东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数复习题

1. 函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处 [ ] (A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在2. 交换积分次序0242000d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x +-+=⎰⎰⎰; 3.交换积分次序:()()1220010d ,d d ,d y y y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的隐函数,其中f 可微,则全微分d z =;5.设 (,)z z x y =是由方程e e e z y x z x y =+所确定的隐函数,求,z z x y ∂∂∂∂. 6. 计算二重积分2223d D x y x yσ++⎰⎰,其中{}22(,)1,0,0D x y x y x y =+≤>>. 7. 求幂级数()()1211121n n n x n n ∞-=--∑的收敛域与和函数。
1.改变积分次序212d (,)d ________.x x f x y y -=⎰ 2.二次积分1120sin _____.ydy x dx =⎰⎰ 3.设12111(1)2,5,n n n n n u u +∞+∞--==-==∑∑则1______.n n u +∞==∑3.设212,x x y e y e -==是二阶常系数齐次常微分方程的两个解, 求该方程。
4.求幂级数411 41n n x n ++∞=+∑的收敛域与和函数。
5.将函数21()12f x x x=+-展开为x 的幂级数。
6.将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数.7.求微分方程sin y y x x ''+=+的特解,使得该特解在原点处 与直线32y x =相切。
高等数学上期末试卷(含答案)

一. 选择题:(每小题3分,共15分)1. 若当0x →时,arctan x x -与nax 是等价无穷小,则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数,且()f x 为奇函数,()g x 为偶函数,则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二. 填空题:(每小题3分,共15分)1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续,则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3.设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三.解下列各题:(每小题10分,共40分)1.求下列极限(1)22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解:原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 (2)()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解:原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解:s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解:1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解:2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四.解下列各题:(每小题10分,共30分)1. 设()f x 在[,]a b 上连续,且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证: (1)[,],()2;x a b F x '∀∈≥(2)()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明:(1)1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 (2)()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理,()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增,从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S(1)确定a 的值,使12S S S =+取得最小值,并求此最小值; (2)求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解:22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微,且(0)(1)0,f f ==证明:存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明:令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微, ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微,由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()(),F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
05-06-2高数AB期末试卷 东南大学大一上学期高等数学试卷

4.设 f 在区间[0, ]上连续,且 f (x) sin x f (x)dx ,则 f (x) 0
5.设
f
(x)
1 x2
e
,
,x0
,则
x0
3
f (x 2)dx
1
;
6.
sin x x2 cos
x
dx
;
; ;
7.曲线 y ln x 相应于1 x 3 的一段弧长可用积分
表示;
8.已知 y1 ex 与 y2 e2x 分别是微分方程 y ay by 0 的两个特解,则常数
a
,常数 b
;
9.f (x0 ) 0 是曲线 y f (x) 以点 (x0, f (x0 )) 为拐点的
条件。
二.计算下列各题(本题共 4 小题,每小题 7 分,满分 28 分)
1.设 f (x)
止 于 至 善
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05-06-2高数AB期末试卷
一.填空题(本题共 9 小题,每小题 4 分,满分 36 分)
x2 sin t2dt
1. lim 0 x0
x6
;
2.曲线
y
x3 2(1 x)2
的斜渐近线方程是
;
3.设 y y(x) 是由方程 y ln y ln x 所确定的隐函数,则 dy dx
x
t sin
x2 t2 dt ,求 f (x)
0
2.
ex 1
e2
x
4
dx
共2页
第1页
止 于 至 善
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大学高等数学上考试题库(附答案)

