东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)

东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)

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03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷

2003级高等数学（A ）（上）期末试卷

一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程

⎰

+-=y

x t x dt e

1

2

确定，则

==0

x dx

dy

（ ）

.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A

2．曲线41

ln 2+-+

=x x

x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A

3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）

4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）

.

2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( *

***x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===

二、填空题（每小题3分，共18分）

1．_____________________)(lim 2

1

=-→x x

x x e

2．若)(cos 21arctan

x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx

dy

3．设,0,

00

,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=α

x x x

x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。

4．若dt t t x f x ⎰

+-=

2

32

4

)(，

则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线x

xe

y -=的拐点是__________

6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1．计算积分

dx x x

⎰

+2

3

2)1(arctan 2．计算积分dx x

x

x ⎰5

cos sin

3. 计算积分dx e x x ⎰

-2

32

4. 计算积分⎰

π

+0

cos 2x

dx

5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求x

x dt

du u f t x

t

x sin ))((lim 3

⎰

⎰→

6.求微分方程0)2(22

2=+-dx y x xydy 的通解

四.（8分）求微分方程x

xe y y y 223-=+'-''满足条件0,000

='===x x y y 的特解

五.（8分）设平面图形D 由x y x 22

2

≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。

六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:⎩⎨⎧-=+=t

t y t

t x 252

2与x 轴所围成，试求其质量m

七.（7分）设函数)(x f 在],[a a -上有连续的二阶导数，且0)0(=f ，证明：至少存在一

点],[a a -∈ξ，使得)(3

)(3

ξ''=⎰

-f a dx x f a

a

2004级高等数学（A ）（上）期末试卷

一. 填空题（每小题4分，共20分）

1．函数()⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.

2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()2

1x x xF x f +=,则()=x f .

3.

(

)()

=-+⎰--x x x x x d e e 111

2005 .

4. 设()t u u x f x

t

d d 10sin 1

4⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23

>+=

⎰

x t

t x f x x

,则当=x 时,取得最大值.

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)

1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]

(A)()()

x x βα2 (B)()()x x x 1sin 2

2βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln (D)()()x x βα+

2. 曲线()()

211

arctan

e

21

2

+-++=x x x x y x 的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

3. 微分方程x x y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*

y [ ]

(A) ()x

x b ax 22

e

+ (B) x

ax 2e (C) ()x

b ax 2e

+ (D) ()x

x b ax 2e

+

4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有

()()⎰⎰≤b

a

d c

x x f x x f d d .

(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()⎰⎰

+=T

T

a a

x x f x x f 0

d d .

(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)