：＝．故选：B．12．下列命题中是假命题的是（）A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβD．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减【分析】直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．解：对于选项A：当φ＝（k∈Z）时f（x）＝±sin2x，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当α＝β＝0时，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ＝0，故该命题为真命题．对于选项D：由于α＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2≥2，所以函数y＝xα在x∈（0，+∞）单调递增，故不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．13．函数的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，可以排除A，进而分析x→+∞时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．解：根据题意，，有≠0，则有x≠±1，即函数的定义域为{x|x ≠±1}，又由f（﹣x）＝log2||＝﹣log2||＝﹣f（x），即函数为奇函数，排除A；又由当x→+∞时，||→1，则f（x）→0，排除BD；故选：C．14．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（）A．2（km）B．（km）C．（km）D．3（km）【分析】由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．解：AB＝1，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝120°，∴BE＝＝＝，DE＝＝＝；△ACE中，由余弦定理得：BD2＝BE2+DE2﹣2×BE×DE×cos∠BED＝3+3﹣2×××（﹣）＝9，所以BD＝3；所以AC＝＝＝，即两山顶A，C之间的距离为km．故选：C．15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+12＝2S n+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为T n，则＝（）A．0B．C．1D．2【分析】本题由a n+12＝2S n+n+1，可得a n2＝2S n﹣1+n，（n≥2）两式相减，进一步转化计算可得a n+1＝a n+1，则数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列{a n}的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n 项和T n，最后计算出极限的值．解：依题意，由a n+12＝2S n+n+1，可得：a n2＝2S n﹣1+n，（n≥2）两式相减，可得：a n+12﹣a n2＝2S n+n+1﹣2S n﹣1﹣n＝2a n+1，∴a n+12＝a n2+2a n+1＝（a n+1）2，∵a n+1＞0，a n+1＞0，∴a n+1＝a n+1，∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）•1＝n，n∈N*．∴＝＝﹣，则T n＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，∴则＝＝1．故选：C．16．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（）A．4B．8C．10D．16【分析】可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到OD ⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出•，，从而便可得出的值．解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：OD⊥AC，OE⊥AB；∴•＝＝，•＝＝；∴•＝•（﹣）＝•﹣＝﹣＝8．故选：B．17．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜…＜x n，则x1+2x2+…+2x n﹣1+x n＝（）A．2πB．πC．4πD．π【分析】求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．解：令2x+＝+kπ得x＝+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T＝π，x∈[0，]，∴f（x）在x∈[0，]上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；x1，x2关于对称，x2，x3关于对称…∴x1+x2＝2×，x2+x3＝2×，x3+x4＝2×，…，x4+x5＝2×，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝2×（+++）＝．故选：D．18．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（）A．﹣2B．0C．2D．4【分析】由x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，利用对应系数相等知x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，再由x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3），能求出结果．解：∵x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，由对应系数相等知：x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，∴x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3）＝4﹣6＝﹣2．故选：A．19．已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f （2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣11B．k≥﹣11C．k≤1D．k≥11【分析】运用f（x）的图象关于（0，a）对称，求得a＝﹣12，由题意可得k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，运用指数函数的单调性求得t的范围，设h（t）＝8t2﹣12t+3，求得其最大值，可得k的范围．解：由y＝3x+为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得f（x）的图象关于（0，a）对称，函数关于点（0，﹣12）对称，可得a＝﹣12，对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，即k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，由x∈[﹣1，1]，可得t∈[，2]，设h（t）＝8t2﹣12t+3＝8（t﹣）2﹣，当t＝2时，h（t）取得最大值11，则k的取值范围是k≥11，故选：D．20．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（）A．B．1C．2D．﹣2【分析】把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B在抛物线上化简k PA•k PB，即可得到k PA•k PB＝2．解：由点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，可得2p＝4，∴p＝2，∴抛物线方程为：y2＝4x，由已知得Q（﹣1，﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），联立方程，消去x得：ky2﹣4y+4k﹣8＝0，∴，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，∴＝＝，k PB＝＝，∴k PA•k PB＝•＝＝＝2，故选：C．21．若数列{b n}的每一项都是数列{a n}中的项，则称{b n}是{a n}的子数列．已知两个无穷数列{a n}、{b n}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{b n}是{a n}的子数列，则满足条件的数列{b n}的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个【分析】由{b n}是{}的子数列，可设b1＝，，公比q＝，又因为S＝＝可得k，m得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．解：设（k≥1，k∈N+），公比q＝（m＞0），则b1q n＝.＝（k，p∈N+）对任意的n∈N+都成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1．m＝3时，S＝，此时b1＝，即，成立．当m＝5时，S＝，此时b1＝，∵不是数列{a n}中的项，故不成立．m＝7时，S＝，此时b1＝，b n＝，成立．当m≥9时，1﹣≥，由＝，得（1﹣）≥，得k≤，又因为k∈N+，所以k＝1，2，此时b1＝1或，分别代入S＝＝，得到q＜0不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即b n＝，或b n＝，故选：C．。
2020年上海市高考数学仿真试卷(二) (含答案解析)
2020年上海市高考数学仿真试卷（二）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知向量a ⃗ =(2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(1,k)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数k =( )A. 12B. −2C. −7D. 32. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么这两个几何体的体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，命题P ：A ，B 的体积不相等，命题Q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，P 是Q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54 B. 32 C. √54D. √524. 已知点A(1,1)，B(2,1)，C(1,2)，若λ∈[−1,2]，μ∈[2,3]，则|λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. [2,10]B. [√5,√13]C. [1,5]D. [2,√13]二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 集合{a,b}的子集个数为________个．6. 若线性方程组的增广矩阵为(12c 120c 2)的解为{x =1y =3，则c 1+c 2=______7. 若，则________．8. 若行列式∣∣∣∣x−1−2∣∣∣a 301∣∣∣∣∣∣∣的展开式的绝对值小于6的解集为(−1,2)，则实数a 等于______． 9. 已知椭圆x 2m−2+y 210−m =1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于____. 10. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________． 11. 若圆锥的侧面积是底面积三倍，则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数表示)。
2020年上海市高考数学模拟试卷(2)(4月份)(附答案详解)
2020年上海市高考数学模拟试卷（2）（4月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3πB. 4πC. 3π+4D. 2π+42.过抛物线y2=8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线()A. 有且只有一条B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在3.若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．()A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要4.对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1<x2，都有−α(x2−x1)<f(x2)−f(x1)<α(x2−x1)成立．下列结论中正确的是()A. 若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)⋅g(x)∈Mα1⋅α2B. 若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2且g(x)≠0，则f(x)g(x)∈Mα1α2C. 若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)+g(x)∈Mα1+α2D. 若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2且α1>α2，则f(x)−g(x)∈Mα1−α2二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若集合A={x|y=√x−1,x∈R}，B={x||x|≤1,x∈R}，则A∩B=______．6.若函数f(x)=1−√x，g(x)=√1−x+√x，则f(x)+g(x)=______．7.若sinα=35且α是第二象限角，则cot(α2−π4)=______．8.若函数f(x)=√x3(x≥0)的反函数是f−1(x)，则不等式f−1(x)>f(x)的解集为______．9.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(−∞,0]上是单调递减的，且f(1)=0，则使f(x)<0的x的取值范围是______ ．10. 已知f(x)=2sinωx(ω>0)在[0,π3]单调递增，则实数ω的最大值为______． 11. 设P 是曲线{x =√22secθy =tanθ(θ为参数)上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为______．12. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D ，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)13. 若函数f(x)=|sinx +23+sinx +t|(x,t ∈R)最大值记为g(t)，则函数g(t)的最小值为______．14. 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…P 10，记m i =AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,3,…,10)，则m 1+m 2+⋯+m 10的值为______．15. 设函数f(x)={a x ,x <1|x 2−2x|,x ≥1(其中a >0，a ≠1)，若不等式f(x)≤3的解集为(−∞,3]，则实数a 的取值范围为______．16. 已知n ∈N ∗，从集合{1,2,3,…,n}中选出k(k ∈N,k ≥2)个数j 1，j 2，…，j k ，使之同时满足下面两个条件：①1≤j 1<j 2<⋯j k ≤n ； ②j i+1−j i ≥m(i =1,2,…,k −1)，则称数组(j 1,j 2,…j k )为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为C n (k,m).例如根据集合{1,2,3}可得C 3(2,1)=3.给定集合{1,2,3,4,5,6,7}，可得C 7(3,2)=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 在锐角△ABC 中，sinA =sin 2B +sin(π4+B)sin(π4−B)．(1)求角A 的值；(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，求△ABC 的面积．18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1cm3)；(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？19.某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润)万元(a>0)，A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．10(a−3x500(1)若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？(2)在(1)的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．20. 教材曾有介绍：圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x +y 0y =r 2，我们将其结论推广：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1，在解本题时可以直接应用，已知：直线x −y +√3=0与椭圆E ：x2a2+y 2=1(a >1)有且只有一个公共点； (1)求a 的值；(2)设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线l 1、l 2，且l 1与l 2交于点M(2,m)，当m 变化时，求△OAB 面积的最大值；(3)在(2)的条件下，经过点M(2,m)作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使|CN||ND|=|MC||MD|成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由．21. 已知各项不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =12a n ⋅a n+1(n ∈N ∗)(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设数列{b n }满足：b n =2a n −2a n+1，且n →∞lim(b k b k+1+b k+1b k+2+⋯+b n b n+1)=1384，求正整数k 的值；(3)若m、k均为正整数，且m≥2，k<m.在数列{c k}中，c1=1，c k+1c k =k−ma k+1，求c1+c2+⋯+c m．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱． ∴该几何体的表面积=π×12+π×1×2+2×2=4+3π． 故选：C ．由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．本题考查了三视图的有关计算、圆柱的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为x =2，显然不符合题意． 若l 有斜率，设直线l 的方程为：y =k(x −2)，联立方程组{y 2=8xy =k(x −2)，消元得：k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=4k 2+8k 2=9，∴k =±2√105． 故选B ．设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：设z =x +yi ，由|x|≤1，|y|≤1，则|z|=√x 2+y 2≤√2，故充分性不成立；由|z|=√x 2+y 2≤1，则x 2+y 2≤1，所以|x|≤1，|y|<1，即必要性成立． 故答案为：B ．设z =x +yi ，由|x|≤1，|y|≤1，可得|z|≤√2，充分性不成立；反之成立． 本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：对于−α1(x 2−x 1)<f(x 2)−f(x 1)<α1(x 2−x 1)， 即有−α<f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<α，令f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=k ，则−α<k <α，若f(x)∈M α1,g(x)∈M α2，即有−α1<k f <α1，−α2<k g <α2， 所以−α1−α2<k f +k g <α1+α2， 则有f(x)+g(x)∈M α1+α2， 故选C ． 由题意知−α<f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<α，从而求得．本题考查了函数的性质的判断与应用．5.【答案】{1}【解析】解：由A 中y =√x −1，得到x −1≥0， 解得：x ≥1，即A ={x|x ≥1}，由B 中不等式变形得：−1≤x ≤1，即B ={x|−1≤x ≤1}， 则A ∩B ={1}， 故答案为：{1}．求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.【答案】1+√1−x(0≤x ≤1)【解析】解：f(x)=1−√x,g(x)=√1−x +√x ； 解{x ≥01−x ≥0得，0≤x ≤1； ∴f(x)+g(x)=1+√1−x(0≤x ≤1)．故答案为：1+√1−x(0≤x ≤1)．容易求出f(x)，g(x)的定义域，求交集便可得出f(x)+g(x)的定义域，并可求得f(x)+g(x)=1+√1−x ．考查函数定义域的概念，清楚f(x)+g(x)的定义域为f(x)和g(x)定义域的交集．7.【答案】2【解析】解：∵α是第二象限角，且sinα=35， ∴cosα=−√1−sin 2α=−45，tanα=−34， ∴tanα=2tanα21−tan 2α2=−34，即3tan 2α2−8tan α2−3=0，解得：tan α2=−13(不合题意，舍去．因为α是第二象限角，α2是第一象限或第三象限角，tan α2>0)或tan α2=3， 则tan(α2−π4)=tan α2−tanπ41+tan α2tanπ4=3−11+3=12.则cot(α2−π4)=2． 故答案为：2．由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，进而确定出tanθ的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan α2的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan α2的值代入计算，即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．8.【答案】{x|x >1}【解析】解：设y =f(x)=√x 3(x ≥0)， 则x =y 3，x ，y 互换，得f −1(x)=x 3，x ≥0， ∵f −1(x)>f(x)，∴x 3>√x 3，∴x 9>x ，∴x 8>1，解得x >1．∴不等式f −1(x)>f(x)的解集为{x|x >1}．故答案为：{x|x >1}．由y =f(x)=√x 3(x ≥0)，求出f −1(x)=x 3，x ≥0，由此能求出不等式f −1(x)>f(x)的解集．本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质、反函数性质的合理运用．9.【答案】(−1,1)【解析】解：首先，当x <0时，根据f(x)在(−∞,0]上是单调递减的 所以f(x)<0=f(−1)，可得−1<x <0 又∵偶函数图象关于y 轴对称∴在(−∞,0]上是单调递减的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数 因为f(1)=0，所以当f(x)<0时，0<x <1 而f(0)=−f(0)=0所以使f(x)<0的x 的取值范围是(−1,1) 故答案为：(−1,1)根据f(x)在(−∞,0]上是单调递减的，f(−1)=−f(1)=0，得当x <0时，f(x)<0的x 的取值范围是(−1,0)，再根据函数为偶函数在(0,+∞)上为增函数，得到当f(x)<0=f(1)时，0<x <1，最后结合f(0)=−f(0)=0，得到x 的取值范围．本题以函数奇偶性为例，考查了用函数的性质解不等式，属于基础题．解题时应该注意函数单调性与奇偶性的内在联系，是解决本题的关键．10.【答案】32【解析】解：∵f(x)=2sinωx(ω>0)在[0,π3]单调递增，∴ω⋅π3≤π2， 求得ω≤32，则实数ω的最大值为32， 故答案为：32．由条件利用正弦函数的单调性可得ω⋅π3≤π2，由此求得实数ω的最大值． 本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．11.【答案】8x 2−4y 2=1【解析】解：曲线{x =√22secθy =tanθ(θ为参数)，即有 {secθ=√2x tanθ=y， 由sec 2θ−tan 2θ=1，可得曲线的方程为2x 2−y 2=1， 设P(x 0,y 0)，M(x,y)，可得{2x =x 02y =y 0，代入曲线方程，可得2x 02−y 02=1，即为2(2x)2−(2y)2=1，即为8x 2−4y 2=1． 故答案为：8x 2−4y 2=1．由sec 2θ−tan 2θ=1，可得曲线的方程为2x 2−y 2=1，设P(x 0,y 0)，M(x,y)，运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】255【解析】解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n =C 123=220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m =8， ∴这三条棱两两是异面直线的概率是p =m n=8220=255．故答案为：255．正方体ABCD −A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征、等可能事件概率计算公式的合理运用．13.【答案】34【解析】解：∵sinx +23+sinx =sinx +3+23+sinx −3， ∵−1≤sinx ≤1， ∴2≤sinx +3≤4， ∴3≤sinx +3+23+sinx ≤92， ∴0≤sinx +3+23+sinx −3≤32， ∴g(t)=f max (x)={t,t ≥3432−t,t <34，∴当t =34时，函数g(t)有最小值为34； 故答案为；34．化简sinx +23+sinx =sinx +3+23+sinx −3，从而可得0≤sinx +3+23+sinx −3≤32，区间[0,32]的中点值为34，故讨论t 与34的大小，从而求得g(t)=f max (x)={t,t ≥3432−t,t <34，从而求值．