山西省太原五中2009届高三5月月考理科数学试题

太 原 五 中
2008—2009学年度第二学期月考试题(5月)
高 三 数 学(理)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是
符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位，则7)1(i +的展开式中第三项为（ ）
A ．i 35-
B ．i 21-
C ．21-
D ．i 35 2. 已知集合{}a x x A ≤=|，{}21|<<=x x B ，{}1|≤=⋂x x B C A R ，
则a 的取值范围为（ ） A ．]2,1[ B ．)2,1[ C ．)2,1( D ．]2,1( 3. “1=a ”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
４. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．2
D ．４ 5. 对于不重合的两个平面α与β， 给定下列条件 ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //；
④存在异面直线l 、m ，使得α//l ，β//l ，α//m ，β//m ；其中可以判定α与β平行的条件有
( )
A ．１个
B ．２个
C ．３个
D ．４个 6. 从集合{}20,,3,2,1 中任取３个不同的数排成数列，
则这个数列为等差数列的概率为（ ） A ．
761 B ．191 C ．38
1 D ．192
7. 若2
0π
<
<x ，则x 2与x sin 3的大小关系是（ ）
A ．x x sin 32>
B ．x x sin 32<
C ．x x sin 32=
D ．与x 的取值有关
8. 已知F 1、F 2是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A 、B ，且
02=⋅AF ，||||2AF =，则椭圆离心率为（ ）A ．
22 B ．2
3
C ．36-
D ．26-9.若直线1=+y x 通过点)sin ,cos (ααb a M ，则（ ） A ．12
2
≤+b a B ．12
2
≥+b a C ．
11122≤+b a D ．11
12
2≥+b a
10.已知图甲中的图像对应的函数()y f x =，则图乙中的图像对应的函数在下列给出的四式中只可能是 ( )
甲 乙
A ．(||)y f x =
B ．|()|y f x =
C ．(||)y f x =-
D ．(||)y f x =-11.已知可导函数'()()()()f x x R f x f x ∈>满足，则当0a >时，()(0)a f a e f 和大小关系为（ ）
A ．()(0)a f a e f <
B ．()(0)a f a e f >
C ．()(0)a f a e f =
D ．()()0f e a f a ≤
12. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是（ ）A.3955 B.3957 C.3957 D.3961
第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填答题卷中相应的横线上．13. 设随机变量ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ， 若4.0)10(=<<ξP ，则=>)2(ξP
14. 已知曲线sin (11
cos 222
y x θ
θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数)与直线x a =有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 .15． 已知如图，正方体1111ABCD A B C D -
A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧
长之和等于 _________ ．
16.已知圆1:22=+y x O ，圆1)s i n 3()c o s 4(:221=-+-θθy x O ，过
圆O 上的点M 向圆1O 作切线MF ME ,，F E ,为切点，给出下列命题：①两圆上任意两点间的距离的范围是]6,1[②θ确定时，两圆的公切线有两条③对于任意θ存在定直线与两圆都相交④O O 11⋅的范围是]2
1,2523[--
其中正确的命题是 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）已知函数x c x b a x f 2cos 2sin )(++=)0(<a 的图象经过点(0,1),(,1)4
A B π，
且当]4
0[π，∈x 时，)(x f 的最大值为122-．(Ⅰ)求)(x f 的解析式；(Ⅱ)是否存在向量m ，使得将)(x f 的图象按照向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，请求出满足条件的一个；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分10分）已知数列{}n a 、{}n b 满足21=a ，11=b ，且14
1
4311++=
--n n n b a a
，
)2(14
3
4111≥++=
--n b a b n n n （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2
2lim
n T S n
n n -∞→.
19. （本小题满分10分） 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3，的三张卡片，从这个盒子中，有放回地先后抽取两张卡片的标号分别为x ，y ，记|||2|x y x -+-=ξ. (Ⅰ)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(Ⅱ) 求随机变量ξ的分布列和数学期望。

20. （本小题满分14分） 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB ‖CD,AD =CD =2A B,E 、F 分别为PC 、CD 的中点.
