新苏教版高中数学选修2-3同步练习：2.1_随机变量及其概率分布(含答案)

第2章 概 率 2．1 随机变量及其概率分布
双基达标
限时15分钟
1．接连射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X ，则{X ＝k ，k ∈N *}表示的随机试验的结果为__________________________________________． 答案 射击了k 次，前k －1次都未击中目标，第k 次击中目标
2．一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，从袋中同时取3个，以X 表示取出的3个球的号码之和，则X 的所有可能的取值为________． 答案 6,7,8,9,10,11,12
3．已知X 的分布列为P (X ＝k )＝c
2
k (k ＝1,2，…，6)，其中c 为常数，则P (X ≤2)＝________.
解析 由题意得，c 2＋c 4＋c 8＋c 16＋c 32＋c
64＝1，
解得c ＝64
63
，
P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝6463×(12＋14)＝1621
. 答案
1621
4．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X 表示1次投篮的命中次数，则P (X ＝1)＝________. 答案 3
4
5．一个袋中有5个白球和3个红球，从中任取3个，则随机变量为下列中的________(填序号)．
①所取球的个数；②其中含白球的个数；③所取白球与红球的总数；④袋中球的总球． 解析 从袋中取出3个球，则①、③、④都是定值，不是随机变量． 答案 ②
6．袋中有5只乒乓球，编号为1至5，从袋中任取3只，若以X 表示取到的球中的最大号码，试写出X 的概率分布．
解 依题意知，X 可能的取值为3,4,5.取到每个值的概率分别为P (X ＝3)＝C 22
C 35＝110；
P (X ＝4)＝C 23
C 35＝310
；
P (X ＝5)＝C 24
C 35＝35
.故X 的概率分布为：
7．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机地取出3个，用X 表示取出的球的最大号码，则{X ＝6}表示的试验结果是________．
解析 X ＝6表示取出的3个球的最大号码是6，其余的是1,2,3,4,5号球中的任意两个． 答案 从6个球中取出3个，其中一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意两个．
8．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝c
k
k ＋
，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则
P ⎝⎛⎭⎫12
＜X ＜5
2的值为______． 解析 P (X ＝1)＝c 2，P (X ＝2)＝c 6，
P (X ＝3)＝c 12，P (X ＝4)＝c
20.
∴⎝⎛⎭⎫12＋16＋112＋120c ＝1，∴c ＝54. P ⎝⎛⎭⎫12
＜X ＜5
2＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝⎝⎛⎭⎫12＋16c ＝23×54＝56. 答案 56
9．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记
X ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0，两球全红，1，两球非全红，则X 的分布列为________．
解析 P (X ＝0)＝C 26
C 211＝311
，
P (X ＝1)＝1－311＝8
11
.故X 的分布列如下表.
答案
10.已知随机变量η
解析 由分布列的性质得：0.2＋x ＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.1. P (η＞3)＝P (η＝4)＋P (η＝5)＋P (η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45， P (1＜η≤4)＝P (η＝2)＋P (η＝3)＋P (η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45. 答案 0.1 0.45 0.45
11．先后抛掷一个骰子两次，以下的随机变量可能取哪些值？
(1)两次抛掷出的最大点数； (2)两次掷出的点数之和； (3)第一次与第二次掷出的点数差．
解 (1)用随机变量X 表示抛掷骰子两次掷出的最大点数，则X 的取值集合为{1,2,3,4,5,6}．
(2)用随机变量ζ表示抛掷两次掷出的点数之和，则ζ的取值集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3)用随机变量X 表示第一次与第二次掷出的点数差，则X 的取值集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
12．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
10
，(i ＝1,2,3,4)．
(1)求P (X ＜3)； (2)求P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜72； (3)求函数F (x )＝P (X ＜x )．
解 (1)P (X ＜3)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝3
10.
(2)P ⎝⎛⎭⎫12＜
X ＜7
2＝P (X ＝1)＋ P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35
(3)F (x )＝P (X ＜x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0 x ，
110 ＜x ，
3
10
＜x ，35 ＜x ，
x ＞
13．(创新拓展)有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0,3张写有数
字1,3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0,2张写有数字1,3张写有数字2.
(1)如果从甲盒子中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？
(2)如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的两张卡片数字之和为X ，求X 的概率分布．
解 (1)取出3张卡片都写有1的概率为C 23C 12
C 28C 18＝3112
.
(2)X 所有可能取的值为0,1,2,3,4.
P (X ＝0)＝C 12C 13
C 18C 18＝664＝332，
P (X ＝1)＝C 12C 12C 18C 18＋C 13C 13
C 18C 18＝1364，
P (X ＝2)＝C 13C 12C 18C 18＋C 12C 13C 18C 18＋C 13C 13C 18C 18＝21
64，
P (X ＝3)＝C 13C 12＋C 13C 13
C 18C 1
8＝1564， P (X ＝4)＝C 13C 13
C 18C 18＝964
.
∴X 的概率分布为：。