本题考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想．14.【答案】180【解析】解：以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立 直角坐标系，可得B 2(3,√3)，B 3(5,√3)，C 3(6,0)，直线B 3C 3的方程为y =−√3(x −6)， 可设P i (x i ,y i )，可得√3x i +y i =6√3， 即有m i =AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x i +√3y i=√3(√3x i +y i )=18，则m 1+m 2+⋯+m 10=18×10=180． 故答案为：180．以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得B 2(3,√3)，B 3(5,√3)，C 3(6,0)，求出直线B 3C 3的方程，可设P i (x i ,y i )，可得√3x i +y i =6√3，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15.【答案】(1,3]【解析】解：a >0，且a ≠1，设函数f(x)={a x ,x <1|x 2−2x|,x ≥1，若不等式f(x)≤3的解集是(−∞,3]，当x ≥1时，|x 2−2x|≤3，可得−3≤x 2−2x ≤3，解得1≤x ≤3； 当x <1，即x ∈(−∞,1)时，a x ≤3，不等式恒成立可得1<a ≤3． 综上可得1<a ≤3． ∴实数a 的取值范围为：(1,3]． 故答案为：(1,3]．利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16.【答案】10【解析】 【分析】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键．由题意得C 7(3,2)即从定集{1,2,3,4,5,6,7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【解答】解：由题意得C 7(3,2)即从定集{1,2,3,4,5,6,7}中选出3个元素且限距为2的组合． 于是若从{1,3,5,7}中任选3个均符合要求则有C 43=4个，若选{2,4,6}也满足条件；另外还有{1,3,7}，{1,3,6}，{1,4,7}，{1,5,7}，{2,5,7}均满足条件，故C 7(3,2)=4+1+5=10，故答案为10．17.【答案】解：(1)在△ABC 中，sinA =sin 2B +sin(π4+B)sin(π4−B)=sin 2B +(√22cosB +√22sinB)(√22cosB −√22sinB) =sin 2B +12(cos 2B −sin 2B)=sin 2B +12(1−2sin 2B)=12，又A 为锐角， ∴A =π6；(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π6=12， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√3， ∴S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin π6=12×8√3×12=2√3．【解析】本题考查两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数的基本关系，已知三角函数值求角，以及向量数量积的计算公式，三角形的面积公式，属于基础题．(1)根据两角和与差的正弦函数公式可得sin(π4+B)sin(π4−B)=12(1−2sin 2B)，从而可由sinA =sin 2B +sin(π4+B)sin(π4−B)得出sinA =12，这样即可得到A =π6；(2)由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12及A =π6可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．18.【答案】解：(1)设圆柱的底面半径为r ，高为ℎ，圆锥的母线长为l ，高为ℎ1，则2πr =24π，解得r =12(cm)． 又ℎ1=√202−122=16(cm)．∴笼具的体积V =πr 2ℎ−13πr 2ℎ1=π×(122×30−13×122×16)=3552π≈11153.3(cm 3).(2)圆柱的侧面积S 1=2πrℎ=720πcm 2， 圆柱的底面积S 2=πr 2=144πcm 2，圆锥的侧面积为πrl=240πcm2．故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：1104π×50×8104=1104π25元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要1104π25元．【解析】本题考查了圆柱，圆锥的表面积和体积计算，属于基础题．(1)笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；(2)求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．19.【答案】解：设调出x人参加B项目从事售后服务工作(1)由题意得：10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x2−500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多调整500名员工参与B项目的售后服务工作．(2)由题知，0<x≤400，从事B项目的售后服务工作的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，则10(a−3x500)x≤10(1000−x)(1+0.2x%)所以ax−3x2500≤1000+2x−x−1500x2，所以ax≤2x2500+1000+x，即a≤2x500+1000x+1恒成立，因为0<x≤400，∴2x500+1000x+1≥2×400500+1000400+1=5.1，所以a≤5.1，又a>0，所以0<a≤5.1，即a的取值范围为(0,5.1]．【解析】(1)根据题意，列出不等式10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，求解即可；(2)求出x的范围，得出不等式10(a−3x500)x≤10(1000−x)(1+0.2x%)，整理可得a≤2x 500+1000x+1恒成立，根据x 的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x =400时，函数取得最小值．考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.【答案】解：(1)将直线y =x +√3代入椭圆方程x 2+a 2y 2=a 2，可得(1+a 2)x 2+2√3a 2x +2a 2=0， 由直线和椭圆相切，可得 △=12a 4−4(1+a 2)⋅2a 2=0， 解得a =√2(由a >1)； (2)设切点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 可得切线l 1：x 1x +2y 1y =2， l 2：x 2x +2y 2y =2， 由l 1与l 2交于点M(2,m)，可得 2x 1+2my 1=2，2x 2+2my 2=2，由两点确定一条直线，可得AB 的方程为2x +2my =2， 即为x +my =1，原点到直线AB 的距离为d =√1+m 2， 由{x +my =1x 2+2y 2=2消去x ，可得(2+m 2)y 2−2my −1=0， y 1+y 2=2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2， 可得|AB|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√8(1+m 2)(2+m 2)2=2√2(1+m 2)2+m 2， 可得△OAB 的面积S =12d|AB|=√2⋅√1+m 22+m2， 设t =√1+m 2(t ≥1)， S =√2t1+t 2=√2t+1t≤√22，当且仅当t =1即m =0时，S 取得最大值√22；(3)设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，N(x 0,y 0)，由直线y =k(x −2)+m 代入椭圆方程x 2+2y 2=2， 可得(1+2k 2)x 2+4k(m −2k)x +2(m −2k)2−2=0， 即有x 3+x 4=−4k(m−2k)1+2k 2，x 3x 4=2(m−2k)2−21+2k 2，由线段CD 上存在点N ，使|CN||ND|=|MC||MD|成立，可得x 0−x 3x4−x 0=x 3−2x 4−2，化为x 0=2(x 3+x 4)−2x 3x 44−(x 3+x 4)，代入韦达定理，化简可得x 0=2km+1−m 21+km，y 0=k(x 0−2)+m =k(2km+1−m 21+km −2)+m =m−k 1+km，由x 0+my 0=2km+1−m 21+km+m 2−km 1+km=1+km1+km =1．即有N 在直线AB 上．【解析】(1)将直线y =x +√3代入椭圆方程，得到x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；(2)设切点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得切线l 1：x 1x +2y 1y =2，l 2：x 2x +2y 2y =2，再由M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x +my =1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；(3)设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，N(x 0,y 0)，由直线y =k(x −2)+m 代入椭圆方程x 2+2y 2=2，运用韦达定理，由题意可得|CN||ND|=|MC||MD|，可得x 0−x 3x 4−x 0=x 3−2x 4−2，求得N 的坐标，代入切点弦AB 的方程，计算即可判断． 本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的弦长公式和三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．21.【答案】(1)证明：∵S n =12a n a n+1，∴a n+1=S n+1−S n =12a n+1a n+2−12a n a n+1， 整理得：a n+2−a n =2， 又∵a 1=1，a 2=2S 1a 1=2，∴数列{a n }的通项公式a n =n ，即数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列； (2)解：由(1)可知b n =2a n −2a n+1=2n−2(n+1)=12n+2， ∴b n b n+1=12n+2⋅12n+3=125⋅14n ，∴b k b k+1+b k+1b k+2+⋯+b n b n+1=125(14k +14k+1+⋯+14n)=125⋅14k ⋅1−14n−k+11−14=13⋅123+2k (1−14n+1−k )，又∵n →∞lim(b k b k+1+b k+1b k+2+⋯+b n b n+1)=1384，即13⋅123+2k =1384，解得：k =2； (3)解：∵c 1=1，c k+1c k=k−mak+1，a n =n ，∴c k+1c k=k−mk+1，c kc k−1=(−1)⋅m−(k−1)k(m >k,m ≥2)，∴c 2=c2c 1=(−1)m−12，c 3=c 3c 2⋅c 2c 1=(−1)2(m−2)(m−1)3×2，c 4=c 4c 3⋅c 3c 2⋅c 2c 1=(−1)3⋅m(m−1)(m−2)(m−3)4×3×2×1=(−1)3⋅1m⋅C m 4，…c k =(−1)k−1⋅1m ⋅C m k，显然当m =1时满足上式，即c m =(−1)m−1⋅1m ⋅C 11，∴c 1+c 2+⋯+c m =1m[C m 1−C m 2+⋯+(−1)m−1⋅C m m ]=1m [C m 0−C m 2+C m 3−C m 4+⋯+(−1)m ⋅C m m −1−1] =1m ⋅(1−1)m −1−1=1m．【解析】(1)通过S n =12a n a n+1，利用a n+1=S n+1−S n 整理得a n+2−a n =2，进而可知数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列；(2)通过(1)可知b n =12n+2，进而可知b n b n+1=125⋅14n ，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； (3)通过c k+1c k=k−mak+1及a n =n 分别计算出c 2c 1、c 3c 2、c 4c 3、c nc n−1的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2020年上海中学高考数学综合测试试卷(2)(4月份)(附答案详解)
2020年上海中学高考数学综合测试试卷（2）（4月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若函数f(x)在区间[−2,2]上的图象是一条连续不断的曲线，且函数f(x)在(−2,2)上仅有一个零点，则f(−2)⋅f(2)的符号是( )A. 小于零B. 大于零C. 小于或大于零D. 不能确定2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实(虚)线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. 64B. 643 C. 16 D. 1633. 矩阵的一种运算(a b cd)(y x)=(cx +dy ax+by )，该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩阵(a bcd)作用下变换成点(ax +by,cx +dy)，若曲线x 2+4xy +2y 2=1，在矩阵(1a b 1)的作用下变换成曲线x 2−2y 2=1，则a +b 的值为( ) A. −2 B. 2 C. ±2 D. −44. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，已知曲线C ：y =x 2，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得到的几何体为Γ.给出以下四个几何体图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积相等的是( )A. ①B. ②C. ③D. ④二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 设集合A ={x|x =√3k +1,k ∈N}，B ={x|x ≤5,x ∈Q}，则A ∩B =______．6. 若复数z 满足(3−4i)z =|4+3i|，则z 的虚部为______．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离为______． 8. 若x 1，x 2，⋯，x 2020的平均数为4，标准差为3，且y i =−3(x i −2)，i =1，2，⋯，2020，则新数据y 1，y 2，⋯，y 2020的标准差为______．9. (2+x)n 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则(2+x)n 的展开式中倒数第4项的系数为______．10. 某几何体的一条棱长为2，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为√3的线段，在左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则2a +b 的最大值为______．11. 已知函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)，数列a n 满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，则实数a 的取值范围是______．12. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示)． 13. 当x ∈[0,2]时，函数f(x)=ax 2+4(a −1)x −3在x =2时取得最大值，则实数a的取值范围是______ ．14. 若存在实数a 、b 使得直线ax +by =1与线段AB(其中A(1,0)，B(2,1))只有一个公共点，且不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立，则正实数p 的取值范围为______．15. 设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆(x −5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条．则r 的取值范围是______． 16. 已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中A 2>π2，若|B 2C 2|=1，则2√2|A 2B 2|+3|A 2C 2|的最大值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足：2√3asinCsinB =asinA +bsinB −csinC ．(1)求角C的大小；−B)=bcos(2kπ+A)(k∈Z)且a=2，求△ABC的面积．(2)若acos(π218.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λ(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C−AE−D的大小为60°，求λ的值．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设关系：C(x)=k3x+5f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式．(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20.已知椭圆Γ：a2b2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点：(1)求椭圆Г的方程：(2)设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：1OA2+1OB2为定值：(3)设点C在Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD距离为常数d(0<d<2)，求动点D的轨迹方程：21.数列{a n}的各项均为正数，a1=t，k∈N∗，k≥1，p>0，a n+a n+1+a n+2+⋯+a n+k=6p n(1)当k=1，p=5时，若数列{a n}是成等比数列，求t的值；(2)当t=1，k=1时，设T n=a1+a2p +a3p2+⋯+a n−1p n−1+a np n−1，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列1+ppT n−a np n−6n是一个常数；(3)设数列{a n}是一个等比数列，求t(用p，k的代数式表示)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：当f(x)=x 时，f(−2)⋅f(2)<0， 当f(x)=x 2时，f(−2)⋅f(2)>0， 当f(x)=sin(π2x)时，f(−2)⋅f(2)=0， 故选：D ．由题意举例f(x)=x ，f(x)=x 2，f(x)=sin(π2x)，从而解得． 本题考查了函数的零点的判定定理的应用．2.【答案】D【解析】 【分析】本题考查三视图求几何体的体积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积，由椎体的体积公式求出该多面体的体积． 【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D −ABC 、为棱长为4的正方体一部分， 直观图如图所示：B 是棱的中点， 由正方体的性质得，CD ⊥平面ABC ， △ABC 的面积S =12×2×4=4， 所以该多面体的体积V =13×4×4=163，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：设(x,y)是曲线x 2+4xy +2y 2=1的点，在矩阵(1a b 1)的作用下的点为(x′,y′)，即{x′=x +ay y′=bx +y，又x′2−2y′2=1， ∴(x +ay)2−2(bx +y)2=1，(1−2b 2)x 2+(2a −4b)xy +(a 2−2)y 2=1． 故{1−2b =12a −4b =4a 2−2=2，解得：a =2，b =0， ∴a +b =2． 故选：B ．设(x,y)是曲线x 2+4xy +2y 2=1的点，在矩阵(abc d)的作用下的点为(x′,y′)，得出关于a ，b 的方程组，从而解决问题．本题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解a ，b ；属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设直线y =t ，与y =x 2交于(√t,t)，0≤t ≤1， 切线的斜率为2，切线方程为y =2x −1， y =t 与y =2x −1交于(t+12,t)，用平行于底面的平面截几何体Γ所得的截面为圆环， 截面面积为π(t 2+2t+14−t)=π⋅(t−1)24，对于图①，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到圆的截面， 且圆的半径为12(t −1)，可得截面面积为π⋅(t−1)24，符合题意；对于图②，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 截面积为大圆面积去掉一个小圆面积，且面积为14π−14πt 2，不符合题意； 对于图③，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到正方形截面，不符合题意； 对于图④，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 且面积为π⋅(t+12)2−πt 2=π(1−t)(1+3t)4，不符合题意．综上可得四个几何体中与Γ的体积相等的是图①． 故选：A ．求得切线方程，设直线y =t ，求得与切线的交点和抛物线的交点，可得截面面积，分别用平行于下底面且距离为t 的平面截四个几何体，求得截面面积，由祖暅原理，可得结论．本题考查祖暅原理的理解和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．5.【答案】{1,2，4，5}【解析】解：∵A={x|x=√3k+1,k∈N}，B={x|x≤5,x∈Q}，∴A∩B={1,2，4，5}．故答案为：{1,2，4，5}．进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】45【解析】解：∵|4+3i|=√42+32=5．由(3−4i)z=|4+3i|，得(3−4i)z=5，即z=53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=5(3+4i)25=35+45i．∴z的虚部为45．故答案为：45．首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.【答案】18【解析】解：抛物线y=4x2的焦点到其准线的距离为：p=18．故答案为：18．利用抛物线方程求出p，即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．8.【答案】9【解析】解：∵x1，x2，⋯，x2020的标准差为3，∴x1，x2，⋯，x2020方差为9，∵y i=−3(x i−2)，i=1，2，⋯，2020，∴新数据y1，y2，⋯，y2020的方差为(−3)2×9=81，即标准差为√81=9．故答案为：9．根据已知条件，结合方差的线性公式，即可求解．本题主要考查了方差的线性公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9.【答案】280【解析】【分析】本题考查二项式定理，考查二项式展开式的通项公式，是基础题．由已知求得n=7，求出展开式的第5项得答案．【解答】解：由展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，得C n2=C n5，得n=7．∴(2+x)n=(2+x)7，(2+x)7的展开式中倒数第4项为T5=C74⋅23⋅x4=280x4．∴展开式中倒数第4项的系数为280．故答案为：280．10.【答案】5【解析】解：根据题意，将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，则设长方体的长为x，高为y，宽为z，所以x2+y2+z2=4，x2+y2=3，y2+z2=a2，x2+z2=b2，变形，可得a 2+b 2=5，设a =√5cosθ，b =√5sinθ，(0<θ<π2)，则2a +b =2√5cosθ+√5sinθ=5sin(θ+α)(其中tanα=2)， 当tanθ=12，即a =2b =1时，2a +b 取得最大值，且其最大值为5． 故答案为：5．根据题意，将棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，则三视图中的三个投影，是三个面的对角线；设出长宽高，分析可得a 2+b 2=5，再设a =√5cosθ，b =√5sinθ，则有2a +b =2√5cosθ+√5sinθ，由此可得答案．本题考查几何体的三视图，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．11.【答案】(2,3)【解析】解：∵数列{a n }是递增数列， 又∵f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)a n =f(n)(n ∈N ∗)， ∴1<a <3且f(7)<f(8)∴7(3−a)−3<a 2解得a <−9，或a >2 故实数a 的取值范围是(2,3) 故答案为：(2,3)由函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)，数列a n 满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，我们易得函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a >1，且3−a >0，且f(7)<f(8)，由此构造一个关于参数a 的不等式组，解不等式组即可得到结论． 本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n ∈N ∗时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f(7)<f(8)，从而构造出关于变量a 的不等式是解答本题的关键．12.