（Ⅰ）试证：CD ⊥平面BEF;
（Ⅱ）设PA ＝k ·AB ,且二面角E -BD -C 的平面角大于︒30,求k 的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成
等腰直角三角形，直线0=+-b y x 是抛物线x y 42=的一条切线． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点)3
1
,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，
使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
22. （本小题满分14分）设函数321
()()3
f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -．
（Ⅰ）求证：01b
a
<≤； （Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围； （Ⅲ）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒有()0f x a '+<，试求k 的最小值．
参考答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
13、 0.1； 14、__（0，1]_； 15、
6
5π
； 16、①④ ； 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (1)由⎪⎩⎪
⎨⎧==1)4
(1
)0(πf f 得：⎩⎨⎧=+=+11b a c a ，
……………………………… 2分
即1b c a ==-，a x a x f ++
-=)4
2sin()1(2)(π
……………… 4分
当]40[π，∈x 时，]4
34[42π
ππ，∈+x ，]122[
)42sin(，∈+πx 因为0<a ，有10a ->，122)1(2)(max -=+-=a a x f ，得1a =-
故1)4
2sin(22)(-+
=π
x x f …………………………… 7分
(2)∵x x g 2sin 22)(=是奇函数，且将)(x f 的图象先向右平移8
π
个单位，再向上平移1个单
位，可以得到)(x g 的图象，∴(
1)8
m π
=，是满足条件的一个平移向量．……10分
18. (Ⅰ)2121++=
n a n n ，21
21++-=n b n
n
……5分 （Ⅱ）12212+++-=n n S n n ，12212-++=n n T n n ……8分 322322+---=-n n T S n n n ，21
2lim 2-=-∞→n
T S n n n ……10分
19. (Ⅰ) x ，y 的可能取值为1，2，3
∴2||,1|2|≤-≤-x y x ∴3≤ξ，因此，随机变量ξ的最大值为3
()=
=3ξP 9
2
……5分 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，则……6分
()910=
=ξP ，()941==ξP ，()922==ξP ，()9
2
3==ξP ……9分 随机变量ξ的分布列（略）
9
14
923922941910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……10分
20．(Ⅰ) 解法一：
（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAD 为直角，故ABFD 是矩
形，从而CD ⊥BF . ………..4分 又PA ⊥底面ABCD,CD ⊥AD ，故知CD ⊥PD .在△PDC 中，E 、
F 分
别PC 、CD 的中点，故EF ∥PD ,从而CD ⊥EF ,由此得CD ⊥面BEF . ………..7分
（Ⅱ）连结AC 交BF 于G .易知G 为AC 的中点.连接EG ,则在△PAC 中易知EC ∥PA .又因 PA ⊥底面ABCD ,故BC ⊥底面ABCD .在底面ABCD 中，过C 作GH ⊥BD ,垂足为H ,连接EH .由三垂线定理知EH ⊥BD .从而∠EHG 为二面角E -BD -C 的平面角. ………..10分 设AB=a ,则在△PAC 中，有
BG =
21PA =2
1
ka . 以下计算GH ，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD . 因S △CBD =
21BD ·GH=21GB ·OF.故GH =BD
DF
GB ∙. 在△ABD 中，因为AB ＝a,AD =2A ,得BD =5a 而GB =
21FB =21AD -a.DF-AB ,从而得GH =BD DF GB ∙= a
a a 5∙＝
.55a 因此tan EHG=GH EG =.25
5
5
21
k a ka
=………..12分 由k ＞0知EHG ∠是锐角，故要使EHG ∠＞︒30，必须
k 25＞tan ︒30=,3
3 解之得，k 的取值范围为k ＞
.15
15
2………..14分 解法二：
（Ⅰ）如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a ,则易知点A,B,C,D,F 的坐标分别为 A (0,0,0),B (a ,0,0),C (2a ,2a ,0),D (0,2a ,0), F (a ,2a ,0).