.《高数》试卷 1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题 3分,共 30分).1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ) .(A ) f xln x 2 和 g x2ln x( B ) f x| x | 和 g xx 2(C ) f xx2( D ) f x| x | 和 g x和 g xx1xsin x 4 2x 02.函数 fxln 1 x在 x 0 处连续,则 a() .ax 0(A ) 0(B )1( C )1(D )243.曲线 y xln x 的平行于直线 xy 1 0 的切线方程为() .(A ) y x 1 ( B ) y(x 1)( C ) yln x 1 x 1(D ) y x4.设函数f x| x |,则函数在点 x 0 处() .(A )连续且可导( B )连续且可微( C )连续不可导 ( D )不连续不可微5.点 x 0 是函数 yx 4 的() .(A )驻点但非极值点 ( B )拐点(C )驻点且是拐点( D )驻点且是极值点6.曲线 y1 的渐近线情况是( ) .| x |(A )只有水平渐近线 ( B )只有垂直渐近线( C )既有水平渐近线又有垂直渐近线(D )既无水平渐近线又无垂直渐近线7.f1 1dx 的结果是().x x 2(A ) f1 C( B )1 C ( C ) f1 C1 Cxfx( D ) fxx8.dx 的结果是() .xe xe(A ) arctan e x C( B ) arctan e xC( C ) e xe x C( D ) ln( e x e x ) C9.下列定积分为零的是() ..(A )4arctanxdx ( B ) 4x arcsin x dx ( C ) 1 e xe x 1 21x 2 12dx ( D )x x sin x dx44 110.设 f x12x dx 等于() .为连续函数,则 f(A ) f 2f 0(B )1f 11f 0(C )1f 2f 0 ( D ) f 1 f 022二.填空题(每题4 分,共 20 分)1.设函数 fxe 2x 1 x在 x 0 处连续,则 a.xa x2.已知曲线 yf x 在 x2 处的切线的倾斜角为5 ,则f 2.6x3. y的垂直渐近线有条 .2x 14. dx.ln 2 xx 15. 2 x 4 sin xcosx dx.2三.计算(每小题 5 分,共 30 分)1.求极限1 x2 xxsin x①limx②limx 21xx 0x e2.求曲线 y ln x y 所确定的隐函数的导数y x .3.求不定积分①dx ②dx a③xe x dxx 1 x 3x 2 a 2四.应用题(每题 10 分,共 20 分)1. 作出函数 yx 3 3x 2 的图像 .y 22x y x 4.《高数》试卷 1 参考答案一.选择题1.B2.B3.A4.C5.D6.C7.D8.A9.A10.C 二.填空题1. 22.3 24. arctanln x c5.23.3三.计算题1① e 2② 12. y x16x y 13. ① 1 ln |x 1| C ② ln | x 2a 2x | C③ e x x 1 C2x 3四.应用题1.略2.S 18《高数》试卷2(上)一. 选择题 ( 将答案代号填入括号内,每题 3分,共 30分)1. 下列各组函数中, 是相同函数的是 ().(A)f x x 和 g x x2(B)f x x21和 y x1x1(C)f x x 和 g x x(sin 2 x cos2 x)(D)f x ln x2和 g x2ln xsin 2x 1x1x12. 设函数f x2x1,则 lim f x() .x2x 1 1x1(A)0(B) 1(C)2(D)不存在3. 设函数y f x在点 x0处可导,且f x>0,曲线则 y f x在点x0 , f x0处的切线的倾斜角为 {}.(A)0(B)2(C)锐角(D)钝角4. 曲线y ln x 上某点的切线平行于直线y2x3,则该点坐标是().(A)2,ln 1(B)2,1(C)1(D)1ln 2 2ln,ln 2,2225. 函数y x2e x及图象在1,2内是 ().(A) 单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C)单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的6. 以下结论正确的是 ().(A)若 x0为函数y f x的驻点 , 则x0必为函数y f x的极值点 .(B)函数 y f x导数不存在的点 , 一定不是函数y f x 的极值点.(C)若函数 y f x在 x0处取得极值,且f x0存在 , 则必有f x0=0.(D)若函数 y f x在 x0处连续,则f x0一定存在 .17. 设函数y f x的一个原函数为x2e x,则f x =().1111(A)2x 1 e x(B)2x e x(C)2x 1 e x(D)2xe x8. 若f x dx F x c ,则sin xf cosx dx().(A) F sin x c(B) F sin x c (C)F cosx c(D)F cos x c9.设 F x为连续函数 , 则1x dx =(). f02(A) f1f0(B) 2 f1f0(C)2f2f0(D)1f0 2 f2ba b 在几何上的表示(10. 定积分dx).a(A) 线段长b a (B)线段长 a b (C)矩形面积a b 1 (D)矩形面积 b a1二. 填空题 (每题 4 分,共 20分)ln1x2x0 ,1.设 f x1cos x在 x0 连续,则a=________.a x02.设 y sin2x ,则 dy _________________d sin x.3.函数 yx1 的水平和垂直渐近线共有_______条 . x2 14.不定积分x ln xdx______________________.5.定积分1x2 sin x1___________. 11x2dx三. 计算题 ( 每小题5分,共 30分)1.求下列极限 :①lim 1 2xx0 1arctanx x② lim2x1x2. 求由方程y 1 xe y所确定的隐函数的导数y x.3.求下列不定积分 :①tan x sec3xdx②dxa 0③x2e x dx x2a2四.应用题 (每题 10分, 共 20 分)1. 作出函数y 1 x3x 的图象.(要求列出表格)3.2. 计算由两条抛物线:y2x, y x2所围成的图形的面积.《高数》试卷 2 参考答案一.选择题: CDCDB CADDD二填空题: 1. - 2 2.2sin x 3.3 4.1x2 ln x 1 x2c 5. 242三. 计算题: 1.① e2② 1 2.y x e y2y3.① sec3 x c② ln x2a2x c③x22x 2 e x c3四. 应用题: 1.略 2.S13《高数》试卷3(上)一、填空题(每小题 3分, 共24分)1. 函数y1的定义域为 ________________________.9x2.设函数sin 4x0 则当 a 时 在处连续2. fxx , x,, f x x 0.=_________a,x3. 函数 f ( x)x 2 1的无穷型间断点为 ________________.x 23x24. 设 f ( x) 可导 , yf (e x ) , 则 y ____________.5.limx 2 1_________________.2x 2x 5x6. 1 x 3 sin 2 xdx =______________.1x 4x 2 17. d x 2e tdt _______________________.dx 08. yyy 30 是_______阶微分方程 .二、 求下列极限 ( 每小题 5 分,共 15分)x1x 31 x1.lim e ;2.lim ; 3.lim 1.sin xx 2 9 2xx 0x 3x三、求下列导数或微分 ( 每小题 5 分 , 共 15分) 1. yx x , 求 y (0) .2.ye cos x , 求 dy .2 求 dy.3. 设 xy e x y ,dx四、求下列积分 ( 每小题 5 分, 共 15 分)1. 1 2sin x dx .2.x ln(1x)dx .x3. 1e 2 xdx五、 (8 分) 求曲线xtcost 在 t 2处的切线与法线方程 .y1六、 (8 分) 求由曲线 yx 2 1, 直线 y0, x 0 和 x1 所围成的平面图形的面积 , 以及此图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 .七、 (8 分) 求微分方程 y6 y 13 y 0的通解 ..八、 (7 分) 求微分方程 yye x 满足初始条件 y 10 的特解 .x《高数》试卷 3 参考答案一. 1. x 3 2. a 43. x 24.e xf '(e x )5.16.07.2 xe x28. 二阶2二 .1. 原式 =limx 1x 0x2. lim11 x 3 x3 63. 原式 =lim[(11 1)2 x] 2 ex2x三.1.y ' 2 2 , y'(0)1( x 22)122.dysin xe cos x dx3. 两边对 x 求写: yxy ' e x y (1 y ')y 'e x yy xy yxe x yxxy四.1. 