【答案】23【解析】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球，三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有C32×C31×C21=18种，其中C32表示3个同学中选2个同学选择的项目，C31表示从三种组合中选一个，C21表示剩下的一个同学有2种选择，故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是1827=23，故答案为：23．先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．13.【答案】[23,+∞)【解析】解：对称轴为x=2−2aa，1)当a>0时，要使x=2时候取得最大值，则2−2aa ≤1，解得a≥23，2)当a=0时，f(x)=−4x−3，x=0时候取得最大值，不符合题意，3)当a<0时，要使x=2时候取得最大值，则2−2aa ≥2，a≥12，与a<0相悖．综上所述a的取值范围为[23,+∞)．故答案为：[23,+∞)．分a>0，a=0，a<0三种情况进行讨论，然后根据x的范围结合图象进行求解．本题考查二次函数的图象和性质，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．14.【答案】[1,+∞)【解析】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A(1,0)，B(2,1)在直线ax+by=1的两侧，∴(a−1)(2a+b−1)≤0，即{a −1≤02a +b −1≥0，或{a −1≥02a +b −1≤0； 画出它们表示的平面区域，如图所示．a 2+b 2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O 到直线2x +y −1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min =1√5那么a 2+b 2的最小值为：d 2=15．由于存在实数a 、b 使得不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立， ∴(1sin 2θ+pcos 2θ)min ≥20(a 2+b 2)min =4， ∵θ∈(0,π2)，∴sinθ，cosθ∈(0,1)．∴1sin 2θ+pcos 2θ=(sin 2θ+cos 2θ)(1sin 2θ+pcos 2θ)=1+p +cos 2θsin 2θ+psin 2θcos 2θ≥1+p +2√cos 2θsin 2θ⋅psin 2θcos 2θ=1+p +2√p ，当且仅当tan 2θ=√p时取等号．∴1+p +2√p ≥4，p >0，解得1≤p ． ∴tanθ=1，即θ=π4时取等号． 故答案为：[1,+∞)．直线ax +by =1与线段AB 有一个公共点，可知：点A(1,0)，B(2,1)在直线ax +by =1的两侧，因此(a −1)(2a +b −1)≤0.画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O 到直线2x +y −1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min =√5由于存在实数a 、b 使得不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立，可得(1sin2θ+pcos2θ)min≥20(a2+b2)min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．本题考查了函数图象与性质、线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】2<r<4【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得(y1+y2)(y1−y2)=4(x1−x2)，当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以y0x0−5=−1k，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴−2√3<y0<2√3，∵M在圆上，∴(x0−5)2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4<r2<16，故2<r<4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2<r<4，故答案为：2<r<4．先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2√3，所以交点与圆心(5,0)的距离为4，即可得出结论．本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16.【答案】√10【解析】 【分析】本题主要考查了诱导公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 由已知结合诱导公式，三角形内角和定理可解得A 2=3π4，由正弦定理可得b 2=√2sinB 2，c 2=√2sin(π4−B 2)，利用三角函数恒等变换的应用化简所求，利用正弦函数的性质可求最大值． 【解答】解：∵锐角△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值， ∴不妨设：cosA 1=sinA 2，cosB 1=sinB 2，cosC 1=sinC 2， 又A 2>π2，为钝角，则B 2，C 2为锐角，结合诱导公式可知：A 2=A 1+90°，B 2=90°−B 1，C 2=90°−C 1， 由三角形内角和定理可得：A 2+B 2+C 2=180°， 解得：A 1=π4.A 2=3π4，∵|B 2C 2|=1， ∴由正弦定理可得：c 2sin(π4−B 2)=b 2sinB 2=√22=√2，可得：b 2=√2sinB 2，c 2=√2sin(π4−B 2)， ∴2√2|A 2B 2|+3|A 2C 2|=2√2c 2+3b 2=4√2sin(π4−B 2)+3√2sinB 2=4(√22cosB 2−√22sinB 2)+3√2sinB 2=2√2cosB 2+√2sinB 2 =√10sin(B 2+φ)≤√10，故答案为：√10．17.【答案】解：(1)2√3asinCsinB =asinA +bsinB −csinC ．∴由正弦定理a 2+b 2−c 2=2√3absinC 即cosC =a 2+b 2−c 22ab =2√3absinC2ab=√3sinC ，即tanC =sinCcosC =√3sinC=√33， 则C =π6，(2)∵acos(π2−B)=bcos(2kπ+A)(k ∈Z)，∴asinB =bcosA ， 即sinAsinB =sinBcosA ， ∵sinB ≠0，∴sinA =cosA ，即tanA =1， 则A =π4，B =π−π6−π4， ∵a =2， ∴asin π4=csin π6得2√22=c12，得c =√2，则三角形的面积S =12acsinB =12×2×√2sin(π6+π4)=√2(12×√22+√32×√22)=1+√32．【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理建立方程关系进行求解即可．(2)根据条件求出A 的大小，结合正弦定理求出c 的值，结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面积，两角和差的正弦公式进行转化求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力．18.【答案】解：以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0，0)，A(a,0，0)，B(a,a ，0)，C(0,a ，0)，E(0,0，λa)， (1)证明：∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,λa)，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，−λa)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，−λa)． ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，0)⋅(−a ，−a ，λa) =a 2−a 2+0⋅λa =0，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ． (2)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，0)为平面ADE 的一个法向量． 设平面ACE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则n ⃗ ⊥EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⊥EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴即{ax −aλz =0ay −aλz =0, 取z =1，得n⃗ =(λ,λ,1)．∴cos60°=√2λ2+1⇔√2λ2+1=2|λ|．由λ∈(0,1]，解得λ=√22．【解析】本题主要考查了二面角及其度量，以及空间中直线与直线之间的位置关系，属于中档题．(1)以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，计算向量的数量积，只要说明数量积与λ无关即可； (2)分别求出平面ADE 与平面ACE 的一个法向量，利用二面角C −AE −D 的大小为60°建立两法向量的关系式，求出λ的值即可．19.【答案】解：(Ⅰ)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5． 再由C(0)=8，得k =40， 因此C(x)=403x+5． 而建造费用为C 1(x)=6x ，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C 1(x)=20×403x +5+6x =8003x +5+6x(0≤x ≤10) (Ⅱ)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6． 解得x =5，x =−253(舍去)．当0<x <5时，f′(x)<0，当5<x <10时，f′(x)>0，故x =5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】(I)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C(0)=8，得k =40，进而得到C(x)=403x+5.建造费用为C 1(x)=6x ，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式． (II)由(1)中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：(1)∵椭圆Γ：a2b2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点，∴b=c=√2，∴a=√2+2=2，∴椭圆Г的方程为x24+y22=1．证明：(2)设A(x0,y0)，则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B(−2y0x,2)，∴1OA2+1OB2=1x02+y02+14y02x02+4=4+x024(x02+y02)=4+x024(x02+2−x022)=12，∴1OA2+1OB2为定值12．解：(3)设C(x0,y0)，D(x,y)，由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，①又C点在椭圆上，得：x024+y022=1，②联立①②，得：x02=4y22x2+y2，y02=4x22x2+y2，③由OC⊥OD，得OC⋅OD=CD⋅d，∴OC2⋅OD2=(OC2+OD2)⋅d2，∴1d2=1OC2+1OD2=1x02+y02+1x2+y2=14x22x2+y2+4y22x2+y2+1x2+y2=2x2+y2+44(x2+y2)，化简，得D点轨迹方程为：(1d2−12)x2+(1d2−14)y2=1．【解析】(1)由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出椭圆Г的方程．(2)设A(x0,y0)，则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B(−2y0x0,2)，由此能证明1OA2+1 OB2为定值12．(3)设C(x0,y0)，D(x,y)，由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，又C点在椭圆上，得：x024+y022=1，从而x02=4y22x2+y2，y02=4x22x2+y2，由此能求出D点轨迹方程．本题考查椭圆方程的求法，考查代数式和为定值的证明，考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质及椭圆与直线的位置关系的合理运用．21.【答案】解：(1)a n+a n+1=6⋅5n，a n+1+a n+2=6⋅5n+1，…(2分)设等比数列(a n}的公比是q，则a n+a n+1=6⋅5n⋅5，∴q=5，…(4分)n=1时，t+5t=30，∴t=5.…(5分)(2)证明：∵n是任意的正整数，当n=1时，a1+a2p=6P1=6，依此类推，当n取n−1项时，a n−1+a np n−1=6p np n−1=6，∴T n=a1+a2p +a3p2+⋯+a n−1p n−2+a np n−1，1 p T n=a1p+a2p2+a3p3+⋯+a n−1p n−2+a np n=a1+a1+a2p +a2+a3p2+⋯+a n−1+a np n−1+a np n，…(7分)∴(1+1p )T n=2a1+a1+2a2p+a2+2a3p2+⋯+a n−1+2a np n−1+a np n=a1+6n−6+a np n，…(9分)∴1+pp T n−a nP n−6n=a1−6=−5.…(10分)(3)a n+a n+1+a n+2+⋯+a n+k=6p n，a n+1+a n+2+a n+3+⋯+a n+1+k=6p n+1，…(11分)数列{a n}是一个等比数列，所以求出公比为p，…(13分)∴t(p n−1+p n+⋯+p n+k−1)=6p n，…(15分)项数为n+k−1−(n−1)十1=k+1项，当p=1时，t(k+1)=6，∴t=6k+1，…(16分)当p≠1，且p>0时，t p n−1(1−p k+1)1−p=6p n，∴t=6p(1−p)1−p k+1.…(17分)【解析】(1)由a n+a n+1=6⋅5n，a n+1+a n+2=6⋅5n+1，得到等比数列(a n}的公比q= 5，由此能求出t的值．(2)T n =a 1+a 2p+a 3p 2+⋯+a n−1p n−2+a n p n−1，1p T n =a 1+a 1+a 2p+a 2+a 3p 2+⋯+a n−1+a n p n−1+anp n ，由此能够证明1+p pT n −a n P n−6n =a 1−6=−5．(3)a n +a n+1+a n+2+⋯+a n+k =6p n ，a n+1+a n+2+a n+3+⋯+a n+1+k =6p n+1，数列{a n }是一个等比数列，所以求出公比为p ，由此能求出t ．本题考查数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷(4月份)(有答案解析)
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共21小题，共150.0分）1.若复数，则A. 1B.C. 5D.2.已知向量，若，则实数A. 1B.C.D.3.已知，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为A. B. 2 C. D.5.已知实数，，且，则行列式的A. 最小值是2B. 最小值是C. 最大值是2D. 最大值是6.““是“直线：和直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为A. B. C. D.8.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是A. 1B. 2C. 4D.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是A. B.C. D.10.给出以下四个命题：其中正确命题的个数是过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；依次首尾相接的四条线段必共面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311.已知，在，，，，这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为A. B. C. D.12.下列命题中是假命题的是A. 对任意的，函数都不是奇函数B. 对任意的，函数都有零点C. 存在、，使得D. 不存在，使得幂函数在上单调递减13.函数的大致图象为A.B.C.D.14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A、C之间的距离为A. B. C. D.15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，设数列的前n项和为，则A. 0B.C. 1D. 216.在中，已知，，的外接圆圆心为O，则A. 4B. 8C. 10D. 1617.已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，且，则A. B. C. D.18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，，，则的值为A. B. 0 C. 2 D. 419.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为A. B. C. D.20.已知点在抛物线C：上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为A. B. 1 C. 2 D.21.若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：复数；；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.答案：D解析：解：向量，，，，解得实数．故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：，，，．故选：D．根据即可得出，进而得出．本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：有题意可得：，且，可得：，，，所以，所以焦距，故选：C．有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题5.答案：B解析：解：实数，，且，，当且仅当时，取等号，行列式的最小值是．故选：B．由实数，，且，得到，由此能求出行列式的最小值．本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：由，解得．经过验证，都满足条件．““是“直线：和直线：平行”的充分不必要条件．故选：A．由，解得k，即可判断出关系．本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接，，可知为异面直线与所成的角．为直角三角形，且，，，，得．即异面直线与所成的角为．故选：C．8.答案：D解析：解：数据a，1，2，3，4的平均数是，解得；所以该组数据的方差是，标准差是．故选：D．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9.答案：C解析：解：A：在定义域内内不单调，不符合题意；B：在定义域R上先减后增，不符合题意；C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；D：因为为偶函数，不符合题意．故选：C．结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10.答案：B解析：解：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：因为，，，，，这7个数分别为：，，，，，，．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：种；所取的两数之和为偶数的有：；所取的两数之和为偶数的概率为：．故选：B．先根据条件得到，，，，这7个数分别为：，，，，，，，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12.答案：A解析：解：对于选项A：当时，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当时，使得，故该命题为真命题．对于选项D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：C解析：解：根据题意，，有，则有，即函数的定义域为，又由，即函数为奇函数，排除A；又由当时，，则，排除BD；故选：C．根据题意，分析可得为奇函数，可以排除A，进而分析时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14.答案：C解析：解：，，，，，，；中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为．故选：C．由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15.答案：C解析：解：依题意，由，可得：，两式相减，可得：，，，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，．，则，则．故选：C．本题由，可得，两式相减，进一步转化计算可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和，最后计算出极限的值．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16.答案：B解析：解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．故选：B．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17.答案：D解析：解：令得，，即的对称轴方程为，．的最小正周期为，，在上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；，关于对称，，关于对称，，，，，将以上各式相加得：．故选：D．求出的对称轴，根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18.答案：A解析：解：，由对应系数相等知：，，．故选：A．由，利用对应系数相等知，，再由，能求出结果．本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：D解析：解：由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选：D．运用的图象关于对称，求得，由题意可得在恒成立，所以，令，运用指数函数的单调性求得t的范围，设，求得其最大值，可得k的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.答案：C解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线方程为：，由已知得，设点，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，，，，故选：C．把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB 的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B 在抛物线上化简，即可得到．本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21.答案：C解析：解：设，公比，则．对任意的都成立，故m是正奇数，又S 存在，所以．时，，此时，即，成立．当时，，此时，不是数列中的项，故不成立．时，，此时，，成立．当时，，由，得，得，又因为，所以，2，此时或，分别代入，得到不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即，或，故选：C．由是的子数列，可设，，公比，又因为可得k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．第11页，共11页。
2020年4月高考数学大数据精选模拟卷03(上海卷)(解析版)