从而=(2a ,0,0), =(0,2a ,0),
DC ·BF =0,故DC ⊥BF .
设PA =b ,则P (0,0,b ),而E 为PC 中点.故 第（20）
E ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,,b a a .从而BE =⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,,0b a .
·=0,故⊥.
由此得CD ⊥面BEF .
（Ⅱ）设E 在xOy 平面上的投影为G ，过G 作GH ⊥BD 垂足为H,由三垂线定理知EH ⊥BD. 从而∠EHG 为二面角E-BD-C 的平面角. 由PA ＝k ·AB 得P(0,0,ka),E ⎪⎭
⎫
⎝⎛2,
,ka a a ,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), BD =(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a ① 又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故
a a x -＝a
y
2，即2x+y=2a ② 由①②解得x =
53a,y=54a,从而GH ＝⎪⎭
⎫
⎝⎛--0,51,52a a ，｜GH ｜＝55a. tan EHG
=
a Ka
5
52
=
k 25.由k ＞0知，EHC 是锐角，由∠EHC ＞,30︒得tanEHG ＞tan ,30︒即k
2
5
＞
.33故k 的取值范围为k ＞
15
15
2. 21．解：（1）由0)42(:40222
=+-+⎩⎨⎧==+-b x b x y x
y b y x 得消去
因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切，04)42(22=--=∆∴b b
1=∴b ，
∵椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴
22==b a
故所求椭圆方程为.12
22
=+y x …………4分 （2）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：2
2
2
)3
4()3
1(=++y x
当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：122=+y x
由⎩⎨
⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧=+=++101
)
34()31(22222
y x y x y x 解得 即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）…………8分 事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下．
当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）
若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：3
1-
=kx y
由01612)918(:12
312222
=--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=kx x k y y x kx y 得消去
记点),(11y x A 、⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=+=+9181691812),,(22122122k x x k k x x y x B 则
)
3
4)(34()1)(1()
1,(),1,(212121212211--+=--+=⋅-=-=kx kx x x y y x x y x y x 所以又因为
916
)(34)1(21212++-
+=x x k x x k 09
16
918123491816)1(2
22=++⋅-+-⋅+=k k k k k 所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件．…………12分 22. 解答：（1）2()2f x ax bx c '=++，由题意及导数的几何意义得
(1)20f a b c '=++=， （1）
2()2f m am bm c a '=++=-， （2） ……2分
又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0,0,a c <> 由（1）得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得
113b
a
-<<， （3） ……4分 将2c a b =--代入（2）得2220am bm b +-=，即方程2220ax bx b +-=有实根．
故其判别式2480b ab ∆=+≥得2b a -≤，或b
a
≥0, （4） 由（3），（4）得01b
a
<≤
；……6分 （2）由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->， 知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ，
又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根，则有根与系数的关系得
122122,10b b
x x x x a a
+=-
=--<<， ……8分 当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>， 故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2b s t x x a -=-=+
，由（Ⅰ）知01b
a
<≤得||s t -的取值范围为[2,4)；……10分 （3）由()0f x a '+<，即220ax bx a c +++<，即2220ax bx b +-<，
因为0a <，则2220b b x x a a +⋅
-⋅>，整理得2(22)0b
x x a
-+>， 设2()(22)b b g x x a a =-+，可以看作是关于b
a
的一次函数，…12分
由题意()0b
g a
>对于01b a <≤恒成立，
故(1)0,(0)0,g g -⎧⎨>⎩≥ 即2
2220,
0,
x x x ⎧-⎪⎨>⎪⎩≥+得1x ≤或1x ，
由题意，[,)(,1][31,)k +∞⊆-∞-+∞，
故1k ，因此k 1． …14分。