原式 =lim x2cos x C2. 原式 ===2x 2lim(1x)d ( x)lim(1 x) 1 x 2d [lim(1 x)] 22 x 21 x x2 11xx) dx x) 1 lim(12lim(1 ( x )dx 21 x2 2 1 x x 2x)1 x2 x lim(1 x)] Clim(1[ 2223.原式 =1 e 2x d (2 x)e2x 0 1 ( e 1)1112222五.dy sin tdy t 1 且 t, y 1dxdx 22 切线: y1 x2 ,即 y x 12法线: y1 ( x),即 y x 122六.12 1)dx (1x2x)13 S(x22V1 1)2dx1 2x21)dx(x2( x 4x 522128(xx) 0155 3七. 特征方程 :r 2 6r 13 0 r3 2iy e 3x (C 1 cos2x C 2 sin 2x)八. y e1dx1dxx( e x e xdx C )1 [( x 1)e x C] x由 y x1 0, C 0x 1 x ye x《高数》试卷 4(上)一、选择题(每小题 3 分)1、函数 y ln(1 x)x 2 的定义域是() .A2,1 B2,1C 2,1 D2,12、极限 lim e x 的值是().xA 、B、C 、 D、 不存在3、 limsin(x1) () .x 11 x 211A 、 1B 、 0C、2D 、24、曲线 yx 3x 2 在点 (1,0) 处的切线方程是()A 、 y2(x 1)B、 y 4( x 1)C 、 y 4x 1D、 y 3( x 1)5、下列各微分式正确的是() .A 、 xdx d ( x 2 )B 、 cos 2xdx d(sin 2x)C 、 dx d(5x)D、 d ( x 2 ) (dx )26、设f (x)dx 2 cosxC ,则 f ( x)() .2xB、sin xC、xC D、xA、sin2sin 2 sin222 7、2ln x dx() .xA、212x CB、1x2Cln(2x22ln )21ln xC、ln 2ln x CD、Cx 28、曲线y x2, x1, y0所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积V () .A、1B1 x4 dx、ydy 0011C、(1 y)dyD、(1 x 4 )dx009、1 e xx dx() .0 1e1eB、ln2eC1eD12eA、ln2、ln3、ln2210、微分方程y y y2e2 x的一个特解为() .A、y 3 e2 x B 、y 3 e x C 、y 2 xe2 x D 、y 2 e2 x7777二、填空题(每小题 4 分)1、设函数y xe x,则y;2、如果lim 3sin mx2,则 m.x 02x313、x3cos xdx;14、微分方程y 4 y 4 y0 的通解是.5 、函数f ( x)x 2x在区间 0,4上的最大值是,最小值是;三、计算题(每小题 5 分)、求极限lim 1 x1 x ;2、求 y 1cot2 x ln sin x的导数;1x2 x 03、求函数x 3 1 4、求不定积分dx ;y3的微分;1x 1x15、求定积分e ln x dx ;6dyx1、解方程 ;edxy 1 x 2四、应用题(每小题 10 分)1、 求抛物线 yx 2 与 y 2 x 2 所围成的平面图形的面积 .2、 利用导数作出函数 y 3x 2 x 3 的图象 .参考答案一、1、C ; 2 、D ; 3 、C ; 4 、B ; 5 、C ; 6 、B ; 7 、B ; 8 、A ; 9 、A ; 10、D ;二、 1、 ( x 2)e x; 2、4;3、0; 4、 y(C 1 C 2 x)e 2 x ; 5 、 8,09三、1、 1 ; 2、 cot 3 x ; 3 、6x 2 dx ; 4 、2 x 1 2 ln(1 x 1) C ;(x 3 1) 25、 2(21) ;6 、 y 22 1 x 2C;e四、1、 8;32、图略《高数》试卷 5(上)一、选择题(每小题3 分)1、函数 y1的定义域是().2 x1)lg( xA 、 2,10,B 、1,0 (0, )C、(1,0)(0,)D、 (1, )2、下列各式中,极限存在的是() .A、lim cosxB、 lim arctan xC、 lim sin xD、lim 2xx 0x x x 3、lim (x) x() .x 1 xA 、e B、e2C、 1D、1 e4、曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0的切线方程是() .A、y xB、 y(ln x1)( x1)C、y x1D、 y(x1)5、已知y x sin 3x,则 dy() .A、( cos3x3sin 3x)dxB、 (sin 3x3x cos3x)dxC、(cos3x sin 3x)dxD、 (sin 3x x cos3x) dx6、下列等式成立的是() .A、C、x dx1x 1CB、a x dx a x ln x C11 cosxdx sin x C D、 tan xdx Cx217、计算e sin x sin xcos xdx的结果中正确的是() .A、e sin x CB、e sin x cosx CC、e sin x sin x CD、 e sin x (sin x 1) C8、曲线y x2, x1, y 0 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积V().1x4 dx1ydyA、B、001(1 y)dy D1C、、(1 x 4 )dx00aa2x2 dx (9、设a﹥0,则) .A、a2B、 a2 C 、1a20 D 、1a2244 10、方程()是一阶线性微分方程 ..A、x2y ln y0B、 y e x y 0 xC、(1x2 ) y ysin y 0D、 xy dx ( y 26x) dy 0二、填空题(每小题 4 分)1、设f (x)e x1, x0,则有 lim f (x),lim f ( x);ax b, x0x 0x 02、设y xe x,则y;3、函数f ( x)ln(1 x 2 ) 在区间1,2 的最大值是,最小值是;14、x3cos xdx;15、微分方程y 3 y 2 y0的通解是.三、计算题(每小题 5 分)1、求极限lim (11 x 23) ;x 1x x2 2、求y 1 x2 arccosx 的导数;3、求函数yx的微分;1x24、求不定积分1;dxx 2ln x5、求定积分eln x dx ;1e6x2 y xy y满足初始条件y(1) 4的特解 .、求方程2.四、应用题(每小题10 分)1、求由曲线y 2 x2和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数y x 36x 29x 4的图象.参考答案( B 卷)一、1、B; 2 、A;3、D;4、C;5、B;6、C;7、D;8、A;9、D;10、B.二、 1、 2 , b ;2、( x2)e x;3、ln 5 , 0 ;4、 0 ;5、C1e x C 2e2x.三、1、1; 2 、x arccos x 1 ; 3 、1dx ;3 1 x2(1 x2 ) 1 x24、2 2ln x C ;5、 2(21) ; 6 、y 2 e e x四、 1、9 ; 2 、图略21x;2单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。
06-07-2高数AB期末试卷答案 东南大学大一上学期高等数学试卷

1
a
1
a
e2a 1 e2 e2 e2a ch2 0 ,得 a ln ch2 为唯一驻点, I (a) 2e2a 0 , 2
I ln cha 为 I a 在[1,1]上的最小值,而最大值只能在端点 x 1, x 1 取得。
I
1
3 4
e2
1 4
e2
,
I
1
1 4
e2
5 4
e2
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06-07-2高数AB期末试卷答案
止 于 至 善
一.填空题(本题共 9 小题,每小题 4 分,满分 36 分)
x
1. lim
x et2 dt
0
2;
x0 x(cos x 1) 3
2. y 3x 7 ;
1. 解: y2 2cot x y2 2cos x
y2 e 2 cot xdx 2
cos
2
xe
cot
xdx
dx
C
C
csc2
x
2 3
sin