2020年4月高考数学大数据精选模拟卷03数 学（上海卷）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.若复数()()12(z mi i i =+-是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为___________． 【答案】2-【解析】()()()21222221z mi i i mi mi m m i =+-=-+-=++-，因为z 是纯虚数，所以20,2m m +==-．故答案为：22.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=___________． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-=故答案为：16 3.对任意实数若a b ⊗的运算规则如图所示，则25(2cos)(log 4)3π⊗的值为___________．【答案】4【解析】执行如图所示的程序框图可知，此程序的功能是输出分段函数(),(1),a a b a ba b b a a b -≥⎧⊗=⎨+<⎩的值，又52cos13π=，2log 42=，所以运行程序后，输出2(11)4+=，故答案为：4． 4.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为___________． 【答案】19【解析】从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =，故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种，故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=，故答案为：19．5. 若幂函数()kf x x =的图像过点(4,2)，则1()fx -=___________．【答案】12()(0)fx x x -=≥【解析】因为幂函数()kf x x =的图像过点(4,2),所以(4)2f =,即42k =,所以21222kk =⇒=, 所以12()f x x =,所以12()(0)f x x x -=≥故答案为：12()(0)f x x x -=≥ 6.某公司计划在2020年春季校园双选招聘会招收x 名女性，y 名男性，若,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为___________． 【答案】13【解析】由题,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，该公司计划在本次校招所招收人数为z x y =+，作出可行域如图阴影部分，满足题意的点即可行域内横纵坐标均为整数的点.其中()()()3,1,6,4,6,7A B C ，y x z =-+，当直线经过C 点时取得最大，即13z =，此时女生6名，男生7名.故答案为：13.7. 已知曲线C：2x y a ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r ，则实数a 的取值范围为___________．【答案】a ≤≤【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有1≤,解得a ≤≤,故填a ≤≤a ≤≤8.记集合[],A a b =，当,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是___________． 【答案】3【解析】根据题意可得：()2cos 2cos 2sin 216f πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.∵,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴()[]0,3f θ∈，即[]0,3B =,“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆;∴03a b ≤⎧⎨≥⎩∴303b a -≥-=，即()min 3b a -=.故答案为：3.9.已知双曲线2222:(0)x y C a bλλ-=≠，,A B 为双曲线C 的同一条渐近线上的两个不同的点，若向量()0,2n =v，3AB =u u u v 且1AB n n⋅=-u u u v vv ，则双曲线的渐近线方程为___________．【答案】0x ±=【解析】由题意得11cos ,3AB n AB n AB n n AB n AB ⋅⋅==⋅=-⋅u u u v u u u v v vu u u v v u u u v u u u v v v，∴sin ,AB n =u u u v v ①当双曲线的焦点在x 轴上时，其渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，∴点(0,2)到渐近线的距离为sin ,3d n AB n u u u v v v ===，整理得2218b a =，∴双曲线的渐近线方程为0x ±=．②当双曲线的焦点在y 轴上时，其渐近线方程为0ax by ±=，∴点(0,2)到渐近线的距离为sin ,3d n AB n ===u u u v v v ，整理得228b a=，双曲线的渐近线方程为0x ±=；故答案为：0x ±=.另解：设双曲线的渐近线的倾斜角为α，依题意(3cos ,3sin ),AB αα=u u u r或(3cos ,3sin ),AB αα=--u u u r(0,)(,)22ππαπ∈⋃； 由1AB nn⋅=-u u u v vv ，推出(3cos ,3sin )(0,2)2αα=-g或(3cos ,3sin )(0,2)2αα--=-g ， 得到1sin 3α=或1sin 3α=-（舍去），所以1sin 3α=，根据同角三角比可得tan α=；故双曲线的渐近线方程为0x ±=. 10.已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令)*,2020n b n n =∈<N ，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k =___________． 【答案】1010x =，y =，根据基本不等式()222222222()22x y x y xy x y x y x y+=++≤+++=+，又由等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，得202010102n n a a a -=+，故答案为：1010所以()()222020101010102224n n n b a a a a -=≤+==，当且仅当2020n n a a -=时，n b 取得最大值，此时1010n =，所以1010k =，故答案为：1010.11.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x π+=，当[)0,x Îp 时，()sin f x x =-．若存在(]0,x m ∈-∞，使得0()f x ≤-m 的取值范围为___________．【答案】10,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】Q ()()2f x f x π+=且当[)0,x Îp 时，()sin f x x =-，∴当(),0x ∈-∞时，()f x >-，不合题意；∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=--，当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=--，当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=--， 作出函数图像，如图：当[)3,4x ππ∈时，令()8sin 3x π--=-103x π=或113x π=，若存在(]0,x m ∈-∞，使得0()f x ≤-103m π≥.故答案为：10,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.12.已知数列{}n a 满足：①10a =，②对任意的*n N ∈都有1n n a a +>成立．函数()1()sinn n f x x a n=-，[]1,n n x a a +∈满足：对于任意的实数[)0,1m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是___________． 【答案】()12n n n a π-=【解析】10a =Q ，当1n =时，()()11sin sin f x x a x =-=，[]20,x a ∈， 又Q 对任意的[)0,1m ∈，()1f x m =总有两个不同的根，2a π∴=，()1sin f x x ∴=，[]0,x π∈，2a π=，又()()()2211sinsin cos 222xf x x a x π=-=-=，[]3,x a π∈，Q 对任意的[)0,1m ∈，()1f x m =总有两个不同的根，33a π∴=，又()()()33111sinsin 3sin 333f x x a x ππ=-=-=，[]43,x a π∈， Q 对任意的[)0,1b ∈，()1f x m =总有两个不同的根，46a π∴=，由此可得1n n a a n π+-=，()()()()12111012n n n n n a a a a a a n πππ--∴=+-+⋯+-=++⋯+-=，故答案为()12n n n a π-=.二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.函数()y f x =是R 上的增函数，则0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的 （ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】∵0a b +>，∴,a b b a >->-，又()y f x =在R 上为增函数， ∴()(),()()f a f b f b f a >->-，则()()()()f a f b f a f b +>-+-；反之，若()()()()f a f b f a f b +>-+-，∵()y f x =是R 上的增函数，∴()()a b a b +>-+- 即0a b +>；故0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的充要条件。
2020年上海市高考数学模拟试卷(含解析)
2020年上海市高考数学模拟试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若a >0，b >0，且a +b =4，则下列不等式中恒成立的是( )A. 1ab >12B. 1a +1b ≤1C. √ab ≥2D. 1a 2+b 2≤182. 直线y =2x +1的参数方程可以是( )A. {x =t 2y =2t 2+1B. {x =2t −1y =4t +1 C. {x =t −1y =2t −1D. {x =sinθy =2sinθ+13. 已知平面α//平面β，它们之间的距离为d ，直线a ⊂α，则在β内与直线a 相距为2d 的直线有( )A. 1条B. 2条C. 无数条D. 不存在4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)；命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立； 命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0， 则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B = ．6. 计算：n →∞lim3n−1n+2=______ 7. 若复数z 满足i ⋅z =1+2i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为_____________． 8. 函数f(x)=x 2(x ≤−1)的反函数是f −1(x)= ______ ． 9. 已知实数x ，y 满足{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,则z =x −y 的最大值为________． 10. 已知矩阵[a 31a]的逆矩阵是[a−3−1a]，则正实数a =______ ．11. 一组数据20，30，40，50，50，60，70，80的平均数、中位数、众数分别为a ，b ，c ，则a +c −2b的值为 ．12. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1+a 4+a 7=0，则S6a 5的值为______ 13. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________(用数字作答)．14. 已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F(c,0)关于直线y =bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是15. 已知函数f(x)=x |x −1|−a,x ∈R 有三个零点x 1、x 2、x 3，则实数a 的取值范围是 ；x 1+x 2+x 3的取值范围是 ．16. 在平面内，已知AB ⊥AC ，且DB =DC =2,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若1≤DP ≤2，则DA 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. (1)在△ABC 中，AB =2，BC =32，∠ABC =120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是多少？(2)已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD =AC =1.求EF 的长度．18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx −2sin 2ωx(其中ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值及f(x)的单调减区间；(2)若f(x 0)=15，x 0∈[−π12,π4]，求f(x 0+π6)的值．19.一般情况下，桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度小于40辆/千米时，车流速度为40千米/小时．研究表明：当40≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(Ⅰ)当0≤x≤200，求函数v(x)的表达式；(Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．20.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为12．(Ⅰ)求双曲线C的离心率e；(Ⅱ)若过点P作斜率为k(k≠±ba)的直线l，使得l与双曲线C有且仅有一个公共点，F1，F2分别为双曲线的两个焦点，记直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，问是否存在实数λ使得1k1+1k2=λk．21.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，(a n+1)⋅(a n+1+1)=6(S n+n)，n∈N∗．n∈N∗．(1)求数列{a n}通项公式；(2)若对于∀n∈N∗都有S n≤n(3n+1)成立求实数a取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于基础题． 利用特殊值法即可解答．解：取a =1，b =3，可验证A 、B 、C 均不正确． 2(a 2+b 2)⩾(a +b )2，当a =b =2时，等号成立， 即可得0<1a 2+b 2⩽18，则D 正确． 故选D ．2.答案：C解析：解：∵y =2x +1，∴y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，可得{x =t −1y =2t −1(t 为参数)， 即为直线y =2x +1的参数方程． 故选C ．由已知y =2x =1，可化为点斜式方程：y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，即可化为直线的参数方程．本题考查了把直线的普通方程化为参数方程，其关键是把直线的普通方程写成点斜式方程．3.答案：B解析：解：∵平面α//平面β，它们之间的距离为d ，∴若平面α内的直线和β内的直线b 为异面直线时，a ，b 直线的距离为d ，不满足条件， ∴a//b ，在直线a 上任取一点A ，作AO 在平面β的射影O ，过O 作OC ⊥b 于C ， 连结AC ，则AO =d ，AC =2d ，∴OC=√3d∴满足条件的直线共有2条．故选：B．根据平行直线的距离公式进行判断即可．本题主要考查空间直线距离的判断，要求熟练掌握面面平行的性质，比较基础．4.答案：C解析：本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．对于命题q1：当a>0时，结合f(x)单调递减，可推出f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a)，命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a=x0<0时，f(a)=f(x0)=0，结合f(x)单调递增，推出f(x+a)< f(x)，进而f(x+a)<f(x)+f(a)，命题q2是命题p的充分条件．解：对于命题q1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a>0时，此时x+a>x，又因为f(x)单调递减，所以f(x+a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，当a=x0<0时，此时x+a<x，f(a)=f(x0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x +a)<f(x)， 所以f(x +a)<f(x)+f(a)， 所以命题p 2⇒命题p ， 所以q 1，q 2都是p 的充分条件， 故选：C ．5.答案：{2,4}解析：此题考查交集及其运算，属于基础题． 根据交集的运算法则计算即可．解：已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B ={2,4}． 故答案是{2,4}．6.答案：3解析：解：n →∞lim3n−1n+2=3−01+0=3．故答案为：3．直接利用数列的极限的运算法则求解即可． 本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基础题．7.答案：√5解析：本题考查复数的运算以及复数模的计算，属于基础题． 由已知求出z ，然后利用模的计算公式求解即可． 解： 因为i ⋅z =1+2i ， 所以z =1+2i i=−i(1+2i)−i·i=2−i ，所以|z|=√22+(−1)2=√5， 故答案为√5．8.答案：−√x ，x ≥1解析：解：∵函数f(x)=y =x 2(x ≤−1)， ∴x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)=−√x ，x ≥1． 故答案为：−√x ，x ≥1．先求出x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)．本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数性质的合理运用．9.答案：2解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：由x ，y 满足约束条件{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,作出可行域如图：由z =x −y 可得y =x −z ，平移直线y =x −z ，当直线经B 点时，在y 轴上截距最小，z 有最大值， 由{y =4x x +2y +6=0可得B(−23,−83)， 所以z =x −y 的最大值为−23+83=2， 故答案为2．10.答案：2解析：本题考查矩阵与逆矩阵的运算，是基础题．根据矩阵与其自身的逆矩阵的乘积为单位矩阵，然后运用矩阵乘积公式得到答案． 解：[a 31a ][a −3−1a ]=[1001]， 由矩阵乘积公式得，[a 2−300a 2−3]=[1001]， 所以a 2−3=1，a 2=4，a =±2． 又因为题目中说明了a 是正实数， 故答案为a =2．11.答案：0解析：根据所给数据，分别计算平均数、中位数、众数，即可得到结果．解：由题意，平均数为a =20+30+40+50+50+60+70+808=50，中位数b =50+502=50，众数c =50，所以a +c −2b =0． 故答案为0．12.答案：−3解析：本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 由a 1+a 4+a 7=0，可得3(a 1+3d )=0，即a 1=−3d ≠0，则S 6a 5=6a 1+6×52d a 1+4d=6×(−3)+15−3+4=−3．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 1+a 4+a 7=0，得3(a 1+3d )=0。
2020年4月高考理科数学大数据精选模拟卷02(含解析)
2020年4月高考数学大数据精选模拟卷02理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．42i1i-=+ A ．3i -B ．3i +C ．13i +D ．13i -2．已知集合{}{}22|60,|60M x x px N x x x q =-+==+-=且{2}M N =I ，则p q +=A ．21B ．19C ．16D ．273．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则（AB u u u r +AC u u u r ）•（AB u u u r -DB u u u r）的值为 A ．32-B ．32C ．34-D ．344．一次试验：向如图3314所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形的豆子的总数为N 粒，其中有m (m <N )粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为A ．mNB ．2mNC ．3m ND ．4mN5．若4,a b c ===,,a b c 的大小关系为A ．c b a >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>6．函数21y x x=-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为A ．16B ．32C ．64D ．10248．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=A B C D 9．在直角坐标平面xOy 上的一列点1122(1,),(2,),,(2,),,n n A a A a A a ⋯⋯简记为{}n A 若由1•n n n b A A j +=u u u u u u v v构成的数列{}n b 满足1,1,2,...,n n b b n +>=其中j v为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.有下列说法△123111(1,1),(2,),(3,),,(.),,23n A A A A n n⋯⋯为T 点列；△若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方.任取其中连续三点12k k k A A A 、、，++则12k k k A A A ++∆可以为锐角三角形；△若{}n A 为T 点列，正整数若1m n p q ≤<<<，满足,m q n p +=+则();q p p a a q p b -≥-△若{}n A 为T 点列，正整数若1m n p q ≤<<<，满足,m q n p +=+则••n q m p A A j A A j >u u u u u v u u u u u v v v.其中，正确说法的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．410．已知实数,a b 满足23ln 0,a a b c R --=∈，则22()()a c b c -++的最小值为A ．1BC ．2D11．已知ABC ∆的三个顶点落在半径为R 的球O 的表面上，三角形有一个角为3π且其对边长为3，球心O 到ABC ∆所在的平面的距离恰好等于半径R 的一半，点P 为球面上任意一点，则P ABC -三棱锥的体积的最大值为 AB．3CD12．已知定义域为的奇函数的导函数为()f x '，当时，()()0f x f x x'+>，若，则的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()(13)x f x x e =-⋅在点(0,(0))P f 处的切线方程为__________．14．已知等差数列{}满足，且其前项的和有最大值，则当数列{}的前项的和取得正值时，正整数的值是__________．15．已知R λ∈，函数10()lg 0x x f x x x ⎧+<⎪=⎨>⎪⎩，，，2()414g x x x λ=-++．若关于x 的方程[()]f g x λ=有8个解，则λ的取值范围为__________．16．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA SB ==S AB C --的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin b a B =，且b a >． （1）求A ；（2）若2,a c ==ABC ∆的面积．n a 11211-<a a n n S n S n n某公司在招聘员工时，要进行笔试，面试和实习三个过程．笔试设置了3个题，每一个题答对得5分，否则得0分．面试则要求应聘者回答3个问题，每一个问题答对得5分，否则得0分．并且规定在笔试中至少得到10分，才有资格参加面试，而笔试和面试得分之和至少为25分，才有实习的机会．现有甲去该公司应聘，假设甲答对笔试中的每一个题的概率为34，答对面试中的每一个问题的概率为12．（1）求甲获得实习机会的概率；（2）设甲在去应聘过程中的所得分数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，F 满足()0AF AC λλ=>u u u v u u u v.（1）当12λ=时，求证：1EF B F ⊥； （2）若1B F 与平面11ABB A 所成的角为30°，求λ的值.20．（本小题满分12分）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线21:2,(0)C x py p =>的焦点，且抛物线1C 上点P 处的切线与圆22:1O x y +=相切于点Q ，（1）当直线PQ的方程为0x y -=时，求抛物线1C 的方程；（2）当正数p 变化时，记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求1222S S 的最小值.已知21()2f x x =，()ln (0)g x a x a =>. （1）求函数()()()F x f x g x =的极值；（2）若函数()()()(1)G x f x g x a x =-+-在区间1(,)e e内有两个零点，求a 的取值范围； （3）求证：当0x >时，231ln 04xx x e +->. 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为5,(3x t t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩为参数），在以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线lcos()14πρθ+=-. （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数2()12f x x a x a =+-+-，a R ∈，224()24(1)g x x x x =--+-．（1）若2(21)41f a a ->-，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数x ，y ，使()()0f x g y +≤，求实数a 的取值范围．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．42i1i-=+ A ．3i - B ．3i +C ．13i +D ．13i -【答案】D【解析】42i (42i)(1i)1i (1i)(1i)---=++-26i13i 2-==-.故选D. 2．已知集合{}{}22|60,|60M x x px N x x x q =-+==+-=且{2}M N =I ，则p q +=A ．21B ．19C ．16D ．27【答案】A【解析】{2}M N =I ，所以260x px -+=，260x x q +-=的解包含2，将其代入得5,1621p q p q ==∴+=.3．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则（AB u u u r +AC u u u r ）•（AB u u u r -DB u u u r）的值为 A ．32-B ．32C ．34-D ．34【答案】B【解析】△ABC ∆是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，△AD =而()()23222AB AC AB DB AD AD AD +⋅-===u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v n v u u u .故选B4．一次试验：向如图3314所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形的豆子的总数为N 粒，其中有m (m <N )粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为A ．mNB ．2mNC ．3m ND ．