数学方法论第二章_ 化归作业
《数学方法论》数学中的化归方法
第五章 数学中的化归方法就数学思想方法的研究而言，一个重要问题在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想方法上是否有其特殊的地方。
对于上述问题、匈牙利着名数学家罗莎·彼得（Rosza Peter ）在其名着《无穷的玩艺》中曾通过一个有趣的事例进行分析。
她所给出的事例是这样的：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。
”提问者肯定了这一回答。
但是，他又追问到：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应当怎样去做？”这时被提问题者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”。
但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样的；而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。
”罗莎指出，这种思维方法对数学家来说是十分典型的。
这就是说：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。
”这也就是说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。
本章的内容主要是论述化归方法的基本思想与原则以及一些具体的化归方法。
§5.1 化归方法的基本思想与原则人们在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会设法将对新事物或新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。
例如，我们在解决数学问题的过程中，常常是将待解决的问题通过转化，归结为较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决。
这种问题之间的转化概括起来就是化归方法。
“化归”是转化和归结的简称。
化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A ，通过某种转化手段。
初中数学思想方法篇——化归思想
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心 【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之化归思想一、注解：“化归”就是转化和归结的简称。
所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。
具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。
如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形…..实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）A -17℃B 17℃C 5℃D 11℃【例2】 计算：()()02324732+-++2. 在代数式的化简求值中的运用【例3】计算：111x x x ++-【例4】已知31x =-，求代数式11x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值。
3.在方程（组）中的运用【例5】用配方法解方程：x 2-4x+1=0【例6】解方程组：728x y x y +=⎧⎨-=⎩【例7】用换元法解方程：226212x x x x +-=+4.在确定函数解析式中的运用【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如图为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R 与电流I 的函数解析式为：（ ）A. 2I R =B. 3I R =C. 6I R =D. 6I R=-【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）求小李个人月收入y （元）与月销售量x （件）（x ≥0）之间的函数关系式。
（2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？【例10】已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点O （0，0），A （1，3），B （-2，43）和C （-1，m ）四个点。
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