x
2.解:
y
C1
cos
x
C2
sin
x
x
x 2
cos
x
,由题设条件得y(源自)0,y(0)3 2
,求得 C1
0, C2
1,于是
y
sin
x
x
x 2
cos
x
五.(本题满分 7 分) 解: I (a) 1 x a e2xdx a (a x)e2xdx 1(x a)e2xdx
1
1
a
a a e2xdx a xe2xdx 1 xe2xdx a 1e2xdx
高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷(1)课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:120分钟班级:学号:姓名:得分:一、填空(每小题3分,满分15分)1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A,则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导,且 f(x)。
0,f(0) = 1,f(1) = e,f(2) = e,∫f(2x)dx = 1/2ex,则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x),则 f'(0) = 1二、单项选择(每小题3分,满分15分)1.函数 f(x) = x*sinx,则 B 选项为正确答案,即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 },则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在,答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e)),答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项,即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导,且 f(x) < g(x),则必有 B 选项成立,即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题(每小题7分,共56分)1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定,即 y = 3 - x,因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1],因此 f'(x)。
期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答以下各题(本大题共 16 小题,总计 80 分 )1、(本小题 5 分)求极限limx 3 12 x 163 9x 212x 4x 22x2、 (本小题 5 分 )求x2 2dx. (1 x )3、(本小题 5 分)求极限 limarctan x arcsin1xx4、(本小题 5 分)求x d x.1 x5、 (本小题 5 分 )求 dx 21 t 2dt .dx6、 (本小题 5 分 )求 cot 6 x csc 4 x d x.7、(本小题 5 分)21 cos 1dx .求 1 x 2 x 8、 (本小题 5 分 )xe t cost 2y( x), 求dy.设确立了函数 y ye 2t sin tdx9、 (本小题 5 分 )3求 x 1x dx .10、 (本小题 5 分 )求函数 y 4 2 x x 2 的单一区间 11、 (本小题 5 分 )求 2sin x dx .sin 2 x0 812、 (本小题 5 分 )设 x t) e kt(3cos t4 sint ,求 dx .()13、 (本小题 5 分 )设函数 yy x 由方程 y 2ln y 2x 6 所确立 , 求 dy .( )dx14、 (本小题 5 分 )求函数 yexe x的极值215、 (本小题 5 分 )求极限 lim( x1)2(2x 1)2 ( 3x 1) 2(10x 1)2x16、 (本小题 5 分 )(10x 1)(11x 1)求cos2x d x. sin xcos x 1二、解答以下各题(本大题共 2 小题,总计 14 分 )1、(本小题 7 分)某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场 ,一边可用本来的石条围 沿,另三边需砌新石条围沿 ,问晒谷场的长和宽各为 多少时 ,才能使资料最省 .2、(本小题 7 分)求由曲线 yx 2 和 y x 3 所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 体积 .28三、解答以下各题 (本大题6分 )设 f (x)x(x 1)( x 2)( x 3), 证明 f ( x) 0有且仅有三个实根 .一学期期末高数考试 (答案 )一、解答以下各题(本大题共 16 小题,总计 77 分 )1、(本小题 3 分)解:原式lim 3x 2 12218x 12x 2 6x6xlimx 212 x 1822、(本小题 3 分)xd x(1 x 2 )21 d(1 x2 ) 2(1x 2 ) 2112 1 x 2c.3、(本小题 3 分)因为 arctan x2而 limarcsinx故 limarctan x arcsin1xx4、(本小题 3 分)x d x1 x1 x 1 d x 1 xd xd x1 xx ln 1 x c.5、(本小题 3 分)原式2 x 1 x 46、(本小题 4 分)cot 6 x csc 4 x d xcot 6 x(1cot 2 x) d(cot x)1 0x1cot 7 x 1cot 9x c.797、 (本小题 4 分 )211原式1 cos d ()x x1 sin2 118、 (本小题 4分 )解:dy e2t (2 sin t cost)dx e t (cos t 22t sin t 2 )e t (2 sin t cost)(cost 22t sin t 2 ) 9、 (本小题 4分 )令 1 x u2原式 2 (u4u2 ) du12( u5u3) 12531161510、 (本小题 5 分 )函数定义域 (,)y 2 2 x2(1x)当 x 1, y 0当x,y函数单一增区间为,1 10当x,y函数的单一减区间为1,1011、 (本小题5 分 )原式2d cos x09cos2x13cosx 2lncosx 0631ln 2612、 (本小题 6 分 )dx x (t) dte kt(43k ) cos t ( 4k 3 ) sin t dt13、 (本小题 6 分 )2yy2y6x5yy 3yx5 y2114、 (本小题 6 分 )定义域 (,), 且连续y2e x (e2 x1)2驻点: x1 ln 12 2因为 y2e xe x故函数有极小值 ,, y( 1ln 1 ) 2215、 (本小题 8 分 ) 22(1 1 ) 2 ( 2 1 )2 ( 3 1 ) 2(10 1 ) 2原式lim x x xxx(10 1)(11 1)10 11 21x x 6 10 117216、 (本小题 10 分)解 :cos2x dxcos2x dx1 sin x cos x11sin 2xd(12sin 2x 1)2 11sin 2x1 2sin 2xcln 12二、解答以下各题(本大题共 2 小题,总计 13 分 )1、 (本小题 5 分 )设晒谷场宽为 x, 则长为512米 ,新砌石条围沿的总长为x L2x512(x0)xL2512 独一驻点x 16x 2L10240 即 x 16 为极小值点x 3故晒谷场宽为 16米 , 长为51232米时 , 可使新砌石条围沿16所用资料最省2、(本小题 8 分)解:x 2x 3 , 22x3x 1,.28x0 x 148V x4 x 2 ) 2 (x 3 2dx 4 x 4x 6() 0()dx28464(11 x 541 1 x 7 ) 4 564 7 044 ( 11 ) 51257 35三、解答以下各题 (本大题10分)证明 : f (x)在 ( , ) 连续 , 可导 , 进而在 [ 0,3]; 连续 , 可导 .又 f (0) f (1) f (2) f (3) 0则分别在 [0,1],[ 1,2],[2,3] 上对 f ( x) 应用罗尔定理得, 起码存在1 (0,1),2(1,2), 3(2,3)使 f ( 1 ) f (2 ) f (3 ) 0即 f (x) 0起码有三个实根 , 又f (x) 0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述 f ( x) 有且仅有三个实根参照答案一。