4mN【答案】D【解析】设正方形的边长为2a ，依题意，224a mP a Nπ==，得π＝4m N ，故选D. 5．若4,a b c ===,,a b c 的大小关系为A ．c b a >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】A【解析】因为,,a b c 均为正数，且22216999a b c ==+=+=+所以222c b a >>，所以c b a >>，选A. 6．函数21y x x=-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】21y x x =-，322121'2x y x x x +=--=-，取3221'0x y x +=-=得到1312x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故函数在()0,∞+上单调递减，在131,02⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在131,2⎛⎫⎛⎫⎪-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增.对比图象知：D 满足条件. 故选：D .7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为A ．16B ．32C ．64D ．1024【答案】C【解析】S =0，S =1×1=1;S =1，S =1×2=2;S =2，S =2×4=8;S =3，S =8×8=64. 8．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=A B C D 【答案】B【解析】根据题中的条件，可得α为锐角，根据tan 2α=，可求得cos α=，而22cos 2cos 2cos cos 115αααα+=+-=+-=，故选B. 9．在直角坐标平面xOy 上的一列点1122(1,),(2,),,(2,),,n n A a A a A a ⋯⋯简记为{}n A 若由1•n n n b A A j +=u u u u u u v v构成的数列{}n b 满足1,1,2,...,n nb b n +>=其中j v为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.有下列说法△123111(1,1),(2,),(3,),,(.),,23n A A A A n n⋯⋯为T 点列；△若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方.任取其中连续三点12k k k A A A 、、，++则12k k k A A A ++∆可以为锐角三角形；△若{}n A 为T 点列，正整数若1m n p q ≤<<<，满足,m q n p +=+则();q p p a a q p b -≥-△若{}n A 为T 点列，正整数若1m n p q ≤<<<，满足,m q n p +=+则••n q m p A A j A A j >u u u u u v u u u u u v v v.其中，正确说法的个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】△由题意可知，()1111,11n n a b n n n n n -=∴=-=++，显然有{}1,n n n b b A +>∴是T 点列，正确；△在12k k k A A A ++∆中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-u u u u u u v u u u u u u u u v， ()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--u u u u u u u r u u u u u u u u u r，Q 点2A 在点1A 的右上方，{}1210,n b a a A ∴=->Q 为T 点列，10n b b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<u u u u u u u u r u u u u u u u u u u r，12k k k A A A ++∴∠为钝角，12k k k A A A ++∴∆为钝角三角形，12k k k A A A ++∆不可以为锐角三角形，△错；△1,m n p q m q n p ≤<<<+=+Q ，0q p n m ∴-=->，1121...q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++- ()12...q q p p b b b q p b --=+++≥-，△正确； △同理△()121...n m n n m n a a b b b n m b ----=+++≤-， 由于{}n A 为T 点列，于是1pn b b ->，可推导q p m n a a a a ->-，q n p m a a a a ∴->-，即n q m p A A j A A j ⋅>⋅u u u u u r u r u u u u u u r u r，△正确，正确说法的个数为3，故选C.10．已知实数,a b 满足23ln 0,a a b c R --=∈，则22()()a c b c -++的最小值为A ．1BC ．2D 【答案】C【解析】分别设2()3ln (0),y f x x xx y x ==->=-，()y f x =上的点到直线y x =-的距离，的最小值表示曲线2()3ln y f x x x ==-与直线y x =-平行的切线与直线y x =-的距离，因为2()3ln y f x x x==-，所以3()2f x x x'=-， 设与直线y x =-平行的切线切点横坐标为m ， 则3()21f m m m'=-=-，解得1m =，可得()11f =，所以曲线在点()1,1处的切线方程为()11y x -=--，即20x y +-=， 所以直线20x y +-=与直线0x y +=的距离为d ==22()()a c b c -++的最小值为2，故选C.11．已知ABC ∆的三个顶点落在半径为R 的球O 的表面上，三角形有一个角为3π且其对边长为3，球心O 到ABC ∆所在的平面的距离恰好等于半径R 的一半，点P 为球面上任意一点，则P ABC -三棱锥的体积的最大值为 AB．3CD【答案】C【解析】设ABC ∆外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，所以12R OO =设ABC ∆外接圆的半径为r ，3AB c ==，3C π∠=，由正弦定理可得：32sin3rπ=，解得：r =由球的截面圆性质可得：2222132R R OO r ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，解得：2R =，所以点P 到平面ABC 的距离的最大值为：13R OO +=.在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222232cos 2a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=当且仅当3a b ==时，等号成立，所以()max 9ab =.所以1sin 23ABC S ab π∆=?，当且仅当3a b ==时，等号成立. 当三棱锥P ABC -的底面面积最大，高最大时，其体积最大.所以三棱锥P ABC -的体积的最大值为13344P ABC V -=⨯⨯=故选C.12．已知定义域为的奇函数的导函数为()f x '，当时，()()0f x f x x'+>，若，则的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+， △()'()0f x f x x +>，即'()()'()0xf x f x g x x x+=>，△当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，△()()g x xf x =是偶函数，△(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，△10ln 222<<<，△1()(ln 2)(2)2g g g <<，即a c b <<．故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()(13)x f x x e =-⋅在点(0,(0))P f 处的切线方程为__________．【答案】210x y +-=【解析】△'()3(13)(23)x x xf x e x e x e =-+-=-+，△'(0)2f =-，又(0)1f =，△切线方程为12(0)y x -=--，即210x y +-=． 故答案为：210x y +-=． 14．已知等差数列{}满足，且其前项的和有最大值，则当数列{}的前项的和取得正n a 11211-<a a n n S n S n值时，正整数的值是__________． 【答案】22【解析】因为等差数列{}满足，且其前项的和有最大值，所以0,01211<>a a ，01211>+a a ，则023,0)(11,02112231211221121<=>+=>=a S a a S a S ，所以填22．15．已知R λ∈，函数10()lg 0x x f x x x ⎧+<⎪=⎨>⎪⎩，，，2()414g x x x λ=-++．若关于x 的方程[()]f g x λ=有8个解，则λ的取值范围为__________．【答案】2(0)5，【解析】令g （x ）=t ，则方程f （t ）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1． 且4个解分别为t 1=﹣1﹣λ，t 2=﹣1+λ，t 3=10λ，41()10t λ= 则x 2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x 2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ， x 2﹣4x+1+4λ=10λ，x 2﹣4x+1+4λ=1()10λ均有两个不相等的实根， 则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，40>V即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜25， 当0＜λ＜25时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立， 同理40>V 也恒成立； 故λ的取值范围为（0，25）． 故答案为：（0，25）。
4月大数据精选模拟卷03(上海卷)(解析版)
2020年4月高考数学大数据精选模拟卷03数 学（上海卷）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.若复数()()12(z mi i i =+-是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为___________． 【答案】2-【解析】()()()21222221z mi i i mi mi m m i =+-=-+-=++-，因为z 是纯虚数，所以20,2m m +==-．故答案为：22.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=___________． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-=故答案为：16 3.对任意实数若a b ⊗的运算规则如图所示，则25(2cos)(log 4)3π⊗的值为___________．【答案】4【解析】执行如图所示的程序框图可知，此程序的功能是输出分段函数(),(1),a a b a ba b b a a b -≥⎧⊗=⎨+<⎩的值，又52cos13π=，2log 42=，所以运行程序后，输出2(11)4+=，故答案为：4． 4.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为___________． 【答案】19【解析】从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =，故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种，故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=，故答案为：19．5. 若幂函数()kf x x =的图像过点(4,2)，则1()fx -=___________．【答案】12()(0)fx x x -=≥【解析】因为幂函数()kf x x =的图像过点(4,2),所以(4)2f =,即42k =,所以21222kk =⇒=, 所以12()f x x =,所以12()(0)f x x x -=≥故答案为：12()(0)f x x x -=≥ 6.某公司计划在2020年春季校园双选招聘会招收x 名女性，y 名男性，若,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为___________． 【答案】13【解析】由题,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，该公司计划在本次校招所招收人数为z x y =+，作出可行域如图阴影部分，满足题意的点即可行域内横纵坐标均为整数的点.其中()()()3,1,6,4,6,7A B C ，y x z =-+，当直线经过C 点时取得最大，即13z =，此时女生6名，男生7名.故答案为：13.7. 已知曲线C：2x y a ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r ，则实数a 的取值范围为___________．【答案】a ≤≤【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有1≤,解得a ≤≤,故填a ≤≤a ≤≤8.记集合[],A a b =，当,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是___________． 【答案】3【解析】根据题意可得：()2cos 2cos 2sin 216f πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.∵,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴()[]0,3f θ∈，即[]0,3B =,“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆;∴03a b ≤⎧⎨≥⎩∴303b a -≥-=，即()min 3b a -=.故答案为：3.9.已知双曲线2222:(0)x y C a bλλ-=≠，,A B 为双曲线C 的同一条渐近线上的两个不同的点，若向量()0,2n =v，3AB =u u u v 且1AB n n⋅=-u u u v vv ，则双曲线的渐近线方程为___________．【答案】0x ±=【解析】由题意得11cos ,3AB n AB n AB n n AB n AB ⋅⋅==⋅=-⋅u u u v u u u v v vu u u v v u u u v u u u v v v，∴sin ,AB n =u u u v v ①当双曲线的焦点在x 轴上时，其渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，∴点(0,2)到渐近线的距离为sin ,3d n AB n u u u v v v ===，整理得2218b a =，∴双曲线的渐近线方程为0x ±=．②当双曲线的焦点在y 轴上时，其渐近线方程为0ax by ±=，∴点(0,2)到渐近线的距离为sin ,3d n AB n ===u u u v v v ，整理得228b a=，双曲线的渐近线方程为0x ±=；故答案为：0x ±=.另解：设双曲线的渐近线的倾斜角为α，依题意(3cos ,3sin ),AB αα=u u u r或(3cos ,3sin ),AB αα=--u u u r(0,)(,)22ππαπ∈⋃； 由1AB nn⋅=-u u u v vv ，推出(3cos ,3sin )(0,2)2αα=-g或(3cos ,3sin )(0,2)2αα--=-g ， 得到1sin 3α=或1sin 3α=-（舍去），所以1sin 3α=，根据同角三角比可得tan α=；故双曲线的渐近线方程为0x ±=. 10.已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令)*,2020n b n n =∈<N ，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k =___________． 【答案】1010x =，y =，根据基本不等式()222222222()22x y x y xy x y x y x y+=++≤+++=+，又由等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，得202010102n n a a a -=+，故答案为：1010所以()()222020101010102224n n n b a a a a -=≤+==，当且仅当2020n n a a -=时，n b 取得最大值，此时1010n =，所以1010k =，故答案为：1010.11.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x π+=，当[)0,x Îp 时，()sin f x x =-．若存在(]0,x m ∈-∞，使得0()f x ≤-m 的取值范围为___________．【答案】10,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】Q ()()2f x f x π+=且当[)0,x Îp 时，()sin f x x =-，∴当(),0x ∈-∞时，()f x >-，不合题意；∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=--，当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=--，当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=--， 作出函数图像，如图：当[)3,4x ππ∈时，令()8sin 3x π--=-103x π=或113x π=，若存在(]0,x m ∈-∞，使得0()f x ≤-103m π≥.故答案为：10,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.12.已知数列{}n a 满足：①10a =，②对任意的*n N ∈都有1n n a a +>成立．函数()1()sinn n f x x a n=-，[]1,n n x a a +∈满足：对于任意的实数[)0,1m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是___________． 【答案】()12n n n a π-=【解析】10a =Q ，当1n =时，()()11sin sin f x x a x =-=，[]20,x a ∈， 又Q 对任意的[)0,1m ∈，()1f x m =总有两个不同的根，2a π∴=，()1sin f x x ∴=，[]0,x π∈，2a π=，又()()()2211sinsin cos 222xf x x a x π=-=-=，[]3,x a π∈，Q 对任意的[)0,1m ∈，()1f x m =总有两个不同的根，33a π∴=，又()()()33111sinsin 3sin 333f x x a x ππ=-=-=，[]43,x a π∈， Q 对任意的[)0,1b ∈，()1f x m =总有两个不同的根，46a π∴=，由此可得1n n a a n π+-=，()()()()12111012n n n n n a a a a a a n πππ--∴=+-+⋯+-=++⋯+-=，故答案为()12n n n a π-=.二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.函数()y f x =是R 上的增函数，则0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的 （ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】∵0a b +>，∴,a b b a >->-，又()y f x =在R 上为增函数， ∴()(),()()f a f b f b f a >->-，则()()()()f a f b f a f b +>-+-；反之，若()()()()f a f b f a f b +>-+-，∵()y f x =是R 上的增函数，∴()()a b a b +>-+- 即0a b +>；故0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的充要条件。
2020届上海市高考数学4月模拟试题和答案详细解析及备考策略
2020届上海市高考数学4月模拟试题一、填空题1．（3分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝．2．（3分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．3．（3分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．4．（3分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．5．（3分）设定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．7．（3分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝．8．（3分）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．9．（3分）若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则（）＝．10．（3分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．11．（3分）对于函数f（x）＝，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为．12．（3分）已知a＞0，函数（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M 是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是．二、选择题13．（3分）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l215．（3分）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．16．（3分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）18．已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．19．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．20．如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若＝，求k的值；（2）求证：∠AFP＝∠BFO；（3）求面积△ABF的最大值．21．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．2020届上海市高考数学4月模拟试题答案一、填空题1．1； 2．（3，1）； 3．； 4．； 5．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]； 6．y2＝4x； 7．5；8．； 9．2； 10．{48，51，54，57，60}； 11．﹣4； 12．6+4；二、选择题13．B； 14．D； 15．C； 16．B；三、解答题17．； 18．； 19．； 20．； 21．；疫情期间如何有效复习由于疫情的影响，很多地区的学校推迟开学时间，面对这样的状况，作为即将迎来高考的学子们如何在疫情期间有效复习，不让自己的成绩滑档？针对这个特殊的“加长版寒假”兰州普瑞眼科医院温馨提示广大高考学子：可以采取以下的五种方式、三个原则、一个注意方式，让自己即在家能够专心复习又能够保证身心健康。
2020年4月高考大数据精选模拟卷02(文科数学)(新课标Ⅰ卷)(解析版)