02第二讲 解决数学问题的基本方法——化归方法
美国著名的数学家、数学教育家G•波利亚在《数学的发现》一 书中给出了下述解决问题的方法： 在面临所要解决的问题时，我们应当考虑：“这是什么类型的问 题？它与某个已知的问题有关吗？它象某个已知的问题吗？” 具体地说，我们可以从所要追求的具体目标（未知元素、待证 命题）出发来进行考虑：“这里所谓的关键事实是什么？有一个
化归的一些例子
笛卡尔的“万能方法”（一般模式）： 第一，把任何问题化归为数学问题；第二，把任何数 学问题化归为代数问题；第三，把任何代数问题化归 为方程式的求解。 由于求解方程问题是已经解决或较为容易解决的，因 此，在笛卡尔看来，就可利用上述方法解决任何类型 的问题，故称其为“万能方法”。 不容置疑，他所阐述的上述化归原则事实上已成为他 赖以创立解析几何的思想方法基础。
显然，正确有效地应用RMI方法地关键显然在于引进 合乎要求的映射。 一般地，使用RMI方法应满足如下条件：
第一，所采用的映射φ必须是可定映的，即目标映象能通过 确定的有限多个数学手续从映象关系结构系统中寻求出来。 这里，所谓的“数学手续”指的是：凡是由数值计算、代数计 算、解析计算（包括极限手续等）、逻辑演算以及数学论证 等步骤作成的形式过程都称为数学手续。 第二、相应的逆映射（反演）φ-1必须具有能行性，即通过 目标映象能将目标原象的某种需要的性态经过有限步骤确定 下来。
化归方法用框图可直观表示为：
待解决问题A 化归 对象 还原 转化 （化归途径） 化归 目标 容易解决的问题B
问括三个基本要素，即化归对象、化归目 标和化归途径(或化归策略)。
匈牙利著名数学家路莎·彼得（Rozsa Peter）在她的名著《无穷 的玩艺》一书中曾对“化归方法”作过生动而有趣的描述： 如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的， 他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直 至把它转化为已经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点 来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学 家中却是广为流传的：
数学解题思想【数学解题中的化归思想】
数学解题思想【数学解题中的化归思想】一、化归的基本思想“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.二、化归的基本原则在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际的问题转化为数学问题；将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.三、化归的基本类型1.常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.分析：若采用方程求根公式x=来讨论x的整数值，显然十分复杂.在原方程中，x是变元，a是参数，不妨把a与x的位置换一下，把a看做变元，x看做参数来处理.解：将原方程以a作变元，重新整理，得a（x+2）=2x+7①显然，当x=-2时，①式不成立.因此，有a=（x≠-2）②若要a为正整数，则须2x+7≥（x+2）解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分别代入②式中即知，仅当x=-3，x=-1和x=1时能使a 为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.2.数与形之间的转化数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.例2.求函数f（x）=的值域.分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.解：设y=，则f（x）==，于是所求y的值域就是求定点A（1，-2）与半圆y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的动点P（x，y）所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A（1，-2）斜率为［1，+∞），即f（x）的值域为［1，+∞）.图13.一般与特殊的转化若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决；反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.例3.设f（n）=++。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用化归是高中数学中常用的一种解题思想，通常能够将乍一看十分复杂的数学问题化简为简单的形式，并有助于提高解题效率。