高数期末考试题及答案大全

高数期末考试题及答案大全试题一:极限的概念与计算问题:计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案:根据洛必达法则,当分子分母同时趋向于0时,可以对分子分母同时求导,得到:\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二:导数的应用问题:设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\),求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案:首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处,导数值为 \(f'(1) = -1\),函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\),即 \(y = -x + 1\)。
试题三:不定积分的计算问题:计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案:这是一个基本的三角换元积分问题,令 \(x = \tan(\theta)\),\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式,\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)

东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学( (每小题 4分,共16分) y (x )由方程1"dt (A )(上册)期末试卷A )(上)期末试卷x 确定,则 (C)e-1(A)e 1;(B)1-e;(D)2e .(A ) y (C ) y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.(每小题 1X)x 2arcta n— x 3分,共18 分)e f 仏x),其中f 可导,则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f (X )在x 0处连续,则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分,共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续,在x 0处可导,且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4,求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.(8分)求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.(8分)设平面图形x2y22x与y x所确定,试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 (7分)设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a],使得 a f (x)dx七.(7分)设函数f (X )在[a,a ]上有连续的二阶导数,且 f (0) 0,证明:至少存在一t与X 轴所围成,试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学(A )(上)期末试卷(每小题4分,共20分)1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数,且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
高等数学(上学期)期末考试试卷及答案

考试试卷答案课程名称: 高等数学 (A ) 课程所在学院: 理学院 一、填空题(每空2分,共20分)1. 设221)1(x x x x f +=+,则)(x f = 2()2f x x =- .2. 1lim sin x x x→∞= 0 . 3. 已知函数1(1),0(),0x x x f x a x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0=x 处连续,则=a 1/e .4. 当0x →时,232x x +-与x 是 同阶 (填同阶或等价)无穷小.5. 函数()x f x xe =的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式为342()2!3!(1)!n n x x x x x x n ο++++++-. 6. d 212x e C +2.x e dx =7. 曲线42y ax x =-拐点的横坐标为1x =,则常数a =16. 8. 35425cos 32x xdx x x -=++⎰ 0 . 9. 若22()x f x dx x e C =+⎰,则()f x =222()x e x x +. 10. 方程2dyxy dx= 的通解是 2x yCe =.二、解答题(每题5分,共60分)1.求极限 0x → 00sin cos 1cos sin lim lim 21212x x x x x x x →→-++===解:原式2. 已知21lim ()01x x ax b x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦,求常数,a b .解: 221(1)()1()11x a x a b x bax b x x +--++--+=++ 由21lim ()01x x ax b x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦可得 10,0a a b -=+=,故1,1a b ==- 3. 设1ln 2arctan 1xy x x +=+-,求xy d d 及22d y dx . 解:241124[ln(1)ln(1)2arctan ]1111dy x x x dx x x x x'=+--+=++=+-+- 22d y dx =()()334224444(4)16111x x x x x'⋅-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭-- 4. 设063sin 33=+-+y x y x ,求.0=x dxdy解:把方程两边分别对x 求导,得,063cos 33322=+-+dxdy x dx dy y x (*) 故 .23cos 22+-=y x x dx dy 由原方程可得,0=x 时,0=y ,将0,0==y x 代入上式,即得 .210==x dxdy 5. 求极限1ln 0lim(cot )xx x +→解 1ln 011limln(cot )ln(cot )ln ln 0lim(cot )lim xx x x x xx x x e e+→++→→==201(csc )cot lim 11x x xxee +→--==.6. 设220()()x F x tf x t dt =-⎰,其中()f x 在0x =的某邻域内可导,且(0)0,(0)1f f '==,求4()limx F x x →. 解:2220222044300011()(()2)()22lim lim lim 4xu x t x x x x f u du f x x tf x t dt x x x=-→→→---⋅-===⎰⎰原式 2201()11lim (0)444x f x f x →'===7. 求不定积分dx ⎰ 解:332221==2x x C +原式8. 求不定积分解:655332666==6ln(1)1)()1x t dx t t dt dt t C C t t t t ====++=+++⎰⎰原式 9. 求定积分1arctan x xdx ⎰解:22211110000arctan arctan arctan arctan 222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 2110201111(arctan )24218242x dx x x x πππ=-=--=-+⎰ 10. 