2020年4月高考数学大数据精选模拟卷02文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．42i1i-=+ A ．3i - B ．3i +C ．13i +D ．13i -【答案】D 【解析】42i (42i)(1i)1i (1i)(1i)---=++- 26i13i 2-==-.故选D. 2．已知集合{}{}22|60,|60M x x px N x x x q =-+==+-=且{2}M N =I ，则p q +=A ．21B ．19C ．16D ．27【答案】A【解析】{2}M N =I ，所以260x px -+=，260x x q +-=的解包含2，将其代入得5,1621p q p q ==∴+=3．已知,A B 是圆心为C ,,且AB =则AC CB ⋅u u u v u u u v等于 A ．52-B ．52C ．2 D【答案】A【解析】Q ,A B 是圆心为C ,,AB =∴ ABC V 为等边三角形,根据向量的数量积公式:15||||cos12022AC CB AC CB ︒⎛⎫⋅=⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r .∴ 52AC CB ⋅=-u u u r u u u r,故选: A.4．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 A ．18B ．116C ．127D ．2764【答案】A【解析】本试验所有结果对应的几何区域为棱长是4的正方体.“安全飞行”对应的区域为棱长是2的正方体.由几何概型概率公式得P=332814648==.故答案为：A. 5．若4,27,36a b c ==+=+，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】A【解析】因为,,a b c 均为正数，且222491692,9214,92184a b c ==+=+=+，所以222c b a >>，所以c b a >>，选A.6．我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约 A ．128右 B ．64石C ．256石D ．32石【答案】B【解析】由题意，抽得样本中含谷27 粒，占样本的比例为2712168=， 则由此估计总体中谷的含量约为1512648⨯=石． 故选：B ． 7．已知函数21sin ()cos (22)2f x x x x x x =+-π≤≤π，则其导函数'()f x 的图象大致是 A ．B ． C ． D ．【答案】C【解析】221122f x x sinx xcosx f x x cosx cosx =+∴'=+Q （），（），221122f x x cos x cos x x cosx cosx f x ∴'-=--+-=+='（）（）（）（）（），∴其导函数f x '（） 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B ， 当x →+∞时，f x '→+∞（），故排除D ，故选C ．8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为A ．16B ．32C ．64D ．1024【答案】C 【解析】;;;.9．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=A 253-B 53-C 53+D 253+ 【答案】B【解析】根据题中的条件，可得α为锐角， 根据tan 2α=，可求得5cos 5α=， 而22553cos 2cos 2cos cos 115αααα-+=+-=+-=，故选B. 10．已知实数,a b 满足23ln 0,a a b c R --=∈，则22()()a c b c -++的最小值为A ．1B 2C ．2D 5【答案】C【解析】分别设2()3ln (0),y f x x xx y x ==->=-，则22()()a c b c -++表示曲线()y f x =上的点到直线y x =-的距离，22()()a c b c -++的最小值表示曲线2()3ln y f x x x ==-与直线y x =-平行的切线与直线y x =-的距离，因为2()3ln y f x x x==-，所以3()2f x x x'=-， 设与直线y x =-平行的切线切点横坐标为m ， 则3()21f m m m'=-=-，解得1m =， 可得()11f =，所以曲线在点()1,1处的切线方程为()11y x -=--，即20x y +-=， 所以直线20x y +-=与直线0x y +=的距离为22d ==， 所以22()()a c b c -++的最小值为2，22()()a c b c -++的最小值为2，故选C. 11．已知ABC ∆的三个顶点落在半径为R 的球O 的表面上，三角形有一个角为3π且其对边长为3，球心O 到ABC ∆所在的平面的距离恰好等于半径R 的一半，点P 为球面上任意一点，则P ABC -三棱锥的体积的最大值为 A ．833B ．733C ．93D ．734【答案】C【解析】设ABC ∆外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，所以12R OO =设ABC ∆外接圆的半径为r ，3AB c ==，3C π∠=由正弦定理可得：32sin3rπ=，解得：3r =由球的截面圆性质可得：2222132R R OO r ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，解得：2R = 所以点P 到平面ABC 的距离的最大值为：13R OO +=.在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222232cos 2a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-= 当且仅当3a b ==时，等号成立，所以()max 9ab =. 所以193sin 234ABC S ab π∆=?，当且仅当3a b ==时，等号成立. 当三棱锥P ABC -的底面面积最大，高最大时，其体积最大. 所以三棱锥P ABC -的体积的最大值为193933344P ABC V -=⨯⨯=故选C12．已知定义域为的奇函数的导函数为()f x '，当时，()()0f x f x x'+>，若，则的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+，∵()'()0f x f x x+>，即'()()'()0xf x f x g x x x+=>，∴当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∴()()g x xf x =是偶函数，∴(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，∵10ln 222<<<，∴1()(ln 2)(2)2g g g <<，即a c b <<．故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()(13)x f x x e =-⋅在点(0,(0))P f 处的切线方程为__________．【答案】210x y +-=【解析】∵'()3(13)(23)x x xf x e x e x e =-+-=-+，∴'(0)2f =-，又(0)1f =，∴切线方程为12(0)y x -=--，即210x y +-=． 故答案为：210x y +-=．14．已知等差数列{n a }满足11211-<a a ，且其前n 项的和n S 有最大值，则当数列{n S }的前n 项的和取得正值时，正整数n 的值是_________ ． 【答案】22．【解析】因为等差数列{n a }满足11211-<a a ，且其前n 项的和n S 有最大值，所以0,01211<>a a ，01211>+a a ，则023,0)(11,02112231211221121<=>+=>=a S a a S a S ，所以填22．15．已知R λ∈，函数10()lg 0x x f x x x ⎧+<⎪=⎨>⎪⎩，，，2()414g x x x λ=-++．若关于x 的方程[()]f g x λ=有8个解，则λ的取值范围为__________．【答案】2(0)5，.【解析】令g （x ）=t ，则方程f （t ）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1． 且4个解分别为t 1=﹣1﹣λ，t 2=﹣1+λ，t 3=10λ，41()10t λ= 则x 2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x 2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ， x 2﹣4x+1+4λ=10λ，x 2﹣4x+1+4λ=1()10λ均有两个不相等的实根， 则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，40>V即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜25， 当0＜λ＜25时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立， 同理40>V 也恒成立； 故λ的取值范围为（0，25）． 故答案为：（0，25）。
2020届上海市高三高考模拟2数学试题(解析版)
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：由A 中y =10x -…， 解得：1x …，即{|1}A x x =…， 由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1+(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：αQ 是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴=-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题．4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型. 6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线(2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec tan yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ）， 可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______.【答案】34【解析】 【分析】化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t .【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++, ∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+, ∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P L ，记2i i M AB AP =⋅u u u u v u u u v（1,2,,10i =L ），则1210M M M L +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i yi i y += 【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ， 直线33B C的方程为6)y x =-， 可设(i i P x ，)i yi i y +=即有23i i i i M AB AP x =⋅=u u u u r u u u r)18i i y =+=，则12101810180M M M ++⋯+=⨯=． 故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x ≤的解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(]1,3 【解析】 【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a >，且1a ≠，设函数21()21x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x …的解集是(-∞，3]，当1x …时，2|2|3x x -…，可得2323x x --剟，解得13x 剟； 当1x <，即(,1)x ∈-∞时，3x a …，不等式恒成立可得13a <…． 综上可得13a <…．∴实数a 的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12.已知*n N ∈，从集合{}1,2,3,,n L 中选出k （k ∈N ,2k ≥）个数12,,,k j j j L ，使之同时满足下面两个条件：①121k j j j n ≤<<≤L ； ②1i i j j m +-≥（1,2,,1i k =-L ），则称数组()12,,k j j j L 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=， 故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题．二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）的A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x …，||1y …，可得||z …，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x …，||1y …，则||z =由||1z ，则221x y +…，所以||1x …，||1y …，即必要性成立． 所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( ) A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈ B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-, 即有()()()2121f x f x x x αα--<<-,令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+, 则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得AB AC =u u u r u u u r，进而可得△ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin (cos sin cos )2222B B B B B =++- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AB AC =u u u r u u u r，∴111sin 2622ABCS AB AC π∆==⨯=u u u r u u u r 考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，116h ==cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2，故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500x a -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x ≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值． 【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，的所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤， 所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由.【答案】（1）a =2）2（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v =-，于是CD0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v 代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+ 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++ 即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v=-于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-L ，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题． 21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=L ，求正整数k 的值； （3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++L . 【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=g ，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【详解】（1）证明：112n n n S a a +=Q ，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=，又11a =Q ，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n n b b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k n b b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又Q 11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =Q ，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>…， 2211(1)2c m c c -∴==-， 232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯， 3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2020年上海市高考数学模拟试卷(2)(4月份)
2020年上海市高考数学模拟试卷（2）（4月份）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1. 若集合A ={x|y =√x −1, x ∈R }，B ={x||x|≤1, x ∈R }，则A ∩B =________．2. 若函数f(x)=1−√x ，g(x)=√1−x +√x ，则f(x)+g(x)＝________．3. 若sin α=35且α是第二象限角，则cot (α2−π4)=________．4. 若函数f(x)=√x 3(x ≥0)的反函数是f −1(x)，则不等式f −1(x)>f(x)的解集为________．5. 若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(−∞, 0]上是单调递减的，且f(1)＝0，则使f(x)<0的x 的取值范围是________．6. 已知f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[0, π3]单调递增，则实数ω的最大值为________．7. 设P 是曲线{x =√22sec θy =tan θ （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为________．8. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D ，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是________（结果用最简分数表示）9. 若函数f(x)=|sin x +23+sin x +t|(x,t ∈R)最大值记为g(t)，则函数g(t)的最小值为________．10. 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，⋯，P 10，记m i =AB 2→⋅AP i →(i =1, 2, 3，⋯，10)，则m 1+m 2+⋯+m 10的值为________．11. 设函数f(x)={a x ,x <1|x 2−2x|,x ≥1 （其中a >0，a ≠1），若不等式f(x)≤3的解集为(−∞, 3]，则实数a 的取值范围为________．12. 已知________∈N ∗，从集合{1, 2, 3, ..., ________}中选出________(________∈N ,________≥2)个数________1，________2，…，________，使之同时满足下面两个条件：①1≤________1<________2<…________________； ②________________________(________＝1, 2,…,________−1)，则称数组（________1,________2,…________）为从________个元素中选出________个元素且限距为________的组合，其组合数记为C n(k,m)．例如根据集合{1, 2, 3}可得C 3(2,1)=3．给定集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，可得C 7(3,2)= 10 ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.3πB.4πC.3π+4D.2π+4过抛物线y 2＝8x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A.有且只有一条 B.有两条C.有无穷多条D.必不存在若z ∈C ，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的( )条件．（ ） A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要对于正实数α，记M α是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：对于任意的实数x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，都有−α(x 2−x 1)<f(x 2)−f(x 1)<α(x 2−x 1)成立．下列结论中正确的是（ ） A.若f(x)∈M α1，g(x)∈M α2，则f(x)⋅g(x)∈M α1⋅α2 B.若f(x)∈M α1，g(x)∈M α2且g(x)≠0，则f(x)g(x)∈M α1α2C.若f(x)∈M α1，g(x)∈M α2，则f(x)+g(x)∈M α1+α2D.若f(x)∈M α1，g(x)∈M α2且α1>α2，则f(x)−g(x)∈M α1−α2 三、解答题（共5小题，满分76分）在锐角△ABC 中，sin A ＝sin 2B +sin (π4+B)sin (π4−B)． （1）求角A 的值；（2）若AB →⋅AC →=12，求△ABC 的面积．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm ，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm ．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm 3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10(a −3x500)万元(a >0)，A 项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．教材曾有介绍：圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0, y 0)处的切线方程为x 0x +y 0y =r 2，我们将其结论推广：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点(x 0, y 0)处的切线方程为x 0xa 2+y 0y b 2=1，在解本题时可以直接应用，已知：直线x −y +√3=0与椭圆E:x 2a 2+y 2=1(a >1)有且只有一个公共点；(1)求a 的值；(2)设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线l 1、l 2，且l 1与l 2交于点M(2, m)，当m 变化时，求△OAB 面积的最大值；(3)在(2)的条件下，经过点M(2, m)作直线l 与该椭圆E 交于C ，D 两点，在线段CD 上存在点N ，使|CN||ND|=|MC||MD|成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由．已知各项不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n =12a n ⋅a n+1(n ∈N ∗)（1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）设数列{b n }满足：b n =2a n −2a n+1，且lim n→∞(b k b k+1+b k+1b k+2+...+b n b n+1)=1384，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且m ≥2，k <m ．在数列{c k }中，c 1＝1，c k+1c k=k−mak+1，求c 1+c 2+...+c m ．参考答案与试题解析2020年上海市高考数学模拟试卷（2）（4月份）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1.【答案】{1}【考点】交集及其运算【解析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=√x−1，得到x−1≥0，解得：x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：−1≤x≤1，即B={x|−1≤x≤1}，则A∩B={1}.故答案为：{1}.2.【答案】1+√1−x(0≤x≤1)【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】容易求出f(x)，g(x)的定义域，求交集便可得出f(x)+g(x)的定义域，并可求得f(x)+g(x)=1+√1−x．【解答】f(x)=1−√x,g(x)=√1−x+√x；解{x≥01−x≥0得，0≤x≤1；∴f(x)+g(x)=1+√1−x(0≤x≤1)．3.【答案】2【考点】两角和与差的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，进而确定出tanθ的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tanα2的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan α2的值代入计算，即可求出值．【解答】∵α是第二象限角，且sinα=35，∴cosα=−√1−sin2α=−45，tanα=−34，∴tanα=2tanα21−tan2α2=−34，即3tan2α2−8tanα2−3＝0，解得：tanα2=−13（不合题意，舍去．因为α是第二象限角，α2是第一象限或第三象限角，tanα2>0）或tanα2=3，则tan(α2−π4)=tanα2−tanπ41+tanα2tanπ4=3−11+3=12．则cot(α2−π4)=2．4.【答案】{x|x>1}【考点】反函数【解析】由y＝f(x)=√x3(x≥0)，求出f−1(x)＝x3，x≥0，由此能求出不等式f−1(x)>f(x)的解集．【解答】设y＝f(x)=√x3(x≥0)，则x＝y3，x，y互换，得f−1(x)＝x3，x≥0，∵f−1(x)>f(x)，∴x3>√x3，∴x9>x，∴x8>1，解得x>1．∴不等式f−1(x)>f(x)的解集为{x|x>1}．5.【答案】(−1, 1)【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】根据f(x)在(−∞, 0]上是单调递减的，f(−1)＝−f(1)＝0，得当x<0时，f(x)<0的x的取值范围是(−1, 0)，再根据函数为偶函数在(0, +∞)上为增函数，得到当f(x)<0＝f(1)时，0<x<1，最后结合f(0)＝−f(0)＝0，得到x的取值范围．【解答】首先，当x<0时，根据f(x)在(−∞, 0]上是单调递减的所以f(x)<0＝f(−1)，可得−1<x<0又∵偶函数图象关于y轴对称∴在(−∞, 0]上是单调递减的偶函数f(x)在(0, +∞)上为增函数因为f(1)＝0，所以当f(x)<0时，0<x<1而f(0)＝−f(0)＝0所以使f(x)<0的x的取值范围是(−1, 1)故答案为：(−1, 1) 6. 【答案】 32【考点】正弦函数的图象 【解析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω⋅π3≤π2，由此求得实数ω的最大值． 【解答】∵ f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[0, π3]单调递增，∴ ω⋅π3≤π2，求得ω≤32，则实数ω的最大值为32， 7.【答案】 8x 2−4y 2＝1 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】由sec 2θ−tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2−y 2＝1，设P(x 0, y 0)，M(x, y)，运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【解答】曲线{x =√22sec θy =tan θ （θ为参数），即有{sec θ=√2x tan θ=y， 由sec 2θ−tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2−y 2＝1， 设P(x 0, y 0)，M(x, y)，可得{2x =x 02y =y 0，代入曲线方程，可得2x 02−y 02＝1，即为2(2x)2−(2y)2＝1， 即为8x 2−4y 2＝1． 