以下就是在高中数学解题中常用的化归思想。
1. 化简式子在高中数学中，经常会遇到一些复杂的式子需要进行化简。
这时，可以利用代数恒等式、特殊值、分子分母约分、公因式等方法进行化简，使得式子更加简单明了。
例如，对于下面的式子：$$\frac{3x^2+6x}{3}$$可以通过将分子分母都除以3来化简：2. 找出规律在高中数学中，很多数列题需要找出其中的规律以求得下一项或任意一项。
通常可以通过对前几项进行观察来找出规律，并据此求出剩余的项。
例如，对于下面的题目：已知数列$\{a_n\}$的前3项$a_1=1,a_2=3,a_3=7$，且$a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=0$，求$a_{10}$。
3. 取特例在高中数学中，有时候我们需要回归到一些基本的数学概念，通过取特例来探究问题的本质。
例如，对于下面的问题：已知$a,b>0$，且$a+b=2$，求$ab$的最大值。
由于$a+b=2$，可以取$b=2-a$，则$ab=a(2-a)=-a^2+2a$。
此时，问题就变成了求$-a^2+2a$的最大值。
该函数在$a=1$处取得最大值1，从而得到$ab$的最大值为1。
4. 对称化在高中数学中，一些问题可以通过对称化的方法得到简洁的解决方式。
例如，对于下面的问题：已知正整数$x,y,z$满足$x+y+z=1$，求$x^2+y^2+z^2$的最小值。
由于$x+y+z=1$，可以令$a=\frac{x+y}{2},b=\frac{y+z}{2},c=\frac{z+x}{2}$，则$x=a+c-b,y=b+a-c,z=c+b-a$。
此时，$x^2+y^2+z^2$可以化成$a^2+b^2+c^2$的形式。
由于$x+y+z=1$，可以得到：$$2(a+b+c)=x+y+z+3(a+b+c)-3=2$$从而可得$a+b+c=1$。
初三数学专题复习(二)化归思想.docx
初中数学专题复习(二)化归思想本专题专门复习化归思想.所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易.如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等.【典型例题剖析】一、转化思想在代数中的应用。
1、解下歹方程(组)：(1) - + — = -^— : (2) [x+y-10 ； (3)x"3x+2=0 ；(4) 2(.r-l)2-5(A--1)+2=0x+1 x-1 _r -1 [2x-y=-l2、已知.r+y+8.r + 6j + 25 = 0,求代数式,亍-4），,一的值。
x + 4xy + 4y x + 2y3、已知x2-x-l=0,则代数式-x2+x+2009的值为多少?4、已知x2+X-1=0,^X3+2X2 +2009的值。
Q5、如图3 — 1 — 1,反比例函数y=—-与一次函数y=—x+2的图象交于A、B两点. x(1)求A、B两点的坐标；(2)求ZXAOB的面积.二、转化思想在几何中的应用。
1、已知两圆内切于T,过T点的直线交小圆于A,交大圆于B 求证：TA:TB为定值01 02/A'2、如图，梯形 ABCD 中，AD 〃BC, AB=CD,对角线 AC 、BD 相交于 0 点，且 AC_LBD, AD=3, BC=5,求 AC 的 长。
3、如图，已知两个半圆，大半圆的弦AB 与小半圆相切，且AB // CDo AB=6cm,求图中阴影部分面积。
5、求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高.已知：在AABC 中，AB=AC, D 是BC 上任一点，DE L AC 交AC 于E,DF LAB 交 于 F, BGLAC 交 AC 于 G.求证：DE + DF = BG.6、如图4 — 1所示，是半圆的直径，过B 作的垂线，在这垂线上任 取一点A,过A 作半圆的切线A£),。
第二讲：化归Word版
第二讲化归方法一、化归方法的含义所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。
数学方法论中的化归方法是指：将一个问题进行变换，使其归结为另一个已能（或已经）解决的问题，最终获得问题的解的一种求解问题的手段和方法。
或简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。
其解决问题的思维方式是“转化”或“再转化”，解题过程可用下列框图来表述：一般是：由未知到已知，由难到易，由繁到简，由暗到明。
2.化归方法遵循的基本原则主要有：熟悉化原则，简约化原则，具体化原则，正难则反原则。
3.化归方法包括三个要素：化归对象：即把什么东西进行化归；化归目标：即化归到何处去；化归途径：即如何进行化归。