求反常积分2032dx x x +∞++⎰解:20001132(1)(2)12dx dx dx x x x x x x +∞+∞+∞==-++++++⎰⎰⎰ 01ln(1)ln(2)lnln 22x x x x +∞+∞+=+-+==+11. 求曲线()y f x =,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.解:切线方程为()()Y y f x X x '-=-;当0X =,()()Y xf x f x '=-+由题意可得:()()x xf x f x '=-+;即11y y x'-=- 通解是 (ln )(ln )y x x C or y x x C =-+=+.12. 求初值问题()(0)1,(0)1x f e f x f f ''⎧=-⎨'==⎩.解:由题意,特征方程为210r +=,特征根为12,r i r i ==-,故对应齐次方程通解为12cos sin y C x C x =+;1λ=不是特征方程的根,故可设原方程有特解()x f x Ae *=,解得()12x f x e *=,故原方程的通解为()121cos sin 2x f x C x C x e =++;由(0)1,(0)1f f '==得本题解为()111cos sin 222x f x x x e =++.三、设)(x f 在区间[,]a b 上连续,且()0f x >,()(),[,]()x xabdtF x f t dt x a b f t =+∈⎰⎰. 证明:(1)()2F x '≥; (2)方程()0F x =在区间(,)a b 内有且仅有一个根.(5分). 证明:(1)1()()2()F x f x f x '=+≥;(2)()()()()a ab aba dtdt F a f t dt f t f t =+=-⎰⎰⎰;()()()()b b b a b a dt F b f t dt f t dt f t =+=⎰⎰⎰ 又()0f x >,所以()()0F a F b <,从而方程()0F x =在区间(,)a b 内有一个根. 又()20F x '≥>,是单调递增的,从而方程()0F x =在区间(,)a b 内仅有一个根. 四、设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(1)0f =,证明在(0,1)内存在一点ξ,使 ()()f f ξξξ'=-.(5分) 证明:令()()F x xf x =,则()F x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且因(1)0f =,则(0)0(1)F F == 即()F x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件,则至少存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'= 又()()()F x f x xf x ''=+,即()()0f f ξξξ'+=,即 ()()f f ξξξ'=-.五、设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0),且当[0,1]x ∈时,0y ≥.试确定,,a b c 的值,使得该抛物线与直线1,0x y ==所围图形的面积为4/9,且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. (10分)解:由于设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0),故0c =.且11222004;()9ax bxdx V ax bx dx π+==+⎰⎰;即有2241;()329523a b a b V ab π+==++;于是221444[2()()]5293393a a a V a π=+-+-且令1()053a V π'=+=.得唯一驻点53a =-,进而2b =. 所以,5,2,03a b c =-==.。
东南大学高数-C++期末试卷

东南大学交通学院高数、C++历年试卷——东南大学交通学院研学部整理高数部分PART I 试卷2003级高等数学(A )(上)期末试卷一、单项选择题(每小题4分,共16分) 1.设函数()y y x =由方程⎰+-=yx t x dt e 12确定,则==0x dxdy( ).e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2.曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为( ) . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3.设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示, 则导函数)(x f y '=的图形为( )4.微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为( ).2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===二、填空题(每小题3分,共18分)1._____________________)(lim 21=-→x xx x e 2.若)(cos 21arctanx f e x y +=,其中f 可导,则_______________=dxdy3.设,0,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续,则α的取值范围是__________。
4.若dt t t x f x ⎰+-=2324)(,则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5.曲线xxe y -=的拐点是__________6.微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y三、计算下列各题(每小题6分,共36分)1.计算积分dx x x⎰+232)1(arctan 2.计算积分dx xxx ⎰5cos sin 3. 计算积分dx ex x ⎰-2324. 计算积分⎰π+0cos 2xdx5.设)(x f 连续,在0=x 处可导,且4)0(,0)0(='=f f ,求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim300⎰⎰→6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解 四.(8分)求微分方程xxe y y y 223-=+'-''满足条件0,00='===x x y y的特解五.(8分)设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定,试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。
东南大学大一公共课高等数学期末考试卷4套

姓名
课程名称 适用专业
东南大学考试卷
高等数学 A(期中) 考 试 学 期 0 9 - 1 0 - 3 得分 选学高数 A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120 分钟
题号
一
二
三
四
五
六
得分
一.填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分)
1.由方程 xyz + sin(π z) = 0 确定的隐函数 z = z(x, y) 在点 (1, 0,1) 处的全微分 dz = ;
共4页
第2页
∫∫∫ 13. 求极限 lim 1
sin(x2 + y2 &# →0+
5 x2 + y2 +z2 ≤t2
∫∫ 14.计算 xdy ∧ dz + z2dx ∧ dy ,其中 S 为 z = x2 + y2 与 z = 1所围成的立体的表面, S
取外侧.
四(15)(本题满分 8 分)求密度为1,半径为 R 的上半球面对球心处单位质量质点的
(1, 1, 1)
¨
4. I =
|y − x2| max{x, y}dxdy.
0≤x≤1 0≤y≤1