8.【答案】255【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 空间中直线与直线之间的位置关系【解析】正方体ABCD −A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率． 【解答】正方体ABCD −A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n =C 123=220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m ＝8， ∴ 这三条棱两两是异面直线的概率是p =m n=8220=255．9. 【答案】3 【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】 化简sin x +23+sin x=sin x +3+23+sin x−3，从而可得0≤sin x +3+23+sin x−3≤32，区间[0, 32]的中点值为34，故讨论t 与34的大小，从而求得g(t)＝f max (x)={t,t ≥3432−t,t <34，从而求值． 【解答】 ∵ sin x +23+sin x ＝sin x +3+23+sin x −3，∵ −1≤sin x ≤1， ∴ 2≤sin x +3≤4， ∴ 3≤sin x +3+23+sin x ≤92，∴ 0≤sin x +3+23+sin x−3≤32，∴ g(t)＝f max (x)={t,t ≥3432−t,t <34，∴ 当t =34时，函数g(t)有最小值为34；10.【答案】 180【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 平面向量数量积的运算 【解析】以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得B 2(3, √3)，B 3(5, √3)，C 3(6, 0)，求出直线B 3C 3的方程，可设P i (x i , y i )，可得√3x i +y i ＝6√3，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得B 2(3, √3)，B 3(5, √3)，C 3(6, 0)，直线B 3C 3的方程为y =−√3(x −6)， 可设P i (x i ，y i )，可得√3x i +y i =6√3， 即有m i =AB 2→⋅AP i →=3x i +√3y i =√3(√3x i +y i )=18，则m 1+m 2+...+m 10=18×10=180． 故答案为：180. 11.【答案】 (1, 3] 【考点】指、对数不等式的解法 【解析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案． 【解答】a >0，且a ≠1，设函数f(x)={a x ,x <1|x 2−2x|,x ≥1 ，若不等式f(x)≤3的解集是(−∞, 3]，当x ≥1时，|x 2−2x|≤3，可得−3≤x 2−2x ≤3，解得1≤x ≤3； 当x <1，即x ∈(−∞, 1)时，a x ≤3，不等式恒成立可得1<a ≤3． 综上可得1<a ≤3．∴ 实数a 的取值范围为：(1, 3]． 12.【答案】n ,n ,k ,k ,k ,j ,j ,j ,k ,j ,j ,j ,k ,n ,j ,i ,j ,i ,m ,i ,k ,j ,j ,j ,k ,n ,k ,m 【考点】进行简单的合情推理 【解析】 由题意得C 7(3,2)即从定集{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【解答】由题意得C 7(3,2)即从定集{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1, 3, 5, 7}中任选3个均符合要求则有C 43=4个， 若选{2, 4, 6}也满足条件；另外还有{1, 3, 7}，{1, 3, 6}，{1, 4, 7}，{1, 5, 7}，{2, 5, 7}均满足条件，故C 7(3,2)=4+1+5＝10，二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图可知：该几何体是一个半圆柱． 【解答】由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．∴ 该几何体的表面积＝π×12+π×1×2+2×2＝4+3π． 【答案】 B【考点】 抛物线的性质 【解析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【解答】抛物线的焦点坐标为(2, 0)，若l 无斜率，则l 方程为x ＝2，显然不符合题意． 若l 有斜率，设直线l 的方程为：y ＝k(x −2)，联立方程组{y 2=8xy =k(x −2) ，消元得：k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2＝0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，∴ x 1+x 2=4k 2+8k 2=9，∴ k =±2√105． 【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】设z ＝x +yi ，由|x|≤1，|y|≤1，可得|z|≤√2，充分性不成立；反之成立． 【解答】设z ＝x +yi ，由|x|≤1，|y|≤1，则|z|=√x 2+y 2≤√2，故充分性不成立； 由|z|=√x 2+y 2≤1，则x 2+y 2≤1，所以|x|≤1，|y|<1，即必要性成立． 【答案】 C【考点】元素与集合关系的判断 【解析】 由题意知−α<f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<α，从而求得．【解答】对于−α1(x 2−x 1)<f(x 2)−f(x 1)<α1(x 2−x 1)，即有−α<f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<α，令f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=k ，则−α<k <α，若f(x)∈M α1,g(x)∈M α2，即有−α1<k f <α1，−α2<k g <α2， 所以−α1−α2<k f +k g <α1+α2， 则有f(x)+g(x)∈M α1+α2，三、解答题（共5小题，满分76分） 【答案】在△ABC 中，sin A =sin 2B +sin (π4+B)sin (π4−B)=sin 2B +(√2cos B +√2sin B)(√2cos B −√2sin B)=sin 2B +12(cos 2B −sin 2B)=sin 2B +12(1−2sin 2B)=12； 又A 为锐角； ∴ A =π6；AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos π6=12； ∴ |AB →||AC →|=8√3；∴ S △ABC =12|AB →||AC →|sin π6=12×8√3×12=2√3．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出sin (π4+B)sin (π4−B)=12(1−2sin 2B)，从而可由sin A =sin 2B +sin (π4+B)sin (π4−B)得出sin A =12，这样即可得到A =π6；（2）可由AB →⋅AC →=12及A =π6便可得出|AB →||AC →|的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．【解答】 在△ABC 中，sin A =sin 2B +sin (π4+B)sin (π4−B) =sin 2B +(√22cos B +√22sin B)(√22cos B −√22sin B) =sin 2B +12(cos 2B −sin 2B)=sin 2B +12(1−2sin 2B)=12； 又A 为锐角； ∴ A =π6；AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos π6=12；∴ |AB →||AC →|=8√3；∴ S △ABC =12|AB →||AC →|sin π6=12×8√3×12=2√3．【答案】设圆柱的底面半径为r ，高为ℎ，圆锥的母线长为l ，高为ℎ1，则2πr ＝24π，解得r ＝12cm ．ℎ1=√202−122=16cm ．∴ 笼具的体积V ＝πr 2ℎ−13πr 2ℎ1=π×(122×30−13×122×16)＝3552π≈11158.9cm 3． 圆柱的侧面积S 1＝2πrℎ＝720cm 2， 圆柱的底面积S 2＝πr 2＝144πcm 2， 圆锥的侧面积为πrl ＝240πcm 2．故笼具的表面积S ＝S 1+S 2+S 3＝1104πcm 2．故制造50个这样的笼具总造价为：1104π×50×8104=1104π25元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm 3，生产50个笼具需要1104π25元．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面． 【解答】设圆柱的底面半径为r ，高为ℎ，圆锥的母线长为l ，高为ℎ1，则2πr ＝24π，解得r ＝12cm ．ℎ1=√202−122=16cm ．∴ 笼具的体积V ＝πr 2ℎ−13πr 2ℎ1=π×(122×30−13×122×16)＝3552π≈11158.9cm 3．圆柱的侧面积S 1＝2πrℎ＝720cm 2，圆柱的底面积S 2＝πr 2＝144πcm 2，圆锥的侧面积为πrl ＝240πcm 2．故笼具的表面积S ＝S 1+S 2+S 3＝1104πcm 2． 故制造50个这样的笼具总造价为：1104π×50×8104=1104π25元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm 3，生产50个笼具需要1104π25元．【答案】由题意得：10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x2−500x≤0，又x>0，所以0<x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．由题知，0<x≤400，从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，则10(a−3x500 )x≤10(1000−x)(1+0.2x%)所以ax−3x 2500≤1000+2x−x−1500x2，所以ax≤2x 2500+1000+x，即a≤2x500+1000x+1恒成立，因为0<x≤400，∴2x500+1000x+1≥2×400500+1000400+1＝5.1，所以a≤5.1，又a>0，所以0<a≤5.1，即a的取值范围为(0, 5.1]．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据题意，列出不等式10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，求解即可；（2）求出x的范围，得出不等式10(a−3x500 )x≤10(1000−x)(1+0.2x%)，整理可得a≤2x500+1000x+1恒成立，根据x的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x＝400时，函数取得最小值．【解答】由题意得：10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x2−500x≤0，又x>0，所以0<x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．由题知，0<x≤400，从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，则10(a−3x500 )x≤10(1000−x)(1+0.2x%)所以ax−3x 2500≤1000+2x−x−1500x2，所以ax≤2x 2500+1000+x，即a≤2x500+1000x+1恒成立，因为0<x≤400，∴2x500+1000x+1≥2×400500+1000400+1＝5.1，所以a≤5.1，又a>0，所以0<a≤5.1，即a的取值范围为(0, 5.1]．【答案】解：(1)将直线y=x+√3代入椭圆方程x2+a2y2=a2，可得(1+a2)x2+2√3a2x+2a2=0，由直线和椭圆相切，可得Δ=12a4−4(1+a2)⋅2a2=0，解得a=√2；(2)设切点A(x1, y1)，B(x2, y2)，可得切线l1:x1x+2y1y=2，l2:x2x+2y2y=2，由l1与l2交于点M(2, m)，可得2x1+2my1=2，2x2+2my2=2，由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my=2，即为x+my=1，原点到直线AB的距离为d=√1+m2，由{x+my=1x2+2y2=2消去x，可得(2+m2)y2−2my−1=0，y1+y2=2m2+m2，y1y2=−12+m2，可得|AB|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2⋅√8(1+m2)(2+m2)2=2√2(1+m2)2+m2，可得△OAB的面积S=12d|AB|=√2⋅√1+m22+m2，设t=√1+m2(t≥1)，则m2=t2−1，S=√2t1+t2=√2t+1t≤√22，当且仅当t=1即m=0时，S取得最大值√22；(3)设C(x3, y3)，D(x4, y4)，N(x0, y0)，由直线y=k(x−2)+m代入椭圆方程x2+2y2=2，可得(1+2k2)x2+4k(m−2k)x+2(m−2k)2−2=0，即有x3+x4=−4k(m−2k)1+2k2，x3x4=2(m−2k)2−21+2k2，由线段CD上存在点N，使|CN||ND|=|MC||MD|成立，可得x0−x3x4−x0=x3−2x4−2，化为x0=2(x3+x4)−2x3x44−(x3+x4)，代入韦达定理，化简可得x0=2km+1−m21+km，y0=k(x0−2)+m=k(2km+1−m21+km −2)+m=m−k1+km，由x0+my0=2km+1−m21+km +m2−km1+km=1+km1+km=1．即有N在直线AB上．【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题根与系数的关系基本不等式在最值问题中的应用直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】（1）将直线y＝x+√3代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A(x1, y1)，B(x2, y2)，可得切线l1:x1x+2y1y＝2，l2:x2x+2y2y＝2，再由M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my＝1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）设C(x3, y3)，D(x4, y4)，N(x0, y0)，由直线y＝k(x−2)+m代入椭圆方程x2+2y2＝2，运用韦达定理，由题意可得|CN| |ND|=|MC||MD|，可得x0−x3x4−x0=x3−2x4−2，求得N的坐标，代入切点弦AB的方程，计算即可判断．【解答】解：(1)将直线y=x+√3代入椭圆方程x2+a2y2=a2，可得(1+a2)x2+2√3a2x+2a2=0，由直线和椭圆相切，可得Δ=12a4−4(1+a2)⋅2a2=0，解得a=√2；(2)设切点A(x1, y1)，B(x2, y2)，可得切线l1:x1x+2y1y=2，l2:x2x+2y2y=2，由l1与l2交于点M(2, m)，可得2x1+2my1=2，2x2+2my2=2，由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my=2，即为x+my=1，原点到直线AB的距离为d=√1+m2，由{x+my=1x2+2y2=2消去x，可得(2+m2)y2−2my−1=0，y1+y2=2m2+m2，y1y2=−12+m2，可得|AB|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2⋅√8(1+m2)(2+m2)2=2√2(1+m2)2+m2，可得△OAB的面积S=12d|AB|=√2⋅√1+m22+m2，设t=√1+m2(t≥1)，则m2=t2−1，S=√2t1+t2=√2t+1t≤√22，当且仅当t=1即m=0时，S取得最大值√22；(3)设C(x3, y3)，D(x4, y4)，N(x0, y0)，由直线y=k(x−2)+m代入椭圆方程x2+2y2=2，可得(1+2k2)x2+4k(m−2k)x+2(m−2k)2−2=0，即有x3+x4=−4k(m−2k)1+2k2，x3x4=2(m−2k)2−21+2k2，由线段CD上存在点N，使|CN||ND|=|MC||MD|成立，可得x0−x3x4−x0=x3−2x4−2，化为x0=2(x3+x4)−2x3x44−(x3+x4)，代入韦达定理，化简可得x0=2km+1−m21+km，y0=k(x0−2)+m=k(2km+1−m21+km−2)+m=m−k1+km，由x0+my0=2km+1−m21+km+m2−km1+km=1+km1+km=1．即有N在直线AB上．【答案】证明：∵S n=12a n a n+1，∴a n+1＝S n+1−S n=12a n+1a n+2−12a n a n+1，整理得：a n+2−a n＝2，又∵a1＝1，a2=2S1a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n＝n，即数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；由（1）可知b n=2a n−2a n+1=2n−2（n+1）=12n+2，∴b n b n+1=12n+2⋅12n+3=125⋅14n，∴b k b k+1+b k+1b k+2+...+b n b n+1=125(14k+14k+1+⋯+14n)=125⋅14k⋅1−14n−k+11−14=13⋅123+2k(1−14n+1−k)，又∵limn→∞(b k b k+1+b k+1b k+2+...+b n b n+1)=1384，即13⋅123+2k=1384，解得：k＝2；∵c1＝1，c k+1c k =k−ma k+1，a n＝n，∴c k+1c k =k−mk+1，c kc k−1=(−1)⋅m−(k−1)k(m>k, m≥2)，∴c2=c2c1=(−1)m−12，c3=c3c2⋅c2c1=(−1)2(m−2)(m−1)3×2，c4=c4c3⋅c3c2⋅c2c1=(−1)3⋅m(m−1)(m−2)(m−3)4×3×2×1=(−1)3⋅1m⋅C m4，…c k＝(−1)k−1⋅1m⋅C m k，显然当m＝1时满足上式，即c m＝(−1)m−1⋅1m⋅C11，∴c1+c2+...+c m=1m[C m1−C m2+⋯+(−1)m−1⋅C m m]=1m[C m0−C m2+C m3−C m4+⋯+(−1)m⋅C m m−1−1]=1m⋅(1−1)m−1−1=1m．【考点】数列的求和等差数列的性质【解析】（1）通过S n=12a n a n+1，利用a n+1＝S n+1−S n整理得a n+2−a n＝2，进而可知数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n=12n+2，进而可知b n b n+1=125⋅14n，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过c k+1c k =k−ma k+1及a n＝n分别计算出c2c1、c3c2、c4c3、c nc n−1的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【解答】证明：∵S n=12a n a n+1，∴a n+1＝S n+1−S n=12a n+1a n+2−12a n a n+1，整理得：a n+2−a n＝2，又∵a1＝1，a2=2S1a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n＝n，即数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；由（1）可知b n=2a n−2a n+1=2n−2（n+1）=12n+2，∴b n b n+1=12n+2⋅12n+3=125⋅14n，∴b k b k+1+b k+1b k+2+...+b n b n+1=12(14+14+⋯+14)=125⋅14k⋅1−14n−k+11−14=13⋅123+2k(1−14n+1−k)，又∵limn→∞(b k b k+1+b k+1b k+2+...+b n b n+1)=1384，即13⋅123+2k=1384，解得：k＝2；∵c1＝1，c k+1c k=k−ma k+1，a n＝n，∴c k+1c k=k−mk+1，c kc k−1=(−1)⋅m−(k−1)k(m>k, m≥2)，∴c2=c2c1=(−1)m−12，c3=c3c2⋅c2c1=(−1)2(m−2)(m−1)3×2，c4=c4c3⋅c3c2⋅c2c1=(−1)3⋅m(m−1)(m−2)(m−3)4×3×2×1=(−1)3⋅1m⋅C m4，…c k＝(−1)k−1⋅1m⋅C m k，显然当m＝1时满足上式，即c m＝(−1)m−1⋅1m⋅C11，∴c1+c2+...+c m=1m[C m1−C m2+⋯+(−1)m−1⋅C m m]=1m[C m0−C m2+C m3−C m4+⋯+(−1)m⋅C m m−1−1]=1m⋅(1−1)m−1−1=1m．。
2020年上海市高考数学模拟试卷(2)(4月份) (含答案解析)
2020年上海市高考数学模拟试卷(2)(4月份)一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2π+4B. 23π+4C. π+2D. π+42. 过抛物线x 2=−4y 的焦点作斜率为1的直线l ，若l 与抛物线相交于M ，N 两点，则|MN|的值为( )A. 8B. 16C. 64D. 8√23. 设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( )条件．A. 必要不充分B. 充分不必要C. 既不充分也不必要D. 充要4. 已知函数f(x)=3x 2−5x +2，则下列选项中正确的是( )A. f(−√2)=14−5√2B. f(−a)=−3a 2+5a +2C. f(a +3)=3a 2+13a +14D. f(a)+f(3)=3a 2−5a +14二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={x|2x ≥x 2}，B ={−2,0，2}，则A ∩B = ______ ．6. 已知函数f(√x +1)=x +2√x ，则f(x)=________．7. 已知sinα+cosα=√23，0<α<π，则tan(α−π4)= ______ ．8. 函数f(x)=(x −1)2，(x ≤0)的反函数是______ ．9. 已知偶函数f (x )在区间(−∞,0)上单调递减，则满足不等式f (5x −2)<f (14)的x 的取值范围是__________10. 函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[0,π3]上单调递增，且在这个区间上的最大值是√2，则ω的值为______ ．11. 已知抛物线C ：{x =2t 2y =2t，(t 为参数)设O 为坐标原点，点M(x 0,y 0)在C 上运动，点P(x,y)是线段OM 的中点，则点P 的轨迹普通方程为______ ．12. 从集合{−1,1,2,3}随机取一个为m ，从集合{−2,−1,1,2}随机取一个为n ，则方程x2m+y 2n=1表示双曲线的概率为___________．13. 函数f(x)=1+xx 2+1+sinx(x ∈R)的最大值与最小值之和等于______ ．14. 如图，四个边长为1的等边三角形有一条边在同一条直线上，边IH 上有3个不同的点P 1，P 2，P 3则(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=______．15. 已知函数f(x)={2−2x ,x ≤−12x +2,x >−1，则满足f(a)≥2的实数a 的取值范围是______ ．16. 在等差数列{a n }中，若a 9=0，则有a 1+a 2+⋯+a n =a 1+a 2+⋯+a 17−n (其中n <17，且n ∈N ∗).类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 10=1，则有______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知平面向量m ⃗⃗⃗ =(2cos A2,2cos A2)，n ⃗ =(−cos A 2,cos A 2)，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +n ⃗ 2=√22，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2． (1)求角A 的大小；(2)若AC 边上的高为h ，用边长AB 及角A 表示h ，求出△ABC 的面积．18.已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S．(1)求圆柱的底面半径；(2)求其底面是正方形的内接四棱柱的表面积．19.设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分流x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0<x<100).而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万元．(1)若要保证第二产业的产值不减少，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，问应分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？+y2=1右焦点F的直线l与椭圆交于两点C，D，与直线x=2交于点E．20.过椭圆x22(1)若直线l的斜率为2，求|CD|；(2)设O为坐标原点，若S△ODE：S△OCE=1：3，求直线l的方程．(n≥2).求证：数列{a n}为等差数21.已知数列{a n}的各项均为正数，a1=3，且满足a n=a n2−a n−12+12列．【答案与解析】1.答案：D解析：由三视图可知，该几何体为半个圆柱加一个长方体的组合体，故其体积为V =12π×12×2+2×1×2=π+42.答案：A解析：解：焦点F(0,−1)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 直线l 的方程为：y =x −1，联立{y =x −1x 2=−4y ，化为：y 2+6y +1=0，∴y 1+y 2=−6，∴|MN|=2−(y 1+y 2)=2−(−6)=8， 故选：A ．直线l 的方程为：y =x −1，与抛物线方程联立化为：y 2+6y +1=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：B解析：本题考查充分必要条件的判定，是基础题．由a >1⇒a 2>1，而a 2>1不能推出a >1，则答案可求．解：当a ∈R 时，a >1⇒a 2>1；而a 2>1不能推出a >1，也可能a <−1． ∴“a >1”是“a 2>1”的充分不必要条件． 故选B ．4.