4、化归方法的分类（1）按照化归方法应用的范围来分，有外部的化归方法（即将实际问题转化为数学问题）与内部的化归方法（即将某一类数学问题转化为另一类数学问题）。
从数学研究的角度看，应用数学问题大多来源于数学外部，纯数学问题大多来源于数学内部。
（2）按照化归方法解决问题的性质来分，有计算的化归方法，论证的化归方法，建立新科学体系的化归方法等。
（3）按照化归方法应用的广度来分，有:多维化归方法（指跨越多种数学分支，广泛适用于各学科体系的化归方法）；二维化归方法（指能沟通两个不同数学分支的化归方法，如解析法等）；广义化归方法（指超出数学学科范围的化归方法，如MM方法等）。
有位数学教育工作者提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中倒上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。
”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。
”但是，提问者指出，他对这样的回答并不满意，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称把后一问题化归为前面所说的问题了。
《数学方法论》数学中的化归方法
《数学方法论》数学中的化归方法数学中的化归方法是一种常用的解题策略，它通过将复杂的问题转化为简单的问题来进行求解。
化归方法在数学中应用广泛，可以用于解代数方程、数列求和、几何问题等各个领域。
首先，化归方法常常用于解代数方程。
对于一般的一元方程，我们可以通过化归将其转化为更简单的方程来求解。
例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过变量替换或者配方法来化简为标准的二次方程求解。
对于高次方程，我们也可以通过不断化归，将其转化为低次方程或者一元方程组来求解。
这种化归方法在解方程过程中发挥了重要的作用。
其次，化归方法也常应用于数列求和问题。
对于一般的数列，我们可以通过找到其递推关系或者通项公式来化归为简单的数列，从而求出数列的和。
例如，对于等差数列和等比数列，我们可以通过化归方法求得其求和公式。
化归方法在数列求和问题中的应用，可以大大简化求和运算，提高求解效率。
此外，化归方法也常用于几何问题中。
对于一些复杂的几何问题，我们可以通过化归将其转化为更简单的几何问题来求解。
例如，对于一般的三角形，我们可以通过将其转化为等边三角形或者等腰三角形来求解。
化归方法在几何问题中的应用，可以使问题变得更易于理解和解决。
然而，化归方法也存在一定的局限性。
有时候，问题本身可能并不适合通过化归来求解，或者化归方法并不能将问题转化为更简单的形式。
此外，化归方法需要一定的数学基础和思维灵活性，对于初学者来说可能有一定的难度。
综上所述，《数学方法论》中的化归方法是一种重要的数学解题策略。
化归方法可以将复杂的问题转化为简单的问题，提高求解效率，加深对数学知识的理解和应用。
尽管存在一定的局限性，但化归方法在数学中的应用广泛，对于解决各种数学问题起到了重要的作用。
数学方法论典型例题
数学方法论典型例题1、化归法例1 鸡兔同笼，笼中有头50，有足140，问鸡、兔各有几只？分析化归的实质是不断变更问题，这里可以先对已知成分进行变形。
每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，这是问题中不言而喻的已知成分。
现在对问题中的已知成分进行变形：“一声令下”，要求每只鸡悬起一只脚（呈金鸡独立状），又要求每只兔悬起两只前脚（呈玉兔拜月状）。
那么，笼中仍有头50，而脚只剩下70只了，并且，这时鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等——有一头兔，就多出一只脚，现在有头50，有足70，这就说明有兔20头，有鸡30头。
2、类比法讨论电势差与电场强度关系时，可以举例说明从山顶上从坡度不同的两个方向下到同一水平面，坡度陡的方向，单位长度的水平方向上高度下降大，即高度下降快，再讲匀强电场中，沿不同方向，电势下降差值都相同时，沿电场线方向距离最小，即电势降落最快。
3、联想法50名学生按座位号排成一队，老师要求座位号逢单数的同学出列，剩下的同学再组成一队，座位号不变，单数的同学出列，以此联想最后一名同学的座位号是多少？解：一队全体学生：1，2，3，、、、、、、48，49，50（50位同学）第一次出列剩下：2，4，6，、、、、、、48，50（25位同学）第一位同学的座位号是：2¹第二次出列剩下：4，8，12，、、、48（12位同学）第一位同学的座位号是：2²第三次出列剩下：8，16，24，、、、48（6位同学）第一位同学的座位号是：2³联想到第五次出列就剩下一位同学，座位号是：2的五次方。
4、归纳法例1.用数学归纳法证明：时，。
解析：①当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。