‹
5.
(x2 + y)dS,
S
x2 + y2 ≤ z ≤ 1
S
.
4
3
8
f (z) = u+iv
f (0) = −3i , f (z) . (
z)
,
u(x, y) = x2−y2+4x,
8
z = 2(x2 + y2) z = 3 − x2 − y2
z0
;
fx, fy, z = f (x, y)
高等数学上期末试卷(含答案)

一. 选择题:(每小题3分,共15分)1. 若当0x →时,arctan x x -与nax 是等价无穷小,则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数,且()f x 为奇函数,()g x 为偶函数,则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二. 填空题:(每小题3分,共15分)1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续,则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3.设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三.解下列各题:(每小题10分,共40分)1.求下列极限(1)22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解:原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 (2)()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解:原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解:s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解:1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解:2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四.解下列各题:(每小题10分,共30分)1. 设()f x 在[,]a b 上连续,且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证: (1)[,],()2;x a b F x '∀∈≥(2)()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明:(1)1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 (2)()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理,()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增,从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S(1)确定a 的值,使12S S S =+取得最小值,并求此最小值; (2)求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解:22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微,且(0)(1)0,f f ==证明:存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明:令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微, ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微,由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()(),F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
东南大学大一公共课高等数学期末考试卷

东 南 大 学 考 试 卷 B 卷课程名称: 高等数学(下) 考试学期 XX 得分适用专业:非电类各专业 考试形式:闭卷 考试时间长度:150分钟 共2页一.单项选择题(每小题4分,满分16分):1.设(,)u u f x y xy x y∂=+∂∂2具有二阶连续偏导数,则等于 [ ] (A )22xyf (B )1222xf xyf +(C )21222f xf xyf ++ (D )2111222()f f x y f xyf ++++2.设{(,)02,0D x y y x =≤≤≤,则Dxdxdy ⎰⎰的值为 [ ](A )23(B )1 (C )2 (D )π 3.设C 是从(2,0)B 经(1,1)A -到(0,0)O 的有向折线,则曲线积分3232()()C I x xy dx y x y x dy =++++⎰的值等于 [ ](A )5 (B )4 (C )-5 (D )-84.设级数1(1)n n n a ∞=-∑条件收敛,则必有 [ ](A )1n n a ∞=∑收敛 (B )21n n a ∞=∑收敛(C )21n n a ∞=∑与211n n a ∞-=∑都收敛 (D )11()n n n a a ∞+=-∑收敛二.填空题(每小题3分,满分15分):1.设向量{1,2,3},{1,1,0}a b ==,若非负实数β使向量a b β+与a b β-垂直,则β= 。
2.幂级数11(1)2n n n x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
3.函数222()()2()u x y z x y z =-+---在点(1,2,2)M 处方向导数的最大值是 。
4.若函数(,)z f x y =可微,且22(,)1,(,)x f x x f x x x ==,则当0x ≠时,2(,)y f x x = 。
5.交换积分次序2113(3)20010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰ 。
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东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:03~10级高等数学(A )(上册)期末试卷2003级高等数学(A )(上)期末试卷一、单项选择题(每小题4分,共16分) 1.设函数()y y x =由方程⎰+-=yx t x dt e12确定,则==0x dxdy( ).e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2.曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为( ) . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3.设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示, 则导函数)(x f y '=的图形为( )4.微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为( ).2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===二、填空题(每小题3分,共18分)1._____________________)(lim 21=-→x xx x e2.若)(cos 21arctanx f e x y +=,其中f 可导,则_______________=dxdy3.设,0,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续,则α的取值范围是__________。