答案：C解析：本题主要考查函数求值问题，属于简单题．将对应的x的取值代入函数f(x)即可求解．解：f(−√2)=3×(−√2)2−5×(−√2)+2=3×2+5×√2+2=8+5√2；f(−a)=3(−a)2−5(−a)+2=3a2+5a+2；f(a+3)=3(a+3)2−5(a+3)+2=3a2+18a+27−5a−15+2=3a2+13a+14；f(a)+f(3)=3a2−5a+2+3×32−5×3+2=3a2−5a+2+27−15+2=3a2−5a+16．故选C．5.答案：{0,2}解析：解：由A中不等式变形得：x(x−2)≤0，解得：0≤x≤2，即A={x|0≤x≤2}，∵B={−2,0，2}，∴A∩B={0,2}．故答案为：{0,2}求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.答案：x2−1 (x≥1)解析：本题考查换元法求函数解析式，本题的易错点是疏忽写函数的定义域．解：令√x+1=t，则t≥1，所以x =(t −1)2，由已知有：f(t)=(t −1)2+2(t −1)=t 2−1 (t ≥1)， 即f(x)=x 2−1 (x ≥1)． 故答案为x 2−1 (x ≥1)．7.答案：2√2解析：解：由题意知，sinα+cosα=√23，两边平方得，2sinαcosα=−79<0， ∵0<α<π，且sinα+cosα=√23>0∴π2<α<3π4，则tanα<−1，又2sinαcosα=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=−79， 则2tanαtan 2α+1=−79， 解得tanα=−9−4√27或tanα=−9+4√27(舍去)， ∴tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=tanα−11+tanα=−9−4√27−11+−9−4√27=√21+2√2=2√2，故答案为：2√2．由平方关系化简已知的式子求出2sinαcosα的值，由三角函数值的符号和α的范围进一步缩小α的范围，由正切函数的性质求出tanα的范围，由条件和同角三角函数的基本关系列出方程，化简后求出tanα的值，由两角差的正切公式化简、求值．本题考查两角差的正切函数，同角三角函数的基本关系，三角函数值的符号，以及角的范围缩小的方法，考查化简、变形、计算能力．8.答案：f −1(x)=−√x +1，(x ≥1)解析：解：∵函数f(x)=(x−1)2，(x≤0)，∴x−1=−√y，∴x=−√y+1，互换x，y，得：y=−√x+1.(x≥1)，∴f−1(x)=−√x+1，(x≥1)．故答案为：f−1(x)=−√x+1，(x≥1)．由函数f(x)=(x−1)2，(x≤0)，求出x=−√y+1，互换x，y，得：y=−√x+1.(x≥1)，由此能求出结果．本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数的性质的合理运用．9.答案：(720,9 20)解析：因为f(x)是偶函数，所以f(5x−2)=f(|5x−2|)<f(14)，因为f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以|5x−2|<14，即x的取值范围是(720,920)．10.答案：34解析：本题主要考查正弦函数的单调性和最大值，属于基础题．由题意可得ω⋅π3≤π2，且ω⋅π3=π4，由此求得ω的值．解：∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[0,π3]上单调递增，∴ω⋅π3≤π2．再根据在这个区间上f(x)的最大值是√2，可得ω⋅π3=π4，则ω=34，故答案为：34．11.答案：y2=x解析：解：∵点P(x,y)是线段OM的中点，∴x0=2x，y0=2y，又点M(x0,y0)在C上，∴x0=2t2，y0=2t，∴2x=2t2，2y=2t，消去参数t得y2=x故答案为y2=x．先利用中点坐标公式得点P与点M坐标之间的关系，再结合点M(x0,y0)在C上运动知其坐标适合曲线C的参数方程，最终消去参数即可得到点P轨迹的普通方程．本题考查点的参数方程和直角坐标的互化及参数法求点的轨迹方程的方法，属于基础题之列．12.答案：12解析：本题考查概率的求法，考查双曲线、古典概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数N=4×4=16，由方程x2m +y2n=1表示双曲线，得mn<0，从而方程x2m+y2n=1表示双曲线包含的基本事件个数M=3×2+1×2=8，由此能求出方程x2m +y2n=1表示双曲线的概率．解：∵从集合{−1,1，2，3}随机取一个为m，从集合{−2,−1,1，2}随机取一个为n，∴基本事件总数N=4×4=16，∵方程x2m +y2n=1表示双曲线，∴mn<0，∴方程x2m +y2n=1表示双曲线包含的基本事件个数M=3×2+1×2=8，∴方程x2m +y2n=1表示双曲线的概率为p=3×2+1×24×4=12．故答案为12．13.答案：2解析：解：∵函数f(x)=1+xx2+1+sinx(x∈R)，∴设g(x)=xx2+1+sinx，则g(−x)=−xx2+1−sinx=−g(x)，∴g(x)是奇函数； 设g(x)的最大值为M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质， ∴g(x)的最小值为−M ，又f(x)max =1+g(x)max =1+M ， f(x)min =1+f(x)min =1−M ，∴f(x)max +f(x)min =1+M +1−M =2； 故答案为：2．由题意，设g(x)=xx 2+1+sinx ，则g(x)是奇函数；设出g(x)的最大值M ，则最小值为−M ，求出f(x)max 与f(x)min 的和即可．本题考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，是基础题．14.答案：18解析：解：法1：不妨让P 1与H 重合，P 3与I 重合，P 2取HI 的中点，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =32(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ ) =32(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =212AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴所求式=(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(212AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =212+32+212AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =18；法2：不妨让P 1与H 重合，P 3与I 重合，P 2取HI 的中点， 则AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴所求式化为：3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠FAP 2…(∗) 作辅助图形：设P 2Q ⊥AI 于Q ，则AQ =3+34=154，P 2Q =√34 得AP 2=√572， ∴cosθ=2√57，sinθ=√32√57∴cos∠FAP 2=cos(30°−θ)=√32×152√57+12×√32√57 =4√3√57∴(∗)=3×√3×√572×4√3√57=18法1，以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底表示各个向量，不难求解；法2，作为填空题，注意利用好特殊位置，简化求解过程．此题考查了特例法解决填空题，并综合考查了数量积和三角公式等知识，有一定的难度． 15.答案：(−∞,−1]∪[0,+∞)解析：解：函数f(x)={2−2x ,x ≤−12x +2,x >−1，且f(a)≥2， 则有{a ≤−12−2a ≥2或{a >−12a +2≥2， 即{a ≤−1−2a ≥1或{a >−1a ≥0， 即有a ≤−1或a ≥0．则a 的取值范围为(−∞,−1]∪[0,+∞)．故答案为：(−∞,−1]∪[0,+∞)．讨论a ，结合分段函数有{a ≤−12−2a ≥2或{a >−12a +2≥2，由指数函数的单调性和一次不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用，主要考查不等式的解法和运用，运用指数函数的单调性是解题的关键．16.答案：b 1⋅b 2⋅…⋅b n =b 1⋅b 2⋅…⋅b 19−n (其中n <19，且n ∈N ∗)解析：解：在等差数列{a n }中，若a 9=0，利用等差数列的性质可知，若m +n =18，a 18−n +a n =0， ∴a 1+a 2+⋯+a n =a 1+a 2+⋯+a 17−n (其中n <17，且n ∈N ∗).故相应的在等比数列{b n }中，若b 10=1，则有b 1⋅b 2⋅…⋅b n =b 1⋅b 2⋅…⋅b 19−n (其中n <19，且n ∈N ∗).故答案为：b 1⋅b 2⋅…⋅b n =b 1⋅b 2⋅…⋅b 19−n (其中n <19，且n ∈N ∗).根据类比的规则，和类比积，加类比乘，由类比规律得出结论即可本题的考点是类比推理，考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可17.答案：解：(1)∵m ⃗⃗⃗ =(2cos A 2,2cos A 2)，n ⃗ =(−cos A 2,sin A2)，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +n ⃗ 2=√22， ∴−2cos 2A 2+2sin A 2cos A 2+1=√22，即sinA −cosA =√22，所以sin (A −π4)=12.∵A ∈(0,π)，∴A −π4∈(−π4,34π)，∴A −π4=π6，A =5π12．(2)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =2.∵AC 边上的高为h ，∴ℎ=｜AB ｜sinA ．．即△ABC 的面积为2+√3．解析：本题考查了平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、二倍角公式，三角形面积公式的应用．(1)利用平面向量数量积求得sin (A −π4)=12，从而求A ； (2)由三角形面积公式可得ℎ=｜AB ｜sinA ，则S ▵ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =tanA =tan 5π12，从而求得三角形面积．18.答案：解：(1)如图，设圆柱的底面半径为r ，则高ℎ=2r ，∴S =2πr 2+2πr ×2r =6πr 2，∴r 2=S 6π，∴r=√S6π.(2)设四棱柱的底面边长为a，则a=2rsin45∘=√2r.∴S四棱柱表=4aℎ+2a2=4×√2r×2r+2(√2r)2=4(2√2+1)r2=4(2√2+1)×S6π=2(2√2+1)S3π．解析：分析：本题考查空间简单几何体的结构特征，考查柱体的表面积，考查计算能力，属中档题．(1)设圆柱的底面半径为r，则高ℎ=2r，由全面积为S，易求得r；(2)设四棱柱的底面边长为a，每个面的面积相加即可．19.答案：解：(1)依题意，(100−x)(1+2x%)a≥100a(0<x<100)，整理得：x2≤50x，解得：0<x≤50，∴满足题意的x的取值范围是：(0,50]；(2)由(1)可知0<x≤50，记该市第二、三产业的总产值为y，则y=(100−x)(1+2x%)a+1.2ax−100a=−a50(x−55)2+121a2，又∵0<x≤50，∴当x=50时y取最大值121a2−25a50=60a，答：在(1)的条件下，应分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)通过解不等式(100−x)(1+2x%)a ≥100a(0<x <100)计算即可；(2)通过(1)可知0<x ≤50，利用该市第二、三产业的总产值为y =(100−x)(1+2x%)a +1.2ax −100a 计算即得结论．20.答案：解：(1)由已知，c =1，F(1,0)，直线l 的方程为y =2x −2．设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立{x 2+2y 2=2y =2x −2，消y 得9x 2−16x +6=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=169，x 1x 2=69， ∴|CD|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√5√(169)2−4×69=10√29． ∴|CD|=10√29；(2)依题意，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，则直线l 的方程为y =k(x −1)，联立{x 2+2y 2=2y =kx −k，消y 得(1+2k 2)x 2−4k 2x +(2k 2−2)=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=4k 21+2k 2…①，x 1x 2=2k 2−21+2k 2…②∵S △ODE ：S △OCE =1：3，∴|DE|：|CE|=1：3，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2−x 1=3(2−x 2)，整理得 3x 2−x 1=4…③由①③得 x 1=k 2−12k 2+1，x 2=3k 2+12k 2+1， 代入②，解得k =±1，∴直线l 的方程为y =x −1或y =−x +1．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理与弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由椭圆的标准方程可知：直线l 的方程为y =2x −2，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；(2)设直线l 的方程为y =k(x −1)，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，由S △ODE ：S △OCE =1：3，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求得3x 2−x 1=4，即可求得k 的值，求得直线l 的方程． 21.答案：证明：因为2a n =a n 2−a n−12+1(n ≥2)，即a n 2−2a n +1=a n−12，得(a n −1)2=a n−12， 因此a n −1=a n−1或a n −1=−a n−1．若a n −1=−a n−1，则a n +a n−1=1，而a 1=3，所以a 2=−2， 这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n −1=a n−1，即a n −a n−1=1(n ≥2)， 因此数列{a n }是等差数列．解析：本题考查等差数列的判定与证明．先对已知条件进行变形，得到a n −1=a n−1或a n −1=−a n−1，对其进行验证，利用等差数列的定义证明．。
4月大数据精选模拟卷02(上海卷)(原卷版)
2020年4月高考数学大数据精选模拟卷02数 学（上海卷）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.已知集合{|A x y ==，{|2,}xB y y x R ==∈，则()R C A B ⋂=__ ． 2.若“对任意的0,,tan 4x x m π⎡⎤∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为__ ． 3. 若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则p =__ ． 4. 已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥母线与底面所成角为__ ．（用反三角表示）5.若复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（,c d 均为实数）的一个根，则||c di +=__ ．6. 若函数()()11+0f x xx =>的反函数为()1f x -，则不等式()12f x ->的解集为__ ． 7.已知直线320x y +-=与单位圆221x y +=交于A 、B 两点，设OA 、OB 的倾斜角是α、β，则cos cos αβ+=__ ．8.函数sin 0cos ()10011x xf x ωω=（x ∈R ），又()2f α=-，()0f β=，且||αβ-的最小值等于34π，则正数ω的值为__ ．9. 2020年初，某地区确诊有A 、B 、C 、D 四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的，对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都221(0)2x y p p p+=>22(0)y px p =>是12，同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，若B 、C 、D 三人中恰有两人直接受A 感染的概率是__ ．10. 圆的内接正六边形123456A A A A A A 的边长为1，若P 为弓形34A A 内任意一点（如图所示的阴影部分，含边界），则136A A A P ⋅u u u u r u u u u r的取值范围是__ ．11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +-=，若函数()3221sin 1x x x x x g x ++++=+与()y f x =有n 个公共点，分别为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，则()1ni i i x y =+=∑__ ．12.数列{}n a 满足()*121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n N+++++=++≠∈，且11a =，22a = .若()()sin 0,0n a A n c ωϕωϕπ=++><<，则实数A =__ ．二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. “sin 0x =”是“cos 1x =”的 （ ）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要不充分条件D. 既非充分又非必要条件14. 已知曲线Γ的参数方程为3cos ln(x t t ty t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，其中参数t ∈R ，则曲线Γ （ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 没有对称性15.若,R a b ∈，a b >且11lim lim n n n nn n n n a b a b a a-+→∞→∞++>，则a 的取值范围为 （ ） A ． 1a >或1a <- B ．11a -<< C ．1a >或10a -<< D ．1a <-或01a << 16. 如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD=++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图像大致是 ( )A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
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13. “ sin x 0 ”是“ cos x 1”的
（）
A. 充要条件
B. 充分非必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】 sin x 0 x k (k z) ,而 cos x 1 x 2k (k z) ；所以“ sin x 0 ”是“ cos x 1”
．
【答案】 2 3 3
【解析】数列 an 满足 anan1an2 an an1 an2 anan1 1, n N * ，且 a1 1 ， a2 2 .
令 n 1 ，得： 2a3 1 2 a3 ，解得 a3 3 .令 n 2 ，得： 6a4 2 3 a4 ，解得 a4 1.
f x 2 ，若函数
gx
x3 x2 x 1 sin x x2 1
与
n
y f x 有 n 个公共点，分别为 x1, y1 , x2, y2 ,, xn , yn ，则 xi yi __
．
i 1
【答案】 n
【解析】因为 f x f x 2 ，故可得 f x 关于 0,1 对称，且 f 0 1
3， 2
当直线 l 与阴影部分的弧相切时
(
z 3)2 12
1 ， z 2 ，∴ zmax 2 ，
∴
3 2
3 2
3 2
A1 A3
A6 P
3 2 3 ，即所求取值范围是[3, 2
2
2
3 3] ．故答案为：[3, 2 3
3 3] ． 3
11. 已 知 定 义 在
R
上的函数
f
x 满足
f x
①﹣②得： 3A cos 1，即 A cos 3 ；联立解得： tan 3 ， 0 ， 3
∴
2 3
，∴
A
23 3
.故答案为：
23 3
.
二、 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，
将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
．
【答案】2,
【解析】因为 A {x | 2x x2 0} {x | 0 x 2} ，所以 CU A {x | 2x x2 0} {x | x 0 或 x 2}
故 (CU A) B {x | x 2} ，故答案为：[2, ) ．
2.若“对任意的
x
0,
4
,
tan
x
m
令 n 3 ，得： 3a5 1 3 a5 ，解得 a5 2 .……，可得 an3 an ， a1 1 ， a2 2 ， a3 3 .
∵ an
Asin n c
0, 0
，∴ 2
3 ，解得
2 3
.
∴ an
A sin
2 3
n
c
0
，
∴1
A
sin
2 3
c
，
2
A sin
2020 年 4 月高考数学大数据精选模拟卷 02
数 学（上海卷）
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每
个空格填对得 4 分，否则一律得零分．
1.已知集合 A {x | y 2x x 2} ， B {y | y 2x, x R} ，则 CR A B __
23
2 32
2
10. 圆的内接正六边形 A1A2 A3 A4 A5 A6 的边长为 1，若 P 为弓形 A3 A4 内任意一点（如图所示的阴影部分，含
边界），则 A1A3 A6P 的取值范围是__
．
【答案】 3,3+22
3
3
【解析】如图，以直线 A6 A3 为 x 轴，线段 A6 A3 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A6 (1, 0) ，
．
2p p
【答案】 4
【解析】椭圆的焦点坐标为 p, 0 ,
p,0
，抛物线的焦点坐标为
p 2
,
0
，
所以有
p
p
，解得
p
4 ，故答案为 4 .
2
4. 已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为 9 和15 ，则该圆锥母线与底面所成角为__
表示）
【答案】 arcsin 3 5
．（用反三角
1
r2 9
2 3
2
c
，3
A
sin
2 3
3
c
.
化为：1
A sin
2 3
c
，
2
A sin
3
c
，
3
A sin
c
.
∴
A sin
A sin
3
1，
A sin
A sin 3 A cos 1
2
2
①
3A sin 3 Acos 2 ②
2
2
由 ①+②得： 3Asin 3 ，即 Asin 1；
．
【答案】 2 2 【解析】因为复数 z 1 i （ i 为虚数单位）是实系数方程 x2 cx d 0 的一个根， 所以另一根为1 i ，由韦达定理可知 c 1 i 1 i, d (1 i)(1 i) c 2, d 2
所以 | c di | 2 2i 2 11 2 2 .故答案为： 2 2
A1
(
1 2
,
3 2
)
，
A3
(1,
0)
，
A4
(
1 2
,
3 2
)
，
A5
(
1 2
,
3 ) ．设 P(x, y) ， 2
则
A6 P
(x
1,
y)
，
A1 A3
(
3 2
,
3) 2
，∴
A1 A3
A6 P
3 2
(x
1)
3 y 2
3( 2
3x y) 3 ， 2
令z
3x y ，易知直线 l :
3x y 0 就是直线 A2 A5 ，平移直线 l ，当 l 与 A3 A4 重合时，zmin
．
2 【答案】
3
sinx 0 cosx
【解析】由 f (x) 3 1
0
sin x
3 cos x
2sin(x
)
；
3 01 1
∵
f ( ) 2 ，
f () 0且|
| 的最小值等于 3
1
，则
2
3
2 。故答案为 2
4 4 4
3
3
9. 2020 年初，某地区确诊有 A 、 B 、C 、 D 四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有 A 到过疫区， B 肯定
”是真命题，则实数
m
的最小值为__
．
【答案】1
【解析】若“
x
0,
4
,
tan
x
m
”是真命题，则
m
大于或等于函数
y
tan
x
在
0,
4
的最大值
因为函数
y
tan
x
在
0,
4
上为增函数，所以，函数
y
tan
x
在
0,
4
上的最大值为
1，
所以， m 1，即实数 m 的最小值为1.故答案为:1.
3. 若椭圆 x2 y2 1( p 0) 的一个焦点与抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点重合，则 p __
6. 若函数 f x 1+ 1 x 0 的反函数为 f 1 x ，则不等式 f 1 x 2 的解集为__
．
x
【答案】
1,
3 2
【解析】∵
f
(x)
1
1 x
，∴有
f
1 ( x)
x
1 1
(
x
1) ，则
1 x 1
2 ，必有
x 1
0 ，∴ 2(x 1)
1，解
得1
x
3 2
．故答案为：
1,
3 2
．
7.已知直线 3x y 2 0 与单位圆 x2 y2 1 交于 A 、 B 两点，设 OA 、 OB 的倾斜角是 、 ，则
cos cos __
．
6
【答案】
5 【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，根据三角函数的定义得： cos cos
x1
x2
；由
3x
x
2
y 2 y2 1
0
，消去
y
得 10 x 2
12x
3
0
，则
x1
x2
6 5
；即 cos
cos
6 5
。故答案为：
6 5
2
sinx 0 cosx
8. 函数 f (x) 3 1 01
0 （ x R ），又 f ( ) 2 ， f ( ) 0 ，且 | | 的最小值等于 3 ，
1
4
则正数 的值为__
的必要不充分条件；应填 C
5
x t3 t cost 14. 已知曲线 的参数方程为
，其中参数 t R ，则曲线
y ln(t t2 1)
A. 关于 x 轴对称
B. 关于 y 轴对称
C. 关于原点对称
（） D. 没有对称性
【答案】C
【解析】令 x f (t) t3 t cos t, y g(t) ln(t t2 1)) ，∵ f (t) t 3 t cos t f (t) ，
C 、D 三人直接受 A 感染的为事件 B 、C 、D ，则 B 、C 、D 是相互独立的，并且 p(C) 1 , p(D) 1 ;