②假设时等式成立，即有，则当时，，所以当时，等式也成立。
由①，②可知，对一切等式都成立。
5、RMI6、逐次渐进100个馒头分给100个和尚，大和尚每人吃3个，小和尚3人吃一个，问大小和尚各几个？解：假设全部是大和尚的话，多出的馒头：3×100－100＝200个，一个大和尚比小和尚多吃的：3－﹙1÷3﹚＝3－1／3，所以小和尚的个数：200÷﹙3－1／3﹚＝75，大和尚有：100－75＝25人。
02第二讲 解决数学问题的基本方法——化归方法(续)
因此，如果我头上戴的是黑帽子，那末其他两人面临 的将是一个轻而易举的问题 ——“两个人，一顶黑帽 子”的问题，他们应当能够立刻解决，是不必踌躇 的．现在他们在踌躇，就说明了我头上戴的不是黑帽 子而是白帽子． 倘使我们把原来的问题再搞得复杂一些：“四个人，三 顶黑帽子，若干(不少于4)顶白帽子”，或者更一般地， “n个人，n-1顶黑帽子，若干(不少于n)顶白帽子”这样 复杂的问题，我们也可以用以上的递退思想来解决了．
基本思想：1个盘子的汉诺塔问题可直接移动。n个盘子的汉诺 塔问题可递归表示为，首先把上边的n-1个盘子从A柱移到B柱， 然后把最下边的一个盘子从A柱移到C柱，最后把移到B柱的n-1 个盘子再移到C柱。 如，4个盘子汉诺塔问题的递归求解示意图如图所示。
汉诺塔问题的递归求解示意图
递归求解的例子3——传球计数问题
an = (m − 1)bn −1 (n ≥ 3) (1)
第2种传球方式包含下述两类情形(假设A是发球 者, B是最后的接球者)
1类: 2类:
A○○ ○○ AB
A○○ ○○ AB
(共n+1项)
(共n+1项)
显然, 1类序列总数为 an −1 , 2类序列总数为(m − 2)bn −1 因此
bn = an −1 + (m − 2)bn −1 (n ≥ 3) (2)
经过这样思考，于是三个人都推出了自己头上 戴的是白帽子．
华罗庚先生的解法： 如果我头上戴的是黑帽子，那末对于他们两人来说， 就变成“两个人，一顶黑帽子”的问题．因此对于此种 情形，就可以从原来问题里减去一个人、一顶黑帽子， 把它转化为一个简单的问题． 考虑两个人一顶黑帽子的问题．这个问题谁都会解， 黑帽子只有一顶，我戴了，他立刻会说：“自己戴的是 白帽子”．但是，他为什么要踌躇呢？可见我戴的不是 黑帽子而是白帽子．
浅谈数学中的“化归”
浅谈数学中的“化归”论文摘要：《数学课程标准》明确规定：“学生在数学学习活动中要理解和掌握数学思想和方法。
”数学思想方法是数学的灵魂，“化归”是数学教学中应用比较广泛又非常重要的思想方法。
关键词：《数学课程标准》数学思想、方法化归《数学课程标准》已问世十个年头了，它是时代进步的产物，更是教育改革的结果，它使教师的教育理念发生了翻天覆地的变化。
《数学课程标准》中明确规定：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
”数学思想方法是数学的灵魂，如何在数学教学中渗透着思想方法的教学，这是我们广大的数学教师面临的一个重要课题。
“化归”是数学教学中应用比较广泛又是非常重要的思想方法，本文结合小学数学教学实践对“化归”作一些简单介绍。
一、化归原则概述“化归”一词，从字面上理解是转化和归结的意思。
数学方法论中的“化归原则”，就是指将未解决的或待解决的问题通过某种途径进行转化，归结为已解决的或易解决的问题，最终使原问题获得解决的一种方法原则。
二、化归原则的核心及哲学思想基础一般地说，化归的方向总是将“繁”转化为“简”，将“难”转化为“易”，将“未知”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”等等，通过转化，从而使问题得到解决。
因此，化归原则的核心内容是转化。
唯物辩证法告诉我们：各种事物都是由矛盾组成的，各种矛盾在一定的条件下互相转化。
数学中也充满着矛盾，它们在一定的条件是可以转换的。
化归原则正是在于利用这种可变的规律性，揭示各种形式间或明或暗的、固有的内在联系，选择有创造性的恰当的手段以实现有效的转化。
可见，化归原则是转化矛盾的方法原则，属于哲学思维方法的范畴。
三、化归原则的基本要素和一般模式对象、目标、方法是化归原则的三个基本要素，在化归原则的三个要素中，化归的方法是关键。
在小学数学教学中只是一次使用化归，所以它的模式也很简单，一般模式为：−→−转化教学中如果按上面的模式板书，能突出教学重点，突破教学难点，能让学生保持较长时间记忆，具有良好的“抗遗忘”作用。
小学数学思想方法的梳理（二化归（转化）思想。）
小学数学思想方法的梳理（二）课程教材研究所王永春二、化归思想1. 化归思想的概念。
人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2. 化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。