4.若dt t t x f x ⎰+-=2324)(,则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5.曲线xxey -=的拐点是__________6.微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题(每小题6分,共36分)1.计算积分dx x x⎰+232)1(arctan 2.计算积分dx xxx ⎰5cos sin3. 计算积分dx e x x ⎰-2324. 计算积分⎰π+0cos 2xdx5.设)(x f 连续,在0=x 处可导,且4)0(,0)0(='=f f ,求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim 3⎰⎰→6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解四.(8分)求微分方程xxe y y y 223-=+'-''满足条件0,000='===x x y y 的特解五.(8分)设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定,试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。
六.(7分)设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:⎩⎨⎧-=+=tt y tt x 2522与x 轴所围成,试求其质量m七.(7分)设函数)(x f 在],[a a -上有连续的二阶导数,且0)0(=f ,证明:至少存在一点],[a a -∈ξ,使得)(3)(3ξ''=⎰-f a dx x f aa2004级高等数学(A )(上)期末试卷一. 填空题(每小题4分,共20分)1.函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21x x xF x f +=,则()=x f .3.()()=-+⎰--x x x x x d e e 1112005 .4. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23>+=⎰x tt x f x x,则当=x 时,取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ](A)()()x x βα2 (B)()()x x x 1sin 22βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln (D)()()x x βα+2. 曲线()()211arctane212+-++=x x x x y x 的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条3. 微分方程x x y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*y [ ](A) ()xx b ax 22e+ (B) xax 2e (C) ()xb ax 2e+ (D) ()xx b ax 2e+4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()32d cos ln limx t t t xx ⎰+→2. 设函数()x y y =是由方程2e22=-+xyy y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点()2,0处的切线方程.3. x x x x d cos cos 042⎰-π4. ⎰∞+13d arctan x xx5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小.五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln .1ξe 1XOYxy ln =六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f 且()10=f ,试证: 当0≥x 时,有 ()1e ≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .2005级高等数学(A )(上)期末试卷一.填空题(本题共9小题,每小题4分,满分36分)1. 2206sin d limx x t t x→=⎰ ;2.曲线322(1)x y x =+的斜渐近线方程是 ;3.设()y y x =是由方程ln ln y y x =所确定的隐函数,则d d yx= ; 4.设f 在区间[0,]π上连续,且0()sin ()d f x x f x x π=+⎰,则()f x = ;5.设21,0()e ,0x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩,则31(2)d f x x -=⎰ ;6.2sin d cos xx x xππ-=+⎰ ; 7.曲线ln y x =相应于13x ≤≤的一段弧长可用积分 表示;8.已知1e x y -=与22e xy =分别是微分方程0y ay by '''++=的两个特解,则常数a = ,常数b = ;9.0()0f x ''=是曲线()y f x =以点00(,())x f x 为拐点的 条件。
二.计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,满分28分) 1.设220()sin d x f x t x t t =-⎰,求()f x '2.2e 1d e 4x xx -+⎰ 3.240sin sin d x x x x π-⎰4.21d 221x x x x +∞-+⎰三.(本题满分9分)设有抛物线2:(0,0)y a bx a b Γ=->>,试确定常数a 、b 的值,使得(1)Γ与直线1y x =-+相切;(2)Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大。
四.(本题共2小题,满分14分) 1.(本题满分6分)求微分方程()222e 1d e d 0x x x y x y -+=的通解。
2.(本题满分8分)求微分方程22e xy y x '''-=+满足初始条件9(0)2,(0)4y y '==的特解。
五.(本题满分7分)试证:(1)设e u >,方程ln x x u =在e x >时存在唯一的实根()x u ;(2)当u →+∞时,1()x u 是无穷小量,且是与ln u u等价的无穷小量。
六.(本题满分6分)证明不等式:111ln 2111ln 213521n n n +<++++<+--, 其中n 是大于1的正整数。
2006级高等数学(A )(上)期末试卷一.填空题(本题共9小题,每小题4分,满分36分) 1.2e d lim(cos 1)xt x x tx x →-=-⎰ ;2.曲线231x ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩在2t =对应的点处的切线方程为 ; 3.函数()ln(1)f x x x =-+在区间 内严格单调递减; 4.设()y y x =是由方程ln 1xy y -=所确定的隐函数,则(0)y '= ;5. 512224111d 1x x x x x x x -⎛⎫--+-= ⎪++⎝⎭⎰ ; 6.设)(x f 连续,且201(2)d arctan 2xtf x t t x -=⎰,已知1)1(=f ,则21()d f x x =⎰ ; 7.已知)(x y y =在任意点x 处的增量α++∆=∆21xxy y ,当0→∆x 时,α是x ∆的 高阶无穷小,已知π=)0(y ,则_____)1(=y ;8.曲线1ln e y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的斜渐近线方程是 ; 9.若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解312e ,e x x y y ==,则该方程为 .二.计算题(本题共4小题,每小题7分,满分28分) 1.计算不定积分 2arccos d x x x x-⎰2.计算定积分20sin d x x x π⎰3.计算反常积分()211d 1x x x +∞+⎰4.设 31()d 1x t G x t t=+⎰,求 10()d G x x ⎰三.(本题满分7分)求曲线ln cos 1sin 2x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩自0t =到4t π=一段弧的长度。