因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
举例说明化归三个方法
举例说明化归三个方法化归是一种常用的问题求解方法，它通过将原问题转化为具有相似结构但规模更小的子问题来解决。
在实际问题中，常常会用到化归的方法。
下面将举例说明化归的三个具体方法。
1.数学问题中的化归：在数学问题中，化归通常是通过代数变换、运算规则等方法来简化或转化问题。
例如，解二元一次方程组时，可以通过消元法将方程组化简为一元二次方程。
具体的例子如下：假设有一个二元一次方程组：2x+3y=104x+5y=20可以通过第一个方程乘以2，然后减去第二个方程来消除变量x，得到另一个方程：y=10。
然后将y=10代入第一个方程，可得到x=-5因此，原方程组的解为x=-5，y=10。
通过将原问题转化为一元二次方程，化归的方法简化了问题的求解过程。
2.计算机算法中的化归：在计算机算法中，化归通常是通过分治、递归等方法将问题划分为多个子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。
例如，归并排序可以使用化归的方法进行求解。
具体的例子如下：假设有一个无序的数组：[4,3,8,1,2,6,5,7]归并排序的思想是将数组不断划分为更小的子数组，直至每个子数组只有一个元素，然后将这些子数组两两合并，最终得到一个有序的数组。
对于上述数组，可以将其划分为两个子数组：[4,3,8,1]和[2,6,5,7]。
然后将这两个子数组分别继续划分为更小的子数组，直至每个子数组只有一个元素：[4,3,8,1]->[4,3]和[8,1]->[4]和[3]，[8]和[1][2,6,5,7]->[2,6]和[5,7]->[2]和[6]，[5]和[7]最后按照递归的顺序，将每个子数组两两合并，得到有序的数组：[4]和[3]->[3,4][8]和[1]->[1,8][2]和[6]->[2,6][5]和[7]->[5,7][3,4]和[1,8]->[1,3,4,8][2,6]和[5,7]->[2,5,6,7]最后将[1,3,4,8]和[2,5,6,7]两个有序数组合并，得到最终的有序数组：[1,2,3,4,5,6,7,8]。
中学数学化归方法及应用
中学数学化归方法及应用化归在数学中是一种常用的方法，可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而便于解决。
在中学数学中，化归方法经常出现在代数和几何的各个领域，并且有着广泛的应用。
下面我将介绍几个常见的中学数学化归方法及其应用。
一、代数中的化归方法1. 同底数幂的合并在代数中，同底数幂的合并是一个很常见的化归方法。
当我们遇到形如2^a\cdot 2^b的乘法时，可以利用同底数幂的合并，化简为2^{a+b}，从而简化计算。
例如，2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7。
2. 分式的通分当遇到分式相加减的情况时，通分是一个常用的化归方法。
通常我们通过找到一个公共的分母，将分子化为通分后的形式，便于计算和比较。
例如，\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}。
3. 二次方程的配方法在解二次方程时，有时候可以利用配方法将二次方程转化为一个完全平方。
例如，对于方程x^2-6x+9=0，我们可以将其化为(x-3)^2=0，从而解得x=3。
二、几何中的化归方法1. 相似三角形的边比例关系在几何中，相似三角形的边比例关系是一个常用的化归方法。
当遇到两个相似三角形，我们可以利用边比例关系来确定它们各个边的关系。
例如，若\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}，则可以利用这个比例关系来求解未知边的长度。
2. 平行线的性质平行线的性质也是几何中常用的化归方法之一。
当遇到平行线与其它直线相交时，我们可以利用平行线的性质来求解所需的角度或长度。
例如，垂直平行线之间的交角均为直角。
利用这一性质，我们可以通过求出与平行线相交的角度，从而解决问题。
三、化归方法的应用1. 方程求解在数学中，方程求解是一个常见的应用场景。
通过采用化归方法，我们可以将方程进行化简，从而得到更简单的形式，进而解方程。
第二章化归法
2.1化归的基本原则
化归的原则
➢熟悉化和模型化 ➢简单化和具体化 ➢特殊化和一般化
化归的方法的分类
从数学化归方法的应用范围来分： ➢ 外部的化归法——将实际问题转化为数学模型
多应用于社会实践中的应用问题，实际包括了化归法的两个内容：其 一是把一个实践问题化为数学问题（建立数学模型的过程）；其二是解 决数学问题的求解问题。
2
2
6
x 2k或x 7 2k (k Z )
12
12
sin(x ) 2
特殊化和一般化
• 总结 在数学研究的过程中，特殊化与一般化贯
穿于整个解题过程之中：只有借助一般化 我们才能很好地弄清问题，而一般化又显 然构成了“回顾”的主要内容。
作业
1、在边长为1的正方形中，任意放入5个点， 则一定存在两个点，它们之间的距离不超过二 分之根号二。 2、在边长为1的正方形中，任意放入9个点， 则一定存在3个点，它们组成的三角形的面积 不超过1/8。 3、任意5个整数，必能从中取出3个，其和能 被3整除。 4.借助罗尔定理 用构造法去证明拉格朗日中 值定理。 5.举例说明化归在数学学习中的作用。
化归，只是体现的化归形式、采用的手段不同而已，它在数学问题解 决中的作用就在于转化。
2.1化归——解决问题的基本方法
首先，数学科学严密逻辑性的特点使得化归方法顺理成章地成为 数学解决问题的基本方法；(数学科学的严密逻辑性决定了数学论证大多 是使用演绎逻辑推理论证） 其次，数学的符号化、形式化特征为化归方法的使用提供了便利条 件； （因为符号化、逻辑化在形式上较易明确逻辑联系，容易找到化归的 目标和方向）
吗？”
从更为一般的
角度来说
“你知道一个相关的问题吗？你能设想出一个相关的问题吗？你知道或你能设 想出一个同一类型的问题，一个类似的问题、一个更一般的问题、一个更特殊的 问题吗？”
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用化归是高中数学解题中经常运用的一种方法，它指的是通过某种操作，将一个复杂的问题转化为一个更为简单的问题，以便于解决。
化归思想的应用广泛，下面我们来看看在高中数学解题中，化归思想是如何运用的。
一、化式化式即将一个式子，通过某种运算，转化为另外一个式子。
在高中数学中，经常会用到多项式式子化简、换元、配方法、公式代入等方法。
1、多项式式子化简多项式式子的化简，是将多项式式子中的一个或多个同类项进行合并，以达到简化的目的。
如：将多项式2x³+5x²-3x-7与4x³-2x²+x+5相加，可以化简成为6x³+3x²-2x-2。
2、换元高中学习中，经常会碰到求导题目，这时可以通过换元，将高阶函数转化为低阶函数，以便进行求导运算。
如：设y=e^x，求y’/y。
y’/y=e^x/e^x=1又如：将x²+1=t，代入y=ln(t)中，则y’=1/(x²+1) * 2x =2x/(x²+1)3、配方法配方法是指通过某种运算，将一个含有有理式的式子转化为分子含有多项式，分母含有完全平方的式子，进而简化解题。
如：将分式1/(x-2)(x+3)进行配方法：1/(x-2)(x+3)=(A/(x-2))+(B/(x+3))，化简得：令x=2，则得到A=-1/5；令x=-3，则得到B=1/5。
4、公式代入高中数学中，很多题目都有相应的公式，可以将公式代入到试题中，从而进行解题。
如：已知一条直线经过点P（2，3），斜率为2，求该直线在y轴上的截距。
直线的一般式为：Ax+By+C=0已知斜率为2，可得到：A=2，B=-1将点P代入一般式中，则可得到C=1将A=2，B=-1，C=1代入公式中，可得到y轴截距为1。
二、化形化形是将一个复杂的问题转化为一个更加简单的问题，通过分析问题、变换思路，重构问题的形式，从而使问题更容易得到解决。
1.2化归法
二、几种常见化归方法
根据化归的对象分类，主要有如下三种情形：
1、转化已知条件 在解题过程中，常常要对已知条件进行转化
（包括条件的分解、组合、变形假设等）。
[例1] 已知五（1）班学生人数不少于40人，做广
播操时，若每排站4人，最后一排差3人；若每排站
3人，最后一排差2人；若没排站2人，最后一排差1 人；问班级人数最少有几人？
分析： 把每种站法“最后一排差几人”理解为“最后 一排多1人” 则问题便转化为求4、3、2的某个公倍数。 即 [4、3、2]=12 12×4+1=49（人）
例2 求396的所有约数的和 例3 在数字中间加上适当的运算符号（和括 号），使下面的等式成立 4 4 4 4 ＝0
例4 已知n是满足下列条件的四位数，它 是6的倍数，每个数位上的数字都是7或8，
试求 n 的值。
3
2、转化问题
在解题过程中，有时要转化题目的未知成分以实 现化归。 例6 求自然数1～100中不能被3整除的所有数的和。 分析：直接求满足条件的数的和，计算比较复杂，
如果把问题转化为求“自然数1～100的和”以及“自
然数1～100中能被3整除的数的和”，问题即可解决。
3、转化整个题目 有时需要转化整个题目来实现化归。 例7 四个一样的长方形和一个小的正方形， 大正方形的面积是49平方米，小正方形的面 积是9平方米，问长方形的长和宽各为几米？
化归法
一、化归法 所谓“化归法”，是指把有待解决的问题， 通过某种转化过程，归结为一类已经解决或容易 解决的问题。 化归法的核心是转化，化归法有三个要素： （1）化归的对象。即问题中需要改变的成份， 是改变整个题目，还是只改变它的条件或问题 （2）化归的目标。是化难为易、化繁为简，还 是将陌生的问题转化为熟悉的问题 （3）化归的方法。即转化的途径，这是化归的 关键